CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM TOÁN LỚP 10 - 3 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHÂN DẠNG CHI TIẾT - CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI
TOÁN 10

VÉCTƠ

Câu 6.

Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB = CD
A. ABCD là hình bình hành
B. ACBD là hình bình hành
C. AD và BC có cùng trung điểm
D. AB = CD và AB / / CD

Câu 7.

Cho hình vng ABCD, câu nào sau đây là đúng?

0H1-1

MỤC LỤC
PHẦN A. CÂU HỎI .....................................................................................................................................................1
Dạng 1. Các bài toán về khái niệm véctơ .....................................................................................................................1

A. AB = BC

B. AB = CD

C. AC = BD

D. AD = CB

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức véctơ ..........................................................................................................................3
Dạng 3. Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước .................................................................................................6
Dạng 4. Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện cho trước ............................................................................................8
Dạng 5. Phân tích vectơ qua hai vectơ khơng cùng phương.......................................................................................10
Dạng 6. Xác định và tính độ lớn véctơ .......................................................................................................................14
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO ..........................................................................................................................17
Dạng 1. Các bài toán về khái niệm véctơ ...................................................................................................................17
Dạng 2. Chứng minh đẳng thức véctơ ........................................................................................................................22
Dạng 3. Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước ...............................................................................................26
Dạng 4. Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện ..........................................................................................................29
Dạng 5. Phân tích vectơ qua hai vectơ khơng cùng phương.......................................................................................32
Dạng 6. Xác định và tính độ lớn véctơ .......................................................................................................................40

Câu 8.

Cho vectơ AB và một điểm C. Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn AB = CD .
A. 1
B. 2
C. 0
D. Vơ số

Câu 9.

Cho hình bình hành ABCD với O là giao điểm của hai đường chéo. Câu nào sau đây là sai?
A. AB = CD
B. AD = BC
C. AO = OC
D. OD = BO

Câu 10. Cho tứ giác đều ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Mệnh đề

nào sau đây là sai?
A. MN = QP

B. QP = MN

C. MQ = NP

D. MN = AC

Câu 11. Cho ba điểm A, B, C phân biệt và thẳng hàng. Mệnh đề nào sau đây đúng?
B. CA và CB cùng hướng
A. AB = BC
C. AB và AC ngược hướng
D. BA và BC cùng phương
Câu 12. Cho tứ giác ABCD. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu và cuối là các đỉnh của
tứ giác?
A. 4
B. 8
C. 10
D. 12
Câu 13. Cho 5 điểm A, B, C, D, E có bao nhiêu vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu là A và điểm cuối
là một trong các điểm đã cho:
A. 4
B. 20
C. 10
D. 12

PHẦN A. CÂU HỎI

Câu 14. Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi:

A. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau
B. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành
C. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều
D. Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau

Dạng 1. Các bài toán về khái niệm véctơ
Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Nếu AB = AC thì:
A. tam giác ABC là tam giác cân
C. A là trung điểm đoạn BC

B. tam giác ABC là tam giác đều
D. điểm B trùng với điểm C

Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng, trong đó N nằm giữa hai điểm M và P. Khi đó cặp vectơ nào
sau đây cùng hướng?
A. MN và MP
B. MN và PN
C. MP và PN
D. NP và NM
Cho tam giác ABC, có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu và

điểm cuối là các đỉnh A, B, C?
A. 4
B. 6
C. 9
D. 12
Cho hai vectơ không cùng phương a và b . Mệnh đề nào sau đây đúng
A. Khơng có vectơ nào cùng phương với cả hai vectơ a và b
B. Có vơ số vectơ cùng phương với cả hai vectơ a và b
C. Có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ a và b , đó là vectơ 0
D. Cả A, B, C đều sai
Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O. Số các vectơ khác vectơ không, cùng phương với vectơ
OB có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
1

Câu 15. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy tìm các vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu, điểm cuối
là đỉnh của lục giác và tâm O sao cho bằng với AB ?
A. FO, OC , FD
B. FO, AC , ED
C. BO, OC , ED
D. FO, OC , ED
Câu 16. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Xác định các vectơ
cùng phương với MN .
A. AC , CA, AP, PA, PC , CP
B. NM , BC, CB, PA, AP
C. NM , AC , CA, AP, PA, PC , CP


D. NM , BC , CA, AM , MA, PN , CP

Câu 17. Cho ba điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng. Các vectơ AB, BC cùng hướng khi và
chỉ khi:
A. Điểm B thuộc đoạn AC
B. Điểm A thuộc đoạn BC
D. Điểm A nằm ngoài đoạn BC
C. Điểm C thuộc đoạn AB
Câu 18. Cho tam giác đều cạnh 2a. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. AB = AC
B. AB = 2a
C. AB = 2a

D. AB = AB

Câu 19. Cho tam giác không cân ABC. Gọi H, O lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam
giác. M là trung điểm của BC. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
2


CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM TOÁN LỚP 10 - 3 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHÂN DẠNG CHI TIẾT - CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI
A. AB = OA − AB

A. Tam giác ABC nhọn thì AH , OM cùng hướng.
C. AH , OM cùng phương nhưng ngược hướng.
D. AH , OM có cùng giá
Câu 20. Cho hình thoi tâm O, cạnh bằng a và A = 60° . Kết luận nào sau đây là đúng?
a 3
a 2
A. AO =

B. OA = a
C. OA = OB
D. OA =
2
2
Câu 21. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, BC và AC. Biết MP = PN .
Chọn câu đúng.
A. AC = BD
B. AC = BC
C. AD = BC
D. AD = BD
Câu 22. Cho tam giác ABC với trực tâm H. D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. HA = CD và AD = CH
B. HA = CD và DA = HC
C. HA = CD và AD = HC
D. AD = HC và OB = OD
Câu 23. Cho ∆ABC với điểm M nằm trong tam giác. Gọi A ', B ', C ' lần lượt là trung điểm của BC, CA,
AB và N, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng với M qua A ', B ', C ' . Câu nào sau đây đúng?
A. AM = PC và QB = NC

B. AC = QN và AM = PC

C. AB = CN và AP = QN

D. AB ' = BN và MN = BC

Câu 24. Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi D là điểm đối xứng
với B qua O. Câu nào sau đây đúng?
A. AH = DC

B. AB = DC
C. AD = BC
D. AO = AH
Câu 25. Cho đường trịn tâm O. Từ điểm A nằm ngồi ( O ) , kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới ( O ) . Xét
mệnh đề:

(I) AB = AC
Mệnh đề đúng là:
A. Chỉ (I)

(II) OB = −OC

(III) BO = CO

B. (I) và (III)

B. CO − OB = BA

D. AO + OD = CB

C. (I), (II), (III)

D. Chỉ (III)

Câu 27. Cho hình vng ABCD tâm O cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, N là điểm đối xứng với C
qua D. Hãy tính độ dài của vectơ MN .
a 15
a 13
a 5
a 5

A. MN =
B. MN =
C. MN =
D. MN =
2
3
2
4
Câu 28. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi O
là giao điểm của các đường chéo của tứ giác MNPQ, trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD
tương ứng là I, J. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. OI = OJ
B. MP = NQ
C. MN = PQ
D. OI = −OJ

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức véctơ

Câu 31. Cho ∆ABC, D, E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Đẳng thức nào sau đây là
đúng?
A. AD + BE + CF = AB + AC + BC
B. AD + BE + CF = AF + CE + BD
C. AD + BE + CF = AE + BF + CD
D. AD + BE + CF = BA + BC + AC
Câu 32. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F bất kì trên mặt phẳng. Tìm đẳng thức sai trong các đẳng thức sau:
A. AB + CD = AD + CB
B. AB + CD + EA = ED + CB
C. AB + CD + EF + CA = CB + ED + CF
D. BA + CB + DC + BD = 0
Câu 33. Cho ∆ ABC , các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. Với O là điểm

bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng?

(

A. OA + OB + OC = 2 OM + ON + OP

(

)

B. OA + OB + OC = OM + ON + OP

)

(

C. 2 OA + OB + OC = OM + ON + OP

)

Câu 34. Cho 4 điểm A, B, C, D. Câu nào sau đây đúng?
A. AB + CD = AD + CB
B. AB + BC + CD = DA
C. AB + BC = CD + DA
D. AB + AD = CB + CD
Câu 35. Cho hai tam giác ∆ABC và ∆A ' B ' C ' có trọng tâm lần lượt là G và G ' . Đẳng thức nào sau đây
đúng?
A. A ' A + B ' B + C ' C = 3GG '
B. AB ' + BC ' + CA ' = 3GG '
C. AC ' + BA ' + CB ' = 3GG '

D. AA ' + BB ' + CC ' = 3GG '
Câu 36. Cho 5 điểm A, B C, D, E. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

(
)
3
C. AB + CD + EA = ( CB + ED )
2

B. AB + CD + EA =

1
CB + ED
2

(

)

D. AB + CD + EA = CB + ED

Câu 37. Cho ∆ ABC và một điểm M tùy ý. Chọn hệ thức đúng?
A. 2 MA + MB − 3MC = AC + 2 BC
B. 2 MA + MB − 3MC = 2 AC + BC
C. 2 MA + MB − 3MC = 2CA + CB
D. 2 MA + MB − 3MC = 2CB − CA
Câu 38. Cho hình chữ nhật ABCD, I, K lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chọn đẳng thức đúng.
3
A. AI + AK = 2 AC
B. AI + AK = AB + AD C. AI + AK = IK

D. AI + AK = AC
2
Câu 39. Cho ∆ABC có trọng tâm G. Gọi A1 , B1 , C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chọn đẳng
thức sai.
A. GA1 + GB1 + GC1 = 0 B. AG + BG + CG = 0 C. AA1 + BB1 + CC1 = 0 D. GC = 2GC1
Câu 40. Cho 4 điểm M, N, P, Q bất kì. Đẳng thức nào sau đây ln đúng.
A. PQ + NP = MQ + MN
B. NP + MN = QP + MQ
C. MN + PQ = NP + MQ

Câu 29. Cho hình bình hành tâm O. Kết quả nào sau đây là đúng?

) (

D. 2 OA + OB + OC = 3 OM + ON + OP

A. AB + CD + EA = 2 CB + ED

Câu 26. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, BC, AD. Lấy 8
điểm trên là gốc hoặc ngọn của các vectơ. Tìm mệnh đề sai?
A. Có 2 vectơ bằng PR B. Có 4 vectơ bằng AR C. Có 2 vectơ bằng BO D. Có 5 vectơ bằng
OP

3

C. AB − AD = AC

Câu 30. Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Tìm đẳng
thức sai:
A. AM + AN = AC

B. AM + AN = AB + AD
C. AM + AN = MC + NC
D. AM + AN = DB

B. AH , OM luôn cùng hướng.

D. NM + QP = NP + MQ

Câu 41. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F phân biệt. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?
A. AB + DF + BD + FA = 0
B. BE − CE + CF − BF = 0
4


CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM TOÁN LỚP 10 - 3 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHÂN DẠNG CHI TIẾT - CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI
C. AD + BE + CF = AE + BF + CD

D. FD + BE + AC = BD + AE + CF

Câu 42. Cho ∆ABC với H, O, G lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm. Hệ thức nào
sau đây là đúng?
3
1
A. OH = OG
B. HO = 3OG
C. OG = GH
D. 2GO = −3OH
2
2
Câu 43. Cho 4 điểm A, B, C,D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đẳng thức nào sau đây là

sai?
A. AB + CD = 2 IJ
B. AC + BD = 2 IJ
C. AD + BC = 2 IJ
D. 2 IJ + DB + CA = 0
Câu 44. Cho ∆ ABC , M là một điểm trên cạnh BC. Khi đó đẳng thức nào sau đây là đúng?
MC
MB
MA
MB
A. AM =
B. BM =
. AB +
. AC
. AC +
.BC
BC
BC
AB
AB
MB
MA
MC
MB
C. 3CM =
D. 2 AM =
. AB +
. AC
. AB +
. AC

AC
AB
BC
BC
Câu 45. Cho ∆ABC , AM, BN, CP là các trung tuyến. D, E, F là trung điểm của AM, BN và CP. Với O
là điểm bất kì. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. OA + OB + OC = OD + OE + OF
B. 2 OA + OB + OC = 3 OD + OE + OF

(

(

C. OA + OB + OC = 2 OD + OE + OF

) (
)
D. OA + OB + OC = 3 ( OD + OE + OF )

)

Câu 46. Cho tam giác ABC đều tâm O, M là điểm bất kì trong tam giác. Hình chiếu của M xuống ba
cạnh lần lượt là D, E, F. Hệ thức nào sau đây là đúng?
1
2
A. MD + ME + MF = MO
B. MD + ME + MF = MO
2
3
3

3
C. MD + ME + MF = MO
D. MD + ME + MF = MO
4
2
Câu 47. Cho tứ giác ABCD. I, J lần lượt là trung điểm của AB và DC. G là trung điểm của IJ. Xét các
mệnh đề:
(I) AB + AC + AD = 4 AG (II) IA + IC = 2 IG
(III) JB + ID = JI
Mệnh đề sai là:
A. (I) và (II)
B. (II) và (III)
C. Chỉ (I)
D. Tất cả đều sai
Câu 48. Cho tứ giác ABCD, các điểm M, N lần lượt thuộc các đoạn AD và BC sao cho

MA NB m
=
= .
MD NC n

Đẳng thức nào sau đây là đúng?
nAB + mDC
n AC + mAB
nBC + mCD
A. MN =
B. AM =
C. BN =
D.
m+n

m+n
m+n
nCD + mAD
DM =
m+n
Câu 49. Cho ∆ABC và một điểm M bất kì trong tam giác. Đặt S MBC = Sa , S MCA = Sb , S MAB = Sc . Đẳng
thức nào sau đây đúng?
A. S a .MA + Sb .MB + Sc .MC = 0
B. S a . AB + Sb .BC + S c .CA = 0
C. S a .MC + Sb .MB + Sc .MA = 0

C. a. AM + b.BN + c.CP = 0

D. a. AB + b.BC + c.CA = 0

Dạng 3. Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước
Câu 51. Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho IA + 2 IB = 0 .
1
A. Điểm I ngoài đoạn AB sao cho IB = AB
3
1
B. Điểm I thuộc đoạn AB sao cho IB = AB
3
C. Điểm I là trung điểm đoạn AB
1
D. Điểm I nằm khác phía với B đối với A và IB = AB .
3

3
Câu 52. Cho đoạn thẳng AB. Hình nào sau đây biểu diễn điểm I sao cho AI = − BA .

5
A.

B.

