Tải Bài tập phương trình bậc hai Có đáp án - Chuyên đề phương trình bậc hai hệ thức và đáp án

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (462.34 KB, 183 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bài tập và đáp án
Bài tập 1: Giải các phơng trình bậc hai sau:

TT PTBH TT PTBH

1 x2 - 11x + 30 = 0 41 x2 - 16x + 84 = 0

2 x2 - 10x + 21 = 0 42 x2 + 2x - 8 = 0

3 x2 - 12x + 27 = 0 43 5x2 + 8x + 4 = 0

4 5x2 - 17x + 12 = 0 44 2

√

3+√¿ ¿

√

6 x

2 – 2(x + 4 = 0

5 3x2 - 19x - 22 = 0 45 11x2 + 13x - 24 = 0

√

2

√

2 x2 - (1+)x + = 0 46 x2 - 11x + 30 = 0

7 x2 - 14x + 33 = 0 47 x2 - 13x + 42 = 0

8 6x2 - 13x - 48 = 0 48 11x2 - 13x - 24 = 0

9 3x2 + 5x + 61 = 0 49 x2 - 13x + 40 = 0

√

3

√

6 x2 - x - 2 - = 0 50 3x2 + 5x - 1 = 0

11 x2 - 24x + 70 = 0 51 5x2 + 7x - 1 = 0

12 x2 - 6x - 16 = 0 52

√

3 3x2 - 2x - 3 = 0

13 2x2 + 3x + 1 = 0 53

√

2 x2 - 2x + 1 = 0

14 x2 - 5x + 6 = 0 54

(

√

3− 1)

√

3 x2 - 2x - 2 = 0

15 3x2 + 2x + 5 = 0 55 11x2 + 13x + 24 = 0

16 2x2 + 5x - 3 = 0 56 x2 + 13x + 42 = 0

17 x2 - 7x - 2 = 0 57 11x2 - 13x - 24 = 0

√

3 3x2 - 2x - 2 = 0 58 2x2 - 3x - 5 = 0

19 -x2 - 7x - 13 = 0 59 x2 - 4x + 4 = 0

√

2

√

3− 1¿

√

2 x2 – 2(x -3 = 0 60 x2 - 7x + 10 = 0

21 3x2 - 2x - 1 = 0 61 4x2 + 11x - 3 = 0

22 x2 - 8x + 15 = 0 62 3x2 + 8x - 3 = 0

23 2x2 + 6x + 5 = 0 63 x2 + x + 1 = 0

24 5x2 + 2x - 3 = 0 64 x2 + 16x + 39 = 0

25 x2 + 13x + 42 = 0 65 3x2 - 8x + 4 = 0

26 x2 - 10x + 2 = 0 66 4x2 + 21x - 18 = 0

27 x2 - 7x + 10 = 0 67 4x2 + 20x + 25 = 0

28 5x2 + 2x - 7 = 0 68 2x2 - 7x + 7 = 0

29 4x2 - 5x + 7 = 0 69 -5x2 + 3x - 1 = 0

30 x2 - 4x + 21 = 0 70

√

3 x2 - 2x - 6 = 0

31 5x2 + 2x -3 = 0 71 x2 - 9x + 18 = 0

32 4x2 + 28x + 49 = 0 72 3x2 + 5x + 4 = 0

33 x2 - 6x + 48 = 0 73 x2 + 5 = 0

34 3x2 - 4x + 2 = 0 74 x2 - 4 = 0

35 x2 - 16x + 84 = 0 75 x2 - 2x = 0

36 x2 + 2x - 8 = 0 76 x4 - 13x2 + 36 = 0

37 5x2 + 8x + 4 = 0 77 9x4 + 6x2 + 1 = 0

√

3+

√

2¿

√

6 x2 – 2(x + 4 = 0 78 2x4 + 5x2 + 2 = 0

39 x2 - 6x + 8 = 0 79 2x4 - 7x2 - 4 = 0

40 3x2 - 4x + 2 = 0 80 x4 - 5x2 + 4 = 0

Bài tập 2. Tìm x, y trong các trêng hỵp sau:

a) x + y = 17, x.y = 180 e) x2 + y2 = 61 , x.y = 30

b) x + y = 25, x.y = 160 f) x - y = 6, x.y = 40

c) x + y = 30, x2 + y2 = 650 g) x - y = 5, x.y = 66

d) x + y = 11 x.y = 28 h) x2 + y2 = 25 x.y = 12

2 2 5 0

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2 5 0

x  x q  b) Phương trình có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.

2 7 0

x  x q  c) Cho phương trình: , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của
phương trình.

2 50 0

x  qx  d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : , biết phương trình có 2 nghiệm và có

một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.

Bài giải:

1 2

x  a) Thay v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc : 
1

4 4 5 0

p p

    

1 2 5
x x  2

1
5 5
2
x
x
 

T ừ suy ra
1 5

x  b) Thay v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc
25 25   q 0 q50

1 2 50
x x  2

1
50 50
10
5
x
x
 
  

T ừ suy ra

1 2 11

x  x  x1x2 7

1 2 1

1 2 2

11 9

7 2

x x x

  

 



 

  

  c) Vì vai trị của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử 
và theo VI-ÉT ta có , ta giải hệ sau:

1 2 18

q x x  Suy ra 
1 2 2

x  x x x 1 2 50d) Vì vai trị của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử và theo VI-ÉT ta có . Suy ra
2

2 2 2

2 2

2
5

2 50 5

5
x
x x
x


    

 
2 5

x  x 1 10 Với th ì 
2 5

x  x 1 10 Với th ì 
1 3

x  x 2 2

Bµi tËp 4 Cho ; lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên

1 2

1 2
5
6
S x x

P x x

  




 

 x x1; 2Bµi gi¶i: Theo hệ thức VI-ÉT ta có vậy là nghiệm của phương trình có dạng:

2 2

0 5 6 0

x  Sx P   x  x 

2 3 2 0
x  x  x x1; 2

1 2
1
1
y x

x

  2 1

1
y x

x
 

Bµi tËp 5 Cho phương trình : có 2 nghiệm phân biệt .
Khơng giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : v

Bài giải: Theo h th c VI- ÉT ta c ó:

1 2

1 2 2 1 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 3 9

( ) ( ) 3

2 2
x x

S y y x x x x x x

x x x x x x

  

               

 

1 2 2 1 1 2

1 2 1 2

1 1 1 1 9

( )( ) 1 1 2 1 1

2 2

P y y x x x x

x x x x

            

2 0

y  Sy P  Vậy phương trình cần lập có dạng: 
2 9 9 0 2 2 9 9 0

2 2

y  y   y  y 

hay

  Bµi tËp 6 Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tích P = ab = 4

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

  x23x 4 0 Vì a + b = 3 và ab = 4 nên a, b là nghiệm của phương trình :

1 1

x  x 2 4giải phương trình trên ta được và

 Vậy nếu a = 1 thì b = 4
 nếu a = 4 thì b = 1

Bµi tËp 7 Tìm 2 số a và b biết
1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41

 2. a b = 5 và ab = 36

3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30

H

ướ ng d ẫ n : 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích

của a v à b.









2 2

2 2 2 81

9 81 2 81 20

2
a b
a b   a b   a  ab b   ab   

T ừ
1

2
4
9 20 0

5
x
x x
x


    


 Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : 
Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5

nếu a = 5 thì b = 4

2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b

  Cách 1: Đ ặt c = b ta có : a + c = 5 và a.c = 36

1
2

2
4
5 36 0

9
x
x x
x


    


 Suy ra a,c là nghiệm của phương trình :

  Do đó nếu a = 4 thì c = 9 nên b = 9
 nếu a = 9 thì c = 4 nên b = 4



a b



2 



a b



2 4ab



a b



2 



a b



24ab169

Cách 2: Từ





2 132 13

13
a b
a b
a b
 

    
 

13
a b 

1
2

2
4
13 36 0

9
x
x x
x


    


 *) Với và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 
4

 9 Vậy a = thì b =

a b 

1
2

2
4
13 36 0

9
x
x x
x


    


 *) Với và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 
Vậy a = 9 thì b = 4

3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:



a b



2 a2 b2 2ab 61 2.30 121 112

        
11
11
a b
a b
 

   

 T ừ: a2 + b2 = 61

a b 

1
2

2
5
11 30 0

6
x
x x
x


    


 *) Nếu và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình: 
5

 665 Vậy nếu a = thì b = ; nếu a = thì b =

11
a b 

1
2

2
5
11 30 0

6
x
x x
x


    


 *) Nếu và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : 
Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5.

