<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

TỔ TOÁN – TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU

Trang:1

<b>BÀI TẬP ƠN </b>

<b>I. CẤP SỐ CỘNG </b>

 Định nghóa

<b>Cấp số cộng là dãy số có cơng thức:</b>u_n u_{n 1}_  ,d  n ,n 2 <b> (với d được gọi là công sai ) </b>

 Tính chất
 u_n u₁(n 1)d

 k 1 k 1

k

u u

u (k 2)

2

  

 

 Tổng n số hạng đầu tiên : Sn = u1 + u2 + u3 + … + un

 S_n n



u₁ u_n



2

 

 S_n n 2u₁ (n 1)d

2 

 _   _

<b>Baøi 1. Cho cấp số cộng 1, 5, 9 , …… Tính d, u</b>5 , u10?

<b>Bài 2. Cho cấp số cộng 2 1</b> , 2 , 3 2, …… Tính u8 ?

<b>Bài 3. Tìm cơng sai của một cấp số cộng hữu hạn, biết số hạng đầu u</b>1 = 1 và số hạng cuối u15 = 43.

<b>Bài 4. Trong các dãy sau đây , dãy nào là một cấp số cộng. Khi đó cho biết số hạng đầu và cơng sai của </b>

nó :

a) un = 3n + 7 b) un = 2 5n c) un = n2

<b>Bài 5. Xác định số hạng đầu và công sai của mỗi cấp số cộng sau : </b>

a) 3
14

u 15

u 18

  







b) 2 3 5
1 6

u u u 10

u u 17

   




 




c) 7 3

2 7

u u 8

u .u 75

  








d) 6

2 2

2 4

u 8

u u 16

 




 




e) 7 15

2 2

4 12

u u 60

u u 1170

  




 




f) 1 2 3
2 2 2
1 2 3

u u u 15

u u u 93

   




  




<b>Bài 6. Tìm x để dãy số: 1 + 4x , x + 1, x</b>2 – 2 lập thành cấp số cộng.

<b>Baøi 7. Cho ABC vuông tại A, có góc A, B, C lập thành cấp số cộng. </b>

Tìm 3 góc đó.

<b>Bài 8. Tính A = 10 + 110 + 210 + … + 2010 </b>

C = 12325272... 97 2992

<b>Bài 9. </b> Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng, biết :

a) 3 5
12

u u 14

S 129

  








b)

3 3

1 15

15

u u 302094

S 585

  








c)

2 2 2

1 2 3

3

u u u 155

S 21

   








<b>Bài 10. Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng các số hạng là 176. Hiệu giữa số hạng cuối và số hạng đầu </b>

là 30. Tìm cấp số cộng đó.

<b>Bài 11. Cho (u</b>n ) là một cấp số cộng có : u3 + u13 = 80 . Tính tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp

số cộng.

<b>Bài 12. Cho một cấp số cộng (u</b>n) , biết trung bình cộng của n số hạng đầu tiên của (un) bằng n.

Tìm số hạng thứ 2010.

<b>Bài 13. Cho a, b, c là một cấp số cộng. Chứng minh: </b>

a) _a2 _{8bc (2b c)}2

  

b) _a2 _{ab b ; a}2 2 _{ac c ; c}2 2 _{bc b}2

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

TỔ TOÁN – TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU

Trang:2
c) _a2__{bc ; b}2__{ca ; c}2__ab_{là cấp số cộng.}

<b>Bài 14. Cho </b>_{a ; b ; c là cấp số cộng với công sai d khác 0.}2 2 2

Chứng minh : 1 ; 1 ; 1

b c c a a b   là cấp số cộng.

<b>II. CẤP SỐ NHÂN </b>
 Định nghóa

<b>Cấp số nhân là dãy số có cơng thức: </b>u_nu q_{n 1}_ , n ,n 2 <b> (với q được gọi là công bội) </b>

 Tính chất

 n 1

n 1

u _u q 

 u_k  u .u_{k 1}_ _{k 1}_ (k2) hay 2

k k 1 k 1

u u .u_ _

 Tổng n số hạng đầu tiên : Sn = u1 + u2 + u3 + … + un . Khi đó :

n

n 1

1 q

S u

1 q

 

 (q  1)

<b>Baøi 1. Cho cấp số nhân 1, 2, 4, 8, …, 2</b>n – 1, … Tính công bội q, số hạng u10 ?

