<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>BÀI: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP</b>

<i>(Hình Học 10 Nâng Cao) </i>

<b>I.</b> <b>MỤC TIÊU</b>
<i><b>a) Về kiến thức: </b></i>

- Nắm vững định nghĩa đường elip,.

- Nắm vững phương trình chính tắc của elip từ đó nhận dạng được elip và lập phương trình elip.

- Từ mỗi phương trình chính tắc của elip, xác định được các tiêu điểm, trục lớn, trục bé, tâm sai
của elip và ngược lại, lập được phương trình chính tắc của elip khi biết các yếu tố xác định nó.
- Nhận biết được dáng của Elip theo tâm sai.

<i><b>b) Về kĩ năng: </b></i>

- Vẽ hình chuẩn, đẹp.

- Nhận dạng elip và lập phương trình elip.

- Viết được phương trinh elip khi biết 2 trong 3 yếu tố a, b, c.

- Xác định được các yếu tố của elip khi biết phương trình elip.

<i><b>c) Về thái độ, phát triển tư duy:</b></i>

+ Có thái độ tích cực, tự giác trong học tập.

+ Phát triển được tư duy logic và tư duy thuật tốn.

+ Biết vận dụng đại số vào hình học.

<b>II.</b> <b>CHUẨN BỊ</b>

<i><b>a) Học sinh: SGK; dụng cụ học tập thước vẽ Elip.</b></i>

<i><b>b) Giáo viên: Chuẩn bị giáo án đầy đủ, thước và một số phương tiện dạy học, bảng phụ.</b></i>

<b>III.</b> <b> PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

- Tổ chức hoạt động nhóm.

- Thuyết trình và vấn đáp.

<b>IV.</b> <b> TIẾN TRÌNH BÀI DẠY. </b>
<b>1. Ổn định lớp và vào bài:</b>

<i>+ GV: Đặt vấn đề vào bài:</i>

 Trên tay cơ có một cốc thủy tinh đựng nước. Khi cơ để thẳng đứng thì đường giao giữa
mặt nước và thành cốc là đường gì ta đã được học? Bây giờ cô nghiêng cốc và các em
hãy quan sát xem nó có cịn là đường trịn nữa khơng?

 Ngồi ra khi học môn địa lý các em cũng được giới thiệu về quỹ đạo của các hành tinh
trong hệ mặt trời là đường elip nhận Mặt Trời là một tiêu điểm.

 Vậy đường elip được định nghĩa như thế nào? Và nếu đặt nó trong hệ trục tọa độ Oxy thì
phương trình của nó ra sao? Đó chính là nội dung của bài học ngày hôm nay.

<b>2. Bài mới:</b>

<i><b>Hoạt động 1: Định nghĩa đường elip.</b></i>

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của HS Nội dung ghi bảng

- Giới thiệu cách vẽ đường Elip
thông qua hoạt động 1 của
SGK(bảng phụ)

- Khi M thay đổi thì có nhận xét gì
chu vi tam giác MF1F2?

- Tổng MF1+MF2 như thế nào?

- NX: Tập hợp nhưng điểm M như
thế sẽ tạo nên một đường gọi là
đường Elip

- Tại sao a>c? Nếu a<c thì sao?

- Thực hiện nhanh cách vẽ

- Hs quan sát và trả lời.

- Chu vi luôn bằng độ dài của sợi
dây.

-Tổng không đổi do khoảng cách
F1F2 không đổi.

-Hs phát hiện định nghĩa về Elip.

1. Định nghĩa elip

<b>Định nghĩa: Cho 2 điểm cố định F</b>1 và

F2 với F1F2= 2c (c>0).

M

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Đường elip là tập hợp điểm M sao cho
MF1+MF2 = 2a, a là hằng số và a>c.

Hai điểm F1 ,F2 là các tiêu điểm của

elip. Khoảng cách 2c là tiêu cự của
elip.

<i>Hoạt động 2: Phương trình chính tắc của elip</i>

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của hs <b>Nội dung</b>
* Cho (E) như định nghĩa Chọn hệ

trục toạ độ Oxy với O là trung điểm
đoạn thẳng F1F2. Trục Oy là đường

trung trực của F1F2và F2 nằm trên tia

Ox , như hình vẽ (bảng phụ)
<b>* Yêu cầu hs làm ?2 và compa 2</b>

<b>?2: Với cách chọn hệ trục như trên </b>
cho biết toạ độ của của hai tiêu điểm
F1 và F2?

-Bây giờ với điểm M(x;y) nằm trên
elip(E), ta sẽ tìm mối liên hệ giữa x
và y bằng cách đi tính MF1 theo hai

cách.

