BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM T.P HỒ CHÍ MINH
-------------------

NGUYỄN THỊ THANH HÀ

HÀM TỬ EXT
TRONG PHẠM TRÙ ABEN

Chuyên ngành
Mã số

: Đại số và lý thuyết số
: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :
TS. TRẦN HUYÊN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2006


LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên , tôi xin gởi đến T.S Trần Huyên, Khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ
Chí Minh – người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này lòng
biết ơn chân thành và sâu sắc nhất.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí
Minh đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như tìm tòi các tài
liệu cho việc nghiên cứu.

Tôi xin gởi lời cảm ơn đến quý thầy cô, các bạn đồng nghiệp, cũng như ban lãnh đạo
trường Đại học Giao Thông –Vận Tải, đặc biệt là thầy Nguyễn Văn Tấn và T.S Phan Dân đã giúp
đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn này.
Vì kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự
chỉ bảo chân thành của các thầy, các cô và các baïn.


MỞ ĐẦU

Trong cuốn Homology, bằng việc tính toán cụ thể trên các phần tử, Saunders MacLane đã
xây dựng được hàm tử Ext trong phạm trù modun. Bây giờ nếu ta thay phạm trù modun bởi
phạm trù aben, là phạm trù mà trên phương diện nào đó có thể xem là sự mở rộng đến cấp độ
“phạm trù”ø của phạm trù aben thì liệu rằng ta có thể xây dựng được hàm tử Ext trong đó hay
không ? Với ý tưởng này, chúng tôi đã cố gắng phân tích , đánh giá con đường chứng minh của
MacLane dưới góc độ của phạm trù và tìm cách nâng các kết quả trong đó lên cho phạm trù
aben. Qua đó, chúng tôi đã xây dựng được hàm tử Ext trong phạm trù aben và đó cũng là mục
đích chính của cuốn luận văn này.
Bố cục luận văn được chia thành 3 chương
 Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số khái niệm cơ bản về lý thuyết phạm trù
liên quan đến đề tài và lấy phạm trù modun làm minh họa cho các khái niệm đã nêu. Đồng thời
chúng tôi cũng trình bày một cách khái quát con đường xây dựng hàm tử Ext trong phạm trù
modun qua đó lấy làm cơ sở cho việc xây dựng hàm tử Ext trong phạm trù aben.
 Chương 2 : Phạm trù aben.
Mục đích của chương này là nghiên cứu phạm trù aben và một số tính chất của nó cần
dùng cho việc xây dựng hàm tử Ext. Trong chương này chúng tôi xây dựng lại khái niệm về
phạm trù aben từ từ thông qua các kiểu phạm trù: phạm trù cộng tính  phạm trù tiền
aben  phạm trù aben, qua đó thấy rõ phạm trù aben là sự mở rộng theo cấp độ “phạm trù” của
phạm trù modun.




Chương 3 : Xây dựng hàm tử Ext trong phạm trù aben.
Dựa vào cách xây dựng hàm tử Ext trong phạm trù modun chúng tôi đã thiết lập con

đường hoàn toàn tương tự để xây dựng hàm tử Ext trong phạm trù aben. Đó là : phân lớp các
dãy khớp ngắn, xây dựng tích dãy khớp ngắn và các cấu xạ, cấu trúc nhóm aben cho Ext(C,A)
và cuối cùng là xây dựng hàm tử Ext.


CHƯƠNG 1:

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.
§1.KHÁI NIỆM VỀ PHẠM TRÙ.

Phần này ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản về phạm trù và những tính chất có liên quan đến
đề tài.
1.1.1. Khái niệm phạm trù :
Một phạm trù

P được cấu thành bởi một lớp các đối tượng nào đó mà ta gọi hình thức là

các vật, sao cho mỗi cặp sắp thứ tự các vật ( A, B) xác định được duy nhất một tập hợp ứng với

MorP ( A, B ) các cấu xạ có nguồn là A và đích là B , đồng thời với bộ ba có thứ tự bất kỳ các
vật ( A, B, C ) , một luật hợp thành được xác định cho các cấu xạ của MorP ( A, B ) và MorP ( B, C ) ,
cụ thể là với

bất kỳ cặp cấu xạ ( ,  )  MorP ( A, B )  MorP ( B, C ) xác định được tích


   MorP ( A, C ) . Ngoài ra các điều kiện sau cần được thoả mãn:
 PT1: Nếu hai cặp vật ( A, B) và ( A' , B ' ) là khác nhau thì hai tập hợp cấu xạ MorP ( A, B ) và

MorP ( A' , B ' ) là rời nhau.
 PT2: Đối với mỗi bộ ba cấu xạ ( ,  ,  )  MorP ( A, B )  MorP ( B, C )  MorP (C , D) luật
hợp thành có tính chất kết hợp, tức là  (  )  ( ) .
 PT3: Tồn tại các cấu xạ đồng nhất 1A cho mỗi vật A , là cấu xạ mà với   MorP ( A, B ) ,

  MorP (C , A) ta luôn có 1A   và 1A    .
Ví dụ chúng ta có:
-

Phạm trù Ens các tập hợp mà vật là các tâïp hợp, cấu xạ là ánh xạ và luật hợp thành các
cấu xạ là luật hợp thành các ánh xạ.

-

Phạm trù Gr các nhóm mà vật là các nhóm, các cấu xạ là các đồøng cấu

nhóm và phép hợp thành là phép lấy tích các đồng cấu.
-

Phạm trù

Ab các nhóm giao hoán mà vật là các nhóm giao hoán, các cấu xạ là các

đồng nhóm.