C.

D.

Câu 53. Cho hai điểm A, B phần biệt. Xác định điểm M sao cho MA + MB = 0
A. M ở vị trí bất kì
B. M là trung điểm của AB
C. Khơng tìm được M
D. M nằm trên đường trung trực của AB
Câu 54. Trên đường thẳng MN lấy điểm P sao cho MN = −3MP . Hình vẽ nào sau đây xác định đúng vị
trí điểm M.
A.

B.

C.

D.

Câu 55. Cho đoạn thẳng AB và điểm M là một điểm trong đoạn AB sao cho AM =
MA = k MB .
1
A. k =
4


B. k = 4

C. k = −

1
4

1
AB . Tìm k để
5

D. k = −4

Câu 56. Cho ∆ABC . Trên đường thẳng BC lấy điểm M sao cho MB = 3MC . Điểm M được vẽ đúng
trong hình nào sau đây?

A.

B.

C.

D.

D. S a . AC + Sb . AB + S c .BC = 0

Câu 50. Cho ∆ABC với BC = a, AC = b, AB = c . I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC , đường tròn nội
tiếp ( I ) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P. Đẳng thức nào sau đây là
đúng?
A. a.IM + b.IN + c.IP = 0

B. a.MA + b.NB + c.PC = 0
5

Câu 57. Cho ∆ ABC có G là trọng tâm. Xác định điểm M sao cho: MA + MB + 2 MC = 0 .
A. Điểm M là trung điểm cạnh AC.
B. Điểm M là trung điểm cạnh GC.
6


CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM TOÁN LỚP 10 - 3 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHÂN DẠNG CHI TIẾT - CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI
C. Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số 4.
D. Điểm M chia đoạn GC thỏa mãn GC = 4GM .
Câu 58. Cho ∆ABC , I là trung điểm của AC. Vị trí điểm N thỏa mãn NA + 2 NB = CB xác định bởi hệ
thức:
1
2
A. BN = BI
B. BN = 2 BI
C. BN = BI
D. BN = 3 BI
3
3

A. Miền (1)

B. Miền (2)

C. Miền (3)

D. Ở ngồi ∆ABC


Câu 59. Cho hình bình hành ABCD. Tìm vị trí điểm N thỏa mãn:
NC + ND − NA = AB + AD − AC .
A. Điểm N là trung điểm cạnh AB
B. Điểm C là trung điểm cạnh BN
C. Điểm C là trung điểm cạnh AM
D. Điểm B là trung điểm cạnh NC

Câu 69. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm M thỏa
mãn đẳng thức AB + AC + AD = 4 AM . Khi đó điểm M trùng với điểm:
A. O
B. I là trung điểm đoạn OA
C. I là trung điểm đoạn OC
D. C

Câu 60. Cho 2 điểm A, B là hai số thực a, b sao cho a + b ≠ 0 . Xét các mệnh đề:
(I) Tồn tại duy nhất một điểm M thỏa mãn aMA + bMB = 0 .
b
(II) MA = −
AB .
a+b
(III) M là điểm nằm trên đường thẳng AB.
Trong các mệnh đề trên thì:
A. (I) và (III) tương đương nhau
B. (II) và (III) tương đương nhau
C. (I) và (II) tương đương nhau
D. (I), (II), (III) tương đương nhau

Câu 70. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Gọi điểm M thỏa mãn đẳng thức MA = α MB + β MC ;
α , β ∈ ℝ . Nếu M là trọng tâm ∆ABC thì α , β thỏa mãn điều kiện nào sau đây?


Câu 61. Cho ∆ ABC với BC = a, AC = b, AB = c . Nếu điểm I thỏa mãn hệ thức aIA + bIB + cIC = 0 thì:
A. Điểm I là tâm đường trịn ngoại tiếp ∆ABC . B. Điểm I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC .
C. Điểm I là trực tâm của ∆ABC .
D. Điểm I là trọng tâm của ∆ABC .
Câu 62. Cho ∆ ABC . Xác định điểm I sao cho: 2 IA − 3IB = 3BC .
A. Điểm I là trung điểm của cạnh AC
B. Điểm C là trung điểm của cạnh IA
C. Điểm C chia đoạn IA theo tỉ số −2
D. Điểm I chia đoạn AC theo tỉ số 2
Câu 63. Cho ∆ ABC có M là trung điểm AB và N trên cạnh AC sao cho NC = 2 NA . Xác định điểm K
sao cho 3 AB + 2 AC − 12 AK = 0 .
A. Điểm K là trung điểm cạnh AM
B. Điểm K là trung điểm cạnh BN
C. Điểm K là trung điểm cạnh BC
D. Điểm K là trung điểm cạnh MN
Câu 64. Cho hình bình hành ABCD. Tìm vị trí điểm M thỏa mãn: MA − MB − MC = AD .
A. Điểm M là trung điểm cạnh AC
B. Điểm M là trung điểm cạnh BD
C. Điểm C là trung điểm cạnh AM
D. Điểm B là trung điểm cạnh MC
Câu 65. Cho ∆ ABC . Tìm điểm N sao cho: 2 NA + NB + NC = 0 .
A. N là trọng tâm ∆ABC
B. N là trung điểm của BC
C. N là trung điểm của AK với K là trung điểm của BC
D. N là đỉnh thứ tư của hình bình hành nhận AB và AC làm 2 cạnh
Câu 66. Cho ∆ ABC . Xác định điểm M sao cho: MA + 2 MB = CB .
A. M là trung điểm cạnh AB
B. M là trung điểm cạnh BC
C. M chia đoạn AB theo tỉ số 2

D. M là trọng tâm ∆ ABC

A. α 2 − β 2 = 0
đúng

B. α .β = 1

C. α − β = 0

D. Cả A, B, C đều

Câu 71. Cho ∆ ABC . Nếu điểm D thỏa mãn hệ thức MA + 2 MB − 3MC = CD với M tùy ý, thì D là đỉnh
của hình bình hành:
A. ABCD
B. ACBD
C. ABED với E là trung điểm của BC
D. ACED với B là trung điểm của EC
Câu 72. Cho đoạn AB và điểm I sao cho 2 IA + 3 IB = 0 . Tìm số k ∈ ℝ sao cho AI = k AB .
3
3
2
3
A. k =
B. k =
C. k =
D. k =
4
5
5
2


Dạng 4. Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện cho trước
Câu 73. Gọi G là trọng tâm của ∆ ABC . Tập hợp điểm M sao cho MA + MB + MC = 6 là:
A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
C. Đường trịn tâm G bán kính là 2.

B. Đường trịn tâm G bán kính là 1.
D. Đường trịn tâm G bán kính là 6.

Câu 74. Cho ∆ABC có trọng tâm G. I là trung điểm của BC. Tập hợp điểm M sao cho:
2 MA + MB + MC = 3 MB + MC là:
A. đường trung trực của đoạn GI
C. đường thẳng GI

B. đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC
D. đường trung trực của đoạn AI

Câu 75. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức
MA + MB − MC = MD là
A. một đoạn thẳng
B. một đường tròn
C. một điểm
D. tập hợp rỗng
Câu 76. Trên đường tròn C ( O; R ) lấy điểm cố định A; B là điểm di động trên đường trịn đó. Gọi M là
điểm di động sao cho OM = OA + OB . Khi đó tập hợp điểm M là:
A. đường trịn tâm O bán kính 2R.
B. đường trịn tâm A bán kính R
C. đường thẳng song song với OA
D. đường trịn tâm C bán kính R 3


Câu 67. Cho ∆ ABC có trọng tâm G, điểm M thỏa mãn 2 MA + MB + 3MC = 0 . Khi đó điểm M thỏa
mãn hệ thức nào sau đây?
1
1
1
1
A. GM = BC
B. GM = CA
C. GM = AB
D. GM = CB
6
6
6
3

Câu 77. Cho ∆ ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA − MB = MC là:

Câu 68. Gọi G là trọng tâm ∆ABC . Nối điểm M thỏa mãn hệ thức MA + MB + 4 MC = 0 thì M ở vị trí
nào trong hình vẽ:

Câu 78. Cho

7

A. một đường trịn tâm C
C. một đường thẳng song song với AB

B. đường tròn tâm I (I là trung điểm của AB)
D. là đường thẳng trung trực của BC


hình chữ nhật ABCD tâm
MA + MB + MC + MD = k , k > 0 là:
8

O.

Tập

hợp

các

điểm

M

thỏa

mãn


A. đường trịn tâm O bán kính là
C. đường trung trực của AB

k
4

B. đường tròn đi qua A, B, C, D
D. tập rỗng


Câu 79.

Cho ∆ABC trọng tâm G. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm BC, AB,
CA. Quỹ tích các điểm M thỏa mãn MA + MB + MC = MA − MC là:

1
JK
2
1
C. đường tròn tâm G bán kính CA
3
A. đường trịn tâm I bán kính

B. đường trịn tâm G bán kính

1
IJ
3

Câu 86. Cho tứ giác ABCD với K là số tùy ý. Lấy cá điểm M, N sao cho AM = k AB, DN = k DC . Tìm
tập hợp trung điểm I của đoạn MN khi k thay đổi.
A. Tập hợp điểm I là đường thẳng OO ' với O và O ' lần lượt là trung điểm của AC, BD
B. Tập hợp điểm I là đường thẳng OO ' với O và O ' lần lượt là trung điểm của AD, BC
C. Tập hợp điểm I là đường thẳng OO ' với O và O ' lần lượt là trung điểm của AB, DC
D. Cả A, B, C đều sai.
Câu 87. Cho lục giác đều ABCDEF. Tìm tập hợp điểm M sao cho MA + MB + MC + MD + ME + MF

D. trung trực AC

Câu 80. Cho đường tròn ( O ; R ) và hai điểm A, B cố định. Với mỗi điểm M ta xác định điểm M ' sao


nhận giá trị nhỏ nhất.
A. Tập hợp điểm M là một đường thẳng
C. Tập hợp điểm M là một đường tròn

B. Tập hợp điểm M là một đoạn thẳng
D. Là một điểm

cho MM ' = MA + MB , lúc đó:
A. Khi M chạy trên ( O; R ) thì M ' chạy trên đường thẳng AB

Câu 88. Tập hợp điểm M thỏa mãn hệ thức: 2 MA + k MB + (1 − k ) MC = 0, k ∈ ℝ là:
A. đường thẳng
B. đường tròn
C. đoạn thẳng
D. một điểm

B. Khi M chạy trên ( O; R ) thì M ' chạy trên đường thẳng đối xứng với AB qua O

Câu 89. Cho ∆ ABC và điểm M thỏa mãn đẳng thức: 3MA − 2MB + MC = MB − MA .

C. Khi M chạy trên ( O; R ) thì M ' chạy trên một đường trịn cố định

Tập hợp điểm M là
A. một đoạn thẳng

D. Khi M chạy trên ( O; R ) thì M ' chạy trên một đường trịn cố định bán kính R

AB
BC

B. là một đường trịn có bán kính là
2
3
C. là một đường thẳng qua A và song song với BC
D. là một điểm

B. đường thẳng qua B và C
D. một điểm duy nhất

Câu 91. Tìm tập hợp điểm thỏa mãn hệ thức:
2MA − (1 + k ) MB − 3k MC = 0 , k là giá trị thay đổi trên ℝ .
A. Tập hợp điểm M là một đoạn thẳng.
B. Tập hợp điểm M là một đường tròn.
C. Tập hợp điểm M là một đường thẳng.
D. Tập hợp điểm M là một nửa đường tròn.

