ĐỊNH LÝ NHÚNG CHO KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (350.61 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ĐỊNH LÝ NHÚNG CHO KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG

Phạm Thị Thủy1, Lê Thị Hồng Hạnh2

1Trường Đại học Sư phạm - ĐH Thái Nguyên, 2Trường Đại học Hoa Lư

TÓM TẮT

Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và tính trơn của nghiệm của phương trình
elliptic suy biến

 

2 2

2 2 0 trong ,

0 trên ,

u u

f x g u

x y

u

     

 



  



ở đây  là một miền bị chặn với biên trơn trong không gian ¡ 2, ,f g là các hàm cho trước.
Kết quả của bài báo là sự tổng quát định lý nhúng trong N. M. Trí [N. M. Tri, Critical Sobolev 
exponent for hypoelliptic operators, Acta Mathematic Vietnamica, Vol. 23 (1998), no. 1, 83 – 94] 
và sự tồn tại nghiệm, tính trơn của nghiệm trong D. T. Luyen, N. M. Tri [D. T. Luyen and N. M.
Tri, On boundary value problem for semilinear degenerate elliptic differential equations, AIP 
Conf. Proc. 1450, 13 (2012), 13 - 17].

Từ khóa: Bài tốn biên, số mũ tới hạn, giá trị tới hạn, nghiệm không tầm thường, định lý nhúng

Định lý nhúng Sobolev cho không gian có trọng 
Giả sử  là miền giới nội trong ¡ với biên 2

 trơn và

 

0 . Ta xét bài toán sau: *

 

 

2 2

2 2 0 trong , 1

0 trên ,

u u

f x g u

x y

u

 

   



 



  


trong đó

 

   

 

, 0 0,

g u C R g  f x C R .
Đặt

 

u

G u 



g t dt và 



 1, 2



là vector
pháp tuyến đơn vị ngoài trên .

Định nghĩa 1. Ta ký hiệu S1p

 

 ,1  p

là không gian các hàm uLp

 

 thỏa mãn

   

 

p p

u u

L f x L

x y

 

   

 

Chuẩn trong S1p

 

 ,1  p , được định 
nghĩa như sau:

 

p

p p

p
p
S

u u

u u f x dxdy

x y




     

   

  

   

   







Với p2 ta có tích vơ hướng trong S12

 


như sau:

Tel: 0913 005027, Email:

 

 

 

 

 

2 2

, , ,

, .

S L

L

u v

u v u v

x x

u v

f x f x

y y

 



 

 

   

 

 

   

    

 

Định nghĩa 2. Không gian 1,0p

 

S  được gọi là
bao đóng của 1

 

C  trong không gian

 

1 .

p

S 

Định nghĩa 3. Hàm 2

 

1,0

uS  được gọi là
nghiệm yếu của Bài toán (1) nếu đẳng thức:

 

2 ,

u u

dxdy f x dxdy g u dxdy

x x y y

  

  

     

   



thỏa mãn với mọi C0

 

 .

Định lý 1. 1p

 

S  là không gian Banach,

 

2
1

S  là không gian Hilbert.

Chứng minh. xem [3]

Trong phần tiếp theo ta xét một trường hợp
của hàm 2

 



 



k

f x  x  x trong đó

 

x C1( ),

 

x 1,x

 

x 0.

  ¡     
Khi đó ta có kết quả sau

Định lý 2. (Định lý nhúng Sobolev cho khơng

gian có trọng). Giả sử 1  p k 2. Khi đó

 

 22

 

1,0

k p

p k p

S L





 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Chứng minh

Ta chứng minh với mỗi

 

0
,

u x y C  , ta
có bất đẳng thức sau:

 

   

 

2
2
1,0
. 2
k p
p
k p
L S

u   C u

    

Ta chứng minh (2) đúng với p =1,

Lấy số M > 0 đủ lớn để



M M,

 

M M,



    

Khi đó ta có:





  

, , ,



x

M

u

u x y t y dt x y
t


 




Do vậy





  

, , ,



.
M
M
u

u x y t y dt x y
t


 




Tương tự ta có:

 

   

 

, , , ,

, , , 0.

M

M
M

M

u

u x y x t dt x y
t

u

u x y x t dt

t






 

  
   


 



Nên ta có:

 

1
,
, ,
, . ,
, . , .

M M M M

u x y dxdy

u u

x t dt t y dt dxdy

t t

u u

x t dt dx t y dt dy

t t

u u

x y dxdy x y dy dx

x y






   
   
   
     
 
    
 

   
 
 
     
    
 
   
 
 
  
   



  



 

Áp dụng bất đẳng thức Hölder ta có:

 





 

1
1
1
,
1

1 , .

M M
M M
M k
M
M M
k
M M
u

x y dy dx
y

x x dx

u

x x x y dx

y









 



 


 
  
  
 
 
  
 
    
  
 
 

   
 

 



Do vậy

 





 

1
1
1
1

, ,
1

1 , .