1.1.2. Nguyên tắc đối ngẫu :

Phạm trù đối (hay đối ngẫu) của một phạm trù A là một phạm trù A*,có cùng các vật như

A và sao cho MorA*(A, B) = MorA(B, A) với mọi cặp vật ( A, B) và hợp thành trong A* được
xác định bởi g * f *  ( fg ) * ( f * là cấu xạ f khi xét trong A*). Ta có thể kiểm tra lại dễ dàng
các tiên đề PT1, PT2, PT3 của phạm trù.
Rõ ràng (A*)*= A nên với mỗi khái niệm định nghóa cho một phạm trù đều có khái
niệm đối ngẫu, tức chính khái niệm đó nhưng xét trong phạm trù đối ngẫu với nó. Cũng như
thế, bất kỳ mêïnh đề p nào được chứng minh trong phạm trù A chỉ dựa vào các tiên đề phạm
trù thì đều có mệnh đề đối ngẫu p* đúng trong phạm trù A*. Trong thực tế, để chuyển từ một
khái niệm hay một mệnh đề qua các đối ngẫu của nó là đảo ngược tất cả các mũi tên liên quan
tới trong khái niệm hay mệnh đề đó.
1.1.3. Đẳng xạ :
Cấu xạ  : A  B được gọi là một đẳng xạ nếu tồn tại cấu xạ  : B  A sao cho   1 A
vaø   1B .
Dễ thấy rằng cấu xạ  trong định nghóa trên là duy nhất và là một đẳng xạ. Ta gọi nó là
cấu xạ ngược của cấu xạ của  và viết là    1 .
Hai vật A, B của một phạm trù

P được gọi là hai vật tương đương nếu có một đẳng xạ


 : A  B . Khi đó ta kí hiệu  : A  B hay A  B .
1.1.4. Đơn xạ :
Cấu xạ f : A  B được gọi là đơn xạ nếu với mọi cặp cấu xạ  ,  có đích là A , đẳng
thức f  f kéo theo    .
Mệnh đề 1.1.4.
i) Nếu f , g đều là đơn xạ thì gf (nếu được xác định) cũng là đơn xạ .
ii) Nếu gf đơn xạ thì f đơn xạ.
Chứng minh :



i)

Giả sử f , g đều là đơn xạ.
Gọi  ,  là cặp cấu xạ thoả ( gf )  ( gf )  . Do tính chất đơn xạ của f và g ta tức khắc

suy ra được    . Vậy gf là đơn xạ.
ii) Giả sử gf là đơn xạ .
Gọi  ,  là cặp cấu xạ thoả f  f . Khi đó ta coù ( gf )  ( gf )  , mà gf là đơn xạ nên

   . Vậy f là đơn xạ. ª
Ta có đối ngẫu với khái niệm đơn xạ là khái niệm toàn xạ :
1.1.4*. Toàn xạ :
Một cấu xạ f : A  B được gọi là toàn xạ nếu với mọi cặp  ,  có nguồn là B , đẳng
thức f   f kéo theo    .
Mệnh đề 1.1.4*.
i)

Nếu f , g đều là toàn xạ thì gf (nếu được xác định) cũng là toàn xạ.

ii)

Nếu gf toàn xạ thì g toàn xạ.

Chứng mịnh :
Bằng phép lấy đối ngẫu của việc chứng minh mệnh đề 1.1.4, ta có thể dễ dàng
kiểm tra tính đúng đắn của mệnh đề 1.1.4*. ª
1.1.5. Song xạ :
Một cấu xạï được gọi là song xạ nếu nó vừa là đơn xạ vừa là toàn xạ.
Mệnh đề 1.1.5.

Một đẳng xạ là một song xạ.
Chứng minh :
Giả sử f : A  B là đẳng xạ. Khi đó tồn tại cấu xạ f 1 : B  A thoả ff

1

 1B , f

1

f  1A .

Gọi  1 , 1 là cặp cấu xạ thoả f 1  f 1 . Suy ra f 1 ( f 1 )  f 1 ( f1 ) hay  1  1 . Điều này
chứng tỏ f là đơn xạ.


Gọi  2 ,  2 là cặp cấu xạ thoaû  2 f   2 f . Suy ra ( 2 f ) f 1  (  2 f ) f

1

hay  2   2 . Điều

này chứng tỏ tính chất toàn xạ của f .
Vậy f là song xạ. ª
1.1.6. Vật con :
Vật A' được gọi là vật con của A nếu tồn tại cấu xạ f : A'  A là đơn xạ. Khi đó f được
gọi là cấu xạ nhúng A' vào A .
Nói chung có thể có nhiều đơn xạ từ A' đến A nên khi nói A' là vật con của A ta cần chỉ
rõ theo cấu xạ nhúng nào. Và vì vậy để kí hiệu vật con A' của A theo cấu xạ nhúng f : A'  A
ta sử dụng cặp ( A' , f ) .

