BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Nguyễn Thảo Ngun

TÍNH MINIMAX CỦA MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU
ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Nguyễn Thảo Ngun

TÍNH MINIMAX CỦA MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU
ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG

Chuyên ngành
Mã số

: Đại số và lí thuyết số
:60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan luận văn “Tính minimax của môđun đối đồng điều địa phương
suy rộng” là công trình nghiên cứu của riêng tơi và được sự hướng dẫn khoa học của
PGS.TS. Trần Tuấn Nam. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và
chưa từng được ai cơng bố trong bất kì cơng trình nào khác.
Học viên thực hiện luận văn

Lê Nguyễn Thảo Nguyên


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hồn thành trong khóa 25 đào tạo Thạc sĩ của Trường Đại
học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Trần Tuấn Nam,
trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh. Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới
thầy hướng dẫn, người đã tạo cho tôi một tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành
thời gian, công sức giúp đỡ tơi hồn thành luận văn.
Tơi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cơ giáo Trường Đại học Sư
phạm Tp. Hồ Chí Minh, những người đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tơi vượt qua
những khó khăn trong học tập.
Tơi xin chân thành cảm ơn các thầy cơ phịng Sau Đại Học, Trường Đại học Sư
phạm Tp. Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian
tôi học tập.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã ủng hộ tôi về mọi mặt để tơi có
thể hồn thành tốt khóa học của mình.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2017
Lê Nguyễn Thảo Nguyên



MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
MỞ ĐẦU

................................................................................................................. 1

Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ .................................................................................. 2
1.1. Iđêan nguyên tố liên kết và giá ............................................................................. 2
1.2. Số chiều – chiều cao – dãy các phần tử chính quy – độ sâu................................. 3
1.3. Môđun đối đồng điều địa phương ........................................................................ 4
1.4. Biến đổi iđêan ....................................................................................................... 6
1.5. Dãy phổ. ................................................................................................................ 7
1.6. Môđun Artin ......................................................................................................... 9
Chương 2. TÍNH MINIMAX CỦA MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU
ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG ............................................................... 10
2.1. Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng và một số tính chất. ....................... 10
2.2. Tính minimax của mơ đun đối đồng điều địa phương suy rộng......................... 16
KẾT LUẬN ............................................................................................................... 23
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 24


1

MỞ ĐẦU
Mơđun đối đồng điều địa phương được nhà tốn học Herzog đưa ra đầu tiên vào
năm 1974. Cho R là vành Noether có đơn vị là 1  0 , I là một iđêan của R , M và N
là các R -mơđun. Khi đó với mọi số tự nhiên i ,


H Ii  M , N   lim ExtRi  M / I n M , N 
n

gọi là môđun đối đồng điều địa phương suy rộng của môđun N tương ứng với M .
Đây là sự tổng qt hóa mơđun đối đồng điều địa phương của Grothendieck.
Sau đó, các vấn đề về mơđun đối đồng điều địa phương suy rộng và môđun
minimax đã được các nhà toán học nghiên cứu và phát triển: Nguyễn Tự Cường, Trần
Tuấn Nam, Yan Gu, Saremi Hero,… Hiện nay, nó đang trở thành một đề tài hấp dẫn
đối với các nhà tốn học. Nhiều tính chất của mơđun đối đồng điều địa phương suy
rộng đã được tìm ra nhưng vẫn cịn nhiều tính chất mà các nhà tốn học chưa khám
phá hết. Trong đó, tính minimax của mơđun đối đồng điều địa phương suy rộng là vấn
đề còn khá mới và hấp dẫn.
Luận văn giới thiệu một số tính chất của mơđun đối đồng điều địa phương suy
rộng, phần sau đó là giới thiệu về tính minimax của nó.
Luận văn được chia thành hai chương.
Chương 1. Trình bày một số kiến thức cần nắm để hiểu được nội dung chính của
luận văn, bao gồm các kết quả của đại số giao hốn, mơđun đối đồng điều địa phương,
iđêan ngun tố liên kết, …
Chương 2. Được chia thành 2 phần.
Phần 2.1 trình bày các tính chất của mơđun đối đồng điều địa phương suy rộng.
Phần 2.2 trình bày tính minimax của mơđun đối đồng điều địa phương suy rộng.
Mặc dù đã cố gắng trong quá trình làm luận văn nhưng do kiến thức của bản thân
và thời gian còn hạn hẹp nên khơng thể tránh khỏi những sai sót. Rất mong nhận được
sự đánh giá và nhận xét của thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện.


2

Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1. Iđêan nguyên tố liên kết và giá
Định nghĩa 1.1.1. Cho R là một vành, M là R -môđun, iđêan nguyên tố P được gọi
là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại x  M , x  0 : P  ann  x  .
Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là Ass  M  .





Giá của mơđun M kí hiệu là Supp  M   P  Spec  R  M p  0 .





