Vấn đề 3: Hệ thức lượng trong tam giác hình học lớp 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (222.81 KB, 4 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác Biên soạn:ThS Đỗ Viết Tuân

Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400 Page 1

VẤN ĐỀ 3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 
I. Định lý hàm số cosin.

Định lý: Trong tam giác ABC, đặt BC = a, CA = b, AB = c, ta có: 
a2 = b2 + c2 -2bc.cosA

b2 = a2 + c2 – 2ca cosB

c2 = b2 + a2 – 2ab cosC.

Hệ quả: Từ các đẳng thức trên ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

cos ; cos ; cos

2 2 2

b c a a c b a b c

A B C

bc ac ab

     

   .

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh các khẳng định sau: 
a) Góc A nhọn khi và chỉ khi a2 < b2 + c2;

b) Góc A tù khi và chỉ khi a2 > b2 + c2;

c) Góc A vng khi và chỉ khi a2 = b2 + c2.

Bài 2: Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ một vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc

60o. Tàu B chạy với tốc độ 20 hải límột giờ, tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau 2 giờ hai tàu

cách nhau bao nhiêu hải lí? (1 hải lí = 1,852 km).

Bài 3: Giải tam giác là gì? Hãy giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) a = 17,4; góc B = 44o30’; góc C = 64o.

b) a = 49,4; b = 26,4; góc C = 47o20’.

c) a = 24, b = 13, c = 15.

d) góc A = 71o30’, b = 12,9, c = 16,5;

e) c = 37; A = 101o2’; B = 31o38’.

Bài 4: Các cạnh của tam giác ABC là a = 7, b = 24, c = 23. Tính góc A. 
Bài 5: a) Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, BC = 5, BD = 7. Tính AC.

b) Chứng minh rằng trong một hình bình hành, tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương

của hai đường chéo.

Bài 6: Biết hai lực cùng tác dụng vào một vật và tạo với nhau góc 40o. cường độ của hai lực đó là 3N và
4N. Tính cường độ của lực tổng hợp.

Bài 7: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

B 600 1 1 3 .

a b b c a b c

   

   

Bài 8: Tam giác ABC có a = 5, b = 4, c = 3. Lấy điểm D đối xứng với B qua C. Tính độ dài AD. 
Bài 9: Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác Biên soạn:ThS Đỗ Viết Tuân

Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400 Page 2

1 1 1 1

p a  p p b  p c

II. Định lý hàm số sin.

Định lý: Trong tam giác ABC, gọi R là bán kính đường trịn ngoại tiếp, ta có: 
a2 sin ;R A b2 sin ;R B c2 sin .R C

Bài tập áp dụng:

Bài 10: Chứng minh định lý hàm số sin trong tam giác

Bài 11: Cho tam giác ABC có a = 4, b = 5, c = 6. Chứng minh rằng sinA – 2sinB + sinC = 0. 
Bài 12: Từ hai vị trí A, B của một tồ nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn

núi. Biết rằng độ cao AB = 70m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang

góc 30o, phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15o30’. Hỏi ngọn

núi đó cao bao nhiêu mét so với mặt đất (độ dài đoạn thẳng CH trong hình 1)?

Bài 13: Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao (hình trang 67). Biết AH = 4m, HB = 20m, góc BAC = 
45o. Tính chiều cao của cây.

Bài 14: Trên nóc một tồ nhà có một cột ăng ten cao 5m . Từ vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất, có 
thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng ten dưới góc 50o và 40o so với phương nằm ngang . Tính
chiều cao của tồ nhà?

Bài 15: Một người ngồi trên tàu hoả đi từ ga A đến ga B. Khi tàu đỗ ở ga A qua ống nhịm người đó nhìn 
thấy một tháp C. Hướng nhìn từ người đó đến tháp tạo với hướng đi của tàu một góc 60o. Khi tàu đỗ ở ga

B người đó nhìn lại vẫn thấy tháp C, hướng nhìn từ người đó đến tháp ngược với hướng đi của tàu một

góc 45o. Biết rằng đoạn đường AB dài 8 km. Hỏi khoảng cách từ ga A đến tháp C là bao nhiêu? (6km)

