Chuyên đề tiếp tuyến và sự tiếp xúc của đồ thị hàm số, thầy Lê Bá Bảo biên soạn

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.85 MB, 62 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

G

Gi

i

áo

á

o

vi

v

i

ên

ê

n:

:

L

Ê

B

Á

B

Ả

O

_

T

r

ư

ờ

n

g

T

H

P

T

Đ

ặ

n

g

H

u

y

T

r

ứ

,

H

u

ế

S

Đ

T

:

0

9

3

5 .

7

8

5 .

1

5 Đ

ă

n

g

k

í

h

ọ

c

t

h

e

o

đ

ị

a

c

h

ỉ

:

1

6

/

0

4

N

g

u

y

ễ

n

L

ộ

T

r

ạ

c

h

,

T

P

H

u

ế

H

o

ặ

c

T

r

u

n

g

t

â

m

K

m

1

0

H

ư

ơ

n

g

T

r

KHảO SáT HàM Số

TIếP TUYếN Và Sự TIếP XúC

Cố lên các em nhé!

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Page: CLB GIO VIấN TR TP HU

Chuyờn :

KHảO SáT HàM Sè

Chủ đề 7

:

TIÕP TUỸN – Sù TIÕP XóC

Mơn: TỐN 12 _

GIẢI TÍCH

I- LÝ THUYẾT

Cho hàm số

y

f x

, có đồ thị (C).

1. Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm

M x y

0 0

;

0

( )

C

y

0

f x

/ 0

x

0

(*)
Lưu ý: + Điểm

M x y

0 0

;

0

( )

C

được gọi là tiếp điểm.

+ Đường thẳng bất kỳ đi qua

M x y

0 0

;

0 có hệ số góc

k

,
có phương trình:

y

0

k x

x

0

+ Như vậy, hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại

M x y

0 0

;

0

( )

C

có hệ số góc

k

f x

/ 0 . Hay hồnh độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:

k

f x

/ . Rõ ràng,
tiếp tuyến của (C) hoàn toàn xác định nếu biết hệ số góc của tiếp tuyến hoặc hồnh độ tiếp điểm.

Nhắc: Cho hai đường thẳng 1

: y

k x

1

m

1 và 2

: y

k x

2

m

2.

Lúc đó: 1 2

k

1

k

2 và

m

1

m

2 1 2

k k

.

1

2. Điều kiện tiếp xúc: Cho hai hàm số

y

f x

,

(C)

và

y

g x

,

(C')

(C) và (C’) tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương trình

f x

/

g x

/

f x

g x

có nghiệm.

Đặc biệt: Đường thẳng

y

kx

m

là tiếp tuyến với

(C)

: y

f x

khi chỉ khi hệ sau có nghiệm:

( )

f x

kx

m

f x

k

II- MỘT SỐ DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI TIẾP ĐIỂM

Câu 1: (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH LẦN 01 NĂM 2018-2019)Gọi d là tiếp tuyến tại điểm cực đại của
đồ thị hàm số yx33x2. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. d có hệ số góc âm. B. d có hệ số góc dương.
C. d song song với đường thẳng y 4. D. d song song với trục Ox.
Lời giải:

Ta có đồ thị hàm số yx33x2 nhận điểm A



1; 0



làm điểm cực đại. Mà y  

 

1 0.
Suy ra phương trình đường thẳng d: y0. Do đó d song song với đường thẳng y 4.

x
y

(C)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Câu 2: (THPT Tây Thụy Anh - Thái Bình - Lần 2 - 2018 - BTN) Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ
thị hàm số 1 3 2 2 3 5

y x  x  x

A. Có hệ số góc dương. B. Song song với trục hồnh.

C. Có hệ số góc bằng 1 . D. Song song với đường thẳng x1.
Lời giải:

Ta có 2

4 3

y x  x , 0 1
3

x
y

x



    

 . Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là A



3; 5



Suy ra tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cực tiểu có phương trình là y  5.

Câu 3: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01)Hệ số góc của tiếp tuyến

tại A

 

1; 0 của đồ thị hàm số 3 2

3 2

yx  x  là

A. 1. B. 1 . C. 3. D. 0.
Lời giải:

Đặt f x

 

x33x22. Ta có f

 

x 3x26x.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại A

 

1; 0 của đồ thị hàm số đã cho là: f

 

1 3.126.1 3.

Câu 4: (CỤM 8 TRƯỜNG CHUYÊN LẦN 1)Cho hàm số yx32x1 có đồ thị

 

C . Tính hệ số góc
k của tiếp tuyến với

 

C tại điểm có hồnh độ bằng 1.

A. k25. B. k  5. C. k 10. D. k1.
Lời giải:

Ta có :y 3x22. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ bằng 1 là k  y

 

1 1.

Câu 5: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019) Cho hàm số yx41 có đồ thị
là ( )C . Tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại điểm với hồnh độ bằng 0 có hệ số góc là

A. 0 . B. 1 . C. 4. D. 1.
Lời giải:

+) Ta có yx4 1 y4x3

+) Tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại điểm với hồnh độ bằng 0 có hệ số góc là k y(0)0

Câu 6: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1)Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị
hàm số 3 4

x
y

x




 tại điểm có tung độ

7
3

y  .

A. 9

5. B.

5
9

 . C. 5

9. D. 10.

Lời giải:

7 3 4 7

3 2 3

x

y x

x



       

 . Ta có:





5
2

y
x

 

 . Vậy hệ số góc cần tìm là

 

5
1

y   .

Câu 7: (TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐỨC CẢNH LẦN 03) Cho hàm số y x22x4 có đồ thị

 

C . Phương trình tiếp tuyến của

 

C tại điểm có hồnh độ x0 là

A. y4x3. B. 1 2
2

y x . C. 1 2
2

y  x . D. 1 2
2

y  x .

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Ta có

2 4

x
y

x x


 

  ;

 

1
0

y   ; y

 

0 2.

Suy ra phương trình tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ x0 là

 



0 0 2 2

y y x    y x .

Câu 8: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ LẦN 3 2018-2019)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
số 1

x
y

x




 tại điểm M

 

1;0 .

A. 1 1

3 3

y x . B. 1 1
3

y x . C. y  x 1. D. 1 1

9 9

y x .

Lời giải:

TXĐ: D \

 

2 . Ta có

 

1 1
3

f  .

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M

 

1;0 là: 1





0 1 1

3 3 3

y x   y x .

Câu 9: (GKI CS2 LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số

3 2

2 1

y x x  x có đồ thị là

 

C . Phương trình tiếp tuyến của

 

C tại điểm 1;1
3

M 

 là

A. y3x2 . B. y  3x 2 . C. 2

y x . D. 2

y  x

Lời giải:

Ta có: 2

 

2 2; 1 1.

    

y x x y

Phương trình tiếp tuyến của

 

C tại điểm 1;1
3

M 

  là:

 



1 1 2

1 1 1

3 3 3

yy x      x x
Câu 10: (THPT THIỆU HÓA – THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hàm số 3

yx  x có đồ
thị

 

C .Hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị

 

C tại điểm có tung độ bằng 4 là

A. k0. B. k 2. C. k 6. D. k9.
Lời giải:

Ta có hồnh độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình x3 3x  4 x 1

Ta có y'3x2 3 Hệ số góc của tiếp tuyến là k  y' 1

 

6.

Câu 11: (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho đồ thị

 

H : 2 4
3

x
y

x




 .

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

H tại giao điểm của

 

H và Ox.
A. y2 .x B. y  2x 4. C. y  2x 4. D. y2x4.
Lời giải:

 

2 4

0 2 2; 0
3

x

y y x M

x



     

 nên giao điểm của

 

H và Ox là M

 

2; 0 .





3
3

y x

x

   

 nên hệ số góc tiếp tuyến là y

 

2 2.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>





2 2 0 2 4

y x   x .

Câu 12: (THPT NGUYỄN HUỆ - HÀ NỘI 18-19) Cho hàm số yx3 x 1 có đồ thị

 

C

. Phương
trình tiếp tuyến của

 

C

tại giao điểm của

 

C

với trục tung là

A. y2x1. B. y  x 1. C. y2x2. D. y  x 1.
Lời giải:

Gọi M là giao điểm của

 

C

và trục tung. Khi đó M



0; 1



.
Ta có y 3x21. Phương trình tiếp tuyến của

 

C

tại M là

  

M . M



M

  

0 . 0



1 1

y y x x x y y x    x .

Câu 13: (THPT HÙNG VƯƠNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình tiếp tuyến
của đường cong 3 2

3 2

yx  x  tại điểm có hồnh độ x0 1 là

y



9 x



7

. B.

y

  

9 x

7

. C.

y

  

9 x

7

. D.

y



9 x



7

Lời giải:

Xét hàm số 3 2 2

( ) 3 2 '( ) 3 6 '(1) 9.

y f x x  x   f x  x  x f 

Ta có x0  1 y0  2 M0

 

1; 2 .

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M0

 

1; 2 có dạng:









0 '( 0) 0 2 9 1 9 7

yy  f x xx   y x  y x .

Câu 14: (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2)Tiếp tuyến với đồ thị hàm
số 1 4 2 2 3

y  x  x  tại điểm cực tiểu của đồ thị cắt đồ thị ở A B, khác tiếp điểm. Tính độ dài
đoạn thẳng AB .

A. 2 . B. 2. C. 2 2. D. 4 2.

Lời giải:

Ta có: 3 4 ; 0 0
2

x
y x x y

x



     

 

 .

BBT:

Từ BBT suy ra điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là M

 

0;3 .
Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm cực tiểu là đường thẳng y3.
Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị và tiếp tuyến là:

4 2 4 2 0

1 1

2 3 3 2 0

4 4 2 2

x

x x x x

x



         

 

  A



2 2;3 ; B 2 2;3

 



AB4 2.

Câu 15: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG NĂM 2018-2019 LẦN 01)Tìm m để mọi tiếp tuyến của đồ thị 
hàm số 3 2





2 3 1

yx mx  m x đều có hệ số góc dương.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Lời giải:

Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2





2 3 1

yx mx  m x là 2

3 2 2 3

y  x  mx m

Vì hệ số góc dương với mọi x nên ta có





2 3 0 2

3 2 2 3 0 6 9 0 3 0

a

y  x  mx m     m  m   m   m

 .

Câu 16: Cho hàm số 2 1
1

x
y

x





 có đồ thị

 

C . Tiếp tuyến với đồ thị

 

C tại M

 

2;5 cắt hai đường tiệm

cận tại E và .F Khi đó độ dài EF bằng

A. 10. B. 2 10. C. 13. D. 2 13.
Lời giải:

Tiệm cận đứng của đồ thị

 

C là: x 1.
Tiệm cận ngang của đồ thị

 

C là: y1. 
Ta có





3
1

y
x


 

 .

Tiếp tuyến với

 

C tại M

 

2;5 là: yy

 

2 x2



5









2 5
2 1

y  x

   

    y 3x 11.

Gọi E là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng suy ra E

 

1;8 .
Gọi F là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận ngang suy ra F

 

3; 2 .

Vậy EF



3 1

 

2  28



2  402 10.

Câu 17: (THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019)Cho hàm số y4x2 cos 2x

có đồ thị là

 

C . Hoành độ của các điểm trên

 

C mà tại đó tiếp tuyến của

 

C song song
hoặc trùng với trục hoành là





x 



k



k . B.





x 



k



k . C. x  k



k



. D. xk2



k



Lời giải:

Ta có y  4 4sin 2x.

Khi đó, hồnh độ của các điểm trên

 

C mà tại đó tiếp tuyến của

 

C song song hoặc trùng
với trục hồnh là nghiệm của phương trình:

0 4 4sin 2 0

y    x sin 2 1 2 2





2 4

x x



k



x



k



k

         .

Câu 18: (THPT Lương Thế Vinh Đồng Nai lần 2 – 2019)Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của
đồ thị hàm số yx33x2?

A. y9x12. B. y9x14. C. y9x13. D. y9x11.
Lời giải:

3 2

yx  x  y3x23.

Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M x y



0; 0



Hệ số góc tiếp tuyến bằng 9 f

 

x0 3x02 3 9

0 0 1

0 0 2

2 0 : 9 18

2 4 : 9 14

x y d y x
x y d y x

      



       

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Vậy đường thẳng y9x14 là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3

3 2

yx  x .
Câu 19: (CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03)Trên đồ thị

 

: 1

x

C y

x




 có bao nhiêu điểm

M mà tiếp tuyến với

 

C tại M song song với đường thẳng :d x y 1
A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 0.
Lời giải:

Xét hàm số

 

: 1.
2

x
C y

x




 TXĐ:

 





1
\ 2 , ' 0

D y

x


  

 .

Để tiếp tuyến với

 

C tại M song song với đường thẳng :d y x 1 suy ra





 

' 1

y VN

x


 

 . Vậy khơng có tiếp tuyến thỏa mãn.

Câu 20: (THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Tìm điểm M có hoành độ âm trên đồ thị

 

1 3 2

3 3

C y x  x sao cho tiếp tuyến tại M vng góc với đường thẳng 1 2
3 3

y  x .
A. M



2 ; 4



. B. 1;4

M 

 . C.

4
2 ;

M 

 . D. M



2 ; 0



Lời giải:

Giả sử 1 3 2

;

3 3

M a a  a 

  ,



a0



;

y x   y a

 

a21
Tiếp tuyến tại M vng góc với đường thẳng 1 2

3 3

y  x nên ta có:

 

y a  2

1 3

a

   2

a
a



   

 .

Vì M có hồnh độ âm nên ta chọn a 2. Suy ra M



2; 0



Câu 21: (THPT MAI ANH TUẤN-THANH HÓA-2019) Cho hàm số 3 2

3 9 1

y  x x  x có đồ thị

 

C . Hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị

 

C là

A. 1. B. 6. C. 12 . D. 9.
Lời giải:

Ta có y' 3x26x9; y' 3



x1



212 12

Vậy hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị

 

C là 12 .

Câu 22: Cho hàm số

3
2

4 2

x

y  x  x , gọi đồ thị của hàm số là

 

C . Viết phương trình tiếp tuyến

của

 

C có hệ số góc lớn nhất.

A. 9 25
2 12

y x . B. 5 25
12

y x . C. 9 25
4 12

y x . D. 7 5
2 12

y x .
Lời giải:

Gọi

 

d là tiếp tuyến cần tìm phương trình và x0 là hoành độ tiếp điểm của

 

d với

 

C thì

hệ số góc của

 

d :

2
2

0 0 0 0

9 1 9

'( ) 2 2 4

k  y x   x  x   x   

  ; 0

9 1

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Vậy max 9
2

k  đạt được khi và chỉ khi 0

1
2

x  .

Suy ra phương trình tiếp tuyến

 

d : 9 1 1 9 25
2 2 2 2 12

y x y   x

    .

Câu 23: (THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018) Cho hàm số 3 2

3 6 5

yx  x  x . Tiếp
tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ nhất có phương trình là

A. y3x9. B. y3x3. C. y3x12. D. y3x6.
Lời giải:

Ta có: 2

3 6 6

y  x  x 3



x1



2 3 3. Dấu " " xảy ra khi x1 y 9.

Do đó, tiếp tuyến của đồ thị có hệ số góc nhỏ nhất bằng 3 và là tiếp tuyến tại điểm M

 

1;9 .
Phương trình tiếp tuyến là: y3



x 1



9 y 3x6.

Câu 24: (THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1 - 2018) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

4 3
2 1

x
y

x




 cùng với 2 tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích bằng:

A. 6 . B. 7 . C. 5 . D. 4 .
Lời giải:

Ta có:





10
.

2 1

 


y
x

Gọi M x y



0; 0



là điểm nằm trên đồ thị hàm số , 0

1
2

x   .
Phương trình tiếp tuyến tại M :y f x( 0)



xx0



y0









0
0
0

4 3
10

2 1
2 1

x

y x x

x
x


   




Tiệm cận đứng: 1
2

x  , tiệm cận ngang: y2

Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng 
1

A

x

  





2 0 0 0

0 0

4 3 4 8

10 1

2 2 1 2 1

2 1

A

x x

y x

x x
x

 

 

     

 

 

 . Vậy

0
0

4 8

1
;

2 2 1

x
A

x

  



  

 

Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận

ngang yB 2









0
0
0

4 3

10
2

2 1

2 1 B

x
x x

x
x



   



 0

1
2

B

x x

   . Vậy 4 0 1; 2

x

B  

 

Giao điểm 2 tiệm cận là 1; 2
2

I 

 

Ta có:

0 0

10 10

2 1 2 1

IA IA

x x

 

   

 

  ; IB



2x01; 0



IB 2x01

Tam giác IAB vuông tại I nên 0
0

1 1 10

. . 2 1 5

2 2 2 1

IAB

S IA IB x
x

   

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Câu 25: (SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hàm số 2
2
x
y
x


 , có đồ thị (C)

và điểm M(x ; y )0 0 (C) (với x0 0). Biết rằng khoảng cách từ I( 2; 2) đến tiếp tuyến của (C)

tại M là lớn nhất, mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 2x0y0 0. B. 2x0y0  4. C. 2x0y0 2. D. 2x0y0  2.