<b>Bài 2. Trong các cấp số nhân sau, tính u</b>11 ?

a) 2, –4, 8 , … b) 2 , 6 , 3 2 , … c) 1

3, –1, 3, –9, …

<b>Bài 3. Tìm cơng bội của cấp số nhân hữu hạn, biết số hạng đầu u</b>1 = 2

và số hạng cuối cùng u11 = 64.

<b>Bài 4. Xác định số hạng đầu và công bội của mỗi cấp số nhân sau : </b>

a) 4 2

5 3

u u 72

u u 144

 




 



b) 5 1

4 2

u u 15

u u 6

 




 



c) 1 3 5

1 7

u u u 65

u u 325

  




 



<b>Bài 5. Trong các dãy số sau đây, dãy nào là một cấp số nhân. </b>

Khi đó, tính số hạng đầu và cơng bội của dãy đó:

a) u_n 3n b) 2

n

u n c) n

n

u 2

<b>Bài 6. Tính : A = 2 + 4 + 8 +…+ 256 ; </b>B 1 1 1 1

3 9 2187

     

<b>Bài 7. Cho dãy số </b>(u )_n xác định bởi :

n n

n n n

5 2

u

5 2




 ,

*
n
  

Tính toång

1 2 3 100

1 1 1 1

S

u 1 u 1 u 1 u 1

    

    

<b>Bài 8. Tìm các số hạng của một cấp số nhân , biết rằng cấp số đó có: </b>

a) Có 5 số hạng mà số hạng đầu là 3, số hạng cuối là 243.

b) Có 6 số hạng mà số hạng đầu là 243, số hạng cuối là 1.

c) Có 6 số hạng mà tổng ba số hạng đầu bằng 168 và tổng ba số hạng cuối bằng 21.

<b>Baøi 9. </b> Một cấp số nhân có 9 số hạng , biết u1 = 5 và u9 = 1280.

Tính công bội q và tổng S9

<b>Bài 10. Cho cấp số nhân ( u</b>n ) biết u1 + u5 = 51, u2 + u6 = 102 . Tìm n biết Sn = 3069 .

<b>Bài 11. Tìm x > 0 để : 1 + x , 2x + 5, 10x + 7 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. </b>
<b>Bài 12. Cho cấp số nhân a, b, c thỏa a b c 13</b>   và abc 27 . Tìm a, b, c , biết a > b.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

TỔ TOÁN – TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU

Trang:3
<b>Bài 14. Cho a, b, c là cấp số nhân, chứng minh rằng : </b>

a) _{a b c ; a}2 _b2 _{c ; a b c}2

      là cấp số nhân
b) _(a2__{b )(b}2 2__{c ) (ab bc)}2 _ _ 2

c) _{(bc ca ab)}3 _{abc(a b c)}3

    

<b>Baøi 15. Cho </b> 2 ; ; 1 2

b a b b c là cấp số nhân. Chứng minh a, b, c là cấp số nhân.

<b>Bài 16. Cho dãy số </b>(u )_n xác định bởi : 1 ₂
n 1 n

u 1
u _ u 2
 




 




, (n 1)

a) Đặt 2
n n

v u (n 1) . Chứng minh dãy số (v )_n là một CSC
Xác định số hạng đầu và công sai của CSC đó.

b) Từ đó suy ra số hạng tổng qt của dãy số (u )_n

c) Tính tổng 2 2 2

1 2 10

S u u ... u

<b>GOÙC </b>



(a, b) 

(a, b) 



(a,(P)) 



((P),(Q)) 



<b>Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD = a 3 . </b>

SA vng góc với đáy ABCD và SA = a. Tính góc giữa hai đường thẳng SB và CD

<b>Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = a 3 và SA  BC. </b>

Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC

<b>Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. </b>

Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD biết rằng MN = a 3 .

<b>Bài 4: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông </b>

tại A, AB = a, AC = a

3 . Hình chiếu vng góc của A’ lên mp(ABC) là trung điểm của BC.

Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’.

<b>a </b> <b>b</b>

<b>' </b>

<b>O </b>

<b>A </b>

<b>B </b>

a
'

a’

b
'

<b>O </b>

<b>a </b>

P

)

<b>a’ </b>

A

H

M

Q

P

<b>a </b>

<b>d </b> <b>b </b>

<b>a’ </b>

</div>

<!--links-->