Đặt V  I   P  Spec  R  I  P  0 .
Nếu M là R -mơđun hữu hạn sinh thì Supp  M   V  ann  M   .
Nếu R là vành Noether và I là một iđêan của R thì Supp  R / I   V  I  .
Mệnh đề 1.1.2. Cho R là vành Noether, M là R -môđun hữu hạn sinh, I là một
iđêan của R . Khi đó Supp  M   V  I  khi và chỉ khi tồn tại số nguyên k sao cho

I kM  0 .
Mệnh đề 1.1.3. Cho M , N là các R -mơđun hữu hạn sinh. Khi đó:

Supp  M R N   Supp  M   Supp  N  .
Hệ quả 1.1.4. Cho M là R -môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của R . Khi đó:

Supp  M / IM   V  I   V  ann  M    V  I  ann  M   .
Mệnh đề 1.1.5. Cho R là vành Noether, M là R -môđun khác 0:






i) Phần tử tối đại của F  ann  x  x  M là iđêan nguyên tố liên kết của M hay

Ass  M  khác rỗng.
ii) Tập các ước của không của M là hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M .
Mệnh đề 1.1.6. Cho R là vành Noether, M là R -mơđun hữu hạn sinh, N là R mơđun bất kì. Khi đó:

Ass  HomR  M , N    Ass  N   Supp  M  .
Mệnh

đề

1.1.7.

Cho

M , N, P

0  M  N  P  0 khớp thì:

là

các

R -mơđun.

Nếu


ta

có

dãy


3
i) AssR  M   AssR  N   AssR  M   AssR  P  .
ii) Supp  N   Supp  M   Supp  P  .
Mệnh đề 1.1.8. Cho R là vành Noether, M là R -môđun hữu hạn sinh. Khi đó, ta có:
i) Ass  M  là tập hữu hạn.
ii) Ass  M   Supp  M  .
iii) Phần tử tối tiểu của Ass  M  và Supp  M  là giống nhau.
1.2. Số chiều – chiều cao – dãy các phần tử chính quy – độ sâu
Một chuỗi các môđun con của môđun M là dãy  M i 0i n các môđun con của

M thỏa mãn 0  M 0  M1  ...  M n  M . Chiều dài của chuỗi là n . Một chuỗi
hợp thành của M là chuỗi tối đại các môđun con của M tức là không thể thêm vào
một môđun con nào nữa. Điều đó tương đương với việc rằng mơđun thương M i / M i 1
là đơn. Độ dài của các chuỗi hợp thành của M là một đại lượng không đổi và được kí
hiệu là l  M  và được gọi là độ dài của môđun M .
Mệnh đề 1.2.1. Cho R là vành Noether, M là R -môđun hữu hạn sinh. Khi đó các
điều sau là tương đương:
i) l  M    .
ii) Mọi iđêan nguyên tố thuộc Ass  M  đều là iđêan tối đại của R .
iii) Mọi iđêan nguyên tố thuộc Supp  M  đều là iđêan tối đại của R .
Hệ quả 1.2.2. Cho R là vành Noether, M là R -mơđun hữu hạn sinh, N là R -






mơđun bất kì. Nếu l  N    thì l HomR  M , N    . Do đó, nếu N là R -mơđun
Artin thì HomR  M , N  cũng là R -môđun Artin.
Mệnh đề 1.2.3. Giả sử mơđun M có chuỗi hợp thành độ dài n . Khi đó mọi dãy
mơđun con của M đều có thể mở rộng thành chuỗi hợp thành.
Mệnh đề 1.2.4. M có chuỗi hợp thành khi và chỉ khi M vừa thỏa điều kiện tăng vừa
thỏa điều kiện giảm.
Mệnh đề 1.2.5. Cho dãy khớp ngắn 0  M   M  M   0 , khi đó ta có:


4

l  M   l  M   l  M    0 .
Định nghĩa 1.2.6. Cho R là một vành khác 0, P là một iđêan nguyên tố của R .
Chiều cao của một iđêan nguyên tố P là độ dài lớn nhất của dãy các iđêan nguyên tố

P0  P1  ...  Pn  P , kí hiệu htP .
Từ định nghĩa ta thấy nếu htP  0 thì P là iđêan nguyên tố tối tiểu của vành R . Nếu

I là một iđêan của R , ta định nghĩa chiều cao của I như sau





htI  inf htP P V  I  .
Cận trên của tất cả các độ dài của các dãy iđêan nguyên tố trong R được gọi là chiều

Krull của R . Kí hiệu dimR . Ta có

dim R  suphtP P  SpecR





Số chiều của R -môđun M , kí hiệu dim M  dim R / ann  M  nếu M  0 và ta kí
hiệu dim M  1 nếu M  0 .
Cho M là R -môđun. Một phần tử r  R được gọi là M -chính quy nếu rx  0 với
mọi x  M , x  0 .
Định nghĩa 1.2.7. Một dãy các phần tử a1 , a2 ,..., an của R là một M -dãy (hay là M dãy chính quy) nếu nó thỏa hai điều kiện sau:
(i) a1 là M -chính quy, a2 là M / a1M -chính quy,…, an là M /  a1a2 ...an1  M -chính
quy.
(ii) M /  a1a2 ...an  M  0 .
Định nghĩa 1.2.8. Cho M là một môđun hữu hạn sinh khác 0 trên vành Noether địa
phương ( R, m ) , chiều sâu của M trên R là độ dài lớn nhất của M -dãy trong m, kí
hiệu depthR M hay depthM .
1.3. Môđun đối đồng điều địa phương
Trong phần này, vành R được xem là vành giao hốn có đơn vị và I là một
iđêan khác khơng của R .
Định nghĩa 1.3.1. Với mỗi R -môđun M , tập


5

I  M  

n


0 :

M

I n   x  M : n  , I n x  0

gọi là tập các phần tử của M bị linh hóa bởi một lũy thừa nào đó của iđêan I .
Chú ý rằng  I  M  là môđun con của M .





