PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (286.26 KB, 11 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

1

A. LÝ THUYẾT

I. Vectơ pháp tuyến (vtpt) của mặt phẳng

Vectơ n≠0 là vtpt của

( )

α

nếu vectơ n có giá vng góc với mặt phẳng

( )

α

.
Chú ý:

* Nếu n là VTPT của (P) thì kn k

(

≠0

)

cũng là VTPT của (P). Do đó, một mặt phẳng có vơ số VTPT.
* Một mặt phẳng hoàn toàn xác định nếu ta biết vectơ pháp tuyến và một điểm thuộc mặt phẳng đó. 
* Cho các vectơ khơng cùng phương a b, . Nếu giá của a b, song song hoặc nằm trong mặt phẳng (P) thì

n= a b,  là một vectơ pháp tuyến của (P). 
II. Phương trình của mặt phẳng

1. Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

Cho (P) qua

M0

(

x y z0; ;0 0

)

và có VTPT

n A B C

(

, ,

)

. Khi đó:

(

)

M x y z; ; ∈( )P ⇔M M0 ⊥n⇔M M n0 . =0 ⇔A x

(

−x0

)

+B y

(

−y0

)

+C z

(

−z0

)

Khi khai triển, phương trình tổng qt của mặt phẳng có dạng:

Ax+By Cz+ +D=0

2. Phương trình theo đoạn chắn:

Mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại: A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) khơng trùng với gốc tọa độ O

thì phương trình mặt phẳng (P) có dạng:

x y z

a +b+ c=1

Độ dài các đoạn chắn trên 3 trục tọa độ:

OA= a OB; = b OC; = c

III.

Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:

Cho mặt phẳng (P): Ax+By Cz+ +D=0 , vtpt n A B C( , , ) ;
và mặt phẳng (P’): A x' +B y C z' + ' +D' 0= , vtpt n A B C'( ', ', ')
Nếu A’, B’, C’, D’ đều khác 0 thì:

* (P) // (P’)⇔ A B C D
A' = B' =C' ≠ D'

* (P) ≡ (P’) ⇔ A B C D
A' = B' =C'= D'

* (P) cắt (P’)⇔ n , n ' không cùng phương ⇔ A:B:C ≠ A’:B’:C’
Lưu ý: (P) ⊥ (P’) ⇔ n ⊥ n ' ⇔ n . n ' =0 ⇔ AA'+BB'+CC' 0=
IV.

Các trường hợp đặc biệt:

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2

(P)// Ox ⇔

( )

P :By Cz+ +D=0 (D≠ 0)

(P) chứa Ox ⇔

( )

P :By Cz+ =0

(P) //Oy ⇔

( )

P :Ax Cz+ +D= (D0 ≠ 0)

(P) chứa Oy ⇔

( )

P :Ax Cz+ = 0

(P)// Oz ⇔

( )

P :Ax+By+D=0(D≠ 0)

(P) chứa Oz ⇔

( )

P :Ax+By=0

(P) // (Oxy): z = 0 ⇔

( )

P :z=c c

(

≠0

)

(cắt Oz tại (0,0,c))

(P) // (Oyz): x = 0 ⇔

( )

P :x=c c

(

≠0

)

(cắt Ox tại (c,0,0))

(P) // (Oxz): y = 0 ⇔

( )

P :y=c c

(

≠0

)

(cắt Oy tại (0,c,0))

V.

Góc giữa hai mặt phẳng: Gọi

là góc giữa hai mặt phẳng:

(P) có VTPT n A B C( , , ) ; (P’) có VTPT, n A B C'( ', ', ')

( )

n n n n AA BB CC

n n A2 B2 C2 A2 B 2 C 2

. ' ' ' '

cos cos , '

. ' . ' ' '

ϕ= = = + +

+ + + +

VI.

