CHUYÊN ĐỀ: “Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài tốn hình học 9”.

CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1. Một số hệ thức về cạnh
và đường cao trong tam giác vng.
Bài tốn 1:
Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì thuộc miền trong hình chữ nhật.
Chứng minh rằng: MA2 + MC2 = MB2 + MD2.
*GỢI Ý:
Từ đẳng thức cần chứng minh ta liên hệ đến định lí Py-ta-go.
Vì lí do đó vẽ đường phụ qua M vng góc với AB tại E và ME cắt DC tại F. Ta có: MF ⊥ DC.
Các tam giác EAM, FMC, EBM, FMD và hai hình chữ nhật AEFD, EBCF sẽ giúp ta tìm ra lời giải bài toán!
LƯU Ý:
Bạn đọc hãy xét trường hợp M nằm ngồi hình chữ nhật.
Bài tốn 2:
µ
µ
C
D
Cho tứ giác ABCD có
+
= 900.
Chứng minh rằng: AB2 + CD2 = AC2 + BD2.
*GỢI Ý:
µ D
µ
C
Vì
+ = 900 < 1800 nên hai đường thẳng AD và BC cắt nhau, gọi E là giao điểm của AD và BC.
·
CED

Từ đây ta có
= 900. Các tam giác EAB, ECD, EAC, EBD đều vuông tại E, áp dụng định lí Py-ta-go vào các
tam giác này sẽ cho ta kết quả cần chứng minh.
Điểm E là điểm cần vẽ thêm.
Bài tốn 3:
Cho hình thang ABCD (AB // CD) có đường cao AH = 4 cm, đường chéo BD = 5 cm, hai đường chéo AC và BD
vuông góc với nhau. Tính diện tích hình thang ABCD.
*GỢI Ý:
Chỉ cần tính được độ dài AC thì tính được diện tích ABCD vì tứ giác ABCD có AC ⊥ BD.
Ta nhận ra rằng đường phụ BE // AC, E ∈ DC giúp ta tính được AC.
Bài tốn 4:
Cho tam giác ABC cân tại A có góc A nhọn, đường cao BH.
2
AH
 AB 
= 2
÷ −1
HC
 BC 
Chứng minh rằng:
.
*GỢI Ý:
Chọn điểm phụ D là điểm đối xứng của C qua A, ta có tam giác BDC vng tại B.
µ
B
∆BDC có
= 900, BH là đường cao. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng ta sẽ tìm ra lời giải bài tốn.
Bài tốn 5:
Cho tam giác ABC vng tại A, đường cao AH. Lấy điểm D thuộc cạnh AC, điểm E thuộc tia đối của tia HA sao
AD HE 1

=
=
AC HA 3
cho
.
1


CHUYÊN ĐỀ: “Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài tốn hình học 9”.

·
BED

Chứng minh rằng:
= 900.
*GỢI Ý:
AD HE 1
=
=
AC HA 3
Từ giả thiết
ta nghĩ đến vẽ DF ⊥ AH, F ∈ AH. Từ đó AF = HE, HA = FE và áp dụng định lí Py-ta2
go ta chứng minh được BE + ED2 = BD2.
Bài toán 6:
Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến.
BC 2
AB 2 + AC 2 = 2 AM 2 +
2
Chứng minh rằng:
*GỢI Ý:

Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử: AB < AC.
Ta vẽ đường cao AH để có các tam giác vng HAB, HAC, HAM và áp dụng định lí Py-ta-go.
Bài toán 7:
Cho tam giác ABC. D là điểm thuộc cạnh BC.
Chứng minh rằng: AB2 . CD + AC2 . DB – AD2 . BC = CD . DB . BC.
*GỢI Ý:
Ta vẽ thêm đường phụ là AH ⊥ BC, H ∈ BC để xuất hiện được các tam giác vuông và áp dụng được định lí Py-tago.
Bài tốn 8:
a) Chứng minh rằng: “Trong hình thang cân ABCD (AB // CD), ta có:
AC2 + BD2 = AD2 + BC2 + 2AB.CD.”
b) Chứng minh rằng với mọi tứ giác ABCD, ta có
AC2 + BD2 ≤ AD2 + BC2 + 2AB.CD
Tìm điều kiện cần và đủ để dấu đẳng thức xảy ra.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường Phổ thông Năng khiếu – ĐHQG.
Tp. Hồ Chí Minh 1997 – 1998)
*GỢI Ý:
Ta vẽ các đường phụ AH ⊥ DC, BK ⊥ DC, H ∈ DC, K ∈ DC.
Bài toán 9:
Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, AC = b, AB = c và các đường cao tương ứng lần lượt là ha, hb, hc.
Chứng minh rằng:
1
4
a) ha2 ≤ (a + b + c)(-a + b + c)
1
4
b) ha2 + hb2 + hc2 ≤ (a + b + c)2
*GỢI Ý:
Ta có:
1
4