Ta kí hiệu P(A) là lớp tất cả các vật con của A trong phạm trù P . Trong
mỗi lớp P(A) có thể đưa vào quan hệ thứ tự tự nhiên như sau:
Vật con ( A'1 , i1 ) được xem là đứng trước (hay nhỏ hơn) vật con ( A' 2 , i2 )
của A nếu tồn tại cấu xạ  : A'1  A' 2 sao cho i1  i2  .
i


2
( i1 : A'1 

A' 2 
A)

Khi đó, ta viết A'1  A' 2 hoaëc i1  i 2 . Đôi khi ta cũng viết A'1  A' 2 hay A' 2  A'1 . Ta cũng
chú ý rằng, do i1 , i2 là đơn xạ nên cấu xạ  là duy nhất và cũng là đơn xạ.
1.1.6*. Vật thương :
Vật A" được gọi là vật thương của A nếu tồn tại cấu xạ g : A  A" là toàn xạ . Khi đó

g được gọi là cấu xạ chiếu A lên A" .
Cũng xảy ra tình hình tương tự như đối với vật con, một vật A" có thể đồng thời được coi
là các vật thương khác nhau tuỳ theo cách chọn các cấu xạ chiếu khác nhau. Vì vậy để chính
xác vật thương A" của A theo cấu xạ chiếu g thì ta cũng dùng cặp ( A", g ) để kí hiệu vật
thương A" theo cấu xạ chiếu g : A  A" .
Ta kí hiệu Q(A) là lớp tất cả các vật thương của A . Tương tự như trong P(A), ta đưa vào
trong lớp Q(A) quan hệ thứ tự như sau:


Vật thương ( A"1 , j1 ) được xem là đi trước (hay nhỏ hơn) vật thương ( A"2 , j 2 ) nếu tồn tại
cấu xạ  : A"2  A"1 maø j1  j 2 .
j



2
( j1 : A 
A"2 

A"1 )

1.1.7. Vật phổ dụng :
- Vật A được gọi là vật đầu của phạm trù P nếu tập Mor ( A, X ) có đúng một phần tử với
bất kỳ vật X thuộc P.
- Vật B được gọi là vật cuối của phạm trù P nếu tập Mor ( X , B) có đúng
một phần tử với bất kỳ vật X thuộc P.
- Các vật đầu, vật cuối gọi chung là vật phổ dụng của phạm trù P.

Mệnh đề 1.1.7.
Các vật đầu (vật cuối ) của phạm trù P, nếu có, là tương đương nhau.
Chứng minh :
Gọi A, A' là hai vật đầu của phạm trù P. Theo định nghóa vật đầu, ta có :
Mor ( A, A)  1 A , Mor ( A' , A' )  1 A' , Mor ( A, A' )   : A  A', Mor ( A' , A)   : A'  A

Khi đó   1A ,  1A' . Điều đó chứng tỏ A và A' là hai vật đương đương.
Tính tương đương của các vật cuối trong phạm trù

P cũng được chứng minh hoàn toàn

tương tự. ª
1.1.8. Vật không, cấu xạ không :
- Một vật được gọi là vật không của phạm trù P nếu nó vừa là vật đầu, vừa là vật cuối
trong phạm trù P và được kí hiệu là O.

- Một cấu xạ có thể phân tích qua vật không gọi là cấu xạ không.
Trong phạm trù có vật không, với mỗi cặp vật ( A, B) có một cấu xạ duy nhất A  O và
một cấu xạ duy nhất O  B , hợp thành của chúng là cấu xạ không duy


nhất từ A đến B , kí hiệu là 0AB ( hay 0 nếu không sợ nhầm lẫn).
Từ định nghóa vật không và cấu xạ không, ta dễ dàng kiểm tra được các kết quả sau :
Mệnh đề 1.1.8.1.
Trong phạm trù có vật không, cấu xạ O  A bao giờ cũng là đơn xạ và cấu xạ A  O bao
giờ cũng là toàn xạ.
Mệnh đề 1.1.8.2.
Nếu một trong hai cấu xạ là cấu xạ không thì hợp thành của chúng, nếu có, cũng là cấu xạ
không.
Các khái niệm dẫn xuất đầu tiên của khái niệm vật không trong một phạm trù là khái niệm
hạt nhân và đối hạt nhân của một cấu xạ. Để xây dựng khái niệm hạt nhân của cấu xạ
f
A

B trong phạm trù có vật không C, trước hết ta xây dựng phạm trù Cf như sau:

-

u
A trong C thoã mãn điều kiện fu  0 .
Vật là cấu xạ H 

-


u

v
Cấu xạ từ vật H 
A tới H ' 

A là cấu xạ H 
H ' trong C sao cho v  u .

Vaät cuối trong phạm trù

f
Cf , nếu có, được gọi là hạt nhân của cấu xạ A 
B . Cụ thể

f
ta có định nghóa hạt nhân của cấu xạ A 
B như sau:

1.1.9 . Hạt nhân.
f
Hạt nhân của cấu xạ A 
B là cặp ( K , i ) , trong ñoù i : K  A sao cho:

i)

fi  0 .


u
ii) Với mỗi cấu xạ H 
A mà fu  0 thì tồn tại duy nhất cấu xạ H 

K sao cho

u  i .
Hạt nhân của cấu xạ f được kí hiệu là Kerf .
Từ định nghóa về hạt nhân và tính duy nhất của vật phổ dụng trong một phạm trù, tức khắc
suy ra rằng, các hạt nhân của cùng cấu xạ f , nếu có, là tương đương nhau. Hơn nữa ta có:


Mệnh đề 1.1.9.1.
f
i

A là hạt nhân của cấu xạ A 
B thì i đơn xạ.
Nếu K 

Chứng minh :
Cho u, v : K '  K với iu  iv . Ta cần chứng minh u  v .
Đặt g  iu  iv . Khi đó ta có fg  0 nên do tính phổ dụng của Kerf  ( K , i ) , tồn tại duy nhất

K thoả g  i . Do tính duy nhất của  nên u  v   .
cấu xạ K ' 

Vậy i đơn xạ. ª
Mệnh đề 1.1.9.2.
Nếu f đơn xạ thì Ker f  0 .
Chứng minh:
f
Giả sử A 
B là đơn xạ. Ta có : O  A  B  0 .