2 4 3 8 0

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

2 2

1 1 2 2

3 3
1 2 1 2

6 10 6

5 5

x x x x

x x x x

 









2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2

3 3 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

6 10 6 6( ) 2 6.(4 3) 2.8 17

5 5 5 2 5.8 (4 3) 2.8 80

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

    

   

       

 

  HD:



m1



x2 2mx m  4 0 x x1; 2 x x1; 2

Bµi tËp 9 Cho phương trình : có 2 nghiệm . Lập hệ thức liên hệ 
giữa sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

HD : Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :

1
1

1 0 1

' 0 ( 1)( 4) 0 5 4 0

5
m
m

m m

m m m




   
  
  
   
       
   

Theo hệ th ức VI- ÉT ta có :

1 2 1 2

2 2

2 (1)

1 1

4 3

. . 1 (2)

1 1

m

x x x x

m m

m

x x x x

m m

 
    
 
   

 

    
   
 

Rút m từ (1) ta có :

1 2

2 2

2 1

1 x x m 2

m      x x  (3)
Rút m từ (2) ta có :

1 2

3 3

1 1

1 x x m 1

m       x x (4)

Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:



1 2





1 2





1 2



1 2

1 2 1 2

2 3

2 1 3 2 3 2 8 0

2 1 x x x x x x x x

x x    x x          

1; 2

x x



m 1



x2 2mx m 4 0

     A3



x1x2



2x x1 2 8

Bµi tËp 10 Gọi là nghiệm của phương trình : .
Chứng minh rằng biểu thức không phụ thuộc giá trị của m.

HD: Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :

1
1

1 0 1

' 0 ( 1)( 4) 0 5 4 0

5
m
m

m m

m m m




   
  
  

   
        
   

Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó :

1 2
1 2
2
1
4
.
1
m
x x
m
m
x x
m

 

 


 
 

 thay v ào A ta c ó:



1 2



1 2

2 4 6 2 8 8( 1) 0

3 2 8 3. 2. 8 0

1 1 1 1

m m m m m

A x x x x

m m m m

    
         
   
1
m 
4
5
m 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>









2 2 2 1 0

x  m x m  x x1; 2 x x1; 2 x x1; 2

Bµi tËp 11Cho phương trình : có 2 nghiệm . Hãy lập hệ

thức liên hệ giữa sao cho độc lập đối với m.



m 2



2 4 2



m 1



m2 4m 8



m 2



2 4 0

           

H

ướ ng d ẫ n: Dễ thấy

do đó phương trình đã cho ln có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 
Theo hệ thức VI- ÉT ta có

1 2
1 2
1 2
1 2
2(1)
2
1

. 2 1 (2)

2
m x x
x x m

x x

x x m m

  

  
 

  
  
 

Từ (1) và (2) ta có:





1 2

1 2 1 2 1 2

2 2 5 0

2
x x

x x     x x  x x  









2 4 1 2 4 0

x  m x m 

Bµi tËp 12 Cho phương trình : .

x x2Tìm hệ thức liên hệ giữa và sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

2 2

(4m 1) 4.2(m 4) 16m 33 0

        H ướ ng d ẫ n: Dễ thấy do đó phương trình đã cho ln có 2 
nghiệm phân biệt x1 và x2

Theo hệ thức VI- ÉT ta có

1 2 1 2

(4 1) 4 ( ) 1(1)

. 2( 4) 4 2 16(2)

x x m m x x

x x m m x x

     
 

 
   
 

Từ (1) và (2) ta có:

1 2 1 2 1 2 1 2

(x x ) 1 2x x 16 2x x (x x ) 17 0

         









2 6 1 9 3 0

mx  m x m 

Bµi tËp 13 : Cho phương trình :

x x2 x1x2 x x1. 2 Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à :













0 0 0 0

' 9 2 1 9 27 0 ' 9 1 0 1

' 3 21 9( 3) 0

m m m m

m m m m m

m m m

 
     
  
  
   
           
         
   

1 2
1 2
6( 1)
9( 3)
m
x x
m
m
x x

m


 




 


 x1x2 x x1 2Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: v à t ừ gi ả thi ết: . Suy ra:
6( 1) 9( 3)

6( 1) 9( 3) 6 6 9 27 3 21 7

m m

m m m m m m

m m

 

            

(thoả mãn điều kiện xác định )

x x2 x1x2 x x1. 2Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức :





2 2 1 2 2 0

x  m x m  

Bµi tËp 14 Cho phương trình : .

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

1& 2

x x Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm là :

2 2

' (2m 1) 4(m 2) 0

     

2 2

4m 4m 1 4m 8 0

     

4 7 0

4
m m
    
1 2
2
1 2
2 1
2

x x m

x x m

  




 

 3x x1 2 5



x1x2



 7 0Theo hệ thức VI-ÉT ta có: và từ giả thiết . Suy ra
2

3( 2) 5(2 1) 7 0

3 6 10 5 7 0

2( )

3 10 8 0 4

( )
3
m m
m m
m TM
m m
m KTM
    
     



    
 

1

x x23x x1 2 5



x1x2



 7 0Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức :

Bµi tËp 15





2 2 4 7 0

mx  m x m   1. Cho phương trình :

x x2 x1 2x2 0 Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức :





2 1 5 6 0

x  m x m 

2. Cho phương trình :
1

x x24x13x2 1 Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức:









3x  3m 2 x 3m1 0

3. Cho phương trình : .
1

x x23x1 5x2 6 Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
HD:

16
0 &

15
m m

BT1: - ĐKX Đ:

1 2
1 2
( 4)
(1)
7
m
x x
m
m
x x
m
 

 




 


 -Theo VI-ÉT:

1 2 2 0
x  x 

1 2 2 2

1 2 1 2

1 2 1

2( ) 9

2( ) 3

x x x

x x x x

x x x

 



  



 

 - Từ Suy ra: (2)

1 2

127 128 0 1; 128

m  m   m  m  - Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau: 
2 22 25 0 11 96 11 96

m m m

          BT2: - ĐKXĐ:

1 2

1 2
1

(1)

5 6

x x m

x x m
  





 

 - Theo VI-ÉT:

1 2
4x 3x 1



 



1 1 2

1 2 1 2 1 2

2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 3( )

1 3( ) . 4( ) 1
4( ) 1

7( ) 12( ) 1

x x x

x x x x x x

x x x

x x x x x x

  

     

  


</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

0
12 ( 1) 0

1
m
m m
m


   


 - Thế (1) vào (2) ta có phương trình : (thoả mãn ĐKXĐ)

2 2 2

(3m 2) 4.3(3m 1) 9m 24m 16 (3m 4) 0

           BT3: - Vì với mọi số thực m nên phương

trình ln có 2 nghiệm phân biệt.

1 2
1 2
3 2
3 (1)
(3 1)
3
m
x x
m
x x


 



 
 


 - -Theo VI-ÉT:

1 2

3x  5x 6



 



1 1 2

1 2 1 2 1 2

2 1 2

1 2 1 2 1 2

8 5( ) 6

64 5( ) 6 . 3( ) 6

8 3( ) 6

64 15( ) 12( ) 36

x x x

x x x x x x

x x x

x x x x x x

  

     

  


      - Từ giả thiết: . Suy ra: (2)

(45 96) 0 32

15
m
m m
m



  
 

 - Thế (1) vào (2) ta được phương trình: (thoả mãn )

2 0

ax bx c  Bµi tËp 16 Cho phương trình: (a  0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2
nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….