Lời giải:

Tập xác định D \

 

2 . 4 2

(x 2)

y 

 ,

0
0

(x ; )

x
M

x 

Phương trình tiếp tuyến tại M là 0 2 2

0 0 0

0 0

2
4

(x x ) 4 ( 2) 2 0

( 2) 2

x

y x x y x

x x

       

 

Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến là

2 2

0 0 0

2 4 2 4

0 0

4( 2) ( 2) .2 2 8 16
4 (x 2) 4 (x 2)

x x x

d        

   

Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có 0 0

2 4 2

0 0

8 16 8 2

2 2
4 ( 2) 8( 2)

x x

  
 
  

Dấu bằng xảy ra khi (x02)2 4

0
0
0
4
x
x


   

 . Vì x0 0 nên x0  4 y0 4 2x0y0  4.

Câu 26: (THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần 1 - 2018) Cho hàm số 1
2 3
x
y
x



 . Gọi I là giao điểm

của hai tiệm cận của đồ thị hàm số. Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho 
đạt giá trị lớn nhất bằng

A. 1

d  . B. d 1. C. d  2. D. d  5.
Lời giải:

Tọa độ giao điểm 3 1;
2 2

I   

 .

Gọi tọa độ tiếp điểm là 0
0
0
1
;
2 3
x
x
x
  
  

 . Khi đó phương trình tiếp tuyến  với đồ thị hàm số tại

điểm 0
0
0
1
;
2 3

x
x
x
  
  

  là:













2 2

0 0 0 0

0
0

1
1

2 3 2 4 3 0
2 3

2 3

x

y x x x x y x x

x
x

          

 .

Khi đó:





















2 2

0 0 0

0 0

4 4 2

0 0 0

3 1

2 3 2 4 3

2 3 2 3 1

2 2
,

1 2 3 1 2 3 2 2 3

x x x

x x

d I

x x x

       
    

    

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi





2 0 0

0 0

2 3 1 2

2 3 1

2 3 1 1

x x
x
x x
  
 
   
   
  .

Vậy max





1
2

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Câu 27: [THPT TRẦN QUỐC TUẤN - Lần 1- 2018]Cho hàm số 3

3 2

yx  x có đồ thị

 

C . Đường
thẳng :d y x 2 cắt đồ thị

 

C tại ba điểm A , B , C

 

0; 2 . Gọi k k1, 2 lần lượt là hệ số góc của

tiếp tuyến của

 

C tại A và B . Tính k k1. 2.

A. 9 . B. 27 . C. 81 . D. 81.
Lời giải:

Ta có: y3x23

Xét phương trình hồnh độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị

 

C là :

3 3 0

3 2 2 4 0

x
x x x x x

x




        

 



Vậy đường thẳng d cắt đồ thị

 

C tại ba điểm phân biệt: A



2; 2



, B

 

2; 4 và C

 

0; 2 .
Gọi k k1, 2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của

 

C tại A và B , ta có:

 

1 2 9

k  y   , k2  y

 

2 9. Vậy k k1 2 81.

Câu 28: (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2018 ) Cho hàm số 2 1

2 2

x
y

x




 có đồ thị

 

C . Gọi M x y



0; 0



(với x0 1) là điểm thuộc

 

C , biết tiếp tuyến của

 

C tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận

ngang lần lượt tại A và B sao cho SOIB 8SOIA (trong đó O là gốc tọa độ, I là giao điểm hai

tiệm cận). Tính giá trị của S  x0 4y0.

A. S 8. B. 17
4

S  . C. 23

S  . D. S  2.
Lời giải:

Ta có





2 2

y
x


 

 , TCĐ: x1

 

d1 , TCN: y1

 

d2 , I

 

1;1 .

Phương trình tiếp tuyến  tại điểm M x y



0; 0



có dạng









0
0
0

2 1
2

2 2
2 2

x

y x x

x
x




</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

A  d 0
0

1;
1

x
A

x

 

   

 , B  d2B



2x0 1;1



. IB



2x0 2; 0



, 0

1
0;

IA

x

 

   
 .

OIB OIA

S  S 1.1. 8. .1.1
2 IB 2 IA

  IB8IA 0

2 2 8

x

  







0 1 4

x

   x0 3

(do x0 1) 0

5
4

y

   S  x0  4y0 3 4.5 8
4

   .

Câu 29: (THI THỬ THPTQG VTV7 NĂM 2018-2019)Đồ thị hàm số 2 1
2

x
y

x




 có bao nhiêu cặp tiếp

tuyến vng góc với nhau?

A. 1. B. Vô số. C. 0. D. 2 .
Lời giải:

TXĐ: D \

 

2 . Ta có:





2 1 5

2 2

x

y y

x x

 
  

  .

Tiếp tuyến

 

d1 của đồ thị hàm số tại M x y



1; 1



có dạng: y y x

 

1 xx1



y1.

Tiếp tuyến

 

d2 của đồ thị hàm số tại N x



2;y2



có dạng: y y x

 

2 xx2



y2.

   



 





 



2 2

1 2 1 2 2 2 1 2

1 2

5 5

. 1 1 2 . 2 25

2 2

d d y x y x x x

x x

 

            

  (vô lý).

Vậy khơng có cặp tiếp tuyến nào của đồ thị vng góc với nhau.

Câu 30: (CỤM LIÊN TRƯỜNG HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số

 

ax b,



, , , ; 0, 0



y f x a b c d c d

cx d



    

 có đồ thị

 

C . Đồ thị của hàm số y f

 

x như

hình vẽ dưới đây. Biết

 

C cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Viết phương trình tiếp

tuyến của

 

C tại giao điểm của

 

C với
trục hoành.

A. x3y 2 0. B. x3y 2 0. C. x3y 2 0. D. x3y 2 0.

Lời giải:

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Ta có





ad bc

y

cx d


 

 . Đồ thị hàm số y có tiệm cận đứng x 1nên cd, đi qua

 

0;3 nên

3 ad bc

d



 hay ad. Do đó





2 3

1 1

x

y y

x x

 
  

  .

Phương trình tiếp tuyến tại

 

2; 0 là 1





3 2 0
3

y x  x  y .

Câu 31: (THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018)Cho hàm số y f x

 

xác định và có đạo hàm
trên thỏa mãn f



2x1



2f



1x



3x. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
số y f x

 

tại điểm có hồnh độ bằng 1.

A. 1 6
7 7

y x . B. 1 8
7 7

y  x . C. 1 5
7 7

y x . D. 1 6
7 7

y  x .
Lời giải:

Từ f



2x1



2f



1x



3 x (*), cho x0 ta có f

 

1 2f

 

1 3 0

 

1 0
1 1

f



 

 


Đạo hàm hai vế của (*) ta được 4.f



2x1 .

 

f 2x 1



3f



1x



2.f



1x



1.
Cho x0 ta được 4f

   

1 .f 1 3.f

 

1 2.f

 

1 1 f

   

1 .f 1 . 4 3  f

 

1 1 (**).
Nếu f

 

1 0 thì (**) vơ lý, do đó f

 

1  1, khi đó (**) trở thành

 

1 . 4 3





f

  

 

1 1

f

  

Phương trình tiếp tuyến 1





1
7

y  x  1 8

7 7

y x

    .

Câu 32: (THPT Chuyên Hà Tĩnh - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm liên tục trên
, thỏa mãn 2f

 

2x  f



1 2 x



12x2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x

 

tại điểm có hồnh độ bằng 1 là:

A. y2x2 B. y4x6 C. y2x6 D. y4x2
Lời giải:

Từ 2f

 

2x  f



1 2 x



12x2 (*), cho x0 và 1
2

x ta được

 

2 0 1 0

0 2 1 3

f f

 




 

  f

 

1 2

Lấy đạo hàm hai vế của (*) ta được 4f

 

2x 2f



1 2 x



24x, cho x0 và 1
2

x ta được

 

4 0 2 1 0
4 1 2 0 12

f f

   


  
 

  f

 

1 4.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x

 

tại điểm x1 là

 

1 1



 

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Câu 33: (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019)Có bao nhiêu giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số

x mx m
y

x m

 



 cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm

đó vng góc với nhau.

A. 5 . B. 2 . C. 0 . D. 1.
Lời giải:

2 2

2 3

x mx m m m

y x m

x m x m

  

   

 





2
2

1 m m

y

x m





  

 .

Xét phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục Ox .

x mx m
x m

  



 

  



2 0 *

f x x mx m x m

       .

Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến tại hai điểm đó

vng góc với nhau thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 khác m và

   

1 . 2 1

y x y x   .

 

   









2 2

1 2 2 2

1 2

3 0

3 3

. 1 1 1

m m

f m m m

m m m m

y x y x

x m x m




    


    

   
 

        
     
   


1
0
0

1
3
0
5

m

 
 

 

 

 









 




m

  .

Câu 34: (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ - LẦN 5 - 2019)Cho hàm số bậc bốn y f x

 

xác định và liên tục
trên , hàm số g x

 

2x23 và đường thẳng d có đồ thị như hình vẽ. Biết A là điểm chung
của đồ thị f x

 

và g x

 

, xA 1. Điểm B thuộc đồ thị g x

 

, 9

B

x   và d là tiếp tuyến của
đồ thị hàm số y f x

 

. Giá trị f

 

xA bằng

A. 1. B. 3
2

 . C. 5
2

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Vì các điểm A,B thuộc đồ thị hàm số g(x) nên ta có A ;



1 1



, 9 57

4 8

B ; 

 

13 65

4 8

AB  ; 

   

 . Do d đi qua hai điểm A và B nên ta chọn vectơ pháp tuyến là



65 26



d

n  ; .

Phương trình đường thẳng d là: 65









0 65 26 39 0 5 3
2 2

x  y   x y    y x

Mà d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x

 

nên

 

5
2

A

f x   .

Câu 35: (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hàm
sốy x3 



m1



x2  x 2m1 có đồ thị

 

C (m là tham số thực). Gọi m m1, 2là các giá trị của

mđể đường thẳng d y:   x m 1 cắt

 

C tại ba điểm phân biệt , ,A B C sao cho tổng hệ số
góc của các tiếp tuyến với

 

C tại , ,A B C bằng 19. Khi đó m1 m2 bằng



4

. B.

2

. C.

0

. D.



2

.
Lời giải:

Phương trình hồnh độ giao điểm của d và

 

C :















 




















*
0
1
0
1
0
1
2
2
2
3
m
mx
x
x
m
mx
x
x
m
x
x
m

x
y

Để dvà

 

C cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì

 

* phải có hai nghiệm phân biệt khác 1, tức










 





















;
2
1
2
1
;
0
4
;
0
2
1
0
m

m . Khi đó dvà

 

C cắt nhau tại ba điểm phân biệt



1;m2

 

,B x1;x1 m1

 

,C x2;x2 m1



A với x1; x2là nghiệm của phương trình

 

Hệ số góc tiếp tuyến của

 

C tại A là: y

 

1 22m. Hệ số góc tiếp tuyến của  C tại B là:

 

1 3 12 2



1



11

 x x m x

y .

Hệ số góc tiếp tuyến của

 

C tại Clà: y

 

x2 3x22 2



m1



x2 1.
Theo giả thiết, ta có:

3 x

2 m

1 x

4

2 m

19

1 2 1 2 1 2

3 x x 6x x 2 m 1 x x 4 2m 19 **








m
x
x
m
x
x
2
1
2
1

thay vào

 

** , ta được 3m2 6m 2 m 1 m 4 2m 19 .

1
2

1 2

2 15 0 2

m

m m m m

m

Câu 36: Cho hàm số 2

1
x
y
x



 đồ thị

 

C . Gọi d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của đồ thị

 

C đến một tiếp tuyến của

 

C . Giá trị lớn nhất của d có thể đạt được là 
A. 3 3. B. 3 . C. 2 . D. 2 2 .
Lời giải:

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Phương trình tiếp tuyến tại điểm ; 2

 

a

M a C

a


 
  

  là:









1 2

1
1

a
y x a

a
a

 

  



 

d .

Khi đó

 

























4 4 2

1 2 2

1 1 2 2

, 2

1 1 1 2

1 1 1

a
a

a

a a

d I d

a

a a a

    


 

    
   

  

Câu 37: (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ NĂM 2018 - 2019 LẦN 01)Gọi A là điểm có hồnh độ bằng 1 thuộc
đồ thị C của hàm số 4 2

y x mx m(m là tham số thực). Ta ln tìm được m a
b với

a
b
là phân số tối giản để tiếp tuyến với đồ thị C tại A cắt đường tròn

2 2

:x y 2y 3 0



tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất. Khi đó, tổng a b bằng:
A. 12. B. 3. C. 29. D. 10.

Lời giải:

Đường tròn  :x2 y 12 4 có tâm I 0;1 , R 2.

Ta có A 1;1 m ; 3

4 4

y x mx y 1 4 4m suy ra :y 4 4m x 1 1 m.
Dễ thấy luôn đi qua điểm cố định 3; 0

F và điểm F nằm trong đường tròn



d

R
N
M

I
F

Giả sử cắt



tại M , N , ta có: 2 2 2

2 ; 2 4 ;

MN R d I d I .

Do đó MN nhỏ nhất d I; lớn nhất d I; IF IF.
Khi đó đường thẳng có một véc-tơ chỉ phương 3; 1

u IF ; u 1; 4 4m nên:

. 0

u n 1.3 4 4 0

4 m

13
16

m suy ra a 13, b 16. Vậy a b 13 16 29.

Câu 38: (THPT NGÔ QUYỀN HÀ NỘI NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Cho hàm đa thức bậc bốn

 

y f x có đồ thị

 

C . Hàm số y f

 

x có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi đường thẳng

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

A. 2. B. 3 . C. 1. D. 4.
Lời giải:

Ta có tiếp tuyến  của

 

C tại x1 là y f

 

1 x 1



f

 

1 .
Dựa vào đồ thị của hàm số f

 

x , ta có f

 

1 0.

Vậy :y f

 

1 .

Gọi a1, a2 là hai nghiệm còn lại của f

 

x . Dựa vào đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có :y f

 

1 và

 

C có ba điểm chung.

Câu 39: (THPT KINH MÔN II HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hàm số 1

 

x
y C

x




 .

Điểm M thuộc

 

C có hồnh độ lớn hơn1 , tiếp tuyến của

 

C tại M cắt hai tiệm cận của

 

C
lần lượt tại A, B. Diện tích nhỏ nhất của tam giác OAB bằng

A. 4 2 2 . B. 4. C. 4 2. D. 4 2.

Lời giải:

Tập xác định: D \ 1

 

. Ta có:





2
1

y

x

  

 ,  x 1 .

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Giả sử M m y



; M

   

 C m1



1 1 2

1 1
M
m
y
m m

   

  ;

 





2
1
y m
m
  
 .

Phương trình tiếp tuyến  là:









2 2

1
1

y x m

m
m

    







2 2

2x m 1 y m 2m 1 0

       .

Gọi A là giao điểm của  và đường tiệm cận ngang. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ
phương trình:









2 2 2 1

1
1

y

x m

y x m

m
m


   
     
  




2 1;1



A m

  .

Gọi B là giao điểm của  và đường tiệm cận đứng. Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương
trình:









3 4

2 2 1

1 1 1

1
1

x

m
y

y x m m m

m
m



    
       
  

4
1;1
1
B
m
 
   

 .

Suy ra:

















2 2 4

4 16 2

2 2 4 1 1 4

1 1 1

AB m m m

m m m

 
         
 
   .









2
4
2 1
;
4 1

m m
d O
m
  
 
 













2
4
4
2 1

1 1 2

; . . . 1 4

2 2 4 1 1

OAB

m m

S d O AB m

m
m

  
     

 

2 2

2 1 2 1

1 1

m m m m

m m

    
 

  (vì m1)

2 2

3 4 1

1 1

m m

      

  .

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số m1 và 2

m :





1 2 2

m

  







4 1 4 2 2

m

     
 .

Vậy diện tích nhỏ nhất của tam giác OAB bằng 4 2 2 khi

2
1
1 2
1
1
m
m
m
m
  
   


 

.

Câu 40: (THPT QUỲNH LƯU– 2018-2019– LẦN 1)Cho hàm số 1
2 1
x
y
x
 


 (C), y x m ( )d . Với mọi

m đường thẳng ( )d luôn cắt đồ thị (C) tại hai hai điểm phân biệt A và B.Gọi k1, k2 lần lượt là

hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B.Giá trị nhỏ nhất của 2020 2020
1 2

T k k bằng

A. 1. B. 2. C. 1

2. D.
2
3.
Lời giải:

+ Phương trình hồnh độ giao điểm:

2 2 1 0

1
2 1

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

+ Phương trình (*) có: 2

' m 2(m 1) 0, m

      nên (d) luôn cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt A,B. 
Gọi a b, là các hoành độ giao điểm 1

a b

   
 

 . Khi đó ta có: 1

a b m

m
ab

  




 
 

 .

+ Khi đó: 2020 2020

1 2 4040 4040 2020

1 1 2

(2 1) (2 1) [(2 1)(2 1)]

    

   

T k k

a b a b





2020





2020

2 2

2
4 2( ) 1 2( 1) 2 1

  
      

ab a b m m

+ Nhận xét: Giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi:

2020 2020

(2 1) (2 1)

1 1.

