BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Ngọc Thạch Lương

DẠY HỌC KHÁI NIỆM DÃY SỐ
NHÌN TỪ QUAN ĐIỂM DẠY HỌC TÍCH HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Ngọc Thạch Lương

DẠY HỌC KHÁI NIỆM DÃY SỐ
NHÌN TỪ QUAN ĐIỂM DẠY HỌC TÍCH HỢP

Chun ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2016

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là một cơng trình nghiên cứu, những trích dẫn nêu
trong luận văn đều chính xác và trung thực.


LỜI CẢM ƠN
Tơi trân trọng dành những dịng đầu tiên để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã luôn động viên, tận tình hướng dẫn tơi về
mặt nghiên cứu khoa học và góp phần quan trọng vào việc hồn thành luận văn này.
Tôi cũng trân trọng gửi lời cảm ơn đến:
 PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, người đã truyền đạt cho chúng tôi những tri
thức về Thuyết nhân học trong Didactic, với sự nghiêm khắc nhưng đầy nhiệt
tình của cơ, chúng tôi đã luôn nỗ lực trong học tập và nghiên cứu.
 TS. Vũ Như Thư Hương, sau chuyên đề Hợp đồng Didactic cơ cịn dành một
buổi làm việc để hướng dẫn cho lớp tôi các kỹ năng cần thiết về tin học khi
trình bày một luận văn, xử lí hình ảnh,…
 PGS. TS. Lê Văn Tiến, TS. Tăng Minh Dũng, TS. Nguyễn Thị Nga.
Mỗi thầy cơ đã tận tình giảng dạy, giải đáp cho chúng tôi về những nội dung cịn
mới mẻ của chun ngành Didactic Tốn. Từ đó, thầy cô đã truyền cho chúng tôi
niềm say mê, hứng thú đối với chuyên ngành này.
 GS. Hamid Chaachoua, GS.Annie Besot về những góp ý q báu cho luận
văn.
Và tơi cũng chân thành cảm ơn:
 UBND tỉnh Đồng Nai, Sở GD ĐT tỉnh Đồng Nai, Ban Giám Hiệu trường
THPT Nhơn Trạch đã tạo điều kiện về mọi mặt giúp tôi được tham gia khóa
học.
 Phịng Sau Đại Học, Khoa Tốn- Tin trường ĐH Sư Phạm TP HCM đã tạo
điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong thời gian học tập tại đây.
 Các bạn trong lớp cao học - Didactic toán khóa 25 về những chia sẻ, động
viên nhau để hồn thành luận văn.

Cuối cùng, tôi không thể quên công ơn của những người thân trong gia đình, các
đồng nghiệp trong tổ Tốn của tơi, mọi người đã tạo điều kiện tốt, giúp tơi n tâm
hồn thành khóa học.
Nguyễn Ngọc Thạch Lương


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Mục lục
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt
Danh mục các bảng
MỞ ĐẦU

........................................................................................................................ 1

Chương 1. NHỮNG ĐỊNH HƯỚNG CỦA NOOSPHÈRE VIỆT NAM
CHO

CHƯƠNG

TRÌNH

MƠN

TỐN

TRONG

TƯƠNG LAI............................................................................................... 6

1.1. Chuyển từ dạy học nội dung sang hình thành năng lực cho học sinh............... 6
1.2. Vị trí của mơn tốn trong xu hướng dạy học tiếp cận năng lực ........................ 8
1.3. Dạy học tích hợp...................................................................................................... 9
1.4. Kết luận chương 1 .................................................................................................11
Chương 2. DÃY SỐ TRONG DẠY HỌC TOÁN BẬC THPT..............................13
2.1. Phân tích Sách giáo khoa Mỹ...............................................................................13
2.1.1. Phần bài học ................................................................................................13
2.1.2. Tóm tắt phần bài học của SGK Mỹ ..........................................................24
2.2. Các tổ chức toán học trong SGK Mỹ ..................................................................25
2.2.1. Kiểu nhiệm vụ T1 : Tìm số hạng thứ k của dãy số khi đã biết cơng
thức tính an theo n ......................................................................................26
2.2.2. Kiểu nhiệm vụ T2 : Tìm số hạng thứ k của dãy số khi biết cơng
thức tính an bằng truy hồi .........................................................................28
2.2.3. Kiểu nhiệm vụ T3 : Tìm cơng thức tính an theo n khi biết được
vài số hạng đầu của dãy ............................................................................31
2.2.4. Kiểu nhiệm vụ T4 : Tìm cơng thức tính an bằng truy hồi ......................32
2.2.5. Một số dạng bài tập khác ..........................................................................33
2.3. Dãy số trong Sách giáo khoa toán 11 (cơ bản) Việt Nam ................................35
2.3.1. Phần bài học ................................................................................................36


2.3.2. Tóm tắt phần bài học của SGK11CB và nhận xét ..................................44
2.4. Các tổ chức toán học trong SGK11CB cơ bản Việt Nam. ...............................45
2.5. Kết luận..................................................................................................................48
2.5.1. Phần bài học của SGKCB11 của Việt Nam ............................................48
2.5.2. Phần bài tập của SGKCB11 của Việt Nam .............................................48
Chương 3. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ...........................................................51
3.1. Đối tượng thực nghiệm .........................................................................................51
3.2. Nội dung thực nghiệm ..........................................................................................51
3.2.1. Thực nghiệm 1. ...........................................................................................51