Với mỗi đồng cấu R -môđun f : M  N ta có f  I  M    I  N  , do đó có ánh
xạ cảm sinh  I  f  :  I  M    I  N  là thu hẹp của f trên  I  M  .
Nếu g : M  N và f : N  L là các đồng cấu R  mơđun và r  R , khi đó

I  f g   I  f  I  g  , I  f  g   I  f    I  g 

 I  rf   r I  f  ,  I  Id M   IdI  M  .
Do đó  I trở thành hàm tử hiệp biến và cộng tính từ phạm trù các R -mơđun vào
chính nó.  I cịn được gọi là hàm tử I -xoắn.
Mệnh đề 1.3.2. Cho I , J là hai iđêan của vành R , nếu

I  J thì  I   J .

Mệnh đề 1.3.3. Hàm tử I -xoắn  I : M  R   M  R  là hàm tử khớp trái.
Định nghĩa 1.3.4. Với mọi i 


*

, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của  I được kí hiệu là

H Ii và được xem như là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i tương ứng với I .
Ta nói M là I -xoắn tự do nếu  I  M   0 và là I -xoắn khi  I  M   M .
Mệnh đề 1.3.5. Cho M là R -môđun.
i) Nếu I chứa một phần tử không là ước của 0 đối với M , khi đó M là I -xoắn tự
do tức là  I  M   0 .
ii) Giả sử M là hữu hạn sinh. Khi đó M là I -xoắn tự do khi và chỉ khi I chứa phần
tử không là ước của không đối với M .
Mệnh đề 1.3.6. Với mọi R -môđun M , môđun M /  I  M  là I -xoắn tự do.
Định nghĩa 1.3.7. Cho M là R -mơđun nội xạ thì dãy khớp chính tắc sau là chẻ:

0  I  M   M  M / I  M   0
Định nghĩa 1.3.8. Cho M là R -môđun.
Xét phép giải nội xạ của M


6



d0

di

N : 0  M  N  N  ...  N  N i 1  ...
0


1

i

Phức thu gọn tương ứng của N là
d 1

d0

di

N : 0  N  N  ...  N  N i 1  ...
*

0

1

i

Tác động hàm tử  I    vào phức này ta được dãy nửa khớp sau
I  d 0 
I  d i 
 
0
1
i
 I  N  : 0   I  N    I  N   ...   I  N    I  N i 1   ...
 I d 1


*





Với mỗi số tự nhiên i , môđun đối đồng điều thứ i của phức này H i  I  N *  









Ker  I  d i  / Im  I  d i 1  gọi là môđun đối đồng điều địa phương bậc i của M đối
với I , kí hiệu là H Ii  M  .
Ta có  I  M   H I0  M  .
Mặt khác, do hàm tử  I    là hiệp biến nên H Ii    cũng là hàm tử hiệp biến.
Mệnh đề 1.3.9.
i) Cho M là R -mơđun I -xoắn. Khi đó H Ii  M   0, i  0 .
ii) Với mọi R -môđun N , đồng cấu chiếu tự nhiên  : N  N /  I  N  cảm sinh





đẳng cấu H Ii   : H Ii  N   H Ii N /  I  N  với i  0 .
Mệnh đề 1.3.10. Cho  R, m) là vành Noether địa phương giao hoán, I là iđêan của


R và M là R -môđun. Nếu  0 :M I  là Artin và M là mơđun I -xoắn thì M là Artin.
Mệnh đề 1.3.11. Cho  R, m) là vành Noether địa phương giao hốn, M là R mơđun hữu hạn sinh. Khi đó H mi  M  là Artin với mọi i  0 .
1.4. Biến đổi iđêan
Định nghĩa 1.4.1. Cho hàm tử hiệp biến, R tuyến tính

DI  lim HomR  I n ,  
n

từ phạm trù các R -mơđun vào chính nó. DI được gọi là hàm tử I -biến đổi hay biến
đổi theo iđêan I . Với mọi R -môđun M , ta gọi DI  M   lim HomR  I n , M  là biến
n


7

đổi iđêan của M tương ứng với I hay còn gọi là I -biến đổi của M .
Với mọi i 

*

, kí hiệu R i DI là hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử DI , khi đó ta

có sự tương đương tự nhiên của các hàm tử.