Câu 83. Tập hợp điểm M mà k MA + k MB = 2 MC , k ≠ 1 là:
A. đường thẳng chứa trung tuyến vẽ từ C
B. đường thẳng chứa trung tuyến vẽ từ B
C. đường thẳng chứa trung tuyến vẽ từ A
D. đường trung trực của AB
Câu 84. Cho ∆ ABC . Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn: 2MA + 3MB + 4MC = MB − MA

B. Quỹ tích điểm M là một đường trịn bán kính
C. Quỹ tích điểm M là một đường trịn bán kính
D. Quỹ tích điểm M là một đường trịn bán kính
Câu 85. Cho

∆ ABC .


Tìm
quỹ
tích
MA + MB = k MA + 2MB − 3MC , k ∈ ℝ .

(

Dạng 5. Phân tích vectơ qua hai vectơ khơng cùng phương

AB
3
AB
4
AB
9
AB
2

điểm

D. một đường thẳng

A. là một đường trịn có bán kính là

Câu 82. Cho ∆ ABC . Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn: 4MA + MB + MC = 2 MA − MB − MC là:

A. Quỹ tích điểm M là một đường trịn bán kính

C. một đường trịn


Câu 90. Tập hợp điểm M thỏa mãn hệ thức: 3MA + 2MB − 2MC = MB − MC

Câu 81. Cho ∆ ABC . Tìm tập hợp điểm M sao cho MA + MB + 2 MC = k BC với k ∈ ℝ
A. là một đoạn thẳng
B. là một đường thẳng C. là một đường tròn D. là một điểm

A. đường thẳng qua A
C. đường tròn

B. nửa đường tròn

Câu 92. Cho AK và BM là hai trung tuyến của ∆ABC . Hãy phân tích vectơ AB theo hai vectơ AK và
BM .
2
1
3
2
A. AB = AK − BM B. AB = AK − BM C. AB = AK − BM D. AB = AK + BM
3
3
2
3

(

)

(

)


(

Câu 93. Cho ∆ABC vuông cân, AB = AC . Khi đó vectơ u =

M

thỏa

mãn

điều

kiện:

)

(

11
5
AB + AC được vẽ đúng ở hình nào
4
2

sau đây?

)

A. Tập hợp điểm M là đường trung trực của EF, với E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC

B. Tập hợp điểm M là đường thẳng qua A và song song với BC
AB
C. Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính
9
3
D. Với H là điểm thỏa mãn AH = AC thì tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua E và song
2
song với HB với E là trung điểm của AB

9

A.

B.

)

C.

10

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM TOÁN LỚP 10 - 3 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHÂN DẠNG CHI TIẾT - CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI

D.


CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM TOÁN LỚP 10 - 3 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHÂN DẠNG CHI TIẾT - CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI
Câu 101. Cho ∆ABC . Điểm M nằm trên đường thẳng BC sao cho nBM = mBC ( n, m ≠ 0 ) . Phân tích
Câu 94. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, vectơ u = 3 AB − 4 AC đưuọc vẽ đúng ở hình nào dưới đây?
A.


B.

C.

D.

vectơ AM theo AB, AC
1
1
A. AM =
AB +
AC
m+n
m+n
n
n
C. AM =
AB +
AC
m+n
m+n

m
m
AB +
AC
m+n
m+n
n

m
D. AM =
AB +
AC
m+n
m+n
B. AM =

Câu 102. Một đường thẳng cắt các cạnh DA, DC và đường chép DB của hình bình hành ABCD lần lượt
tại các điểm E, F và M. Biết rẳng DE = mDA , DF = nDC ( m, n > 0 ) . Hãy biểu diễn DM qua

DB và m, n.
m.n
A. DM =
DB
m+n
Câu 95. Cho ∆ ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Phân tích AB theo hai vectơ
BN là CP .
4
2
4
2
A. AB = BN − CP
B. AB = − BN + CP
3
3
3
3
4
2

2
4
C. AB = − BN − CP
D. AB = − BN − CP
3
3
3
3
Câu 96. Cho ∆ABC . Diểm M nằm trên đường thẳng BC sao cho MB = k MC ( k ≠ 1) . Phân tích AM
theo AB, AC .

AB + k AC
A. AM =
1− k

AB − k AC
B. AM =
1+ k

AB − k AC
C. AM =
1− k

AB + k AC
D. AM =
1− k

Câu 97. Cho ∆OAB với M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB. Tìm số m, n thích hợp để
NA = mOA + nOB .
1

1
1
1
A. m = −1, n =
B. m = 1, n = −
C. m = 1, n =
D. m = −1, n = −
2
2
2
2
Câu 98. Cho hình bình hành ABCD có E, N lần lượt là trung điểm của BC, AE. Tìm các số p và q sao
cho DN = pAB + qAC .
5
3
4
2
4
2
5
3
A. p = ; q =
B. p = − ; q =
C. p = − ; q = −
D. p = ; q = −
4
4
3
3
3

3
4
4
Câu 99. Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, L lần lượt là trung điểm BC, CD. Biết AK = a, AL = b . Biểu
diễn BA, BC theo a, b
4
2
2
4
A. BA = a + b, BC = − a + b
3
3
3
3
1
2
1
4
C. BA = − a − b, BC = − a + b
3
3
3
3

1
2
1
4
B. BA = − a + b, BC = − a + b
3

3
3
3
4
2
2
4
D. BA = − a + b, BC = − a + b
3
3
3
3

Câu 100. Cho ∆ ABC có trọng tâm G. Gọi I là điểm trên BC sao cho 2CI = 3 BI và J là điểm trên BC kéo
dài sao cho 5 JB = 2 JC . Tính AG theo AI và AJ
15
1
35
1
A. AG = AI − AJ
B. AG =
AI − AJ
16
16
48
16
15
1
35
1

C. AG = AI + AJ
D. AG =
AI + AJ
16
16
48
16

11

B. DM =

m
DB
m+n

C. DM =

n
DB
m+n

D. DM =

m.n
DB
m−n

1
Câu 103. Cho ∆ABC . Trên BC lấy điểm D sao cho BD = BC . Khi đó phân tích AD theo các vectơ

3
AB và AC .
2
1
1
2
A. AD = AB + AC
B. AD = AB + AC
3
3
3
3
2
5
1
C. AD = AB + AC
D. AD = AB − AC
3
3
3
Câu 104. Cho tam giác ABC, hai điểm M, N thỏa mãn hệ thức
2 NA + NB + NC = 0 . Tìm hai số p,q sao cho MN = pAB + q AC .
3
1
1
A. p = q = −
B. p = 2, q = 0
C. p = − , q = −
4
2

2

MA + MB − MC = 0

và

3
5
D. p = − , q =
4
4

Câu 105. Cho ∆ABC . Lấy các điểm M, N, P sao cho MB = 3MC, NA + 3NC = 0, PA + PB = 0 . Đẳng thức
nào sau đây là điều kiện cần và đủ để M, N, P thẳng hàng.
A. MP = −2 MN
B. MP = 3MN
C. MP = 2 MN
D. MP = −3MN
Câu 106. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là các điểm nằm trên cạnh AB và CD sao cho
1
1
AM = AB , CN = CD . Gọi G là trọng tâm của ∆BMN . Gọi I là điểm xác định bởi
3
2
BI = mBC . Xác định m để AI đi qua G.
6
11
6
18
A. m =

B. m =
C. m =
D. m =
11
6
5
11
Câu 107. Cho

có trung tuyến AD. Xét các điểm M, N, P
∆ ABC
1
1
AM = AB, AN = AC, AP = mAD . Tìm m để M, N, P thẳng hàng.
2
4
1
1
1
2
A. m =
B. m =
C. m =
D. m =
6
3
4
3

cho


bởi

Câu 108. Cho ∆ ABC . M và N là hai điểm xác định thỏa mãn: MA + 3MC = 0 và NA + 2 NB + 3 NC = 0 .
Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để M, N, B thẳng hàng?
1
3
2
1
A. BM = BN
B. BN = BN
C. BM = BN
D. BM = BN
2
2
3
2
Câu 109. Cho ∆ABC với H, O, G lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm. Đẳng thức
nào sau đây là điều kiện cần và đủ để H, O, G thẳng hàng?

12


3
A. OH = OG
2

1
C. OG = GH
2


B. HO = 3OG

D. 2GO = −3OH

Câu 110. Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC, CD, DE. Gọi I,
J lần lượt là trung điểm của các đoạn MP và NQ. Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ
để IJ / / AE ?
3
5
1
1
A. IJ = AE
B. IJ = AE
C. IJ = AE
D. IJ = AE
4
4
4
3
Câu 111. Cho ∆ABC . Các điểm I, J thỏa mãn hệ thức AI =
điều kiện cần và đủ để IC / / BJ ?
2
A. CI = − BJ
B. CI = 3BJ
3

1
AB, AI = 3 AC . Đẳng thức nào sau đây là
3


1
C. CI = − BJ
3

Câu 112. Cho ∆ABC . Trên các cạnh AB, BC lấy các điểm M, N sao cho AM =
giao điểm của AN và CM. Tính tỉ số

1
D. CI = BJ
3
BN 1
2
MB,
= . Gọi I là
5
NC 3

AI
CI
và
.
AN
IM

AI 3 CI 21
= ;
=
AN 7 IM 2
AI

8 CI 7
C.
= ;
=
AN 23 IM 4

AI
4 CI 7
= ;
=
AN 11 IM 2
AI
8 CI 21
D.
= ;
=
AN 23 IM
2

A.

B.

Câu 113. Cho ∆ ABC và trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với AB cắt các đoạn thẳng AM,
AC và BC lần lượt tại D, E, và F. Một điểm G nằm trên cạnh AB sao cho FG song song với AC.
ED
Tính
.
GB
1

1
1
A.
B.
C.
D. 1
2
3
4
Câu 114. Cho tứ giác ABCD có hai đưuòng chéo cắt nhau tại O. Qua trung điểm M của AB dựng đường
CN
thẳng MO cắt CD tại N. Biết OA = 1, OB = 2, OC = 3 , OD = 4 . Tính
.
ND
1
3
5
A. 1
B.
C.
D.
2
2
2
Câu 115. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N là các điểm nằm trên các cạnh AB và CD sao cho
1
1
AM = AB, CN = CD . Gọi G là trọng tâm của ∆BMN . Hãy phân tích AG theo hai vectơ
3
2

AB = a, AC = b .
1
5
1
1
5
1
5
1
A. AG = a + b
B. AG = a + b
C. AG = a + b
D. AG = a − b
18
3
18
5
18
3
18
3
Câu 116. Cho ∆ABC . Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3 BI và J là điểm trên tia đối của BC
sao cho 5 JB = 2 JC . Tính AI , AJ theo a = AB, b = AC .

3
2
5
2
A. AI = a + b, AJ = a − b
5

5
3
3
2
3
5
2
C. AI = a + b, AJ = a − b
5
5
3
3

3
2
5
2
B. AI = a − b, AJ = a − b
5
5
3
3
3
2
5
2
D. AI = a + b, AJ = a + b
5
5
3

3

Câu 117. Cho tứ giác ABCD. Trên AB và CD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = k AB ,
DN = k DC , k ≠ 1 . Hãy biểu diễn MN theo hai vectơ AD và BC .
13

A. MN = k . AD + (1 − k ) .BC

B. MN = (1 + k ) . AD + k .BC

C. MN = (1 − k ) . AD + k .BC

D. MN = −k . AD + ( k + 1) .BC

Câu 118. Cho ∆ ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là điểm trên AC sao cho
1
AK = AC . Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để ba điểm B, I, K thẳng hàng.
3
2
4
3
A. BK = BI
B. BK = BI
C. BK = 2 BI
D. BK = BI
3
3
2
Câu 119. Cho ∆ABC, E là trung điểm BC, I là trung điểm của AB. Gọi D, I, J, K lần lượt là các điểm
1

thỏa mãn BE = 2 BD, AJ = JC , IK = mIJ . Tìm m để A, K, D thẳng hàng.
2
5
1
1
2
A. m =
B. m =
C. m =
D. m =
6
3
2
5
Câu 120. Cho ∆ABC . Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức BC + MA = 0 , AB − NA − 3 AC = 0 .
Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để MN / / AC .
1
1
A. MN = 2 AC
B. MN = AC
C. MN = −3 AC
D. MN = AC
2
3
Câu 121. Cho ∆ABC; M và N xác định bởi 3MA + 4 MB = 0 , NB − 3 NC = 0 . Trọng tâm ∆ABC là G.
PA
Gọi P là điểm trên cạnh AC sao cho
= 4 . Các đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ
PC
để M, G, N, P thẳng hàng.

