BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Văn Quân

TƯƠNG TỰ p-ADIC CỦA HÀM SỐ MŨ
VÀ HÀM SỐ LƠGARIT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Văn Quân

TƯƠNG TỰ p-ADIC CỦA HÀM SỐ MŨ
VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số
Mã số

: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2015


LỜI CẢM ƠN
Nghiên cứu khoa học là một công việc vơ cùng khó khăn địi hỏi người
nghiên cứu phải làm việc một cách nghiêm túc, có phương pháp. Đặc biệt, đề tài
“Tương tự p-adic các hàm số mũ và hàm số lơgarit” là một đề tài khó đối với
một người mới nghiên cứu như tơi. Để hồn thành đề tài này, không chỉ nhờ vào
sự nỗ lực, cố gắng của bản thân mà còn nhờ vào sự giúp đỡ ân cần và nhiệt tình
của PGS. TS. Mỵ Vinh Quang, người mà tơi vơ cùng kính trọng. Thầy đã tận
tình hướng dẫn tôi hướng dẫn tôi từng bước đi, nghiêm khắc đánh giá bài làm,
chỉ ra những sai lầm và vạch ra phương hướng giúp tôi khắc phục sữa chữa.
Trong suốt q trình làm việc cùng Thầy, tơi đã học hỏi được rất nhiều điều bổ
ích, nhất là phương pháp tư duy, suy nghĩ, cách thức nhìn nhận một vấn đề, cách
thức trình bày một vấn đề. Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn vơ cùng sâu
sắc đến Thầy và chúc Thầy có nhiều sức khỏe cống hiến cho nền giáo dục nước
nhà, chúc Thầy và gia đình đạt được nhiều thành công trong cuộc sống.
Tôi xin gửi lời đến các thầy cơ trong khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư
phạm TP Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện tốt nhất cho tơi thực hiện đề tài này. Bên
cạnh đó, tôi cũng gửi lời cảm ơn đến thầy cô trong Phòng sau Đại học, Trường
Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ tơi trong hai năm qua.
Nhân dịp này, tôi cũng gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình và bạn bè của
tơi. Họ chính là nguồn động viên lớn nhất của tơi trong q trình làm luận văn.
Đề tài này có thể cịn nhiều thiếu sót và hạn chế nên mong q thầy cơ và
các bạn đóng góp ý kiến. Xin chân thành cảm ơn.
Tác giả

Nguyễn Văn Quân



MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
Chương 1. XÂY DỰNG TRƯỜNG SỐ p – ADIC

 p VÀ  p .................... 2

1.1. Chuẩn trên một trường ................................................................................ 2
1.1.1. Khái niệm cơ bản.................................................................................. 2
1.1.2. Chuẩn tương đương .............................................................................. 3
1.1.3. Chuẩn phi Acsimet ............................................................................... 4
1.1.4. Định lý Ostrosky .................................................................................. 6
1.2. Trường số p – Adic  p .............................................................................. 6
1.2.1. Xây dựng trường số p – adic  p ......................................................... 6
1.2.2. Mô tả trường số p – adic  p ............................................................... 7
1.3. Trường

p

............................................................................................... 11

1.3.1. Trường  p ......................................................................................... 11
1.3.2. Mô tả các nhóm giá trị của  p .......................................................... 12
1.3.3. Căn của đơn vị trong  p ................................................................... 12
Chương 2.

HÀM


SỐ

MŨ

TRONG TRƯỜNG

VÀ

HÀM

SỐ

LÔGARIT

 p .......................................................... 13

2.1. Chuỗi lũy thừa .......................................................................................... 13
2.1.1. Định nghĩa .......................................................................................... 13
2.1.2. Bán kính hội tụ ................................................................................... 13
2.1.3. Bổ đề................................................................................................... 14
2.1.4. Bổ đề................................................................................................... 15


2.2. Hàm số mũ và hàm số lôgarit trong  p . .................................................. 15
2.2.1. Định nghĩa hàm số mũ và hàm số lôgarit........................................... 15
2.2.2. Các bổ đề cơ bản ................................................................................ 21
2.2.3. Các tính chất cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit ..................... 23
2.3. Sự mở rộng của hàm số mũ và hàm số lơgarit ......................................... 28
2.3.1. Nhóm chia được ................................................................................. 28
2.3.2. Sự mở rộng của hàm số mũ và hàm số lôgarit ................................... 31

2.3.3. Hàm Iwasawa logarithm..................................................................... 38
2.3.4. Hàm lũy thừa Artin – Hasse ............................................................... 43
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 48


BẢNG KÍ HIỆU


: Tập số tự nhiên.



: Vành các số nguyên.



: Trường các số hữu tỉ.



: Trường các số thực.

p

: Vành số nguyên p – adic.

 p ,  p : Các trường số p – adic.
p


: Chuẩn p – adic hay chuẩn p .

Α⊂Χ

: Α là nhóm con của Χ .

Χ×Χ

: Tích Descartes của Χ và Χ .

U

: Tập các căn của đơn vị.


