<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>TRƯỜNG THPT CHUYÊN</b>
<b>NGUYỄN HUỆ</b>

<b>KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 CHUYÊN THPT</b>
<b>LẦN THỨ BA NĂM HỌC 2015 - 2016</b>
<b> Mơn thi: TỐN</b>

<i><b> Thời gian làm bài: 150 phút</b></i>

<i>(dùng cho thí sinh thi vào lớp chun Tốn và chuyên</i>
<i>Tin)</i>

<i><b>Bài I: (2 điểm)</b></i>

<b>1) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a</b>2_{+ b}2_{+ c}2_{= a + 2b + 3c = 14. Tính giá trị của biểu thức}
T = abc.

<b>2) Cho n là số nguyên dương. Chứng minh A = 2</b>4n + 1_{+ 3}4n_{+ 2 là hợp số.}
<i><b>Bài II: (3 điểm)</b></i>

1) 2<i>x</i>25<i>x</i>1 7 <i>x</i>31_{Giải phương trình .}

2)

2 2

2 2

5 14 8 0

5 16 4 8 16 0

<i>x</i> <i>x y</i>

<i>x</i> <i>x y</i> <i>xy</i> <i>y</i>
    




      



 _{Giải hệ phương trình .}

<i><b>Bài III: (1 điểm)</b></i>

<i>Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh </i>

4 4 4 4 4 4 9

<i>ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i> <i>a b c</i>

<i>b</i> <i>c a</i> <i>c</i> <i>a b</i> <i>a</i> <i>b c</i>

 

  

      _.

<i><b>Bài IV: (3 điểm)</b></i>

Cho đường tròn (O, R) và một điểm S nằm ngồi đường trịn sao cho SO = 2R. Từ S
kẻ hai tiếp tuyến SA, SB (A  (O), B  (O)) và cát tuyến SCD (C nằm giữa S và D) thay
đổi. Gọi K là trung điểm của CD và H là giao điểm của AB và SO.

<b>1) Chứng minh 4 điểm C, D, H, O nằm trên một đường tròn.</b>

<b>2)</b>

1

2

_{Chứng minh AC.BD = AB.CD.}

<b>3)</b>

1 1


<i>KA KB</i>_{Tìm vị trí của điểm K sao cho nhỏ nhất.}

<i><b>Bài V: (1 điểm)</b></i>

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ngũ giác lồi ABCDE có tọa độ các đỉnh là các số nguyên.
Chứng minh tồn tại ít nhất một điểm nằm trong ngũ giác đó có tọa độ là các số ngun.

---

<i>Hết---(Giám thị khơng giải thích gì thêm)</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i> Chữ ký của giám thị số 1:</i> <i>Chữ ký của giám thị số 2:</i>

<b>TRƯỜNG THPT CHUYÊN HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ LẦN 3 VÀO LỚP 10 </b>
<b> NGUYỄN HUỆ NĂM HỌC 2015 – 2016</b>

<b>Mơn thi: TỐN </b>

<b> (Dành cho hệ chuyên Toán và chuyên Tin)</b>

<b>BÀI</b> <b>Ý</b> <b>HƯỚNG DẪN CHẤM</b> <b>ĐIỂM</b>

<b>I</b> <i><b>2,0</b></i>

<i><b>1 Tính giá trị của biểu thức T = abc.</b></i> <i><b>_1,0</b></i>

2 2 2

₁₄

2

3

14

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>



















2 2 2

₁₄

2a 4

6

28

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>c</i>



















_{Ta có } 0,25

 a2_{+ b}2_{+ c}2_{– 2a – 4b – 6c = - 14}
 (a – 1)2_{+ (b – 2)}2_{+ (c – 3)}2_{= 0}

0,25

 a = 1; b = 2; c = 3 _0,25

T = abc = 6. _0,25

<i><b>2 Chứng minh rằng A = 2</b><b>4n + 1</b><b>_{+ 3}</b><b>4n</b><b>_{+ 2 là hợp số.}</b></i>

<i><b>1,0</b></i>

A =2.16n + 81n + 2.