3.2.2. Thực nghiệm 2 ............................................................................................53
3.3. Phân tích tiên nghiệm............................................................................................55
3.3.1. Tổ chức thực nghiệm..................................................................................55
3.3.2. Phân tích tiên nghiệm thực nghiệm 1 .......................................................56
3.3.3. Phân tích tiên nghiệm thực nghiệm 2 .......................................................58
3.4. Phân tích hậu nghiệm ............................................................................................64
3.4.1. Phân tích hậu nghiệm thực nghiệm 1 .......................................................64
3.4.2. Phân tích hậu nghiệm thực nghiệm 2. ......................................................70
3.5. Kết luận chương 3 .................................................................................................76
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................79

PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
CLHN

:

Chỉnh lí hợp nhất

CTHH

:

Chương trình hiện hành

DHTH

:


Dạy học tích hợp

GV

:

Giáo viên

HS

:

Học sinh

KNV

:

Kiểu nhiệm vụ

MTCT

:

Máy tính cầm tay

NHĐCT

:


Nhà hoạch định chương trình

THPT

:

Trung học phổ thông

Tr

:

Trang

SGK

:

Sách giáo khoa

SGK VN

:

Sách giáo khoa Việt Nam

SGK11CB

:


Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 cơ bản


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1.

Bảng so sánh một số tổ chức toán học của SGKCB11 và SGK Mỹ..... 49

Bảng 3.1.

Thống kê các câu trả lời cá nhân của học sinh trong câu hỏi 1.1 .......... 64

Bảng 3.2.

Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh về dãy 1,2,3 trong
câu hỏi 2.1 .................................................................................................... 65

Bảng 3.3.

Thống kê các câu trả lời của học sinh trong câu hỏi 1.2 ........................ 65

Bảng 3.4.

Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh về dãy số 4 trong câu
hỏi 2.1 ........................................................................................................... 66

Bảng 3.5.

Thống kê các câu trả lời của học sinh trong câu hỏi 1.3 ........................ 66


Bảng 3.6.

Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh về dãy số 5 trong câu
hỏi 2.1 ........................................................................................................... 67

Bảng 3.7.

Thống kê các câu trả lời của học sinh trong câu hỏi 1.4. ....................... 67

Bảng 3.8.

Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh trong câu hỏi 1.4. ........... 68

Bảng 3.9.

Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh trong câu hỏi 2.3. ........... 68

Bảng 3.10. Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh trong điều tra câu 1. ...... 70
Bảng 3.11. Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh trong điều tra câu 2. ...... 71
Bảng 3.12. Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh trong điều tra câu 3. ...... 72
Bảng 3.13. Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh trong điều tra câu 4. ...... 73
Bảng 3.14. Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh trong điều tra câu 5. ...... 74
Bảng 3.15. Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh trong điều tra câu 6. ...... 75
Bảng 3.16. Thống kê các câu trả lời theo nhóm học sinh trong điều tra câu 7. ...... 76


1

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài và các câu hỏi xuất phát
Dự định “đổi mới căn bản và toàn diện” giáo dục Việt Nam hứa hẹn sẽ mang
đến một cuộc cải cách giáo dục lớn. Những bài viết của các thành viên “bộ phận
thường trực đổi mới chương trình, sách giáo khoa giáo dục phổ thông và bồi dưỡng
nhà giáo, cán bộ quản lý cơ sở giáo dục” [16, tr.5]. Của Bộ Giáo dục và Đào tạo lấy
mốc thời gian “sau 2015” để nói về thời điểm thực hiện sự đổi mới. Tuy nhiên, thời
điểm dự kiến bắt đầu áp dụng chương trình mới đến nay vẫn chưa xác định.
Đối với việc xây dựng chương trình mới, các thành viên bộ phận thường trực
và các nhà nghiên cứu thuộc Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam sẽ giữ vai trị chủ
đạo. Chúng tơi sẽ gọi họ là những nhà hoạch định chương trình mới và gọi tắt là
NHĐCT. Vì vậy, phân tích những quan điểm của họ thể hiện qua các bài viết cho
những hội thảo tổ chức tại các trường Đại học Sư phạm Trọng điểm sẽ làm rõ
những định hướng đổi mới giáo dục phổ thơng nói chung và bộ mơn Tốn nói riêng.
Chương trình, sách giáo khoa giáo dục phổ thông từ lớp 1 đến lớp 12 hiện
hành được triển khai theo Nghị quyết số 40 của Quốc hội năm 2000 đã áp dụng
trên phạm vi toàn quốc từ năm 2002 đến nay là 12 năm.
Chương trình, sách giáo khoa hiện hành cơ bản đã làm xong nhiệm vụ của
mình trong giai đoạn vừa qua; đáp ứng được những yêu cầu về đổi mới theo
tinh thần Nghị quyết 40 của Quốc hội X. Tuy nhiên, trước yêu cầu phát triển
nguồn nhân lực chất lượng cao phục vụ sự nghiệp cơng nghiệp hóa, hiện đại
hóa đất nước; trước sự phát triển nhanh chóng của khoa học – cơng nghệ và
khoa học giáo dục; trước những địi hỏi hội nhập quốc tế, chương trình và sách
giáo khoa hiện hành đã bộc lộ một số hạn chế, bất cập.
Điều đó địi hỏi phải xây dựng chương trình và biên soạn sách giáo khoa với
những đổi mới căn bản, toàn diện về mục tiêu, nội dung, phương pháp và hình
thức dạy học, thi, kiểm tra, đánh giá chất lượng giáo dục và quản lý, thực hiện
chương trình [16, tr.5].