Bài 16: Hình trang 65 vẽ một hồ nước nằm bởi góc tạo bởi hai con đường. Bốn bạn An, Cường , Trí, Đức 
dự đốn khoảng cách từ B đến C lần lượt là 5; 6; 7; 5,5. Biết rằng khoảng cách từ A đến B là 3 km

khoảng cách từ A đến C là 4 km góc BAC là 120o. Hỏi dự đoán của bạn nào sát với thực tế nhất

Bài 17: Gọi H là trực tâm của tam giác khơng vng ABC. Chứng minh rằng bán kính các đường tròn 
ngoại tiếp các tam giác ABC, HBC, HCA, HAB bằng nhau.

Bài 18: Chứng minh rằng nếu ba góc của tam giác ABC thoả mãn hệ thức: 
sinA = 2sinB.cosC thì ABC là tam giác cân.

Bài 19: Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A khi và chỉ khi sin 2.
sin cos

A

B C 

Bài 20: Chứng minh rằng nếu  là góc trong khoảng 0 0

(0 ; 180 ) thì sin 2 2sincos

III. Công thức độ dài đường trung tuyến.

Định lý: Trong tam giác ABC, kí hiệu ma, mb, mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến hạ từ đỉnh A, B

và C. Ta có:

15o30’

A
B

H
30o

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác Biên soạn:ThS Đỗ Viết Tuân

Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400 Page 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

; ;

2 4 2 4 2 4

a b c

b c a a c b b a c

m    m    m    .

Bài tập áp dụng:

Bài 21: Tam giác ABC có a = 7, b = 8, c = 6. Tính độ dài các đường trung tuyến ma, mb, mc lần lượt ứng

với các cạnh BC, CA, AB của tam giác.

Bài 22: Cho hai điểm phân biệt P, Q và PQ = a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MP2 + MQ2 = k2, trong
đó k là số cho trước.

Bài 23: Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi: 
5ma2 = mb2 + mc2

Bài 24: Chứng minh rằng trong tam giác ABC,BM CN b2c2 5a2. (trong đó BM và CN là các
đường trung tuyến hạ từ B và C).

Bài 25: Cho tam giác ABC có 3 .
2
c

m  c Chứng minh rằng:

( ).

a b c

m m m  a b c 

Bài 26: Cho tam giác ABC có b 1.
c

m
c

b  m  Chứng minh rằng:

cot (cot cot ).

A B C

IV. Cơng thức tính diện tích tam giác.

Cơng thức:

1 1 1

1). ;

2 2 2

1 1 1

2). sin sin sin ;

2 2 2

ABC a b c

ABC

S ah bh ch

S ab C bc A ca B



  

3). ;

4). ;

5). ( )( )( ).

ABC

abc
S

R

S pr

S p p a p b p c



   

Trong đó

2 a

b

c

p



 

là nửa chu vi, r là bán kính đường trịn nội tiếp.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác Biên soạn:ThS Đỗ Viết Tuân

Trung tâm luyện thi EDUFLY- Hotline: 0987708400 Page 4

Bài 27: Tính diện tích của tam giác ABC có ba cạnh AB = 13, BC = 14, CA = 15 theo các công thức khác 
nhau trong bài trên.

Bài 28: Tam giác ABC có b = 6,12, c = 5,35, góc A bằng 84o. Tính diện tích tam giác đó.

Bài 29: Chứng minh rằng trong tứ giác ABCD, ta có:

SABCD =

2AC.BD sin(AC BD , )

Bài 30: Trong tam giác ABC. Chứng minh rằng:

2 2 2

cot cot cot .

a b c

A B C

S

 

  

Bài 31: Gọi S là diện tích và R là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng S =

2R2.sinA.sinB.sinC.

Bài 32: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:

a) 1 1 1 1

a b c

r  h h h b) 4 ;

S S S

R r

p a  p b  p c  

Bài 33: Cho tam giác ABC có độ dài 3 đường trung tuyến lần lượt là ma, mb, mc. Chứng minh cơng thức
diện tích tam giác sau:

( )( )( )( )

3 a b c a b c a b c c b a

</div>

Vấn đề 3: Hệ thức lượng trong tam giác hình học lớp 10

2

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>p</i>



 

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về