Ta lập bảng xét dấu sau:

Dấu nghiệm x1 x2 S x1x2 P x x 1 2  Điều kiện chung

trái dấu   P < 0   0   0 ; P < 0.

cùng dấu,   P > 0   0   0 ; P > 0

cùng dương, + + S > 0 P > 0   0   0 ; P > 0 ; S > 0

cùng âm   S < 0 P > 0   0   0 ; P > 0 ; S < 0.
Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình:





2 2

2x  3m1 x m  m 6 0

có 2 nghiệm trái dấu.
Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì

2 2

2
2

(3 1) 4.2.( 6) 0

0 ( 7) 0

2 3

0 0 ( 3)( 2) 0

m m m

m m

m

m m

P P P m m

      
      
 
     
    
      
  


2 m 3

   Vậy với thì phương trình có 2 nghi ệm trái dấu.





2 2 1 0

x  m x m 

Bµi tËp 17 Cho phương trình :

x x2 Gọi và là các nghiệm của phương trình. Tìm m để :
2 2

1 2 6 1 2

A x x  x x có giá trị nhỏ nhất.

1 2

(2 1)

x x m

x x m

  






 Bài giải: Theo VI-ÉT:





2 2

1 2 6 1 2 1 2 8 1 2
A x x  x x  x x  x x

Theo đ ề b ài :





2 1 8

4 12 1

(2 3) 8 8

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

minA8 2m 3 0 hay

3
2
m 

Suy ra:

2 1 0

x  mx m   Bµi tËp 18Cho phương trình : 
1

x x2 Gọi và là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau:





1 2
2 2

1 2 1 2

2 3

2 1

x x
B

x x x x




  

1 2

1 2 1
x x m
x x m

 




 

 Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì :





1 2 1 2

2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

2 3 2 3 2( 1) 3 2 1

2 1 ( ) 2 2 2

x x x x m m

B

x x x x x x m m

    

    

      

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn

Ta biến đổi B như sau:









2 2

2 2 1 1

2 2

m m m m

B
m m
    
  
 









2
2
2
1

1 0 0 1

2
m
m B
m

     
 Vì

max B=1  Vậy m = 1

Với cách thêm bớt khác ta lại có:

















2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1

2 1 4 4 2 2 1

2 2 2 2

2 2 2 2 2

m m m m m m m

B

m m m

       
   
  













2
2
2
2 1

2 0 0

2 2
m
m B
m

     

Vì
1
min 2
2

B  m

Vậy

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để

phương trình đã cho ln có nghiệm với mọi m.
2

2
2 1

2 2 1 0

2
m

B Bm m B

m


     

 (Với m là ẩn, B là tham số) (**)

2
1 B B(2 1) 1 2B B

       Ta có:

Để phương trình (**) ln có nghiệm với mọi m thì   0



 



2 2

2B B 1 0 2B B 1 0 2B 1 B 1 0
           

hay
1

2 1 0 2

1 0 1 1

2 1 0 1

2
1 0
1
B
B
B B
B
B
B
B
B
 



   


 
   
 

      
   
 
 

 
 
 

  


max B=1  Vậy: m = 1
1

min 2

B  m

Bài 19: (Bài toán tổng quát)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

2. Vô nghiệm   < 0

3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau)   = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)   > 0

5. Hai nghiệm cùng dấu   0 và P > 0

6. Hai nghiệm trái dấu   > 0 và P < 0  a.c < 0
7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0)   0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0)   0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau   0 và S = 0

10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau   0 và P = 1

11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn  a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn

 a.c < 0 và S > 0

a
b


a
c

(ở đó: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = )

Bài 20: Giải phương trình (giải và biện luận): x2- 2x+k = 0 ( tham số k)
Giải

’ = (-1)2- 1.k = 1 – k

Nếu ’< 0  1- k < 0  k > 1  phương trình vơ nghiệm

Nếu ’= 0  1- k = 0  k = 1  phương trình có nghiệm kép x1= x2=1
Nếu ’> 0  1- k > 0  k < 1  phương trình có hai nghiệm phân biệt

k


1 1 k x1 = 1- ; x2 = 1+

Kết luận:

Nếu k > 1 thì phương trình vô nghiệm
Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1

k


1 1 k Nếu k < 1 thì phương trình có nghiệm x1 = 1- ; x2 = 1+

Bài 21: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm

b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?

c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm cịn lại(nếu có)?
Giải

2
3

a) + Nếu m-1 = 0  m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0  x = (là nghiệm)
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’=12- (-3)(m-1) = 3m-2

3
2

(1) có nghiệm  ’ = 3m-2  0  m  
3

+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m  thì phương trình có nghiệm

2
3

b) + Nếu m-1 = 0  m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0  x = (là nghiệm)
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2

3
2

(1) có nghiệm duy nhất  ’ = 3m-2 = 0  m = (thoả mãn m ≠ 1)
3
1
3
2
1
1
1






m

Khi đó x =

2
3

+Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =

3
2

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

4
3

(m-1)22 + 2.2 - 3 = 0  4m – 3 = 0  m = 
4

3
4
1


Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m -1 = -1= ≠ 0)
6
12
4
1
3
1
3
2 








x
m

Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 =

4
3

Vậy m = và nghiệm còn lại là x2 = 6

Bài 22: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

 d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x12+x22 10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m

f) Hãy biểu thị x1 qua x2
Giải
4
15
2

1 2








m

a) Ta có: ’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) = 
0
2
1 2








m 0
4
15


Do với mọi m;   > 0 với mọi m
 Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt

Hay phương trình ln có hai nghiệm (đpcm)

b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c < 0  – 3 – m < 0  m > -3
Vậy m > -3

c) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm

Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó phương trình có hai nghiệm âm  S < 0 và P > 0

3
3
1
0
)
3
(
0
)
1
(
2



















 m
m
m
m
m

Vậy m < -3

d) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm

Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)

Khi đó A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 
Theo bài A  10  4m2 – 6m  0  2m(2m-3)  0






















































0
2
3
2
3
0
2
3
0
0
3
2
0

0
3
2
0
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m

2
3

Vậy m  hoặc m  0

e) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm





















6
2
.
2
2
2
.
)
3
(
.
)
1
(
2
2
1
2
1

2
1
2
1
m
x
x
m
x
x
m
x
x
m
x
x

Theo định lí Viet ta có:
 x1 + x2+2x1x2 = - 8

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

2
2
1
2
1
8
x
x
x






f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - 8  x1(1+2x2) = - ( 8 +x2) 

2
2
1 1 2

8
x
x
x




2
1
2 
x

Vậy ()

Bài 23: Cho phương trình: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1

2
1
1
1
x
x
y  

1
2
2
1
x
x
y  

c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn ; với x1; x2 là nghiệm của phương trình ở
trên

Giải

a) Ta có ’ = 12 – (m-1) = 2 – m

Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
2
2
2
1
1
0

2
1
0
'






















 m
m
m
m

m
P

Vậy m = 2

b) Ta có ’ = 12 – (m-1) = 2 – m

Phương trình có nghiệm    0  2 – m  0  m  2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2)
Theo bài: 3x1+2x2 = 1 (3)

2 2 2 4 5 5

1 2 1 2 1 1

3 1 2 2 1 3 1 2 2 1 1 2 2 2 7

x x x x x x

x x x x x x x

     
   
   
  
   
      
   

    Từ (1) và (3) ta có:

Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1  m = - 34 (thoả mãn (*))
Vậy m = -34 là giá trị cần tìm

d) Với m  2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm

Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1 (2)

1 1 1 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 1

1 2 1 2

x x m

y y x x x x

x x x x m m

 

          

 

Khi đó: (m≠1)
2

1 1 1 1

( )( ) 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 1

2 1 1 2

m

y y x x x x m

x x x x m m

          
 
(m≠1)
m
m

1
2
1
2

m
m

 y1; y2 là nghiệm của phương trình: y2 - .y + = 0 (m≠1)

Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0

Bài 24: Giải và biện luận phơng trình : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = 0
Gi¶i.