Giả sử

K  A  B  0 . Theo định nghóa vật O, tồn tại cấu xạ duy nhất K  O thoả

K  O  A  0 . Khi đó K  A  B  K  O  A  B  0 . Ta lại có

f
A 
B đơn xạ

nên K  A  K  O  A .
Vaäy Kerf  0 .ª
Mệnh đề 1.1.9.3.
Nếu g đơn xạ thì Ker f  Ker gf .
Chứng minh :
 Giả sử u : K  A là hạt nhân của cấu xạ f .Ta cần chứng minh u : K  A là hạt nhân của

gf .
Ta có : gfu  g 0  0 .
Giả sử u': K '  A

là cấu xạ thoả gfu '  0 . Khi đó fu ' 0 (do g đơn xạ). Ngoài ra, do

u : K  A là hạt nhân của f nên tồn tại duy nhất cấu xạ : K '  K thoả u'  u .

Điều này chứng tỏ u : K  A là hạt nhân của gf .


 Ngược lại cho u : K  A là hạt nhân của gf . Ta cần chứng minh u : K  A là hạt nhân của

f.

Ta có gfu  0 neân suy ra fu  0 (do g đơn xạ).
Với u': K '  A thoả fu ' 0 , ta có gfu ' 0 . Hơn nữa do u : K  A là hạt nhân của gf nên
tồn tại duy nhất cấu xạ  : K '  K thoả u '  u . Vậy u  Ker f .ª
Mệnh đề 1.1.9.4.
f
A 
B

Nếu biểu đồ

  (1)  

là giao hoán và các cấu f , f ' có hạt nhân thì tồn tại duy

f'
A' 
B'

nhất cấu xạ  : Ker f  Ker f ' để cho biểu đồ sau giao hoán :
f
Ker f  A 
B








(2)

f'
Ker f '  A' 
B'

Chứng minh :
Ta coù Ker f  A  A'  B '  Ker f  A  B  B '  0 (do tính giao hoán
của hình vuông (1) ) nên theo tính phổ dụng của hạt nhân của cấu xạ f ' , tồn tại duy nhất cấu
xạ  : Ker f  Ker f ' làm cho biểu đồ (2) giao hoán.ª
Bây giờ ta chuyển sang khái niệm đối ngẫu của khái niệm hạt nhân, đó là khái niệm đối
hạt nhân.
1.1.9*. Đối hạt nhân :
f
j
Đối hạt nhân của một cấu xạ A 
B là một cấu xạ B 

L sao cho :

i) jf  0
v

ii) Với mỗi cấu xạ B 

M nghiệm đúng vf  0 thì tồn tại duy nhất cấu xạ L 
M

thoả v   j .

Đối hạt nhân của cấu xạ f được kí hiệu là Co ker f .
Các đối hạt nhân của một cấu xạ, nếu có, xê xích nhau một đẳng xaï.


Lấy đối ngẫu của mệnh đề 1.1.9.1, 1.1.9.2 và 1.1.9.3 ta có các mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.1.9.1*.
j
f
L là đối hạt nhân của A 
B thì j toàn xạ .
Nếu B 

Mệnh đề 1.1.9.2*
Nếu f toàn xạ thì Co ker f  0 .
Mệnh đề 1.1.9.3*.
Nếu g toàn xạ thì Co ker f  Co ker fg .
1.1.10. Đẳng hoá :
Trong một phạm trù bất kỳ, cho hai cấu xạ f , g : A  B .
Ta noùi u : E  A là một đẳng hoá hay hạt nhân của cặp ( f , g ) nếu :
i) fu  gu .
ii) Với mỗi cấu xạ u ' : E '  A nghiệm đúng fu '  gu ' thì tồn tại duy nhất cấu xạ  : E '  E
sao cho u '  u .
Khi đó ta kí hiệu u  Equ ( f , g ) hoaëc u  Ker ( f , g ) .
Mệnh đề 1.1.10.
Nếu u là đẳng hoá của ( f , g ) thì u là đơn xạ .
Chứng minh :
Giả sử uv  uv '  h . Ta coù fuv  guv . Suy ra fh  gh .
Do u là đẳng hoá của cặp ( f , g ) nên tồn tại duy nhất cấu xạ  thoả h  u .Vì vậy, do
tính duy nhất của  nên   v  v ' .
Điều này chứng tỏ u đơn xạ. ª

1.1.10 *. Đối đẳng hoá :
Trong một phạm trù bất kỳ, cho hai cấu xạ f , g : A  B .


Ta nói v : B  F là một đối đẳng hoá hay đối hạt nhân của cặp ( f , g ) nếu :
i) vf  vg .
ii) Với mỗi cấu xạ v ' : B  F ' nghiệm đúng v' f  v' g thì tồn tại duy nhất cấu xạ

 : F  F ' sao cho v'  v .
Khi đó ta kí hiệu v  Coequ( f , g ) hoaëc v  Co ker ( f , g ) .
Mệnh đề 1.1.10*.
Nếu v là đối đẳng hoá của cặp ( f , g ) thì v là toàn xạ.
1.1.11. nh :
nh của của cấu xạ f : A  B là vật con nhỏ nhất của B mà qua đó f có thể phân tích
được.
Nói cách khác, ảnh của f là một đơn xaï u : I  B sao cho :
i) f  uv với một v : A  I nào đó .