A. 7GM + 2GN = 0 và 3PG + 2 PN = 0
B. 5GM + 2GN = 0 và 3PG + 2 PN = 0
C. 7GM + 2GN = 0 và 2 PQ − 3PN = 0
D. 3GM + 2GN = 0 và 3PG + 2 PN = 0
Câu 122. Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của ∆ADC và ∆BCD . Đẳng thức nào là điều
kiện cần và đủ để IJ / / AB .
1
2
1
1
A. IJ = AB
B. IJ = . AB
C. IJ = AB
D. IJ = AB .
3
3
2
4
Câu 123. Cho ∆ABC . Gọi M là điểm thuộc cạnh AB; N ∈ cạnh AC sao cho AM =
Gọi O là giao điểm của CM và BN. Tính tỉ số

A.

1
2
và
9
3

B.


1
1
và
3
4

1
3
AB , AN = AC .
3
4

ON
OM
và
tương ứng.
OB
OC
1
1
1
1
C.
và
D. và
4
6
6
9


Câu 124. Cho hình bình hành ABCD. M thuộc AC sao cho: AM = kAC . Trên cạnh AB, BC lấy các điểm
CN
AN
P, Q sao cho MP / / BC , MQ / / AB . Gọi N là giao điểm của AQ và CP. Tính tỉ số
và
CP
AQ
theo k.
1− k
1− k
AN
k
CN
AN
k
CN
A.
=
=
B.
=
=
;
;
AQ k 2 + k − 1 CP k 2 + k + 1
AQ k 2 − k + 1 CP k 2 − k + 1
1− k
1− k
AN

k
CN
AN
k
CN
C.
D.
=
;
=
=
;
=
AQ k 2 + k + 1 CP k 2 + k − 1
AQ k 2 + k + 1 CP k 2 + k + 1

Dạng 6. Xác định và tính độ lớn véctơ
Câu 125. Cho ∆ ABC . Vectơ BC − AC được vẽ đúng ở hình nào sau đây?
14


A.

B.

C.

D.

Câu 135. Cho hình vng ABCD có cạnh là a. O là giao điểm của hai đường chéo. Tính OA − CB .

A. a 3

B.

a 3
2

C.

a 2
2

D. a 2

Câu 136. Cho ∆ ABC đều cạnh a. Độ dài vectơ tổng: AB + AC là
A. a 3
Câu 126. Cho tam giác ∆ABC vng tại A có AB = 3cm , BC = 5cm . Khi đó độ dài BA + BC là:
A. 4

B. 8

C. 2 13

B. 2a 5

C. a 5

(

7+ 5


)

B. 3

(

7+ 3

)

C. 6

(

5 +3

)

Câu 129. Cho tam giác vuông cân OAB với OA = OB = a . Tính độ dài vectơ v =
A. 2a

B.

6073
a
28

C.


3
a
2

(

A. Bao giờ cũng lớn hơn a + b

B. Không nhỏ hơn a + b

C. Bao giờ cũng nhỏ hơn a + b

D. Không lớn hơn a + b

A. 0

Câu 128. Cho 2 vectơ a và b tạo với nhau góc 60°. Biết a = 6; b = 3 . Tính a + b + a − b
A. 3

D.

a 3
2

Câu 138. Cho ∆ ABC đều cạnh a. Khi đó AC − CB − AC bằng:

D. a 2

1
2 3 + 51

D.
2

C. 2a 3

3

Câu 137. Với ∀a, b độ dài a + b :

D. 13

Câu 127. Cho hình thang cân ABCD, có đáy nhỏ và đường cao cùng bằng 2a và ABC = 45° . Tính
CB − AD + AC .
A. a 3

B.

)

11
3
OA − OB .
4
7
2
D.
a
2

Câu 130. Một vật nặng (Đ) được kéo bởi hai lực F1 và F2 như hình vẽ. Xác định hướng di chuyển của


(Đ) và tính độ lớn lực tổng hợp của F1 và F2 . Biết F1 = F2 = 60 N và góc giữa F1 và F2 là
60°.
A. 50 3N
B. 30 3N
C. 60N
D. 60 3N

B. 3a

C. a

D. a

(

)

3 −1

Câu 139. Cho tam giác ∆ABC đều cạnh a. Tính độ dài AB − BC .
A. 0

B. a

C. a 3

D.

a 3

2

Câu 140. Cho tam giác ABC đều cạnh a, trọng tâm G. Tính độ dài vectơ AB − GC .
A.

2a 3
3

B.

a
3

C.

2a
3

Câu 141. Cho tam giác vuông cân OAB với OA = OB = a . Tính độ dài vectơ u =

541
a
4

A.

B.

520
a

4

140
a
4

C.

D.

a 3
3

21
OA + 2,5OB
4
310
a
D.
4

Câu 131. Cho hình thang ABCD có AB song song với CD. Cho AB = 2a , CD = a . Gọi O là trung điểm
của AD. Khi đó:
3a
A. OB + OC = 3a
B. OB + OC = a
C. OB + OC =
D. OB + OC = 0
2


Câu 142. Cho hình vng ABCD có cạnh là 3. Tính độ dài AC + BD :

Câu 132. Cho hình vng ABCD cạnh a. Tính độ dài vectơ: u = MA − 2 MB + 3MC − 2 MD

Câu 143. Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O và M là trung điểm AB. Tính độ dài OA + OB .

A. u = 4a 2

B. u = a 2

C. u = 3a 2

D. u = 2a 2

Câu 133. Cho ∆ ABC . Vectơ BC + AB được vẽ đúng ở hình nào dưới đây?
B.
C.
A.

D.

A. 6

A. a

A. a 3

B.

a 3

2

C. a 2

15

D. 2a

C. 12

B. 3a

C.

a
2

D. 0

D. 2a

Câu 144. Cho ∆ ABC vuông cân tại A có BC = a 2 , M là trung điểm BC. Tính độ dài vectơ AB + BM .
A.

Câu 134. Cho hình thoi ABCD có BAD = 60° và cạnh là a. Tính độ dài AB + AD .

B. 6 2

a 6
2


B.

a 2
2

C.

a 3
2

D.

a 10
2

Câu 145. Cho tam giác đều ABC cạnh a điểm M là trung điểm của BC. Tính độ dài vectơ
3
u = MA − 2,5MB .
4
a 127
a 127
a 127
a 127
A.
B.
C.
D.
4
8

3
2
Câu 146. Cho hình vng ABCD cạnh a. Tính độ dài vectơ u = 4 MA − 3MB + MC − 2 MD .
16


A. u = a 5

B. u =

a 5
2

C. u = 3a 5

D. u = 2a 5

Câu 147. Cho hai lực F1 = F2 = 100 N có điểm đặt tại O và tạo với nhau góc 60° . Tính cường độ lực tổng
hợp của hai lực đó.
C. 100 3
D. 25 3N
A. 100N
B. 50 3N

Câu 3.
Câu 4.

Ta có các vectơ: AB, BA, BC, CB, CA, AC.
Đáp án
B.

Vì vectơ 0 cùng phương với mọi vectơ. Nên có một vectơ cùng phương với cả hai vectơ a và
b , đó là vectơ 0 .
C.
Đáp án

Câu 148. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 3. H là trung điểm của BC. Tìm mệnh đề sai.
63
A. AB + AC = 3 3
B. BA + BH =
C. AH + HB = 3
D. HA + HB = 3
2
Câu 149. Cho hai lực F1 , F2 . Có điểm đặt tại M. Tìm cường độ lực tổng hợp của chúng biết F1 và F2 có

cùng cường độ lực là 100N, góc hợp bởi F1 và F2 là 120° .
A. 120N
B. 60N
C. 100N

Câu 5.
Các vectơ cùng phương với vectơ OB là:
BE , EB, DC , CD, FA, AF .
B.
Đáp án

D. 50N

Câu 150. Một giá đỡ được gắn vào tường như hình vẽ:
Câu 6.


Đáp án C
Câu 7.
Đáp án D
Câu 8.
Đáp án A

Trong đó ∆ABC vng ở C. Người ta treo vào điểm A một vật nặng 10N . Khi đó lực tác dụng
vào bức tường tại điểm B:
A. Kéo bức tường theo hướng BA với cường độ 10 3N
B. Kéo bức tường theo hướng BC với cường độ 10 2N
C. Kéo bức tường theo hướng BA với cường độ 10 2N
D. Kéo bức tường theo hướng BC với cường độ 10 2N

1
Câu 151. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho BH = HC .
3
Điểm M di động trên BC sao cho BM = x.BC . Tìm x sao cho độ dài vectơ MA + GC đạt giá
trị nhỏ nhất.
4
A. x =
5

B. x =

5
6

C. x =

6

5

Câu 152. Cho ∆ ABC đều cạnh a. M là trung điểm BC. Tính độ dài
A.

a 21
3

B.

a 21
2

C.

PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Dạng 1. Các bài toán về khái niệm véctơ
Câu 1.
Đáp án D
AB = AC ⇒ B ≡ C

a 21
4

D. x =

5
4

1

AB + 2 AC .
2
D.

a 21
7

Câu 9.
Đáp án A

Câu 10.
 MN //PQ
1
Ta có 
(do cùng song song và bằng AC ).
2
 MN = PQ
Do đó MNPQ là hình bình hành.
Đáp án
D.
Câu 11. Với ba trường hợp lần lượt A, B, C nằm giữa thì ta ln có BA, BC cùng phương.
D.
Đáp án
Câu 12. Đáp án D
Một vectơ khác vectơ không được xác định bởi 2 điểm phân biệt. Do đó có 12 cách chọn 2
điểm trong 4 điểm của tứ giác.
Câu 13. Đáp án A
Câu 14.
Đáp án D
Câu 15.

Đáp án D

Câu 2.
Đáp án A
17

18


Câu 21.
Đáp án C

Các vectơ bằng vectơ AB là:

FO, OC , ED
Câu 16.
Đáp án C
Có 3 đường thẳng song song với MN là AC, AP, PC
Nên có 7 vectơ

Ta có: MP / / DC , MP =

Câu 22.

NM , AC , CA, AP, PA, PC , CP
Câu 17.

1
1
DC , PN / / AB, PN = AB .Mà MP = PN

2
2

⇒ AB = DC ⇒ ABCD là hình bình hành ⇒ AD = BC
Ta có BD là đường kính ⇒ OB = DO .
AH ⊥ BC , DC ⊥ BC ⇒ AH / / DC (1)
Ta lại có CH ⊥ AB, DA ⊥ AB ⇒ CH / / DA (2)

Từ (1) và (2) ⇒ tứ giác HADC là hình bình hành ⇒ HA = CD; AD = HC .
C.
Đáp án
Câu 23. Ta có AMCP là hình bình hành ⇒ AM = PC
Lại có AQBM và BMCN là hình bình hành
⇒ NC = BM = QA

Đáp án A

Câu 18.
Đáp án C

⇒ AQNC là hình bình hành ⇒ AC = QN .
Đáp án
B.

Vì tam giác đều nên AB = AB = 2a
Câu 19.
Câu 24.

Đáp án A


Đáp án A

Thật vậy khi ∆ ABC nhọn thì ta có:

 AH ⊥ BC
⇒ AH //OM

OM ⊥ BC

Ta có thể chỉ ra được ADCH là hình bình hành ⇒ AH = DC
Câu 25.
Đáp án D

O, H nằm trong tam giác ⇒ AH , OM cùng hướng
Câu 20.
Đáp án A

Ta có: OB = OC = R ⇒ BO = CO
Vì A = 60° ⇒ ∆ABC đều ⇒ AO =

a 3
a 3
⇒ AO =
2
2
19

Câu 26.
Đáp án D
20



Ta có: PQ = AO = OC

AR = RQ = PO = BQ = QC, BO = OD = PR, OP = RA = DR = CQ = QB
Câu 27.

Ta có: MNPQ là hình bình hành ⇒ MN = QP
Đáp án C

Ta có:
1
1
1
1
OA + OC + OD + OB = OA + OB + OC + OD
2
2
2
2
= OM + ON = 0

OI + OJ =

(

) (

) (


) (

)

⇒ OI = −OJ
Dạng 2. Chứng minh đẳng thức véctơ

Câu 29.
Đáp án B

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông MAD ta có:
2

a
DM 2 = AM 2 + AD 2 =   + a 2
2
2
5a
=
4

a 5
2
Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB tại P.

Câu 30.

⇒ DM =

Khi đó tứ giác ADNP là hình vng và PM = PA + AM = a +

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vng NPM ta có:
 3a 
MN 2 = NP 2 + PM 2 = a 2 +  
 2 
13a 2
=
4
a 13
⇒ MN =
2
Suy ra MN = MN =
Câu 28.

a 3a
=
2 2

CO − OB = CO + OD = CD = BA
+ Tứ giác AMCN là hình bình hành ⇒ AM + AN = AC ⇒ A đúng.
+ ABCD là hình bình hành ⇒ AB + AD = AC = AM + AN ⇒ B đúng.
+ AM = NC , AN = MC ⇒ AM + AN = MC + NC ⇒ C đúng.
Đáp án
D.