Cách 1: MF12= (x+c)2+y2

2 2

1 2

<i>MF</i>  <i>MF</i>

Cách 2: (Thực hiện
<b>compa 2) Tính rồi sử dụng định </b>
nghĩa MF1+MF2 =2a để tính MF1

-MF2. Từ đó suy ra

1 <i>a</i> <i>cx</i>
<i>MF</i>

<i>a</i>
  2

<i>cx</i>
<i>a</i>
<i>MF</i>

<i>a</i>
 

;
+ Gọi hs đứng lên trả lời.

-Từ hai cách tính MF1vừa rồi hãy rút

ra biểu thức liên hệ giữa x và y.

- Hs quan sát hình vẽ

- Hs suy nghĩ và trả
lời:

- F1F2=2c vả

OF1=OF2=c

Suy ra F1 =(-c;0)và

F2(c;0)

2 2
(<i>x c</i> ) <i>y</i> _MF

1=

- Hs chú ý nghe
giảng, ghi bài

- Hs suy nghĩ làm bài
và rút ra hệ thức:

2. Phương trình chính tắc của elip

F1(-c;0), F2(c;0)

2 2

1 2

<i>MF</i>  <i>MF</i>

= (-c-x)2_{+ (y)}2 

(c-x)2_{+ (y)}2 _{= 4cx}

<i>cx</i>

<i>a</i> _{=> MF}₁_-MF₂_{= 2}

1 <i>a</i> <i>cx</i>
<i>MF</i>

<i>a</i>

  2

<i>cx</i>
<i>a</i>
<i>MF</i>

<i>a</i>
 

=> ;

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

-vì a>c>0 nên có thể đặt b2_{= a}2_-c2_,

khi đó thì phương trình trên được
viết lại như thế nào?

1 <i>a</i> <i>cx</i>
<i>MF</i>

<i>a</i>
  2

<i>cx</i>
<i>a</i>
<i>MF</i>
<i>a</i>
 
-Ngược
lại ta có thể chứng minh được rằng
nếu tọa độ của M thỏa mãn PT(1) thì

; và do đó MF1+MF2=2a, tức là M

thuộc Elip.

- Đưa ra định nghĩa phương trình
chính tắc của elip: PT(1) được gọi là PT
chính tắc của Elip.

<b>Chú ý: MF</b>1,MF2 : bán kính qua tiêu

của điểm

* Hướng dẫn HS đọc và làm VD1

a, PT chính tắc của Elíp có dạng
ntn?

- Viết pt chính tắc của Elíp ta
cần xác định những yếu tố gì ?

- Điểm I thuộc elip, nó phải
thoả điều kiện gì ?

- Cho hai tiêu điểm F1,F2 cho

ta biết điều gì ?

- Ta có thể tính trực tiếp a
khơng?

2
2

2 2 2
<i>y</i>
<i>x</i>

<i>a</i> <i>a</i>  <i>c</i> _{= 1}

2 2

2 2 1

<i>x</i> <i>y</i>

<i>a</i> <i>b</i>  _-(E):

- Hs chú ý nghe
giảng, ghi bài

- Hs đọc đề và suy
nghĩ

-Xác định a và b.

-Thỏa mãn PT Elip.

-Biết c.

2 2

(<i>x c</i> ) <i>y</i>

<i>cx</i>

<i>a</i> _MF₁_{== a +}

<i>cx</i>

<i>a</i>

_{ (x+c)}

2

_{+ y}

2

_{=( a + )}

2

2
2

2 2 2
<i>y</i>
<i>x</i>

<i>a</i> <i>a</i>  <i>c</i> _{ = 1.}

Rút ra PT tương đương.
2 2

2 2 1

<i>x</i> <i>y</i>

<i>a</i> <i>b</i>  <i>b</i>0;<i>b</i>2 <i>a</i>2 <i>c</i>2

,()(1)

(1) là phương trình chính tắc của elip.

1 <i>a</i> <i>cx</i>
<i>MF</i>

<i>a</i>
  2

<i>cx</i>
<i>a</i>
<i>MF</i>

<i>a</i>
 

Nếu điểm M(x;y)
thoả mản pt(1) thì ; .

5 5<b>_{VD1: Cho 3 điểm F}</b>₁_(-;0),F₁_{(;0) và}

I(0;-3).

a ,Viết pt chính tắc của elip có tiêu điểm là F1,

F2, đi qua điểm I.

2 2

2 2 1

<i>x</i> <i>y</i>

<i>a</i> <i>b</i>  _{Elip có pt chính tắc là: (E): (a>b>0)}

2 2

2 2

0 3
1

<i>a</i> <i>b</i>  _{Vì điểm I thuộc elip (E) nên}

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Hs về nhà làm cách trên.
(Gợi ý: IF1+IF2=2a).

b , GV hướng dẫn câu b
- Bán kính qua tiêu MF1 = ?
- Hãy đánh giá các cận của
hoành độ điểm M thuộc elip ?
suy ra đánh giá MF1?