1

MỞ ĐẦU
Trong giải tích thực và giải tích phức, các hàm số mũ và các hàm số
lôgarit là các hàm quan trọng. Bởi vậy, khi xây dựng giải tích p–adic một cách
tự nhiên nên nảy sinh vấn đề cần phải xây dựng tương tự p–adic của các hàm số
mũ và hàm lơgarit trong giải tích p-adic. Vì vậy, tơi quyết định chọn đề tài
“Tương tự p-adic các hàm số mũ và hàm số lôgarit” làm đề tài luận văn thạc sĩ
của mình. Mục đích chính của luận văn này là: xây dựng tương tự p-adic của
hàm số mũ và hàm số lơgarit; khảo sát, mơ tả các tính chất của hàm số mũ và
hàm số lôgarit; mở rộng hàm số mũ và hàm số lơgarit trên tồn bộ mặt phẳng

 p . Bố cục luận văn chia làm hai chương:

Chương 1: Xây dựng trường số p-adic  p và  p

Trong chương này, tơi trình bày một số kiến thức chuẩn bị như sau:
Chuẩn phi Acsimet trên một trường. Xây dựng các trường số p-adic  p ,  p .
Một số tính chất cơ bản của các trường số p-adic.
Chương 2: Hàm số mũ và hàm số lôgarit trong trường số 

p

Trong chương này, tơi trình bày các nội dung chính sau: Xây dựng và
định nghĩa vành các chuỗi lũy thừa hình thức và một số tính chất của chúng;
xây dựng định nghĩa hàm số mũ và hàm số lơgarit p-adic và khảo sát các tính
chất của chúng; thác triển các hàm số mũ và hàm số lôgarit p-adic lên toàn bộ
mặt phẳng  .
p


2

Chương 1. XÂY DỰNG TRƯỜNG SỐ p – ADIC  p VÀ  p
1.1. Chuẩn trên một trường
1.1.1. Khái niệm cơ bản
1.1.1.1. Định nghĩa. Cho F là một trường. Ánh xạ  : F →  được gọi là một
chuẩn trên F, nếu thỏa các điều kiện sau:

i ). x ≥ 0, ∀x ∈ F ; x = 0 ⇔ x = 0.
ii ). xy= x y , ∀x, y ∈ F .
iii ). x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ F .
Ví dụ: 1) F =  ∨ F =  , giá trị tuyệt đối thông thường là chuẩn trên F.
2) F =  , môđun của một số phức là chuẩn trên F.
3) F là một trường. Xét ánh xạ:


 :F →
1 , x ≠ 0
x x =
0 , x = 0
Dễ thấy  là một chuẩn trên F, gọi là chuẩn tầm thường.
4) Nếu F là trường hữu hạn thì trên F chỉ có duy nhất một chuẩn là chuẩn
tầm thường.
1.1.1.2. Mệnh đề. Cho  là một chuẩn trên trường F có đơn vị 1. Với mọi
x ∈ F ta có:

i ). 1 =−1 =1∈  .
ii ). x = − x , ∀x ∈ F .
n

iii ). x n= x , ∀n ∈  .
iv). =
x −1

1
, x ≠ 0.
x


3
1.1.2. Chuẩn tương đương
1.1.2.1. Không gian mêtric. Cho Χ là một trường. Ánh xạ d : Χ × Χ →  được
gọi là một mêtríc trên Χ , nếu thỏa các điều kiện sau:

( i ). d ( x, y ) ≥ 0, ∀x, y ∈ Χ; d ( x, y )=


0 ⇔ x= y .

( ii ). d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z, y ) , ∀x, y, z ∈ Χ .
( x, y )
( iii ). d=

d ( y, x ) , ∀x, y ∈ Χ .

Khi đó, ( Χ,d ) là một khơng gian mêtríc.
Cho  là một chuẩn trên trường F. Ta định nghĩa hàm d : F × F →  như sau:

d ( x, y ) = x − y , ∀x, y ∈ F .
Do  là một chuẩn trên F nên ta dẽ dàng kiểm tra được d là một mêtríc trên F
và do đó (F, d ) là một khơng gian mêtríc.
Tơpơ cảm sinh bởi d là tôpô mà cơ sở lân cận là các quả cầu mở B ( a, r ) với

r ∈ + .
1.1.2.2. Định nghĩa. Cho  1 ,  2 là hai chuẩn trên trường F. Ta nói rằng hai
chuẩn này tương đương nếu tơpơ cảm sinh bởi  1 ,  2 là như nhau.
1.1.2.3. Định lý. Cho F là một trường.  1 ,  2 là hai chuẩn trên trường F. Các
điều sau là tương đương:

( i ) . ∀x ∈ F , x 1 < 1 ⇔ x 2 < 1 .
( ii ) . ∀x ∈ F , x 1 ≤ 1 ⇔ x 2 ≤ 1 .
c

( iii ) . ∃c ∈ , c > 0 : ∀x ∈ F , x 2 =x 1 .
( iv ) . {xn } là dãy Cauchy theo chuẩn  1 khi và chỉ khi {xn } là dãy
Cauchy theo chuẩn  2 .


( v ) .  1 tương đương với  2 (  1   2 ).


