BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN ANH TUẤN

VỀ MỘT LỚP CÁC MD-ĐẠI SỐ
TỔNG QUÁT VÀ LỚP CÁC
MD(5,kC)-PHÂN LÁ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN ANH TUẤN

VỀ MỘT LỚP CÁC MD-ĐẠI SỐ
TỔNG QUÁT VÀ LỚP CÁC
MD(5,kC)-PHÂN LÁ

Chuyên ngành: Hình học và Tơpơ
Mã số:
62 46 01 05

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. PGS. TS. Lê Anh Vũ

2. TS. Nguyễn Hà Thanh

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2017


i

LỜI CAM ĐOAN

Đây là cơng trình nghiên cứu của cá nhân tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS.
Lê Anh Vũ và TS. Nguyễn Hà Thanh. Các kết quả thực hiện chung với tác giả khác đã
nhận được sự đồng thuận của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả đạt được trong
luận án mà khơng được trích dẫn là kết quả tơi đã nghiên cứu được.
Người cam đoan
Nguyễn Anh Tuấn


ii

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ....................................................................................................... i
MỞ ĐẦU ........................................................................................................................ 1
Chương 1 – KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.......................................................... 13
1.1

1.2

1.3

1.4


Lớp MD và phương pháp quỹ đạo Kirillov ........................................................ 13
1.1.1

Lớp MD ..............................................................................................................13

1.1.2

Phương pháp mô tả K-quỹ đạo...........................................................................16

Tôpô phân lá .......................................................................................................... 18
1.2.1

Phân lá ................................................................................................................18

1.2.2

Phân lá đo được ..................................................................................................21

1.2.3

Phân lá trên đa tạp Riemann ...............................................................................22

C*-đại số liên kết với phân lá ................................................................................ 25
1.3.1

Phạm trù các C*-đại số.......................................................................................25

1.3.2


C*-đại số liên kết với phân lá .............................................................................29

K-lý thuyết đối với các C*-đại số .......................................................................... 33
1.4.1

Hàm tử K 0 và hàm tử K1 ..................................................................................33

1.4.2

Tính chất cơ bản của các K-hàm tử ....................................................................34

Chương 2 – LỚP MD(n,1) VÀ LỚP MD(n,n-1) .......................................................... 36
2.1

Các ví dụ và phản ví dụ điển hình ......................................................................... 37
2.1.1

Đại số Lie affine thực .........................................................................................37

2.1.2

Lớp MD(4,1) và lớp MD(4,3) ............................................................................37

2.1.3

Lớp MD(5,1) và lớp MD(5,4) ............................................................................38

2.1.4

Đại số Lie Heisenberg thực ................................................................................40


2.1.5

Đại số Lie Kim cương thực ................................................................................41

2.1.6

Các MD-đại số với các MD-nhóm đơn liên tương ứng có các quỹ đạo đối phụ
hợp 0-chiều hoặc 2-chiều ...................................................................................42

2.2

2.3

Lớp MD(n,1) và lớp MD(n,n–1) ........................................................................... 43
2.2.1

Phân loại lớp MD(n,1)........................................................................................43

2.2.2

Phân loại lớp MD(n,n–1)....................................................................................50

Một số nhận xét ..................................................................................................... 56

Chương 3 – LỚP MD(5,kC)-PHÂN LÁ ........................................................................ 60
3.1

Hình học của các MD(5,kC)-phân lá ..................................................................... 61



iii

3.2

3.3

3.1.1

K-quỹ đạo của các MD(5,kC)-nhóm ..................................................................61

3.1.2

Sự hình thành lớp các MD(5,kC)-phân lá ..........................................................66

3.1.3

Phân loại tôpô lớp các MD(5,kC)-phân lá ..........................................................70

3.1.4

Đặc trưng hình học của các MD(5,kC)-phân lá..................................................73

C*-đại số liên kết với các MD(5,kC)-phân lá ........................................................ 77
3.2.1

Đặc trưng C*-đại số bằng phương pháp K-hàm tử.............................................77

3.2.2


K-lý thuyết đối với các MD(5,kC)-phân lá .........................................................81

Một số nhận xét ..................................................................................................... 88

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 90
DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ GỬI ĐĂNG.......................................... 94
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 95
PHỤ LỤC ...................................................................................................................... 102
Hình 3.1. Các lá của 1 trong ¡ 4 × ( ¡ \ {0} ) . ............................................................. 102

, s s } . ................................................. 102
Hình 3.2. Các lá của 1 trong 3-phẳng =
{t δ=
, z 0} . ............................................... 103
Hình 3.3. Các lá của 3,4 trong 3-phẳng =
{ x α=
t,s t δ s} ......................................... 103
Hình 3.4. Các lá của 3,4 trong 3-phẳng=
{δ z γ=
Hình 3.5. Các lá của 3,8(1,π

2)

Hình 3.6. Các lá của 3,8(1,π

2)

trong 3-phẳng z= t = 0 . ................................................ 104
trong 3-phẳng { x − t = α − δ , s = 0} . ............................. 104


t,s z γ s} ......................................... 105
Hình 3.7. Các lá của 4,5 trong 3-phẳng=
{δ z γ=
t,δ z γ t} . ....................................... 105
Hình 3.8. Các lá của 4,5 trong 3-phẳng=
{δ y β=
Hình 3.9. Các lá của 4,12(1,π 2) trong 3-phẳng y= z= 0 . .............................................. 106
Hình 3.10. Các lá của 4,12(1,π 2) trong 3-phẳng t= s= 0 . ............................................. 106
Hình 3.11. Các lá của 4,14(0,1,π

2)

Hình 3.12. Các lá của 4,14(0,1,π

2)

trong 3-phẳng t= s= 0 ............................................ 107
trong 3-phẳng y= z= 0 ........................................... 107

CHỈ MỤC ...................................................................................................................... 108



1

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Khoảng năm 1870, Sophur Marius Lie (1842–1899) trong khi nghiên cứu về một