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

Cho điểm M x y z

(

0; ;0 0

)

và (P): Ax+By Cz+ +D= . Gọi H là hình chiếu vng góc của M trên mp(P) 0
thì đoạn thẳng MH là khoảng cách từ M đến mp(P), kí hiệu: d M, P và được xác định bởi công thức:

(

( )

)

Ax By Cz D
d M P

A B C

0 0 0

2 2 2

( ,( ))= + + +

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

3

B. CÁC VÍ DỤ:

Dạng 1: Nhận biết cơ bản về các yếu tố liên quan mặt phẳng

VD 1.1: Cho mặt phẳng

( )

P : 2x− + − =y z 3 0. Điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng

( )

P
A. M

(

2;1; 0

)

. B. N

(

2; 1; 0−

)

. C. P

(

− −1; 1;6

)

. D. Q

(

− −1; 1; 2

)

Hướng dẫn giải. 
Chọn A.

Thay tọa độ điểm vào vế trái mặt phẳng

( )

P điểm nào thay vào bằng 0 ta chọn. Ta thấy điểm M thỏa 
mãn.

VD 1.2: Phương trình nào sau đây khơng phải là phương trình mặt phẳng? 
A. x− =3 0. B. 4x+3y− − = . z 7 0

C. 2

1 3 2

x− y z

= =

− . D. 1 2 3 1

x y z
+ + = .

Hướng dẫn giải. 
Chọn C.

VD 1.3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

( )

P : 2x− + − =y z 1 0. Vectơ nào dưới
đây là vectơ pháp tuyến của

( )

P ?

A. n=

(

2; 1; 1 .− −

)

B. n= −

(

2; 1; −1 .

)

C. n=

(

2; 1; 1 .−

)

D. n= −

(

1; 1; 1 .−

)

Hướng dẫn giải

Chọn B.

( )

P : 2x− + − =y z 1 0. Vec tơ pháp tuyến của

( )

P là n=

(

2; 1;1−

)

VD 1.4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng

( )

P : 3− x+2z− =1 0. Véc tơ pháp tuyến
n của mặt phẳng

( )

P là

A. n= −

(

3; 2; 1 .−

)

B. n=

(

3; 2; 1 .−

)

C. n= −

(

3; 0; 2 .

)

D. n=

(

3; 0; 2 .

)

Hướng dẫn giải

Chọn C.

( )

P : 3− x+2z− =1 0

. Vec tơ pháp tuyến của

( )

P

là

n= −

(

3; 0; 2 .

)

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng

( )

α

bằng cách tìm một điểm M x y z

(

0; 0; 0

)

thuộc và

( )

α

và
vectơ pháp tuyến n=

(

A B C; ;

)

: A x

(

−x0

)

+B y

(

−y0

)

+C z

(

−z0

)

= 0

VD 7.1: Viết phương trình mặt phẳng

( )

P đi qua M

(

1; 2; 0

)

và có vectơ pháp tuyến là n=

(

0; 1; 2−

)

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng

( )

P :0

(

x−1

)

−1

(

y−2

)

(

z−0

)

= ⇔ − +0 y 2z+ =2 0.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

4

Hướng dẫn giải

Vectơ j=

(

0;1; 0

)

Khi đó phương trình mặt phẳng

( )

P là:0

(

x−0

)

+1.

(

y−0

)

(

x−0

)

= ⇔0 y=0.
Nhận xét: mặt phẳng

( )

P trùng với mặt phẳng

(

Oxz

)

có phương trình là y= . 0

VD 7.3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A

(

1; 2; 1− −

)

, B

(

1; 0; 2

)

và C

(

0; 2;1

)

. Viết
phương trình mặt phẳng

( )

α

qua A và vng góc với đường thẳng BC.

Hướng dẫn giải

Ta có BC= −

(

1; 2; 1− là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, đồng thời mặt phẳng đi qua

)

A

(

1; 2; 1− −

)

nên
mặt phẳng cần tìm là:

( ) (

α

:− x−1

)

(

y+2

) (

− z+1

)

=0 ⇔ x−2y+ − =z 4 0.