Câu 31.
Đáp án C

2

AD + BE + CF = AE + ED + BF + FE + CD + DF


(

)

= AE + BF + CD + ED + DF + FE = AE + BF + CD

a 13
2

Câu 32.
Đáp án D
Ta có:

Đáp án D

( BA + CB ) + ( BD + DC ) = 0 ⇔ BC + CA = BA = 0 ⇔ B ≡ A . Vì A, B bất kì ⇒ D sai.
Câu 33.
Đáp án B

21

22


Câu 41.

VT = OA + OB + OC
= OM + MA + ON + NB + OP + PC Mà NB = NM + NP
⇒ MA + NB + PC = MA + NM + NP + PC = NA + NC = 0 ⇒ VT = OM + ON + OP


Câu 34.
Đáp án A

(

)

VT = AB + CD = AD + DB + CB + BD = AD + CB + DB + BD = AD + DB = VP

Câu 35.
Đáp án D
AA ' + BB ' + CC ' = AG + GG ' + G ' A ' + BG + GG ' + G ' B ' + CG + GG ' + G ' C ' = 3GG '

Câu 36.
Đáp án D

(

)

(

)

(

)

AB + CD + EA = AC + CB + CD + ED + DA ' = CB + ED + AC + CD + DA


(

)

= CB + ED + AD + DA = CB + ED

Câu 37.
Đáp án C
2 MA + MB − 3MC = 2 MC + 2CA + MC + CB − 3MC = 2CA + CB
Câu 38.
Đáp án D

AI + AK =
Câu 39.

1
1
1
3
AB + AC + AD + AC = AC + AB + AD = AC
2
2
2
2

(

) (


)

(

)

+ Ta có: AB + DF + BD + FA = AB + BD + DF + FA = AA = 0 ⇒ A đúng.
+ BE − CE + CF − BF = BC + CB = 0 ⇒ B đúng.
+ AD + BE + CF = AE + BF + CD ⇔ AD + DC + CF = AE + EB + BF ⇔ AF = AF
⇒ C đúng.
+ FD + DB + BE + EA + AC + FC = 0 ⇔ 2 FC = 0 ⇔ F ≡ C (mâu thuẫn giả thiết)
⇒ D sai.
Đáp án
D.
Câu 42. Ta có GA + GB + GC = 0 ⇒ OA + OB + OC = 3OG (1)
Gọi I là trung điểm BC, A ' đối xứng với A qua O.
Dễ thấy HBA ' C là hình bình hành
⇔ HB + HC = HA ' ⇔ HA + HB + HC = HA + HA ' = 2 HO
⇔ 3HO + OA + OB + OC = 2 HO ⇔ OH = OA + OB + OC (2)
1
Từ (1) và (2) ⇒ OH = 3OG ⇔ OG + GH = 3OG ⇔ GH = 2OG ⇔ OG = GH .
2
Đáp án
C.
Câu 43. + B đúng vì AC + BD = AI + IJ + JC + BI + IJ + JD
= 2 IJ + AI + BI + JC + JD = 2 IJ

(

) (


)

+ C đúng vì AD + BC = AI + IJ + JD + BI + IJ + JC = 2 IJ
+ D đúng vì AC + BD = 2 IJ ⇔ 2 IJ + CA + DB = 0
Đáp án
A.
Câu 44. Kẻ MN / / AC , N ∈ AB .
AN
MC
NM
MB
Áp dụng định lí Ta-lét ta có AN =
. AB =
. AB . NM =
. AC =
. AC
AB
BC
AC
BC
MC
MB
⇒ AM = AN + NM =
. AB +
. AC .
BC
BC
Đáp án
A.

Câu 45. Ta có: 2OA + OB + OC = 2OA + 2OM = 4OD (1)
Tương tự OA + 2OB + OC = 4OE (2)
OA + OB + 2OC = 4OF (3)
Cộng vế vói vế (1), (2), (3) ta được đáp án A.
A.
Đáp án
Câu 46. Qua M kẻ các đường thẳng A1B1 / / AB, A2C1 / / AC , B2C2 / / BC
⇒ Các tam giác đều ∆MB1C1 , ∆MA1C2 , ∆MA2 B2
1
1
1
Ta có: MD = MB1 + MC1 , ME = MA1 + MC2 , MF = MB2 + MA2
2
2
2
1
1
1
⇒ MD + ME + MF = MA1 + MA2 + MB1 + MB2 + MC1 + MC2
2
2
2
1
3
= MA + MB + MC = MO .
2
2
Đáp án
D.
Câu 47.

Đáp án B

(

Đáp án D

)

(

(

Ta có: GC = 2C1G ⇒ D sai. Nhận xét: ∆ABC và ∆A1 B1C1 cùng trọng tâm.

Câu 40.

(

)

) (

) (

)

Đáp án B
Ta có:
NP + MN = NQ + QP + MQ + QN = QP + MQ + NQ + QN = QP + MQ = VP


(

23

(

)

24

)

)


⇔ S a MA + Sb MB + Sc MC = 0

Câu 50.
Đáp án A

(

) (
)
= 3 AG + GB + GC + GD = 4GA + ( GA + GB ) + ( GC + GD ) = 4 AG + 2 I + 2GJ = 4 AG
AB + AC + AD = AG + GB + AG + GC + AG + GD

Gọi p là nửa chu vi ∆ABC , ta có:

(II) và (III) sai vì G khơng phải là trung điểm của AC và BD.


AP = AN = p − a
BM = BP = p − b

Đáp án A

CN = CM = p − c

Câu 48.

Ta có IM =

MB
MB
.IB +
.IC ⇔ aIM = ( p − c ) IB + ( p − b ) IC (1)
BC
BC

Tương tự:
bIN = ( p − a ) IC + ( p − c ) IA ( 2 ) , cIP = ( p − b ) IA + ( p − a ) IB ( 3)
Cộng từng vế (1), (2), (3) ta được:
 MN = MA + AB + BN
Ta có 
 MN = MD + DC + CN

⇔ aIM + bIN + cIC

nMN = nMA + nAB + nBN
⇒

⇒ ( m + n ) MN
mMN = mMD + mDC + mCN

Nhận xét: Áp dụng kết quả nếu I là tâm đường trịn nội tiếp ∆ ABC thì
⇔ aIA + bBI + cCI = 0

(

) (

= ( 2 p − b − c ) IA + ( 2 p − a − c ) IB + ( 2 p − a − b ) IC = aIA + bIB + cIC = 0

) (

)

= nMA + mMD + nAB + mDC + nBN + mCN = 0 + nAB + mDC + 0 ⇒ MN =
Câu 49.

n AB + mDC
m+n

Câu 51.

Đáp án A

Dạng 3. Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước
IA + 2 IB = 0 ⇔ IA = −2 IB .
1
Vậy I thuộc đoạn AB sao cho IB = AB .

3
Đáp án
B.

Câu 52.
Đáp án B.
Câu 53.
Đáp án B
Câu 54.
Gọi A ' = AM ∩ BC

Đáp án C
Ta có: MN = 3MP và P, N khác đối với M

A 'C
A' B
Ta có MA ' =
MB +
MC
BC
BC

Câu 55.
Đáp án C

Sb
Sc
A ' C SMA 'C SMAC Sb
A 'C
A' B

=
=
=
⇒
=
=
;
A ' B S MA ' B S MAB Sc
BC Sb + Sc BC Sb + Sc

Câu 56.

Sb
Sc
MA ' S MA ' B S MA 'C S MA ' B + S MA 'C
Sa
MA ' =
MB +
MC (*) Mặt khác
=
=
=
=
Sb + S c
S b + Sc
MA S MAB S MAC
S MAB + S MAC Sb + Sc

Câu 57.


⇒ Ma ' =

− Sa
MA , thay vào (*) ta được: − S a MA = Sb MB + S c MC
Sb + S a
25

Đáp án B
MA + MB + 2 MC = MG + GA + MG + GB + 2 MG + 2GC = 0
⇔ 4MG + GA + GB + GC + GC = 0 ⇔ GC = 4GM

(

)

Đáp án
D.
Câu 58. Ta có: NA + 2 NB = CB ⇔ NA + NB + NB = CN + NB
26


⇔ NA + NC = − NB ⇔ 2 NI = − NB ⇒ BN =
Câu 59.

Đáp án C

2
BI
3


Đáp án
C.
Ta có NC + ND − NA = AB + AD − AC
⇔ NC − NA + ND = AB + AD − AC

(

)

(

)

⇔ AC + ND = AC − AC ⇔ AC = DN
⇒ ACND là hình bình hành ⇒ C là trung điểm cạnh BN.
Đáp án
B.
b
Câu 60. a AM + bMB = 0 ⇔ aMA + b MA + AB = 0 ⇔ MA = −
AB
a+b
Do giả thiết M được xác định duy nhất trên đường thẳng AB.
Đáp án
C.
A' B c
Câu 61. Lấy A ' sao cho
= hay AA ' là đường phân giác.
A'C b
Ta có: aIA + bIB + cIC = 0 ⇔ aIA + ( b + c ) IA ' = 0


(

)

Gọi K là trung điểm BC ⇒ NB + NC = 2 NK
Nên 2 NA + NB + NC = 0 ⇔ 2 NA + 2 NK = 0 ⇔ NA + NK = 0 ⇒ N là trung điểm AK

Câu 66.
Đáp án D

IA b + c
c
BA
=
=
=
ac
IA '
a
BA '
b+c
⇒ I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ ABC .
Đáp án
B.
⇔ I thuộc đoạn AA ' và

MA + 2 MB = CB ⇔ MA + MB + MB = CM + MC

⇔ MA + MB + MC = 0 ⇒ M là trọng tâm ∆ ABC


Câu 62.

Câu 67.
Đáp án C
2 IA − 3IB = 3BC ⇔ 2 IA − 2 IB − IB = 3BC ⇔ 2 IA − IB = 2 BC + IB + BC

(

Câu 63.

Đáp án A

)

⇔ 2 BA = 2 BC + IC ⇔ 2 BA − 2 BC = IC ⇔ 2CA = IC ⇔ CI = −2CA

(

)

2MA + MB + 3MC = 2 MA + MB + MC + MC − MB = 6 MG + BC = 0 ⇒ GM =
Câu 68.

1
BC
6

Đáp án B

Đáp án D


Ta có MA + MB + 4 MC = 0 ⇔ MA + MB + MC = −3MC ⇔ 3MG = −3MC ⇔ MG = − MC
Hay M là trung điểm của GC

Câu 69.
Đáp án A
Ta có AB + AC + AD = 4 AM ⇔ 4 AM = 2 AC ⇒ AM =
M là trung điểm AB nên AB = 2 AM , AC = 2 AN ⇔ 3 AB + 2 AC − 12 AK = 0

(

Câu 64.

Câu 70.

1
⇔ 6 AM + 6 AN − 12 AK = 0 ⇔ AK = AM + AN ⇒ K là trung điểm của MN.
2

1
AC ⇒ M ≡ O
2

Đáp án D

)

Ta có M là trọng tâm thì MA + MB + MC = 0
So sánh với MA = α MB + β MC ⇒ α = −1; β = −1


Đáp án C

Câu 71.
Đáp án D

(

)

CD = MA + 2MB − 3MC = MA + 2 MB + 2CM + CM = CA + 2CB = CA + CE
Vậy D là đỉnh của hình bình hành ACED.

Câu 72.
MA − MB = BA ⇒ MA − MB − MC = AD ⇔ BA − MC = AD ⇔ CM = AD + AB = AC

Vậy C là trung điểm của AM

Đáp án B

2 IA + 3IB = 0 ⇔ 5IA + 3IB − 3IA = 0 ⇔ 5 IA + 3 AB = 0 ⇔ AI =

Câu 65.
27

28

3
3
AB ⇒ k =
5

5


Dạng 4. Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện

Câu 73.

Ta có MA + MB + MC = 3MG ⇒ 3 MG = 6 ⇔ MG = 2

Vậy tập hợp điểm M là đường trịn tâm G bán kính là 2.
Đáp án C.
Câu 74. Ta có: MA + MB + MC = 3MG, MB + MC = 2MI ⇒ 2 3MG = 3 2 MI

⇔ MG = MI ⇒ Tập hợp điểm M là trung trực của GI.