số loại phép biến đổi hình học đã đặt nền móng cho một lý thuyết đặc biệt về sau
gọi là Lý thuyết Lie.
Ngày nay, Lý thuyết Lie, được hiểu là lý thuyết liên quan đến nhóm Lie và đại số
Lie, đã phát triển vượt bậc, ứng dụng mạnh mẽ không chỉ trong Toán học mà cả
trong Vật Lý hiện đại (đặc biệt là Thuyết tương đối) và đã được chứng minh là
“chìa khóa” để giải quyết nhiều vấn đề liên quan đến Hình học và Phương trình Vi
phân, kết nối Tốn học lý thuyết với thế giới hiện thực [10, Mở đầu]. Gần đây, Lý
thuyết Lie còn thâm nhập vào lĩnh vực Xác suất & Thống kê, Phân tích định lượng
trong kinh tế, Tốn tài chính [7, 34, 36, 60]. Chính vì tầm ảnh hưởng mạnh mẽ đó,
Lý thuyết Lie nhận được sự quan tâm đặc biệt của cộng đồng toán học. Tuy nhiên,
bài toán cơ bản của Lý thuyết Lie là phân loại nhóm Lie và đại số Lie lại là bài tốn
rất khó và cho đến nay vẫn cịn là bài toán mở.
Kết quả cơ bản trong Lý thuyết Lie cho thấy khi hạn chế xét lớp các nhóm Lie
liên thơng đơn liên, chúng ta có một song ánh giữa tập các nhóm Lie liên thơng đơn
liên và tập các đại số Lie. Bởi vậy, mỗi phép phân loại trên một lớp nào đó các
nhóm Lie liên thơng đơn liên (tương ứng, đại số Lie) đều có thể “phiên dịch”' thành
một phép phân loại trên lớp các đại số Lie (tương ứng, nhóm Lie liên thơng đơn
liên). Trong luận án này, tác giả tiếp cận bài toán phân loại trên lớp các đại số Lie.
Theo Định lý Levi [46] năm 1905 & Malcev [49] năm 1945, mọi đại số Lie hữu
hạn chiều trên một trường có đặc số 0 đều phân tích được thành tổng trực tiếp của
một đại số con nửa đơn và một ideal giải được. Do đó, bài toán phân loại các đại số
Lie tổng quát được quy về phân loại các đại số Lie nửa đơn và đại số Lie giải được.
Trong đó, bài tốn phân loại các đại số Lie nửa đơn đã được giải quyết triệt để bởi
Cartan [16] năm 1894 (trên £ ) và bởi Gantmacher [30] năm 1939 (trên ¡ ). Bởi


2

vậy, chúng ta chỉ cịn phải xét bài tốn phân loại các đại số Lie giải được.
Đối với lớp các đại số Lie giải được, mặc dù có một vài phép phân loại trong

trường hợp thấp chiều nhưng việc phân loại trong trường hợp số chiều tùy ý vẫn còn
là một bài tốn mở. Cho đến nay, có ít nhất hai cách tiếp cận bài toán này: phân loại
theo số chiều hoặc phân loại theo cấu trúc. Về hướng phân loại theo số chiều, tức
là phân loại các đại số Lie giải được có cùng một số chiều cố định nào đó, có một số
kết quả chính như sau:
• Năm 1893, Lie & Engel [47] phân loại các đại số Lie phức giải được thấp
chiều.
• Đại số Lie giải được 3-chiều, 4-chiều và 5-chiều lần lượt được phân loại bởi
Bianchi [5] năm 1903, Kruchkovich [42] năm 1954 và Mubarakzyanov [52]
năm 1963.
• Năm 1990, kết hợp với kết quả của Mubarakzyanov [53] năm 1963,
Turkowski [80] phân loại các đại số Lie giải được 6-chiều. Cũng trong năm
này, Patera & Zassenhaus [59] phân loại các đại số Lie giải được 4-chiều trên
trường hồn thiện.
• Một vài phân loại khơng đầy đủ các đại số Lie lũy linh 7-chiều và 8-chiều lần
lượt được đưa ra bởi Gong [33] năm 1998 và Tsagas [78] năm 1999,…
Dường như cách tiếp cận theo số chiều rất khó vượt qua số chiều 6. Tuy nhiên,
có thể tiếp cận vấn đề phân loại theo cấu trúc, tức là phân loại các đại số Lie giải
được với một hay một vài tính chất bổ sung nào đó. Về hướng cách tiếp cận này, có
một số kết quả chính dưới đây:
• Năm 1973, Gauger [31] đưa ra một phân loại triệt để các đại số Lie meta-abel
không quá 7-chiều và gần như đạt được kết quả triệt để đối với 8-chiều.
• Năm 1995, Arnal & Cahen & Ludwig [3] liệt kê các đại số Lie (không nhất
thiết giải được) mà các K-quỹ đạo của các nhóm Lie liên thơng tương ứng có
số chiều là 0 hoặc 2. Bảng liệt kê này sau đó được bổ sung đầy đủ bởi
Shashkov [71] năm 2012 (trên £ ) và Konyaev [41] năm 2014 (trên ¡ ).
• Năm 1999, Galitski & Timashev [29] phân loại các đại số Lie meta-abel 9-


3


chiều.
• Năm 2000, Tsagas & Kobotis & Koukouvinos [79] phân loại các đại số Lie
lũy linh 9-chiều với ideal abel cực đại 7-chiều.
• Năm 2007, Campoamor-Stursberg [13] phân loại triệt để các đại số Lie 9chiều với sự phân tích Levi không tầm thường, Kath [39] phân loại lớp các đại
số Lie toàn phương lũy linh 10-chiều và Parry [58] phân loại các đại số Lie
thực, giải được, bất khả phân có căn lũy linh đối chiều 1.
• Năm 2010, Snobl & Karasek [72, 73] phân loại lớp các đại số Lie với một số
điều kiện nào đó của căn lũy linh cho trước.
• Năm 2012, Duong & Pinczon & Ushirobira [25] phân loại các đại số Lie toàn
phương kỳ dị giải được và Chen [17] phân loại lớp các đại số Lie giải được
với sự phân tích tam giác.
Luận án này tiếp cận việc phân loại các đại số Lie giải được theo cấu trúc. Cụ
thể hơn, tác giả xét bài toán phân loại các đại số Lie bằng cách bổ sung tính chất về
số chiều của các K-quỹ đạo của các nhóm Lie liên thơng, đơn liên tương ứng với đại
số Lie đó. Ý tưởng của việc xét tính chất bổ sung này được gợi ý từ phương pháp
quỹ đạo Kirillov [40] năm 1962. Cho đến nay, phương pháp quỹ đạo vẫn là một
trong những phương pháp quan trọng nhất trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie và đại
số Lie.
Hai ví dụ cụ thể rất đáng chú ý là các K-quỹ đạo của nhóm Lie Heisenberg

( 2m + 1) -chiều

H 2 m +1 và nhóm Lie Kim cương thực 4-chiều ¡ .H 3 , xét theo số chiều,

đều chỉ có hai tầng: tầng 0-chiều hoặc tầng có chiều cực đại. Từ đó, Diep [22] đã đề
xuất việc khảo sát lớp các nhóm Lie giải được (và đại số Lie tương ứng) có tính
chất tương tự mà được gọi là các MD-nhóm và MD-đại số. Cụ thể hơn, một MDnnhóm là một nhóm Lie thực giải được n-chiều mà các K-quỹ đạo chỉ có số chiều 0
hoặc số chiều cực đại. Đại số Lie của một MDn-nhóm được gọi là một MDn-đại số.
Trong trường hợp đặc biệt khi số chiều cực đại bằng đúng n thì chúng ta có SMDnhóm và SMD-đại số.