VD 7.4: Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vng và SA vng góc với đáy. Cho biết B

(

2;3;7 ,

)

(

4;1;3

)

D . Mặt phẳng

(

SAC

)

có phương trình là
A. x+ −y 2z+ =9 0. B. x− −y 2z− =9 0.
C. x− −y 2z+ =9 0. D. x− +y 2z+ =9 0.

Hướng dẫn giải 
Chọn C.

Dễ dàng chứng minh được

(

SAC

)

là mặt phẳng trung trực của BD . 
Chọn véctơ pháp tuyến của mặt phẳng

(

SAC

)

là BD=

(

2; 2; 4− −

)

Mặt phẳng

(

SAC

)

đi qua điểm trung điểm I

(

3; 2;5

)

của BD và có vtpt BD nên có phương trình :

2 9 0

x− −y z+ =

VD 7.5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng

( )

α

chắn các trục Ox Oy Oz lần lượt tại , ,
, ,

A B C sao cho H

(

3; −4; 2

)

là trực tâm của tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng

( )

α

là

A. 2x−3y+4z−26= . B. 0 x−3y+2z−17= . 0 C. 4x+2y−3z+ = . D. 32 0 x−4y+2z−29= . 0
Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi CK AM là hai đường cao của tam giác , ABC.

Suy ra H = AM∩CK.

Ta có:

(

)

(

)

(

)

AB OKC AB OH

OH ABC

BC AOM BC OH

⊥ ⇒ ⊥ 

⇒ ⊥



⊥ ⇒ ⊥ 

Mặt phẳng

(

ABC đi qua điểm H và nhận

)

OH

(

3;−4; 2

)

làm một VTPT
Nên mặt phẳng

(

ABC có phương trình: 3

)

x−4y+2z−29= . 0

H
C

O B

A

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

5

VD 7.6: Phương trình tổng quát của mặt phẳng

( )

α

qua điểm B

(

3; 4; 5−

)

và song song với giá của mỗi
vectơ a=

(

3;1; 1 ,−

)

b=

(

1; 2;1−

)

là:

A. x−4y−7z−16=0. B. x−4y+7z+16=0. C. x+4y+7z+16=0. D. x+4y−7z−16=0.
Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có: a b,  = − − −

(

1; 4; 7

)

Chọn Vectơ pháp tuyến của

( )

α

là: n=

(

1; 4; 7

)

(

3; 4; 5

) ( )

B − ∈

α

Vậy

( )

α

:x+4y+7z+16=0.

VD 7.7: Cho A

(

−1; 3; 1

)

, B

(

1; 1; 2−

)

, C

(

2; 1; 3

)

, D

(

0; 1; 1−

)

. Phương trình mặt phẳng chứa AB và 
song song với CD là

A. x+2z− =4 0. B. 2x−4z+ + =z 2 0.
C. 8x+3y−4z+ = . 3 0 D. 8x+3y−4z− = . 3 0

Hướng dẫn giải 
Chọn C.

Ta có : AB=

(

2; 4;1−

)

và CD= −

(

2; 0; 4−

)

(

)

, 16; 6; 8
AB CD

  = −

 

chọn vtpt

( )

α

:n=

(

8; 3; 4−

)

Phương trình mặt phẳng

( )

α chứa

AB

và song song với

CD

:

(

)

(

)

1; 3; 1
8; 3; 4
A

VTPT
đi q

n
ua −




= −


Vậy

( )

α : 8x+3y−4z+ =3 0

VD 7.8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A

(

2; 1; 0 ,−

) (

B 3; 1;3−

)

và C

(

1;1;1

)

. Viết
phương trình mặt phẳng

(

ABC

)

Hướng dẫn giải

(

1; 0;3 ,

)

(

1; 2;1

)

AB= AC = −

Chọn vtpt của

(

ABC

)

: n=AB AC, = − −

(

6; 4; 2

)

Mặt phẳng

(

ABC

)