1
2

a b

a b m m

a b

   

        


 


Câu 41: (SỞ GD&ĐT KIÊN GIANG NĂM 2018-2019)Cho hàm số yx33x23x5 có đồ thị

 

C .
Tìm tất cả những giá trị nguyên của k 



2019; 2019



để trên đồ thị

 

C có ít nhất một điểm
mà tiếp tuyến tại đó vng góc với đường thẳng

 

d :y



k3



x.

A. 2021 . B. 2017 . C. 2022 . D. 2016 .
Lời giải:

TXĐ : D . Ta có : y'3x26x3 .

TH1 : k 3 . Khi đó

 

d :y0  khơng tồn tại tiếp tuyến vng góc với

 

d .
TH2 : k3 .

Ta có :









0 0

3 3 6 3 1

k x  x    3 02 6 0 3 1 0 *

 

x x

k

    



Theo yêu cầu bài tốn , phương trình

 

* có nghiệm ' 0 3 0 3

3 k

k



      



Vậy k 



2019; 2018;...;0;1; 2



 Có 2022 giá trị nguyên của k thỏa đề bài.

Câu 42: (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019)Gọi M N, là hai điểm di động trên
đồ thị

 

C của hàm số y  x3 3x2 x 4 sao cho tiếp tuyến của

 

C tại M và N luôn song 
song với nhau. Hỏi khi M N, thay đổi, đường thẳng MN luôn đi qua nào trong các điểm dưới 
đây?

A. Điểm N



 1; 5



B. Điểm M



1; 5



C. ĐiểmQ

 

1;5 D. Điểm P



1;5



Lời giải:

Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm bậc ba tại 2 điểm M N, thuộc đồ thị hàm số song song với nhau
nên đường thẳng MN phải đi qua điểm uốn của

 

C .

Ta có 2

3 6 1; 6 6

y  x  x y  x

Cho y       0 6x 6 0 x 1. Điểm uốn Q

 

1;5 .
Câu 43: Cho hàm số 2

x
y

x




 đồ thị

 

C . Gọi d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của đồ thị

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Lời giải:

Tiệm cận đứng d1: x 1 0, tiệm cận ngangd2: y 1 0  tâm đối xứng là I



1;1



Phương trình tiếp tuyến tại điểm ; 2

 

a

M a C

a


 
  

  là:









1 2

a
y x a

a
a

 

  



 

d .

Khi đó

 

























4 4 2

1 2 2

1 1 2 2

, 2

1 1 1 2

1 1 1

a
a

a

a a

d I d

a

a a a

 
  


 
    
   
  
.

Câu 44: (MĐ 101 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hàm số 1 4 7 2

4 2

y x  x có đồ thị

 

C . Có bao nhiêu
điểm A thuộc

 

C sao cho tiếp tuyến của

 

C tại A cắt

 

C tại hai điểm phân biệt



1; 1

 

; 2; 2



M x y N x y khác A thỏa mãn y1 y2 6(x1 x2) .

A. 1. B. 2 . C. 0. D. 3.
Lời giải:

Ta có

 

1 4 7 2

;

4 2

A C  A t t  t 

 ;

y x  xy t

 

 t3 7 .t

Phương trình tiếp tuyến của

 

C tại A là









1 4 7 2

4 2

y  t  t x t t  t



3 7



3 4 7 2
4 2

y t t x t t

    

Phương trình hồnh độ giao điểm:





4 2 3 4 2

1 7 3 7

4x 2x  t  t x4t 2t





4 2 3 4 2

14 4 7 3 14 0

x x t t x t t

      







2 2



2 3 14 0

x t x tx t

     

 

2 2

2 3 14 0 1

x t

x tx t





     


Tiếp tuyến cắt đồ thị

 

C tại hai điểm phân biệtM x y



1; 1

 

;N x y2; 2



khác A khi phương trình

 

1 có hai nghiệm phân biệt khác t





2 2

2 2 2

7 7

3 14 0

2 3 14 0

t
t t

t
t t t

  
   
 
 
 
   
 
 

 

Khi đó: 1 2 2

1 2

3 14

x x t
x x t

  




 

 và









3 4 2

1 1

3 4 2

2 2
3 7
7
4 2
3 7
7
4 2

y t t x t t

    




    










1 2 7 1 2

y y t t x x

    
Ta có y1 y2 6(x1x2)













1 2 1 2

7 6

t t x x x x

    

7 6 0

t t

   









1 6 0

t t t

    

 

2
1
1 0
2
6 0
3
t n
t
t n
t t
t l
 

  

      
  


</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Với t  1 ta có 1; 13
4

A  

 

Với t  2 ta có A



 2; 10



 có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 45: Cho hàm số yx32018x có đồ thị là

 

C . M1 là điểm trên

 

C có hồnh độ x12. Tiếp

tuyến của

 

C tại M1 cắt

 

C tại điểm M2 khác M1, tiếp tuyến của

 

C tại M2 cắt

 

C tại

điểm M3 khác M2,….., tiếp tuyến của

 

C tại Mn1 cắt

 

C tại điểm Mn khác Mn1



n4;5;....



, gọi



x yn; n



là tọa độ của điểm Mn. Tìm n để

2019

2018xn yn2 0.
A. n685. B. n679. C. n675. D. n673.
Lời giải:

Ta có: 3 2

2018 3 2018

yx  x y x 

Giả sử: Mk

 

C , với





1, 2,... k k; k 2018 k

k M x x  x

Phương trình tiếp tuyến của

 

C tại Mk là









2 3

: 3 2018 2018

k y xk x xk xk xk

     
Gọi Mk1 là giao điểm của k với

 

C

Phương trình hồnh độ giao điểm của k với

 

C :









3 2 3

2018 3 k 2018 k k 2018 k

x  x x  xx x  x x3xk32018



xxk

 

 xxk





3xk22018



0







2 2





 



2 0 2 0

 xxk x x xk  xk   xxk x xk 

2
k

k

x x
x x



   



Suy ra Mk1



2 ; 8xk  xk32018.2xk



, k 1, 2,....

Hay xk1 2xk, với k 1, 2,....

1 2 ,

n n

x  x n

     

 

xn là một cấp số nhân với x12 và công bội q 2.

 

1 *

2. 2 n ,

n

x  n

    

 

3 3

 

8. 2 n 2018.2. 2 n

n

y  

    
Mà 2019

2018xnyn2 0 nên

 

1 3 3 1 2019

2018.2. 2 n 8. 2 n 2018.2. 2 n 2 0

 

3 3 3 2019



3 3 2



1 .2 2 673

3 2019

n n n

n
n

  

     



 .

Câu 46: (THPT Kinh Môn – Hải Dương 2019) Xét đồ thị

 

C của hàm số yx33ax b với a,blà
các số thực. Gọi M ,N là hai điểm phân biệt thuộc

 

C sao cho tiếp tuyến với

 

C tại hai
điểm đó có hệ số góc bằng 3. Biết khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng MNbằng 1. Khi
đó giá trị lớn nhất của 2 2

a b bằng
A. 0. B. 3

2 . C. 2. D.

2
3


Lời giải:

Giả sử M x y



1; 1



, N x



2;y2



. Ta có

3 3

y  x  a. Từ giả thiết ta có

 

 

3
3

y x
y x

 



  

 

2
1
2
2

1
1

x a
x a

  


 
 .

Mặt khác y1 x133ax1b





1 1 2 1

x x a ax b

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Tương tự y2 



2a1



x2b.

Suy ra phương trình đường thẳng MN là



2a1



x  y b 0.
Giả thiết có d O MN





1





2 1

2 1 1

b

a


  

2 2

4 4 2

b  a  a .
Vậy a2b2  3a24a2

2 2 2

3 3 3

a 

 

      

  .

Giá trị lớn nhất của a2b2 bằng 2

3


đạt được khi và chỉ khi 2

a , 10

b  . Vậy: n673.
Câu 47: (CHUYÊN KHTN LẦN 2 NĂM 2018-2019) Cho hàm số y  x3 3x29xcó đồ thị

 

C . Gọi

, , ,

A B C D là bốn điểm trên đồ thị

 

C với hoành độ lần lượt là , , ,a b c d sao cho tứ giác ABCD
là một hình thoi đồng thời hai tiếp tuyến tại A và C song song với nhau và đường thẳng AC
tạo với hai trục tọa độ tam giác cân. Tính tích abcd.

A. 60. B. 120. C. 144 . D. 180.
Lời giải:

Đặt A a y a



;

 



,B b y b



;

 



,C c y c



;

 



,D d y d



;

 



Theo giả thiết y a

 

y c

 

 3a26a  9 3c26c   9 a c 2 (vì ac).

Do đường thẳng AC cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân nên hệ số góc của đường thẳng
AC: k 1.

TH1:

   

3 2 3 2

3 9 3 9

1 y c y a 1 c c c a a a 1 10

k ac

c a c a

      

       

  .

Do ABCD là hình thoi nên ta có

   

1 1

BD

b d a c
b a c d

AB DC

bd
y d y b

y
AC BD

d b

   


     

     



     

  

 

   .

Do đó abcd 120.

TH2: k 1. Lập luận tương tự ta thu được abcd 120.

Dạng 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC

Câu 48: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị 2 3
2

x
y

x




 đi qua giao điểm của hai đường tiệm cận?

A. 1. B. Khơng có. C. Vô số. D.2 .
Lời giải:

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x d 2

c

    làm tiệm cận đứng.
Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y a 2

c

  làm tiệm cận ngang.
Vậy I



2; 2



là giao điểm của hai đường tiệm cận.

TXĐ: D \

 

2 . ' 7 2
( 2)

y
x



</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Gọi tiếp tuyến tại M x y



0; 0



của đồ thị hàm số

2 3
2

x
y

x




 có dạng:

 

0 0 0

:y y x' .(x x ) y

    hay 0

0 0

2 3
7

: .( )

( 2) 2

x

y x x

x x


   

 

Vì  đi qua





0
0
2

0 0

2 3
7

2; 2 .( 2 )

( 2 2

)

x

I x

x x


     

 

0 0

0
2

0 0 0 0

2 3 2 3

7 7

.( 2)

( 2) 2 ( 2) 2

2 x x 2 x

x x x x

 

     




  

0
0

2 10

4 1

2 0

x
x



   


 , phương trình vơ nghiệm.

Vậy khơng tồn tại tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số 2 3
2

x
y

x




 mà đi qua giao điểm của hai

tiệm cận.

Câu 49: [SGD SOC TRANG_2018] Từ điểm M



 1; 9



có thể vẽ được bao nhiêu tiếp tuyến tới đồ thị
hàm số y4x36x21

A. 1. B. 0 . C. 3 . D. 2 .

Lời giải:

Lấy điểm



3 2



0; 4 0 6 0 1

A x x  x  thuộc đồ thị hàm số, tiếp tuyến tại A có phương trình









3 2

0 0 0 0 0

12 12 4 6 1

y x  x xx  x  x  .
Để tiếp tuyến qua M thì









3 2

0 0 0 0 0

9 12x 12x 1 x 4x 6x 1

        3 2

0 0 0

8x 6x 12x 10 0

     

Phương trình có hai nghiệm x0  1 và 0

5
4

x  . Nên qua M có thể kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ
thị hàm số.

Câu 50: Cho hàm số

3
2

4 2

x

y  x  x , gọi đồ thị của hàm số là

 

C . Viết phương trình tiếp tuyến

của

 

C đi qua điểm A

 

2;9 .

A. y  x 2. B. y  8x 5. C. y x 25. D. y  8x 25.
Lời giải:

Phương trình đường thẳng

 

d đi qua điểm A

 

2;9 có hệ số góc k là yk x(  2) 9.

 

d tiếp xúc với

 

C tại điểm có hồnh độ x0 khi hệ

3
2
0

0 0 0

0 0

4 2 ( 2) 9 (1)
3

2 2 4 (2)

x

x x k x

x x k



      




   


có

nghiệm x0.

Thay

 

2 vào

 

1 ta được:

2 2

0 0 0 0 0

4 2 ( 2 2 4)( 2) 9

x

x x x x x

         

3 2

0 0 0 0

4x 15x 12x 9 0 x 3

       .
Thay x0 3 vào

 

2 ta được k 8.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Câu 51: Cho hàm số

1
1

x x
y

x

 


 có đồ thị

 

C . Viết phương trình tiếp tuyến của

 

C xuất phát từ

( 1;3)

M  .

A. y3x1;y 3x. B. y13;y 3x. C. y3;y  3x 1. D. y3;y 3x.
Lời giải:

Ta có

2
2

2
( 1)

x x
y

x


 

 . Gọi M x y( ;0 0) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d với

 

C

2 2

0 0 0 0

0
2

0 0

2 1

: ( )

( 1) 1

x x x x
d y x x

x x

  

  

 

Cách 1:

2 2

0 0 0 0

0
2

0 0

2 1

3 ( 1 )

( 1) 1

x x x x

M d x

x x

  

     

 

2 2 2

0 0 0 0 0 0 0

3(x 1) (x 2x )( x 1) (x 1)(x x 1)

          2

0 0 0 0

1
2 5 2 0 2,

x x x x

      
 Với x0  2 Phương trình tiếp tuyến y3.

 Với 0

1
2

x   Phương trình tiếp tuyến y 3x.

Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua M( 1;3) , có hệ số góc k, khi đó phương trình d có
dạng:

( 1) 3

yk x  .

d tiếp xúc đồ thị

 

C tại điểm có hồnh độ x0 khi hệ phương trình sau có nghiệm x0:
2

0 0

0
0

0 0

2
0

( 1) 3 (1)
1

(2)
( 1)

x x

k x
x

x x
k
x

     
 





 
 


Thế

 

2 vào

 

1 ta được:

2 2

0 0 0 0

0
2

0 0

1 2

( 1) 3

1 ( 1)

x x x x
x

x x

  

  

 

0 0 0 0

1
2 5 2 0 2,

x x x x

       .

 Với x0    2 k 0 Phương trình tiếp tuyến y3.

 Với 0

3
2

x     k Phương trình tiếp tuyến y 3x.

Câu 52: (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hàm số yx33x22 có đồ thị

 

C
và điểm M m



; 2



. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m để qua M kẻ đúng hai tiếp 
tuyến đến

 

C . Tổng tất cả các phần tử của S bằng

A. 8

3. B. 3. C.
2

3. D. 2 .
Lời giải:

3 6

  

y x x

Phương trình tiếp tuyến tại A x y



0; 0



có dạng









2 3 2

0 0 0 0 0

3 6 3 2

     

y x x x x x x

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>









3 2

0 0 0 0 0

2 3 6 3 2

  x  x mx x  x   2x033x02



1m



6x mo  4 0









 

0 2 2 0 3 1 0 2 0 1

 x   x  m x  





 

0
2

0 0

2 0

2 3 1 2 0 2

 


     



x

x m x

Qua M kẻ đúng hai tiếp tuyến đến

 

C khi phương trình

 

1 có đúng hai nghiệm phân biệt

phương trình

 

2 có nghiệm kép khác 2 hoặc phương trình

 

2 có hai nghiệm phân biệt
trong đó có một nghiệm bằng 2 .

Trường hợp 1. Phương trình

 

2 có nghiệm kép khác 2

0
3 1
2
4
 


  

 m
5
3
1
3
 


   



 

m
m
m
5
3
1
 



 

m
m
.

Trường hợp 2. Phương trình

 

2 có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 2





2.4 2 3 1 2 0

 

     

 m
5
1 hoặc
3
2
   

 
 

m m
m
2

 m . Vậy 5; 2; 1
3

 
  
 

S .

Câu 53: Cho hàm số 2

1
 


x

y

x có đồ thị (C ) và điểm A a

 

;1 . Biết 
m
a

n ( với mọi ,m nN và
m

n tối
giản ) là giá trị để có đúng một tiếp tuyến của(C ) đi qua A. Khi đó giá trị m n là

A. 2. B. 7 . C. 5 . D. 3 .
Lời giải:

TXĐ: D \ 1

 





1
'
1
 

y
x

Tiếp tuyến tại tiếp điểm có hồnh độ x0



x0 1



của (C ) có phương trình.









 

0
0
2
1

1
1
 
    


x

y x x

x
x

Đường thẳng

 

 đi qua A a

 









 

2
0 0
0
0
2
0 0
0

2 6 3 0 *
2
1
1
1
1
    
 
      
 
 

x x a

x
a x

x x

x

Có duy nhất 1 tiếp tuyến qua A  pt

 

* có duy nhất 1 nghiệm khác 1

' 0 3 2 0 3

1 0 2

2.1 6.1 3 0

   
 
         
    

a m

a m n

a n

a .

Câu 54: (THPT NGÔ QUYỀN HÀ NỘI NĂM 2018 - 2019 LẦN 01)Cho hàm số 3
1
x
y
x



 có đồ thị là

 

C , điểm M thay đổi thuộc đường thẳng :d y  1 2x sao cho qua M có hai tiếp tuyến của

 

C với hai tiếp điểm tương ứng là A , B . Biết rằng đường thẳng AB luôn đi qua điểm cố 
định là H . Độ dài đoạn OH là

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Gọi M m



;1 2 m



d. Gọi  là đường thẳng đi qua M có hệ số góc là k , khi đó phương trình 
đường thẳng :yk x m







 1 2m.

Để  là tiếp tuyến của đồ thị

 

C thì hệ phương trình









1 2
1

4
1

x

k x m m

x

k
x



    

 




 



có nghiệm.