4

Năm 1984, Son & Viet [74] đã phân loại triệt để lớp SMD. Lớp này chỉ bao gồm
đại số Lie giao hoán n-chiều ¡

n

( n ≥ 1) , đại số Lie 2-chiều

aff ( ¡

)

các phép biến đổi

affine của đường thẳng thực và đại số Lie 4-chiều aff ( £ ) các phép biến đổi affine
của đường thẳng phức. Tuy nhiên, bài toán phân loại lớp MD lại phức tạp hơn
nhiều. Năm 1990, lớp MD4 được phân loại đầy đủ bởi Vu [2, 82]. Nhiều năm tiếp
sau, cho đến năm 2007, vẫn khơng có thêm kết quả nào đáng kể về lớp MDn với
n > 4.

Để giảm bớt tính phức tạp khi phân loại lớp MDn, chúng ta xét thêm một hạn chế
về số chiều của ideal dẫn xuất thứ nhất của mỗi đại số Lie thuộc lớp MDn đó. Cụ
thể hơn, chúng ta sẽ lần lượt xét các lớp con MD ( n, k ) của lớp MDn bao gồm các
MDn-đại số có ideal dẫn xuất thứ nhất là k-chiều và phân loại lớp MDn dựa trên
việc phân loại từng lớp con MD ( n, k ) với 1 ≤ k ≤ n − 1. Theo ý tưởng này, gần đây,
từ 2008 đến 2011, lớp MD5 đã được phân loại triệt để [83, 85]. Như vậy, những kết
quả về phân loại lớp MD ( n, k ) trong trường hợp tổng quát hay trong các trường hợp

riêng cũng là những đóng góp cho bài tốn về phân loại đại số Lie thực giải được
theo hướng tiếp cận bằng cấu trúc [10, tr. 87].
Trên các K-quỹ đạo có cấu trúc symplectic tự nhiên và đóng một vai trị quan
trọng trong lý thuyết của các hệ khả tích bởi vì nhiều hệ cơ học quan trọng có thể
được biểu diễn trên các quỹ đạo như vậy [26]. Một điểm đặc biệt đáng chú ý khác
đó là: từ sự phân tầng đơn giản của các K-quỹ đạo (tầng 0-chiều hoặc tầng có chiều
cực đại), nếu bỏ đi các K-quỹ đạo 0-chiều thì các K-quỹ đạo chiều cực đại của một
MD-nhóm chính là một họ những đa tạp con liên thông, đôi một rời nhau; hơn nữa,
họ này tạo thành một phân lá. Từ việc nghiên cứu các phân lá symplectic đã thúc
đẩy Arnal & Cahen & Ludwig [3] quan tâm nghiên cứu lớp các nhóm Lie mà các Kquỹ đạo chỉ có số chiều 0 hoặc 2 mà sau đó được hồn thiện bởi Shashkov [71] và
Konyaev [41].
Về mặt lịch sử, Lý thuyết phân lá bắt đầu xuất hiện trong cơng trình của Reeb
[61] năm 1952 và nhanh chóng phát triển thành Tơpơ phân lá – một chuyên ngành


5

thuộc lĩnh vực Hình học và Tơpơ. Ngày nay, lý thuyết phân lá đã trở thành một
công cụ kết nối lý thuyết phương trình vi phân thơng thường và Tơpơ vi phân [55,
Mở đầu]. Chính vì vậy, phân lá trở thành một đối tượng cực kỳ thú vị trong Hình
học hiện đại.
Chúng ta xét một ví dụ như sau: trong mặt phẳng thủng gốc ¡ 2 \ {O} , xét trường
vector W =
− y ∂∂x + x ∂∂y . Trong lý thuyết đa tạp khả vi, tồn tại duy nhất đường cong
tích phân γ của W trong ¡ 2 \ {O} sao cho γ ′ ( t ) = Wγ (t ) . Nếu chúng ta viết γ dưới
dạng thông thường thì sẽ có một hệ phương trình vi phân:
x′ ( t ) =
− y ( t ) , y′ ( t ) =
x (t )


( ∗)

và từ đó dễ dàng có các đường cong tích phân của W đều có dạng γ=
( t ) eit ( a + ib )
a, b const ∈ ¡ và a 2 + b 2 ≠ 0 . Về mặt hình học, họ  tất cả các đường cong tích
với =

phân của W phân hoạch ¡ 2 \ {O} thành những đường tròn đồng tâm O , bán kính
a 2 + b 2 và xoay ngược chiều kim đồng hồ (Hình 1). Nói cách khác, hệ ( ∗) với điều

Hình 1: Các đường cong tích phân của trường vector W =
− y ∂∂x + x ∂∂y ⋅
kiện đầu  x ( 0 )  +  y ( 0 )  ≠ 0 có họ nghiệm  lập thành một phân lá 1-chiều, đối
2

2

chiều 1 trên đa tạp mở ¡ 2 \ {O} và mỗi một đường tròn như vậy được gọi là một lá.


6

Trong trường hợp tổng quát, tập các nghiệm của một hệ phương trình vi phân lập
thành một phân lá xác định bởi một phân bố khả tích sinh bởi các trường vector mà
tổ hợp của các trường vector đó là các phương trình trong hệ phương trình vi phân
cần tìm nghiệm. Lý thuyết phân lá, do đó, nhanh chóng nhận được nhiều sự quan
tâm của cộng đồng tốn học. Tóm lại, K-quỹ đạo là “chiếc cầu nối” giữa lớp MD và
lớp phân lá. Bởi vậy, bài toán nghiên cứu lớp MD là có ý nghĩa khoa học: thứ nhất,
nghiên cứu lớp MD là một bộ phận của việc nghiên cứu giải quyết bài toán phân
loại các đại số Lie theo cấu trúc khi xét thêm tính chất đặc biệt về số chiều K-quỹ

đạo; thứ hai, rõ ràng việc nghiên cứu lớp MD chính là một sự kết hợp thật sự đáng
quan tâm giữa lý thuyết biểu diễn nhóm Lie, đại số Lie với lý thuyết tôpô phân lá.
Trong tôpô phân lá, một trong những điều đáng quan tâm là các tính chất hình
học của các lá trong mỗi phân lá ( V,  ) bởi vì mỗi lá của  chính là một họ
nghiệm của một hệ phương trình vi phân thích hợp nào đó nên tính chất hình học
của các lá cũng chính là đặc trưng tơpơ của họ nghiệm. Đặc biệt, nếu trên đa tạp
phân lá V có một cấu trúc Riemann thì tính chất hình học của các lá càng trở nên
phong phú. Cụ thể hơn, những lớp phân lá với các tính chất hình học đặc biệt, chẳng
hạn phân lá trắc địa hoàn toàn, phân lá Riemann hay phân lá eliptic, hyperbolic và
parabolic có nhiều ý nghĩa và được nhiều nhà toán học quan tâm khảo sát.
Một hướng khác trong nghiên cứu tôpô phân lá là kết hợp lý thuyết phân lá và đại
số toán tử. Cụ thể hơn, chúng ta thu mỗi lá của  về một điểm nhờ quan hệ tương
đương thuộc cùng một lá và nhận được không gian tôpô V  mà được gọi là không
gian lá của phân lá ( V,  ) . Sau đó, sử dụng K-lý thuyết hình học, tức là thay việc
khảo sát V  bằng việc khảo sát cấu trúc C*-đại số C0 ( V  ) các hàm giá trị phức,
liên tục trên V  và triệt tiêu ở vô cùng. Tuy nhiên, K-lý thuyết hình học thường
chỉ thích hợp với các khơng gian compact địa phương, Hausdorff. Trong khi đó, cho
dù V có là đa tạp trơn thì khơng gian lá V  , với tơpơ thương của V, thường khơng
Hausdorff, thậm chí khơng nửa tách. Do đó, C0 ( V  ) khơng cung cấp thông tin đủ
cần thiết về V  . Đây là một trở ngại trong nghiên cứu tôpô phân lá.