Δ❑

Ta cã = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – 9

Δ❑ ⇔ ⇔ + Nếu > 0 m2 – 9 > 0 m < - 3 hoặc m > 3 .Phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân 
biệt:

√

m2−9

√

m2−9 x1 = m + 1 - x2 = m + 1 + 
Δ❑ ⇔ ± + NÕu = 0 m = 3

- Víi m =3 thì phơng trình có nghiệm là x1.2 = 4
- Với m = -3 thì phơng trình có nghiệm lµ x1.2 = -2
Δ❑ ⇔ + NÕu < 0 -3 < m < 3 thì phơng trình vô nghiệm

Kết kuận:

Với m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = 4
Với m = - 3 thì phơng trình có nghiệm x = -2

 Víi m < - 3 hc m > 3 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Với -3< m < 3 thì phơng trình vô nghiệm

Bài 25: Giải và biện luận phơng trình: (m- 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0

Híng dÉn

 ⇔ Nếu m – 3 = 0 m = 3 thì phơng trình đã cho có dạng

⇔ 1

2 - 6x – 3 = 0 x = -

⇔ Δ❑ * Nếu m – 3 0 m 3 .Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số = m2 –
(m – 3)(m – 6) = 9m – 18

Δ❑ ⇔ ⇔ - NÕu = 0 9m – 18 = 0 m = 2 .phơng trình có nghiệm kép

b

a =
2

2 3 x1 = x2 = - = - 2

Δ❑ ⇔ - NÕu > 0 m >2 .Phơng trình có hai nghiệm phân biệt

m 3

m 2

m −3 x1,2 =

Δ❑ ⇔ - NÕu < 0 m < 2 .Phơng trình vô nghiệm

2 Kết luận:

Với m = 3 phơng trình có nghiệm x = -
Với m = 2 phơng trình có nghiệm x1 = x2 = -2

m 3

√

m −2

m −3 Víi m > 2 vµ m 3 phơng trình có nghiệm x1,2 =
Với m < 2 phơng trình vô nghiệm

Bài 26: Gọi x1 , x2 là các nghịêm của phơng trình : x2 – 3x – 7 = 0 
a) TÝnh:

|

x1− x2

|

A = x12 + x22 B =
1

x1−1+
1

x2− 1 C= D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)

a) 1

x1−1

x2−1 lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là và

Giải ;

Phơng trình bâc hai x2 3x – 7 = 0 cã tÝch ac = - 7 < 0 , suy ra phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt 
x1 , x2 .

Theo hƯ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = 3 vµ p = x1x2 = -7
a)Ta cã

+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = 9 – 2(-7) = 23

|

x1− x2

|

√

S2

− 4 p=

√

37 + (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = = 
1

x1−1+
1
x2− 1

(x1+x2)−2
(x1−1)(x2− 1)=

S −2
p − S +1=−

9 + C = =

+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2

= 10x1x2 + 3 (x12 + x22)

= 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1
b)Ta cã :

1
x1−1+

1
x2− 1=−

9 S = (theo c©u a)
1

(x1−1)(x2− 1)

= 1

p − S +1=−
1
9 p =
1

x1−1

x2−1 VËy vµ lµ nghiƯm của hơng trình :

1

9
1

9 X

2 – SX + p = 0 X2 + X - = 0 9X2 + X - 1 = 0

Bài 27 : Cho phơng trình :

x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k lµ tham sè)

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

3. Gọi x1 , x2 là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0
Giải.

1. Ph¬ng trình (1) là phơng trình bậc hai có:

6

5
9

5 = (k -1)

2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + 9 = 5(k2 - k + )
3
5
9

25
36
25
3
5
36

5 = 5(k

2 – 2.k + + ) = 5(k - ) + > 0 với mọi giá trị của k. Vậy 
ph-ơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

2. Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < 0

⇔ ⇔ 1

2
1
4

4 - k

2 + k – 2 < 0 - ( k2 – 2.k + + ) < 0

⇔ 1

2
7

4 -(k - )

2 - < 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu 
với mọi k

3. Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2)

Vì phơng trình có nghiệm với mäi k .Theo hÖ thøc viÐt ta cã
x1 + x2 = k – 1 vµ x1x2 = - k2 + k – 2

 x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1)
= (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)]
= (k – 1) (4k2 – 5k + 7)

5
4

16 = (k – 1)[(2k - )
2 + ]

⇔ 5

4
87

16 Do đó x1

3 + x23 > 0 (k – 1)[(2k - )2 + ] > 0

⇔ 54 8716 k – 1 > 0 ( v× (2k - )2 + > 0 víi mäi k)

⇔ k > 1
Vậy k > 1 là giá trị cần tìm
Bài 28:

Cho phơng trình : x2 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)
1. Giải phơng trình (1) với m = -5

2. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biƯt víi mäi m

|

x1− x2

|

Tìm m để đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phơng trình (1) nói trong
phần 2.)

Gi¶i

1. Với m = - 5 phơng trình (1) trở thµnh x2 + 8x – 9 = 0 vµ cã 2 nghiƯm lµ x1 = 1 , x2 = - 9 
2. Δ❑ Cã = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + 1 – m + 4 = m2 + m + 5

1
2
1
4
19
4
1
2
19

4 = m

2 + 2.m. + + = (m + )2 + > 0 víi mäi m
Vậy phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2

3. Vì phơng trình có nghiệm với mäi m ,theo hÖ thøc ViÐt ta cã:
x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m – 4

Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – 4 (m – 4)
1

2
19

4 = 4m

2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 + ]

|

x1− x2

|

m+
1
2¿
2
+19
4
¿
√¿

√

2 ⇔

2 => = 2 = khi m + = 0 m = -

|

x1− x2

|

√

19 1

2 Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi m = -

Bµi 29 : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số)

1) 9

2 Giải phơng trình khi m = -

2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Gi¶i:

1) 9

2 Thay m = - vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc
5x2 - 20 x + 15 = 0

ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x1 = 1 , x2= 3

2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phơng trình đã cho trở thành;

⇔ 5x – 5 = 0 x = 1

+ Nếu : m + 2 0 => m - 2 .Khi đó phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số :

Δ = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = 1 – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > 0 
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt

2 m− 1+5
2(m+2)

2 m+4
2 m+4=1

2 m− 1− 5
2(m+2) =

2(m− 3)
2(m+2)=

m− 3

m+2 x1 = = x2 =

Tóm lại phơng trình đã cho ln có nghiệm với mọi m

3)Theo câu 2 ta có m - 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp 3 lần
nghiệm kia ta sét 2 trờng hợp

⇔ m−3

m+2
9

2 Trờng hợp 1 : 3x1 = x2 3 = giải ra ta đợc m = - (đã giải ở câu 1)

⇔ m−3

m+2 ⇔ ⇔

2 Trêng hỵp 2: x1 = 3x2 1= 3. m + 2 = 3m – 9 m = (thoả mÃn
điều kiện m - 2)

2 Kiểm tra lại: Thay m = vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình :
15x2 – 20x + 5 = 0 phơng trình này có hai nghiệm

5
15

3 x1 = 1 , x2 = = (thoả mÃn đầu bài)

Bài 30: Cho phơng trình : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) víi m lµ tham sè .

