Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Bài 2 - TS. Nguyễn Mạnh Thế
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (822.82 KB, 27 trang )
BÀI 2
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT
PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
TS N
TS.
Nguyễn
ễ M
Mạnh
h Thế
1
v1.0012107210
TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI
Tình huống
Một cơng ty bảo hiểm bán thẻ bảo hiểm với giá
100.000đ/1 người/1 năm. Nếu người tham gia
bảo hiểm
ể gặp rủi ro trong năm đó thì nhận được
số tiền bồi thường là 1 triệu đồng. Theo thống kê
biết rằng tỷ lệ người tham gia bảo hiểm bị rủi ro
trong năm là 0.05, hãy tính tiền lãi trung bình khi
bán mỗi thẻ bảo hiểm. Nếu bán bảo hiểm được
cho
h 10.000
10 000 khách
khá h hàng
hà thì
hì số
ố tiền
iề lãi trung bình
bì h
thu về được là bao nhiêu?
Câu hỏi gợi mở
gp
phân p
phối xác suất g
giữa tiền lãi bảo hiểm và khả
Câu 1: Biểu diễn bảng
năng nhận được lãi?
Câu 2: Số tiền lãi trung bình là bao nhiêu?
Câu 3: Nếu bán bảo hiểm
ể được cho 10.000 khách hàng thì số tiền lãi
trung bình thu về được là bao nhiêu?
2
v1.0012107210
TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI (tiếp theo)
Kết luận
• Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
cho biết
ế giá
á trị mà
à nó
ó có
ó thể
ể nhận
ậ được và
à khả
ả năng
ă
tương ứng nhận các giá trị đó.
• Kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên rời rạc được tính
như
h sau:
Với:
ớ
E X
n
xp
i 1
i i
xi: Các giá trị mà biến ngẫu nhiên đó có thể
nhận
nhận.
pi: Xác suất tương ứng để biến ngẫu nhiên đó
nhận giá trị xi.
3
v1.0012107210
MỤC TIÊU
• Định nghĩa và phân loại biến
ngẫu nhiên.
• Quy
Q
l ật phân
luật
hâ phối
hối xác
á suất
ất
của biến ngẫu nhiên.
• Các tham số đặc trưng của biến
ngẫu nhiên.
• Biến ngẫu nhiên nhiều chiều.
4
v1.0012107210
1. ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI BIẾN NGẪU NHIÊN
Định nghĩa:
g nhiên là một
ộ đại
ạ lượng:
ợ g
Biến ngẫu
• Nhận một giá trị cụ thể;
• Giá trị
t ị thuộc
th ộc miền các khoảng giá trị
t ị có thể có của nó tùy
tù thuộc
th ộc vào
ào sự tác
động của các nhân tố ngẫu nhiên.
Phân loại biến ngẫu nhiên:
Biến ngẫu
g nhiên
rời rạc
v1.0012107210
Biến ngẫu
g nhiên
liên tục
5
2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN
• Bảng phân phối xác suất.
• Hàm
Hà phân
hâ phối
hối xác
á suất.
ất
• Hàm mật độ xác suất.
suất
• Tính chất của các hàm.
6
v1.0012107210
2.1. BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
• Áp
Á dụng
d
cho
h biến
biế ngẫu
ẫ nhiên
hiê rời
ời rạc
• Biểu diễn:
X
x1
x2
...
xn
P
p1
p2
...
pn
Biến ngẫu
Biế
ẫ nhiên
hiê X nhận
hậ các
á giá
iá trị
t ị x1 , x 2 ,...x n với
ới các
á xác
á suất
ất tương
tươ
ứng pi P X x i , i 1 n
0 pi 1
trong đó n
pi 1
i1
• Bạn hãy thử lập bảng phân phối xác suất của biến cố “số
số chấm mặt
trên cùng”.
v1.0012107210
7
2.2. HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Định nghĩa:
Hàm số F(x) = P(X
Nế x là biến
Nếu
biế ngẫu
ẫ nhiên
hiê rời
ời rạc thì F(
F(x))
pi , x R
x x
i
Ví dụ: Bảng giá trị của hàm phân phối xác suất của biến cố “số
số chấm
mặt trên cùng”.
X
x<2
2
3
4
5
6
x>6
F(x)
( )
0
1/6
/
2/6
/
3/6
/
4/6
/
5/6
/
1
8
v1.0012107210
2.2. HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT (tiếp theo)
Tính chất:
• Tính chất 1: 0 F x 1
1, x
• Tính chất 2: Nếu a là giá trị nhỏ nhất có thể có của X và b là giá trị
lớn nhất có thể
ể có của X thì:
F(x) = 0 với x a
F(x) = 1 với x b
• Tính chất 3: Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là một
hàm khơng giảm.
• Tính
í
chất
ấ 4: Hàm
à phân
â phối
ố xác
á suất
ấ của
ủ một
ộ biến
ế ngẫu
ẫ nhiên
ê là
à
liên tục bên trái.
9
v1.0012107210
2.2. HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT (tiếp theo)
Hệ quả:
• Hệ quả 1: F() lim P(X x) 0
x
F() lim P(X x) 1
x
• Hệ quả 2: P a X b F b F a
• Hệ quả 3: Nếu X là một biến ngẫu nhiên liên tục thì:
P( X = x) = 0 x
• Hệ quả 4: Nếu X là một biến ngẫu
ẫ nhiên liên tục thì:
P x 1 X x 2 P x1 X x 2 P x 1 X x 2 P x 1 X x 2
10
v1.0012107210
2.3. HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT
Định nghĩa:
Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm
phân phối xác suất F(x).