7

Để khắc phục hạn chế này, năm 1982, Connes [19] đã liên kết một cách chính tắc
mỗi phân lá ( V,  ) với một C*-đại số ký hiệu là C* ( V  ) và đề ra ý tưởng là khảo
sát C* ( V  ) thay vì C0 ( V  ) . Bởi thế, đối với mỗi phân lá ( V,  ) cho trước, bài
tốn mơ tả cấu trúc C*-đại số Connes C* ( V  ) của phân lá đang xét trở thành một
trong những vấn đề quan tâm hàng đầu của lý thuyết tôpô phân lá. Một câu hỏi lập
tức nảy sinh là làm thế nào để mô tả cấu trúc của C* ( V  ) ?

Ngược dòng lịch sử, lý thuyết về các C*-đại số được bắt đầu bởi cơng trình của
Gelfand & Neumark [32] năm 1943. Người ta nhanh chóng nhận thấy lý thuyết C*đại số có ứng dụng trong Tốn học cũng như trong Vật Lý, Cơ học. Do đó, lý thuyết
các C*-đại số ngay lập tức nhận được rất nhiều sự quan tâm của cộng đồng toán
học. Tuy nhiên, cũng giống như lý thuyết Lie, bài toán cơ bản trong lý thuyết về các
C*-đại số là phân loại và mô tả cấu trúc C*-đại số trong trường hợp tổng quát lại rất
phức tạp và cho đến nay vẫn chưa được giải quyết một cách triệt để.
Năm 1975, Diep [21] đã sử dụng các K-hàm tử đồng điều Brown-DouglasFillmore [11], gọi là K-hàm tử BDF, để đặc trưng cấu trúc tồn cục C*-đại số nhóm
của nhóm Lie Aff ( ¡

)

các phép biến đổi affine trên đường thẳng thực. Năm 1976,

Rosenberg [65] đã sử dụng phương pháp này (mà Rosenberg gọi là “Z’ep’s
method”) để đặc trưng cấu trúc toàn cục C*-đại số nhóm của nhóm Lie Aff ( £ ) các
phép biến đổi affine trên đường thẳng phức và một vài nhóm giải được khác. Năm
1977, Diep [22] đã cải tiến phương pháp của mình để đặc trưng cấu trúc tồn cục
các C*-đại số kiểu I bằng các mở rộng lặp nhiều tầng.
Đến lúc này, các K-hàm tử BDF dường như khơng cịn thích hợp với việc đặc
trưng cấu trúc cho các C*-đại số phức tạp hơn. Từ đó, một cách tự nhiên, nảy sinh
hai hướng nghiên cứu như sau:
• Hướng thứ nhất: tổng quát hóa các K-hàm tử BDF theo một cách nào đó để
có thể đặc trưng được một lớp rộng hơn các C*-đại số.
• Hướng thứ hai: tìm một lớp rộng hơn các C*-đại số hoặc lớp các nhóm Lie
mà C*-đại số nhóm tương ứng có khả năng mô tả được bằng các K-hàm tử.


8

Theo hướng thứ nhất, năm 1980, Kasparov [38] đã thành cơng trong việc tổng

qt hóa các K-hàm tử BDF thành các K-song hàm tử tốn tử (cịn gọi là các KKhàm tử) vừa đồng điều vừa đối đồng điều và đặc trưng thành cơng C*-đại số nhóm
của nhóm Lie Heisenberg 3-chiều H 3 . Cho đến nay, đó là cơng cụ tôpô-đại số mạnh
nhất để nghiên cứu các C*-đại số.
Trong luận án này, tác giả xuất phát theo hướng thứ hai với bài tốn tìm lớp các
nhóm Lie mà C*-đại số nhóm của nhóm Lie đó có thể đặc trưng được bằng phương
pháp K-hàm tử.
Nhìn chung, phương pháp k-hàm tử thường thích hợp với các C*-đại số có cấu
trúc phổ [24, Chương 3] không quá phức tạp. Đối với C*-đại số nhóm, phổ có thể
đồng nhất với đối ngẫu của nhóm. Đặc biệt, đối với nhóm Lie, phương pháp quỹ
đạo Kirillov [40] cho thấy tập đối ngẫu của nhóm có liên hệ trực tiếp với không
gian các K-quỹ đạo của nhóm đó. Do đó, nếu chọn được các nhóm Lie có khơng
gian các K-quỹ đạo khá đơn giản thì có thể đặc trưng các C*-đại số nhóm của nhóm
Lie đó bằng phương pháp K-hàm tử. Vì sự phân tầng của khơng gian các K-quỹ đạo
của SMD-nhóm khá đơn giản nên dựa trên phép phân loại lớp SMD, Son & Viet
[74] cũng đã mô tả triệt để cấu trúc C*-đại số nhóm của các SMD-nhóm bằng
phương pháp K-hàm tử.
Một câu hỏi rất tự nhiên là: có thể mơ tả C*-đại số Connes C* ( V,  ) liên kết với
phân lá ( V,  ) bằng phương pháp K-hàm tử không? Đáng chú ý, câu trả lời là
khẳng định! Năm 1985, Torpe [77] đã thành công trong việc sử dụng phương pháp
K-hàm tử để đặc trưng C*-đại số Connes liên kết với các phân lá Reeb trên mặt
xuyến 2 và mặt cầu đơn vị 3 . Năm 1990, Vu [82] cũng đã thành cơng trong việc
nghiên cứu bài tốn tương tự trên lớp các MD4-phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo chiều
cực đại của các MD4-nhóm.
Xâu chuỗi những sự kiện trên, chúng ta có thể tóm lược như sau:
• Tiếp cận bài toán phân loại các đại số Lie thực giải được n-chiều theo cấu
trúc, cụ thể là xét thêm tính chất bổ sung là số chiều các K-quỹ đạo, đã dẫn
tới bài toán nghiên cứu lớp con các MDn-đại số của lớp các đại số Lie thực