đi qua điểm C

(

1; 1; 1

)

Phương trình mặt phẳng

(

ABC

)

:−6

(

x−1

)

−4

(

y−1

)

(

z−1

)

= ⇔ −0 6x−4y+2z+ =8 0

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

6

Hướng dẫn giải 
Ta có AB= −

(

1;1; 4−

)

. Trục Oy có véctơ chỉ phương j=

(

0;1; 0

)

.
Suy ra mặt phẳng cần lập có véctơ pháp tuyến n=AB j, =

(

4; 0; 1−

)

Vậy mặt phẳng cần lập có phương trình 4

(

x−1

) (

− z−5

)

= ⇔0 4x− + =z 1 0.

VD 7.10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng

( )

P qua điểm A

(

1; 3; 2−

)

và vng góc với
hai mặt phẳng

( )

α

:x+ =3 0,

( )

β

:z− =2 0

có phương trình là

A.y+ = . B.3 0 y− = . C. 22 0 y− = . 3 0 D.2x− =3 0.

Hướng dẫn giải 
Chọn A.

( )

P có véctơ pháp tuyến là nP =n nα, β=

(

0; 1; 0−

)

và qua A

(

1; 3 2−

)

Vậy ( )P :y+ = 3 0

VD 7.11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm (2 ; 4 ;1)A , ( 1;1;3)B − và mặt phẳng

( )

P :x−3y+2z− = . Viết phương trình mặt phẳng 5 0

( )

Q đi qua hai điểm A, B và vng góc với mặt 
phẳng

( )

P .

A.

( )

Q : 2y+3z− =1 0. B.

( )

Q : 2y+3z−12=0. 
C.

( )

Q : 2x+3z−11 0= . D.

( )

Q : 2y+3z−11 0= .

Hướng dẫn giải 
Chọn D.

Ta có: AB= − −

(

3; 3; 2

)

, nP=

(

1; 3; 2−

)

. AB n, P =

(

0;8;12

)

Chọn vtpt của

( )

Q : nQ =

(

0; 2;3

)

Phương trình mặt phẳng

( ) (

Q : 2 y−4

)

(

z−1

)

= ⇔0 2y+3z−11 0= .

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng

( )

α

bằng cách sử dụng phương trình đoạn chắn:

Pt mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c):

x y z
a+ b+ c=1

VD 4.1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 3 điểm

A

(

1;0;0

)

; B

(

0; 2;0−

)

;C

(

0;0;3

)

. Phương

trình nào dưới dây là phương trình mặt phẳng

(

ABC

)

A. 1

3 2 1

x y z

+ + =

− . B. 2 1 3 1

x y z

+ + =

− . C.1 2 3 1

x y z

+ + =

− . D.3 1 2 1

x y z

+ + =

− .

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

7

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua 3 điểm A , B ,C là: 1

1 2 3

x y z

+ + =

−

VD 4.2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho G

(

1; 2;3

)

. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua
điểm G và cắt các trục tọa độ tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.

A.

( )

: 1

3 6 9

x y z

P + + = . B.

( )

: 3

2 3
y z
P x+ + = .
C.

( )

P :x+ + − =y z 6 0. D.

( )

P :x+2y+3z 14− =0.

Hướng dẫn giải 
Chọn A

- Phương pháp: Với A x

(

A;y zA; A

) (

;B xB;y zB; B

) (

;C xC;yC;zC

)

, nếu G x

(

G;yG; zG

)

là trọng tâm tam giác
ABC thì khi đó ta có

; y ; z

3 3 3

A B C A B C A B C

G G G

x x x y y y z z z

x = + + = + + = + +

Mặt phẳng

( )

α

cắt các trục Ox Oy Oz lần lượt tại các điểm có tọa độ , ,

(

a;0;0 , 0; ;0 , 0;0;

) (

b

) (

c

)

thì
phương trình mặt phẳng

( )

α

là x y z 1

a+b+c =

- Cách giải: Mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại 3 điểm A, B, C nên ta có tọa độ

(

; 0; 0 ,

) (

0; ; 0 ,

) (

0; 0;

)

A a B b C c

Vì theo giả thiết G là trọng tâm tam giác ABC, G

(

1; 2;3

)

nên ta có a=3;b=6;c= 9
Suy ra phương trình mặt phẳng (P) là 1

3 6 9

x y z
+ + = .