 Ii : Ri DI     limExtRi  I n ,   .
n

M


M

 0M

Mệnh đề 1.4.2. Dãy 0   I  M   M  DI  M   H I1  M   0 là khớp.
Mệnh đề 1.4.3. Với mọi i 

và M là R -môđun. Với mọi n , đồng cấu nối

ni , M : Ext Ri  I n , M   ExtRi1  R / I n , M  là đẳng cấu và chuyển qua giới hạn thuận ta
có đẳng cấu  ni ,M : limExtRi  I n , M   limExtRi 1  R / I n , M  .
n

n

Do đó, ta có sự tương đương tự nhiên của các hàm tử  i : Ri DI  H Ii 1 .
Với mọi R -mơđun M có một đơn cấu  M : M /  I  M   DI  M  , cảm sinh bởi  M
 0M

thetaM

làm cho dãy 0  M /  I  M   DI  M   H I1  M   0 là khớp.
Từ dãy khớp 0   I  M   M  DI  M   H I1  M   0 ta có kết quả sau:
Hệ quả 1.4.4. Cho M là R -môđun, cho  : M  M /  I  M  là tồn cấu chính tắc.
Khi đó ta có các điều sau:






(i) DI  I  M   0 .





(ii) DI   : DI  M   DI M /  I  M  là đẳng cấu.
(iii) DI M   DI  M  : DI  M   DI  DI  M   là đẳng cấu.









(iv)  I DI  M   0  H I1 DI  M  .





(v) H Ii M  : H Ii  M   H Ii DI  M  là đẳng cấu với i  1 .
1.5. Dãy phổ

 

Một môđun Z -phân bậc là một họ các môđun E  E p ,q với p, q  0, 1, 2,...
Một vi phân d của song bậc  r , r  1 là một họ các đồng cấu d : E p ,q  E p r ,q  r 1



8
với mỗi p, q . Đồng điều H  E   H  E, d  của E dưới vi phân này là môđun Z -song
phân bậc H p ,q  E  định nghĩa như thông thường

H p ,q  E   Ker d : E p ,q  E p r ,q r 1  / dE p r ,q r 1
Ta làm cho E trở thành Z -phân bậc E   En  với En   p q n E p ,q , khi đó vi
phân bên trên cảm sinh vi phân d : E n  En1 với bậc thông thường 1 và H n  E  là
môđun đơn phân bậc thu được từ môđun Z -song phân bậc H p ,q  E  như sau

Hn  E  

 H E
p ,q

p q n

Một dãy phổ E   E r , d r  là một dãy các môđun Z -song phân bậc E 2 , E 3 ,...,
mỗi mơđun Z -song phân bậc có một vi phân d

d : E p ,q  E p r ,q r 1

r  2,3,...

của song bậc  r , r  1 và đẳng cấu

H  E r , d r   E r 1 ,

r  2,3,...


Mỗi E r 1 là môđun đồng điều Z -song phân bậc của H  E r , d r  , từ đó E r và

d r xác định E r 1 . Môđun song phân bậc E 2 được gọi là thành phần ban đầu của dãy
phổ E . Nếu E  là dãy phổ thức hai, một đồng cấu f : E  E là một họ các đồng cấu

f r : E r  E r ,

r  2,3,...

của các môđun song phân bậc, của song bậc  0,0 với d r f r  f r d r và sao cho mỗi

f r 1 là ánh xạ đồng điều cảm sinh từ f r . Ta sẽ miêu tả dãy phổ như là một dãy các
môđun con song phân bậc của E 2 . Đầu tiên ta cho mỗi E r 1 với H  E r , d r  , từ đây

E 3  H  E 2 , d 2  là môđun thương con C 2 / B 2 của E 2 với C 2  Kerd 2 , B2  Imd 2 .
E 4  H  E 3 , d 3  là môđun thương con của C 2 / B 2 , do đó đẳng cấu với C 3 / B3 , với

C 3 / B2  Kerd 3 , B3 / B2  Imd 3 và B3  C 3 . Từ đây dãy phổ E có thể được xem như
dãy

0  B1  B2  B3  ...  C 3  C 2  C1  E 2


9

các môđun con song phân bậc của E 2 , với E r 1  C r / Br , ở đây

d r : C r 1 / Br 1  C r 1 / Br 1 ,


r  2,3,...

có Kerd r  C r / Br 1 , Imd r  Br / Br 1 .
Đặt C  

C r , B 
r  2,3,...

B r thì B  C  và dãy phổ được xác định trên một
r  2,3,...

môđun song phân bậc

E p,q  C  / B , E   E p,q .
1.6. Môđun Artin
Định nghĩa 1.6.1. Một R -môđun M được gọi là Artin yếu nếu bao nội xạ của nó

ER  M  được viết thành: ER  M  : in1  0  mi , M  ER  R / mi  với m1 ,..., mn là các
iđêan cực đại của R .
Mệnh đề 1.6.2. Cho M là R -môđun có giá nằm trong V  I  . M là Artin và I cofinite khi và chỉ khi 0 :M I có chiều dài hữu hạn. Nếu có một phần tử x  I sao cho

0 :M x là Artin và I -cofinite, khi đó M là Artin và I -cofinite.
Bổ đề 1.6.3. Cho M là R -môđun. Khi đó các khẳng định sau là tương đương với
nhau.
i) M là R -môđun Artin.
ii) M m là Rm -môđun Artin với mọi m  MaxR và Ass R  M  là tập hữu hạn.