9


giải được.
• Đến lượt mình, lớp các MDn-nhóm liên thơng đơn liên tương ứng với các
MDn-đại số sẽ “sinh ra” lớp các MDn-phân lá mà C*-đại số Connes liên kết
với mỗi MDn-phân lá đều thích hợp với phương pháp K-hàm tử. Như vậy,
chúng ta tìm được một lớp các C*-đại số – lớp các C*-đại số liên kết với lơp
MDn-phân lá – có thể đặc trưng được bằng phương pháp K-hàm tử.
Những lập luận trên cho thấy việc kết hợp giữa hướng nghiên cứu phân loại đại
số Lie giải được theo cấu trúc với hướng nghiên cứu về cấu trúc C*-đại số Connes
liên kết với các phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD-nhóm bằng
phương pháp K-hàm tử là một vấn đề có ý nghĩa khoa học. Vì vấn đề đặt ra là rất
rộng và đòi hỏi nhiều kỹ thuật phức tạp nên luận án này chỉ tập trung vào hai vấn đề
cốt yếu như sau:
• Những kỹ thuật của Vu [82] trên lớp MD(4,1)-đại số và lớp MD(4,3)-đại số,
Vu & Shum [83] trên lớp MD(5,1)-đại số và lớp MD(5,4)-đại số được phát
triển để nghiên cứu một lớp MD-đại số tổng quát là lớp các MD-đại số có
ideal dẫn xuất 1-chiều hoặc đối chiều 1.
• Những kỹ thuật của Vũ [2] trên lớp MD4-phân lá, Vu & Thanh [84] trên lớp
MD(5,3C)-phân lá và Hòa [1] trên lớp MD(5,4)-phân lá được vận dụng và
phát triển để nghiên cứu lớp MD(5,kC)-phân lá.
Đó cũng chính là cơ sở, xuất phát điểm để tác giả lựa chọn đề tài nghiên cứu của
luận án này là Về một lớp các MD-đại số tổng quát và lớp các MD(5,kC)-phân lá.
2 Mục đích nghiên cứu

Luận án này này có hai mục đích chính:
1. Thứ nhất, nghiên cứu bài tốn phân loại các đại số Lie thực, giải được theo

cấu trúc là số chiều của các K-quỹ đạo. Cụ thể hơn, trên cơ sở phân tích các
kết quả có được từ các lớp MD(2,1), MD(4,1), MD(4,3), MD(5,1) và
MD(5,4), kết hợp với việc khảo sát hai trường hợp điển hình đại số Lie

Heisenberg thực h2 m+1 và đại số Lie Kim cương thực ¡ .h2 m +1 , tác giả nghiên


10

cứu bài toán phân loại lớp các MD-đại số tổng quát (số chiều hữu hạn tùy ý)
có ideal dẫn xuất thứ nhất là 1-chiều hoặc đối chiều là 1.
2. Thứ hai, nghiên cứu một lớp các phân lá cụ thể theo cả hai hướng trong tôpô

phân lá. Chi tiết hơn, tác giả xét các MD(5,kC)-phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo
chiều cực của các MD(5,kC)-nhóm với 1 ≤ k ≤ 4 . Vấn đề nghiên cứu này được
cụ thể hóa thành những bước như sau:
• Trên cơ sở phân loại các MD(5,kC)-đại số bất khả phân của Vu & Shum
[83] và kết quả mơ tả K-quỹ đạo của MD(5,3C)-nhóm của Vu & Thanh
[84], mô tả K-quỹ đạo của lớp các MD(5,kC)-nhóm tương ứng và chỉ ra sự
hình thành lớp các MD(5,kC)-phân lá. Sau đó, tiến hành phân loại các
MD(5,kC)-phân lá và khảo sát tính chất hình học của các lá của các
MD(5,kC)-phân lá trên phương diện tồn cục.
• Nghiên cứu K-lý thuyết đối với các MD(5,kC)-phân lá bằng cách mô tả
tường minh giải tích hoặc đặc trưng cấu trúc tồn cục C*-đại số liên kết với
các MD(5,kC)-phân lá bằng phương pháp K-hàm tử.
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án này bao gồm:
• Lớp MD ( n,1) và lớp MD ( n, n − 1) tổng quát với số chiều hữu hạn tùy ý.
• Lớp MD(5,kC)-phân lá liên kết với các MD(5,kC)-nhóm bất khả phân và lớp
các C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,kC)-phân lá.
4 Phương pháp nghiên cứu

Luận án này được thực hiện bằng cách đọc tài liệu, phân tích tổng hợp và thảo

luận nhóm kết hợp trên cơ sở học kỹ thuật của các phương pháp tốn học như sau:
• Phương pháp quỹ đạo Kirillov [40], đặc biệt là phương pháp mô tả các K-quỹ
đạo đã được Vu [82] cải tiến cho phù hợp với lớp MD.
• Phương pháp của Tơpơ phân lá kết hợp với Hình học giải tích.
• Phương pháp K-hàm tử để mô tả các C*-đại số với một vài cải tiến thích hợp.


11

• Các kỹ thuật cơ bản của Đại số tuyến tính và Hình học vi phân.
5 Ý nghĩa của đề tài nghiên cứu

Việc thực hiện thành công đề tài này có ý nghĩa khoa học như sau:
• Kết quả tổng quát trên lớp MD ( n,1) và lớp MD ( n, n − 1) bổ sung một kết quả
trong bài toán phân loại các đại số Lie thực, giải được theo hướng tiếp cận
bằng cấu trúc. Đồng thời, chỉ ra được một đặc trưng mới của đại số Lie
Heisenberg – một đại số Lie cổ điển với nhiều ứng dụng trong Tốn học và
Vật Lý.
• Các đặc trưng hình học của lớp các MD(5,kC)-phân lá bổ sung các ví dụ và
phản ví dụ cụ thể về lớp các phân lá đơn giản nhất có thể có trên một lớp đa
tạp Riemann đặc biệt là khơng gian Euclid.
• Cuối cùng, kết quả trên lớp các C*-đại số liên kết với các MD(5,kC)-phân lá
cũng góp phần tìm ra lớp các C*-đại số thích hợp với phương pháp K-hàm tử.
6 Bố cục của luận án

Với mục đích nghiên cứu cụ thể như trên, luận án được bố cục bao gồm phần
mở đầu, chương chuẩn bị, hai chương nội dung và phần kết luận. Cụ thể hơn:
• Phần mở đầu: giới thiệu đề tài, mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu,
phương pháp nghiên cứu, ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài, bố cục và
nội dung của luận án.