Đáp án A.
Câu 75. Ta có: MA + MB − MC = MD ⇔ MA + MB = MC + MD
⇒ 2 MI = 2 MJ ⇔ MI = MJ với I, J là trung điểm của AB, CD
⇒ Khơng có điểm M nào thỏa mãn.
Đáp án
D.
Câu 76. Từ giả thiết OM = OA + OB ⇒ O, A, M, B theo thứ tự là các đỉnh của hình bình hành. Do
AM = OB = R ⇒ Tập hợp điểm M là đường trịn tâm A bán kính R.
B.
Đáp án
Câu 77.
Đáp án A

Gọi I là trung điểm AB
⇒ I là điểm cố định: MA + MB = 2MI ⇒ MM ' = 2 MI ⇒ I là trung điểm của MM '


Gọi O ' là điểm đối xứng của O qua điểm I thì O ' cố định và MOM ' O ' là hình bình hành
⇒ OM = OM ' = R ⇒ M ' nằm trên đường tròn cố định tâm O ' bán kính R.

Câu 81.
Đáp án B

MA − MB = MC ⇔ BA = MC
Vậy tập hợp điểm M là đường trịn tâm C bán kính AB.

Câu 78.

Gọi E là trung điểm của AB, I là trung điểm của EC

Đáp án A

k
BC
4
Do I, B, C cố định nên tập hợp điểm M là một đường thẳng đi qua I và song song với BC.

⇒ MA + MB + 2MC = 3ME + 2 MC = 4MI ⇒ MI =

k
MA + MB + MC + MD = 4MO = k ⇔ MO =
4
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm O bán kính

Câu 79.


k
4

Câu 82.
Đáp án C

Đáp án B

GT đã cho ⇔ MA + MB + MC + 3MA = 2 MA − 2MI

(

)

⇔ 3 MG + MA = 2 MA − MI (I là trung điểm AB)

1
⇔ 6 MJ = 2 IA ⇔ MJ = IA (G là trọng tâm ∆ABC )
3

Gọi I là trung điểm của AB thì

⇔ JM =

MA + MB = 2 MC ⇔ 2MI = 2MC ⇔ Tập hợp điểm M là trung trực của IC

Câu 80.

1
AG (J là trung điểm của AG)

2

Vậy tập hợp điểm M là đường trịn tâm I bán kính R =

Đáp án D
Câu 83.

AG
2

Đáp án A
k MA + k MB = 2 MC ⇔ 2k .MI = 2 MC ⇔ MC = k MI (I là trung điểm AB)
⇒ M nằm trên đường thẳng CI.

Câu 84.
29

30


(

)

⇔ 2 MA − MB + MA + MC = AB ⇔ 2 BA + 2 ME = AB

Đáp án C
Vì A, B, C cố định nên ta chọn điểm I thỏa mãn: 2 IA + 3IB + 4 IC = 0

3 AB + 4 AC

⇔ 2 IA + 3 IA + IB + 4 IA + IC = 0 ⇔ 9 IA = −3 AB − 4 AC ⇔ IA = −
9

(

) (

)

(

)

⇒ I duy nhất từ đó 2MA + 3MB + 4MC = 9MI + 2 IA + 3IB + 4 IC = 9MI và MA − MB = AB

AB
9

Từ giả thiết ⇒ 9 MI = BA ⇔ MI =

Câu 85.

Gọi I là điểm thỏa mãn BA = EI

1
AB
2
AB
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính
.

2
Đáp án
C.
Câu 90. Chọn điểm I sao cho
3IA + 2 IB − 2 IC = 0 ⇔ −3 AI + 2 AB − AI − 2 AC − AI = 0

(

)

⇔ 2 EI + ME = AB ⇔ 2 MI = AB ⇔ MI =

(

(

(

) (

)

3
AC )
2

= 2 AB − 3 AC = 2 AB − 2 AH = 2 HB

(


)

⇒ MA + MB = k MA + 2 MB − 3MC ⇔ 2ME = 2k HB ⇔ ME = k HB ⇒ Đáp án D

Câu 86.
Đáp án B

)

2
⇔ −3 AI + 2 AB − AC = 0 ⇔ 3 AI = 2CB ⇔ AI = CB
3
⇒ 3MA + 2MB − 2MC = 3 MI + IA + 2 MI + IB − 2 MI + IC = 3MI

Đáp án D
MA + 2 MB − MC
= MA + MA + MB − 3 MA + AC (với H là điểm thỏa mãn AH =

) (

)

(

) (

) (

)


1
⇒ 3MA + 2MB − 2MC = MB − MC ⇔ 3MI = CB ⇔ MI = CB
3
CB
Vậy tập hợp điểm M là đường trịn tâm I bán kính
.
3
Đáp án
B.
Câu 91. Từ giả thiết ⇔ 2 MA − MB = k MB + 3MC (*)

(

)

Gọi I, K là các điểm sao cho 2IA − IB = 0; KB + KC = 0
Thì I, K là các điểm cố định: I ∈ AB : IB = 2 IA; K ∈ BC : KB = 3KC

(

) (

) (

)

Từ (*) ⇔ 2 MI + IA − MI + IB = k MK + KB + 3MK + 3KC ⇔ MI = 4k MK
Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng.
Đáp án
C.


Gọi O, O ' lần lượt là trung điểm AD và BC, ta có: AB ' = AO + OO ' + O ' B
và DC = DO + OO ' + O ' C ⇒ AB + DC = 2OO '
Gọi I là trung điểm MN ⇒ AM + DN = 2OI ⇒ OI =

1
k AB + k DC = kOO '
2

(

)

Câu 92.

Vậy tập hợp điểm I là đường thẳng OO '

Câu 87.

(

Đáp án B
Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm ∆ABC và ∆DEF .
⇒ MA + MB + MC + MD + ME + MF = 3 MP + 3 MQ ≥ 3 ( MP + MQ ) ≥ 3PQ

Dấu " = " xảy ra khi M thuộc đoạn PQ. Vậy tập hợp điểm M là đoạn thẳng PQ.

Câu 88.
Đáp án A


(

)

Từ giả thiết ⇔ 2 MA + MC = k MC − MB ⇔ 2MA + MC = k BC (*)
Gọi I là điểm sao cho: 2IA + IC = 0 ⇒ IC = 2IA, I ∈ AC

(

Dạng 5. Phân tích vectơ qua hai vectơ khơng cùng phương
Cách 1:
1
1
Ta có: AB = AK + KB = AK + KM + MB = AK − AB − BM (vì KM = AB )
2
2
1
3
2
⇔ AB + AB = AK − BM ⇔ AB = AK − BM ⇔ AB = AK − BM
2
2
3
Cách 2: Giả sử có cặp số m, n sao cho AB = m AK + nBM , với G = AK ∩ BM
3
3
Ta có AB = AG + GB, AK = AG, BM = BG
2
2
3

3
3

 3

⇒ AG + GB = mAG − nGB ⇔  m − 1 AG =  − n − 1 BG (*)
2
2
2

 2

2

3
m=
 2 m − 1 = 0

3
Do AG, BG không cùng phương ⇒ (*) ⇒ 
⇔
− n − 1 = 0
n = − 2
 2
3

2
⇒ AB = AK − BM .
3
Đáp án A.


)

(

Từ (*): 2 MI + IA + MI + IC = k BC ⇔ 3MI = k BC
Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng qua I và song song với BC.
Câu 89. Gọi E là trung điểm của AC ⇒ 3MA − 2MB + MC = MB − MA
31

)

Câu 93.
32

)


Theo hình vẽ AM =

Đáp án

11
5
AB, AN = AC ⇒ Chọn đáp án
4
2

4
2


 BA = − 3 a + 3 b
 2 BA − BC = −2a
Từ đó ta có hệ phương trình: 
⇔
 BC = − 2 a + 4 b
 BA − 2 BC = −2b

3
3

D.

D.
Câu 94.

Đáp án A

Câu 100.

Câu 95.
Đáp án C

Đáp án B

(

)

AB = AM + MB = 3GM + GB − GM = 2GM + GB


Câu 96.

Gọi M là trung điểm BC:

4
2
= GB + GC + GB = 2GB + GC = − BN − CP
3
3

AG =

Đáp án C

(

Tương tự: ⇔ AJ =

AB − k AC
MB = k MC ⇔ AB − AM = k AC − AM ⇔ AM =
1− k

(

Câu 97.

2
1
3

2
AM = AB + AC 2 IC = −3IB ⇔ 2 AC − AI = −3 AB − AI ⇔ AI = AB + AC
3
3
5
5

)

=
Câu 101.

)

(

)

5
2
AB − AC
3
3

35
1
AI − AJ
48
16


Đáp án D
nBM = mBC ⇔ n AM − AB = m AC − AM

1
NA = OA − ON = OA − OB
2

(

)

(

)

n
m
⇔ ( m + n ) AM = n AB + m AC ⇔ AM =
AB +
AC
m+n
m+n

Câu 98.
Đáp án D

Câu 99.

(


2
5
3
3
3

5

AI + AJ

 5 AB + 5 AC = AI
 AB = 8 AI + 8 AJ
18
8
Ta có hệ: 
⇔
⇒ AG = 

3
2
25
9
25
9
3
 +
 AB − AC = AJ
 AC =
AI − AJ
AI − AJ 


 5

5
16
16
16
16



Đáp án B

DN = DA + AN = CB +

)

1
1
5
3
AE = AB − AC + AB + AC = AB − AC
2
4
4
4

(

)


Câu 102.
Đáp án A

5
3
Vậy p = , q = −
4
4

Đáp án D

Đặt DM = xDB, EM = yFM ⇒ DM = xDA + xDC nên
EM = DM − DE = xDA + xDC − mDA = ( x − m ) DA + xDC
Ta có: EM = yFM ⇔ ( x − m ) DA + xDC = xyDA + y ( x − n ) DC
m.n

 x = m + n
 x − m = xy
m.n
Do DA và DC không cùng phương nên: 
⇔ DM =
DB
⇔
m+n
 x = y ( x − n )
y = − m

n


(
)
CD = 2 LD = 2 ( LA + AD ) = 2 BC − 2b ⇔ BA − 2 BC = −2b

BC = 2 BK = 2 BA + AK = 2 BA + 2a ⇔ 2 BA − BC = −2a

Câu 103.
33

34


Đáp án A

Để AI đi qua G thì AI , AG cùng phương ⇒ AI = k AG

⇒ (1 − m ) AB + m AC = k .

1
1
2
1
AD = AB + BD = AB + BC = AB + AC − AB = AB + AC
3
3
3
3

(


Câu 104.

)

5k
6


1− m =
 m = 11
5
1

18
⇔
AB + k . AC ⇒ 
18
3
m = k
 k = 18

3
11


Câu 107.
Đáp án B

Đáp án D


Gọi E là trung điểm AC ⇒ AN =

Từ giả thiết: MA + MB = MC ⇒ M là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBM.
Từ giả thiết: 2 NA + NB + NC = 0 ⇔ 2 NA + 2 NK = 0
N là trung điểm AK, với K là trung điểm BC.
Ta có:

MN = MA + AN = BC +
Câu 105.

⇒ AG =
Câu 108.

2
1
1
AD nên M, N, P thẳng hàng ⇒ P là trung điểm AG. Vậy AP = AG = AD
3
2
3

Đáp án B

1
1
3
5
3
5
AK = AC − AB + AB + AC = − AB + AC ⇒ p = − , q =

2
4
4
4
4
4

(

1
AE ⇒ MN //BE ⇒ G là trọng tâm ∆ABE
2

)

(

)

MA + 2 MC = 0 ⇔ BA − BM + 3 BC − BM = 0 ⇔ 4 BM = BA + 3BC (1)

Theo bài ra:

Đáp án C

(

)

AN + 2 NB + 3 NC = 0 ⇔ BA − BN − 2 BN + 3 BC − BN = 0 ⇔ 6 BN = BA + 3BC ( 2 )


Câu 109.

3
Từ (1), (2) ⇒ 4 BM = 6 BN ⇔ BM = BN
2
Đáp án C

1
3
3
1
AP = AB; AN = AC , MB = 3MC ⇒ AM = AC − AB
2
4
2
2
Do đó
3
AC (1)
2
1
3
MN = AN − AM = AB − AC ( 2 )
2
4
MP = AP − AM = AB −

Từ (1), (2) ⇒ MP = 2 MN ⇒ M, N, P thẳng hàng.


Nhận xét: Đường thẳng đi qua 3 điểm trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác là đường Ơ – le.

Câu 106.
Đáp án A

Câu 110.
Đáp án C

Ta có: 3 AG = AM + AN + AM
=

1
1
5
5
1
AB − AB + AC + AB = AB + AC ⇒ AG = AB + AC
3
2
6
18
3

(

)

AI = AB + BI = AB + m AC = AB + m AC − AB = (1 − m ) AB + m AC
35


IQ + IN = 2IJ ⇔ IM + MQ + IP + PN = 2IJ ⇔ MQ + PN = 2IJ
36


⇔

Suy ra x = 2k − 1 do đó

1
1
1
AE + BD − BD = 2 IJ ⇔ AE = IJ
2
2
4

(

)

CD = ( 2k − 1) a + (1 − k ) b, AB + GB = k AB ⇒ (1 − k ) AB = GB ⇒

Câu 111.
Đáp án C

Câu 114.