4

Chú ý rằng: {xn } là dãy Cauchy theo chuẩn
lim

m, n →+∞

 , nghĩa là:

0 . Hay ∀ε > 0, ∃no ∈  : ∀n, m > no , xm − xn < ε .
xm − xn =

1.1.3. Chuẩn phi Acsimet
1.1.3.1. Định nghĩa. Cho  là một chuẩn trên trường F. Chuẩn  được gọi là
chuẩn phi Acsimet trên F nếu nó thỏa thêm điều kiện:

iii′). x + y ≤ max{ x , y }, ∀x, y ∈ F .
Chuẩn thỏa (iii) nhưng không thỏa (iii’) được gọi là chuẩn Acsimet.
Ví dụ: Chuẩn tầm thường trên trường F là chuẩn phi Acsimet.
1.1.3.2. Định nghĩa ( ordp trong  ). Cho p là một số nguyên tố cố định. Với
mỗi m ∈ Z , ta định nghĩa ord p (m) là số tự nhiên k lớn nhất để m p k (nếu

m  p thì ord p (m) = 0 ).
1.1.3.3. Định nghĩa ( ordp trong  ). Cho p là một số nguyên tố cố định. Với
mỗi x ∈ \ {0} , ta ln có:

1 

m  m, n ∈  ; ( m, n ) =
x = pα


n =
=
m
,
p
1
;
n
,
p
1
(
)
(
)



α

gọi

là

p–


số

mũ

của x ,

ký

hiệu

ord p ( x) = α .

ord p (0) = ∞, ∞ ± a = ∞ .
1.1.3.4. Mệnh đề. Cho p là một số nguyên tố, ∀x, y ∈ , ta có:

i )ord
=
p ( xy ) ord p ( x ) + ord p ( y ).
ii )ord p ( x + y ) ≥ min{ord p ( x), ord p ( y )}.

Quy

ước:


5
1.1.3.5. Mệnh đề. Cho ρ là một số thực thỏa 0 < ρ < 1 và p là một số nguyên
tố. Ánh xạ:
r


: → 
ord p ( x )
x
=
r
, ∀x ≠ 0
 r
x
0,=
x 0
 0=
r

là một chuẩn phi Acsimet trên  với quy ước ρ ∞ = 0 .
Chú ý: 1) 0 < ρ1, ρ 2 < 1 ⇒

ρ1



ρ2

.

2) Với mỗi số nguyên tố p , ta có chuẩn :
Q→R
 p −ord p ( x ) , x ≠ 0
x x p =
0 , x = 0


Chuẩn

p

được gọi là chuẩn p – adic hay chuẩn p . Rõ ràng chuẩn p là chuẩn

phi Acsimet.
3) Cho no là số tự nhiên lớn hơn 1. Với mỗi x ∈  , ta ln có :

x = ao + a1no +  + as nos (*), trong đó: 0 ≤ ai < no ( hay 0 ≤ ai ≤ no − 1) , as ≠ 0 .
Biểu diễn (*) được gọi là biểu diễn no - phân của x . Ta dễ dàng chứng minh
được nos ≤ x < nos +1 và do đó, s ≤ log no x < s + 1 nên s = log no x  .
1.1.3.6. Định lý. Cho F là một trường,

là một chuẩn trên F. Các điều sau là

tương đương :

( i ).

là chuẩn phi Acsimet.

( ii ) . 2 ≤ 1 (2 = 2e = e + e).
( iii ) . n ≤ 1, ∀n ∈ N = {n = n.e, n ∈ }} .
( iv ) . N bị chặn. Nghĩa là, ∃c > 0 : n ≤ c, ∀n ∈  .


6
1.1.3.7. Hệ quả. Nếu F là trường đặc số p thì mọi chuẩn trên F đều là chuẩn
phi Acsimet.

1.1.4. Định lý Ostrosky
Mọi chuẩn không tầm thường trên  đều tương đương với giá trị tuyệt đối
thông thường hoặc

p

( p là một số nguyên tố).

1.2. Trường số p – Adic  p
1.2.1. Xây dựng trường số p – adic  p
Từ định lý Ostrosky, ta thấy một chuẩn không tầm thường trên  là giá
trị tuyệt đối thông thường ⋅ hay chuẩn phi Acsimet . p . Mặt khác, ta biết rằng
làm đầy đủ  theo ⋅ ta thu được trường số thực  . Do đó, nếu ta làm đầy đủ

 theo . p , ta cũng được trường mới mà ta gọi là trường các số p–adic  p . Cụ
thể cách xây dựng như sau:
Ký hiệu: S = {{xn } ⊂  | {xn } là dãy Cauchy theo . p }. Trên S xét quan
hệ tương đương ~ cho như sau:

{xn } ~ { yn } ⇔ lim ( xn − yn ) =⇔
0
lim xn − yn
n →∞

n →∞

p

=
0.