F(x)
Nếu tồn tại hàm số f(x) sao cho:
f x F x
Thì hàm số f(x) được gọi là hàm mật
độ xác suất của biến ngẫu nhiên X.
12
v1.0012107210
2.3. HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT (tiếp theo)
Tính chất:
• Tính chất 1: f x 0 , x
• Tính chất 2:
f x dx 1
b
• Tính chất 3: P a X b f x dx
a
• Tính chất 4: F(a)
a
f x dx
13
v1.0012107210
3. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN
Các tham số đặc trưng quan trọng nhất
của biến ngẫu nhiên:
•
Kì vọng;
•
Phương sai;
•
Độ lệch chuẩn.
Tham khảo thêm trong giáo trình:
•
Trung vị;
•
Mốt;
•
Giá trị tới hạn;
•
Mơmen trung tâm bậc cao.
15
v1.0012107210
3.1. KÌ VỌNG (GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH)
Định nghĩa:
Cho biến ngẫu nhiên X. Kỳ vọng của X là một số, ký hiệu E(X) và xác định
như
h sau:
• Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị x1 , x 2 ,..., x n ,... với xác
suất tương ứng p1 ,p2 ,...,pn ,... thì: E X x ipi
i
• Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất là f(x) thì:
E(X) xf(x)dx
16
v1.0012107210
3.1. KỲ VỌNG (tiếp theo)
Tính chất
• Tính chất 1: Kì vọng của hằng số bằng chính nó.
• Tính chất 2: Có thể đưa hằng số ra ngồi đầu kỳ vọng: E(C.X)=C. E(X)
• Tính chất 3: Kỳ vọng của tổng các biến ngẫu nhiên bằng tổng các kỳ vọng
của mỗi biến ngẫu nhiên thành phần: E(X±Y) = E(X) ± E(Y)
• Tính chất 4: Kỳ vọng của tích 2 biến ngẫu nhiên độc lập bằng tích các kỳ
vọng của chúng: E(XY) = E(X). E(Y)
• Tính chất 5: Cho là một hàm nào đó và X là một biến ngẫu nhiên
Ta có:
Nếu X rời rạc:
ạ E((X)) (x i )pi
i
Nếu X liên tục: E X x f x dx
v1.0012107210
16
3.2. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN
Định nghĩa:
• Phương sai của biến ngẫu nhiên X là
kì vọng của bình phương độ lệch giữa
X và E(X).
Ký hiệu V(X) hoặc Var (X):
V(X)
( ) E(X
( E(X))
( ))2 E(X
( 2 ) (E(X))
( ( ))2
• Căn bậc hai của phương sai được gọi
là
à độ lệch
ệc c
chuẩn
uẩ của b
biến
ế ngẫu
gẫu
nhiên X:
x V X
19
v1.0012107210
3.2. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN (tiếp theo)
Tính chất:
• Tính chất 1: Phương sai và độ lệch chuẩn của hằng số bằng 0: V(C) = 0
• Tính chất 2: V C.X C 2 V X
• Tính chất 3: Nếu X, Y là hai biến cố ngẫu nhiên độc lập với nhau thì:
V X Y V X V Y
20
v1.0012107210
4. BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU
• Biến ngẫu nhiên k chiều.
• Bảng
ả
phân
â bố
ố xác
á suất
ấ của
ủ biến
ế ngẫu
ẫ
nhiên hai chiều.
• Bảng phân phối xác suất có điều kiện
của hai biến ngẫu nhiên.
• Tương quan của hai biến ngẫu nhiên.
21
v1.0012107210
4.1. BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN
HAI CHIỀU
Y
y1
y2
...
Yj
...
Ym
p (X)
x1
p(x1,y1)
p(x1,y2)
...
p(x1,yj)
...
p(x1,ym)
p(x1)
x2
p(x2,y1)
p(x2,y2)
...
p(x2,yj)
...
p(x2,ym)
p(x2)
...
...
...
...
...
....
....
…
xi
p(xi,y1)
p(xi,y2)
...
p(xi,yj)
...
p(xi,ym)
p(xi)
...
...
...
....
...
...
...
...
xn
p(xn,y1)
p(xn,y2)
...
p(xn,yj)
...
p(xn,ym)
p(xn)
P(Y)
p(x1)
p(x2)
…
p(xi)
…
p(xm)
1
X
0 p x , y 1, i, j
p x , y 1.
P X x i , Y y j p x i , y j , i 1,n, j 1,m
Trong đó:
i
i, j
v1.0012107210
i
j
j
22
4.2. BẢNG PHÂN PHỐI CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA HAI BIẾN
NGẪU NHIÊN
Bảng phân phối xác suất của X với điều kiện Y y
j
X / Y yj
P
x1
x2
p(x1 , y j ) p x 2 / y j
Trong đó: P(x i / y j ) P(X x i / Y y j )
...
xn
...
p xn / y j
P(x i , y j )
P(y j )
Đây là cơ sở để tính các tham số như E X / Y y , E Y / X x ...
j
i
23
v1.0012107210
4.3. TƯƠNG QUAN CỦA HAI BIẾN NGẪU NHIÊN
Định nghĩa:
• Hiệp phương sai (Covariance) của hai biến ngẫu nhiên X, Y là một
số, ký hiệu cov(X, Y) và xác định xác định như sau:
cov X,
X Y E X E X Y E Y
Tính chất:
• Nếu X và Y độc lập thì cov(X,Y) = 0
• Từ tính chất của kỳ vọng dễ thấy: cov(X,Y) = E(XY) – E(X)E(Y)
• Khi X, Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc, ta có:
n
cov X, Y x i y jp x i , y j E X E Y
i, j 1
25
v1.0012107210