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng

( )

α

đi qua điểm M0

(

x y z0; 0; 0

)

và song song với một mặt phẳng

( )

β

:Ax+By Cz+ +D=0 cho trước

VD 4.1: Trong không gian với hệ trục Oxyz , viết mặt phẳng

( )

Q đi qua điểm A

(

1;3; 2−

)

và song song
với mặt phẳng

( )

P : 2x− +y 3z+ =4 0

Hướng dẫn giải 
Cách 1:

Vtpt của

( )

P là n( )P =

(

2; 1;3−

)

Vì

( ) ( )

Q // P nên CHỌN vtpt của

( )

Q là n( )Q =n( )P =

(

2; 1;3−

)

Phương trình mặt phẳng

( )

Q : 2

(

x−1

) (

− y−3

)

(

z+2

)

= ⇔0 2x− +y 3z+ =7 0 (NHẬN)
Cách 2:

Mặt phẳng

( )

Q song song với mặt phẳng

( )

P : 2x− +y 3z+ =4 0 có dạng:

( )

Q : 2x− +y 3z+D=0,

(

D≠4

)

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

8

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt phẳng.

PP: Cho hai mặt phẳng (P): Ax By Cz D 0+ + + = ; (P’): A x' +B y C z' + ' +D' 0= .
Phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến của (P) và (P’) có dạng:

(

)

(

' ' ' '

)

m Ax+By+Cz+D +n A x+B y+C z+D =

với

m2+n2 ≠ 0

VD 6.1: Cho điểm M(2;1; 1)− và hai mặt phẳng

( )

P :x− + − = , (Q) : 3y z 4 0 x− + − = Viết y z 1 0
phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm M và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q)

A. 15x−7y+7z−16=0 . B. 15x+7y−7z−14=0 .
C. 9x−6y+ + = . z 8 0 D. 9x+6y− −z 25= . 0

Hướng dẫn giải 
Chọn A.

Phương trình ( )α chứa giao tuyến của (P), (Q) có dạng:

(

)

(

3 1

)

m x− + −y z +n x− + −y z = với m2+n2≠ 0

( )α qua M(2;1; 1)− nên: m

(

2 1 ( 1) 4− + − −

)

+n

(

3.2 1 ( 1) 1− + − −

)

= ⇔ −0 4m+3n=0

Chọn

m= ⇒ =3 n 4

.

Vậy

( ) : 3

α

(

x− + −y z 4

)

+4 3

(

x− + −y z 1

)

= ⇒0 15x−7y+7z−16=0

Dạng 6: Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng

( ) ( )

α

β

VD 6.1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng

( )

P :3x+ + − =y z 4 0

,

( )

Q :3x+ + + =y z 5 0

và

( )

R :2x−3y+3z+ =1 0. Xét hai mệnh đề
(1):

( ) ( )

P / / Q (2):

( ) ( )

P ; R cắt nhau.

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. (1) đúng, (2) sai. B. (1) sai, (2) đúng. 
C. (1) đúng, (2) đúng. D. (1) đúng, (2) sai.

Hướng dẫn giải. 
Chọn C.

Do A B C D

A' = B' =C' ≠ D' nên

( ) ( )

P / / Q vậy (1) đúng.

Do n n không cùng phương nên (2) đúng. Vậy (1) và (2) đúng. P, R

VD 6.2: Cho mặt phẳng

( )

P đi qua các điểm A

(

−2;0;0 ,

)

B

(

0;3;0 ,

)

C

(

0;0; 3 .−

)

Mặt phẳng

( )

P
vng góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau:

A. x+ + + = . y z 1 0 B. 2x+2y− − = . z 1 0 C. x−2y− − = . z 3 0 D. 2x+3y+ − = . z 1 0
Hướng dẫn giải

Chọn B.

