Đề thi và đáp án Giải tích 1 đề số 61 giữa kỳ 1 năm học 2019-2020 – UET – Tài liệu VNU
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (473.65 KB, 5 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
1
<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ</b> <b>ĐỀ THI GIỮA KỲ MƠN HỌC GIẢI TÍCH 1 </b>
***** (Học kỳ I năm học 2019-2020)
<b>Thời gian làm bài 120 phút </b>
<b>Mã số đề thi: 61 </b>
<b>1.(1,0đ) Chứng minh rằng, hàm số </b>yf(x)sin(lnx)cos(lnx)là nghiệm của phương trình
0
y
'
xy
''
y
x2
<b>2.(2,0đ) Cho hàm số </b>
2
x
khi
p
2
x
khi
x
cos
x
sin
x
sin
)
x
(
f 2
3
, tìm giá trị của tham số p để hàm số
<b>này liên tục trên tập số thực R </b>
<b>3.(2,5đ) Cho hàm số </b>
x
1
1
ln
)
x
(
f , chứng minh rằng f(n)(0)(n1)!
<b>4.(2,5đ) Tính chu vi và diện tích của hình hoa 4 cánh được tạo bởi 4 đường trịn </b>
1
y
)
1
x
(
1
)
1
y
(
x
2
2
2
2
<b>5.(2,0đ) Tính tích phân </b>
0
x
3
dx
e
x
I 2
<b>================================ </b>
<b>TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ </b> <b>ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIẢI TÍCH 1 </b>
***** (Thi giữa kỳ, học kỳ I năm học 2019-2020)
<b>Mã số đề thi: 61 </b>
<b>1.(1,0đ) Ta có </b>yf(x)sin(lnx)cos(lnx) (1)
)'
x
).(ln
x
sin(ln
)'
x
).(ln
x
cos(ln
)]'
x
cos(ln
)
x
[sin(ln
)
x
(
'
f
'
y
x
)
x
sin(ln
)
x
cos(ln
x
1
).
x
sin(ln
x
1
).
x
cos(ln
<b> (0,25đ) (2) </b>
2
'
x
'
x
)].
x
sin(ln
)
x
[cos(ln
x
)]'.
x
sin(ln
)
x
[cos(ln
x
)
x
sin(ln
)
x
cos(ln
)]'
x
(
'
f
[
''
y
2
x
1
)].
x
sin(ln
)
x
[cos(ln
x
].
)'
x
).(ln
x
cos(ln
)'
x
).(ln
x
sin(ln
[
2
x
)
x
sin(ln
)
x
cos(ln
x
.
x
1
).
x
cos(ln
x
1
).
x
sin(ln
<sub></sub> <sub></sub>
2
2
x
)
x
cos(ln
2
x
)
x
sin(ln
)
x
cos(ln
)
x
cos(ln
)
x
sin(ln
<b> (0,5đ) (3) </b>
Thay (1), (2) và (3) vào biểu thức x2y ''xy'y ta được
)
x
cos(ln
)
x
sin(ln
x
)
x
sin(ln
)
x
cos(ln
.
x
x
)
x
cos(ln
2
.
x
y
'
xy
''
y
x2 2 <sub>2</sub>
0
)
x
cos(ln
)
x
sin(ln
)
x
sin(ln
)
x
cos(ln
)
x
cos(ln
2
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
2
<b>2.(2,0đ) Hàm số </b>
2
x
khi
p
2
x
khi
x
cos
x
sin
x
sin
)
x
(
f 2
3
<b> có D(f) = R (0,25đ) liên tục </b>
với
2
\
R
x <b> vì biểu thức tạo ra f(x) là các hàm số sơ cấp (0,25đ). Điểm gián đoạn của hàm số có </b>
thể có tại điểm
2
x <b> (0,25đ). </b>
Đặt
12
2
2
6
2
3
3
6
t
1
x
sin
1
x
cos
t
x
sin
t
x
sin
t
x
sin
x
sin
t <b>(0,25đ) và khi </b>
2
x thì t 1<b> (0,25đ) </b>
)
1
t
...
t
t
)(
1
t
(
)
1
t
t
)(
1
t
(
)
1
t
)(
1
t
(
1
t
)
1
t
(
)
1
t
(
t
1
t
t
x
cos
x
sin
x
sin
10
11
2
12
3
2
12
2
3
2
3
1
t
...
t
t
t
)
1
t
...
t
t
)(
1
t
(
)
t
)(
1
t
(
10
11
2
10
11
2
<b> (0,25đ) </b>
12
1
1
1
...