2


Chúng tôi thấy rằng NHĐCT đề cao và chú trọng phát triển năng lực của học
sinh, trong đó đề xuất ra phương án dạy học tích hợp trong chương trình, sách giáo
khoa sau năm 2015 để phát triển năng lực của học sinh.
Mục đích của dạy học tích hợp là để hình thành và phát triển năng lực học sinh.
Bản chất của năng lực là khả năng của chủ thể kết hợp một cách linh hoạt, có
tổ chức hợp lý các kiến thức, kỹ năng với thái độ, giá trị, động cơ, nhằm đáp
ứng những yêu cầu phức hợp của một hoạt động, bảo đảm cho hoạt động đó
đạt kết quả tốt đẹp trong một bối cảnh nhất định. Phương pháp tạo ra năng lực
đó chính là dạy học tích hợp [2, tr.38].

NHĐCT giới thiệu các lợi ích của dạy học tích hợp trong chương trình giáo
dục phổ thơng.
Phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh, nhất là học sinh tiểu học và trung
học cơ sở. Trước mắt các em, thế giới là một thể thống nhất: tự nhiên, xã hội và
con người. Thế giới không bị tách ra từng lát cắt.
Làm cho quá trình học tập gần gũi với cuộc sống của các em. Các chủ điểm
được xây dựng từ những nội dung gắn liền với cuộc sống.
Ghép được những kiến thức và kỹ năng có liên quan/ gần nhau của các môn
học.
Giảm số môn học và giảm tải cho học sinh.
Có điều kiện hình thành và phát triển năng lực của học sinh [4, tr.25].

Từ đó, chúng tôi đã đặt ra những câu hỏi xuất phát sau đây:
Những quan điểm nào về dạy học tích hợp theo các NHĐCT được đề cập?
Quan điểm nào có thể phù hợp với dạy học bộ mơn Tốn?
Khái niệm dãy số là một trong ba đối tượng cơ sở của giải tích (gồm số thực,
dãy, hàm số). Ngồi ra, đối tượng này cũng xuất hiện như là một công cụ trong
nhiều ngành khoa học khác nhau: vật lý, hóa học, sinh học và kinh tế học. Chúng tôi
giới hạn nghiên cứu trên đối tượng tri thức này và đặt câu hỏi xuất phát như sau:

Với những ràng buộc của thể chế hiện hành đối với khái niệm dãy số, làm
thế nào để dạy học phù hợp với quan điểm dạy học tích hợp của các NHĐCT?


3

2. Tổng quan về các cơng trình nghiên cứu liên quan tới vấn đề nghiên cứu
Hiện nay, ở Việt Nam, các cơng trình nghiên cứu về khái niệm về dãy số
không nhiều. Đặc biệt là nghiên cứu dạy học theo quan điểm tích hợp. Chúng tơi
tìm được một cơng trình nghiên cứu có liên quan:
-

Diệp Văn An Lạc (2011), một nghiên cứu về cấp số nhân trong dạy học ở

trường THPT, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh.
Tác giả đã trình bày nghiên cứu khái niệm cấp số nhân ở cấp độ đại học và phân
tích mối quan hệ thể chế với các đối tượng cấp số nhân ở chương 2, chưa có vận
dụng dạy học tích hợp.
-

Lê Minh Hải (2013), dãy số trong dạy học tốn ở phổ thơng, Luận văn thạc

sĩ, Trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh.Tác giả đã nghiên cứu các tri
thức bác học về khái niệm dãy số thơng qua các giáo trình Tốn ở bậc đại học để
tìm hiểu cách trình bày khái niệm dãy số, các cách cho dãy số và các khái niệm liên
quan. Tác giả phân tích mối quan hệ thể chế đối với đối tượng dãy số và các tổ chức
tốn học có liên quan trong giáo trình tốn THCS và THPT. Tác giả phân tích mối
tương quan giữa dãy số và hàm số trong chương 2. Chúng tôi nhận thấy tác giả chưa
đề cập đến quan điểm dạy học tích hợp.
Từ những ghi nhận ban đầu như trên, chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên

cứu cho luận văn thạc sĩ của mình là: “Dạy học khái niệm dãy số nhìn từ quan
điểm dạy học tích hợp”.
3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Để đạt được các mục tiêu nghiên cứu đã được đề ra, chúng tôi sẽ vận dụng các
công cụ của lý thuyết sau:
- Các yếu tố lý thuyết về dạy học tích hợp được trình bày bởi các NHĐCT.
Chúng tơi sẽ trình bày trong chương 1, cơ sở lí luận của luận văn.
- Thuyết nhân học trong didactic tốn để phân tích các sách giáo khoa.
- Lý thuyết tình huống để xây dựng và phân tích thực nghiệm.


4

4. Mục tiêu nghiên cứu và các câu hỏi nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài: xây dựng một tình huống dạy học khái niệm dãy số thỏa mãn
các ràng buộc của thể chế hiện hành và phù hợp với quan điểm về dạy học tích hợp
của các NHĐCT.
Từ mục tiêu này chúng tôi phát biểu các câu hỏi nghiên cứu sau:
CH1: Theo các NHĐCT, tại sao nên thực hiện dạy học tích hợp? dạy học tích
hợp là gì và có những đặc trưng gì? Các hình thức dạy học tích hợp nào phù hợp với
dạy học Toán?
CH2: Trong SGK toán Việt Nam hiện hành, dãy số được trình bày như thế
nào nếu nhìn từ quan điểm tích hợp như các NHĐCT?
5. Phương pháp nghiên cứu
Để đạt được mục tiêu nghiên cứu trên, chúng tơi xác định phương pháp nghiên
cứu
• Phương pháp phân tích – tổng hợp:
-

Phân tích quan điểm tích hợp của các NHĐCT Việt Nam, để trả lời cho các

câu hỏi: dạy học tích hợp là gì, các kiểu tích hợp, các hình thức dạy học tích
hợp nào phù hợp với dạy học Tốn?