10


Chương 2 . TÍNH MINIMAX CỦA MƠĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU
ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG

2.1. Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng và một số tính chất
Mơđun đối đồng điều địa phương suy rộng được Herzog đưa ra năm 1974. Đó là
sự mở rộng của môđun đối đồng điều địa phương của Grothendieck. Nó có một số tính
chất như tính triệt tiêu, tính hữu hạn,…
Cho R là vành Noether có đơn vị 1  0 , I là một iđêan của R , M và N là các

R -mơđun. Khi đó với mọi số tự nhiên i ,

H Ii  M , N   lim ExtRi  M / I n M , N 
n

gọi là môđun đối đồng điều địa phương suy rộng của môđun N tương ứng với M .
Ta có H Ii  N   H Ii  R, N  với N là R -môđun.
Một số tính chất của mơđun đối đồng điều điều địa phương suy rộng:
Mệnh đề 2.1.1. H I0  M , N   H I0  Hom  M , N    Hom  M , H I0  N   .
Chứng minh:

H I0  M , N   lim Ext R0  M / I n M , N   lim Hom  M / I n M , N 
n

n



 lim Hom M , Hom  R / I n , N 
n








 Hom M ,lim Hom  R / I n , N   Hom  M , H I0  N  
n

H I0  M , N   lim Hom  M / I n M , N   lim Hom  R / I n , Hom  M , N  
n

n

 H I0 Hom  M ,  N  
Nếu I , J là các iđêan của R thì  I   J  M     I  J  M  với mọi R -môđun M . Tiếp
theo, ta sẽ khái quát đối với môđun đối đồng điều địa phương suy rộng như sau:
Mệnh đề 2.1.2. Cho I , J là các iđêan của R . Khi đó ta có:

I  J  M , N   I  M , J  N    J  M , I  N 


11

với mọi R -môđun M , N .
Chứng minh:
Từ mệnh đề 2.1.1 ta có  I  M , N   HomR  M ,  J  N   .
Do đó






 I  J  M , N   HomR  M ,  I  J  N    HomR M ,  I   J  N     I  M ,  J  N   .
Tương tự ta có  I  J  M , N    J  M ,  I  N   .

Bổ đề 2.1.3. Cho R là vành Noether giao hoán, M , N là các R -mơđun hữu hạn sinh.
Khi đó Ext n  M , N  hữu hạn sinh với n  0 .
Chứng minh:
Giả sử M  x1 , x2 ,..., xk , F0   R, d0 : F0  M , d0  ei   xi , K 0  ker d 0 (với ei là một
k

phần tử trong cơ sở của F0 ) nên ta có dãy khớp

0  K0  F0  M  0
Mà K0  F0 nên K 0 hữu hạn sinh (do R là vành Noether).
Vì thế ta có dãy khớp

0  K1  F1  K0  0
Trong đó F1 là R -mơđun tự do với cơ sở có hữu hạn phần tử.
Tiếp tục quá trình, ta xây dựng được một phép giải tự do của M

...  Fn  Fn1  ...  F1  F0  M  0
trong đó Fn là các R -mơđun tự do với cơ sở có hữu hạn phần tử.
Áp dụng Hom  , N  vào phép giải tự do phía trên

0  Hom  F0 , N   Hom  F1 , N   ...
Vì Fn là tự do và có cơ sở hữu hạn nên Hom  Fn , N    N (tổng hữu hạn) với mọi

n  0.

Do đó ta có Ext n  M , N  hữu hạn sinh với n  0 .


12

Hệ quả 2.1.4. Nếu M , N là các R -môđun hữu hạn sinh và N là I -xoắn. Khi đó

Ass  H Ii  M , N   là hữu hạn. Thêm nữa H Ii  M , N  là I -cofinite với mọi i  0 .
Chứng minh:
Do N là I -xoắn nên H Ii  M , N   ExtRi  M , N  với mọi i  0 . Vậy H Ii  M , N  hữu
hạn sinh với mọi i  0 . Do đó ta có điều cần chứng minh.
Mệnh đề 2.1.5. Cho M , N là các R -môđun và t là một số tự nhiên. Nếu H Ii  N  là
Artin với mọi i  t thì H Ii  M , N  là Artin với mọi i  t .
Chứng minh:
Ta có dãy phổ Grothendieck E2p ,q  Ext p  M , H Iq  N    H Ip q  M , N  .
p

Tồn tại một lọc hữu hạn

0   t 1H t   t H t  ...   1H t   0 H t  H It  M , N 
Sao cho Ep ,q   p H pq /  p 1H p q , Ei ,t i   i H t /  i 1H t , với mọi i  t .
Vì thế ta có dãy khớp

0   i 1H t   i H t  Ei ,t i  0
Nhưng Ep ,q  E2p ,q do đó Ep ,q là Artin và  t i H t là Artin với mọi i  t . Vì

0   1H i  H Ii  M , N   E0,i  0
khớp nên H Ii  M , N  là Artin với mọi i  t .
Mệnh đề 2.1.6. Cho M , N là các R -môđun hữu hạn sinh. Nếu H It  M , R / P  là R môđun hữu hạn sinh với P  Supp  N  thì H It  M , N  là R -môđun hữu hạn sinh.
Chứng minh:

Ta có một lọc hữu hạn các môđun con của N

0  N0  N1  ...  Nk  N
thỏa điều kiện với mỗi 1  i  k ta có Ni / Ni 1  R / Pi với Pi  Supp  N  .
Do đó ta có dãy khớp ngắn