Thay





4
1

k
x

 

 vào phương trình





1 2
1

x

k x m m

x



   

 ta được





2 2 2 0

mx  m x m  

 

* .

Qua M kẻ được hai tiếp tuyến với

 

C khi và chỉ khi phương trình

 





2 2 2 0

g x mx  m x m   có hai nghiệm phân biệt x1









 

2 2 0

1 4 2 2 0

a m

m
m m m

m
g m m m

 


   

        



      



Gọi A x y



A; A



, B x y



B; B



là hai tiếp điểm, với xA, xB là hai nghiệm của phương trình

 

* .

Theo địnhlý Vi-et ta có





2 2

A B

m
x x

m
m
x x

m




 





  


Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì 2; 3
1

m m

I

m m

 
 
  
 .

Mặt khác ;2





1
B A
B A

m x x
AB x x

m



 

  



  một vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB là



2 ;1



n m m .

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm AB có một vectơ pháp tuyến n



2 ;1m m



và đi
qua điểm 2; 3

m m

I

m m

 
 
  

  là 2mx 



1 m y



  7 m 0.

Gọi H x



H;yH



là điểm cố định mà đường thẳng AB đi qua.

Khi đó, 2mxH 



1 m y



H    m 7 0 m



2xH yH  1



yH  7 0 với mọi m0 và m1.
Suy ra 2 1 0 3



3; 7



7 0 7

H H H

H H

x y x

H

y y

    

 

   

     

  . Vậy

   

2 2

3 7 58

OH      .

Câu 55: Cho hàm số 3
1

x
y

x




 có đồ thị là

 

C , điểm M thay đổi thuộc đường thẳng d y:  1 2x sao

cho qua M có hai tiếp tuyến của

 

C với hai tiếp điểm tương ứng là A , B . Khoảng cách từ

O đến đường thẳng AB lớn nhất bằng

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Lời giải:

Kế thừa lời giải trên, ta có đường thẳng AB: 2mx 



1 m y



  m 7 0 luôn đi qua điểm cố
định H



 3; 7



Gọi K là hình chiếu vng góc của O trên AB . Ta có OK OH  58. Đẳng thức xảy ra khi
và chỉ khi K H, tức là OH  AB hay 7.2 3 1





0 3

m m   m (thỏa điều kiện m0 và
1

m ). Vậy khoảng cách từ O đến đường thẳng AB lớn nhất bằng 58 . 
Câu 56: (THPT SƠN TÂY HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số 3

yx  có đồ thị ( )C .
Trên đường thẳng d y:  x 1 tìm được hai điểm M1



x y1; 1



, M2



x y2; 2



mà từ mỗi điểm đó

kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến

 

C . Tính giá trị biểu thức



2 2



1 2 1 2

3 1

5 3

S y y y y 
A. 113

15 . B.
41

15. C.
14

15. D.
59
15.
Lời giải:

Giả sử Md y:  x 1, ta gọi M a a



; 1



. Đường thẳng  đi qua M a a



; 1



có hệ số góc k 
có phương trình là:yk x( a) a 1.

Đường thẳng tiếp xúc với

 

C khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

1 ( ) 1
3

x k x a a

x k

     







 

3 2

( ) 2 3 0 *

g x x ax a
x k

    


 



 .

Từ M kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến

 

C khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm
phân biệt  hàm số 3 2

( ) 2 3

yg x  x  ax a có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn g x

 

1 0

hoặc g x

 

2 0

( ) 6 6 0

g x x ax

    có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và g x

 

1 0 hoặc

 

2 0

g x  .

Xét g x'

 

0 6x2 6ax 0 x 0

x a




     


 .

Ta có:

0
0

1
0

(0) 0

( ) 0 0

a
a

g

a

g a a a


 


 




     


   
 


     


 

. Suy ra:M1



1; 0



và M2

 

1; 2 .

Vậy:



12 22 1 2







3 1 3 1 41

0 2 0.2

5 3 5 3 15

S  y y y y       .

Câu 57: (THPT NINH BÌNH BẠC LIÊU NĂM 2018-2019 LẦN 04)Cho đồ thị

 

3 2

: 3

C yx  x . Có bao
nhiêu số nguyên b 



10;10



để có đúng một tiếp tuyến của

 

C đi qua điểm B

 

0;b ?

A. 2. B. 9. C. 17. D. 16.
Lời giải:

Gọi



3 2



0 0; 0 3 0

M x x  x là tiếp điểm.

Tiếp tuyến  của ( )C tại M0 có dạng









2 3 2

0 0 0 0 0

3 6 3

y x  x xx x  x

 qua









3 2 3 2

0 0 0 0 0 0 0

(0; ) 3 6 0 3 2 3 (*)

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Có đúng một tiếp tuyến của

 

C đi qua điểm B

 

0;b (*) có đúng 1 nghiệm x0.

Đặt

 

3 2

2 3

g x  x  x ;

 

g x 6x 6x;

 

0 0
1

x
g x

x



   


 .

Ta có bảng biến thiên của hàm ( )g x

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình

 

* có đúng 1 nghiệm 0 0

1 1

b b

  

 

 

   

  .

Vì b nguyên và b 



10;10



, suy ra b  



9; 8;...; 1; 2;3;....;9



, có 17 giá trị của b . 
Câu 58: Cho hàm số   


2
1

x
y

x có đồ thị ( )C và điểm A a( ;1). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực
của tham số a để có đúng một tiếp tuyến của ( )C đi qua A . Tổng tất cả các giá trị các phần tử
của S là

A. 1 . B. 3

2 . C.

2 . D.

1
2 .

Lời giải:

ĐK:x1 ;  

 2

1
'

( 1)

y
x

Đường thẳng d qua A có hệ số góc k là yk x a(  ) 1

d tiếp xúc với ( )C

 

    
 
  

 
 
 2

( ) 1 1

1
1

2
( 1)

x
k x a

x

k
x

có nghiệm.

Thế

 

2 vào

 

1

ta có :                 




2 2

1 2

( ) 1 2 1 3 2, 1

1
( 1)

x

x a x a x x x x x
x

x

 

 2   

2x 6x a 3 0 3

Để đồ thị hàm số có một tiếp tuyến qua A thì hệ là số nghiệm của hệ phương trình trên có 
nghiệm duy nhất phương trình

 

3 có nghiệm duy nhất khác 1

    
     




 
      

     
     




' 9 2 6 0

3
1 6 3 0

2 6 3 0 (3) 2

' 9 2 6 0 1
2 6 3 0

a

a a

x x a

a a

a

Cách 2: TXĐ : D \ 1

 

;





1
1

y
x


 

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Giả sử tiếp tuyến đi qua A a

 

;1 là tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ xx0, khi đó phương trình

tiếp tuyến có dạng :









 

2
1

x

y x x d

x
x

 


  



Vì Ad nên thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta có :









 

0 0

0
0

0 0

2 6 3 0 1

2
1

1 1

    

 

 

    

 

 

x x a
x

a x

x x

x

Để chỉ có một tiếp tuyến duy nhất đi qua A thì phương trình  1 có nghiệm duy nhất khác 1
9 2 6 0

3
1 6 3 0

2
9 2 6 0

1
2 6 3 0

a

a a

a

a
a



     


      


 
 




    

 
     




Dạng 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN KHI BIẾT HỆ SỐ GÓC CỦA TIẾP TUYẾN 
Câu 59: (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hàm số y f x

 

có đồ thị như

hình vẽ

Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu tiếp tuyến vng góc với trục Oy ? 
A. 3. B. 0 . C. 2 . D. 1.
Lời giải:

Từ đồ thị ta có hai tiếp tuyến vng góc với trục Oy là y 1;y 2.

Câu 60: (THPT Thăng Long – Hà Nội – Lần 1 – 2018) Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị hàm số
2 1

x
y

x




 thỏa mãn tiếp tuyến với đồ thị có hệ số góc bằng 2018 ?

A. 1. B. 0 . C. Vô số. D. 2 .
Lời giải:

Tập xác định D \ 1

 





0, 1
1

y x

x



    
 .

Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm x0 trên đồ thị bằng y x

 

0 2018





2018
1

x


 

 vơ nghiệm.

Vậy khơng có tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số có hệ số góc bằng 2018 .

Câu 61: (THPT LƯƠNG TÀI - BẮC NINH - LẦN 2 - 2017 - 2018 - BTN) Biết tiếp tuyến của đồ thị hàm
số yax4bx22 tại điểm A



1; 1



vng góc với đường thẳng x2y 3 0. Tính a2b2.
A. 2 2

a b  . B. 2 2

a b  . C. 2 2

a b   . D. 2 2

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Lời giải:

Ta có 3





4 2 2 2

y  ax  bx x ax b .

Đường thẳng x2y 3 0 có hệ số góc 1
2

k .
Suy ra f   

 

1 2  2 2



a b



  2 2a b 1 .



1; 1



A  thuộc đồ thị hàm số nên a      b 2 1 a b 1
Ta có hệ phương trình: 2 1 2 2 2

1 3

a b a

a b
a b b

  

 

    

      

  .

Câu 62: (GKI NHÂN CHÍNH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01)Cho hàm số 1 3 3 2 2
3

y x  x  có đồ

thị là

 

C . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị

 

C biết tiếp tuyến có hệ số góc k  9
A. y16 9



x3



. B. y 9



x3



. C. y16 9



x3



. D. y16 9



x3



.
Lời giải:

Ta có: 2

y x  x.

Gọi M x



0; y0



là tiếp điểm của tiếp tuyến với

 

C .

Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là: y x

 

0  9
2

0 6 0 9

x x

    2

0 6 0 9 0

x x

    x0  3.
Với x0  3 M



3; 16



Suy ra phương trình tiếp tuyến với đồ thị

 

C tại M



3; 16



có dạng: y16 9



x3



.
Câu 63: (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tiếp tuyến của đồ thị

 

1
:

x
C y

x




 tại điểm có tung độ bằng 1 song song với đường thẳng

 

d :y2x1. B.

 

d :y  x 1. C.

 

d :y x 1. D.

 

d :y 2x2.
Lời giải:

Ta có:





2
1

y
x


 

 . Gọi A x



0;1

  

 C thì
0

0
0

1 0

x

x
x

   
 .

Tiếp tuyến của

 

C tại điểm A có phương trình: y y

 

0 x 0

  

y 0   2x 1.
Suy ra tiếp tuyến song song với

 

d :y 2x2.

Câu 64: (THPT Hồng Bàng - Hải Phòng - Lần 1 - 2018) Cho đường cong

 

C :yx32x23x4 và
đường thẳng d: 3x  y 4 0. Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng
tiếp xúc với

 

C và song song với d ?

A. 3 268
27

y x . B. y3x4. C. 81x27y320. D. 81x27y1400.
Lời giải:

Tiếp tuyến song song với d nên hệ số góc của tiếp tuyến là k 3, mà k  y x

 

0 .

Suy ra

0
2

0 0

3 4 3 3 4

x

x x

x




   

  


. Do đó ta có hai điểm M

 

0; 4 , 4 32;
3 27

N 

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Tại M

 

0; 4 , ta có tiếp tuyến là: y3x4 trùng với d nên không thỏa. 
Tại 4 32;

3 27

N 

  ta có tiếp tuyến là

4 32
3

3 27

y x 

  81x27y1400.

Câu 65: (THPT Phan Đăng Lưu - Huế - Lần I -2018)Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2

x

y

x




 , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

1
5
3

y x và tiếp điểm có hồnh độ
dương.

A. y  3x 10. B. y  3x 2. C. y  3x 6. D. y  3x 2.
Lời giải:

Gọi x0 là hồnh độ tiếp điểm



x0 0



Vì tiếp tuyến vng góc với đường thẳng 1 5
3

y x nên ta có: y x

 

0  3





2
0

3
1

x



  







0 1 1

x

   2

0 2 0 0

x x

   0
0

0
2

x
x



  



(loại)

0 2

x

   y0 4.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 3



x 2



4   3x 10.

Câu 66: (THPT Hải An - Hải Phòng - Lần 1 - 2017 - 2018) Tìm số tiếp tuyến song song với trục hoành
của đồ thị hàm số 4 2

2 10

yx  x  .

A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1.
Lời giải:

3 0

0 4 4 0

x
y x x

x



      

 

 .

Hàm số đã cho là hàm bậc 4 trùng phương có hệ số a0 nên có 3 điểm cực trị (1 cực đại, 2
cực tiểu) tuy nhiên, tiếp tuyến song song với trục hoành tại 2 điểm cực tiểu là trùng nhau nên
có 2 tiếp tuyến thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 67: (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 02)Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị
hàm số y x33x2 song song với đường thẳng 9x y 140?

0

. B. 1. C.

3

. D. 2.
Lời giải:

Gọi

 

C là đồ thị của hàm sốyx33x2.
Tập xác định: D .

Đạo hàm: y 3x23. Gọi : 9d x y 14 0 d y: 9x14.
Gọi  là tiếp tuyến cần tìm.

// d y: 9x 14

   Phương trình  có dạng y9xm m,



 14



 tiếp xúc

 

C

 

3 2 9

*
3 3 9

    


 

 


x x x m

x có nghiệm

 

3 2 9

2 14

* 2

2 18
2

        




  

   




   


x x x m

x m l

x

x m n

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y9x18.
Câu 68: (CHUYÊN BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 03)Cho hàm số

2
x b
y
ax



 ,



ab 2



. Biết rằng

a, b là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A



1; 2



song song với
đường thẳng : 3d x  y 4 0. Khi đó giá trị của a3b bằng

A. 2 . B. 4 . C. 1 . D. 5.
Lời giải:

Ta có:





2
ab
y
ax
 
 
 .

Do A



1; 2



thuộc đồ thị hàm số nên 1 2 3 2
2
b
b a
a
     
 .

Do tiếp tuyến tại A



1; 2



song song với : 3d x  y 4 0 nên y

 

1  3





2
3
2
ab
a
 
  


Thay b 3 2a ta được: a



3 2 a



  2 3



a2



2 2

5a 15a 10 0

    1

2
a
a


  
 .

+) Với a   2 b 1 (loại, do ab 2)

+) Với a  1 b 1. Phương trình tiếp tuyến tại A



1; 2



là y 3



x 1



2 song song với d. 
Vậy a1, b1, suy ra a3b 2.

Câu 69: (CHUYÊN VINH LẦN 3-2018) Cho đồ thị

 

: 1
2

x
C y

x



 và d d1, 2 là hai tiếp tuyến của

 

C

song song với nhau. Khoảng cách lớn nhất giữa d1 và d2là

A. 3 . B. 2 3 . C. 2 . D. 2 2 .
Lời giải:

 

: 1
2

x
C y

x



 ,

 

0
2

y x x

x

    .

1, 2

d d là hai tiếp tuyến của

 

C song song với nhau lần lượt có các hồnh độ tiếp điểm là





1, 2 1 2 ,

x x x x nên ta có y x

 

1 = y x

 

2  2 2

1 2

1 1
2x 2x 

1 2
1 2
1 2
x x
x x
x x


  
  
 .

Gọi 1 1

1 1
1 1
1 1

; ; ;
2 2
x x

M x N x

x x

     



   

    .

PTTT d1 tại

1
1
1
1
;
2
x
M x
x
  
 
 :





1
1
2
1 1
1
1
2 2
x

y x x

x x



   





1
1
2
1 1
1
1
0
2 2
x
x x y

x x


    .

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Áp dụng BĐT Cơ-Si ta có 2 2

1 2 1 2

1 1

4x 2 4 .x 4

x x

    

1; 2

1 2

4 4

2
2
1
4

d d

d

x
x

   


Dạng 4: HAI ĐỒ THỊ TIẾP XÚC

Câu 70: [Sở GD&ĐT Bình Phước-2017] Đồ thị của hàm số f x

 

x3ax2bx c tiếp xúc với trục
hoành tại gốc tọa độ và cắt đường thẳng x1 tại điểm có tung độ bằng 3 khi.

A. a2,b c 0. B. a2,b2,c0. C. a b 0,c2. D. a c 0,b2.
Lời giải:

3 2

( )

f x x ax bxc có đồ thị là

 

C .

Vì

 

C tiếp xúc với Ox tại gốc tọa độ nên ta có: ( ) 0 0 ( ) 3 2

( ) 0 0

f x c

f x x ax
f x b

 

    

    

  .

Theo giả thiết

 

C cắt đường thẳng x1 tại điểm có tung độ bằng 3 suy ra.

(1) 3 1 3 2

f      a a .

Câu 71: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2
1

mx
y

x m




 

tiếp xúc với parabol yx27.

A. m7. B. m 7. C. m4. D. m .
Lời giải:

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi





2 0 1
2

m
m m

m

 

    



 .

Khi đó đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là ym

 

 .

 

 tiếp xúc với parabol yx2  7 m 7.

Câu 72: (Chuyên Thái Bình-Thái Bình-L4-2018) Họ parabol

 

Pm :ymx22



m3



x m 2



m0



ln tiếp xúc với đường thẳng d cố định khi m thay đổi. Đường thẳng d đó đi qua điểm nào 
dưới đây?



0; 2 .



 

0; 2 . C.

 

1;8 . D.



1; 8 .



Lời giải:

Gọi H x y



0; 0



là điểm cố định mà

 

Pm ln đi qua.

Khi đó ta có: 2





0 0 2 3 0 2

y mx  m x  m m x



02 2x0  1



6x0 y0  2 0,  m 0.