Vì n > 0 nên A > 2 + 1 + 2 = 5 (1) 0,25

Vì 2.16n_{ 2 (mod 5)}
81

n_{ 1 (mod 5)} _0,25

A  2 + 1 + 2 (mod 5)  0 (mod 5). (2) 0,25

Từ (1) và (2) suy ra với mọi n > 0, A > 5 và A chia hết cho 5 nên A là hợp số. _0,25

<b>II</b> <i><b>_3,0</b></i>

<i><b>1</b></i> ₂ 2 ₅ _{1 7} 3 ₁

   

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i><b>_{Giải phương trình}</b></i> <i><b>_1,5</b></i>

1

<i>x </i> _{Điều kiện}





_

2

_





_

2

_

3 <i>x</i> 1 2 <i>x</i>  <i>x</i> 1 7 <i>x</i> 1 <i>x</i>  <i>x</i> 1

Ta có 0,5

1 0

<i>a x</i>   <i>b x</i> 2   <i>x</i> 1 0

9

3 2 7 ₁

4
<i>b</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>ab</i>

<i>b</i> <i>a</i>



  
 

 _{Đặt ;ta được:} 0,5

4 6

<i>x  </i> _{Giải phương trình ta tìm được .} _0,5
<i><b>2 Giải hệ phương trình </b></i>

<i><b>1,5</b></i>





2 2

2 2

5 14 8 (1)

4 2 5 16 16 0 (2)

   


     



<i>y</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>x</i>

Ta có
2

9x

 

5 4
4
 

  _{ }


<i>y</i> <i>x</i>

<i>y</i> <i>x</i> _{Coi (2) là phương trình bậc 2 ẩn y, suy ra:}

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

5 4
 

<i>y</i> <i>x</i>



₅ ₄



2 ₅ 2 ₁₄ ₈

   

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> ( 1 3_{2 2}; );( 4₅;0)_{Với suy ra: ta được nghiệm}

0,5

4
 

<i>y</i> <i>x</i> _{(4 x)}2 _5x2 _{14x 8}

   

11 3 17 27 3 17 11 3 17 27 3 17

( ; );( ; )

4 4 4 4

     

Với suy ra: ta được nghiệm 0,5

<b>III</b> <i><b>Chứng minh bất đẳng thức</b></i> <i><b>1,0</b></i>

1 1 1 9

2<i>b c</i> 2<i>b c</i> 2<i>c a</i> 4<i>b</i>4<i>c a</i> _{Ta có:}

1 1 2 1

.

4<i>b</i> 4<i>c a</i> 9 2<i>b c</i> 2<i>c a</i>

 

  _  _

      0,25

1 2
.

4 4 9 2 2

<i>ab</i> <i>ab</i> <i>ab</i>

<i>b</i> <i>c a</i> <i>b c</i> <i>c a</i>

 

  _  _

      0,25

1 2
.

4 4 9 2 2

<i>bc</i> <i>bc</i> <i>bc</i>

<i>a</i> <i>c b</i> <i>c a</i> <i>a b</i>

 

 _  _

     

1 2
.

4 4 9 2 2

<i>ca</i> <i>ca</i> <i>ca</i>

<i>a</i> <i>b c</i> <i>a b</i> <i>b c</i>

 

 _  _

     _{Tương tự: ;}

0,25

9
<i>a b c</i> 

 1 2 2 2

9 2 2 2 2 2 2

<i>ab</i> <i>ab</i> <i>bc</i> <i>bc</i> <i>ac</i> <i>ac</i>
<i>b c</i> <i>c a</i> <i>c a</i> <i>a b</i> <i>a b</i> <i>b c</i>

 

 _      _

     

 _{Vậy VT}

<i>Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c</i>

0,25

<b>IV</b> <i><b>3,0</b></i>

<i><b>1</b></i> <i><b>4) Chứng minh bốn điểm C, D, H, O nằm trên một đường tròn</b></i> <i><b>_1,0</b></i>
 SAC   SDA