<b>* Hướng dẫn hs làm VD2.</b>

-Elíp đi qua M, N cho ta biết
những điều gì?

- Yêu cầu hs giải hệ pt

- Tìm toạ độ tiêu điểm ta cần
xác định hằng số nào ?

-Tính trực tiếp IF1 và

IF2 rồi suy ra a.

1 <i>a</i> <i>cx</i>
<i>MF</i>

<i>a</i>
 

(-a) ≤ x ≤ a

-Đọc đề và suy nghĩ

- Tọa độ M,N thỏa
mãn pt (E)

- Xác định hằng số c

5_{Mà tiêu cự của elip là 2c = F}₁_F₂_{= 2.}

Do đó, a2 _{= b}2_{+ c}2_{= 9 + 5 =14}

2 2

1
14 9

<i>x</i> <i>y</i>

 

Vậy pt elip (E) là:

b ,Khi M chạy trên elip đó, khoảng cách
MF1 lớn nhất và nhỏ nhất là bao nhiêu?

1 <i>a</i> <i>cx</i>
<i>MF</i>

<i>a</i>
 

Ta có, . Vì (-a) ≤ x ≤ a nên

1

<i>ca</i> <i>ca</i>

<i>a</i> <i>MF</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i>

   

hay a-c ≤ MF1≤ a+c

Vậy MF1 nhỏ nhất là a-c tại x = -a

MF1 lớn nhất là a+c tại x = a

3

2 <b>_{VD2: Viết pt chính tắc của elip đi qua 2}</b>

điểm M(0;1); N(1;). Xác định tọa độ tiêu điểm
của elip đó.

Giải
2 2

2 2 1

<i>x</i> <i>y</i>

<i>a</i> <i>b</i>  _{Elip có pt chính tắc là: (E): (a>b>0)}

2 2

2 2

0 1
(0,1) ( ) ₁

3 ₁ ₃

(1, ) ( ) ₁

2 ₄
<i>M</i> <i>E</i>
<i>a</i> <i>b</i>
<i>N</i> <i>E</i>
<i>a</i> <i>b</i>


 _  
 

 

  _ _
 _

2
2
1
4
<i>b</i>
<i>a</i>
 



2 2
1
4 1
<i>x</i> <i>y</i>

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Ta có: c2_{= a}2_-b2_{= 4 – 1 = 3.}

3 3_{Vậy tọa độ tiêu điểm là F}

1(-;0),F1(;0)

<i><b>HOẠT ĐỘNG 3: Hình dạng của elip.</b></i>

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của hs Nội dung

<b>* Yêu cầu hs làm ?3</b>

_{- Nếu M( x}₀_;y₀_{) (E) , lúc đó toạ}

độ điểm M thỏa mãn pt (E).
- Từ đó nhận xét các điểm
M1( -x0;y0); M2( x0;-y0);

M3(- x0;-y0) có thuộc (E) khơng ?

- Vẽ hình elip và biểu diễn các
điểm trên hình

<i>NX: quan hệ M và M</i>1?

<i>NX: quan hệ M và M</i>2?

<i>NX: quan hệ M và M</i>3?

b, Hướng dẫn hs tìm hiểu
hình chữ nhật cơ sở

- Hãy tìm toạ độ giao điểm của
(E) với các trục toạ độ Ox và
Oy ?

<b>- Toạ độ các đỉnh.</b>

- Tính độ dài A1A2, B1B2?

<i>-GV nêu cách dựng hình chữ </i>
nhật ngoại tiếp elip. Đó là hình
<b>chữ nhật cơ sở.</b>

* Hs suy nghĩ trả lời
2 2

2 2 1

<i>o</i> <i>o</i>

<i>x</i> <i>y</i>

<i>a</i>  <i>b</i>  _{-Vì M(E)}

nên

Suy ra tọa độ của M1,

M2,M3 thỏa mãn pt (E).

Từ đó, các điểm M1,

M2,M3 nằm trên đường

elip.

-Hs quan sát hình vẽ và
trả lới

+ M và M1 đối xứng nhau

qua trục tung.

+M và M2 đối xứng nhau

qua trục hoành.

+ M và M3 đối xứng nhau

qua gốc tọa độ

+A1(-a;0); A2(a;0);

B1(-b;0); B2(b;0)

+A1A2 = 2a

B1B2 = 2b

3. Hình dạng của elip
<i><b>a. Tính đối xứng của elip</b></i>

<i>Kết</i>
<i>luận:</i>

Elip có phương trình (1) nhận các trục tọa độ làm
trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

<i>b. Hình chữ nhật cơ sở</i>

-Các điểm A1, A2,B1,B2 là các đỉnh của elip

-Đoạn A1A2 là trục lớn với độ dài 2a

Đoạn B1B2 là trục bé với độ dài là 2b

-Hình chữ nhật PQRS là hình chữ nhật cơ sở
của elip

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>* Yêu cầu HS làm ?4</b>

- Gọi hs trả lời

- Gv phân tích ý nghĩa của tâm
sai.