• Chương 1: trình bày vắn tắt những kiến thức chuẩn bị được sử dụng trong
những chương về sau.
• Chương 2 – 3: trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu được với đầy đủ phép
chứng minh.
• Phần kết luận: đề xuất những vấn đề mở có thể nghiên cứu tiếp theo.
Các kết quả đạt được của luận án đã được báo cáo tại một số Hội nghị Toán học
trong nước và quốc tế như sau:


12

• Hội nghị Tốn học quốc tế về Các phương pháp Hình học trong Động lực
học và Tơpơ (GEDYTO 2011) tháng 04/2011 tại Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 1.
• Hội nghị Đại số – Hình học – Tơpơ tháng 11/2011 tại Đại học Thái Nguyên,
tháng 12/2014 tại Tuần Châu, Quảng Ninh và tháng 10/2016 tại Cao Đẳng
Sư phạm Đắc Lắc.
• Hội nghị quốc tế về Tốn học và Ứng dụng (ICMA-UEL 1 & 2) tháng
12/2011 và tháng 12/2013 tại Trường Đại học Kinh tế – Luật, ĐHQG TP. Hồ
Chí Minh.
• Hội nghị Tốn học phối hợp Việt – Pháp (VFJC) tháng 08/2012 tại Đại học
Sư phạm, Đại học Huế.
• Hội nghị Toán học và Ứng dụng (ICMA-MU) tháng 01/2013 tại Đại học
Mahidol, Bangkok, Thái Lan.
• Hội nghị về nhóm, biểu diễn nhóm và các vấn đề liên quan tháng 11/2013 tại
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG TP. Hồ Chí Minh.
• Hội thảo khoa học tháng 10/2012, tháng 11/2014 và tháng 10/2015 tại
Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh.
• Hội nghị Khoa học Cơng nghệ lần thứ 14 tháng 10/2015 tại trường Đại học
Bách khoa, ĐHQG TP. Hồ Chí Minh.



13

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Lớp MD và phương pháp quỹ đạo Kirillov
Trong mục này, chúng tơi trình bày lại khái niệm lớp MD được đề xuất bởi
Diep [22] và ý tưởng cơ bản của phương pháp K -quỹ đạo được đưa ra bởi Kirillov
[40]. Trường cơ sở được xét trong suốt mục này là trường số thực.

1.1.1 Lớp MD
Định nghĩa 1.1 (Đại số Lie). Không gian vector n-chiều G được gọi là một đại số
Lie n-chiều nếu trên G trang bị thêm móc Lie [⋅, ⋅] có tính chất song tuyến tính,
0
phản xứng và thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi [ x, y ] , z  + [ y, z ] , x  + [ z , x ] , y  =

với mọi x, y, z ∈ G . Nếu [⋅, ⋅] ≡ 0 thì G được gọi là giao hoán. Tâm của đại số Lie
G là tập hợp Z ( G ) =

{ z ∈ G : [ z, x ] =

0, ∀x ∈ G} . Một đại số Lie được gọi là bất khả

phân nếu khơng thể phân tích thành tổng trực tiếp của hai đại số con thực sự.
Định nghĩa 1.2 (Nhóm Lie). Nhóm G được gọi là nhóm Lie n -chiều nếu đồng
thời là một đa tạp khả vi n -chiều sao cho phép toán ( x, y ) a xy −1 khả vi. Nhóm Lie
G được gọi là giao hốn nếu phép tốn nhóm giao hốn.


Ghi chú 1.3. Theo kết quả cơ bản trong lý thuyết Lie, mỗi nhóm Lie G sẽ xác định
duy nhất một đại số Lie G được gọi là đại số Lie của nhóm Lie G , ký hiệu là
Lie (G ) . Ngược lại, với mỗi đại số Lie G cho trước, luôn tồn tại duy nhất nhóm

Lie liên thơng, đơn liên G sao cho G = Lie (G ) .
Ví dụ 1.4. Nhóm nhân GL n ( ¡
chiều và Lie ( GL n ( ¡

)

các n-ma trận thực khả nghịch là một nhóm Lie n 2 -

) ) = Mat n ( ¡ )

là đại số Lie n 2 -chiều các n-ma trận thực với móc

=] AB − BA . Có thể xem đó là nhóm Lie Aut (V ) các tự đẳng cấu của
Lie [ A, B


14

không gian vector V với phép hợp thành ánh xạ và đại số Lie Lie ( Aut (V ) ) = End (V )
, g ] f og − g o f
các tự đồng cấu của V với móc Lie [ f=

.

Định nghĩa 1.5 (Đồng cấu, đẳng cấu). Ánh xạ tuyến tính (tương ứng, đẳng cấu

tuyến tính) f : ( G1 ,[⋅, ⋅]1 ) → ( G2 ,[⋅, ⋅]2 ) giữa các đại số Lie được gọi là đồng cấu đại
số Lie (tương ứng, đẳng cấu đại số Lie) nếu f

([ X , Y ] ) =  f ( X ) , f (Y )
1

2

với mọi

X , Y ∈ G1 . Đồng cấu nhóm (tương ứng, đẳng cấu nhóm) f : G1 → G2 giữa các nhóm

Lie được gọi là đồng cấu nhóm Lie (tương ứng, đẳng cấu nhóm Lie) nếu f khả vi.
Định nghĩa 1.6 (Biểu diễn phụ hợp). Cho nhóm Lie G và G = Lie ( G ) . Đồng cấu

(

) ∈ Aut ( G ) , ở đó L và R
tương ứng là phép tịnh tiến trái bởi g và tịnh tiến phải bởi g và ( L oR ) là đạo
nhóm Ad : G → Aut( G ) , g ∈ G a Ad ( g ) = Lg oRg

−1

g

*

g −1

−1


g

g −1 *

hàm của Lg oRg được gọi là biểu diễn phụ hợp của G trong G .
−1

Định nghĩa 1.7 (Biểu diễn đối phụ hợp). Ký hiệu G * là không gian đối ngẫu của
G . Đồng cấu nhóm K : G → Aut ( G * ) , g ∈ G a K ( g ) ∈ Aut ( G * ) xác định bởi:
K ( g ) F ,Y
=

F , Ad ( g −1 ) Y , F ∈ G * , Y ∈ G

ở đó ký hiệu F , Y để chỉ giá trị của F ∈ G * tại Y ∈ G được gọi là biểu diễn đối
phụ hợp hay K-biểu diễn của G trong G * .
Định nghĩa 1.8 (K-quỹ đạo). Mỗi quỹ đạo ứng với K-biểu diễn được gọi là K-quỹ
=
ΩF
đạo của G trong G * . K-quỹ đạo của G qua F ∈ G * ký hiệu

{ K ( g ) F : g ∈ G} .

Để xác định số chiều của các K-quỹ đạo, chúng ta thường xét dạng song tuyến
tính, phản xứng Kirillov BF trên G tương ứng với F như sau:
=
BF ( X , Y )

F , [ X , Y ] , X , Y ∈ G.