Ký hiệu  p là tập tất cả các lớp tương đương theo quan hệ trên,

S=
|=
p
~

{{xn}|{xn}∈ S} . Ta sẽ trang bị hai phép toán cộng và nhân cho  P

như sau :
* Phép cộng: ∀x= {xn }, y= { yn } ∈  p , x + y= {xn + yn } .
* Phép nhân: ∀=
x {xn }, =
y { yn } ∈  p , x.=
y {xn . yn } .
Ta dễ dàng chứng minh được với hai phép toán cho như trên  P là một
trường với:

0 {=
xn 0}.
* Phần tử không:=


7

xn 1}.
1 {=
* Phần tử đơn vị:=
* Phần tử đối: x = {xn } ⇒ − x = {− xn }.

* Phần tử nghịch đảo: Ta có nhận xét rằng bất kì một lớp khác khơng

0≠ x=
{xn } của  p đều có một đại diện là một dãy Cauchy mà mọi phần tử
=
x {xn } , xn ≠ 0 ∀n . Khi đó
đều khác khơng. Vậy nếu x ∈  p , x ≠ 0 thì
1 1
=   là phần tử nghịch đảo của x trong  p .
x  xn 

(

)

Khi đó  p , +,. là một trường, trường này gọi là trường số p–adic  p .
Trường  có thể xem như là trường con của  p nhờ đồng cấu nhúng :
i: → p
x → {x}

Chuẩn trên  p : Với mỗi=
x {xn } ∈  p , ta định nghĩa x p = lim xn p .
n →∞

Ta dễ dàng chứng minh được . p định nghĩa như trên là một chuẩn trên  p .
Hơn nữa, mọi dãy Cauchy trong

(

p, . p


( , . )
p

đều hội tụ trong

(

p, . p

) ,tức

) là một mở rộng của ( , . ) .
p

Nhận xét: Với mọi=
x {xn } ∈  p , ta luôn có lim xn = x .
x →∞

1.2.2. Mơ tả trường số p – adic  p
1.2.2.1. Vành số nguyên p–adic  p .

{

}

Cho p là số nguyên tố cố định. Tập hợp  p =
x ∈  p : x p ≤ 1 cùng với
phép cộng và nhân trong  p lập thành một vành. Vành này được gọi là vành
các số nguyên p–adic.



8
Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành  p là :

{

}

1


1 .
*p =
 x ∈  p : ∈  p  =x ∈  p : x p =
x



Các phần tử của *p còn được gọi là các đơn vị p–adic.
Tính chất:  p là vành chính và tập các iđêan của  p lập thành một dây
chuyền. Cụ thể:  p ⊃ p p ⊃ p 2 p ⊃  p n p ⊃  ⊃ 0 .
Tính chất:  p là compact ;  p - compact địa phương.
1.2.2.2. Quan hệ đồng dư trong  p . Với mọi a, b ∈  p , ta định nghĩa

(

)

a ≡ b mod p n khi và chỉ khi ( a − b ) p n .


(

)

Nhận xét: Với a, b ∈  p , a ≡ b mod p n ⇔ a − b p ≤ p − n . Nếu a, b ∈
 thì định nghĩa đồng dư trong  p sẽ trùng với định nghĩa đồng dư thông

thường trên tập hợp số nguyên  .
1.2.2.3. Bổ đề. Cho x ∈  p . Khi đó:

∀n ∈ }, ∃r ∈  : x − r

p

( {

})

≤ p − n r ∈ 0,1,..., p n − 1 .

1.2.2.4. Bổ đề Helsel. Cho đa thức f ( x) =c0 + c1x +  cn x n ∈  p [ x], cn ≠ 0 .
Nếu tồn tại phần tử a0 ∈  p thỏa điều kiện:

 f (a0 ) ≡ 0 ( mod p )

 f ′(a0 ) ≡/ 0 ( mod p )
thì tồn tại duy nhất x0 ∈  p để:
 f ( x0 ) = 0
.


≡
x
a
mod
p
(
)
 0
0

Chứng minh


9
Trước hết, ta chứng minh tồn tại duy nhất dãy số tự nhiên a1 , a2 ,..., a n
thỏa:

( i ). f ( an ) ≡ 0 ( mod p n+1 ) ,
( ii ). an ≡ an−1 ( mod

1,2,... .
n=

pn ), n =
1,2,... .

1,2,... .
( iii ). 0 ≤ an < p n+1 , n =
Thật vậy, ta có a0 ∈  p nên a0 =b0 + b1' p + b2' p 2 + ... . Bây giờ, ta xây dựng dãy


{an } bằng quy nạp như sau:
Xây dựng a1 : Theo ( ii ) , ta có a1 ≡ a0 ( mod p ) . Khi đó a1 ≡ b0 ( mod p ) . Do đó

a1 = b0 + b1 p, 0 ≤ a1 < p 2 ⇔ 0 ≤ b1 < p . Chọn b1 để thỏa ( i ) . Khi đó:
f ( a1 ) = f ( b0 + b1 p ) =
n
i
i 0
=i 0=i 1

=

n

∑ c (b
i =0

n

∑ c b + ∑ i.c .b
i

i

i −1
0

+ b1 p )