v
u
( f : A

I

B)

ii) Với mỗi đơn xạ u ': I '  B nghiệm đúng f  u 'v' (với v': A  I ' ) thì tồn tại duy nhất
cấu xạ  : I  I ' sao cho u  u '  .
Aûnh cuûa f : A  B được kí hiệu là Im f .
Từ định nghóa về ảnh của một cấu xạ hiển nhiên ta có tính chất sau :

Mệnh đề 1.1.11.
Nếu f : A  B là đơn xạ thì Im f  f .
1.1.11*. Đối ảnh :
Đối ảnh của f : A  B là vật thương nhỏ nhất của A mà qua đó f có thể phân tích được.
Tức đối ảnh của f là một toàn xạ v : A  J sao cho :
i) f  uv với một u : J  B nào đó .

v
u
( f : A

J

B)

ii) Với mỗi toàn xạ v ': A  J ' nghiệm đúng f  u 'v' (với u': J '  B ) thì tồn tại duy nhất
cấu xạ  : J '  J sao cho v  v ' .


Đối ảnh của f : A  B được kí hiệu là Coim f .
Mệnh đề 1.1.11*.
Nếu f : A  B là toàn xạ thì Coim f  f .
1.1.12. Níu :
Cho f1 : A1  B, f 2 : A2  B là hai cấu xạ cùng đích B .
p

2
P 
A2


Biêåu đồ



p1

(1)



f2

được gọi là níu nếu :

f

1
A1 
B

i)

f1 p1  f 2 p 2 .

ii) Với mỗi cặp cấu xạ p'1 : P '  A1 , p' 2 : P'  A2 nghiệm đúng

 p'  p1
f1 p'1  f 2 p' 2 thì tồn tại duy nhất cấu xạ  : P'  P thoả  1
.
 p' 2  p2

Mệnh đề 1.1.12.1.
Trong níu (1), nếu f1 là đơn xạ thì p 2 cũng là đơn xạ.
Chứng minh :
Giả sử p 2u  p 2 v .
Ta coù

f1 p1u  f 2 p2 u  f 2 p2 v  f1 p1v , suy ra p1u  p1v (do

f1 đơn xạ). Ngoài

ra, do

 p1u  p1
.
f 2 p 2 u  f 1 p1u neân theo điều kiện (ii) của một níu, tồn tại duy nhất cấu xạ  thỏa 
 p2 u  p2
Do tính duy nhất của  nên u  v   . Vậy p 2 là đơn xạ .ª Mệnh đề 1.1.12.2.
p2
P 
A2

Cho biểu đồ



f2

với f1  Ker g .

f1

g
A1 
B

Q

Hình vuông trên có thể bổ sung thành níu khi và chỉ khi p 2  Ker gf 2 .
Chứng minh :




Điều kiện cần : Giả sử ta có thể bổ sung hình vuông thành níu như sau :
p

2
P 
A2





p1

.

f2

f1

g
A1 
B

Q

Ta cần chứng minh p 2  Ker gf 2 .
v
Ta coù ( gf 2 ) p 2  ( gf1 ) p1  0 p1  0 . Goïi K 

A2 là cấu xạ nghiệm đúng ( gf 2 )v  0 . Suy

ra g ( f 2 v)  0 .Do f1  Ker g nên tồn tại duy nhất cấu xạ h : K  A1 thoả f 2 v  f1 h .
Theo tính chất níu của hình vuông, suy ra tồn tại duy nhất cấu xạ u : K  P thoaû :

h  p1u

v  p 2 u (1)
Đẳng thức (1) chứng tỏ p 2  Ker gf 2 .
Điều kiện đủ : Giả sử p 2  Ker gf 2 .
Ta coù gf 2 p 2  0 nên theo tính phổ dụng của

f1  Ker g , tồn tại duy nhất cấu xạ
p

2
P 
A2

p1 : P  A1 thoaû f 2 p 2  f 1 p1 . Do đó hình vuông






p1

f2

là giao hoán.

f

1
A1 
B

u

2
K 
A2

Giả sử ta có hình vuông  u1



f2

là giao hoán .


f

1
A1 
B

Khi đó gf 2 u 2  gf1u1  0 maø p 2  Ker gf 2 nên tồn tại duy nhất cấu xạ  : K  P thoả

u 2  p2 . Khi đó f1u1  f 2 u 2  f 2 p2  f1 p1 mà f1 là đơn xạ nên u1  p1 .
p

2
P 
A2

Vậy hình vuông 



p1
f

1
A1 
B

Hệ quả 1.1.12.3.

f2


là níu . ª


f
Ker f 
B
 A 

Trong biểu đồ giao hoán


  , nếu B 
B ' là đơn xạ thì hình



f'
Ker f ' 
 A' 
B

vuông bên trái là níu.
Chứng minh :
Vì 

là đơn xạ nên Ker f  Ker  f  Ker f ' . Theo mệnh đề 1.1.12.2 suy ra điều phải

chứng minh. ª
Theo cách đối ngẫu với khái niệm níu, ta có khái niệm buông như sau:

1.1.2*. Buoâng :
Cho g 1 : B  A1 , g 2 : B  A2 là hai cấu xạ cùng nguồn B.
g

1
B 
A1

Biểu đồ

 g 2 (2)  q1

được gọi là buông nếu :

q2

A2  Q
i) q1 g 1  q 2 g 2 .
ii) Với mỗi cặp cấu xạ q'1 : A1  Q' , q' 2 : A2  Q' nghiệm đúng q'1 g1  q' 2 g 2 thì tồn tại

q'  q1
.
cấu xạ duy nhất  : Q  Q' thoả  1
q
'

q

2
 2

Mệnh đề 1.1.12*.1.
Trong biểu đồ buông (2), nếu g 1 là toàn xạ thì q 2 cũng là toàn xạ.
Ta chuyển sang khái niệm tổng trực tiếp và tích trực tiếp của hai vật :
1.1.13. Tổng trực tiếp :
Ta nói tổng trực tiếp của hai vật A1 và A2 là vật A nếu tồn tại hai cấu xạ

i1 : A1  A, i2 : A2  A sao cho với mọi cặp

i1

i2
A

A1

cấu xạ f1 : A1  X , f 2 : A2  X thì có duy
 f 1  i1
nhất cấu xạ  : A  X thoả 
.
 f 2  i2

A2



f1

f2
X



Khi đó ta kí hiệu A  A1  A2 và (i1 , i2 ) được gọi là cặp cấu xạ nhúng xác định tổng trực
tiếp A1  A2 .
Định nghóa trên có thể mở rộng cho họ vật A j , j  J  : tổng trực tiếp của họ A j , j  J 
là một vật A nếu tồn tại họ cấu xạ i j : A j  A, j  J  sao cho với mỗi vật X và họ các cấu xạ

f

j

: A j  X / j  J , đều có duy nhất cấu xạ  : A  X thoả f j  i j .

1.1.13*. Tích trực tiếp :
Ta nói tích trực tiếp của hai vật A1 và A2 là vật A

X

f2

f1

nếu tồn tại hai cấu xạ p1 : A  A1 , p 2 : A  A2


sao cho với mọi cặp cấu xạ f1 : X  A1 vaø

A2

A1


A

 f 1  pp12 1
f 2 : X  A2 thì có duy nhất cấu xạ  : X  A thoaû 
 f 2  p 2

p1

.

Khi đó ta kí hiệu A  A1  A2 và ( p1 , p2 ) được gọi là cặp cấu xạ chiếu xác định tích trực
tiếp A1  A2 .
Tương tự, ta cũng có thể mở rộng định nghóa này cho họ vật A j , j  J : tích trực tiếp
của họ A j , j  I  là một vật A nếu tồn tại họ cấu xạ p j : A  A j , j  J  sao cho với mỗi vật
X và họ các cấu xạ



j

: X  A j / j  J , đều có duy nhất cấu xạ

:X A

thoả f j  p j , j  J .
Từ tính chất phổ dụng của cặp cấu xạ nhúng (i1 , i2 ) và cặp cấu xạ chiếu ( p1 , p 2 ) mà ta có
định nghóa về cấu xạ chéo và cấu xạ tổng trong một phạm trù có tổng trực tiếp và tích trực tiếp
như sau :
1.1.14. Cấu xạ tổng :
Cấu xạ  : A  A  A được gọi là cấu xạ tổng

nếu  được sinh nhờ tính phổ dụng của cặp
cấu xạ nhúng (i1 , i2 ) đối với cặp cấu xạ (1 A ,1 A ) .

i1

i2

A A

A

A



1A

Tức  là cấu xạ được xác định duy nhất làm biểu đồ trên giao hoá
An.

1A


1.1.14*. Cấu xạ chéo :
Cấu xạ  : A  A  A được gọi là cấu xạ chéo

A

nếu  được sinh ra nhờ tính phổ dụng của cặp cấu xạ


1A

1A

chiếu ( p1 , p 2 ) đối với cặp cấu xạ (1A ,1A ) .Tức  là
cấu xạ được xác định duy nhất làm cho biểu đồ


A

A

A A
p2

bên giao hoán .

p1

Nhận xét :
Trong phạm trù có tổng trực tiếp, cho hai cấu xạ :  1 : A1  B1 ,  2 : A2  B2 .

Goïi

(i1 , i2 ) và ( j1 , j2 ) lần lượt là các cặp cấu xạ nhúng xác định tổng trực tiếp A1  A2 và B1  B2 .

Khi đó theo tính phổ dụng của cặp cấu xạ nhúng (i1 , i2 ) , tồn tại duy nhất cấu xạ

 : A1  A2  B1  B2 laøm cho biểu đồ sau giao hoán :
i1


A1

i2

A1  A2

A2


j 2 2

j1 1
B1  B2

Cấu xạ  ở trên được gọi là tổng trực tiếp của hai cấu xạ  1 , 2 . Cụ thể hơn ta định nghóa :
1.1.15. Tổng trực tiếp hai cấu xạ :
Trong phạm trù có tổng trực tiếp, cho hai cấu xạ:

 1 : A1  B1 ,  2 : A2  B2 .
Ta noùi tổng trực tiếp của hai cấu xạ  1 và  2 là một cấu xạ, kí hiệu  1   2 , được xác
định duy nhất làm cho biểu đồ sau giao hoán
i

i

1
2
A1 
A1  A2 

A2

 1

 1   2   2
j

j

1
2
B1 
B1  B2 
B2

 j   ( 1   2 )i1
, tức là :  1 1
 j 2 2  ( 1   2 )i 2

Mệnh đề 1.1.15.
Trong phạm trù có tổng trực tiếp, cho các cấu xạ  1 : A1  B1 ,  2 : A2  B2 ,