1. BiƯn ln theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)

2. Tỡm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.

3. Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai.
Giải

⇔ 3

4 1. + NÕu m = 0 thay vµo (1) ta cã : 4x – 3 = 0 x =
Δ❑ + NÕu m 0 .LËp biÖt sè = (m – 2)2 – m(m-3)
= m2- 4m + 4 – m2 + 3m
= - m + 4

Δ❑ ⇔ ⇔ < 0 - m + 4 < 0 m > 4 : (1) v« nghiƯm

Δ❑ ⇔ ⇔ = 0 - m + 4 = 0 m = 4 : (1) cã nghiÖm kÐp

b❑

a =
m−2

m =
4 − 2

2 =
1

2 x1 = x2 =

-Δ❑ ⇔ ⇔ > 0 - m + 4 > 0 m < 4: (1) cã 2 nghiÖm ph©n biƯt

m−2 −

√

− m+4
m

m−2+

√

− m+4

m x1 = ; x2 =
Vậy : m > 4 : phơng trình (1) vô nghiÖm

2 m = 4 : phơng trình (1) Có nghiệm kép x =
0 m < 4 : phơng trình (1) có hai nghiệm phân biÖt:

m−2 −

√

− m+4
m

m−2+

√

− m+4

m x1 = ; x2 =
3

4 m = 0 : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x =

⇔ c

a ⇔

m−3

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

⇔

¿m− 3>0
m<0
¿
¿
¿
m −3<0
¿
m>0
¿
¿
¿
¿
¿
⇔
¿m>3
m<0
¿
¿
¿
m<3
¿
m>0
¿
¿
¿

¿
¿

¿
m>3
m<0
¿{
¿

Trêng hỵp không thoả mÃn

m<3
m>0
{

Trờng hợp 0 < m < 3

3. *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm
Δ❑ ⇔ 0 0 m 4 (*) (ở cõu a ó cú)

- Thay x = 3 vào phơng tr×nh (1) ta cã :

⇔ ⇔ 9

4 9m – 6(m – 2) + m 3 = 0 4m = 9 m =
-9

4 - §èi chiÕu với điều kiện (*), giá trị m = - thoả m·n

Δ❑ 9

4
9
4
9
4
9
4
9

4 ⇔ *) Cách 2: Không cần lập điều kiện 0 mà thay x = 3 vào
(1) để tìm đợc m = -.Sau đó thay m = - vào phơng trình (1): -x2 – 2(- - 2)x - - 3 = 0 -9x2 +34x 
– 21 = 0

Δ❑

x1=3

x2=

7
9
¿
¿
¿

cã = 289 – 189 = 100 > 0 =>

4 VËy víi m = - thì phơng trình (1) có một nghiệm x= 3
*)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm

9
4

9 Cỏch 1: Thay m = - vo phơng trình đã cho rồi giải phơng trình để tìm đợc x2 = (Nh phần
trên đã làm)

4 Cách 2: Thay m = - vào công thức tính tỉng 2 nghiƯm: 
2(m−2)
m =
2(−9
4−2)
−9
4
=34

9 x1 + x2 =

 34

9
34

9
7

9 x2 = - x1 = - 3 =
9

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

m−3
m =

−9
4− 3
−9
4
=21
9
21
9
21
9
7

9 x1x2 = => x2 = : x1 = : 3 =
Bài 31: Cho phơng trình : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) víi k lµ tham sè

1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép

2. Tim k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện :
x12 + x22 = 10

Gi¶i.

⇔ Δ❑ ⇔ 1.Phơng trình (1) có nghiệm kép = 0 k2 – (2 – 5k) = 0

⇔ Δ k2 + 5k – 2 = 0 ( cã = 25 + 8 = 33 > 0 )
 − 5 −

√

− 5+

√

2 k1 = ; k2 =
− 5 −

√

− 5+

√

2 Vậy có 2 giá trị k1 = hoặc k2 = thì phơng trình (1) Có nghiệm kép.
2.Có 2 cách giải.

Cỏch 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm:

Δ❑ ⇔ 0 k2 + 5k – 2 0 (*)
Ta cã x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 
Theo bµi ra ta cã (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10

b

a=¿ Víi ®iỊu kiƯn(*) , ¸p dơng hƯ trøc vi Ðt: x1 + x2 = - - 2k vµ x1x2 = 2 – 5k
⇔ VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 2k2 + 5k – 7 = 0

2 (Cã a + b + c = 2+ 5 – 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = -

Δ❑ Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào = k2 + 5k – 2
Δ❑

+ k1 = 1 => = 1 + 5 – 2 = 4 > 0 ; tho¶ m·n
7
2 Δ
❑ 49
4 −
35
2 −2=

49 −70 −8
4 =−

8 + k2 = - => = không thoả mÃn
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm

Cách 2 : Không cần lập điều kiện 0 .Cách giải là:

2 T iu kin x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = 1 ; k2 = - (cách tìm nh trên)
Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1)

+ Víi k1 = 1 : (1) => x2 + 2x – 3 = 0 cã x1 = 1 , x2 = 3
7

2
39

2 Δ + Víi k2 = - (1) => x

2- 7x + = 0 (cã = 49 -78 = - 29 < 0 ) .Phơng trình vô nghiệm
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm

Bài 32

Cho phơng trình: x2 - 4x + m + 1 = 0.
a/ Giải phng trình khi m = 2

b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm

c/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10
d/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x13 + x23 = 34

Gi¶i

a/ Khi m = 2 PT  x2 - 4x + 3 = 0 do a + b + c = 0  x1 = 1, x2 = 3.

b/ ' = 4 - m - 1 = 3 - m, phơng trình có nghiệm 3 - m 0 m 3.
c/ Để phơng trình có 2 nghiệm thì phải có 0 m  3.

Khi đó: x12 + x22 = 10  (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10  16 - 2(m + 1) = 10  m = 2
d/ Để phơng trình có 2 nghiệm thì phải có   0  m  3.

x13 + x23 = 34  (x1 + x2)[(x1 + x2)2 -3x1x2] =34  4[16 -3(m + 1)] =34  m +1 =10  m = 9

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Cho phơng trình: x2 - 2(m - 1)x - 3 - m = 0.

a/ Chứng minh rằng phơng trình ln có nghiệm với mọi m.
b/ Tìm để phơng trình có một nghiệm x = 2, tìm nghiệm kia

c/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12 + x22  10

d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 sao cho P = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất

Gi¶i

a/ ' = m2 - 2m + 1 + m + 3 = m2 - m + 4 = (m- 1/2)2 + 15/4 > 0  với mọi m thì phơng trình luôn có
nghiệm.

b/ x = 2 thay vào phơng trình ta có: 5m = 5  m = 1. Khi đó phơng trình có dạng: x2 - 4 = 0  x = 2 ẩ
x = -2.

c/ x12 + x22  10  (x1 + x2)2 - 2x1x2  10  [2(m - 1)]2 + 2(m + 3)  10 

 4m2 -8m + 4 + 2m + 6  10  4m2 - 6m  0  m(2m - 3)  0  m  3/2 È m  0.
d/ P = x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = [2(m - 1)]2 + 2(m + 3) = 4m2 - 6m + 10 =

(2m - 3/2)2 + 31/4  Pmin = 31/4 m = 3/4.

Bài 34

Cho phơng trình: x2 - 2mx + 2m -1 = 0.

a/ Chøng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.

b/ Tỡm m để phơng trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn 2x12 + 2x22 - 5x1x2 = 27.
c/ Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia.

d/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x1 = x22

Gi¶i

a/ ' = m2 - 2m + 1 = (m + 1)2 0 với mọi m phơng trình lu«n cã nghiƯm.

b/ 2x12 + 2x22 - 5x1x2 = 27  2[(x1 + x2)2 - 2x1x2] - 5x1x2 = 27  2(x1 + x2)2 - 9x1x2 = 27  8m2 - 9(2m +
1) = 27  8m2 - 18m - 18 = 0  4m2 - 9m - 9 = 0

 m = 3 È m = -3/4.

c/ Gi¶ sư phơng trình có 2 nghiệm: x1 = 2x2 ta cã:

x1 + x2 = 3x2 =2m  x2 =2m/3 (1) vµ x1x2 = 2x22 = 2m - 1x22 = (2m - 1)/2 (2).
Tõ (1) vµ (2)  4m2/9 = (2m - 1)/2  8m2 - 18m + 9 = 0  m = 3/4 È m = 3/2
d/ Ta cã: x = m + m + 1 = 2m + 1 È x = m - m - 1 = -1

NÕu x1 = 2m + 1, x2 = -1 th× ta cã: 2m + 1 = 1  m = 0

NÕu x1 = -1, x2 = 2m + 1 thì ta có: -1 = (2m + 1)2 vô lý. Vậy m = 0.