• Phương pháp phân tích – so sánh:
-

Để làm rõ những đặc trưng của thể chế Việt Nam về việc dạy học khái niệm
dãy số, chúng tơi sẽ phân tích so sánh SGK Việt Nam với một quyển sách
giáo khoa nước khác. Quyển sách được chọn là quyển:
James

Stewart-Rothard

Redline-Saleem

Watson

(2013),

Precalculus

Mathematics for Calculus (sixth edition), Cengage Learning.
Phân tích so sánh này được thực hiện bằng công cụ của thuyết nhân học trong
didactic liên quan đến CH2.
• Phương pháp thực nghiệm
-

Xây dựng và phân tích các tình huống dạy học bằng các cơng cụ của lí thuyết
tình huống để trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu đặt ra sau khi phân tích thể
chế.



5

Chúng tôi xác định phương pháp nghiên cứu được sơ đồ hóa như sau:

Phân tích quan điểm dạy học
tích hợp của các NHĐCT
Phân tích SGK tốn của
Việt Nam

Phân tích giáo trình
Precalculus

Nghiên cứu thực nghiệm

Hình 0.1. Sơ đồ phương pháp nghiên cứu.


6

Chương 1.
NHỮNG ĐỊNH HƯỚNG CỦA NOOSPHÈRE VIỆT NAM
CHO CHƯƠNG TRÌNH MƠN TỐN TRONG TƯƠNG LAI
Chương này đi tìm câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu sau CH1: Theo các
NHĐCT, tại sao nên thực hiện dạy học tích hợp? Dạy học tích hợp là gì và có
những đặc trưng gì? Các hình thức dạy học tích hợp nào phù hợp với dạy học
Toán?
1.1. Chuyển từ dạy học nội dung sang hình thành năng lực cho học sinh
Định hướng tổng quát của những nhà hoạch định chương trình mới là chuyển

từ việc dạy học những nội dung của tri thức môn học cụ thể sang hình thành các
năng lực cho học sinh.
Chuyển nền giáo dục chú trọng mục tiêu truyền thụ kiến thức một chiều hiện
nay sang nền giáo dục chú trọng hình thành, phát triển tồn diện năng lực và
phẩm chất nguời học [16, tr.6].

Hòa chung với định hướng này, việc dạy học mơn Tốn cũng được u cầu
thay đổi sao cho có thể phát triển năng lực của học sinh.
Chương trình mơn tốn của trường phổ thơng Việt Nam sau 2015 được xây
dựng theo định hướng phát triển năng lực người học. Những năng lực chung
cần được hình thành và phát triển ở người Việt Nam trong giai đoạn tới bao
gồm: năng lực tư duy, năng lực thu thập và chế biến thông tin, năng lực giải
quyết vấn đề, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực tự học, năng lực tự
quản lý bản thân (tất nhiên những năng lực này khơng hồn tồn độc lập với
nhau). Đây cần được xem là điểm xuất phát cho việc xác định mục tiêu, nội
dung, phương pháp dạy học, cách thức đánh giá kết quả học tập mơn tốn trong
trường phổ thông [9, tr.25].

Như vậy, một loạt thuật ngữ liên quan đến năng lực xuất hiện. Câu hỏi đầu
tiên: thế nào là năng lực?
Từ nhiều định nghĩa khác nhau về năng lực, tác giả Đinh Quang Báo (2014)
tóm lại như sau:
Bản chất của năng lực là khả năng của chủ thể kết hợp một cách linh hoạt, có
tổ chức hợp lý các kiến thức, kỹ năng với thái độ, giá trị, động cơ, nhằm đáp


7

ứng những yêu cầu phức hợp của một hoạt động, bảo đảm cho hoạt động đó
đạt kết quả tốt đẹp trong một bối cảnh (tình huống) nhất định [2, tr.38].


Tác giả cũng đề cập đến mối quan hệ giữa năng lực và kiến thức, kĩ năng
(những thành tố cơ bản của mục tiêu dạy học hiện hành).
Ở Việt Nam, thuật ngữ

“năng lực” có thể được hiểu theo các nội hàm khác

nhau. Theo một số quan điểm khá thống nhất thì năng lực được hiểu theo nghĩa
“competency”, nghĩa là: Sự tổng hợp tất cả các yếu tố kiến thức, kỹ năng và
các thuộc tính cá nhân khác để thực hiện một loại cơng việc nào đó [2, tr.40].