ha2 ≤ (a + b + c)(-a + b + c)
⇔ (2ha) 2 ≤ (b + c)2 – a2
2


CHUYÊN ĐỀ: “Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài tốn hình học 9”.
⇔ (2ha) + a ≤ (b + c)
Ta nghĩ đến định lí Py-ta-go, từ đó tìm tam giác vng có hai cạnh góc vng có độ dài bằng 2ha, a và cạnh huyền
là x mà x ≤ b + c.
Ta vẽ đường phụ là Ax // BC và điểm phụ D đối xứng với B qua Ax.
Bài tốn 10:
Cho hình vng ABCD. Qua A vẽ một cát tuyến bất kì, cắt các cạnh BC và CD (hoặc đường thẳng chứa các cạnh
đó) tại các điểm E và F.
1
1
1
+
=
2
2
AE
AF
AD 2
Chứng minh rằng
.
*GỢI Ý:
Đẳng thức cần chứng minh gợi ta nhớ đến công thức:
1
1 1
= 2+ 2

2
h
b c
2

2

2

Do vậy tìm một tam giác vng có hai cạnh góc vng bằng AE, AF và có đường cao bằng AD. Điểm G thuộc DC
sao cho GA ⊥ AF là điểm cần vẽ thêm.
Bài tốn 11:
µA
Cho hình thoi ABCD với
= 1200. Tia Ax tạo với tia AB góc BAx bằng 150 và cắt cạnh BC tại M, cắt đường
thẳng CD tại N.
1
1
4
+
=
2
2
AM
AN
3 AB 2
Chứng minh rằng:
.
*GỢI Ý:
1

1 1
= 2+ 2
2
h
b
c
Bài tốn 11 có “dáng dấp” của bài tốn 10, đầu bài gợi ta đến công thức
. Điều này cho ta nghĩ đến vẽ
đường thẳng phụ AE ⊥ AN (E ∈ DC) và AH ⊥ DC (H ∈ DC).
·
EAN
∆AEN có
= 900, AH ⊥ EN nên có:
1
1
1
+
=
2
2
AE
AN
AH 2
Nếu chứng minh được:
1
4
=
2
AH
3 AB 2

AE = AM,
, thì ta tìm ra lời giải bài tốn.
Bài tốn 12:
µA
Cho tam giác ABC có
= 600.
2
Chứng minh rằng: BC = AB2 + AC2 – AB.AC
(Đề thi học sinh giỏi lớp 9, Tp. Hồ Chí Minh, 1993 – 1994)
*GỢI Ý:
Ta vẽ đường phụ là đường cao CH (hoặc đường cao BK).
Với CH: Tam giác HAC là nửa tam giác đều, tam giác HBC vng tại H.
Áp dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vng này, ta sẽ có điều phải chứng minh.
3


CHUYÊN ĐỀ: “Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài tốn hình học 9”.
Bài tốn 13:

µA

Cho tam giác cân ABC,
= 200, AB = AC = b, BC = a.
Chứng minh rằng: a3 + b3 = 3ab2.
*GỢI Ý:
·
·
·ABD ·ABC − CBx
CBx
0

Vẽ tia Bx sao cho
= 20 , Bx cắt cạnh AC tại D,
=
= 600.
Ta có: ∆BDC ∼ ∆ABC.
BD BC DC
=
=
AB AC BC
⇒
·ABD
∆ABD có
= 600, do đó:
AD2 = AB2 + BD2 – AB.BD (Bài tốn 12)
Từ đó tìm được đẳng thức cần chứng minh.
Bài tốn 14:
Cho tam giác ABC có AB = 10 cm, AC = 6 cm, trung tuyến AM = 4 cm. Tính diện tích tam giác ABC
*GỢI Ý:
Các số 10, 6, 4 gợi ta nghĩ đến định lí Py-ta-go.
Thật vậy nếu gọi D là điểm đối xứng của điểm A qua điểm M thì tứ giác ACDB là hình bình hành và tam giác ADC
vng tại A (vì có các cạnh là 10, 6, 8).
Từ đó tìm được diện tích tam giác ABC.
Bài tốn 15:
Cho hình vng ABCD. Lấy O thuộc miền trong của hình vng sao cho OA : OB : OC = 1 : 2 : 3.
Tính số đo của góc AOB.
*GỢI Ý:
·AOB
·
·
BOE

EOA
Sau khi vẽ hình ta thấy
= 1350. Ta vẽ tia OE sao cho
= 450 và chỉ còn chứng minh
= 900.
Tuy nhiên phải vẽ E sao cho ∆BEO vng cân tại B thì mới tìm được lời giải của bài tốn.