Bài 35

Cho phơng trình: (m - 1)x2 + 2(m - 1)x - m = 0.

a/ Tìm m để phơng trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép này
b/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
c/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm
d/ Tìm m để phơng trỡnh cú 2 nghim phõn bit u dng

Giải

a/ Phơng rình có nghiệm kép m 1 và ' = 0  m2 - 2m + 1 + m2 - m = 0
 2m2 - 3m + 1 = 0  (m - 1)(2m - 1) = 0  m = 1 È m = 1/2

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

c/ Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm 

d/ Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều dơng 

Lo¹i

Vậy khơng tồn tại m để phơng trình cú 2 nghim phõn bit u dng.

Bài 36

Cho phơng tr×nh: x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = 0.

a/ Chứng minh rằng phơng trình ln có 2 nghiệm khi m thay đổi.
b/ Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: 1 < x1 < x2 < 6.





























 















































'

1

2 m

1 m

1 m

1

m

1 / 2

m

0

0 (m 1)(2m 1)

0 m

1 m

0 x x

0 m

0 m

1

m 1

























 























































1 2
1 2

m

1 m

1 (m 1)(2m 1)

0

m

1

0 m

0 m

1 / 2

m

1 / 2

0 x x

0 m 1

0 m

1 2(m 1)

x

0 m 1

































 







 















 



























'

1

2

1

2 m

1 m

1

m

1 (m 1)(2m 1)

0

m

1 / 2

0 m

0 m

1

0 x x

0 m 1

2

0 2(m 1)

x

0

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Gi¶i

a/  = 4m2 - 12m + 9 - 4m2 + 12m = 9 > 0 phơng trình luôn có 2 nghiệm.

b/ x1 = ; x2 =

Víi mäi m ta lu«n cã: m - 3 < m  1 < m - 3 < m < 6  4 < m < 6.

Bµi 37

Cho phơng trình: 3x2 - mx + 2 = 0. Tìm m để pt có 2 nghiệm thoả mãn: 3x1x2 = 2x2 - 2.

Giải

ĐK:

Bài 38

Gọi a, b là nghiệm của phơng trình: x2 + px + 1 = 0
c, d là nghiệm của phơgn trình: x2 + qx + 1 = 0
a/ Chøng minh r»ng: (a - c)(a - d)(b - c)(b - d) = (p - q)2
b/ Chøng minh r»ng: (a - c)(b - c)(a + d)(b + d) = q2 - p2

Gi¶i







2m 3 3

m 3

2 





2m 3 3

m

2 

 





È





È









































1 2 2 2 2

1 2 1 2 1

1 2 1 2

m

24

0 m

2 6

m

2 6

m

2 6

m

2 6

3x x

2x

2 2x

2 x

2

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Theo định lý Viét ta có: .

a/ VT = (a - c)(a - d)(b - c)(b - d) = (a2 - ad - ac + cd)(b2 - bc - bd + cd) =
[a2 - a(c + d) + cd][b2 - b(c + d) + cd] = (a2 + aq + 1)(b2 + bq + 1) =
a2b2 + a2bq + a2 +ab2q + abq2 + aq + b2 + bq + 1 =

1 + aq + bq + q(a + b) + [(a + b)2 - 2ab] + q2 + 1 =

2 + q(a + b) - pq + p2 - 2 + q2 + 1 = p2 - 2pq + q2 = (p - q)2 = VP.

b/ VT = (a - c)(b - c)(a + d)(b + d) = [ab - c(a + b) + c2][ab + d(a + b) + d2] = (1 + cp + c2)(1- dp + d2) = 
1-dp + d2 + cp - cdp2 + cd2p + c2 - c2dp + c2d2 =

= 1- dp + d2 + cp - p2 + dp + c2 - cp + 1 = (c + d)2 - 2cd - p2 + 2 = q2 - p2 = VP.
x2

+(m+1) x+5− m=0 Bài 39 Cho phơng trình: . (1)
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm bằng -1. Tìm nghiệm cịn lại.
b) Giải phơng trình khi m = -6.

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.

❑1 x2 d) Với m tìm đợc ở câu c, hãy viết một hệ thức giữa xvà độc lập đối với m.
Lời giải

a) Ph¬ng trình (1) có một nghiệm bằng -1 nên:

12+(m+1)(1)+5 m=0 m=5
2
¿

x2+7
2x +

5
2=0⇒

2 Khi đó ta có phơng trình: nghiệm cịn lại của PT là:

x2−5 x +11=0 Δ=−19<0 ⇒ b) Víi m = -6 ta cã PT: cã ph¬ng trình vô nghiệm.

=m2+6 m 19 c) Ta có: .

=m2

+6 m 19 Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi >0.

Δ Ta xÐt dÊu

−3 −2

√

7 m -3+2
Δ + 0 - 0 +

−3 −2

√

7 VËy khi m < hoặc m > -3+2 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt.

x1+x2= m 1 x1x2= m d) Ta cã: (1); (2).
− x1x2+5 x1+x2=x1x2−6 Tõ (2) suy ra: m = , thay vµo (1):

x1+x2 x1x2+6=0 Vậy hệ thức cần tìm là: .
Bài 40 Giải các phơng trình sau:

x44 x2+3=0 x+
1
x

2 4(x +1

x)+3=0

a) b)
Lêi gi¶i

x2=t (ĐK: t ≥0) t2− 4 t+3=0 a) Đặt . Khi đó phơng trình đẫ cho trở thành: 
t1=1, t2=c

a=3 V× a + b + c = 0, nên phơng trình cã hai nghiƯm: (TM§K)

 









a

b

p

c d

q

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

t1=1⇒ x2=1⇒ x=± 1 * Víi

t2=3⇒ x2=3⇒ x=±

√

3 * Víi

3;

3 Vậy phơng trình có 4 nghiệm : x = -1; 1; .

x 0 x+1

x=t b) ĐK: . Đặt
t2− 4 t+3=0 t

1=1, t2=
c

a=3 Ta đợc: .Theo câu a/
t1=1⇒ x+

x=1 * (PT v« nghiƯm)
t2=3⇒ x+1

x=3⇔ x
2

− 3 x +1=0 ⇔ x1=
3+

√

2 ; x2=
3−

√

2 *
x2−2 (m− 1) x +m2 2=0 Bài 41: Cho phơng trình (I)

a) Giải phơng trình (I) khi m = -2

b) Tìm m để phơng trình (I) có nghiệm?. Có hai ngiệm phân biệt?.
c) Tìm m để phơng trình (I) có hai nghiệm trái dấu ?.

d) x1; x2 x12+x22=4 Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mãn điều kiện
e) x1; x2 x1=2 x2 Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mãn điều kiện
f) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu .

g) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm.
h) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng.

i) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 1. Tìm nghiệm cịn lại.

j) x1; x2 2 x1−4 x2=−3 Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mãn điều kiện

Lời giải

x2+6 x +2=0 a) Khi m = -2, ph¬ng trình (I) trở thành:
'=b'

ac=32 1. 2=7 >0 Ta có phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
x1= 3+

√

1 =−3+

√

7 ; x2=

−3 −

√

1 =− 3 −

√

7
⇔ Δ'≥ 0⇔(m −1)2− 1.

(

m2− 2

)

≥ 0⇔−2 m+3≥ 0 ⇔ m≤3

2 b) Ph¬ng trình (I) có nghiệm
Phơng trình (I) có hai nghiệm phân biệt

'

>0(m 1)2 1.