Mệnh đề 1.9 ([40, Mục 15.1]). dim ΩF =rank BF .
Định nghĩa 1.10 (Đại số Lie giải được). Cho đại số Lie G . Đặt G n =  G n −1 , G n −1 
với quy ước G 0 = G , gọi là ideal dẫn xuất thứ n của G và chúng ta có chuỗi dẫn


15

xuất G ⊃ G1 ⊃ G 2 ⊃ L . Nếu dim G < +∞ thì chuỗi này sẽ dừng, tức là tồn tại
∞
m
m +1
m ∈ ¥ \ {0} sao cho G=
: G
=
G=
L . Nếu G ∞ = 0 thì G gọi là giải được.

Định nghĩa 1.11 (Lớp MD [22, Chương 4, Định nghĩa 1.1]). MD-nhóm là một
nhóm Lie thực giải được mà các K-quỹ đạo chỉ có số chiều 0 hoặc chiều cực đại.
Đại số Lie của MD-nhóm được gọi là MD-đại số. Lớp MD là tập tất cả các MD-đại
số. Khi cần nhấn mạnh số chiều là n thì ta sẽ có MDn-nhóm, MDn-đại số, lớp MDn.
=
aff ( ¡ )
Ví dụ 1.12. Đại số Lie affine thực 2-chiều

=
Heisenberg thực
3-chiều h3


=
X , Y : [ X , Y ] Y , đại số Lie

=
X , Y , Z :[ X , Y ] Z hay đại số Lie Kim cương 4-chiều

¡ .h3 =
X , Y , Z , T : [T , X ] =
− X , [T , Y ] =
Y ,[ X ,Y ] =
Z là các MD-đại số.

Khi số chiều cực đại của K-quỹ đạo bằng đúng số chiều của nhóm thì chúng ta
có SMD-nhóm, SMD-đại số và lớp SMD. Lớp SMD tổng quát đã được phân loại
Son & Viet [74] năm 1984. Tuy nhiên, bài toán phân loại lớp MDn chỉ mới giải
quyết khi n ≤ 5 [83, 85] và trong trường hợp tổng quát vẫn cịn mở. Để giảm bớt
tính phức tạp, chúng ta xét ideal dẫn xuất thứ nhất và có định nghĩa sau đây
Định nghĩa 1.13 (Lớp MD ( n, k ) , MD ( n, kC ) và MD ( n, kNC ) ). Cho G là một
MDn-đại số với ideal dẫn xuất thứ nhất G1 .
1
k ( 0 < k < n ) thì G được gọi là MD ( n, k ) -đại số. Thêm nữa,
1. Nếu dim G=

nếu G1 giao hốn (tương ứng, G1 khơng giao hốn) thì G được gọi là MD

( n, kC ) -đại số (tương ứng, MD ( n, kNC ) -đại số).
2. Lớp MD ( n, k ) , MD ( n, kC ) và MD ( n, kNC ) tương ứng là tập tất cả các MD

( n, k ) -đại số, MD ( n, kC ) -đại số và MD ( n, kNC ) -đại số.
Ví dụ 1.14. aff ( ¡


)

là MD(2,1)-đại số vì ( aff ( ¡ ) ) = ¡ .Y ≅ ¡ ; h3 là MD(3,1)-đại số
1

vì ( h3 ) = ¡ .Z ≅ ¡ ; ¡ .h3 là MD(4,3NC)-đại số vì ( ¡ .h3 ) ≅ h3 .
1

1

Dưới đây là một số mệnh đề thể hiện các tính chất cơ bản của lớp MD được sử
dụng trong các chương về sau.


16

Mệnh đề 1.15 (Điều kiện cần của lớp MD [74, Định lý 4]). Nếu G là một MDđại số thì ideal dẫn xuất thứ hai G 2 phải giao hoán.
Mệnh đề 1.16 ([22, Mệnh đề 2.1]). Cho G là một MD-đại số. Nếu F ∈ G * không
đồng nhất triệt tiêu trong G1 thì K-quỹ đạo Ω F có chiều cực đại.
Mệnh đề 1.17 ([85, Định lý 2.1.5]). Không tồn tại MD-đại số G mà ideal dẫn xuất
thứ hai G 2 không tầm thường và dim
=
G 2 dim G1 − 1 . Nói cách khác, nếu
0 < dim G 2 = dim G1 − 1 thì G khơng phải là MD-đại số.

Mệnh đề 1.18 ([85, Bổ đề 2.2.3]). Nếu G là một đại số Lie thực, giải được với
dim G1 = 2 thì G1 giao hốn.

Mệnh đề 1.19 ([85, Bổ đề 2.1.6]). Nếu G là một MDn-đại số với n ≥ 5 và

dim G1= n − 1 thì dim Ω F ∈ {0, 2} với mọi F ∈ G * .

1.1.2 Phương pháp mô tả K-quỹ đạo
Theo phương pháp quỹ đạo Kirillov [40], đối với mỗi nhóm Lie G, vấn đề
được quan tâm là mô tả các K-quỹ đạo Ω F của G với mỗi F ∈ G * . Hơn nữa, chúng
ta muốn có một phương pháp mơ tả Ω F trong trường hợp luật nhóm của G chưa
được cho một cách tường minh mà chỉ biết rõ cấu trúc đại số Lie G = Lie ( G ) . Một
cách hữu ích là khảo sát ánh xạ mũ và tính chất tự nhiên của chúng.
Ký hiệu expG : G → G là ánh xạ mũ của G và exp : End ( G ) → Aut ( G ) là ánh
xạ mũ của Aut ( G ) . Gọi ad : G → End ( G ) là vi phân của Ad xác định bởi
ad X (Y ) = [ X , Y ] với X , Y ∈ G . Chúng ta có biểu đồ giao hốn sau:
Ad
G 
→ Aut ( G )

expG ↑

↑ exp

(1.1)

ad
G 
→ End ( G )

Với mỗi X ∈ G và mỗi F ∈ G * , chúng ta xác định phần tử FX ∈ G * bởi:
=
FX , Y

F , exp ( ad X ) Y , ∀Y ∈ G


(1.2 )


17

và đặt Ω F ( G ) =
{FX ∈ G * : X ∈ G} . Giả sử { X1 ,…, X n } và { X1* ,…, X n*} lần lượt là cơ
sở của G và G * . Gọi ( eij )i , j =1,n là ma trận của exp ( ad X ) trong cơ sở { X i } . Công
thức (1.2 ) cho thấy nếu (α1 ;…; α n ) là tọa độ của F ∈ G * thì tọa độ ( x1 ;…; xn ) của
FX ∈ G * được cho bởi công thức:

=
xj

=
FX , X j

F , exp ( ad=
X )Xj

n

e , j
∑ a=
i =1

i ij

1, n.


(1.3)

Khi đó, nhờ biểu đồ giao hốn (1.1) , chúng ta có kết quả:
Bổ đề 1.20 ([2, Bổ đề 1.3]). Chúng ta ln có bao hàm thức:
Ω F ( G ) ⊆ Ω F , ∀F ∈ G * .