Như vậy, việc dạy học nhằm hình thành năng lực và đánh giá năng lực học
sinh nhất thiết phải gắn với những tình huống có ý đồ sư phạm cụ thể. Ngồi ra, tri
thức môn học được mô tả dưới dạng kiến thức và kĩ năng cũng cần phải được xác
định rõ.
Các NHĐCT cũng cố gắng đưa ra các kiểu năng lực cần hình thành cho học sinh
trong giáo dục phổ thông. Tuy nhiên điều này đến nay vẫn chưa có sự thống nhất.
Tham khảo những năng lực chung (hay năng lực cốt lõi) ở một số quốc gia nói
tiếng Anh, các tác giả Đinh Quang Báo và Lê Huy Hoàng (2014) cho rằng:
Việc xác định hệ thống các năng lực chung cho giáo dục phổ thông không
giống nhau giữa các quốc gia do sự khác nhau về điều kiện kinh tế, chính trị,
văn hố, trình độ phát triển… Tuy nhiên, trong bối cảnh tồn cầu hố và sự gia
tăng của nền kinh tế tri thức, có một số năng lực thường được nhiều quốc gia
đề cập trong chương trình đào tạo như: năng lực sử dụng ngơn ngữ (literacy
competency); năng lực tính tốn (numeracy competency); năng lực tư duy sáng
tạo và phản biện (creative and critical thinking competency); năng lực hợp tác
(collaborative competency); năng lực giải quyết vấn đề (problem solving
competency); và năng lực sử dụng công nghệ thông tin và truyền thông (ICTs
competency) [3, tr.13].


Chúng tôi sẽ chọn lựa các kiểu năng lực trong trích dẫn trên để tham chiếu
cho nghiên cứu của mình và hiểu về chúng trong một tình huống dạy học xác định
như sau:


8

-

Năng lực ngôn ngữ : khả năng vận dụng một cách phù hợp ngơn ngữ mà
đặc biệt là kí hiệu và thuật ngữ khoa học để trình bày ý kiến nhằm thuyết
phục người khác và để soạn thảo câu trả lời cho tình huống đặt ra.

-

Năng lực tính tốn : khả năng thực hiện nhanh và chính xác các phép tính,
đặc biệt là các ước lượng cần thiết để giải quyết tình huống đã cho.

-

Năng lực tư duy sáng tạo và phản biện: khả năng đưa ra các phản biện và đề
nghị cải thiện một cách hợp lí cho vấn đề đặt ra.

-

Năng lực hợp tác: khả năng phối hợp tốt với các thành vên trong nhóm để
phân chia cơng việc và thống nhất nhằm đưa ra sản phẩm trả lời cho tình
huống đặt ra.

-


Năng lực giải quyết vấn đề: khả năng giải quyết các vấn đề đặt ra trong tình
huống.

Lưu ý rằng: vấn đề là một bài tốn chưa thể giải quyết ngay bằng quy trình mà chủ
thể đang có, nó địi hỏi chủ thể phải bổ sung hay tổ chức lại kiến thức của mình mới
có thể giải quyết bài tốn.
-

Năng lực sử dụng cơng nghệ thơng tin và truyền thơng: khả năng sử dụng
hợp lí và hiệu quả các cơng cụ của cơng nghệ như máy tính bỏ túi, thiết bị
trình chiếu, các phần mềm máy tính phù hợp ...

Các NHĐCT cũng đồng ý rằng dù có thể gọi tên các năng lực một cách khác
nhau, nhưng chúng thường không được thể hiện một cách độc lập mà đan xen với
nhau. Chẳng hạn, khi giải quyết một vấn đề đặt ra bằng phương pháp và kĩ thuật
toán học thì chủ thể phải huy động các năng lực khác như: hợp tác để tìm cách giải
quyết vấn đề, sử dụng ngơn ngữ hợp lí để phản biện ý kiến của người khác và đề
nghị cải thiện, tính tốn chính xác và sử dụng cơng nghệ để thực hiện các khảo sát
hay đo lường.
1.2. Vị trí của mơn tốn trong xu hướng dạy học tiếp cận năng lực
Ghi nhận đầu tiên của chúng tơi là việc dạy học Tốn có thể góp phần hình
thành tất cả các năng lực chung đã nêu, đặc biệt đối với việc phát triển ba năng lực :
tính tốn, tư duy sáng tạo và phản biện, giải quyết vấn đề.


9

Ý kiến tích hợp các mơn học hiện hành ở bậc trung học thành những môn
học mới theo từng lĩnh vực được đề ra, chẳng hạn: bậc trung học cơ sở sẽ có mơn

khoa học tự nhiên tích hợp từ các mơn Vật lý, Hóa học, Sinh học và Địa lí. Tuy
nhiên, đối với mơn Tốn, các nhà hoạch định chương trình mới vẫn đang thiên về ý
kiến để mơn học này riêng biệt như hiện tại. Một phần lí do có thể được tìm thấy
trong bài viết của tác giả Đỗ Đức Thái (2013).
Truyền thống của Việt Nam luôn coi mơn tốn là mơn học chiếm vị trí quan
trọng trong các mơn học ở nhà trường phổ thơng. Tốn học được xem là cần
thiết khơng chỉ vì cung cấp nền tảng cho việc học các môn học khác hoặc là
công cụ để giải quyết các vấn đề trong đời sống thực tế, mà cịn bởi lẽ nó đóng
góp nhiều nhất cho sự phát triển trí tuệ của mỗi cá nhân học sinh [15, tr.2].

Vấn đề rèn luyện khả năng mơ hình hóa tốn học được đề cao cho chương
trình Tốn sau 2015, tác giả Trần Kiều (2013) gọi đó là “năng lực mơ hình hóa tốn
học”.
Năng lực mơ hình hóa tốn học từ các tình huống thực tiễn giả định hoặc tình
huống thực trong cuộc sống. Đây là năng lực cần phải được quan tâm nhiều
hơn nữa đối với các trường phổ thơng ở nước ta [9, tr.3].

