đề thi sưu tầm 10 năm đề thi chọn đội tuyển imo cac de thi hsg cua dhsphn de chon doi tuyen ninh binh de de nghi toan 11 cua hai phong de hsg tphcm 2009 de kt doi tuyen chuyen quang trung de kt do…
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (125.87 KB, 4 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC</b>
Phương pháp này thường được sử dụng trong các bài toán chứng minh bất đẳng
thức mà các số bị ràng buộc với nhau bởi các điều kiện nhất định chẳng hạn:
Nếu có hệ thức thì có thể đặt x = cosa; y = sina.
Nếu có hệ thức xy=1 thì có thể đặt: x = tana; y = cota;
Ghi chú: Ở đây không ngoại trừ bài toán sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác
với các quan hệ lượng giác.
<b>BÀI TẬP ÁP DỤNG.</b>
<b>BÀI TẬP 1.</b>
Cho bốn số thực x, y, u, v thoả mãn:
CMR:
<b>GIẢI.</b>
Đặt: và
Khi đó : u(x – y) + v(x + y) = cosb(cosa-sina)+sinb(cosa+sina) = cos(a-b)+sin(b-a)
= √<i>2cos (b − a −π</i>
4)
Do đó
bài tốn chưa thấy ngay yếu tố để ta chuyển về dạng lượng giác, cần qua một quá
trình biến đổi và đặt ẩn phụ thích hợp mới có thể chuyển về dạng lượng giác thuận
lợi cho q trình giải. Ví dụ :
<b>BÀI TẬP 2.</b>
Cho 4 số dương a, b, c, d. CMR:
(1)
<b>GIẢI</b>
Với bài này ta có thể sử dụng BĐT BunhiaCopski với 4 số , tuy nhiên
chúng ta có thể dùng phương pháp lượng giác để giải bài này.
Các yếu tố để chúng ta chuyển về dạng lượng giác vẫn chưa xuất hiện. Chúng ta
cần biến đổi để làm xuất hiện yếu tố đó.
Ta có : (1) tương đương với.
√
ab(a+d )(b+c)+
√
cd
(<i>a+d )(b+c)≤ 1<=></i>
√
1
(1+<i>d</i>
<i>a</i>)(1+
<i>c</i>
<i>b</i>)
+
√
cdab(1+<i>d</i><i>a</i>)(1+
<i>c</i>
<i>b</i>)
<i>≤1</i>
Đặt tan2<i><sub>x=</sub>d</i>
<i>a</i>;tan
2<i><sub>y=</sub>c</i>
<i>b</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
Nếu so sánh với cách giải này với cách dùng BĐT cổ điển thì quả thật cách này là
khá dài và hơi phức tạp. Tuy nhiên nó cho ta một hướng mới để nhìn nhận một bài
tốn.
<b>BÀI TỐN 3.</b>
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn
CMR
<b> GIẢI. </b>
Giả thiết tương đương với
6 bc+3 ac+2ab=36 abc<i>⇔ 6 bc+3 ac+2 ab</i>
√abc =
36 abc
√abc <i>⇔6</i>
√
bc
<i>a</i> +3
√
ac
<i>b</i> +2
√
ab
<i>c</i> =6
√
bc
<i>a</i> . 3
√
ac
<i>b</i> . 2
√
ab
<i>c</i>
Trong tam giác ta có: cot <i>A</i>
2+cot
<i>B</i>
2+cot
<i>C</i>
2=cot
<i>A</i>
2. cot
<i>B</i>
2 .cot
<i>C</i>
2
Đặt 2
√
ab<i>c</i> =cot
<i>C</i>
2<i>;3</i>
√
ca
<i>b</i> =cot
<i>B</i>
2<i>;</i> từ giả thiết suy ra 6
√
bc
<i>a</i> =cot
<i>A</i>
2
Với A,B,C là 3 góc của tam giác ABC
Vậy VT = 1
1+cot2<i>A</i>
2
. 1
1+cot2<i>B</i>
2
.
√
1+cot12<i>C</i>2
<b>BÀI TẬP 4.</b>
Cho a,b,c, dương và 2009ac+ab+bc=2009
Tìm Max P= 2
<i>a</i>2+1<i>−</i>
<i>2 b</i>2
<i>b</i>2+20092+
3
<i>c</i>2+1
<b>GIẢI.</b>
Từ giả thiết ta có: <i>ac+a .</i> <i>b</i>
2009+
<i>b</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
Đặt <i>a=tan</i> <i>A</i>
2 <i>;</i>
<i>b</i>
2009=tan
<i>B</i>
2 với A; B( 0;)thay vào giả thiết ta có <i>c=tan</i>
<i>C</i>
2 với
A,B,C là 3 góc của tam giác ABC. Nên
<i>P=</i> 2
1+tan2 <i>A</i>
2
<i>−</i> 2
1+ 1
tan2<i>B</i>
2
+ 3
1+tan2<i>C</i>
2
=2cos2 <i>A</i>
2 <i>− 2 sin</i>
2<i>B</i>
2+3 cos
2<i>C</i>
2
<i>cos A+cos B+3 (1− sin</i>2<i>C</i>
2)=3+
1
3cos
2 <i>A − B</i>
2 <i>−</i>
(
√3 sin<i>C</i>
2<i>−</i>
1
√3cos
<i>A − B</i>
2
)
2
<i>≤</i>10
3
<b>BÀI TẬP 5.</b>
cho x,y thay đổi thoả mãn
Tìm Max ,Min của Z=y-2x+5
GIẢI
Đặt <i>x=</i>√5
6 <i>sin a</i> thì từ giả thiết ta có <i>y=</i>
√5
4 <i>cos a</i> .