0 0

2 1 0

6 2 0

x x
x y

   


 

  

 .

Do x02 2x0  1 0 có nghiệm kép nên  Pm luôn tiếp xúc với đường thẳng :d y6x2.

Ta thấy



0; 2 



d.

III- BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN

Câu 73: Viết tất cả các phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

C :yx32x21,

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

A. y x 1; y  x 1. B. 31; 1.
27

y  x y  x C. 31.
27

y  x D. y  x 3; y  x 1.

Câu 74: Viết phương trình tiếp tuyến của

 

: 2

C yx  x tại điểm M



1; 1 .



A. y2x3. B. y x 2. C. y x 1. D. y x.

Câu 75: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

3 2

: 2 1

C yx  x  tại điểm A

 

1; 0 .
A. y x 1. B. y  x 1. C. y x. D. y2x2.

Câu 76: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

C :yx32x21 tại giao điểm của

 

C và Oy.

A. y 1. B. y2. C. y1. D. y2x1.

Câu 77: Viết tất cả các phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

C :yx32x21, biết tiếp tuyến song song

với đường thẳng y  x 2.

A. y x 1; y  x 1. B. 31; 1.
27

y  x y  x

C. 11; 1.
27

y  x y  x D. y  x 3; y  x 1.

Câu 78: Viết tất cả các phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

C :yx32x21,

biết tiếp tuyến song song
với đường thẳng y  x 1.

A. y x 1; y  x 1. B. 31; 1.
27

y  x y  x C. 31.
27

y  x D. y  x 3; y  x 1.

Câu 79: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị

 

3 2

: 2 1,

C yx  x  biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng y  x 1?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 80: Viết tất cả các phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

3 2

: 2 1,

C yx  x  biết tiếp tuyến vng góc
với đường thẳng x7y0.

A. 7 5; 7 365.
27

y x y x B. 7 5; 7 14.
27

y x y x

C. 7 5; 7 365.
27

y x y x D. 7 5; 7 365.
27

y x y x

Câu 81: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

C :yx33x22 tại điểm A



 1; 2 .



A. y x 1. B. y9x7. C. y9 .x D. y2 .x
Câu 82: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

C :yx33x22

tại giao điểm của

 

C và Oy.
A. y 1. B. y2. C. y4. D. y2x1.

Câu 83: Viết tất cả các phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

C :yx33x22

, biết tiếp tuyến song song
với đường thẳng y9x2.

A. y9x7; y9x25. B. y9x7; y9x25.

C. y9x7; y9x25. D. y9 ;x y9x25.

Câu 84: Viết tất cả các phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

3 2

: 3 2

C yx  x  biết tiếp tuyến song song

với đường thẳng y9x7.

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

C. y9x7; y9x25. D. y9 ;x y9x25.

Câu 85: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị

 

3 2

: 3 2,

C yx  x  biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng y9x7 ?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 86: Viết tất cả các phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

3 2

: 3 2,

C yx  x  biết tiếp tuyến vng
góc với đường thẳng x3y0.

A. y 3x3. B. y 3x1. C. y 3x3. D. y 3x2.

Câu 87: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

: 2 1
2

x
C y

x




 song song với đường thẳng

: 3x y 2 0.

   

A. y3x4. B. y3x2. C. y3x14. D. y3x4.

Câu 88: Viết tất cả các phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

C :yx33x2

có hệ số góc bằng 9 .
A. y9x18; y9x22. B. y9x14;y9x18.

C. y9x18; y9x22. D. y9x14;y9x18.

Câu 89: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

: 2
1

x
C y

x




 tại điểm

1
3; .

A 

 

A. 1 1.
2

y x B. 1 1.
4 4

y x C. 1 .
6

y x D. yx.

Câu 90: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

: 2
1

x
C y

x





 tại giao điểm của

 

C và Ox.

A. y x 1. B. y x 2. C. y x 1. D. y x 2.

Câu 91: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

: 2
1

x
C y

x




 tại giao điểm của

 

C và Oy.

A. y x 1. B. y x 2. C. y x 1. D. y x 2.

Câu 92: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

: 2,
1

x
C y

x





 biết tiếp tuyến song song với đường

thẳng x y 0.

A. y x 2; yx. B. y x 2; y x 2. C. y x 1; y x 2. D. y x 2; y x 4.

Câu 93: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

: 2,
1

x
C y

x




 biết tiếp tuyến song song với đường

thẳng x y  2 0.

A. y x 2; yx. B. y x 2; y x 2. C. y x 1; y x 2. D. y x 2.

Câu 94: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị

 

: 2,
1

x
C y

x




 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

2 0?

x y  

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 95: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

3 2

: 3 1

C yx  x  x tại điểm có hồnh độ x0 thỏa
mãn y x

 

0 3.

A. 1 5.
4 4

y  x B. 5 1.
4

y  x C. y 2x1 D. 5 1.
4

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Câu 96: Biết tiếp tuyến của đồ thị

 

C :yx33x2 x 1

tại điểm có hồnh độ 0 3

x  cắt trục Ox Oy,

lần lượt tại A B, , tính diện tích S của tam giác OAB.

A. 1.
5

S B. 2.
5

S C. S4. D. 4.
5

S

Câu 97: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

4 2

: 2 1

C yx  x  tại điểm có hồnh độ x0 thỏa mãn

 

0 16 0.

y x  

A. y8x4. B. y8x4; y8x4.

C. y8x4; y 8x4. D. y8x4; y8 .x

Câu 98: Tìm hệ số góc nhỏ nhất kmin của tiếp tuyến với đồ thị

 

3 2

1 1

: 2 .

3 3

C y x  x 

A. kmin 4. B. kmin4. C. kmin0. D. kmin 2.

Câu 99: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị

 

1 3 2 1

: 2 ,

3 3

C y x  x  biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ

nhất.

A. y 4x3 B. y 4x3. C. y2x3. D. y 2x3.

Câu 100: Tìm hệ số góc lớn nhất kmax của tiếp tuyến với đồ thị

 

3 2

1 2

: 2 .

3 3

C y  x  x 

A. kmax  4. B. kmax 4. C. kmax6. D. kmax 2.

Câu 101: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị

 

1 3 2 2

: 2 ,

3 3

C y  x  x  biết tiếp tuyến có hệ số góc lớn

nhất.

A. y 4x3. B. y 4x3. C. y4x2. D. y 2x3.

Câu 102: Trong các đường thẳng có phương trình được cho dưới đây, đường thẳng nào là tiếp tuyến
của đồ thị

 

C :yx33x1?

A. y 3x3. B. y 3x1. C. y 3 .x D. y 3x3.

Câu 103: Trong các đường thẳng có phương trình được cho dưới đây, đường thẳng nào là tiếp tuyến
của đồ thị

 

3 2

: 2 1?

C yx  x 

A. y  x 3. B. y  x 1. C. y  x 2. D. y x.

Câu 104: Biết các tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 của đồ thị

 

C :yx32x21

tiếp xúc với

 

C tại các
điểm A B, . Tính độ dài đoạn thẳng AB.

A. 1447.

24 B.

1447
.

3 C.

1447
.

27 D.

1447
.
9

Câu 105: Tiếp tuyến của đồ thị

 

: 4 3 1

C y  x  x đi qua điểm A



1; 2



có phương trình là
A. y 9x7; y  x 2. B. y 9x11; y  x 2.

C. y 9x11;y2. D. y 9x7; y2.

Câu 106: Tiếp tuyến của đồ thị

 

: 2 1
1

x
C y

x




 qua điểm A



1; 4



có phương trình là

A. 1 13.

3 3

y x B. 1 1.
3 3

y x C. 1 4.
3

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Câu 107: Cho hàm số yx33x2 x 1 có đồ thị

 

C . Tiếp tuyến của

 

C tại điểm thuộc đồ thị

 

C có

hồnh độ dương và là nghiệm của phương trình yx y. 11 0 có phương trình là
A. y  x 3. B. y 4x2. C. y  x 2. D. y 4x3.

Câu 108: Cho hàm số yx33x2 có đồ thị

 

C . Gọi M là điểm thuộc đồ thị

 

C có hoành độ bằng 1.

Với giá trị nào của tham số m thì tiếp tuyến của

 

C tại M song song với đường thẳng





: 4 2 1?

d y m  x m

A. m1. B. m 1. C. m2. D. m 2.

Câu 109: Cho hàm số yx42



m1



x2 m 2

có đồ thị

 

C . Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số có
hồnh độ bằng 1. Với giá trị nào của tham số m thì tiếp tuyến với đồ thị

 

C tại A vng góc
với đường thẳng :x4y 1 0?

A. m1. B. m 1. C. m2. D. m 2.

Câu 110: Cho hàm số 3 2

2 3 5

y x  x  có đồ thị

 

C . Gọi d y: kx m là tiếp tuyến của

 

C tại điểm có
hệ số góc tiếp tuyến nhỏ nhất. Tỉ số T2 :m k có giá trị bằng

A. T 7. B. T 5. C. T5. D. T7.

Câu 111: Cho hàm số y f x

 

có đồ thị

 

C và điểm M x f x0



 



thuộc

 

C . Phương trình tiếp tuyến

của

 

C tại M0 là:

A. y f x

 

0 x x 0



. B. y f x

 

0 x x 0



y0. C. y y 0 f x x

 

0 . D. y y 0 f x

 

0 x x 0



.
Câu 112: Cho hàm số y f x

 

có đạo hàm trong khoảng

 

a b; , đồ thị là đường cong

 

C . Để đường

thẳng : yax b là tiếp tuyến của

 

C tại điểm M x f x0



 



, điều kiện cần và đủ là

A. /

 

a f x . B. /

 

0 0

ax  b f x . C.

 

/
0
0 0

a f x
ax b f x

 



 

 . D.

 

/
0

/
0 0

a f x
ax b f x

 




 

 .

Câu 113: Phương trình tiếp tuyến của đường cong

 

C :yx32x3

tại điểm M

 

1; 2 là
A. y2x2. B. y3x1. C. y x 1. D. y 2 x.
Câu 114: Tiếp tuyến của đường cong

 

C :yx x tại điểm M

 

1;1 có phương trình

A. 3 1.
2 2

y x B. 3 1.
2 2

y  x C. 3 1.
2 2

y x D. 3.
2 2

x
y 

Câu 115: Tiếp tuyến với đồ thị hàm số 4

y
x



 tại điểm với hồnh độ x 1 có phương trình

A. y  x 3. B. y  x 2. C. y x 1. D. y x 2.
Câu 116: Cho hàm số y  x2 5

có đồ thị

 

C . Phương trình tiếp tuyến của

 

C tại M có tung độ

0 1

y   , với hoành độ x00 là kết quả nào sau đây?

A. y2 6



x6



1. B. y 2 6



x6



1. C. y2 6



x6



1. D. y2 6



x6



1.
Câu 117: Cho hàm số yx25x4

có đồ thị

 

C . Tiếp tuyến của

 

C tại các giao điểm của

 

C với
trục Ox, có phương trình:

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Câu 118: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 1

x
y

x




 tại điểm có hồnh độ bằng 2, có hệ số góc bằng

A. 1. B. 3. C. 3. D. 5.
Câu 119: Cho đường cong

 

C :yx3

. Tiếp tuyến của

 

C có hệ số góc k12, có phương trình:
A. y12x16. B. y12x8. C. y12x2. D. y12x4.
Câu 120: Cho hàm số 2

2 3

yx  x có đồ thị

 

C . Tại điểm M x y



0; 0

  

 C , tiếp tuyến có hệ số góc

bằng 2 thì x0y0 bằng

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Câu 121: Gọi

 

C là đồ thị của hàm số

3
2

2 3 1

x

y   x  x . Có hai tiếp tuyến của

 

C cùng có hệ số

góc bằng 3

4. Đó là các tiếp tuyến

A. 3 29

4 24

y x hoặc 3 3
4

y x . B. 3 37

4 12

y x hoặc 3 3
4

y x .

C. 3 37

4 12

y x hoặc 3 13

4 4

y x . D. 3 29

4 24

y x hoặc 3 3
4

y x .

Câu 122: Cho hàm số y2x33x24x5 có đồ thị là

 

C . Trong số các tiếp tuyến của

 

C , có một tiếp

tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Hệ số góc của tiếp tuyến này bằng

A. 3,5. B. 5,5. C. 7,5. D. 9,5.

Câu 123: Cho hàm số yx36x29x có đồ thị

 

C . Tiếp tuyến của

 

C song song với đường thẳng

: 9

d y x có phương trình

A. y9x40. B. y9x40. C. y9x32. D. y9x32.

Câu 124: Gọi

 

C là đồ thị của hàm số yx4x. Tiếp tuyến của

 

C vng góc với đường thẳng

: 5 0

d x y có phương trình là

A. y5x3. B. y3x5. C. y2x3. D. y x 4.
Câu 125: Cho hàm số 3 2

3 1

yx  x  có đồ thị là

 

C . Gọi  là tiếp tuyến của

 

C tại điểm A

 

1; 5 và B
là giao điểm thứ hai của  với

 

C . Diện tích tam giác OAB bằng

A. 5. B. 6. C. 12. D. 6 82 .
Câu 126: Cho hàm số y4x36x21

có đồ thị

 

C . Tiếp tuyến của

 

C đi qua điểm M



 1; 9



có
phương trình

A. y24x15. B. 15 21.

4 4

y x

C. y24x15 hoặc 15 21.

4 4

y x D. y24x33.

Câu 127: Cho hàm số yx43x2

có đồ thị là

 

C . Các tiếp tuyến khơng song song với trục hồnh kẻ từ
gốc tọa độ O

 

0; 0 đến

 

C là

A. y2x hoặc y 2x. B. yx hoặc y x.

C. 4

y x hoặc 4

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Câu 128: Cho hàm số

1
4

x

y  x có đồ thị

 

C . Từ điểm M



2; 1



có thể kẻ đến

 

C hai tiếp tuyến
phân biệt. Hai tiếp tuyến này có phương trình

A. y  x 1 hoặc y x 3. B. y  x 3 hoặc y x 1.
C. y  x 3 hoặc y x 1. D. y  x 1 hoặc y x 3.

Câu 129: Cho hàm số 2 1

x
y

x




 có đồ thị

 

C . Gọi d là tiếp tuyến của

 

C , biết d đi qua điểm A



4; 1



Gọi M là tiếp điểm của d và

 

C , tọa độ điểm M là

A. M

  

2; 5 ,M 0; 1



. B. M

 

2; 5 , M



2;1



. C. M



0; 1 ,

 

M 2;1



. D. 1;3 ,



2;1



M  M 

  .

Câu 130: Cho hàm số 2

x
y

x




 có đồ thị

 

C . Trong tất cả các tiếp tuyến của

 

C , tiếp tuyến thỏa mãn

khoảng cách từ giao điểm của hai tiệm cận đến nó là lớn nhất, có phương trình
A. y  x 2 hoặc y  x 2. B. y  x 2 hoặc y  x 1.
C. y x 2 hoặc y x 2. D. y  x 1 hoặc y  x 1.

Câu 131: Từ điểm 2; 0
3

A 

  kẻ đến đồ thị hàm số

5 2

6 3

m

y x mx hai tiếp tuyến vng góc nhau thì

tập tất cả các giá trị của m bằng

A. 1

m hoặc m2. B. 1

m  hoặc m 2.

C. 1

m hoặc m 2. D. 1

m  hoặc m2.

Câu 132: Cho hàm số 2

x
y

x




 có đồ thị

 

C . Tiếp tuyến của

 

C tại điểm có hồnh độ bằng 2 đi qua

 

M a thì a bằng

A. a10. B. a9. C. a3. D. a1.
Câu 133: Cho hàm số 4 2 2

2 2 1

yx  m x  m có đồ thị

 

C . Tất cả các giá trị của tham số m để tiếp tuyến
của

 

C tại giao điểm của

 

C và đường thẳng d x: 1 song song với đường thẳng

:y 12x 4

    là

A. m0. B. m1. C. m 2. D. m3.

Câu 134: Cho hàm số yx3 x 2 có đồ thị

 

C . Để đường thẳng d y: 4x m tiếp xúc với

 

C thì tập

tất cả các giá trị của m là

A. m0 và m4. B. m1 và m2.

C. m3. D. Khơng có giá trị của m.
Câu 135: Cho hàm số 4





3 5 4

yx  m x  có đồ thị là

 

Cm . Để

 

Cm tiếp xúc với đường thẳng

6 3

y  x tại điểm có hồnh độ bằng 1 thì giá trị thích hợp của m là

A. m 1. B. m 2. C. m2. D. Khơng có giá trị m.

Câu 136: Cho hàm số 2

ax
y

bx




 có đồ thị là

 

C . Tại điểm M



 2; 4



thuộc

 

C , tiếp tuyến của

 

C

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Câu 137: Cho hàm số

x b
y

ax




 có đồ thị là

 

C . Biết rằng a và b là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của

 

C tại điểm M



1; 2



song song với đường thẳng d: 3x y  4 0. Khi đó giá trị của a b bằng
A. 2. B. 1. C. 1. D. 0.

Câu 138: Cho hàm số

2 3

ax b
y

x




 có đồ thị là

 

C . Nếu

 

C đi qua A

 

1;1 và tại điểm B trên

 

C có

hồnh độ bằng 2, tiếp tuyến của

 

C có hệ số góc k5 thì các giá trị của a và b là
A. a2;b3. B. a3;b2. C. a2;b 3. D. a3;b 2.