13

0  Ni 1  Ni  R / Pi  0
cảm sinh dãy khớp

...  H It  M , Ni 1   H It  M , Ni   H It  M , R / Pi   ...
Theo giả thiết và quy nạp theo i ta có H It  M , Ni  hữu hạn sinh do đó H It  M , N  là

R -môđun hữu hạn sinh.
Mệnh đề 2.1.7. Cho M , N là các R -môđun hữu hạn sinh. Nếu H It  M , R / P  là R môđun Artin với mọi P  Supp  N  thì H It  M , N  là R -mơđun Artin.
Chứng minh:
Ta có một lọc hữu hạn các môđun con của N

0  N0  N1  ...  Nk  N
thỏa điều kiện với mỗi 1  i  k ta có Ni / Ni 1  R / Pi với Pi  Supp  N  .
Do đó ta có dãy khớp ngắn

0  Ni 1  Ni  R / Pi  0
cảm sinh dãy khớp

...  H It  M , Ni 1   H It  M , Ni   H It  M , R / Pi   ...
Theo giả thiết và quy nạp theo i ta có H It  M , Ni  Artin do đó H It  M , N  là


R  môđun Artin.
Hệ quả 2.1.8. Cho M , N , L là các R -môđun hữu hạn sinh, Supp  L   Supp  N  . Nếu

H It  M , R / P  là R -môđun Artin với P  Supp  N  thì H It  M , L  là R -môđun Artin.
Mệnh đề 2.1.9. Cho t là số nguyên không âm sao cho H Ii  M , N  là R -môđun hữu
hạn sinh với mọi i  t . Khi đó, HomR  R / I , H It  M , N   là R -môđun hữu hạn sinh.
Chứng minh:
 Nếu t  0 , ta có H I0  M , N    I  HomR  M , N   là hữu hạn sinh do đó

HomR  R / I , H It  M , N   là R -môđun hữu hạn sinh.


14

 Nếu t  1 . Dãy khớp

0  I  N   N  N / I  N   0
cảm sinh dãy khớp

...  H It  M ,  I  N    H It  M , N   H It  M , N /  I  N    ...
f

g

Do  I  N  là I -xoắn và hữu hạn sinh nên theo bổ đề 2.1.3, ta có H Ii  M ,  I  N   hữu
hạn sinh do đó H It  M ,  I  N   và imf cũng hữu hạn sinh. Như vậy ta có hai dãy khớp
sau:

0  Imf  H It  M , N   Img  0
và


0  Img  H It  M , N /  I  N   .
Áp dụng hàm tử HomR  R / I ,   vào hai dãy khớp trên.
Để chứng minh HomR  R / I , H It  M , N   hữu hạn sinh thì ta cần chứng minh

HomR  R / I , Img  hữu hạn sinh, nhưng để HomR  R / I , Img  hữu hạn sinh thì ta cần





chứng minh được HomR R / I , H It  M , N /  I  N   hữu hạn sinh. Do đó ta có thể giả
sử N là I -xoắn, như thế tồn tại x  I không là ước của 0 trên N . Đặt N  N / xN .
Dãy khớp sau:
x

0  N N  N  0
cảm sinh dãy khớp

...  H It 1  M , N   H It 1  M , N   H It  M , N   H It  M , N   ...
k

x

Theo giả thiết thì H It 1  M , N  hữu hạn sinh do đó Imk hữu hạn sinh. Xét dãy khớp
sau:

0  Imk  H It 1  M , N   Imh  0
Ta có H It  M , N  hữu hạn sinh với i  t do đó theo giả thiết quy nạp






HomR R / I , H It 1  m, N  hữu hạn sinh. Như thế từ dãy khớp phía trên ta có


15

HomR  R / I , Imh  hữu hạn sinh. Cuối cùng ta xét dãy khớp:
0  Imh  H It  M , N   H It  M , N 
x

Áp dụng hàm tử HomR  R / I ,   vào dãy khớp trên.
Vì x  I nên ta có HomR  R / I , H It  M , N    HomR  R / I , Imh  là R -môđun hữu hạn
sinh.
Mệnh đề 2.1.10. Cho i là số tự nhiên sao cho H It  M , N  hữu hạn sinh với mọi i  t .





Khi đó Ass HomR  R / I , H It  M , N   là tập có hữu hạn phần tử.
Chứng minh:
Ta có HomR  R / I , H It  M , N    HomR  R / I , imh  là R -mơđun hữu hạn sinh do đó






Ass HomR  R / I , H It  M , N   là tập có hữu hạn phần tử. Từ mệnh đề 1.1.6. ta có điều
phải chứng minh.
Mệnh đề 2.1.11. Cho M , N là các R -môđun hữu hạn sinh, m là iđêan tối đại của R .
Khi đó Hmi  M , N  là môđun Artin với mọi i .
Chứng minh:
Xét 0  N  E  là phép giải nội xạ của mơđun N .