 SC.SD = SA2₍₁₎ 0,5

<b>M</b>

<b>H</b>

<b>B</b>

<b>O</b>

<b>K</b>

<b>C</b>

<b>D</b>

<b>A</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

SA2_{= SH.SO (Hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2)}
Từ (1) và (2)  SC.SD = SH.SO

  SCO   SHD

 

<i>CDH COH</i> _

 Bốn điểm S, D, H, O nằm trên một đường tròn. 0,5
<i><b>2</b></i>

<i><b>3)</b></i>

1

2

<i><b>_{Chứng minh rằng AC.BD = AB.CD}</b></i> <i><b>_1,0</b></i>



_D





_D





_D

1

2

<i>KA</i>



<i>AKC A C</i>





<i>ABS A C</i>





<i>AB</i>

1

2

<i>AC</i>

1

2

<i>BC BAC</i>_{Ta có sđ -}

sđ=sđ=

 

<i>CAK</i> <i>BAD</i>_ _0,5

<i>AC</i>

<i>CK</i>

<i>AB</i>



<i>BD</i>

_{  CAK   BAD   AC.BD = AB.CK}

1

.

.

2

<i>AC BD</i>



<i>AB CD</i>

Vì K là trung điểm của CD nên (4) 0,5
<i><b>3</b></i>

<i><b>4)</b></i>

1

1

<i>KA KB</i>



<i><b>_{Tìm giá trị nhỏ nhất của}</b></i> <i><b>_1,0</b></i>

Vì SO = 2R   SAB đều.

  ₆₀0

<i>BKM</i> <i>BAS</i>  <i>MBS</i> <i>ABK</i>

<i>MBA</i>

_{Trên tia KS lấy điểm M sao cho KM}

= KB   KMB đều (KM = KB và ) và (600_{- )}
  SMB =  AKB

 AK = SM. <i>0,5</i>

Ta có:

KA + KB = SM + MK = SK  SO = 2R

(vì 5 điểm S, A, B, K, O) nằm trên đường trịn đường kính SO.)

1

1

4

2

A

<i>KA KB</i>





<i>K</i>



<i>KB</i>



<i>R</i>

_

1

1

<i>KA KB</i>



2

<i>R</i>

_{ min = khi SCD là cát tuyến đi qua tâm O hay C là trung điểm}

của SO.

0, 5

<b>V</b> <i><b>Chứng minh rằng …(1điểm)</b></i> <i><b>1,0</b></i>

Giả sử tồn tại ngũ giác nguyên mà bên trong không chứa một điểm nguyên
nào. Trong tất cả các ngũ giác trên ta chọn ngũ giác có diện tích nhỏ nhất
khơng chứa một điểm nguyên nào giả sử là ABCDE.



<i>x y</i>,



Theo ngun lí Dirichlet: vì có 5 điểm A, B, C, D, E tọa độ nguyên nên
tồn tại ít nhất 2 điểm tạm gọi là X,Y mà cặp tọa độ của chúng có cùng tính
chẵn lẻ. Khi đó trung điểm M của X, Y sẽ có tọa độ nguyên. Do M không thể
nằm trong ngũ giác (giả sử) nên M phải thuộc một trong các cạnh hay XY phải
là một cạnh của ngũ giác.

0,5

Không mất tổng quát ta giả sử 2 điểm đó là A, B. Do đó ta có ngũ giác
MBCDE có diện tích nhỏ hơn diện tích ngũ giác ABCDE

Do tính nhỏ nhất và khơng chứa điểm ngun nào bên trong của ABCDE suy
ra ngũ giác MBCDE phải chứa một điểm nguyên T bên trong. Mâu thuẫn vì T
cũng nằm trong ABCDE.

ĐPCM.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<i><b>Các chú ý khi chấm:</b></i>

<i>1) Thí sinh phải lập luận đầy đủ mới cho điểm tối đa.</i>

<i>2) Thí sinh có cách giải đúng, khác với hướng dẫn thì giám khảo vẫn chấm và cho điểm theo số</i>
<i>điểm quy định dành cho câu (hay ý) đó.</i>

</div>

<!--links-->