<b>- Gv hướng dẫn hs làm ví dụ 3</b>

* Xét bài tốn

- Điểm M thuộc đường trịn khi
nào?

_{Nếu M(x}_0;_y₀_{)(E) thì:}

- a ≤ xo ≤ a

- b ≤ yo ≤ b

HS trả lời vị trí của M
khi xo max ,min và khi yo

max , min.

- Hs lắng nghe, ghi chép
bài.

- HS suy nghĩ đọc và làm
ví dụ

- Khi tọa độ M thỏa mãn
pt (C)

của elip là trung điểm các cạnh hình chữ nhật cơ
sở.

<i><b>c, Tâm sai của elip</b></i>

Đn: Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của
<i><b>elip là tâm sai của elip.</b></i>

<i>c</i>

<i>a<b>_{Kí hiệu là e, tức e =}</b></i>

2 2

2

1

<i>b</i> <i>a</i> <i>c</i>

<i>e</i>

<i>a</i> <i>a</i>



  

0<e<1, mà nên
- Tâm sai e càng bé thì b càng gần a, hìn chữ
nhật cơ sở càng gần với hình vng, do đó elip
càng ‘béo’

- Tâm sai e càng lớn thì tỉ số a/b càng gần tới 0

hình chữ nhật cơ sở càng dẹt, đó elip càng gầy.

<i><b>d , Elip và phép co elip</b></i>

<b>Bài tốn: Cho đường trịn (C) có phương trình </b>
x2_{+ y}2 _{= a}2_{, một số k(0<k<1). Với M(x;y) thuộc}

(C), lấy điểm M’(x’;y’) sao cho x’=x; y’=ky.
Tìm tập hợp điểm M’.

<b>Giải</b>

Từ x’=x; y’=ky suy ra x=x’; y= y’/k
Điểm M thuộc (C) nên x2_{+ y}2 _{= a}2



2 2

2 2

' '
1
( )

<i>x</i> <i>y</i>

<i>a</i>  <i>ka</i> 

2

2

'
<i>y</i>

<i>k</i> _x’2 _{+= a}2_

2 2

2 2

' '
1

<i>x</i> <i>y</i>

<i>a</i>  <i>b</i>  _{Đặt b=ka, tập hợp M’là elip (E) có}

phương trình chính tắc

Đây là phép co về trục hoành theo hệ số k biến
đường tròn (C) thành elip (E).

<b>HOẠT ĐỘNG 4: Củng cố</b>
Làm bài tập sau:

2 2

2 2

x y

1 (a b 0)

a b    <b>_{Bài tập 1: Cho elíp (E): . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng,}</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

2 2 2

c a  b _{a) Tiêu cự của (E) là 2c, với}

b) (E) có độ dài trục lớn là 2a, độ di trc bộ l 2b.

c
e

a

c) (E) có tâm sai là

d) Tọa độ các tiêu điểm của (E) là F1(-c; 0) và F2(c; 0)

e) Điểm (b; 0) là một đỉnh của (E).
Trả lời: • a, b, d là các mệnh đề đúng.
• c và e là mệnh đề sai.
<b>Bài tập 2</b>

Xác định độ dài các trục, tọa độ các đỉnh của các elip có phương trình sau.

a) 4<i>x</i>29<i>y</i>2 1
b) 4<i>x</i>29<i>y</i>2 36
<b>Bài tập 3</b>

Lập phương trình của Elip biết

a) Độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 8 và 6.
b) Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.

<b>Bài tập 4</b>

Lập phương trình chính tắc của Elip trong các trường hợp sau :

a) <i>M</i>(0;3)

12
3;

5
<i>N</i>_  _

 _{Elip đi qua các điểm và}

1( 3;0)
<i>F </i>

3
1;

2

<i>M</i>_ _

 _{Elip có một tiêu điểm là và điểm nằm trên Elip.}

<b>V.</b> <b>TỔNG KẾT</b>

<b>1. Củng cố bài học:</b>
Cần nhớ:

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

2 2

2 2 1

<i>x</i> <i>y</i>

<i>a</i> <i>b</i>  <i>;b</i>2 <i>a</i>2 <i>c</i>2_{+ Phương trình chính tắc của elip (E): (a>b>0)}

+ Elip có phương trình (1) nhận các trục tọa độ làm trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

+ Cách xác định các đỉnh, hình chữ nhật cơ sở của elip.

+ Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip là tâm sai của elip.

<i>c</i>

<i>a<b>_{Kí hiệu là e, tức e =}</b></i>

<b>2. Dặn dò:</b>

</div>


<!--links-->