M M
M M
M k
M
M M
k
M M
u

u x y dxdy x y dxdy
x

x x dx

u

x x x y dx

y











  


 


 

 

 
  
 
    
 
    

   
 



 



Ta có 

 

x C1

   

¡ , x  1, nên trên



M M,



, hàm số 1

 

x là liên tục đều,

nên   x0



M M,



để

 

 

0 1

min 1 1 0.

M M  x  x C

     

Nên

 





2 2

1 , 0 , 0.

x C C

k



 


    

Do đó với 0 1

1
k

 

 , khi đó tích phân

 





1 1 x

M k

M

x x d





 









là hội tụ.

Do vậy ta có:

 

  1 

, xd | |k 1 .

L
L

u u

u x y d y C x x

y x






 
 
 
 



Áp dụng bất đẳng thức Young ta có:

 

   

 

   
1
1
1
1
1
1
1 1

| | 1

| | 1 .

k

L
L
L
k
L
L
u u

u C x x

y x

u u

C x x

y x


 



 




 
 

 
   
 
  
   
 

Đối với p bất kỳ lấy | | ,u  1 thay vào
công thức trên và áp dụng bất đẳng thức
Hưlder ta có:

 

 
   

 

   
1
1
'
1
1
1 1

| | 1

| | 1 ,

p
p
p

L
k
L
L
L
k
L
L
u
u

C x x u

y

u

C u C u

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

trong đó 1 1 1
p p .
Chọn
1
p
p

 


  ta có:

   

 

   
 

 

   
   

 

 
1 1

1 1 1 '

1 1

1 1 '

1 1

1
x

| | 1

. | | 1

p
p

p

p p p

p p
k
L
L
p p
p
k
L
L
p
p p
p
k
L
L

u d C u

u u

x x

y x

u dx

u u

C x x

y x

u dx

u u

C x x

y x
  
   
 
 

 

 



  
   
 



 
 



 
 
 


   

   
   
   
   
   
 
 
  

 
   
   
   
 
 
  
 
 
 
 



 
,
p 
 
 
 
 
hay
 
 

 

 
 
1

1 | | 1

p
p
p
p
k
L
L
L
u

u C x x

y
u
C
x

  

  



 





Cho  đủ gần 1

k . Khi đó ta có điều phải
chứng minh.

Tiếp theo ta chứng minh đẳng thức (2) đúng
với u x y

 

, S1,0p

 

 .

Do S1,0p

 

 là bao đóng của C10

 

 trong
không gian S1p

 

 .

Nên tồn tại một dãy

 





 

0
0

, , ,

n n n

u x y  u x y C

   mà un

 

x y ,

hội tụ đến u x y trong không gian

 

, S1p

 

 .
Nên ta có: un

 

x y hội tụ đến , u x y trong

 

,
không gian Lp

 

 và ta có:

       

1,0 1,0

, ,

khi .

p p p p

n S S n L L

u u u u

n

     

 

Mặt khác ta có:





,
2

k p

p

k p 



 

  nên:

     

2 .

k p

p k p

n L n L

u u C u u  

 

 

  

Mà



 



0
,

n n

u x y  là một dãy Cauchy trong
không gian S1,0p

 

 , nên

     

2
2
1,0

0 0

0, 0, , 0

ta có k p .

p k p

n n p S n n p L

N n N p

u u u u 


  

 
   

       
    

Do vậy



 



0
,

n n

u x y  là một dãy Cauchy

trong không gian

 

2
2
k p
k p
L



  
.

Nên ta có





 

2
2
1 ,
k p
k p

u x y L


 
 
   để

 

,
n

u x y hội tụ đến u x y trong không 1

 

gian
 

 

2
2
k p
k p
L

 
  

suy ra u x y1

 

, Lp

 

 .

Theo bất đẳng thức trên ta có:

     

2
2

1 1 .

k p

P k p

n L n L

u u C u u  

 

 

  

Do vậy ta có dãy un

 

x y hội tụ đến ,

 

1 ,

u x y trong không gian Lp

 

 .

Do giới hạn của một dãy là duy nhất nên ta
có: un

 

x y hội tụ đến , u x y trong không

 

gian
 

 

2
2
k p
k p
L



  
, hay
 
     
2 2

2 2 , khi .

k p k p

n L L

u   u   n

        

Mà theo chứng minh trên ta có:

 
   
2
2
1,0
k p
p
k p

n L n S

u   C u

     , cho n, ta có

điều phải chứng minh.

Lưu ý. Trong trường hợp 1  p k 2, phép

nhúng

 

2
2

1,0
k p

p k p

S L





 

   không tồn tại
với  là dương bất kỳ.