1
1
1
1
t
...
t
t
t
lim
x
cos
x
sin
x
sin
lim <sub>11</sub> <sub>10</sub>
2
10
11
2
1
t
2
3
2
x
<b> (0,25đ) </b>
Hàm số f(x) liên tục tại điểm p
12
1
2
f
)
x
(
f
lim
2
x
2
x
, do đó khi 12
1
p thì
<b>hàm số f(x) đang xét liên tục trên tập số thực R. (0,25đ) </b>
*Có thể tìm
x
cos
x
sin
x
sin
lim <sub>2</sub>
3
2
x
bằng cách sử dụng Quy tắc L’Hospitale: Biểu thức
x
cos
x
sin
x
sin
2
3
cần tìm giới hạn khi
2
x có dạng vơ định
0
0
khi
2
x
x
sin
x
cos
2
x
sin
x
cos
3
1
x
sin
x
cos
.
2
1
lim
)'
x
(cos
)'
x
sin
x
sin
(
lim
x
cos
x
sin
x
sin
lim
3 2
2
x
2
3
2
x
)
L
(
2
3
2
x
<sub></sub>
12
1
2
1
3
1
2
1
1
1
.
2
1
1
1
.
3
1
1
.
2
1
x
sin
1
.
2
1
x
sin
1
.
3
1
x
sin
2
1
lim
3 2
3 2
2
x
<b>3.(2,5đ) Biến đổi </b> ln1 ln(1 x) ln(1 x)
x
1
1
ln
)
x
(
f
<b> (0,25đ) và tính đạo hàm cấp 1, cấp 2, </b>
cấp 3 và cấp 4 của f(x):
1
)
1
(
)
x
1
.(
1
)
1
.(
x
1
1
)'
x
1
.(
x
1
1
)]'
x
1
ln(
[
)
x
(
f
2
2
2
1
)
1
(
)
2
(
)
x
1
.(
1
)
1
(
)
x
1
)(
1
(
)'
x
1
(
)
x
1
)(
1
(
]'
)
x
1
[(
)]'
x
(
f
[
)
x
(
f
3
3
3
2
)
2
(
)
3
(
)
x
1
.(
2
.
1
)
1
(
)
x
1
)(
2
.(
1
)'
x
1
(
)
x
1
)(
2
.(
1
]'
)
x
1
.(
1
[
)]'
x
(
f
[
)
x
(
f
4
3
4
3
)
3
(
)
4
(
)
x
1
.(
3
.
2
.
1
)
1
(
)
x
1
).(
3
.(
2
.
1
)'
x
1
(
)
x
1
).(
3
.(
2
.
1
]'
)
x
1
.(
2
.
1
[
)]'
x
(
f
[
)
x
(
f
Dự đoán (n) n <sub>n</sub>
)
x
1
(
)!
1
n
(
)
x
1
(
)!
1
n
(
)
x
(
f
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
3
Bây giờ ta chứng minh (4) bằng phương pháp quy nạp toán học:
Bước 1. Với n = 1, ta có (1) 1 1 1 1
)
x
1
(
)
x
1
.(
1
)
x
1
!.(
0
)
x
1
(
)!
1
1
(
)
x
(
f (4) đúng
Bước 2. Giả sử (4) đúng với n, tức là ta có (n) n <sub>n</sub>
)
x
1
(
)!
1
n
(
)
x
1
(
)!
1
n
(
)
x
(
f
Bước 3. Ta phải chứng minh (4) đúng với (n+1), thật vậy:
)
1
(
)
x
1
)(
n
)!.(
1
n
(
)'
x
1
(
)
x
1
)(
n
)!.(
1
n
(
]'
)
x
1
(
)!
1
n
[(
)]'
x
(
f
[
)
x
(
f(n1) (n) n n1 n1
1
n
)
1
n
(
1
n
1
n
)
x
1
(
]!