Từ pt đoạn chắn có vtpt của

( )

P là 1 1; ; 1
2 3 3

 

− −

 

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

9

Ta thấy hai mặt phẳng vng góc với nhau thì hai vtpt của mặt phẳng đó vng góc với nhau, mà ở đây
chỉ có mặt phẳng ở phương án B thỏa mãn điều kiện đó.

Dạng 7: Khoảng cách - Góc

Phương pháp: Ta dùng cơng thức:

Khoảng cách từ điểm

K x

(

K;yK;zK

)

đến mặt phẳng

( )

α cho trước

( )

(

;

)

AxK By2 K 2CzK2 D

d K

A B C

α = + + +

+ +

Gọi ϕ

là góc giữa hai mặt phẳng: (P) có VTPT

n A B C( , , )

; (P’) có VTPT,

n A B C'( ', ', ')

(

)

. ' 2 2 ' 2 ' 2 ' 2 2

cos cos , '

. ' . ' ' '

n n AA BB CC

n n

n n A B C A B C

ϕ= = = + +

+ + + +

VD 7.1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

( )

P : 2x+3y+4z− =5 0 và điểm

(

1; 3;1 .

)

A − Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng

( )

P .

A. 3 .
29

d = B. 8 .

d = C. 8.

d = D. 8 .

29
d =
Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có

( )

2 2 2

2.1 3. 3 4.1 5 8
.
29

2 3 4

d= + − + − =

+ +

VD 7.2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , hai mặt phẳng 4x−4y+2z− =7 0 và
2x−2y+ + = chứa hai mặt của hình lập phương. Thể tích khối lập phương đó là z 1 0

A. 27
8

V = . B. 81 3

V = . C. 9 3

V = . D. 64

27
V = .
Hướng dẫn giải

Chọn A.

Theo bài ra hai mặt phẳng 4x−4y+2z− = và 27 0 x−2y+ + = chứa hai mặt của hình lập phương. z 1 0
Mà hai mặt phẳng ( ) : 4P x−4y+2z− = và ( ) : 27 0 Q x−2y+ + = song song với nhau nên khoảng z 1 0
cách giữa hai mặt phẳng sẽ bằng cạnh của hình lập phương.

Ta có M(0; 0; 1)− ∈( )Q nên

2 2 2

2 7 3

(( ), ( )) ( , ( ))

4 ( 4) 2

d Q P =d M P = − − =

+ − + .

Vậy thể tích khối lập phương là:

3 27

2 8

V =   =

  .

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

10

A. x−2y− = hoặc 21 0 x− − = . y 4 0 B. x+2y− = hoặc 7 0 x+2y+ = . 3 0
C. y−2z+10= hoặc 0 y−2z= . 0 D. 2x+ − = hoặc 2y 2 0 x+ −y 12= . 0

Hướng dẫn giải. 
Chọn B.

Chọn vtpt của mặt phẳng ( )P là nP=

(

2; 1;0−

)

,
vtpt của mặt phẳng (Oxy là ) k =

(

0; 0;1

)

vtpt của mặt phẳng ( )Q là nQ =n kP, = − −( 1; 2; 0).

Phương trình mặt phẳng

( )

Q :x+2y+D= . 0
Theo bài ra ta có:

(

; ( )

)

5 4 2 5 2 5 3

2 5 7

D D

D
d I Q

D D

+ = =

 

− +

= ⇔ = ⇔ ⇔

+ = − = −

  .

VD 7.4: Tính góc giữa hai mặt phẳng (P): x–3y+z+3=0; (P’): x+3y–z–2=0.

A. ϕ ≈149o. B. ϕ ≈31o. C. ϕ ≈35o. D. ϕ ≈145o.

Hướng dẫn giải.