0

i

.b1. p + Αp 2

= f ( b0 ) + b1. p. f ' ( b0 ) + Αp 2 .
Do đó f ( a1 ) ≡ 0 ( mod p 2 ) ⇔ f ( b0 ) + b1. p. f ' ( b0 ) ≡ 0 ( mod p 2 )

⇔ b1. p. f ' ( b0 ) ≡ f ( b0 ) ( mod p 2 ) ⇔ b1 ≡

f ( b0 )
( mod p ).
p. f ' ( b0 )

Như vậy, b1 xác định duy nhất. Suy ra tồn tại duy nhất a1 thỏa ( i ) , ( ii ) , ( iii ) .
Giả sử đã có ak −1 , ta xây dựng ak . Theo ( ii ) , ta có =
ak ak −1 + bk . p k . Do ( iii )
nên 0 ≤ bk < p . Bây giờ, ta tìm bk thỏa ( i ) . Ta có:
f ( ak ) = f ( ak −1 + bk . p

) = ∑ c .( a
n

k

i =0

i


k
k −1 + bk . p )

= f ( ak −1 ) + bk . p k . f ' ( ak −1 ) + Α. p k +1 .

i


10

Khi đó: f ( ak ) ≡ 0 ( mod p k +1 ) ⇔ bk . f ' ( ak −1 ) ≡

⇔ bk ≡

− f ( ak −1 )
mod p k +1 )
(
k
p

− f ( ak −1 )
( mod p ) .
p k . f ' ( ak −1 )

Suy ra bk xác định duy nhất. Do đó ak xác định duy nhất.
Như vậy, ta đã xây dựng được dãy {an } thỏa ( i ) , ( ii ) , ( iii ) .
Do an ≡ an−1 ( mod p n ) . Khi đó an − an−1 p < p − n . Suy ra {an } là dãy Cauchy. Đặt

x0
=


{an } ∈  p . Ta kiểm tra

x0 thỏa đề bài.

Do an ≡ a0 ( mod p ) . Khi đó an − a0 p < p −1 . Cho n → ∞ , ta được x0 − a0 p < 1 .
Suy ra x0 ≡ a0 ( mod p ) .
Với mọi n ≥ k , ta có an ≡ ak ( mod p k +1 ) . Suy ra an − ak p < p
ta

được

x0 − ak p < p

−( k +1)

hay

−( k +1)

. Cho n → ∞ ,

x0 ≡ ak ( mod p k +1 ) .

Khi

đó

f ( x0 ) ≡ f ( ak ) ( mod p k +1 ) . Do f ( ak ) ≡ 0 ( mod p k +1 ) nên f ( x0 ) ≡ 0 ( mod p k +1 ) .


Suy ra f ( x0 ) p ≤ p

−( k +1)

. Cho k → ∞ , ta được f ( x0 ) p ≤ 0 . Suy ra f ( x0 ) = 0 .

Vậy x0 thỏa đề bài.
Bây giờ, ta chứng minh sự duy nhất của x0 . Giả sử có x1 ∈  p thỏa hai
điều

x1 ≡ a0 ( mod p ) vaø f ( x1 ) =
0.
Ta

kiện

x1 = bo + b1 p + b2 p 2 +  + bn p n + ... .

Với

mọi

n∈,

ta

an′ = bo + b1 p +  + bn p n + ... . Khi đó, {an′ } thỏa ( ii ) , ( iii ) . Hơn nữa :

(


)

(

)

an′ ≡ x1 mod p n+1 ⇒ f ( an′ ) ≡ f ( x1 ) mod p n+1 
⇒ f ( an′ ) ≡ 0 mod p n+1 .

f ( x1 ) ≡ 0 mod p n+1



(

)

(

)

có
đặt


11
Tức dãy {an′ } thỏa điều kiện (i). Từ tính duy nhất của dãy

{an′ } ≡ {an } hay
1.3. Trường


{an }

ta có

x0 = x1 ■

p

1.3.1. Trường  p
Một chuẩn p-adic trong  p được mở rộng lên bao đóng đại số  p của  p .
Lấy α ∈  p , khi đó α được mở rộng hửu hạn  p (α ) và do đó ta có thể định
nghĩa . p bằng cách mở rộng chuẩn p-adic trên  p (α ) . Xét hàm . p :  p →  + là
một mở rộng của chuẩn p-adic trên  p và dễ để chứng minh hàm trên là một
chuẩn. Chuẩn trên  p cũng được gọi là chuẩn p-adic. Tuy nhiên  p không đầy
đủ với chuẩn đó.
Đầy đủ hóa của  p ứng với tơpơ cảm sinh bởi . p là một trường được kí
hiệu  p và chuẩn . p trên  p được mở rộng thành chuẩn không Acsimet trên
 p và chuẩn này cũng được kí hiệu là .

p

thỏa mãn:

i)Tồn tại phép nhúng  p →  p và chuẩn sinh bởi . p trên  p qua phép
nhúng là chuẩn p-adic. Từ đây ta có thể đồng nhất  p với ảnh của nó qua phép
nhúng trong  p .
ii)  p trù mật trong  p .
iii)  p đầy đủ.
Khi đó,  p thỏa mãn điều kiện i), ii), iii) và được gọi là trường các số phức

p-adic. Chuẩn trên  p : Với mỗi α =
xn} ∈  p ; xn ∈  p , ta định nghĩa
α

p

= lim xn . Trường  p còn thỏa mãn thêm tính chất:
n →∞

p

iv) Với mỗi x ∈  p tồn tại số hửu tỉ υ p ( x) sao cho x p = p −υ
∗

p ( x)