Câu 139: Cho hàm số

ax b
y

x




 có đồ thị là

 

C . Nếu

 

C đi qua A

 

3;1 và tiếp xúc với đường thẳng

: 2 4

d y x , thì các cặp số

 

a b; theo thứ tự là

 

2; 4 hoặc



10; 28



. B.



2; 4



hoặc



10; 28



.
C.



2; 4



hoặc



10; 28



. D.



 2; 4



hoặc



10; 28



Câu 140: Cho hàm số

ax bx
y

x





 có đồ thị là

 

C . Để

 

C qua điểm

5
1;

A 

  và tiếp tuyến của

 

C tại

gốc tọa độ có hệ số góc bằng 3 thì mối liên hệ giữa a và b là

A. 4a b 1. B. a4b1. C. 4a b 0. D. a4b0.

Câu 141: Cho hàm số 1 4 14 2

3 3

y x  x có đồ thị

 

C . Có bao nhiêu điểm A thộc

 

C sao cho tiếp tuyến
của

 

C tại A cắt đồ thị

 

C tại hai điểm phân biệt M x y



1; 1



, N x y



2; 2



(M, N khác A) sao

cho y2y18



x2x1



A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.

Câu 142: Cho hàm số 2

x
y

x

 


 có đồ thị

 

C và điểm A a

 

;1 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của a

để có đúng một tiếp tuyến từ

 

C đi qua A. Tổng tất cả giá trị của phần tử S bằng

A. 1. B. 3

2. C.

2. D.

1
2.

IV – ĐỀ TỔNG ƠN TẬP

§Ị Sè 1

Câu 1: Cho hàm số 1

x
y

x




 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M

 

1; 0 là

A. 1 3.
2 2

y x B. 1 1.
2 2

y x C. 1 1.
2 2

y x D. 1 1.
4 2

y x

Câu 2: Cho hàm số yx33x có đồ thị

 

C .Hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị

 

C tại điểm có

tung độ bằng 4 là

A. k0. B. k 2. C. k6. D. k9.

Câu 3: Cho hàm số 1 3 2 2 1

y x x  x có đồ thị là

 

C . Phương trình tiếp tuyến của

 

C tại điểm

1
1;

M 

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

A. y3x2. B. y 3x2. C. 2.
3

y x D. 2.
3

y  x

Câu 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

: 2 4
3

x
H y

x




 tại giao điểm của

 

H và Ox là

A. y2 .x B. y 2x4. C. y 2x4. D. y2x4.

Câu 5: Cho hàm số y x22x4 có đồ thị

 

C . Phương trình tiếp tuyến của

 

C tại điểm có hồnh

độ x0 là

A. y4x3. B. 1 2
2

y x . C. 1 2
2

y  x . D. 1 2
2

y  x .

Câu 6: Cho hàm số 3

yx  x có đồ thị

 

C . Phương trình tiếp tuyến của

 

C tại giao điểm của

 

C
với trục tung là

A. y2x1. B. y  x 1. C. y2x2. D. y  x 1.

Câu 7: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3

3 2

yx  x song song với đường thẳng

9x y 14 0 ?

A. 0. B. 1. C. 3. D. 2.

Câu 8: Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của đồ thị hàm số yx33x2?

A. y9x12. B. y9x14. C. y9x13. D. y9x11.

Câu 9: Cho hàm số 1 3 3 2 2

y x  x  có đồ thị là

 

C . Phương trình tiếp tuyến với đồ thị

 

C biết tiếp
tuyến có hệ số góc k 9 là

A. y16 9



x3



. B. y 9



x3



. C. y16 9



x3



. D. y16 9



x3



Câu 10: Cho hàm số y f x

 

có đồ thị như hình vẽ

Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu tiếp tuyến vng góc với trục Oy?
A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.

Câu 11: Cho hàm số 3 2

3 9 1

y  x x  x có đồ thị

 

C . Hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị

 

C bằng

A. 1 B. 6 C. 12 D. 9

Câu 12: Tiếp tuyến với đồ thị hàm số 1 4 2

2 3

y  x  x  tại điểm cực tiểu của đồ thị cắt đồ thị ở A B,

khác tiếp điểm. Độ dài đoạn thẳng AB bằng

A. 2. B. 2. C. 2 2 . D. 4 2.

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>





x  k k . B.





x  k k . C. x  k



k



. D. xk2



k



Câu 14: Cho hàm số y f x

 

ax b, , , ,



a b c d ;c 0,d 0



cx d



    

 có đồ thị

 

C . Đồ thị của hàm số y f x

 

như hình vẽ dưới đây. Biết

 

C cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.

Phương trình tiếp tuyến của

 

C tại giao điểm của

 

C với trục hoành là

A. x3y 2 0. B. x3y 2 0. C. x3y 2 0. D. x3y 2 0.

Câu 15: Cho hàm số 1

 

x
y C

x




 . Điểm M thuộc

 

C có hồnh độ lớn hơn1 , tiếp tuyến của

 

C tại

M cắt hai tiệm cận của

 

C lần lượt tại A, B. Diện tích nhỏ nhất của tam giác OAB bằng
A. 4 2 2 . B. 4. C. 4 2 . D. 4 2.

Câu 16: Cho hàm số 1

2 1

x
y

x

 


 (C), y x m d ( ). Với mọi m đường thẳng ( )d luôn cắt đồ thị (C) tại hai

hai điểm phân biệt A và B.Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B.

Giá trị nhỏ nhất của 2020 2020
1 2

Tk k bằng

A. 1. B. 2. C. 1

2. D.

2
3.

Câu 17: Cho hàm số 2

x
y

x




 đồ thị

 

C . Gọi d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của đồ thị

 

C đến một tiếp tuyến của

 

C . Giá trị lớn nhất của d có thể đạt được là
A. 3 3. B. 3. C. 2. D. 2 2.

Câu 18: Cho hàm số 3

yx  có đồ thị ( )C . Trên đường thẳng d y:  x 1 tìm được hai điểm





1 1; 1

M x y , M x y2



2; 2



mà từ mỗi điểm đó kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến

 

C . Giá trị biểu
thức



2 2



1 2 1 2

3 1

5 3

S y y y y  bằng

A. 113

15 . B.

15. C.

15. D.

59
15 .

Câu 19: Cho hàm đa thức bậc bốn y f x

 

có đồ thị

 

C . Hàm số y f x

 

có đồ thị như hình vẽ dưới
đây. Gọi đường thẳng  là tiếp tuyến của đồ thị

 

C tại điểm có hồnh độ bằng 1. Hỏi  và

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.

Câu 20: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm sốy f x

 

thỏa mãn f2



1 2 x



 x f3



1x



tại điểm
có hồnh độ x1 là

A. 1 6

7 7

y  x . B. 1 6

7 7

y  x . C. 1 6

7 7

y x . D. 1 6

7 7

y x .

HẾT

§Ị Sè 2

Câu 1: Tọa độ điểm M có hồnh độ âm trên đồ thị

 

1 3 2

3 3

C y x  x sao cho tiếp tuyến tại M

vng góc với đường thẳng 1 2

3 3

y  x là

A. M



2 ; 4



. B. 1 ;4
3

M 

 . C.

4
2 ;

M 

 . D. M



2 ; 0



Câu 2: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 4

x
y

x




 tại điểm có tung độ

7
,
3

y  bằng

A. 9.

5 B.

5
.
9

 C. 5.

9 D. 10.

Câu 3: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số





3 2

2 3 1

yx mx  m x đều có hệ số góc dương là

A. \ 0 .

 



1;



. C. \ 1 .

 

D. .

Câu 4: Hỏi trên đồ thị

 

: 1
2

x
C y

x




 có bao nhiêu điểm M mà tiếp tuyến với

 

C tại M song song với

đường thẳng d x y:  1?

A. 4. B. 1. C. 2. D. 0.

Câu 5: Gọi d là tiếp tuyến tại điểm cực đại của đồ thị hàm số 3

3 2

yx  x . Khẳng định nào sau đây
đúng?

A. d có hệ số góc âm. B. d có hệ số góc dương.
C. d song song với đường thẳng y 4. D. d song song với trục Ox.

Câu 6: Gọi M N, là hai điểm di động trên đồ thị

 

C của hàm số 3 2

3 4

y  x x  x sao cho tiếp
tuyến của

 

C tại M và N luôn song song với nhau. Hỏi khi M N, thay đổi, đường thẳng

MN luôn đi qua nào trong các điểm có tọa độ dưới đây?

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Câu 7: Hỏi trên đồ thị hàm số 2 1

x
y

x




 có bao nhiêu cặp tiếp tuyến vng góc với nhau?

A. 1. B. Vô số. C. 0. D. 2.

Câu 8: Cho hàm số

x b
y

ax




 ,



ab 2



. Biết rằng a, b là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị

hàm số tại điểm A



1; 2



song song với đường thẳng d: 3x y  4 0. Khi đó, giá trị a3b
bằng

A. 2. B. 4. C. 1. D. 5.

Câu 9: Cho hàm số 1( )
2

x
y C

x




 và d y:  2x m 1 (m là tham số thực). Gọi k1, k2 là hệ số góc của

tiếp tuyến của

 

C tại giao điểm của d và

 

C . Giá trị k k1. 2 bằng
A. 1

4. B. 2. C. 3. D. 4.

Câu 10: Cho hàm số 3 2

3 3 5

yx  x  x có đồ thị

 

C . Có bao nhiêu giá trị nguyên của k trên

2019; 2019

 

  để trên đồ thị

 

C có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại đó vng góc với đường
thẳng

 

d :y



k3



x?

A. 2021 . B. 2017 . C. 2022 . D. 2016 .

Câu 11: Có bao nhiêu giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số

2 2

x mx m
y

x m

 


 cắt trục Ox tại hai

điểm phân biệt và các tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm đó vng góc với nhau?

A. 5 B. 2 C. 0 D. 1

Câu 12: Cho hàm số 3 2

3 2

yx  x  có đồ thị

 

C và điểm M m



; 2



. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị
thực của m để qua M kẻ đúng hai tiếp tuyến đến

 

C . Tổng tất cả các phần tử của S bằng

A. 8.

3 B. 3. C.

2
.

3 D. 2.

Câu 13: Cho hàm số 2

x
y

x



 , có đồ thị (C) và điểm M x y



0; 0

  

 C (với x0 0). Biết rằng khoảng cách

từ I



2; 2



đến tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất, đẳng thức nào sau đây đúng? 
A. 2x0y0 0. B. 2x0y0  4. C. 2x0y02. D. 2x0y0  2.

Câu 14: Gọi d y: ax b a b ,



, 



là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 .
2 3

x
y

x




 Biết d cắt trục hoành và

trục tung lần lượt tại hai điểm A B, sao cho OAB cân tại O. Khi đó, a b bằng
A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.

Câu 15: Cho hàm số 1 3 3 2 2

 

2 2

y x  x  C . Xét hai điểm A a y



; A



và B b y



; B



phân biệt của đồ thị

 

C
mà tiếp tuyến tại A và B song song. Biết rằng đường thẳng AB đi qua D

 

5; 3 . Phương trình
của đường thẳng AB là

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Câu 16: Cho hàm sốyx3



m1



x2 x 2m1 có đồ thị

 

C (m là tham số thực). Gọi 
1, 2

m m là các giá
trị của m để đường thẳng d y:   x m 1 cắt

 

C tại ba điểm phân biệt A B C, , sao cho tổng hệ
số góc của các tiếp tuyến với

 

C tại A B C, , bằng 19. Khi đó m1m2 bằng

A. 4. B. 2. C. 0. D. 2.

Câu 17: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị tham sốm để đồ thị hàm số 3 2 2 3

( ) 3 3 2

f x x  mx  mx m  m
tiếp xúc với trục hoành. Tổng các phần tử của S bằng

A. 0. B. 1. C. 2

3 . D.

4
3 .

Câu 18: Cho hàm số bậc bốn y f x

 

xác định và liên tục trên , hàm số

 

2 3

g x  x  và đường
thẳng d có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Biết A là điểm chung của đồ thị f x

 

và g x

 

, xA 1. Điểm B thuộc đồ thị g x

 

, 9

B

x   và

d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x

 

. Giá trị f x

 

A bằng

A. 1. B. 3

 . C. 5

 . D. 2.

Câu 19: Gọi A là điểm có hồnh độ bằng 1 thuộc đồ thị

 

C của hàm số yx42mx2m

(m là tham

số thực). Ta ln tìm được m a
b

 với a

b là phân số tối giản để tiếp tuyến  với đồ thị

 

C tại
A cắt đường tròn

 

 :x2y22y 3 0

tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất. Khi đó, 
tổng a b bằng

A. 12. B. 3. C. 29. D. 10.

Câu 20: Cho hàm số 1 4 2

3
4

y x  x có đồ thị ( )C . Có bao nhiêu điểm A thuộc ( )C sao cho tiếp tyến của

( )C tại A cắt ( )C tại hai điểm phân biệt M x y



1; 1



, N x y



2; 2



(M N, khác A) thỏa mãn





1 2 5 1 2

y y  x x

A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.

HẾT

§Ị Sè 1

BảNG ĐáP áN TRắC NGHIệM Đề 1

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Đáp án B C C B C B B B D C

Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Đáp án C D A D A B C B B A

LêI GI¶I CHI TIÕT

Câu 1: Cho hàm số 1

x
y

x




 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M

 

1; 0 là

A. 1 3

2 2

y x B. 1 1

2 2

y x C. 1 1

2 2

y x D. 1 1

4 2

y x

Lời giải:

Ta có





 

2 1

2
1

y y

x

   


Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M

 

1; 0 là 1





0
2

y x  1 1.
2 2

y x

  

Chọn đáp án B.

Câu 2: Cho hàm số yx33x có đồ thị

 

C .Hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị

 

C tại điểm có

tung độ bằng 4 là

A. k0 B. k 2 C. k6 D. k9

Lời giải:

Ta có hồnh độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình x33x  4 x 1

Ta có y' 3 x23.

Hệ số góc của tiếp tuyến là ky' 1

 

6.

Chọn đáp án C.

Câu 3: Cho hàm số 1 3 2

2 1
3

y x x  x có đồ thị là

 

C . Phương trình tiếp tuyến của

 

C tại điểm

1
1;

M 

  là

A. y3x2 . B. y 3x2 . C. 2

y x . D. 2

y  x

Lời giải:

Ta có: 2

 

2 2 1 1 2 2 1

yx  x y    

Phương trình tiếp tuyến của

 

C tại điểm 1;1
3

M 

  là:

 



1 2

1 1 .

3 3

y y x   y x

Chọn đáp án C.

Câu 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

: 2 4

x
H y

x




 tại giao điểm của

 

H và Ox là

A. y2 .x B. y 2x4. C. y 2x4. D. y2x4.

Lời giải:

 

2 4

0 2 2; 0

x

y y x M

x



     

 nên giao điểm của

 

H và Ox là M

 

2; 0 .





3
3

y x

x



   

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 

H tại giao điểm của

 

H và Ox là





2 2 0 2 4

y  x    x .

Chọn đáp án B.

Câu 5: Cho hàm số y x22x4 có đồ thị

 

C . Phương trình tiếp tuyến của

 

C tại điểm có hoành

độ x0 là

A. y4x3. B. 1 2
2

y x . C. 1 2
2

y  x . D. 1 2
2

y  x .

Lời giải:

Ta có

1
2 4

x
y

x x


 

  ;

 

1
0

y   ; y

 

0 2.

Suy ra phương trình tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ x0 là

 

0 0



2 1 2
2

yy x    y x .

Chọn đáp án C.

Câu 6: Cho hàm số 3

yx  x có đồ thị

 

C . Phương trình tiếp tuyến của

 

C tại giao điểm của

 

C
với trục tung là

A. y2x1. B. y  x 1. C. y2x2. D. y  x 1.
Lời giải:

Gọi M là giao điểm của

 

C và trục tung. Khi đó M



0; 1



Ta có 2

3 1

y  x  .

Phương trình tiếp tuyến của

 

C tại M là: yy x

  

M . x x M



yM y

  

0 . x0



   1 x 1.

Chọn đáp án B.

Câu 7: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số yx33x2 song song với đường thẳng

9x y 14 0 ?

A. 0. B. 1. C. 3. D. 2.
Lời giải:

Gọi

 

C là đồ thị của hàm sốyx33x2

. Tập xác định: D .
Đạo hàm: 2

3 3

y  x  . Gọi d: 9x y 14 0 d y: 9x14. Gọi  là tiếp tuyến cần tìm.

// d y: 9x 14

   Phương trình  có dạng y9x m m ,



 14



 tiếp xúc

 

C

 

3
2

3 2 9

*
3 3 9

x x x m
x

    


 

 

 có nghiệm

 

 

 

3 3 2 9

2 14

* 2

2 18

x x x m

x m l
x

x m n
x

         


   

   




   




Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là :y9x18.
Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa u cầu bài tốn.

Chọn đáp án B.

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Lời giải:

3 3 2

yx  x y3x23.

Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M x y



0; 0



.
Hệ số góc tiếp tuyến bằng

 

0 0

9 f x 3x  3 9 0 0 1
0 0 2

2 0 : 9 18

2 4 : 9 14

x y d y x
x y d y x

       
       

 .