Chọn C.

2 2 2 2 2 2

. ' ' ' ' 9 9

cos

11
11. 11

. ' . ' ' '

n n AA BB CC

n n A B C A B C

ϕ= = + + = − =

+ + + +

Vậy ϕ ≈35o

Dạng 8: Mặt phẳng và mặt cầu

VD 8.1: Cho mặt cầu

( )

S :x2+y2+z2−4x+2y+2z−10=0, mặt phẳng

( )

P :x+2y−2z+10=0.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

( )

P và

( )

S khơng có điểm chung.

B.

( )

P cắt

( )

S theo giao tuyến là đường tròn lớn.
C.

( )

P tiếp xúc với

( )

S . (

( )

P là tiếp diện của

( )

S )

D.

( )

P cắt

( )

S theo giao tuyến là đường tròn khác đường tròn lớn.
Hướng dẫn giải 
Chọn C.

Ta có: Mặt cầu

( )

S có tâm I

(

2; 1; 1− −

)

và bán kính R= . 4

( )

(

)

( )

2 2. 1 2. 1 10 12

, 4

1 2 2

d I P = + − − − + = = =R

+ + −

Suy ra

( )

P là tiếp diện của

( )

S .

VD 8.2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình tiếp diện

( )

P

của mặt cầu

( )

S

tâm

(

2; 2; 6

)

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

11

A. 2x− − =z 3 0. B. 2x+ + − = . y z 3 0 C. 4x− −y 5z+13= . D. 90 x− + −y z 16= . 0
Hướng dẫn giải

Chọn A.

Tiếp diện

( )

P

(

)

(

)

4; 2;5
:

VTPT
Đi qua

2; 0; 1
có

A

IA




= −



Phương trình

( )

P : 2

(

x−4

)

(

y−2

) (

− z−5

)

=0⇔2x− − = . z 3 0

VD 8.3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt cầu

( )

S :x2+y2+z2−2x+4y− =4 0 cắt mặt
phẳng

( )

P :x+ − + =y z 4 0 theo giao tuyến là đường tròn

( )

C . Tính diện tích S của hình giới hạn bởi

( )

C .

A. 2 78
3

S= π . B. S =2π 6. C. S=6

π

. D. 26
3
S = π .
Hướng dẫn giải

Chọn C.

Mặt cầu

( )

S có tâm I

(

1; 2; 0−

)

và bán kính R=IA=3.Gọi H 
là hình chiếu vng góc của I lên mặt phẳng

( )

P , khi đó H là 
tâm đường tròn

( )

C .

Ta có IH =dI;

( )

P = 3.

Do ∆IHAvuông tại H nên HA= IA2−IH2 = 6. Nhận xét
HAlà bán kính đường tròn

( )

C .

Vậy 2

. 6

S =π HA = π (đ.v.d.t).

BÀI TẬP: BT TL và TN trong ĐỀ CƯƠNG Trang 58-62

A
H

</div>

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1

( )

α

( )

α

(

)

<i>1. Phương trình tổng quát của mặt phẳng:</i>

Cho (P) qua

(

)

và có VTPT

(

)

<i>. Khi đó: </i>

(

)

(

)

(

)

(

)

Khi khai triển, phương trình tổng qt của mặt phẳng có dạng:

<i>2. Phương trình theo đoạn chắn:</i>

Mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại: A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) khơng trùng với gốc tọa độ O

thì phương trình mặt phẳng (P) có dạng:

Độ dài các đoạn chắn trên 3 trục tọa độ:

<b>Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:</b>

<b>Các trường hợp đặc biệt: </b>

2

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

<b>Góc giữa hai mặt phẳng: Gọi </b>

là góc giữa hai mặt phẳng:

( )

<b>VI.</b>

<b><sub> Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: </sub></b>

(

)

(

<sub>( )</sub>

)

3

( )

( )

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

(

)

(

)

(

)

( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

( )