1
)
1
n
[(
)
x
1
(
]!
1
)
1
n
[(
)
x
1
(
!
n
)
x
1
(
n
)!
1
n
( <sub></sub>
<b>(đpcm) (0,75đ) </b>
Như vậy, công thức xác định đạo hàm cấp n của hàm số
x
1
1
ln
)
x
(
f là
n
n
)
n
(
)
x
1
(
)!
1
n
(
)
x
1
(
)!
1
n
(
)
x
(
f
<b>với quy ước 0! = 1.(0,5đ) Bây giờ khi thay x = 0 vào công thức </b>
n
)
n
(
)
x
1
(
)!
1
n
(
)
x
(
f
ta được (n 1)!
1
)!
1
n
(
)
0
1
(
)!
1
n
(
)
0
(
f(n) <sub>n</sub>
<b> (0,25đ) </b>
*Để chứng minh công thức xác định đạo hàm cấp n của hàm số
x
1
1
ln
)
x
(
f , ta có thể làm bằng
cách gọn hơn như sau:
x
1
1
x
1
1
)
x
1
(
1
x
1
1
)
x
1
(
)
x
1
.(
1
)
x
1
.(
0
x
1
1
x
1
1
x
1
1
ln
)
x
(
'
f
x
1
1
ln
)
x
(
f
2
2
'
'
'
)
1
n
(
)
n
(
x
1
1
)
x
(
f
Mặt khác, ta đã biết <sub>n</sub> <sub>1</sub><sub>1</sub> <sub>n</sub>
)
1
n
(
1
n
)
n
(
)
x
1
(
)!
1
n
(
)
x
1
(
)!
1
n
(
x
1
1
)
x
1
(
!
n
x
1
1
n
)
n
(
)
x
1
(
)!
1
n
(
)
x
(
f
<b>4.(2,5đ) (a) Vẽ đồ thị </b>
- Đồ thị của hai đường tròn
1
y
)
1
x
(
1
)
1
y
(
x
2
2
2
2
giao nhau tại các điểm O(0,0); A(1,1)
- Đồ thị của hai đường tròn
1
)
1
y
(
x
1
y
)
1
x
(
2
2
2
2
giao nhau tại các điểm O(0,0); B(1,-1)
- Đồ thị của hai đường tròn
1
y
)
1
x
(
1
)
1
y
(
x
2
2
2
2
giao nhau tại các điểm O(0,0); C(-1,-1)
- Đồ thị của hai đường tròn
1
)
1
y
(
x
1
y
)
1
x
(
2
2
2
2
</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>
4
<b>(0,25đ) </b>
<b>(b) Tính chu vi </b>
Do tính đối xứng của hình vẽ nên chu vi L của hình hoa bốn cánh này là L = 8L1 với L1 là độ dài
cung OA của đường tròn x2 (y1)2 1có phương trình yf<sub>1</sub>(x)1 1x2 trên đoạn
1
x
0 <b>.(0,25đ) </b>
Theo cơng thức tính độ dài cung
b
a
2
'
1
1 1 [f (x)] dx
L với
1
b
0
a
x
1
1
)
x
(
f<sub>1</sub> 2
<b>(0,25đ) </b>
ta có
2
2
'
1
2
2
2
2
2
'
1
x
1
1
)]
x
(
f
[
1
x
1
x
x
1
x
2
.
2
1
x
1
)'
x
1
(
2
1
)'
x
1
1
(
)
x
(
f
2
0
2
0
arcsin
1
arcsin
x
arcsin
x
1
dx
dx
)]
x
(
f
[
1
L 1
0
1
0 2
1
0
2
'
1
1
<sub></sub>
<sub></sub>
Do đó 4
2
.