Khi đó ta có Hmi  M , N   H i HomR M , m  E   .
Thành phần thứ k của phép giải nội xạ kí hiệu là E k .
Vì mơđun thương của mơđun Artin là mơđun Artin nên chỉ cần chứng minh





HomR M , m  E k  là Artin với mọi k  0 . Với P  Spec  R  , ta có

0,m  0
HomR M , m  E  R / P    
HomR M , m  E  R / m  






(vì E  R / m  là m -xoắn)








16



Do đó HomR M , m  E k 





là tổng trực tiếp của  k m , N  bản sao của



HomR M , m  E  R / m   .
Với  k m , N   dimR /m  ExtRk  R / m , N  m là số Bass của N tương ứng với iđêan m
và đó là số hữu hạn.






Do E  R / m  là R -môđun Artin nên HomR M , m  E  R / m   là R -mơđun Artin.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
2.2. Tính minimax của mơ đun đối đồng điều địa phương suy rộng
Định nghĩa 2.2.1. Môđun M được gọi là mơđun minimax khi nó có một mơđun con
hữu hạn sinh N sao cho môđun thương M / N là một môđun Artin.
Rõ ràng mọi môđun hữu hạn sinh và môđun Artin là minimax.
Chúng ta cũng chỉ ra rằng nếu M , N là R -môđun hữu hạn sinh và môđun đối đồng
điều địa phương H Ii  N  là minimax với mọi i  t thì H Ii  M , N  là minimax.
Bổ đề 2.2.2
i) Cho 0  L  M  N  0 là dãy khớp các R -mơđun. Khi đó M là minimax khi
và chỉ khi N và L là minimax.
Khi đó bất kì thương con của mơđun minimax cũng như bất kì tổng trực tiếp hữu hạn
của môđun minimax là minimax.
ii) Cho M , N là R -môđun. Nếu M là minimax và N là hữu hạn sinh thì

ExtRi  N , M  và ToriR  N , M  là minimax, với mọi i  0 .
Chứng minh:
i)

) Chúng ta có thể xem như trong chứng minh này L là môđun con của M và

N  M / L . Nếu M là minimax, khi đó từ định nghĩa ta có thể dễ dàng suy ra L và
M / L là minimax.


17

) Theo bây giờ giả sử L và M / L là minimax. Khi đó tồn tại một mơđun hữu hạn

sinh T của L , sao cho L / T là Artin. Đặt M   L / T và M   M / T . Ta có dãy
khớp

0  M   M   M  / M   0
với M  là Artin và M  / M  là minimax (chú ý rằng M  / M   M / L ).
Bây giờ, vì M  / M  là minimax nên từ định nghĩa ta có thể suy ra rằng tồn tại một
môđun con hữu hạn sinh Q / M  của M  / M  sao cho M  / Q là Artin. Vì Q / M 
là hữu hạn sinh nên suy ra Q  M   K với một số môđun con hữu hạn sinh K của

Q . Khi đó từ Q / K  M  / K  M  ta có Q / K là R  mơđun Artin.
Vì vậy dãy khớp

0  Q / K  M  / K  M  / Q  0
suy ra M  / K là Artin.
Hệ quả: M  là môđun minimax. Từ M   M / T ta có K  S / T với một một vài
môđun con S của M . Với T và K là hữu hạn sinh, ta suy ra S cũng là hữu hạn
sinh.
Bởi vì M / S   M / T  /  S / T   M  / K là Artin, từ định nghĩa ta có M là
minimax
ii) Ta chỉ cần chứng minh cho mơđun Ext , cịn mơđun Tor thì tương tự.
Vì R là vành Noether và N là hữu hạn sinh, nên suy ra N có một phép giải tự do.
dn

dn 1

d1

F :...  Fn  Fn1  ...  F1  F0  0 bao gồm các môđun hữu hạn sinh tự do. Nếu
Fi  n R với một số nguyên n khi đó ExtRi  N , M   H i  HomR  F , M   là thương
của n M . Vì vậy suy ra từ i) ta có ExtRi  N , M  là minimax, với mọi i  0 .

Định lí 2.2.3. Cho M , N là R -môđun hữu hạn sinh và H Ij  N  là minimax, với mọi

j  t . Khi đó H Ij  M , N  là minimax, với mọi j  t .
Chứng minh:
Ta xét dãy phổ Grothendieck:


18

E2p ,q : ExtRp  M , H Iq  N    H Ip  q  M , N 
p

Từ Eip ,q là thương của E2p ,q , i  2 , từ 2.2.2 ta kết luận Eip ,q là minimax

i  2, p  0, q  t .
Ta có một lọc hữu hạn:

0   j 1H j   j H j  ...   1H j   0 H j  H Ij  M , N 
sao cho Ei , j i   i H j /  i 1H j với mọi 0  i  j .
Từ Eip ,q  Ep ,q với i đủ lớn, ta có Ep ,q là minimax với mọi q  t . Từ đó sử dụng dãy
khớp 0   i 1H j   i H j  Ei , j i  0 ta có H Ij  M , N  là minimax, với mọi j  t ..
Hệ quả 2.2.4. Cho M , N là R -môđun hữu hạn sinh và H Ij  N  là Artin, với mọi j  t .
Khi đó là H Ij  M , N  minimax, với mọi j  t .
Chứng minh:
Áp dụng 2.2.3. vào lớp các môđun minimax bao gồm tất cả các mơđun Artin.
Định lí 2.2.5. Cho M , N là R -môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R . Cho t là
một số nguyên không âm sao cho H Ii  M , N  là R -môđun minimax, với mọi i  t .
Khi đó HomR  R / I , H It  M , N   là hữu hạn sinh. Đặc biệt AssR  H It  M , N   là hữu
hạn.
Chứng minh:

Ta chứng minh quy nạp theo t .
 t  0 (đúng vì H I0  M , N   HomR  M ,  I  N   là hữu hạn sinh và như vậy là

HomR  R / I , H I0  M , N   .
 Giả sử giả thiết quy nạp đúng với t  1 và kết quả được chứng minh i  t .
Dãy khớp 0   I  N   N  N /  I  N   0 cảm sinh một dãy khớp dài:




...  H Ii  M ,  I  N    H Ii  M , N   H Ii  M , N/  I  N    ...