Nên <i>Z =</i>√5
6 <i>sin a−</i>
√5
2 <i>cos a+5⇔</i>
√5
6 <i>sin a −</i>
√5
2 <i>cos a=Z − 5</i> (*)
Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi <i>(Z −5)</i>2<i>≤</i> 5
36 +
5
4=
49
36 <i>⇔</i>
23
6 <i>≤ Z ≤</i>
37
6
<b>BÀI TẬP 6.</b>
CMR
Với a,b thỏa mãn
<b>GIẢI</b>
Đặt a=sinx; b=siny.
Ta có <i>sin x . sin y −</i>
√
(1− sin2
<i>x)</i>(<i>1− sin</i>2<i>y</i>)
sin
√
<i>1 − sin</i>2<i>y +sin y</i>√
<i>1− sin</i>2<i>x +</i>√3¿VT=¿
TH1. cosx ≥ 0 và cosy ≥ 0 ta co VT=
|
<i>sin(x + y )−</i>√<i>3 cos (x + y)</i>|
=|
<i>2 sin(x + y −π</i>3)
|
<i>≤ 2</i><b>BÀI TẬP 7.</b>
Chứng minh rằng:
<b>GIẢI</b>
Đặt a=tanx; b=tany ta có
VT =
|
<i>(tan x − tan y )(1 − tan x . tan y )</i>(1+tan2<i>x</i>)(1+tan2<i>y</i>)
|
=|<i>sin (x − y)cos(x − y )</i>|=|
1
2<i>sin2( x − y )</i>
|
<i>≤</i>1
2
</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>
Chứng minh rằng:
<b>GIẢI.</b>
Đặt a=tanx; b=tany; c=tanz:
BĐT tương đương với
|<i>tan x − tan y</i>|
√
1+tan2<i>x .</i>√
1+tan2<i>y</i>+|<i>tan y − tan z</i>|
√
1+tan2<i>y .</i>√
1+tan2<i>z≥</i>|<i>tan x − tan z</i>|
√
1+tan2<i>x .</i>√
1+tan2<i>z</i>|<i>sin (x − y)</i>|+|<i>sin( y − z )</i>|<i>≥</i>|<i>sin (x − z )</i>|
Thật vậy |<i>sin(x − y )</i>|+|<i>sin ( y − z)</i>|<i>≥</i>|<i>sin(x − y )+sin( y − z)</i>|<i>≥</i>|<i>sin( x − z )</i>| đfcm
<b>BÀI TẬP 9.</b>
Cho a, b, c dương, thỏa mãn a.b+bc+ca=1
Chứng minh <i>a</i>
<i>1+a</i>2+
<i>b</i>
<i>1+b</i>2+
<i>c</i>
<i>1+c</i>2<i>≥</i>
3√3
2
<b>GIẢI.</b>
Đặt <i>a=tan</i> <i>A</i>
2 <i>;b=tan</i>
<i>B</i>
2 từ giả thiết suy ra <i>c=tan</i>
<i>C</i>
2 ; với A, B, C là 3 góc của
tam giác nhọn ABC
BĐT tương đương với 1
2(<i>tan A +tan B+tan C)≥</i>
3√3
2 luôn đúng
<b>BÀI TẬP 10.</b>
Cho a, b, c>0 và abc+c+2b=2a. Chứng minh rằng
√
<i>1+a</i>1 2+√
<i>b</i>2
<i>1+b</i>2+
√
<i>c</i>2
<i>4+c</i>2<i>≤</i>
3
2
<b>GIẢI.</b>
Đặt a=tanA; 1<i><sub>b</sub></i>=tan B <sub>. Từ giả thiết suy ra được </sub> 2
<i>c</i>=<i>tan C</i> . Với A,B,C là 3 góc
của tam giác nhọn ABC. Nên BĐT tương đương với <i>cos A+cos B+cos C ≤</i>3
2 . Luôn
đúng
<b>BÀI TẬP 11</b>
Cho a, b, c thuộc (0;1). Ch ứng minh rằng
<b>GIẢI. </b>
</div>
<!--links-->