8
L
8
L <sub>1</sub> <b>(0,5đ) </b>
<b>(c) Tính diện tích </b>
Do tính đối xứng của hình vẽ nên diện tích S của hình hoa bốn cánh này là S = 4S1 với S1 là
diện tích của cánh hoa nằm ở góc vng thứ nhất của hệ tọa độ Oxy được tạo bởi cung OA của đường
tròn x2 (y1)2 1 trên đoạn 0x1 và cung OA của đường tròn (x1)2 y2 1 có phương
trình 2
2(x) 1 (x 1)
f
y trên đoạn 0x1<b>.(0,25đ) </b>
Theo cơng thức tính diện tích hình phẳng
b
a
1
2
1 f (x) f (x)dx
S với
1
b
0
a
)
1
x
(
1
)
x
(
f
x
1
1
)
x
(
f
2
2
2
1
<b>(0,25đ) </b>
1
0
1
2
1 f (x) f (x)dx
S
<sub></sub>
1
0
2
2
1
0
2
2
</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>
5
1
0
1
0
1
0
2
2
1
0
1
0
1
0
2
2
dx
dx
x
1
)
1
x
(
d
)
1
x
(
1
dx
dx
x
1
dx
)
1
x
(
1
1
0
1
0
2
2
1
0
2
2
x
1
x
arcsin
.
1
x
1
x
2
1
1
1
x
arcsin
.
1
)
1
x
(
1
)
1
x
(
2
1 <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
10
1
0
2
1
0
2
x
x
arcsin
x
1
x
2
1
)
1
x
arcsin(
)
1
x
(
1
)
1
x
(
2
1 <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
(1 1) 1 (1 1) arcsin(1 1) (0 1). 1 (0 1) arcsin(0 1)
2
1 <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> 2 <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> 2 <sub></sub> <sub></sub>
1. 1 1 arcsin1 0. 1 0 arcsin0
(1 0)2
1 2 2
1.0 arcsin1 0.1 arcsin0
12
1
)
1
arcsin(
0
.
1
0
arcsin
1
,
0
2
1
1
2
1
4
4
1
0
0
2
0
2
1
2
0
0
0
2
1
<sub></sub> <sub></sub>
)
2
(
2
1
2
4
S
4
S <sub>1</sub>
<b>(0,5đ) </b>
*Ở trên ta đã dùng cơng thức tích phân C
a
x
arcsin
a
x
a
x
2
1
dx
x
a2 2 2 2 2
<sub></sub> <sub></sub>
<b>5.(2,0đ) </b>
0
2
x
2
0
x
3
0
x
3
)
x
(
d
e
x
2
1
dx
e
x
dx
e
x
I 2 2 2 <b> (0,25đ)</b>
Đặt
0
t
2
dt
te
2
1
I
t
x
0
t
0
x
x
t <b> (0,25đ) </b>
Đặt
dt
e
)
t
(
dv
dt
)
t
(
du
dt
e
dt
)
t
(
'
v
dv
dt
dt
.
1
dt
)
t
(
'
u
du
e
)
t
(
v
t
)
t
(
u
t
t
t <b>(0,25đ)</b>
b
0
b
b
0
b
b
0
b
0
)
t
(
du
)
t
(
v
lim
)
t
(
v
)
t
(
u
lim
2
1
)
t
(
dv
)
t
(
u
lim
2
1
)
t
(
dv
)
t
(
u
2
1
I
b
0
t
b
b
0
t
b
b
0
t
b
b
0
t
b
b
0
b
b
0 lime
e
t
lim
2
1
dt
e
lim
te
lim
2
1
)
t
(
du
)
t
(
v
lim
)
t
(
v
)
t
(
u
2
1
<sub></sub>
<sub></sub>
<sub>b</sub> b <sub>b</sub> b 0
b
0
t
b
0
b
b <sub>e</sub>
1
e
1
lim
2
1
e
b
lim
2
1
e
1
lim
2
1
e
0
e
b
lim
2
1
2
1
e
b
lim
2
1
1
0
2
1
e
b
lim
2
1
b
b
b
b
<b> (0,75đ) </b>
Khi bthì eb nên biểu thức cần tìm giới hạn <sub>b</sub>
e
b
có dạng vơ định
0
e
1
lim
)'
e
(
'
b
lim
e
b
lim <sub>b</sub>
b
b
b
)
L
(
b
b
<b> (0,25đ) </b>
Do đó
2
1
2
1
0
2
1
0
.
2
1
2
1
e
b
lim
2
1
I <sub>b</sub>
b
</div>
<!--links-->