(1.4 )

Hơn nữa, nếu expG là toàn ánh thì đẳng thức xảy ra.
Chúng ta cần tìm một điều kiện để expG là tồn ánh. Vì expG ln là vi phơi
địa phương nên nếu expG là vi phơi tồn cục (khi đó, G được gọi là nhóm
exponential) thì hiển nhiên có đẳng thức trong (1.4 ) . Dưới đây là một phần của
Định lý Dixmier [23] & Saito [69] trong phép phân loại nhóm exponential.
Mệnh đề 1.21 ([9, Chương III, Bài tập §9.17]). Cho G là nhóm Lie thực đơn liên
hữu hạn chiều với G = Lie ( G ) và ánh xạ mũ expG : G → G . Khi đó, các khẳng định
sau là tương đương:
1. expG là tồn ánh.
2. Với mọi X ∈ G , tốn tử ad X chỉ có giá trị riêng thuần ảo (trong £ ) là 0.
Điều kiện trên thực sự rất mạnh. Trong nhiều trường hợp, một điều kiện yếu
hơn tính tồn ánh của expG cũng đủ để có đẳng thức trong (1.4 ) . Cụ thể là:
Mệnh đề 1.22 ([2, Bổ đề 1.5]). Giả sử G liên thông. Nếu họ {Ω F ( G )}F∈G lập
*

thành một phân hoạch của G * và mọi Ω F ′ ( G ) , F ′ ∈ Ω F đều cùng mở hoặc cùng
Ω F với mọi F ∈ G * .
đóng (tương đối) trong Ω F , F ∈ G * thì Ω F ( G ) =


18


1.2 Tơpơ phân lá
Mục này trình bày lại một số vấn đề cơ bản của tôpô phân lá. Về những vấn đề
chi tiết hơn, xin xem trong [12, 14, 15, 28, 43, 76]. Trong suốt mục này, V luôn là
một đa tạp (thực) trơn n-chiều với X (V ) là tập các trường vector trơn trên V.

1.2.1 Phân lá
= { Lα }α ∈A của V
Định nghĩa 1.23 (Phân lá [76, Chương IV]). Phép phân hoạch �

bởi các đa tạp con liên thông được gọi là một Cr-phân lá nếu với mọi x ∈ V , tồn tại
=
ϕ
một Cr-bản đồ (hệ tọa độ địa phương)

(ϕ1 , ϕ2 ) : U → ¡

p

ס

n− p

xác định trên một

lân cận mở U của x sao cho mỗi thành phần liên thông của U ∩ Lα được mơ tả bởi
phương trình ϕ2 = const . V gọi là đa tạp phân lá, mỗi phần tử của  được gọi là một
lá và mỗi thành phần liên thông của U ∩ Lα được gọi là một tấm. Số p và n–p tương
ứng được gọi là số chiều và số đối chiều của  , ký hiệu là dim  và codim  .
Ghi chú 1.24. Luận án này chỉ xét các C ∞ -phân lá nên gọi tắt là phân lá.

Định nghĩa 1.25 (Phân bố). Một phân bố p-chiều V trên V là một ánh xạ kết hợp
mỗi điểm x ∈ V với một không gian vector con p-chiều Vx của không gian tiếp xúc
TxV . Số đối chiều của V là codim V= n − p . Phân bố V được gọi là trơn nếu với

mỗi x ∈ V , tồn tại lân cận U của x và p trường vector trơn X 1 ,…, X p trên U sao
cho hệ vector { X 1 ( y ) ,…, X p ( y )} là cơ sở của Vy với mọi y ∈ U . Trường vector X
được gọi là thuộc vào phân bố V nếu X x ∈ Vx với mọi x ∈ V .
Ghi chú 1.26. Luận án này chỉ xét các phân bố trơn nên gọi tắt là phân bố.
Định nghĩa 1.27 (Phân bố khả tích). Đa tạp con dìm L ⊂ V được gọi là đa tạp con
tích phân của V nếu Tx L = Vx với mọi x ∈ L . Phân bố V được gọi là khả tích nếu
qua mọi điểm của V đều tồn tại một đa tạp con tích phân của V .


19

Mệnh đề 1.28 (Frobenius [75, Chương 3, Định lý 5.1]). Phân bố V trên V là khả
tích khi và chỉ khi V là đối hợp, tức là với mọi X , Y ∈ X (V ) thuộc vào V thì

[ X ,Y ]

cũng thuộc V .

Nếu V là phân bố khả tích p-chiều trên V thì họ tất cả các đa tạp con tích
phân tối đại của V lập thành một phân lá p-chiều trên V [67, Chương 1]. Ngược
lại, nếu  là phân lá p-chiều trên V thì trường các không gian tiếp xúc của tất cả
các lá của  lập thành một phân bố đối hợp p-chiều T trên V [75, Chương 3],
gọi là phân bố tiếp xúc của  . Nhờ Mệnh đề 1.28, chúng ta có một định nghĩa khác
về phân lá như sau:
Định nghĩa 1.29 (Phân lá). Một phân lá p-chiều (V , V ) là một cặp gồm đa tạp trơn
V cùng với một phân bố khả tích p-chiều V trên V. Phân bố V được gọi là phân

bố xác định phân lá. Số chiều dim V và số đối chiều codim V tương ứng được gọi
là số chiều và số đối chiều của phân lá (V , V ) . Mỗi đa tạp con tích phân liên thơng
tối đại L của V được gọi là một lá của phân lá (V , V ) và ta có dim L = dim V .
Ví dụ 1.30. Phân hoạch ¡ 2 \ {O} thành các đường tròn đồng tâm O (tương ứng, các
tia xuất phát từ O) thì chúng ta có phân lá đường trịn (tương ứng, phân lá tia) trên
¡ 2 \ {O} . Phân bố xác định phân lá đường tròn và phân lá tia lần lượt là
V =− y ∂∂x + x ∂∂y và =
V

x ∂∂x + y ∂∂y .

Ghi chú 1.31. Ngoài Định nghĩa 1.23 & 1.29 về phân lá như trên, chúng ta cịn có
một số định nghĩa khác (tương đương) về phân lá (xem [50, Mục 1.2]). Về ký hiệu
phân lá, chúng ta sẽ ghi là  hoặc (V ,  ) nếu muốn chỉ rõ  là phân lá trên V.
Định nghĩa 1.32. Cho phân lá (V ,  ) . Nếu có phân thớ trơn p : V → B sao cho mỗi
thớ là một lá của  thì ta bảo  được cho bởi phân thớ p : V → B . Nếu có nhóm
Lie G tác động trơn, tự do hoặc tự do địa phương lên V sao cho mỗi G -quỹ đạo là
một lá của  thì ta bảo  được cho bởi tác động của G.