19

H Ii  M ,  I  N   là hữu hạn sinh và vì vậy là Im   .
Bằng cách sử dụng tính khớp trái của hàm tử HomR  R / I ,   trên các dãy khớp sau:

0  Im    H Ii  M , N   Im     0 và 0  Im     H Ii  M , N/  I  N   .





Từ đây ta có thể chỉ ra rằng HomR R / I , H It  M , N /  I  N   là hữu hạn sinh. Từ đó,
ta có thể giả sử rằng N là R -môđun I -xoắn tự do và vì thế tồn tại x  I sao cho N chính quy.
x

Bây giờ, dãy khớp 0  N  N  N / xN  0 cảm sinh dãy khớp dài:


...  H Ii  M , N   H Ii  M , N   H Ii  M , N / xN   H Ii 1  M , N   H Ii 1  M , N   ...
x

x

Vì vậy ta kết luận dãy khớp

0  H Ii 1  M , N  / xH Ii 1  M , N   H Ii 1  M , N / xN   0 :H i  M , N  x  0 .
I

Từ i) của 2.2.2 và giả thiết H Ii 1  M , N / xN  là minimax với mọi i  t . Vì vậy bằng giả
thiết quy nạp HomR  R / I , H It 1  M , N / xN   là hữu hạn sinh.
Mặt khác, dãy khớp

0  H It 1  M , N  / xH It 1  M , N   H It 1  M , N / xN   0 :H t  M , N  x  0
I

cảm sinh dãy khớp dài:

0  HomR  R / I , H It 1  M , N  / xH It 1  M , N    HomR  R / I , H It 1  M , N / xN  





 HomR R / I ,0 :H t  M , N  x  Ext R1  R / I , H It 1  M , N  / xH It 1  M , N   .
I

HomR  R / I , H It 1  M , N  / xH It 1  M , N   là hữu hạn sinh, từ đó
HomR  R / I , H It 1  M , N / xN   là hữu hạn sinh.

Cũng như vậy, từ mệnh đề 1.6.2 ta có Ext1R  R / I , H It 1  M , N  / xH It 1  M , N   là hữu





hạn sinh. Vì thế HomR R / I ,0 :H t  M , N  x là hữu hạn sinh.
I

Bây giờ, với x  I ta có kết quả sau:


20

Hệ quả 2.2.6. Cho N là R -môđun hữu hạn sinh và t là số nguyên không âm sao cho

H Ii  N  là minimax, với mọi i  t . Khi đó H Ii  N  là I -cofinite, với mọi i  t . Nghĩa
là ExtRj  R / I , H Ii  N   là hữu hạn sinh, với mọi j và với mọi i  t .
Chứng minh:
Ta chứng minh quy nạp theo i .
 i  0 (đúng vì H I0  N  là hữu hạn sinh).
 Cho i  0 và kết quả được chứng minh với giá trị nhỏ hơn i . Bằng giả thiết quy nạp

H Ij  N  là I  cofinite với j  0,..., i  1. Từ định lí 2.2.5, HomR  R / I , H Ii  N   là hữu
hạn sinh và từ mệnh đề 1.6.2, ta thu được kết quả.
Hệ quả 2.2.7. Cho M và N là hai R -môđun hữu hạn sinh và cho t  0 là một số
nguyên sao cho H Ii  M , N  là minimax với mọi i  t . Khi đó H Ii  M , N  là I -cofinite
với mọi i  t . Hay




inf i H Ii  M , N  không là minimax

  inf i H  M , N 
i
I

không là I -cofinite

Định lí 2.2.8. Cho R là vành Noether, M , N là R -môđun hữu hạn sinh và I là iđêan
của R . Cho t là một số nguyên không âm sao cho H Ii  M , N  là minimax, với mọi
i  t và L là môđun con minimax của H Ii  M , N  . Khi đó HomR  R / I , H It  M , N  / L 

là hữu hạn sinh. Đặc biệt, tập Ass  H It  M , N  / L  là hữu hạn.
Chứng minh:
Từ định lí 2.2.5, HomR  R / I , H It  M , N   là hữu hạn sinh. Mặt khác, theo mệnh đề
1.6.2 L là I -cofinite. Bây giờ, dãy khớp 0  L  H It  M , N   H It  M , N  / L  0
cảm sinh dãy khớp sau:

HomR  R / I , H It  M , N    HomR  R / I , H It  M , N  / L   Ext R1  R / I , L 
Hệ quả là HomR  R / I , H It  M , N  / L  là hữu hạn sinh.