(

m2 2

)

>0 2m+3>0 m<3
2
c

a<0m
2

2<0

2<m<

2 c) Phơng trình (I) có hai nghiƯm tr¸i dÊu

x1; x2 m≤3

2 d) Điều kiện để phơng trình có nghiệm là:
x1+x2=

−b

a =2 (m−1) ; x1x2=
c
a=m

− 2 Khi đó theo hệ thức Vi-et ta có:

x12+x22=4 ⇔

(

x
1+x2

)

− 2 xxx2=4⇔

[

2( m−1)

]

2−2 .

(

m2−2

)

=4⇔ 2 m2

−4 m+2=0 Do đó

⇔(x −1)2=0⇔ x =1 (TM§K)

x1; x2 m≤3

2 e) Điều kiện để phơng trình có nghiệm là:
¿

x1+x2=2 (m− 1) (1)
x1x2=m2−2 (2)
x1=2x2 (3)

¿{ {
¿

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

x2=2 (m− 1)
3 ; x1=

4 (m −1)
3

m=−8+3

√

10
¿

m=− 8 −3

√

10
¿

¿
¿
¿

2 (m− 1)
3 .

4 (m− 1)
3 =m

−2⇔ 8( m−1)2

(

m2−2

)

⇔ m2

+16 m −26=0
⇔

Từ (1) và (3) ta có thay vo (2) ta c

' 0

c
a>0

m3
2

m>

m<

2<m3
2

m<

{

f) Phơng trình (I) cã 2 nghiÖm cïng dÊu

⇔
Δ'≥0
− b

a <0

c
a>0

⇔

¿m ≤3
2
m− 1<0

¿
m2−2>0

⇔

¿m ≤3
2
m<1
m>

√

¿
m<−

√

¿
¿⇔m<−

√

¿
¿
¿

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

⇔

Δ'≥ 0

− b
a >0
c
a>0

⇔

¿m≤ 3
2
m>1

¿
m>

√

¿
m<−

√

¿⇔

√

2<m≤3
2
¿
¿
¿

h) Ph¬ng trình (I) có hai nghiệm cùng dơng

a+b+c =0 1 2 (m1)+m22=0m2 2m+1=0 (m 1)2=0m=1 i) Phơng trình (I)

cã mét nghiÖm b»ng 1

x2=c
a=

m2−2
1 =

12− 2

1 =−1 Khi đó nghiệm cịn lại là

2 x1−4 x2=−3 j) Ph¬ng trình (I) có nghiệm thoả ĐK:
m3

2 K: ( phơng trình có nghiệm)
¿

x1+x2=2(m −1) (1)
x1x2=m2− 2 (2)
2x1-4x2= -4 (3)

¿{ {
¿

Theo hÖ thøc Vi-et và yêu cầu bài toán, ta có:

x1=4 m 6
3 ;x2=

2 m
3

4 m −6
3 .

2 m
3 =m

−2⇔2 m( 4 m− 6)=9

(

m2−2

)

⇔ m2

+12 m− 18=0⇔
m=− 6+3

√

¿
m=−6 −3

√

¿
¿
¿
¿
¿

Tõ (1) vµ

(3) ta có thay vào (2), ta đợc (TM)

Bài 42 : Xác định m để phơng trình

a) Có hai nghiệm trái dấu

b) Cã hai nghiƯm ©m ph©n biƯt
Híng dÉn :

2

5

3

1

0

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

0 a

ac











1 0,

3

1

0 m















1

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25></div>
(26)<div class='page_container' data-page=26></div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

VËy m < thì phơng trình
có hai nghiệm trái dấu

b) Phơng trình có hai
nghiƯm ©m ph©n biƯt
<=> <=>

0 a

P

S







 













1 0,

12

29

0

3

1

0

5 0,

m

























  



</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

<=> <=>

Vậy thì phơng trình có hai nghiệm âm ph©n biƯt

29

12

1

3 m















29

1

3 

m



12

29

1

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Bài 43: Cho phơng trình (1)

Tỡm m để (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn iu kin

Giải: Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biÖt

2 mx



(m 1)x





2 

0,

m



0

1

2 x , x

1

2 x



x



2

1

2

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

<=> <=> <=>

<=> m > hc m <

- Theo hƯ thøc Vi – Ðt, ta cã:

0  

2 m



10m 1

2  

0 (m 5)



24 

0

5 5 2 6





2 6

1

2

1

2 m 1

2 x

;

x .x

m



</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

- Theo đề bài <=>

<=> <=> (*)

Giải phơng trình (*) ta đợc

§èi chiÕu với điều kiện của tham số m => m1 (loại) vµ m2 (nhËn)

VËy m =

2

1

2 x



x



2 

x

1



x

2



2 

2x x

1 2



2 

m 1



2 2.

2 2

m







2 m



6m 1





0

1

2 m



10 

3,m



10 

3

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Bµi 44: Cho phơng trình

x1 v x2 l hai nghim phõn biệt của phơng trình. Khơng giải phơng trình, tìm giá trị của m để :

2

3

0 x



x



m



1

2

6 x

1

2 

x

2

2 

34 x



x



2

1

2

30 x



x



1

2

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Híng dÉn:

1

2

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

9 4

m

0   



</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 <=> <=> m <

Khi đó, theo định lí Vi – ét ta có:

a) <=> <=>

<=> <=> 9 – 4m = 36 <=> m =
VËy :

1

2 1 2

3 S

x

P

x x

m















1

2

6 x



x





x

1



x

2



2 

36

2

1

2 1 2

2

36 x



x x



x





x

1



27 x

2



2 

4 x x

1 2

9 

36

4 



27

4

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

b) <=> . Từ đó tìm đợc m =

VËy :

2

1

2

34 x



x





x

1



25 x

2



2 

2 x x

1 2

9 

34

2

4 



25

2

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

c) <=> <=>

<=> <=>

<=> <=> 9 - 4m = 100 <=> m =
VËy :

d) Giải hệ Ta đợc

2

1

2

30 x

1 

2 x

1 

2 (

x



x

)(

x



x

)



30

1

2

10 x



x



2

1

10 x

2 

2 

x



1

2 1 2

100 (gi¶ sö x > x )

2

1 x

x x



x

1



91 x

2



2 

4 x x

1 2



9

100

4 



91

4 m

1 

2 

1

2

3

2 x













1

2

1 x







</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Theo định lí Vi- ét: m =
Vậy m = 2

e) Giải hệ Ta đợc

1 2

9

2

4 x x  

1

2

1

2

3

2

20

3 x















1

2

26

29 x







</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Theo định lí Vi- ét: m =
Vậy m = - 754

Bài 45: Xác định các giá trị của tham số m để phơng trình

cã hai nghiÖm tháa m·n :

a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia 1 đơn vị

1 2

9

754

4 x x 



2 (

5)

6

0 x



m



x



m





1 ,

2

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Hớng dẫn:

Phơng trình có hai nghiÖm <=>

<=> . Sau khi giải bất phơng trình này đợc kết quả: (*)

a) Gi¶ sư

1

2 x



3 x



13

1 ,

2 x x

m

2

14 m

1

0  



 

(

m 

m

 

7 7 4 3 hc m



4 3 )(

m

 

7 4 3 )



- 7 + 4 3



0

2

1

2

1

2 1 2

1 (1)

ta cã hÖ

5 (2)

6 (3)

x

m

x x

m

























</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

(1) + (2) => . Thay vµo (1) =>

Thay vào (3) => m = 0 hoặc m = -14 tháa m·n ®iỊu kiƯn (*)
VËy m = 0 hc m = -14

b) Ta có hệ Từ hệ này tìm đợc m = 0 hoặc m = 1

2

6

2 m

x

1





4

2 m

x





1 ,

2 x x

1

2

1

2 1 2

2

3

13

5

6 x

m

x x

m























</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Bµi 46: Cho phơng trình bậc hai

Tỡm m phng trỡnh có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức
Tính ?