Ta có thể xem năng lực mơ hình hóa là một trường hợp đặc biệt của năng lực
giải quyết vấn đề khi tình huống đặt ra có tính thực tiễn.
Như vậy, mơn Toán vẫn sẽ đứng độc lập nhưng được yêu cầu phải dạy học gắn với
thực tiễn hơn. Câu hỏi là làm thế nào để thực hiện điều này.
Theo các NHĐCT, dạy học tích hợp là con đường để hình thành năng lực
cho học sinh và hình thức dạy học này vẫn có thể thực hiện được cho mơn Tốn khi
đứng độc lập trong chương trình mới.
1.3. Dạy học tích hợp
Nguyễn Anh Dũng và nhóm nghiên cứu (2014) trình bày định nghĩa về dạy
học tích hợp như sau:
Dạy học tích hợp là giáo viên tổ chức, hướng dẫn để học sinh biết huy động
tổng hợp kiến thức, kỹ năng thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau nhằm giải quyết
có hiệu quả các nhiệm vụ học tập; thơng qua nó hình thành những kiến thức kỹ



10

năng mới; phát triển được những năng lực cần thiết, nhất là năng lực giải quyết
vấn đề trong học tập và trong thực tiễn cuộc sống [4, tr.25].

Theo các tác giả này, dạy học tích hợp đang được thực hiện phổ biến trên thế giới.
Qua nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa của 17 nuớc và một số tài liệu do
UNESCO tổng hợp cho thấy: xu hướng chung của các nước đều vận dụng quan
điểm tích hợp vào xây dựng chương trình. Ở tiểu học thường tích hợp ở mức
độ cao (tích hợp hồn tồn). Sau đó giảm dần từ trung học cơ sở đến trung học
phổ thơng (tích hợp bộ phận) [4, tr.25].

Nhóm nghiên cứu trình bày các hình thức dạy học tích hợp:
Có bốn hình thức chính:
a) Tích hợp trong nội bộ môn học
Là môn học độc lập, một số nội dung của các phân môn trong môn học đó
được tích hợp lại với nhau. Ví dụ phân mơn Hình, Lượng, Ðại trong mơn Tốn
có những nội dung đuợc tích hợp thành chủ đề tích hợp.
b) Tích hợp đa mơn
Các mơn học vẫn độc lập, tuy nhiên có những chủ đề như Môi truờng, Sức
khoẻ sinh sản, Kỹ năng sống... được lồng ghép vào các môn học sao cho phù
hợp với đặc trưng của mơn học đó.
c) Tích hợp liên môn
Xây dựng môn học mới bằng cách kết hợp hai hay nhiều mơn học với nhau
nhưng vẫn có những phần mang tên riêng của từng môn học và giữa các mơn
đó có các chủ đề liên mơn. Ví dụ mơn Khoa học Tự nhiên vẫn có ba mơn Lý,
Hố, Sinh riêng song giữa chúng có các chủ đề liên mơn.
d) Tích hợp xun mơn

Xây dựng mơn học mới với cách tiếp cận những vấn đề từ cuộc sống thực và
có ý nghĩa đối với học sinh mà khơng xuất phát từ các khoa học tương ứng với
các môn học. Ví dụ mơn Khoa học có những chủ đề như Vật chất, Sự sống...
[4, tr.26-27].

Như vậy, nếu mơn Tốn vẫn đứng độc lập trong chương trình mới và với
mong muốn dạy học gắn với thực tiễn, ta có thể tổ chức dạy học tích hợp phối hợp
giữa hai quan điểm: tích hợp trong nội bộ mơn học và tích hợp liên mơn. Khi đó,


11

cần thiết kế các tình huống tích hợp sao cho các kiến thức của nhiều phân mơn của
Tốn được huy động.
Tác giả Đinh Quang Báo (2014) nhấn mạnh về sự cần thiết phải có tình
huống tích hợp cũng như phải xác định rõ kỹ năng và nội dung tri thức mơn học
trong việc hình thành năng lực.
Năng lực = Kỹ năng × Nội dung × Tình huống tích hợp. Như vậy, dựa vào
bảng trên, giáo viên hay người soạn chương trình thiết kế các tình huống tích
hợp, hoạt động huy động vận dụng kiến thức, kỹ năng từ các nguồn để giải
quyết vấn đề có ý nghĩa [2, tr.40].

Trong trang trước của bài viết, tác giả Đinh Quang Báo (2014) đã đưa ra mẫu
về một bảng thể hiện mối liên hệ giữa kỹ năng và nội dung tri thức môn học như
sau:
Mỗi môn học lập được ma trận quan hệ giữa hệ thống kỹ năng (KN) và nội
dung (ND) kiến thức dưới dạng bảng như sau:

[2, tr.39].


Từ ý kiến của các tác giả đã phân tích, xu hướng đối với dạy học mơn Tốn của
chương trình mới đó là tích hợp trong nội bộ mơn học và tích hợp liên mơn với tình
huống tích hợp chứa các vấn đề “có ý nghĩa”:
-

Hoặc các vấn đề của nội tại bộ môn Tốn nhưng khi giải quyết có thể huy
động kiến thức của nhiều phân môn khác nhau,

-

Hoặc các vấn đề phỏng thực tiễn (hay từ thực tiễn).

1.4. Kết luận chương 1
Theo các NHĐCT, dạy học tích hợp là phương tiện thích hợp để phát triển
các năng lực cần thiết cho học sinh.
Đặc trưng của dạy học tích hợp là học sinh cần huy động tổng hợp các kiến
thức, các kỹ năng thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau (trong nội bô môn học hay lĩnh
vực khoa học khác nhau) mới giải quyết được các nhiệm vụ học tập.