2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn.
3. Một số hệ thức về cạnh và góc
trong tam giác vng.
Bài tốn 16:
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, BC = a, AC = b, AB = c.
a
b
c
=
=
sin A sin B sin C
Chứng minh rằng:
.
*GỢI Ý:
Ta vẽ đường phụ AH là đường cao của tam giác ABC.
Từ các tam giác vng HAB, HAC ta có:
b
c
=
sin B sin C
.
4



CHUYÊN ĐỀ: “Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài tốn hình học 9”.
Bài tốn 17:
Chứng minh rằng diện tích của một tam giác bằng một nửa tích của hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các
đường thẳng chứa hai cạnh ấy.
*GỢI Ý:
Gọi góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng BA, BC là α.
Hẳn các bạn sẽ nghĩ đến đường phụ là đường cao AH của tam giác ABC.
Bài tốn 18:
Tính diện tích của một tứ giác lồi ABCD có các đường chéo AC = m, BD = n và tạo với nhau một góc nhọn α.
*GỢI Ý:
·AOB COD
·
Ta có:
=
= α.
Từ bài tốn 17 nghĩ đến vẽ BH, DK vng góc với AC (H, K ∈ AC).
Ta có: SABCD = SABC + SADC, từ đó tìm ra kết quả bài tốn.
Bài tốn 19:
Cho tam giác ABC nhọn, có BC = a, AC = b, AB = c.
Chứng minh rằng: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA.
*GỢI Ý:
Ta vẽ đường phụ là đường cao CH hoặc đường cao BK để xuất hiện các tam giác vuông có độ dài các cạnh là a, b,
µA
c và có .
Bài tốn 20:
Cho tam giác ABC vng tại A.
·ABC
AC
tan

=
2
AB + BC
Chứng minh rằng:
*GỢI Ý:
·ABC
2
Để có
ta có hai cách vẽ đường phụ:
1. Vẽ phân giác BD của ∆ABC.
·
·AEC = ABC
2
2. Vẽ điểm E trên tia đối của tia BA sao cho BE = BC, ta có:
Cả hai cách đều cho ta lời giải đẹp.
Bài tốn 21:
Cho tam giác ABC có trung tuyến AM bằng cạnh AC.
1
tan B = tan C
3
Chứng minh rằng:
.
*GỢI Ý:
Để làm xuất hiện “tanB, tanC” ta vẽ đường phụ là đường cao AH của ∆ABC.
Mặt khác ∆AMC cân (vì AM = AC), do đó MH = HC, suy ra: BH = 3HC.
Bài toán 22:
Chứng minh rằng:
a) sin2α = 2.sinα.cosα
b) cos2α = 1 – 2.sin2α
5



CHUYÊN ĐỀ: “Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài tốn hình học 9”.
với mọi góc α.
*GỢI Ý:

µA

Xét ∆ABC cân tại A có
= 2α, AB = AC = 1.
Dễ thấy cần vẽ thêm hai đường phụ AH, BK là các đường cao của tam giác ABC để có các tam giác vuông, làm
xuất hiện các tỉ số lượng giác của các góc α và 2α.
Bài tốn 23:
Cho hai góc α, β sao cho α + β < 900.
Chứng minh rằng: sin(α + β) = sinα.cosβ + sinβ.cosα
*GỢI Ý:
µ
·
µ
C
BAC
B
0
Xét ∆ABC có
= α,
= β, vì α + β < 90 nên
là góc tù, bài tốn 17 cho ta:
1
1
2

2
SABC = AB.AC.sinBAK =
AB.AC.sin(α + β)
1
2
Hơn nữa SABC = ha.a gợi ta nghĩ đến đường phụ là đường cao AH, vì sẽ có “sinα, cosβ” theo “AH, BC, AC,
AB”… Và thật là tuyệt vời, lời giải đã đến với ta.
Bài toán 24:
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c.
µA
a
sin ≤
2 b+c
Chứng minh rằng:
*GỢI Ý:
µA
µA
a
sin ≤
sin
2 b+c
2
Vì cần chứng minh:
. Ta vẽ phân giác AD của ∆ABC và “để có
” ta vẽ đường thẳng BI vng
góc với AD, I ∈ AD.
Bài tốn 25:
Cho tam giác ABC có các trung tuyến BM và CN vng góc với nhau.
2
cot B + cot C ≥

3
Chứng minh:
.
(Đề thi giải Lê Qúy Đôn, lớp 8, Quận 5, Tp. Hồ Chí Minh – 1996)
*GỢI Ý:
µ
µ C
B
Ta vẽ đường cao AD để có các tam giác vng tại D có ,
và vẽ trung tuyến AP của ∆ABC , GE ⊥ BC (E ∈
BC). Ta có:
1
1
3
2
GE = AD, GE ≤ GP = BC.
BD
DC
AD
AD
cotB =
, cotC =
.
6


CHUYÊN ĐỀ: “Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài tốn hình học 9”.
Từ đó ta có lời giải bài toán.

7