Vậy đường thẳng y9x14 là tiếp tuyến của đồ thị hàm số yx33x2.

Chọn đáp án B.

Câu 9: Cho hàm số 1 3 3 2 2

y x  x  có đồ thị là

 

C . Phương trình tiếp tuyến với đồ thị

 

C biết tiếp
tuyến có hệ số góc k 9 là

A. y16 9



x3



. B. y 9



x3



. C. y16 9



x3



. D. y16 9



x3



.
Lời giải:

Ta có: 2

y x  x.

Gọi M x



0; y0



là tiếp điểm của tiếp tuyến với

 

C .

Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là y x

 

0  9 2

0 6 0 9

x x

    2

0 6 0 9 0

x x

    x0 3.
Với x0 3 M



3; 16



Suy ra phương trình tiếp tuyến với đồ thị

 

C tại M



3; 16



có dạng: y16 9



x3



Chọn đáp án D.

Câu 10: Cho hàm số y f x

 

có đồ thị như hình vẽ

Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu tiếp tuyến vng góc với trục Oy?

A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.
Lời giải:

Từ đồ thị ta có hai tiếp tuyến vng góc với trục Oy là y 1;y 2.

Chọn đáp án C.

Câu 11: Cho hàm số 3 2

3 9 1

y  x x  x có đồ thị

 

C . Hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị

 

C bằng

A. 1 B. 6 C. 12 D. 9

Lời giải:

Ta có y' 3x26x9

; y' 3



x1



212 12

Vậy hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến với đồ thị

 

C là 12.

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

Câu 12: Tiếp tuyến với đồ thị hàm số 1 4 2 2 3

y  x  x  tại điểm cực tiểu của đồ thị cắt đồ thị ở A B,

khác tiếp điểm. Độ dài đoạn thẳng AB bằng

A. 2. B. 2. C. 2 2 . D. 4 2.
Lời giải:

Ta có: 3 0

4 ; 0

x
y x x y

x

 
     

 
 .

BBT:

Từ BBT suy ra điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là M

 

0; 3 .
Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm cực tiểu là đường thẳng y3.
Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị và tiếp tuyến là:

4 2 4 2 0

1 1

2 3 3 2 0

4 4 2 2

x

x x x x

x

 
         

 

 A



2 2; 3 ; B 2 2; 3

 



AB4 2 .

Chọn đáp án D.

Câu 13: Cho hàm số y4x2 cos 2x có đồ thị là

 

C . Hoành độ của các điểm trên

 

C mà tại đó tiếp
tuyến của

 

C song song hoặc trùng với trục hoành là





x  k k . B.





x  k k . C. x  k



k



. D. xk2



k



.
Lời giải:

Ta có y  4 4 sin 2x.

Khi đó, hồnh độ của các điểm trên

 

C mà tại đó tiếp tuyến của

 

C song song hoặc trùng
với trục hồnh là nghiệm của phương trình:

0 4 4 sin 2 0

y    x sin 2 1 2 2





2 4

x x  k  x  k k

         .

Chọn đáp án A.

Câu 14: Cho hàm số y f x

 

ax b, , , ,



a b c d ;c 0,d 0



cx d



    

 có đồ thị

 

C . Đồ thị của hàm số y f x

 

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

Phương trình tiếp tuyến của

 

C tại giao điểm của

 

C với trục hoành là

A. x3y 2 0. B. x3y 2 0. C. x3y 2 0. D. x3y 2 0.

Lời giải:

Đồ thị hàm số y f x

 

đi qua



0; 2



suy ra b 2d.

Ta có





ad bc
y

cx d


 

 . Đồ thị hàm số y có tiệm cận đứng x 1nên cd, đi qua

 

0; 3 nên

3 ad bc

d



 hay a d . Do đó





2 3

1 1

x

y y

x x

 
  

  .

Phương trình tiếp tuyến tại

 

2; 0 là 1





3 2 0
3

y x  x y   .

Chọn đáp án D.

Câu 15: Cho hàm số 1

 

x
y C

x




 . Điểm M thuộc

 

C có hồnh độ lớn hơn1 , tiếp tuyến của

 

C tại

M cắt hai tiệm cận của

 

C lần lượt tại A, B. Diện tích nhỏ nhất của tam giác OAB bằng
A. 4 2 2 . B. 4. C. 4 2 . D. 4 2.

Lời giải:

Tập xác định: D \ 1

 

Ta có:





2
1

y
x

  

 ,  x 1 .

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y1 và đường tiệm cận đứng x1.

Giả sử M m y



; M

   

 C m1



1 1 2

1 1

M

m
y

m m


   

  ;

 





2
1

y m

m

  

 .

Phương trình tiếp tuyến  là:









2 2

1
1

y x m

m
m

    







2 2

2x m 1 y m 2m 1 0

       .

Gọi A là giao điểm của  và đường tiệm cận ngang. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ

phương trình:









2 1 2 2 1

1
1

y

x m

y x m

m
m

 


  
     

  





2 1;1



A m

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Gọi B là giao điểm của  và đường tiệm cận đứng. Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương

trình:









3 4

2 1 2 1

1 1
1
1
x
m
y

y x m m m

m
m
 
     
       
  

4
1;1
1
B
m
 
   

 .

Suy ra:

















2 2 4

4 16 2

2 2 4 1 1 4

1 1 1

AB m m m

m m m

 
         
 
   .









2
4
2 1
;
4 1
m m

d O
m
  
 
 













2
4
4
2 1

1 1 2

; . . . 1 4

2 2 4 1 1

OAB

m m

S d O AB m

m
m

  
     

 

2 2 1 2

2 1
1
1

m m m m
m
m

    

 



 (vì m1)

2 2

3 4 1

1 1

m m

      

  .

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số m1 và 2

m :





1 2 2

m

  






4 1 4 2 2

m

     

 .

Vậy diện tích nhỏ nhất của tam giác OAB bằng 4 2 2 khi

2
1
1 2
1
1
m
m
m
m
  
   


 

.

Chọn đáp án A.

Câu 16: Cho hàm số 1

2 1
x

y
x
 


 (C), y x m d ( ). Với mọi m đường thẳng ( )d luôn cắt đồ thị (C) tại hai

hai điểm phân biệt A và B.Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B.

Giá trị nhỏ nhất của 2020 2020
1 2

Tk k bằng

A. 1. B. 2. C. 1

2. D.

2
3.

Lời giải:

+ Phương trình hồnh độ giao điểm:

2 2 1 0

1
2 1

x mx m
x
x m
x x
    
     
   (*)

+ Phương trình (*) có:  ' m22(m 1) 0,m

nên (d) luôn cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt A,B.

Gọi a b, là các hoành độ giao điểm 1

a b

   

 

 . Khi đó ta có: 1

a b m
m
ab
   

   
 .

+ Khi đó:

[ ]

2020 2020

1 2 4040 4040 2020

1 1 2

(2 1) (2 1) (2 1)(2 1)

T k k

a b a b

    

   

2020 2020

2 2

2
4ab 2(a b) 1 2(m 1) 2m 1

  

         

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

+ Nhận xét: Giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi:

2020 2020

(2 1) (2 1)

1 1.

1
2

a b

a b m m
a b
   
        

 


Chọn đáp án B.

Câu 17: Cho hàm số 2

1
x
y
x



 đồ thị

 

C . Gọi d là khoảng cách từ giao điểm hai tiệm cận của đồ thị

 

C đến một tiếp tuyến của

 

C . Giá trị lớn nhất của d có thể đạt được là
A. 3 3. B. 3. C. 2. D. 2 2.
Lời giải:

Tiệm cận đứng d1: x 1 0, tiệm cận ngangd2: y 1 0  tâm đối xứng là I



1;1



Phương trình tiếp tuyến tại điểm ; 2

 

a

M a C
a

  


  

  là:









1 2

1
1

a
y x a

a
a

 

  



 

d .

Khi đó

  























4 4 2

1 2 2

1 1 2 2

, 2

1 1 1 2

1 1 1

a
a

a

a a

d I d

a

a a a

    

 
    
   
  
.

Chọn đáp án C.

Câu 18: Cho hàm số 3

yx  có đồ thị ( )C . Trên đường thẳng d y:  x 1 tìm được hai điểm





1 1; 1

M x y , M x y2



2; 2



mà từ mỗi điểm đó kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến

 

C . Giá trị biểu
thức



2 2



1 2 1 2

3 1

5 3

S y y y y  bằng

A. 113

15 . B.

15. C.

15. D.

59
15 .

Lời giải:

Giả sử M d y :  x 1, ta gọi M a a



; 1



. Đường thẳng  đi qua M a a



; 1



có hệ số góc k có
phương trình là:yk x a(   ) a 1.

Đường thẳng tiếp xúc với

 

C khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

3
2

1 ( ) 1

x k x a a
x k
     





 

3 2
2

( ) 2 3 0 *

g x x ax a
x k
    

 

 .

Từ M kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến

 

C khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm
phân biệt  hàm số yg x( ) 2 x33ax2a

có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn g x

 

1 0 hoặc

 

2 0

g x  g x( ) 6 x26ax0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và g x

 

1 0 hoặc g x

 

2 0.

Xét

 

2 0

' 0 6 6 0 x

g x x ax

x a
 
     

 .
Ta có:
3
0
0
1
0
(0) 0
1

( ) 0 0

a
a

a
a
g
a
g a a a

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

Suy ra:M1



1; 0



và M2

 

1; 2 . Vậy:









2 2 2

1 2 1 2

3 1 3 1 41

0 2 0.2

5 3 5 3 15

S y y y y       .

Chọn đáp án B.

Câu 19: Cho hàm đa thức bậc bốn y f x

 

có đồ thị

 

C . Hàm số y f x

 

có đồ thị như hình vẽ dưới
đây. Gọi đường thẳng  là tiếp tuyến của đồ thị

 

C tại điểm có hồnh độ bằng 1. Hỏi  và

 

C có bao nhiêu điểm chung?

A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Lời giải

Ta có tiếp tuyến  của

 

C tại x1 là y f

 

1 x 1

  

f 1 .
Dựa vào đồ thị của hàm số f x

 

, ta có f

 

1 0. Vậy :y f

 

1 .

Gọi a1, a2 là hai nghiệm còn lại của f x

 

. Dựa vào đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có :y f

 

1 và

 

C có ba điểm chung.

Chọn đáp án B.

Câu 20: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm sốy f x

 

thỏa mãn f2



1 2 x



 x f3



1x



tại điểm
có hồnh độ x1 là

A. 1 6

7 7

y  x . B. 1 6

7 7

y  x . C. 1 6

7 7

y x . D. 1 6

7 7

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

Lời giải:

Ta có: f2



1 2 x



 x f3



1x



(*).

Đạo hàm hai vế (*) ta được: 4.f



1 2 . x f

 

 1 2 x



 1 3f2



1x f

 

 1x



(**)

Khi x0 từ(*) và (**) ta có hệ

 

   

2 3

4 1 . 1 1

1 1

3 1 . 1

f f

f f f f

  


 






   

 

1 0

1 1

1
1

f l
f tm

f

 












 







Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x

 

tại điểm có hồnh độ x1 là:

 

1 1

  

y f x  f hay 1 6

7 7

y  x .

Chọn đáp ỏn A.

Đề Số 02

BảNG ĐáP áN TRắC NGHIệM §Ò 02

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Đáp án D C D D C C C A D C

Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Đáp án D A B D D D C C C B

LêI GI¶I CHI TIÕT

Câu 1: Tọa độ điểm M có hồnh độ âm trên đồ thị

 

: 1 3 2

3 3

C y x  x sao cho tiếp tuyến tại M

vng góc với đường thẳng 1 2

3 3

y  x là

A. M



2 ; 4



. B. 1 ;4
3

M 

 . C.

4
2 ;

M 

 . D. M



2 ; 0



Lời giải:

Ta có: y x21 y a

 

a21. Giả sử ;1 3 2

3 3

M a a  a 

  ,



a0



Tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng 1 2

3 3

y  x nên ta có:

 

y a  a2 1 3 2
2

a
a

 
   

 .

Vì M có hồnh độ âm nên ta chọn a 2. Suy ra M



2; 0



Chọn đáp án D.

Câu 2: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 4

x
y

x




 tại điểm có tung độ

7
,
3

y  bằng

A. 9.

5 B.

5
.
9

 C. 5.

9 D. 10.

Lời giải:

Ta có: 7 3 4 7 1

3 2 3

x

y x

x



       

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

Ta có:





5
2

y
x

 

 . Vậy hệ số góc cần tìm là

 

5
1

ky   .

Chọn đáp án C.

Câu 3: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số





3 2 2 3 1

yx mx  m x đều có hệ số góc dương là

A. \ 0 .

 



1;



. C. \ 1 .

 

D. .
Lời giải:

Vì hệ số góc dương với mọi x nên ta xét:





2 3 0 2

3 2 2 3 0 6 9 0 3 0

a

y  x  mx m      m  m   m   m

 .

Chọn đáp án D.

Câu 4: Hỏi trên đồ thị

 

: 1
2

x
C y

x




 có bao nhiêu điểm M mà tiếp tuyến với

 

C tại M song song với

đường thẳng d x y:  1?

A. 4. B. 1. C. 2. D. 0.
Lời giải:

TXĐ:

 





\ 2 , ' 0

D y

x



  

 .

Để tiếp tuyến với

 

C tại M song song với đường thẳng d y:  x 1 suy ra





 

' 1

y VN

x



 

 .

Vậy khơng có tiếp tuyến thỏa mãn.

Chọn đáp án D.

Câu 5: Gọi d là tiếp tuyến tại điểm cực đại của đồ thị hàm số yx33x2. Khẳng định nào sau đây

đúng?

Ta có đồ thị hàm số yx33x2

nhận điểm A



1; 0



làm điểm cực đại.
Mà y  

 

1 0.

Suy ra phương trình đường thẳng d: y0.
Do đó d song song với đường thẳng y 4.

Chọn đáp án C.

Câu 6: Gọi M N, là hai điểm di động trên đồ thị

 

C của hàm số y  x3 3x2 x 4

sao cho tiếp
tuyến của

 

C tại M và N luôn song song với nhau. Hỏi khi M N, thay đổi, đường thẳng

MN ln đi qua nào trong các điểm có tọa độ dưới đây?



 1; 5 .





1; 5 .



C. Q

 

1; 5 . D. P



1; 5 .



</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm bậc ba tại 2 điểm M N, thuộc đồ thị hàm số song song với nhau
nên đường thẳng MN phải đi qua điểm uốn của

 

C .

Ta có y 3x26x1;y 6x6

Cho y       0 6x 6 0 x 1. Điểm uốn Q

 

1; 5 .

Chọn đáp án C.

Câu 7: Hỏi trên đồ thị hàm số 2 1

x
y

x




 có bao nhiêu cặp tiếp tuyến vng góc với nhau?

A. 1. B. Vô số. C. 0. D. 2.
Lời giải:

TXĐ: D \ 2

 

 . Ta có:





2 1 5

2 2

x

y y

x x

 

  

  .

Tiếp tuyến

 

d1 của đồ thị hàm số tại M x y



1; 1



có dạng: yy x

 

1 x x 1



y1.

Tiếp tuyến

 

d2 của đồ thị hàm số tại N x y



2; 2



có dạng: yy x

 

2 x x 2



y2.

   



 





 



2 2
1 2 1 2 2 2 1 2

1 2

5 5

. 1 1 2 . 2 25

2 2

d d y x y x x x

x x

 

            

  (vơ lý).

Vậy khơng có cặp tiếp tuyến nào của đồ thị vng góc với nhau.

Chọn đáp án C.

Câu 8: Cho hàm số

x b
y

ax




 ,



ab 2



. Biết rằng a, b là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị

hàm số tại điểm A



1; 2



song song với đường thẳng d: 3x y  4 0. Khi đó, giá trị a3b
bằng

A. 2. B. 4. C. 1. D. 5.
Lời giải:

Có





2
2

ab
y

ax

 
 

 . Do A



1; 2



thuộc đồ thị hàm số nên

2 3 2

b

b a
a



    

 .

Do tiếp tuyến tại A



1; 2



song song với d: 3x y  4 0 nên y

 

1  3





2
3
2

ab
a

 

  



Thay b 3 2a ta được phương trình a



3 2 a



  2 3



a2



2 5a215a10 0 1

a
a

 
  

 .

+) Với a   2 b 1 (loại, do ab 2)

+) Với a  1 b 1. Phương trình tiếp tuyến tại A



1; 2



là y 3



x 1



2 song song với d.
Vậy a1, b1, suy ra a3b 2.

Chọn đáp án A.

Câu 9: Cho hàm số 1( )
2

x
y C

x




 và d y:  2x m 1 (m là tham số thực). Gọi k1, k2 là hệ số góc của

tiếp tuyến của

 

C tại giao điểm của d và

 

C . Giá trị k k1. 2 bằng
A. 1

4. B. 2. C. 3. D. 4.

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

Xét phương trình hồnh độ giao điểm 2 1 1 (1)
2

x
x m

x


   

 .

Phương trình (1)có hai nghiệm phân biệt

( ) 2 ( 6) 2 3 0
2

f x x m x m
x

      


   

 có hai nghiệm

phân biệt 2( 2) 0

4 12 0

f

m
m m

  

      

 .