12

Mơn tốn vẫn sẽ độc lập trong chương trình mới cho nên hình thức tích hợp
phù hợp là tích hợp trong nội bộ mơn và tích hợp các kiến thức liên môn (hay từ
thực tiễn). Như vậy, giáo viên cần xây dựng mới hay áp dụng các tình huống dạy
học đã có sao cho khi học sinh giải quyết chúng họ phải huy động nhiều chủ đề
khác nhau của nội bộ mơn tốn hoặc các kiến thức của mơn học khác ngồi tốn
hoặc kiến thức thực tiễn.



13

Chương 2.
DÃY SỐ TRONG DẠY HỌC TOÁN BẬC THPT
Mục tiêu của chương là trả lời cho các câu hỏi
Trong SGK tốn Việt Nam hiện hành, dãy số được trình bày như thế nào nếu
nhìn từ quan điểm tích hợp như các NHĐCT?
Để làm rõ hơn câu hỏi nghiên cứu trên, trước tiên, chúng tơi tiến hành phân
tích một quyển SGK Precalculus của Mỹ đã lựa chọn từ nhận định của Nguyễn Thị
Nga (2013):
Theo nghiên cứu của Werner Blum (1993), ở các nước như Mỹ, Úc, Đức,
Canada và Anh có rất nhiều tài liệu về dạy học mơ hình hóa được chính thức
phát hành ở tất cả các cấp độ từ tiểu học đến trung học phổ thông và đại học.
Trong các tài liệu này, người ta xây dựng những ví dụ, những tình huống cụ thể
để hỗ trợ cho giáo viên trong việc triển khai dạy học mơ hình hóa [11, tr.6].

Dạy học bằng mơ hình hóa là một hình thức dạy học tích hợp và hồn tồn
thỏa mãn quan điểm về tích hợp liên mơn của NHĐCT. Chúng tơi định hướng phân
tích SGK Mỹ với các câu hỏi sau:
Trong SGK Mỹ đã chọn, khái niệm dãy số được định nghĩa như thế nào? Các
nội dung về dãy số trong SGK được thể hiện như thế nào nếu nhìn từ quan điểm
tích hợp? Có những tổ chức tốn học nào liên quan đến khái niệm dãy số? Những tổ
chức toán học này phù hợp với quan điểm dạy học tích hợp như thế nào?
2.1. Phân tích Sách giáo khoa Mỹ
2.1.1. Phần bài học
a. Định nghĩa dãy số

Chúng tôi thấy rằng dãy số được đề cập nằm ở chương 12 – dãy số và chuỗi
số (SEQUENCES AND SERIES) trong sách giáo khoa “Precalculus” của Stewart
và các tác giả (2013) trang 783. sau khi đã học xong chương hàm số (chương 2).

Mở đầu phần bài học, dãy số được mô tả là một danh sách các số cùng với các ví dụ
thực tế trong vật lý và kinh tế:
Dãy số là một danh sách các số được viết bởi một trật tự xác định. Ví dụ chiều
cao của một trái bóng đang nảy lên chạm đến sau một lần nảy thì gọi là dãy số.


14

Dãy thứ tự này là một mẫu xác định, việc miêu tả mẫu đó cho phép chúng ta dự
đốn được chiều cao của quả bóng đạt được sau bất kì nảy lên nào.
.

Lượng tiền có trong tài khoản ngân hàng vào cuối mỗi tháng, việc cầm cố cho
vay hay là lượng tiền của một niên khoản đều là những dãy số. Công thức sinh
ra những dãy số này xuất phát từ nền kinh tế của chúng ta, chúng cho phép ta
mượn tiền để mua những ngôi nhà mơ ước gần với thời điểm tốt nghiệp hơn là
nghỉ hưu. Ở chương này chúng ta sẽ nghiên cứu những điều này có những áp
dụng của dãy số [17, tr.783].

Sự vô hạn của “danh sách” gắn với dãy số được nhấn mạnh và đặt vấn đề
cho việc tìm cách mơ tả danh sách vô hạn này:
Đại khái, một dãy số là một danh sách vô hạn các số. Các số trong dãy thường
được viết là a1 , a2 , a3 ,... Các dấu chấm có nghĩa là danh sách cịn tiếp tục mãi.
Một ví dụ đơn giản là dãy

5, 10, 15,

20, 25,...

↑ ↑

a1 a2

↑
a4

↑
a3

↑
a5 ...

Chúng ta có thể mơ tả mơ hình của dãy trên bằng cơng thức sau:

an = 5n
Bạn có thể nghĩ một cách khác để mơ tả mẫu hình trên, cụ thể là “bạn đi từ một
số đến số tiếp theo bằng cách thêm 5”. Cách tự nhiên để mô tả dãy số như thế
này được viết bằng công thức truy hồi.

=
an an −1 + 5


15

Bắt đầu với a 1 = 5. Thử thay thế n=1, 2 ,3,… lần lượt vào công thức để thấy
được chúng tạo ra các số trong dãy như thế nào. Trong phần này chúng ta sẽ
xem những cách khác nhau đã đề cập được sử dụng để mô tả dãy số cụ thể như
thế nào? [17,tr.784].