 1 : B1  C1 ,  2 : B2  C 2 .Khi đó: ( 1   2 )( 1   2 )   1  1   2  2 .
Chứng minh :
Gọi (i1 , i2 ) , ( j1 , j 2 ) , (q1 , q 2 ) lần lượt là các cặp cấu xạ nhúng xác định tổng trực tiếp
A1  A2 , B1  B2 vaø C1  C 2 . Ta có biểu đồ sau giao hoán :
i

i


1
2
A1 
A1  A2 
A2

 1

 1   2
j

 2
j

1
2
B1 
B1  B2 
B2



 1   2

1

 2

q


q

1
2
C1 
C1  C 2 
C2

Khi đó :

(  1   2 )( 1   2 )i1  ( 1   2 )( j1 1 )  q1 (  1 1 )

(  1   2 )( 1   2 )i 2  ( 1   2 )( j 2 2 )  q 2 (  2 2 )
Điều đó chứng tỏ (  1   2 )( 1   2 ) là tổng trực tiếp hai cấu xạ 1 1 và  2 2 hay
( 1   2 )(  1   2 )   1  1   2  2 . ª

1.1.16. Dãy khớp :
Trong phạm trù có hạt nhân và có ảnh, một dãy cấu xạ liên tiếp
f

f

f

i 1
i
i 1
… Ai 1 


 Ai 
Ai 1 
 Ai  2  ...

được gọi là dãy khớp nếu hạt nhân mỗi cấu xạ là ảnh của cấu xạ đứng trước:
Kerf i1  Im f i , i

.

1.1.17. Khái niệm hàm tử
Cho hai phạm trù P và P’ . Một hàm tử hiệp biến F từ P đến

P’là một quy tắc cho tương

ứng với mỗi vật A của phạm trù P một vật F ( A) của P’, và với mỗi cấu xạ  : A  B trong

P một cấu xạ T ( ) : T ( A)  T (B) trong P’sao cho:


HT1:

F (1A )  1F ( A ) với mỗi vật A thuoäc P .




HT2:

F (  )  F ( )F ( )


với mỗi cặp cấu xạ ( ,  )  MorP ( A, B )  MorP (B, C ) thuoäc P .
Khái niệm hàm tử phản biến cũng được định nghóa tương tự, chỉ khác là với mỗi cấu xạ

 : A  B trong P thì tương ứng một cấu xạ T ( ) : T (B)  T ( A) trong P’ và điều kiện HT2
được thay bởi : F (  )  F ( )F ( ) , với mỗi cặp cấu xạ ( ,  )  MorP ( A, B )  MorP ( B, C ) thuộc

P.
Sau đây ta lấy phạm trù modun làm minh hoạ cho các khái niệm được nêu ở treân.


§2. MODUN VÀ ĐỒNG CẤU .
Định nghóa 1.2.1
Cho R là vành có đơn vị (kí hiệu là 1). Nhóm cộng giao hoán X sẽ được gọi là R-modun
trái nếu đã xác định được một tác động trái từ vành R vào X (tức có ánh xạ  : R  X  X mà
kết quả  (r , x) ta kí hiệu đơn giản như một tích rx ), thêm vào đó các điều kiện sau cần được
thoả mãn :
 M1:

1.x  x

, x  X

 M2: ( rs ) x  r ( sx) , r , s  R, x  X .
 M3: ( r  s) x  rx  sx , r , s  R, x  X .
 M4:

r ( x  y )  rx  ry , r  R, x, y  X .

Định nghóa 1.2.2.
Cho X , Y là các R-modun. nh xạ f : X  Y được gọi là R-đồng cấu nếu các đòi hỏi sau

được thoả maõn :


f ( x1  x2 )  f ( x1 )  f ( x2 ) , x1 , x2  X .



f (rx )  rf ( x )

, r  R, x  X .

Tập hợp tất cả các R-modun trái và các R-đồng cấu hình thành nên một phạm trù - phạm
trù các R-modun trái (lớp các vật là các R-modun trái, các cấu xạ là các R-đồng cấu, luật hợp
thành là phép lấy tích hai đồng cấu ). Phạm trù các R-modun trái ta sẽ kí hiệu bởi

R

Mod hay

đơn giản Mod khi không cần phân định với các phạm trù modun khác.
Về việc phân loại các đồng cấu modun, ta có các khái niệm : đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu.
Đó là các đồng cấu đồng thời là đơn ánh ( nếu đơn cấu), toàn ánh (nếu toàn cấu), song ánh
(nếu đẳng cấu). Ta cũng dễ dàng kiểm tra rằng, các đơn xạ, toàn xạ, đẳng xạ trong phạm trù
Mod chính là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu.Và như vậy, trong phạm trù Mod , hai khái niệm
song xạ và đẳng xạ thực chất là nhö nhau.


Với việc định nghóa ở trên, phạm trù Mod là phạm trù có nhiều đặc điểm đặc biệt mà việc
kiểm tra lại không mấy khó khăn. Đó là :


 Phạm trù Mod là phạm trù có vật không. Đó chính là modun chỉ gồm một phần tử duy
nhất (phần tử trung lập).

 Phạm trù Mod là phạm trù có hạt nhân và đối hạt nhân.
Hạt nhân và đối hạt nhân của đồng cấu
Ker f  f 1 (0) , Co ker f  B

f ( A)

f : A  B được xác định bởi công thức :

.

 Phạm trù Mod là phạm trù xác định được ảnh và đối ảnh .
nh và đối ảnh của
Coim f  A

f 1 (0)

f :A B

được xác định bởi công thức : Im f  f ( A) ,

.