Gọi x x1, 2là hai nghiệm của phương trình (1), khi đó 1 2

1 2

6
2
3 2
.

m
x x

m
x x

 

 



 

 


Hệ số góc của tiếp tuyến của

 

C tại giao điểm của d và

 

C là









1 2
1
2 2

1
2
1

k
x









 

 



Ta có



 



1 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

1 1 1 1

. . 4

2 2 . 2( ) 4 3 2 6

2. 4

2 2

k k

x x x x x x m m

   

   

          

 

 

Chọn đáp án D.

Câu 10: Cho hàm số yx33x23x5

có đồ thị

 

C . Có bao nhiêu giá trị nguyên của k trên

2019; 2019

 

  để trên đồ thị

 

C có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại đó vng góc với đường
thẳng

 

d :y



k3



x?

A. 2021 . B. 2017 . C. 2022 . D. 2016 .
Lời giải:

Ta có : y' 3 x26x3

TH1 : k3 . Khi đó

 

d y: 0  khơng tồn tại tiếp tuyến vng góc với

 

d .
TH2 : k3 .

Ta có :









0 0

3 3 6 3 1

k x  x    3 02 6 0 3 1 0 *

 

x x

k

    


Theo u cầu bài tốn , phương trình

 

* có nghiệm ' 0 3 0 3

3 k

k



      



Vậy k 



2019; 2018;...; 0;1; 2



 Có 2022 giá trị nguyên của k thỏa đề bài.

Chọn đáp án C.

Câu 11: Có bao nhiêu giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số

2 2

x mx m
y

x m

 


 cắt trục Ox tại hai

điểm phân biệt và các tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm đó vng góc với nhau?

A. 5 B. 2 C. 0 D. 1

Lời giải:

2 2 3 2

x mx m m m

y x m

x m x m

  

   

 





2
2

1 m m

y

x m




  

 .

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

2 2

x mx m
x m

  



 

  



2 0 *

f x x mx m x m

       .

Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến tại hai điểm đó
vng góc với nhau thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 khác m và

   

1 . 2 1

y x y x   .

 

   









2
2
2 2

1 2 2 2

1 2

3 0

3 3

. 1 1 1

m m
f m m m

m m m m
y x y x

x m x m



    


    
   
          
   
 
   

1
0
0
1
3
0
5
m
m
m
m
m
m
 
 


 

 
 


 


 


5
m
  .

Chọn đáp án D.

Câu 12: Cho hàm số yx33x22

có đồ thị

 

C và điểm M m



; 2



. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị
thực của m để qua M kẻ đúng hai tiếp tuyến đến

 

C . Tổng tất cả các phần tử của S bằng

A. 8.

3 B. 3. C.

2
.

3 D. 2.

Lời giải:

Ta có: y 3x26x

Phương trình tiếp tuyến tại A x y



0; 0



có dạng









2 3 2
0 0 0 0 0

3 6 3 2

y x  x x x x  x 
Tiếp tuyến qua M m



; 2



, ta có:









3 2

0 0 0 0 0

2 3x 6x m x x 3x 2

      





3 2
0 0

2x 3x 1 m 6x mo 4 0

      









 

0 2 2 0 3 1 0 2 0 1

x x m x

      





 

0
2
0 0
2 0

2 3 1 2 0 2

x

x m x

  
 

    


Qua M kẻ đúng hai tiếp tuyến đến

 

C khi phương trình

 

1 có đúng hai nghiệm phân biệt

phương trình

 

2 có nghiệm kép khác 2 hoặc phương trình

 

2 có hai nghiệm phân biệt
trong đó có một nghiệm bằng 2.

Trường hợp 1: Phương trình

 

2 có nghiệm kép khác 2.

0
3 1
2
4
m
 

  


5
3
1
3
m
m
m




   

 

5
3
1
m
m

 

 
 

.

Trường hợp 2: Phương trình

 

2 có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 2.





2.4 2 3m 1 2 0

 


     


hc 5
1
3
2
m m
m

  


 
 

2
m
  .

Vậy 5; 2; 1
3

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

Chọn đáp án A.

Câu 13: Cho hàm số 2

x
y

x



 , có đồ thị (C) và điểm M x y



0; 0

  

 C (với x0 0). Biết rằng khoảng cách

từ I



2; 2



đến tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất, đẳng thức nào sau đây đúng? 
A. 2x0y0 0. B. 2x0y0  4. C. 2x0y02. D. 2x0y0  2.

Lời giải:

Tập xác định D \

 

2 .

4
( 2)

y
x

 

 ,

0
0

2
;

x
M x

x

 

 



 

Phương trình tiếp tuyến tại M là









2 2

0 0 0

0
0

2
4

4 2 2 0

2
( 2)

x

y x x x x y x
x

x

       




Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến là













2 2

0 0 0

4 4

2 2

0 0

4( 2) 2 .2 2 8 16

4 2 4 2

x x x

d

x x

     

 

   

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có









0 0

4 2
2

0 0

8 16 8 2

2 2

4 2 8 2

x x

  

 

  

Dấu bằng xảy ra khi 2
0

(x 2) 4 0
0

0
4

x
x

 
   

 . Vì x00 nên x0  4 y04 2x0y0 4.

Chọn đáp án B.

Câu 14: Gọi d y: ax b a b ,



, 



là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 .
2 3

x
y

x




 Biết d cắt trục hoành và

trục tung lần lượt tại hai điểm A B, sao cho OAB cân tại O. Khi đó, a b bằng
A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.
Lời giải:

TXĐ: \ 3
2

D  

 . Ta có:





1
0,
2 3

y x D

x



    

 .

Mặt khác, OAB cân tại Ohệ số góc của tiếp tuyến là 1.

Gọi tọa độ tiếp điểm



x y0; 0



, với 0

3
2

x   . Ta có:





2 0 0

1 2 1

2 3

y x x

x



         

 .

+) Với x0  1 y0 1. Phương trình tiếp tuyến là: y x loại vì A B O.

+) Với x0  2 y00. Phương trình tiếp tuyến là: y  x 2 thỏa mãn.
Vậy d y:      x 2 a 1;b     2 a b 3.

Chọn đáp án D.

Câu 15: Cho hàm số 1 3 3 2

 

2 2

y x  x  C . Xét hai điểm A a y



; A



và B b y



; B



phân biệt của đồ thị

 

C
mà tiếp tuyến tại A và B song song. Biết rằng đường thẳng AB đi qua D

 

5; 3 . Phương trình
của đường thẳng AB là

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

Lời giải:

Gọi 1 3 3 2

; 2

2 2

A a a  a  

  và

3 2

1 3

; 2

2 2

B b b  b  

  với ab là hai điểm phân biệt thuộc đồ thị

 

C

mà tiếp tuyến tại A và B song song với nhau.

Ta có

 

3 2 3 3 2 3

2 2

f a  f b  a  a b  ba2b2 2



a b



  a b 2

Gọi 1



3 3

 

3 2 2



; 2

2 4 4

a b

I  a b  a b  

  là trung điểm của đoạn AB.

Với a b 2 ta có 1;8 6 3 4 2





4 4

ab
ab

I     

  hay I

 

1;1 .

Lại có ;1



3 3

 

3 2 2



2 2

AB b a  b a  b a 

  cùng phương với









2 2

2 ; 3

u a b ab  a b .

Hay u



2 ; 2 ab



. Nên đường thẳng AB có một véc tơ pháp tuyến là n



2ab; 2



Suy ra phương trình đường thẳng AB là



2ab x



 1

 

2 y 1



Do đường thẳng AB đi qua D

 

5; 3 nên 4 2



ab



 4 0 4ab12 0 ab 3.
Thay ab 3 vào phương trình AB ta được: x2y 1 0.

Cách khác:Đồ thị hàm số 1 3 3 2

 

2 2

y x  x  C có điểm uốn là I

 

1;1 .

Do đó đường thẳng AB đi qua D

 

5; 3 và I

 

1;1 có phương trình là x2y 1 0.

Chọn đáp án D.

Câu 16: Cho hàm sốyx3



m1



x2 x 2m1

có đồ thị

 

C (m là tham số thực). Gọi m m1, 2là các giá

trị của m để đường thẳng d y:   x m 1 cắt

 

C tại ba điểm phân biệt A B C, , sao cho tổng hệ
số góc của các tiếp tuyến với

 

C tại A B C, , bằng 19. Khi đó m1m2 bằng

A. 4. B. 2. C. 0. D. 2.
Lời giải:

Phương trình hồnh độ giao điểm của d và

 

C :













 

3 2 2

1 0 1 0

0 *

x
y x m x x m x x mx m

x mx m

 

               


Để dvà

 

C cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì

 

* phải có hai nghiệm phân biệt khác 1, tức





0 1 1

; 4 0; ;

1 2m 0 m 2 2

     

      

      

   

 . Khi đó dvà

 

C cắt nhau tại ba điểm phân biệt



1; 2 ,

 

1; 1 1 ,

 

2; 2 1



A m B x x  m C x x  m với x x1; 2là nghiệm của phương trình

 

Hệ số góc tiếp tuyến của

 

C tại Alà: y

 

1  2 2m. Hệ số góc tiếp tuyến của

 

C tại Blà:

 





1 3 1 2 1 1 1

y x  x  m x  .

Hệ số góc tiếp tuyến của

 

C tại Clà:

 





2 3 2 2 1 2 1

y x  x  m x  .
Theo giả thiết, ta có:



2 2









1 2 1 2

3 x x 2 m1 x x  4 2m19.











 

3 x x 6x x 2 m 1 x x 4 2m 19 * *

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

1 2
1 2

x x m
x x m

  


  

 thay vào

 

* * , ta được





3m 6m2 m1 m 4 2m19 .

2 1

1 2
2

2 15 0 2.

m

m m m m

m

 

        
 


Chọn đáp án D.

Câu 17: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị tham sốm để đồ thị hàm số f x( )x33mx23mx m 22m3

tiếp xúc với trục hoành. Tổng các phần tử của S bằng

A. 0. B. 1. C. 2

3 . D.

4
3 .

Lời giải:

Ta có : y 3x26mx3m

; y 6x6m
Cách 1:

TH1 : y có nghiệm kép và tâm đối xứng của đồ thị hàm số thuộc trục hoành

 

2
3 2
0
0 0
1
1
0

4 4 0

m

m m m

m
m
y m
m m
 
     

  
  


  
   

.

TH2 : Đồ thị hàm số y f x

 

có 2 cực trị vày yCÐ. CT0

















2 2 2 2

2 2 2 2 0

m m

m m m m m m m m m m

  

        

2

2
2
0
1
2
3
2
m m
m
m m m
m m m

  

     
   


.

Vậy 0 ; 1 ; 1
3

m  
 , nên

1 2
0 1

3 3

S    .

Cách 2:

Đồ thị hàm số y f x

 

tiếp xúc trục hoành

 

3 2 2 3
2

3 3 2 0 1

3 6 3 0 2

x mx mx m m
x mx m

     




  

 có nghiệm.

 

2
2 1
x
m
x
 

 . Thế vào

 

1 :



 



4 3 4 6
3

2 3

3 3 2

2 1 2 1 2 1 2 1

x x x x

x

x x x x

    

    .





3 3 2

0
1

2 1

6 14 10 2 0 1

x
x

x
x x x x

x

 
 


  
      
  


. Thay vào

 

1 , ta được 0 ; 1 ; 1
3

m  
 .

Chọn đáp án C.

Câu 18: Cho hàm số bậc bốn y f x

 

xác định và liên tục trên , hàm số

 

2 3

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

Biết A là điểm chung của đồ thị f x

 

và g x

 

, xA 1. Điểm B thuộc đồ thị g x

 

, 9

B

x   và

d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x

 

. Giá trị f x

 

A bằng

A. 1. B. 3

 . C. 5

 . D. 2.

Lời giải:

Vì các điểm A,B thuộc đồ thị hàm số g(x) nên ta có A



1; 1



, 9 57;
4 8

B 

 

13 65
;
4 8

AB  

   
 .

Do d đi qua hai điểm A và B nên ta chọn vectơ pháp tuyến là nd



65; 26



Phương trình đường thẳng d là: 65









0 65 26 39 0 5 3
2 2

x  y   x y    y x

Mà d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x

 

nên

 

A

f x   .

Chọn đáp án C.

Câu 19: Gọi A là điểm có hồnh độ bằng 1 thuộc đồ thị

 

C của hàm số yx42mx2m

(m là tham

số thực). Ta ln tìm được m a
b

 với a

b là phân số tối giản để tiếp tuyến  với đồ thị

 

C tại
A cắt đường tròn

 

 :x2y22y 3 0

tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất. Khi đó, 
tổng a b bằng

A. 12. B. 3. C. 29. D. 10.
Lời giải:

Đường trịn

 

 :x2



y1



24

có tâm I

 

0;1 , R2.

Ta có A



1;1m



; y 4x34mxy

 

1  4 4m suy ra :y



4 4 m x



  1



1 m.

Dễ thấy  luôn đi qua điểm cố định 3; 0
4

F 

  và điểm F nằm trong đường tròn

 

 .

d
R

N
M

I
F

Giả sử  cắt

 

 tại M, N, ta có: MN2 R2d I2

 

; 2 4d I2

 

; .

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

Khi đó đường thẳng  có một véc-tơ chỉ phương 3; 1
4

uIF  

 ; u



1; 4 4 m



nên:

. 0

u n  1.3



4 4



0
4  m  

13
16

m suy ra a13, b16. Vậy a b 13 16 29.

Chọn đáp án C.

Câu 20: Cho hàm số 1 4 3 2

y x  x có đồ thị ( )C . Có bao nhiêu điểm A thuộc ( )C sao cho tiếp tyến của

( )C tại A cắt ( )C tại hai điểm phân biệt M x y



1; 1



, N x y



2; 2



(M N, khác A) thỏa mãn





1 2 5 1 2

y y  x x

A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.
Lời giải:

Ta có: 3

' 6 .

y x  x Gọi 4 2

0 0 0

; 3

A x x  x 

  là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến tại A. Phương trình

tiếp tuyến tại A là đường thẳng (d) có phương trình:









4 2
0 0 0 0 0

6 3

y x  x x x  x  x

Phương trình hồnh độ giao điểm của (d) và (C) là:









4 2 4 2

0 0 0 0 0

1 1

6 3 3

4 4

x  x x x  x  x  x  x







2 2



0 2 0 3 0 12 0

x x x x x x

     

0
2

0 0

2 3 12 0 (2)

x x

x x x x

  

     


(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác A khi và chỉ chi phương trình (2) có hai nghiệm phân

biệt khác x0 0

(3)

6 6

x
x

  



  


Khi đó, phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 và (d) cắt (C) tại hai điểm phân 
biệtM x y( ;1 1) ,N x y( ;2 2) trong đó:

























3 4 2

1 0 0 1 0 0 0

1 2 0 0 1 2

3 4 2

2 0 0 2 0 0 0

6 3

4 6

6 3

y x x x x x x

y y x x x x
y x x x x x x



    

     



     



Từ giả thiết ta suy ra: 3

0 0 1 2 1 2

(x 6 )(x x x ) 5( x x ) 3

0 6 0 5

x x

   (Vì x1x2)

0
0

1 21
2
1 21

x


 



 


 


 
 


Kết hợp với điều kiện (3) có hai giá trị x0 thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1; 1 21.
2

x  x 

Chọn đáp án B.

</div>

Chuyên đề tiếp tuyến và sự tiếp xúc của đồ thị hàm số, thầy Lê Bá Bảo biên soạn

<i><b>G</b></i>

<i><b>Gi</b></i>

<i><b>i</b></i>

<i><b>áo</b></i>

<i><b>á</b></i>

<i><b>o </b></i>

<i><b>vi</b></i>

<i><b>v</b></i>

<i><b>i</b></i>

<i><b>ên</b></i>

<i><b>ê</b></i>

<i><b>n:</b></i>

<i><b>:</b></i>

<b>L</b>

<b>L</b>

<b>Ê</b>

<b>Ê</b>

<b>B</b>

<b>B</b>

<b>Á</b>

<b>Á</b>

<b>B</b>

<b>B</b>

<b>Ả</b>

<b>Ả</b>

<b>O</b>

<b>O</b>

<b>_</b>

<b>_</b>

<b>T</b>

<b>T</b>

<b>r</b>

<b>r</b>

<b>ư</b>

<b>ư</b>

<b>ờ</b>

<b>ờ</b>

<b>n</b>

<b>n</b>

<b>g</b>

<b>g</b>

<b>T</b>

<b>T</b>

<b>H</b>

<b>H</b>

<b>P</b>

<b>P</b>

<b>T</b>

<b>T</b>

<b>Đ</b>

<b>Đ</b>

<b>ặ</b>

<b>ặ</b>

<b>n</b>

<b>n</b>

<b>g</b>

<b>g</b>

<b>H</b>

<b>H</b>

<b>u</b>

<b>u</b>

<b>y</b>

<b>y</b>

<b>T</b>

<b>T</b>

<b>r</b>

<b>r</b>

<b>ứ</b>

<b>ứ</b>

<b>,</b>

<b>,</b>

<b>H</b>

<b>H</b>

<b>u</b>

<b>u</b>

<b>ế</b>

<b>ế</b>

<b>S</b>

<b>S</b>