Từ những ví dụ thực tế và mơ tả đại số SGK chính thức định nghĩa dãy số

thông qua khái niệm hàm số như sau:
Một dãy số là một hàm số f có miền xác định là tập hợp các số tự nhiên. Các số
hạng của dãy được xác định bằng giá trị của hàm số..
f(1), f(2), f(3), f(4),…..
Chúng ta thường viết an thay vì ký hiệu hàm số f(n). Nên số hạng của dãy được
viết như sau a1 , a2 , a3 ,..., an ,...
Số a1 được gọi là số hạng đầu, a2 được gọi là số hạng thứ hai, và nói chung an
gọi là số hạng thứ n [17, tr.784].

Nhận xét:
Các nghĩa của dãy số được đề cập: một danh sách các số (thường là vơ hạn
và có thể mơ tả bằng cơng thức); một hàm số có tập xác định là các số tự nhiên.
Nhiều hiện tượng thực tế có thể được mơ tả bằng dãy số như: chiều cao của quả
bóng sau mỗi lần nảy, số tiền có trong một tài khoản ngân hàng mỗi tháng ….
b. Xác định công thức biểu diễn số hạng thứ n theo n

Cơng thức tìm số hạng thứ n của (an ) theo n của một dãy số xuất hiện như
một phương tiện để xác định một dãy số, nghĩa là xác định được danh sách các số.
Đây là một ví dụ đơn giản về dãy:
2, 4, 6, 8, 10,…
Chúng ta có thể viết một dãy bằng cách này nếu các số hạng của dãy đã rõ
ràng. Dãy này chứa các số chẵn. Tuy nhiên, để chính xác hơn, chúng ta cần chỉ
rõ tiến trình tìm tất cả các số hạng của dãy. Điều này có thể được thực hiện nếu
cho cơng thức xác định số hạng a n – số hạng thứ n của dãy. Trong trường hợp
này
a n = 2n


16


Dãy số có thể viết như sau

Chú ý cơng thức a n = 2n cho biết tất cả số hạng của dãy. […] [17, tr.784-785].

SGK cũng làm rõ mối liên hệ giữa công thức an theo n với định nghĩa dãy số bằng
hàm số:
Một cách khác, có thể viết dãy số bằng cách sử dụng kí hiệu hàm số:
a(n) = 2n
Vì vậy a(1) =2, a(2) = 4, a(3) = 6 … [17, tr.784].

Việc tìm các số hạng của dãy từ cơng thức tổng qt cho trước được đặt ra:
Ví dụ 1. Tìm các số hạng của dãy số.
Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của dãy xác định bởi mỗi công thức
sau.
(b) c n = n2 – 1.

(a) a n = 2n – 1

n
(c) tn =
n +1

(d) rn

( −1)
=

n

2n


Giải: Để tìm năm số hạng đầu, ta cần thay thế n = 1, 2, 3, 4 và 5 vào cơng thức
số hạng thứ n của dãy. Để tìm số hạng thứ 100, ta sẽ thay n = 100. Chúng ta
được
Số hạng thứ n

Năm số hạng đầu

(a) 2n – 1

1, 3, 5, 7, 9

199

(b) n2 – 1

0, 3, 8, 15, 24

9999

n
n +1

1 2 3 4 5
, , , ,
2 3 4 5 6

100
101


( −1)

1 1 1 1
1
− , ,− , ,−
2 4 8 16 32

1
2100

(c)

(d)

n

2n

Số hạng thứ 100

[17, tr.785].

Kỹ thuật tìm ra một mối liên hệ giữa an với n từ những số hạng đầu tiên của
dãy được đề cập trong các ví dụ.


17

Ví dụ 2:
Tìm số hạng thứ n của dãy khi cho trước một vài số hạng đầu tiên.

a)

1 3 5 7
, , , ,...
2 4 6 8

b) −2, 4, − 8, 16, − 32,...."

Lời giải
a) Chúng ta nhận thấy rằng các tử số của các phân số là các số lẻ và mẫu số là
các số chẵn. Số chẵn có dạng 2n, và số lẻ có dạng 2n-1 (số lẻ khác với số chẵn
là 1 đơn vị) vì vậy dãy số được cho bởi 4 số hạng đầu được cho bởi

an =

2n − 1
2n

b) Những số được cho là lũy thừa của 2, và đan dấu với nhau, nên dãy số cho
bởi công thức
an = (−1) n 2n

Bạn nên kiểm tra lại công thức xác định đúng với các số hạng đã cho [17, tr.786].
c. Xác định dãy số bằng công thức truy hồi

Công thức truy hồi được giới thiệu như một cách để xác định dãy số khi
không (hay khó) tìm được cơng thức trực tiếp để tính an theo n.
Một vài dãy không xác định được bằng những cơng thức đơn giản như những
ví dụ trên. Số hạng thứ n phụ thuộc vào một vài hoặc tất cả các số hạng đằng
trước nó. Một dãy số định nghĩa theo cách này được gọi là truy hồi. Dưới đây

là hai ví dụ:
Ví dụ 3: Tìm các số hạng của một dãy được định nghĩa bằng cơng thức truy
hồi.
Tìm 5 số hạng đầu của dãy được định nghĩa bằng công thức truy hồi với a1 = 1
và=
an 3(an −1 + 2)
Lời giải:
Công thức định nghĩa dãy số này là truy hồi. Nó cho phép ta tìm số hạng a n thứ
n nếu biết trước số hạng đứng trước a n-1 . Như vậy, chúng ta có thể tìm được
số hạng thứ hai khi biết số hạng thứ nhất, số hạng thứ ba từ số hạng thứ hai, số
hạng thứ tư từ số hạng thứ ba, và tiếp tục như vậy. Kể từ khi biết số hạng thứ
nhất a 1 =1, chúng ta tiến hành như sau.