1
1

AI = AB ⇔ AC + CI = AC + CB
3
3
1
⇔ CI = − 2 AC + BC (1)
3
AJ = 3 AC ⇔ AB + BJ = 3 AB + BC

(

(

Đáp án C

)

OC = −OA; OD = −2OA Vì OM , ON cùng phương ⇒ ∃k sao cho

)

ON = kOM ⇒ ON =

(

Đáp án D

)

) (


)

(

Đặt AI = xAN , CI = yCM

x
3x
x
21x
x
Ta có: AI = x AB + BN = x AB + AC =
AB + AC =
AM + AC
4
4
4
8
4

)

Vì M, C, I thẳng hàng ⇒

(

2k
−3
−6
−4k

3
.OA −
OB ⇒
=
⇔k=
1+ k
k +1
k ( k + 1) k ( k + 1)
2
1
Câu 115. Ta có AM + AN + AB = 3 AG mà AM = AB
3
1
1
1
AN = AC + AD = AC + AC − AB = − a + b
2
2
2
1
1
5
⇒ 3 AG = AB − AB + AC + AB = AB + AC
3
2
6
5
1
⇔ AG = a + b .
18

3
Đáp án
C.
Câu 116. Ta có: 2 IC = −3IB ⇔ 2 AC − AI = −3 AB − AI

1
Từ (1) và (2) ⇒ CI = − BJ
3

(

k
CN
OA + OB Đặt
= k, k > 0
2
ND

Ta có: ON =

⇔ BJ = 2 AB + BC = 2 AC + BC ( 2 )

Câu 112.

ED
=1
GB

IC 21
21x x

8
+ =1⇔ x =
. Tương tự ta chưa tìm được
=
8
4
23
IM 2

Câu 113.
Đáp án D

)

(

)

3
2
⇔ 5 AI = 3 AB + 2 AC ⇔ AI = AB + AC .
5
5
Ta lại có: 5 JB = 2 JC ⇔ 5 AB − AJ = 2 AC − AJ

(

) (

)


5
2
⇔ 3 AJ = 5 AB − 2 AC ⇔ AJ = AB − AC
3
3
Đáp án
A.
Câu 117. Với điểm O bất kì: OM = OA + AM = OA + k AB
= OA + k OB − OA = (1 − k ) OA + kOB

(

)

Tương tự ON = (1 − k ) OD + kOC

(

) (

)

⇒ MN = ON − OM = (1 − k ) OD − OA + k OC − OB = (1 − k ) AD + k BC

Đáp án

b
Ta đặt: CA = a, CB = b . Khi đó CM = CE = kCA = ka
2

Vì E nằm ngồi AC nên có số k sao cho: CE = kCA = k a với 0 < k < 1 .
Khi đó CF = k .CB = kb .
Điểm D nằm trên AM và EF nên có số x này:

( )

CD = xCA + (1 − x ) CM = yCE + (1 − y ) CF
Hay xa +

1− x
b = kya + k (1 − y ) b
2

1− x
Vì a, b khơng cùng phương nên x = ky và
= k (1 − y )
2
37

C.

1
Câu 118. Ta có: 2 BI = BA + BM = BA + BC ⇔ 4 BI = 2 BA + BC (1)
2
1
1
2
1
BK = BA + AK = BA + AC = BA + BC − BA = BA + BC
3

3
3
3
⇔ 3BK = 2 BA + BC (2)
4
Từ (1) và (2) ⇔ BK = BI ⇔ B, I , K thẳng hàng.
3
B.
Đáp án
Câu 119. Ta có: A, K, D thẳng hàng ⇔ AD = n AK = n AI + IK (1)

(

)

(

1
3
1
2 AD = AB + AE = AB + AB + AC = AB + AC
2
2
2
3
3
9
3
= 3 AI + AJ = 3 AI + AI + IJ = AI + IJ
2

2
2
2

(

(

)

)

38

)


9
3
9
3
AI +
IK ⇒ AD = AI +
IK (2)
2
2m
4
4m
9
3

1
Từ (1) và (2) ⇒ =
⇔m= .
4 4m
3
Đáp án
B.
Câu 120. Ta có: BC + MA = 0 và AB − NA − 3 AC = 0
⇒ BC + MA + AB − NA − 3 AC = 0
⇔ AC + MN − 3 AC = 0 ⇔ MN = 2 AC
Ta có: BC + MA = 0 ⇔ BC = AM ⇒ ABCM là hình bình hành hay M ∉ AC
A.
⇒ MN / / AC ⇒ Chọn đáp án
Đáp án
A.
Câu 121. + Ta có: 3MA + 4 MB = 0
⇔ 3 MG + GA + 4 MG + GB = 0 ⇔ 3GA + 4GB = 7GM

BQ
BQ
.BC = DA + xDC − x
.DA
BC
BC
BQ AM
Vì MQ / / AB ⇒
=
= k ⇒ DN = (1 − kx ) DA + x.DC (1)
BC AC
BP

Mặt khác: DN = DC + CN = DC + yDA + y
.BA
BA
BP CM CM − AM
Vì: MP / / BC ⇒
=
=
= 1− k
BA CA
CA
⇒ DN = DC + yDA − y (1 − k ) DC = yDA + (1 − ky − y ) DC (2)

Mà IK = mIJ nên 2 AD =

(

) (

= DA + xDC + x

k

 x = k 2 − k + 1
 y = 1 − kx
Từ (1), (2) ⇒ 
⇔
 x = 1 + ky − y
 y = 1− k
k 2 − k +1


B.
Đáp án

)

(

) (

)

Tương tự: NB − 3 NC = 0 ⇔ NG + GB − 3 NG + GC = 0
⇔ GB − 3GC − 2 NG = 0 ⇔ 3GA + 4GB = −2GN .
Vậy 7GM = −2GN ⇔ 7GM + 2GN = 0
+ Gọi E là trung điểm BC ⇒ 2 AC = AE + AN
3
3
1
⇔ 2 AC = AG + AN ⇔ AC = AG + AN (1)
2
4
2
PA
1
5
= 4 ⇔ PC = − PA ⇒ AC = AP (2)
PC
4
4
3

1
5
Từ (1) và (2) ⇔ AG + AN = AP
4
2
4
3
1
5
3
1
⇔ AP + PG + AP + PN = AP ⇔ PG + PN = 0 ⇔ 3PG + 2 PN = 0 .
4
2
4
4
2
Đáp án
A.
1
1
Câu 122. Gọi M là trung điểm ĐƯỢC. Ta có: MI = MA, MJ = MB
3
3
1
1
⇒ MJ − MI = MB − MA ⇔ IJ = AB .
3
3
Đáp án

A.
Câu 123. Giả sử: ON = nBN ; OM = mCM
1
AO = AM + MO = AM − mCm = AM − m AM − AC = (1 − m ) . AB + mAC
3
3
Tương tự: AO = AN + NO = AN − nBN = (1 − n ) AC + n AB
4
Và AO chỉ biểu diễn duy nhất qua AB và AC
2
1
(1 − m ) = n m =
ON 1 OM 2
 3
3
⇒
⇔
⇒
= ;
= .
3
1
OB 9 OC 3
 (1 − n ) = m
n =
 4

2
A.
Đáp án

Câu 124. Đặt AN = x AQ; CN = yCP

(

) (

(

)

)

(

(

Ta có: DN = DA + AN = DA + x AB + BQ

)

39

)

Dạng 6. Xác định và tính độ lớn véctơ

Câu 125.
Vì BC − AC = BC + CA = BA
Đáp án
A.

Câu 126. Ta có:

AC = BC 2 − AB 2 = 4 ⇒ AI = 2; BA + BC = 2 BI = 2 AB 2 + AI 2 = 2 13 .
Đáp án

C.

Câu 127. CB − AD + AC = CB + DA + AC = CB + DC = DB = BH 2 + DH 2 = 2a 5
Đáp án
B.
Câu 128. Dựng OA = a; OB = b
Dựng hình bình hành OACB ⇒ a + b = OC; a − b = BA
⇒ ∆OAB vuông tại B ⇒ IB =

OI = OB 2 + IB 2 =

AB 3 3
=
2
2

63
⇒ OC = 63 ⇒ a + b + a − b = 63 + 3 3 .
2

Đáp án
B.
Câu 129. Biểu diễn vectơ v theo 2 vectơ OA, OB .
2


2

6073
 11a   3a 
Áp dụng Pitago ta có: v = 
a.
 +  =
28
 4   7 
Đáp án
B.
Câu 130. Đặt F1 = OA; F2 = OB; OC = OA + OB = F1 + F2
Ta có: ∆OAB là đều ⇒ OI =

60 3
, với I = AB ∩ OC ⇒ OC = 60 3 .
2

Đáp án
D.
Câu 131. OB + OC = OA + AB + OD + DC = AB + DC ⇒ AB + DC = 3a
(vì AB và DC cùng hướng)
Đáp án
A.
40


(

) (


) (

) (

Câu 132. u = MO + OA − 2 MO + OB + 3 MO + OC − 2 MO + OD

)

= OA − 2OB + 3OC − 2OD = −2OA ⇒ u = 2OA = AC = a 2 .

Đáp án

B.
AB − BC = AB − AB ' = BB ' = 2 BK = a 3

Câu 133.
Câu 140.

Đáp án C

Đáp án A

Vì theo quy tắc 3 điểm BC + AB = AB + BC = AC

Câu 134.
Đáp án A

Gọi K là điểm đối xứng với G qua AC thì AK = GC ⇒ AB − GC


= AB − AK = KB = 2 BG =

Gọi O là giao của 2 đường chéo ⇒ AB + AD = AC = 2 AD = a 3

Câu 141.

Câu 135.

2a 3
3

Đáp án A

Đáp án C

2

541
2
 21a 
Áp dụng Pitago: u = 
a
 + ( 2,5a ) =
4
 4 
Câu 142.
Đáp án A
AC + BD = 2 AO + 2OD = 2 AD = 6

OA − CB = OA + BC = OA + AD = OD =

Câu 136.

BD a 2
=
2
2

Câu 143.
Đáp án A

Đáp án A

AB + AC = 2 AM = 2.
Câu 137.

a 3
= a 3 . M là trung điểm BC.
2

Đáp án D
Theo quy tắc 3 điểm độ dài vectơ tổng bao giờ cũng nhỏ hơn hoặc bằng tổng độ dài 2 vectơ
thành phần.

Ta có: AC = a 2 và OA =

⇒ OM =
Câu 144.

AC a 2
=

2
2

a
. Gọi E là điểm sao cho OBEA là hình bình hành ⇒ OA + OB = OE = AB = a
2

Đáp án D

Câu 138.
Đáp án A
AC − CB − AC = AC + BC + CA = AA ' = 0
Câu 139.
Dựng hình bình hành ABMN ⇒ BA + BM = BN = BN

Đáp án C
41

42


Ta có: NC = AM =

Câu 145.

a 2
a 10
1
BC =
⇒ BN = BC 2 + NC 2 =

2
2
2

AB + AC = AD = 3 3 ⇒ A đúng.

Đáp án B
Gọi K ∈ AM : MK =
Do đó:

3
MA
4

HA + HB = HE = AB = 3 ⇒ B đúng.

H ∈ MB : MH = 2,5MB

3
MA − 2,5MB = MK − MH = HK
4

Ta có: MK =

Câu 146.

BA + BH = BI =

a 127
3

3 3a
5a
AM =
, MH =
⇒ KH = MH 2 + MK 2 =
4
8
4
8

63
⇒ C đúng.
2

HA − HB = BA = 3 ⇒ D sai.

Câu 149.
Đáp án C

Đáp án A

Theo quy tắc hình bình hành: F1 + F2 = MA + MC = MB ∆AMB là tam giác đều ⇒ MB = 100 N

(

) (

) (

) (


)

u = 4 MO + OA − 3 MO + OB + MO + OC − 2 MO + OD = 3OA − OB

Câu 150.
Đáp án C

Trên OA lấy A ' sao cho OA ' = 3OA ⇒ u = OA ' − OB ' ⇒ BA ' = OB 2 + OA2 = a 5

Câu 147.
Đáp án C

Ta xem F là tổng của vectơ F1 , F2 lần lượt nằm trên 2 dường thẳng AC và AB và ta có:
F1 + F2 = OB + OD = OC ⇒ F1 + F2 = OC = 2OI = 100 3 (vì ∆OBD đều)

Câu 148.