, tức là


12
υ p trong  p được mở rộng trong  p và ảnh của  p qua υ p là  .

v)  p đóng đại số.
vi)  p khơng compact địa phương.
1.3.2. Mơ tả các nhóm giá trị của  p
Cho F là trường với chuẩn

. Tập GF =

{x


| x ∈ F *} ⊂  + , G F là

nhóm con của nhóm nhân các số thực dương. Với mọi a, b ∈ GF , tồn tại

=
a
x, y ∈ F * sao cho

ab −1
y . Khi đó =

=
x ,b

−1

x =
y

xy −1 ∈ GF . G F gọi

là nhóm giá trị của trường F. Khi đó:

G| =

{x

p


} {

}

| x ∈ | * = p a | a ∈  = ( , + ) .

{ pa | a ∈ }.
G = { p | r ∈ |} .
G= G= { p | r ∈ |} .
G||
= G=
|
=
p

r

||
p=

{p

|p

r

1.3.3. Căn của đơn vị trong  p
Với mỗi số tự nhiên n , ta xét phương trình x n = 1 . Do  p đóng đại số,

{


}

1 . Dễ thấy U n
x ∈ { p | xn =
x n = 1 có đúng n nghiệm trong  p . Ta đặt U n =

(

)

là nhóm con của nhóm *p ,. . Do đó U n là nhóm xilic cấp n . Các phần tử của
nhóm U n có cấp n (các phần tử của nhóm nhân U n ) gọi là căn nguyên thủy bậc

n của 1; α là căn nguyên thủy bậc n của 1 khi và chỉ khi α n = 1 và α m ≠ 1 , với
m ∈ {1,2,..., n − 1} . Khi đó α = U n . Gọi U là tập tất cả các căn của 1 trong  p .
Khi đó, U =

n
{x ∈ {}
p | ∃n ∈ : x = 1} =

 Un .

n ≥1


13

Chương 2: HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

TRONG TRƯỜNG  p
2.1. Chuỗi lũy thừa
2.1.1. Định nghĩa
Cho A là vành giao hốn, có đơn vị. A [ x ] là vành các chuỗi lũy thừa
hình thức, nghĩa là: A [ x ] = {u = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n + ...| ai ∈ A, ∀i}.
Ta có: u = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n + ...∈ A [ x ] .

v = b0 + b1 x + b2 x 2 + ... + bn x n + ...∈ A [ x ] .
Ta định nghĩa:
• u + v=

( a0 + b0 ) + ( a1 + b1 ) x + ( a2 + b2 ) x 2 + ... + ( an + bn ) x n + ... ∈ A [ x ]

.
• u.v = c0 + c1 x + c2 x 2 + ... + cn x n + ... ∈ A [ x ] , trong đó:
=
cn

n

∑a b
i =0

i n −i

∈ A=
, n 0,1,2,... .

• Phần tử 0 là: 0 = 0 + 0.x + 0.x 2 + ... + 0.x n + ... .
• Phần tử đơn vị: 1 =1 + 0.x + 0.x 2 + ... + 0.x n + ... .

2.1.2. Bán kính hội tụ
Cho ( F .

) là trường bất kỳ với

là chuẩn trường bất kỳ.

f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n + ... ∈ F [ x ].
Với x0 ∈ F , ta có chuỗi: a0 + a1 x0 + a2 x 2 + ... + an x n + ... (*) là chuỗi trong F .
Nếu chuỗi hội tụ về a thì ta kí hiệu:
f ( x0 ) = a0 + a1 x0 + a2 x02 + ... + an x0n + ...

=lim ( a0 + a1 x0 + a2 x02 + ... + an x0n + ...) = a ∈ F .
n→∞


14
Tập các x0 ∈ F để chuỗi (*) hội tụ gọi là miền hội tụ của chuỗi (*) .
Để tìm miền hội tụ của chuỗi (*) , đầu tiên ta tìm bán kính hội tụ của chuỗi (*) :

ρ = lim

n→∞ n

1

.

an


Khi đó,ta có: + Chuỗi (*) hội tụ ∀x thỏa x p < ρ .
+ Chuỗi (*) phân kỳ ∀x thỏa x p > ρ .
+ Tại x = ρ chuỗi (*) có thể hội tụ hoặc phân kỳ trong trường
hợp cụ thể.

{

}

{

}

Vậy miền hội tụ của chuỗi (*) là: x ∈ F : x p < ρ hoặc x ∈ F : x p ≤ ρ .
2.1.3. Bổ đề. Cho ( F ,

∞

∞

f ( x) ∑ a x , =
g ( x ) ∑ b x ∈ F [ x ].
), =
i

i
=i 0=i 0

i


i

Nếu tồn tại

B ( 0, ε ) ⊂ F để hai chuỗi f ( x ) , g ( x ) hội tụ và f ( x0 ) = g ( x0 ) với mọi
x0 ∈ B ( 0, ε ) thì f ( x ) = g ( x ) trong F [ x ] , nghĩa là ai= bi , ∀i= 0,1, 2,... .