Định lý 3. Giả sử 1  p k 2. Khi đó ánh

xạ nhúng

 

2
2
1,0
k p

p k p

S L





 

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Chứng minh tương tự như Mệnh đề 4 trong
[8] chúng ta có.

Định lý 4. Giả sử 1  p k 2. Khi đó

 

 22

 

1,0 .

k p

p k p

S L


 

  

Định lý 5. Giả sử p k 2. Khi đó

 

1,0 .

p

S C 

Định lý về sự tồn tại nghiệm

Định lý 6. Giả sử ( )g u thỏa mãn các điều

kiện sau:

i.

 

,

loc

g u C  ¡

ii. g u

 

C



1 um



,với 1 m k 4,

k

 

iii. g u

 

o u

 

khi u0,

iv. Tồn tại A sao cho với

 

u A G u g u u, trong đó 0,1 .
2
 

Khi đó bài tốn

 





 

2 2

2 | | 1 2 0 trong ,
u = 0 trên ,

k

u u

x x g u

x  y

 

    



 



 



luôn tồn tại nghiệm yếu u x y( , )không tầm
thường thỏa mãn, hơn nữa với mỗi
1  p ta có ( , )u x y Lp( ).

Chứng minh

Với 2

 

1,0

uS  xét hàm sau:

 



 



 

| | 1
2

k

u u

u x x dxdy

x y

G u dxdy





   

 

     

 

 





Từ các điều kiện của g(u) ta có 

 

u thỏa
mãn các điều kiện ( )I , 1 ( )I2 , ( )I3 trong [1].

Do vậy 

 

u có điểm tới hạn không tầm
thường, nên bài tốn trên có nghiệm yếu
không tầm thường thuộc không gian 2

 

1,0
S  .
Chứng minh nghiệm yếu ( , )u x y thỏa mãn

( , ) p( ),

u x y L  vớip [1; ) xem trong [7].
Trong trường hợp đặc biệt 

 

x 0, các kết
quả đã được công bố trong [5].

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. A. Ambrosetri and P. Rabinowitz, Dual

variational methods in critical theory and 
applications, Journal of Funtion Analysis 14 
(1973), 349 – 381.

2. N. M. Chuong, T. D. Ke, N. V. Thanh and N.
M. Tri, Non – existence theorems for boundary 
value problems for some classes of semilinear 
degenrate elliptic operators, Proceedings of the
conference on Partial Differential Equations and
their Applications, pp 185-190, Hanoi December
27-29, 1990.

3. H. Brezis, F. Browder, Partial differential 
equations in the 20th century, Adv. Math. 135 
(1998), 76 - 144.

4. D. Jerison, The Dirichlet problem for the Kohn - 
Laplacian on the Heisenberg group II, Journal of 
Funct. Anal, 43 (1981), 224 - 257.

5. N. M. Tri, Critical Sobolev exponent for 
hypoelliptic operators, Acta Mathematic
Vietnamica, Vol. 23 (1998), no. 1, 83 – 94.
6. N. M. Tri, Semilinear Degenerate Elliptic 
Differential Equations, Local and global theories, 
Lambert Academic Publishing, 2010. 271pp.
7. D. T. Luyen and N. M. Tri, On boundary value 
problem for semilinear degenerate elliptic 
differential equations, AIP Conf. Proc. 1450, 13 
(2012), 13 - 17.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

ABSTRACT

EMBEDDING THEOREMS FOR WEIGHTED SOBOLEV SPACES 
AND ITS APPLICATIONS

Pham Thi Thuy1*, Le Thi Hong Hanh2

1

University of Education – TNU, 2Hoa Lu University, Ninh Binh

In this paper, we study the existence of solutions for degenerate elliptic equation

 

2 2

2 2 0 in ,

0 on ,

u u

f x g u

x y

u

     

 



  



where is a bounded domain with smooth boundary in ¡ 2.

This result is a generalization of that of N. M. Tri [N. M. Tri, Critical Sobolev exponent for 
hypoelliptic operators, Acta Mathematic Vietnamica, Vol. 23 (1998), N1, 83 – 94.] and of D. T. 
Luyen, N. M. Tri [D. T. Luyen and N. M. Tri, On boundary value problem for semilinear 
degenerate elliptic differential equations, AIP Conf. Proc. 1450, 13 (2012), 13 - 17].

Keywords: Boundary value problems, Critical exponents, Critical values, Nontrivial solutions, 
Embedding theorems

Ngày nhận bài: 18/6/2018; Ngày phản biện: 26/7/2018; Ngày duyệt đăng: 31/8/2018

</div>

ĐỊNH LÝ NHÚNG CHO KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG

<b>ĐỊNH LÝ NHÚNG CHO KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG </b>

 

 

 

 

 

<sub> </sub>

 

   

 

 

 

 







 

 

   

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 







 

 

 

 



 



 

 

 

 

 

 

 

 



 







  









  





 

   

 

 





 

 

 

 

 

 

 