F1 = F = 10 N ; F2 = 10 2 và lực F2 theo hướng BA

Câu 151. Dựng hình bình hành AGCE. Ta có MA + GC = MA + AE = ME
Kẻ EF ⊥ BC , F ∈ BC ⇒ MA + GC = ME ≥ EF

Đáp án D

Do đó: MA + GC nhỏ nhất khi M ≡ F .
Gọi P là trung điểm AC, Q là hình chiếu của B trên BC. Ta có BP =

∆BPQ ~ ∆BEF ⇒


43

BQ BP 3
4
=
= ⇒ BF = BQ
BF BE 4
3
44

3
BE
4


1
1
Mặt khác: BH = HC ⇒ PQ là đường trung bình của ∆AHC ⇒ HQ = HC
3
2
1
1
5
5
4
5
5
BQ = BH + HQ = HC + HC = HC = BC ⇒ BF = BQ = BC ⇒ x = .
3
2

6
8
3
6
6
Đáp án
B.
Câu 152. Gọi N là trung điểm của AB, Q là điểm đối xứng với A qua C và P là đỉnh của hình bình hành
AQPN.
1
1
AN = AB, AQ = 2 AC ; AN + AQ = AP ⇔ AB + 2 AC = AP
2
2
Gọi L là hình chiếu của A trên PN.
MN / / AC ⇒ ANL = MNB = CAB = 60°
Xét tam giác vng ANL có: sin ANL =

AL
AN

a
a 3
a
9a
⇒ AL = .sin 60° =
⇒ NL = AN .cos ANL = ⇒ PL = PN + NL =
2
4
4

4
a 21
2
2
Xét tam giác vng APL có: AP = AL + PL =
.
2

45


TOÁN 10

HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Câu 3.

0H1-2

2 MA − 3M B = 0 là:
A. 10

MỤC LỤC

Dạng 2. Tọa độ vectơ ........................................................................................................................................... 3

Trên trục x ' Ox có vectơ đơn vị i . Mệnh đề nào sau đây sai?
A. xA là tọa độ điểm A ⇔ OA = x A .i
B. xB , xC là tọa độ của điểm B và C thì BC = xB − xC
C. AC + CB = AB


Dạng 2.3 Biểu diễn một vectơ theo 2 vectơ không cùng phương .................................................................... 6

D. M là trung điểm của AB ⇔ OM =

Dạng 3. Tọa độ điểm ............................................................................................................................................ 6

Câu 6.

Dạng 3.3 Một số bài toán GTLN-GTNN của biểu thức chứa véctơ ............................................................. 11

Câu 8.

Trên trục O; i tìm tọa độ x của điểm M sao cho MA + 2 MC = 0 , với A, C có tọa độ tương ứng

Dạng 2.2 Điều kiện 2 véc tơ cùng phương, thẳng hàng, bằng nhau.............................................................. 15
Dạng 3. Tọa độ điểm .......................................................................................................................................... 17

Phần A. Câu hỏi
Dạng 1. Sử dụng các kiến thức về trục, tọa độ vectơ trên trục và tọa độ của một điểm trên
trục để giải một số bài toán

Câu 2.

Trên trục x ' Ox cho 2 điểm A, B lần lượt có tọa độ là a, b. M là điểm thỏa mãn
MA = kMB, k ≠ 1 . Khi đó tọa độ của điểm M là:
ka − b
kb − a
a − kb
kb + a

A.
B.
C.
D.
k −1
k −1
k +1
k −1

( )

Trên trục O; i cho ba điểm A, B, C. Nếu biết AB = 5, AC = 7 thì CB bằng:
A. −2

B. 2

C. 4
1

D. 3

( )

là −1 và 3
5
A. x =
3

Dạng 2.3 Biểu diễn một vectơ theo 2 vectơ không cùng phương .................................................................. 16


Dạng 3.2 Xác định tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước ..................................................................... 20

D. 4

C. − 6

6

Trên trục x ' Ox cho tọa độ các điểm A, B lần lượt là a, b. Khi đó tọa độ điểm A ' đối xứng với
A qua B là:
a+b
A. b − a
B.
C. 2a − b
D. 2b − a
2

Dạng 2. Tọa độ vectơ ......................................................................................................................................... 14

Dạng 3.3 Một số bài toán GTLN-GTNN của biểu thức chứa véctơ ............................................................. 26

B.

Câu 7.

Dạng 1. Sử dụng các kiến thức về trục, tọa độ vectơ trên trục và tọa độ của một điểm trên trục để giải một số
bài toán............................................................................................................................................................... 13

Dạng 3.1 Xác định tọa độ trung điểm, tọa độ trọng tâm, tọa độ điểm đối xứng .......................................... 17


OA + OB
2

Trên trục x ' Ox , cho tọa độ của A, B lần lượt là −2;3 . Khi đó tọa độ điểm M thỏa mãn:
OM 2 = MA.MB là:
A. 6

Dạng 3.2 Xác định tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước ....................................................................... 8

Dạng 2.1 Sử dụng các cơng thức tọa độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số để giải toán.......................... 14

D. 13

Câu 5.

Dạng 2.1 Sử dụng các công thức tọa độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số để giải tốn............................ 3

Phần B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .................................................................................................................... 13

C. 12

Trên trục x ' Ox cho bốn điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là 3;5; −7;9 . Mệnh đề nào sau đây
sai?
A. AB = 2
B. AC = −10
C. CD = −16
D. AB + AC = −8

Dạng 2.2 Điều kiện 2 véc tơ cùng phương, thẳng hàng, bằng nhau................................................................ 4


Dạng 3.1 Xác định tọa độ trung điểm, tọa độ trọng tâm, tọa độ điểm đối xứng ............................................ 6

B. 11

Câu 4.

Phần A. Câu hỏi ................................................................................................................................................... 1
Dạng 1. Sử dụng các kiến thức về trục, tọa độ vectơ trên trục và tọa độ của một điểm trên trục để giải một số
bài toán................................................................................................................................................................. 1

Câu 1.

( )

Tên trục O; i cho hai điểm A, B lần lượt có tọa độ 1 và 5. Khi đó tọa độ điểm M thỏa mãn

Câu 9.

B. x =

2
3

C. x =

2
5

D. x =


5
2

( )

Trên trục O; i cho 4 điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là a, b, c, d. Gọi E, F, G, H (có tọa độ

lần lượt là e, f, g, h) theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Xét các mệnh đề:
I. e + f + g + h = a + b + c + d
II. EG = EF + EH
III. AE + CF = 0
Trong các mệnh đề trên mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ I
B. II và III

C. I, II, III

D. Chỉ III

CA
DA
=−
Câu 10. Cho 4 điểm A, B, C, D trên trục O; i thỏa mãn
. Khi sso mệnh đề nào sau đây là
CB
DB
đúng?
2
1
1

2
1
1
2
1
1
2
1
1
A.
B.
C.
D.
=
+
=
+
=
+
=
+
AC AB AD
AB AC DA
AB AC AD
AD AB AC

( )

Câu 11. Trên trục ( ∆ ) cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. AB.CD + AC .DB + AD.BC = 0

C. AB. AC + AD.BC + BC .CD = 0

B. AB.DB + AC .BC + AD.CD = 0
D. BD.BC + AD. AC + CB.CA = 0

( )

Câu 12. Trên trục O; i cho ba điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là −5; 2; 4 . Khi đó tọa độ điểm M thảo

mãn 2 MA + 3MC + 4 MB = 0 là:
2


A.

10
3

B.

10
9

C.

5
3

D.


5
4

Câu 13. Trên trục x ' Ox cho tọa độ các điểm B, C lần lượt là m − 2 và m2 + 3m + 2 . Tìm m để đoạn
thẳng BC có độ dài nhỏ nhất.
A. m = 2
B. m = 1
C. m = −1
D. m = −2
Câu 14. Trên trục x ' Ox cho 4 điểm A, B, C,
D. Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của AC, DB,
AD, BC. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. AD + CB = 2 IJ
B. AC + DB = 2 KI
C. Trung điểm các đoạn IJ và KL trùng nhau
D. AB + CD = 2 IK
Câu 15. Trên trục x ' Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là 2;1; −2 . Khi đó tọa độ điểm M nguyên
1
1
1
dương thỏa mãn
=
+
là:
MA MB MC
A. 0
B. 4
C. 2
D. 3
Câu 16. Trên trục x ' Ox cho 4 điểm A, B, C,

2

2

2

2

2

2

2

2

2

D. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. DA .BC + DB .CA + DC .AB + BC.CA. AB = 0

A. 6 .
Câu 24.

A. AB = ( 5; −3) .

D.

5.


B. AB = (1; −3) .

C. AB = ( 3; −5) .

D. AB = ( −1;3) .

Câu 25. Xác định tọa độ của vectơ c = a + 3b biết a = ( 2; −1) , b = ( 3;4 )
A. c = (11;11)

B. c = (11; −13)

C. c = (11;13)

D. c = ( 7;13)

Câu 26. Cho a = ( 2;1) , b = ( 3; 4 ) , c = ( −7; 2 ) . Tìm vectơ x sao cho x − 2a = b − 3c .
A. x = ( 28; 2 )

B. x = (13;5)

C. x = (16; 4 )

D. x = ( 28;0 )

Câu 27. Vectơ a = ( 5;0 ) biểu diễn dạng a = x.i + y. j được kết quả nào sau đây?
A. a = 5i − j

B. a = 5i


C. a = i − 5 j

D. a = −i + 5 j

Câu 28. Xác định tọa độ vectơ c = 5a − 2b biết a = ( 3; −2 ) , b = (1; 4 )
A. c = ( 2; −11)

B. DA .BC + DB .CA + DC . AB = 0

C. 2 .

B. 2 5 .

(Kiểm tra HKI - Phan Đình Tùng - Hà Nội năm học 2018-2019) Trong mặt phẳng với hệ
trục tọa độ Oxy , cho điểm A (1;3 ) và B ( 0;6 ) . Khẳng định nào sau đây đúng?

B. c = ( −2;11)

C. c = ( 2;11)

D. c = (11; 2 )

C. AB .BC + CD .DB + DB .CA = 0
D. DA.BC + DB.CA + CD. AB + BC . AB = 0

Câu 29. Cho a = ( 3; −1) , b = ( 0; 4 ) , c = ( 5;3) . Tìm vectơ x sao cho x − a + 2b − 3c = 0 .

Dạng 2. Tọa độ vectơ

Câu 30. Cho điểm A ( −2;3) và vectơ AM = 3i − 2 j .Vectơ nào trong hình là vectơ AM ?


A. (18; 0 )

B. ( −8;18 )

C. ( 8;18 )

D. ( 8; −18 )

Dạng 2.1 Sử dụng các cơng thức tọa độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số để giải toán
Câu 17. (Kiểm tra HKI - Phan Đình Tùng - Hà Nội năm học 2018-2019) Trong hệ trục tọa độ

(O; i, j ) , tọa độ của véc tơ 2i + 3 j là:
A. ( 2;3 ) .
Câu 18.

B. ( 0;1) .

C. (1;0 ) .

(HKI - Sở Vĩnh Phúc - 2018-2019) Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho vectơ u = 3i − 4 j .

Tọa độ của vectơ u là
A. u = ( 3; −4) .

B. u = ( 3;4) .

C. u = ( −3; −4) .

1

Câu 19. Trong hệ tọa độ Oxy cho u = i − 5 j. Tọa độ của vecto u là
2
1 
1

A. u =  ;5  .
B. u =  ; −5  .
C. u = ( −1;10 ) .
2 
2


Câu 20.

D. u = (1; −10 ) .

C. MN = 29 .

D. MN = 3 .

B. AB = ( −2; − 4 ) .

C. AB = ( 2; 4 ) .

B. a = ( 3; − 8 ) .

C. a = ( 8;3 ) .

B. V2


C. V3

(

)

Câu 31. (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ O; i, j , cho

hai vectơ a = 2i − j và b = ( −4; 2 ) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. a và b cùng hướng.

B. a và b ngược hướng.

C. a = ( −1; 2 ) .

D. a = ( 2;1) .

1 
Câu 32. Cho A = ( 3; −2 ) , B = ( −5; 4 ) , C =  ;0  . Tìm x thỏa mãn AB = x AC .
3 
A. x = 3
B. x = −3
C. x = 2
D. x = −4

D. a = ( 8; − 3) .

Câu 33. Trong các cặp vectơ sau, cặp vectơ nào không cùng phương?
A. a = ( 2;3) ; b = ( −10; −15 )
B. u = ( 0;5 ) ; v = ( 0;8 )


Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm B ( −1;3) và C ( 3;1) . Độ dài vectơ BC bằng
3

D. V4

D. AB = ( 6; 2 ) .

Trong hệ trục toạ độ Oxy , toạ độ của vectơ a = 8 j − 3i bằng

A. a = ( −3;8 ) .
Câu 23.

B. MN = 5 .

A. V1

Dạng 2.2 Điều kiện 2 véc tơ cùng phương, thẳng hàng, bằng nhau

Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho hai điểm A ( 2; − 1) , B ( 4;3) . Tọa độ của véctơ AB bằng

A. AB = ( 8; − 3) .
Câu 22.

D. u = ( −3;4 ) .

Trong hệ trục t ọa độ Oxy , cho hai điểm M (1;1) , N ( 4; −1) . Tính độ dài véctơ MN .

A. MN = 13 .
Câu 21.


D. ( 3; 2 ) .

4