Chứng minh
Ta có: f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n + ...

g ( x ) = b0 + b1 x + b2 x 2 + ... + bn x n + ...
Bây giờ ta chứng minh bổ đề bằng phương pháp quy nạp.
+ Nếu x = 0 ⇒ a0 =
b0 .
+ Giả sử: an = bn , ∀n ≥ k . Suy ra: ak +1 x k +1 + ak + 2 x k + 2 +
=
... bk +1 x k +1 + bk + 2 x k + 2 ...

∀x0 ∈ B ( 0, ε ) . Khi đó, với x0 ∈ B ( 0, ε ) , x0 ≠ 0 , ta có:
ak +1 + ak + 2 x k + 2 + ...= bk +1 + bk + 2 x k + 2 + ...
Cho x0 → 0 , ta được ak +1 = bk +1. . Suy ra ai= bi , ∀i= 0, 1, 2,... . Vậy f ( x ) = g ( x )
trong F [ x ] ■


15
2.1.4. Bổ đề. Cho ( F , =
) , f ( x, y )

∑a


mn

n
x m y=
, g ( x, y )

∑b

mn

x m y n ∈ F [ x, y ]

. Nếu tồn tại B ( 0, ε ) thỏa f ( x, y ) , g ( x, y ) hội tụ với mọi x, y ∈ B ( 0, ε ) và
f ( x0 , y0 ) = g ( x0 , y0 ) ,

mọi x0 ∈ B ( 0, ε ) ,

với

y0 ∈ B ( 0, ε )

thì

f ( x, y ) = g ( x, y ) trong F [ x, y ] , nghĩa là amn = bmn , ∀m, n ≥ 0.

Chứng minh
∞
 ∞
m n
n

Ta có: f ( x, y ) ∑
=
=
 ∑ amn x  y ∑ f n ( x ) y
=
n 0=
m 0
 =n 0
∞

∞
 ∞
m n
n
=
g ( x, y ) ∑
=
 ∑ bmn x  y ∑ g n ( x ) y .
=
n 0=
m 0
 =n 0
∞

Cố định x0 ∈ B ( 0, ε ) , ∀y0 ∈ B ( 0, ε ) , ta có f ( x0 , y0 ) = g ( x0 , y0 ) .Theo bổ đề
(2.1.3.), ta được f n ( x0 ) = g n ( x0 ) , với mọi n ∈  .Ta lại có f n ( x0 ) = g n ( x0 ) với
mọi n ∈  , x ∈ B ( 0, ε ) , nên theo bổ đề (2.1.3.), ta có amn = bmn với mọi

m, n ≥ 0 ■
2.2. Hàm số mũ và hàm số lôgarit trong  p .

2.2.1. Định nghĩa hàm số mũ và hàm số lôgarit
2.2.1.1. Định nghĩa.
Trong  p , ta định nghĩa hàm số mũ và hàm số lôgarit như sau:
∞

xi
=
exp x ∑ ,
i =0 i !
log (1 + x ) =

∞

x ∈  p.

∑ ( −1)
i =0

i +1

xi
,
i

x ∈  p.

Để tìm miền hội tụ cho hàm log và hàm exp , ta cần bổ đề sau:


16


2.2.1.2.

Bổ

đề.

Cho

n∈ ,

n = a0 + a1 p + ... + as p s ,

0 ≤ ai ≤ p − 1,
s

s = log p n  , là khai triển p – phân của n . Ký hiệu Sn = ∑ ai . Khi đó
i =0

ord p ( n !) =

n − Sn
.
p −1
Chứng minh

Đầu tiên, giả sử n = ao + a1 p +  + as p s ,0 ≤ ai < p, s = log p n  , ta chứng
n  n 
n
minh ord p (n!)=   +  2  +  +  s  .

 p  p 
p 

 n 


 n    p k −1  
 n 
Trước hết, ta =
có  k 
, k ∈ * . Thật vậy, đặt m =  k  , ta có
p   p 
p 





m≤

n
n
 n 
≤
<
+
mp
m
p
1

(
1)
<
m
+
.
Khi
đó
.
Suy
ra
mp
≤
 p k −1  < (m + 1) p .
p k −1
pk



 n 
 p k −1 
 < m + 1 . Suy ra
Do đó m ≤ 
p

 n 
  k −1  
  p  = m=  n  .
 pk 
 p 

 





Ta có n! = 1.2.3...n , trong các thừa số trên, các thừa số chia hết cho p là
n

 p  n 
n
p,2 p,3 p,..,   p . Suy ra: n! = p     !v1 với (v1 , p ) = 1 . Khi đó :
 p
 p

  n   n    n 
n  
ord p (=
n!) ord p  p  p    !=
v1    + ord p    ! .