 Phạm trù Mod là phạm trù có tổng trực tiếp .
Cho X , Y là các R-modun. Trên tập Đề các X  Y  ( x, y ) / x  X , y  Y  ta định nghóa
hai phép toán sau :

( x1 , y1 )  ( x 2 , y 2 )  ( x1  x2 , y1  y 2 ) , x1 , x2  X , y1 , y 2  Y


 ( x, y )  (x, y )

,   R, x  X , y  Y

Khi đó X  Y cùng với hai phép toán trên lập thành R-modun trái và được gọi là tổng trực
tiếp của hai modun X và Y .
 Cặp phép nhúng (i1 , i2 ) xác định tổng trực tiếp X  Y được cho bởi công thức:
i1 : X  X  Y
x  ( x,0)

,

i2 : Y  X  Y
y  (0, y )

 Phạm trù Mod là phạm trù là phạm trù có tích trực tiếp .
Thực chất tích trực tiếp của hai modun cũng chính là tổng trực tiếp của hai modun đó.
Cặp phép chiếu xác định tích trực tiếp (tổng trực tiếp) của hai modun được cho như sau :
p1 : X  Y  X  Y  X
( x, y )  x

,

p2 : X  Y  X  Y  Y
( x, y )  y


 Đồng cấu tổng, đồng cấu chéo trong phạm trù Mod đựơc cho bởi công thức :


A : A A  A

,

( a, b)  a  b

C : C  C  C
c  ( c, c )

 Toång trực tiếp hai đồng cấu trong phạm trù Mod được xác định bởi công thức:

 1   2 : A1  A2  B1  B2
(a1 , a2 )   1 (a1 ), 2 ( a2 ) 
Ngoaøi ra ta cũng có thêm một số kết quả sau đây :
Mệnh đề 1.2.3
Cho hai đồng cấu  : A  A' vaø  : C  C ' .Khi ñoù :
i)  A   A' (   )
ii)  C '      C

Meänh đề 1.2.4.


Dãy O  A 
B

C  O là khớp khi và chỉ khi  là đơn cấu,  là toàn cấu và

Im   Ker .

Mệnh đề 1.2.5.





1
1
Cho hai dãy khớp ngắn : E1 : O  A1 
B1 
C1  O





2
2
E 2 : O  A1 
B1 
C1  O .

 

 

1 2
1 2
Khi đó dãy E1  E 2 : O  A1  A2 
 B1  B2 
 C1  C 2  O cũng là dãy


khớp.
Định lý 1.2.6. ( Định lý Nơte 1)
~

Cho f : A  B là toàn cấu modun. Khi đó tồn tại và duy nhất đẳng cấu f : A
~

sao cho f được phân tích f  f  p , trong đó p : A  A
Định lý 1.2.7. ( bổ đề 5 ngắn )

Ker f

Ker f

là phép chiếu chính tắc.

B


Cho biểu đồ giao hoán sau, trong đó các dòng là khớp
O A  B  CO
  
O  A'  B'  C '  O

Khi đó nếu hai đồng cấu  ,  có cùng một trong các tính chất sau : hoặc đơn cấu hoặc
toàn cấu, hoặc đẳng cấu thì  cũng có tính chất đó .
Tiếp theo, ta sẽ khái quát con đường hình thành nên hàm tử Ext trong phạm trù modun
với việc áp dụng các kết quả vừa được trình bày ở trên, mà thông qua đó lấy làm cơ sở để xây
dựng hàm tử Ext trong phạm trù aben (khái niệm này được giới thiệu ở chương 2) – mục đích
chính của cuốn luận văn này.



§3. HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ MODUN
Giả sử A và C là các modun trái trên vành R. Ta gọi một mở rộng của A nhờ C là dãy
khớp ngắn các R-modun trái và các R-đồng cấu :


E  (  , ) : O  A 

B

CO

Tập hợp các mở rộng của A nhờ C ta sẽ ký hiệu là £(C,A).
Bây giờ ta sẽ xây dựng hàm tử Ext qua 3 giai đoạn chính : phân lớp tập £(C,A) thành
Ext (C , A)  trang bị cho Ext (C , A) phép toán hai ngôi để Ext (C , A) trở thành nhóm Aben

(nhóm giao hoán)  xây dựng hàm tử Ext .
Đầu tiên ta thực hiện sự phân lớp tập £(C,A) .
Định nghóa 1.3.1.
Trong tập

£ (C , A)

cho



hai mở rộng : E : O  A 


B

C O

và

'
'
E ': O  A 
B ' 
C O .

Cấu xạ toàn đẳng giữa E và E ' (nếu có) là bộ ba

các đồng cấu modun

T  (1 A ,  ,1C ) : E  E ' laøm cho biểu đồ sau là giao hoán :


E :O  A

B 

C O

 1A


'


 1C
'

E ': O  A  B'  C  O
Khi đó ta nói E toàn đẳng với E ' và kí hiệu là E  E ' .
Nhận xét 1: Nhờ bổ đề 5 ngắn ta dễ dàng kiểm tra được quan hệ toàn đẳng trên £(C,A) là quan
hệ tương đương. Do đó nó thực hiện sự phân lớp tập £(C,A). Ta gọi tập thương của £(C,A) theo
quan hệ toàn đẳng này là Ext (C , A) . Đó chính là tập các lớp toàn đẳng các lớp mở rộng của A
nhờ C . Lớp chứa mở rộng E ta kí hiệu là E hoặc đơn giản là E nếu không sợ nhầm lẫn. Tiếp
theo ta sẽ trang bị cho Ext (C , A) một phép toán cộng để nó trở thành nhóm giao hoán . Để làm
điều này trước tiên ta cần đưa ra các định nghóa về tích bên trái và tích bên phải của một mở
rộng với một đồng cấu.
Định nghóa 1.3.2.