 p    p 
 p 



17

Ta lại có


n ao
n
=
+ a1 + a2 p +  + as p s −1 . Suy ra   =  a1 + a2 p +  + as p s −1  .
p p
 p

n
n
Vì   ! = 1.2.3..   nên trong các thừa số, các thừa số chia hết cho p là
 p
 p
 n 

 2  n 
n
 n 
p 
=
p
!
p, 2 p,..,  2  p . Suy ra  
 p 2  !v2 với (v2 , p ) = 1. Khi đó, ta có :
p
p
 
 
 

  n2   n    n 

 n  
n
p 


=
+
ord p (  =
ord
p
v
ord
!)
!
p
p   2  ! .

 p2  2   p2 

 p




 p  



Lập luận tương tự ta được:
 n  

n
n 
!)
ord p (  =
ord
+
p   2  !

 p2 
 p
 
 p  

 n  
n
n
ord p (  =
!)
+
ord
p   3  !
 p3 
2
p
 
 
 p  

 n  
 n 

n
ord p (  s −=
!)
+
ord
  s  !
p
 ps 
1
p 
 
 p  

a
n

a
a
=  s  + ord p   os + s1−1 +  + s −1 + as  !
p
p
p 

 p
n
n
=  s  + ord p ([ as ]!=
)
 p s  (0 ≤ as < p ).
p

 
 
n  n 
n
Vậy ta được ord p (n!)=   +  2  +  +  s  .
 p  p 
p 

Tiếp theo, ta chứng minh ord p ( n !) =

n − Sn
.
p −1


18
n  n 
 n 
Ta có ord p (n!)=   +  2  +  +  s  . Do n = ao + a1 p +  + as p s , ta có:
 p  p 
p 
 n  a

+)   =  o + a1 + a2 p +  + as p s −1  = a1 + a2 p +  + as p s −1
 p  p


n
n n
⇒ ( p − 1)   = p   −   = a1 p + a2 p 2 +  + as p s

 p
 p  p
n
=n − ao −  
 p
 n  a

a
+)  2  =  o2 + 1 + a2 + a3 p +  + as p s −2  = a2 + a3 p +  + as p s −2
p
p  p


 n 
 n   n 
 n 
⇒ ( p − 1)  2  = p  2  −  2  = a2 p + a3 p 2 +  as p s −1 −  2 
p 
p  p 
p 
n
 n 
=   − a1 −  2 
 p
p 

Lập luận tương tự như vậy ta được:

n
n

−
=
−
−
p
n
a
(
1)

o
 p
 p
 
 


 n  n
 n 
( p − 1)  2 =   − a1 −  2 

 p   p
p 



n   n 
n
− as −1 −  s 
( p − 1)  s =



s −1 
p  p 
p 

n   n 
 n 
n
Suy ra ( p − 1)    +  2  +  +  s   =n − (ao + a1 +  + as −1 +  s  ) . Ta lại
 p 
p 
 p  p 
 n  a

a
a
có  s  =  os + s1−1 +  + s −1 + as  =
p
p
p  p


. Vậy ord p (n!) =

n − Sn
■
p −1

[ as ] =


n − Sn
as . Suy ra ( p − 1)ord p (n!) =


19

2.2.1.3. Miền hội tụ của hàm exp.
∞

Với mọi x ∈  p , ta có exp x = ∑
i =0

xi
. Bán kính hội tụ của hàm exp là:
i!

1
− ord p ( n !)
1
n
=
r lim
= lim
=
n! p lim p n
.
n→∞ n
n→∞
an p n→∞


Theo bổ đề (2.2.1.2.), ta lại có

1
1 n − sn
!)
ord p ( n=
⋅ =
n
n p −1

sn
1
n→∞
n 
→
(do
p −1
p −1

1−

sn
= 0 ). Thật vậy n = a0 + a1 p + a2 p 2 + ... + as p s với s = log p n  . Ta có:
n→∞ n

lim

sn =a1 + a2 + ... + as ≤ ( p − 1)( s + 1) ≤ ( p − 1) log p n + 1 .
1

log p n + 1
sn
sn
1− p
0 . Suy ra lim = 0 . Vậy ρ = p .
=
Do đó lim ≤ ( p − 1) lim
n→∞ n
n→∞
n→∞ n
n

Bây giờ, ta xét tại x0 ∈  p sao cho x0 p = p

1
1− p

∞

x0i
. Ta có chuỗi exp x = ∑
khi
i =0 i !

và

x0i
si
 x0i 
= 0 . Mặt khác, ta có ord=

=
chỉ khi lim
. Do
i
ord
x
−
ord
i
.
!
(
)

p
p 0
p
i →∞ i !
p
−
1
i
!


p

x0i
si
≠ 0 . Vậy exp x không hội tụ tại x0 .

lim
≠ +∞ nên lim
i →∞ i !
i →∞ p − 1
p
Miền

hội

tụ

của

exp

là:

1


1− p 
E=
x
:
x
p
∈

<



p
p




1 
x
=
=
 x ∈  p : ord p x >
 và hàm exp : E →  p với exp
p − 1


∞

xi
∑ i! , ∀x ∈ E .
i =0