2

3 x



mx



2 

0

1 ,

2 x x

1 2

1

3 x x



2 x



2

1 ,

2

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Hớng dẫn: Phơng trình có hai nghiệm <=>
<=>

Ta có: . Tìm đợc

1 ,

2 x x

m

2

24 m

0  





2 6 hc

2 6

m



m



1 2

1

2 1 2

3

2

3

2

3 x x

x

m

x

x x























1

2

1 2,

,

7

3

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Bài 47: Cho phơng tr×nh bËc hai

Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức

Híng dÉn: Ta cần có điều kiện (*)

Theo nh lớ Vi - ét

2

7

0 x



ax



a





1 ,

2 x x

1

2

10 x



x



2

4

28

0 a

 





1

2 ,

1 2

7

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

T tỡm c

không thỏa mÃn điều kiện (*) và thỏa mÃn điều kiện (*)

Vậy a = - 4

Bài 48: Cho phơng trình bậc hai 
a) TÝnh vµ theo m

2

1

2

10 x

1 

6,

x

2 

4 a



a



1

6 a 

2

4 a 

2

7

0 x



2 mx



m





2

1

2 x

1

3 

x

2

3

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

b) Tìm giá trị của m để

c) Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm bằng - 2 rồi tính nốt nghiệm thứ hai.
Hớng dẫn:

a) =

Theo Vi - ét ta tính đợc =

2

1

2

10 x



x



2

1

2 x

2 

x

14 m



m



3

2

1

2 (

1

2 )(

1 1 2

2 )

(

1

2 ) (

1

2 )

3 1 2

x



x



x



x



x x



x



x



x



x



x



x x







3

1

2 x



x

2 (

3 21)

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

b) => m = - 4

c) m = 11 vµ

Bµi 49: Cho phơng trình

a) Tỡm nhng giỏ tr ca m phơng trình có nghiệm

b) Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm bằng - 2. Tìm nt nghim kia
Hng dn:

1 6( loại ) và m = - 4 (nhËn)

2 m 

1 2,

2

9 x



x

2

3

0

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

a) Phơng trình có nghiệm <=>

b) Thay x1 = - 2 vào phơng trình ta cã: 4 - 6 - m = 0 <=> m = - 2 tháa m·n

Theo định lí Vi ột. Ta cú:

Bài 50: Với giá trị nào của b thì phơng trình

a) có một nghiÖm b»ng 5

9

0

4 m



  



9

4 m





2

1 3 ( 2)

1 x



S



x



 



2

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

b) cã mét nghiÖm b»ng 7

c) có một nghiệm bằng 3. Tính nghiệm còn lại
Kết qu¶:

a) b = - 8 b) b = c) b = 14 và x2 =
Bài 51: Cho phơng trình: x2 – 2(m + 3)x + m2 + 4m + 6 = 0
Tìm m để phơng trình có nghiệm là 2.

Tỉng qu¸t:

2 2

15

7

0 b x



x





2 (

b



1)

x



(

b



1)

x



72 

0 4 7

7 

24

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

Cho phơng trình ax2 +
bx + c = 0 (a0) có một
nghiệm x = x1.

Cách giải:

Thay x = x1 vào phơng
trình ax12 + bx1 + c =
0. Giải phơng trình có
ẩn là tham số.

Bài 52:

Cho phơng trình: x2 
(3m + 2n + 4)x + 4m +
10n + 38 = 0

Tìm m để phơng trình cú nghim l 1 v 2
Tng quỏt:

Cho phơng trình ax2 +
bx + c = 0 (1) (a0) cã
hai nghiÖm x = x1; x =
x2.

C¸ch 1:

Thay x = x1; x = x2vào
phơng trình (1) ta có
hệ phơng trình:

Giải hệ phơng trình có ẩn là tham số.
Cách 2:







2

1

2

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Theo hÖ thøc Vi- et

Thay x = x1; x = x2vào hệ và giải ta đợc giá trị của tham số.
Bài 53: Lập phơng trình bậc hai nhận hai số 2 và 3 làm nghiệm
Hớng dẫn: Phơng trình có dạng (x - 2)(x - 3) = 0 <=> x2 – 5x + 6 = 0
Bài 54:





















1

2

1

2 b

x

a

c

x .x

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

Lập phơng trình khi biết phơng trình có hai nghiệm: x1 = 3 - ; x2 = 3 +

Bài 55: Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm liên lạc với nhau bëi hÖ thøc

2 2

1 ,

2

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

Víi m

Đặt S = , P = . Từ hệ trên ta tìm đợc S = 1 và P = m – 1

1 2

1

2 1 2

1

2 (

)

(1)

1 (

)

(2)

x x

x

m

x x

m x

x









 





1 

1

2 x



x

1 2

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

ĐK:

Phơng trình cần tìm là: víi

Bài 56: Tìm hệ thức độc lập với m giữa những nghiệm số của phơng trình

Híng dÉn:

2

5

4

1 4(

1)

4 S



P





m





m



2

1

0 x



x



m





5

1

4 m







2 2(

1)

2

3

0

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

- Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 là <=>

<=>

0 '

0 a 





 





















2

1 0,

2

0 m

2 hc m

2

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

- Theo định lí Vi – ét, ta có : <=> => S - P = - 1

Hay , đó là hệ thức độc lập với m giữa những nghiệm số của phơng trình

Bài 57: Cho phơng trình . Tìm hệ thức độc lập với k giữa những nghiệm số của phơng trình

2(

1)

2

3 S

m

P

m















2

3 S

m

P

m















1

2 1 2

1

0 x



x



x x

 

2

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

Híng dẫn: Để phơng trình có nghiệm, ta phải có: <=>

Theo Vi – Ðt:

, đó là hệ thức độc lập với k giữa những nghiệm số của phơng trỡnh
Bi 58:

Cho phơng trình x2 - 2(m + 5)x + 4m - 3 = 0

a) Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.

Kết quả: b)
Bài 59:

Cho phơng trình x2 2(m + 1)x + m2 + 2m = 0

k 1

0 '

0 







 



4 k

1

5  

S

2k

k

(S

2)

S

S 2

k 1

S

P 4

3S 2P 8

0

S 2

P 1

k 4

P 4

P

k

( P

1)

k 1

P 1











































1

2 1 2

Hay 3( x



x ) 2x x





8 

0

1

2 1 2

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.

Kết quả:

Bài 60 :
Cho phơng
trình
a) Giải
phơng
trình

2 1 2

1

2

1

2 4x x



( x



x



2)



4( x



x ) 8





0

2 4

1 0

x



x

 

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

b) Gäi x1; x2

lµ hai

nghiƯm của
phơng
trình . HÃy
tính giá trị
của biểu
thức

Giải:

a) Xét
ph-ơng trình
. Ta có:

Phơng
trình cã 2
nghiƯm
ph©n

biƯt ;

 

1

3

2

3 B x





x

2 4

1 0

x



x

 

 

1

2 ' 4

4.1.1 16 4 12 0

 













1 4 2 3

2

3

2.1 x

2



 

4 2 3

 

2

3

2.1

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

b) áp dụng định lí Vi – ét ta có:

Mµ: = =

1

2

1

2

4 .

1 x

x x













3

1

2 x



x



3

2

3  

2 

1 3 .

1

3 1 2

2 3 .

1

3 1 2

x



x x



x x



x



x x



x x

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

= . VËy = - 52

Bµi 61 Cho phơng trình gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình
1) Không giải phơng trình hÃy tính giá trị của các biÓu thøc sau:





4 

3 

3.1. 4









64 12





52

3

1

2 x



x

2

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

a) ; b) c)

1

2 x



x

1 .

2 x x

1

3

2

3

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

2) Xác định phơng trình bậc hai nhận và là nghiệm.
Gii:

1) Xét phơng trình .

Ta có:

Phơng
trình có 2
nghiệm ph©n
biƯt ;

2

1

2 x

2

2 



x

1

2 x







7 x

 

4 0

2

7 4.2.4 49 32 17 0

  











</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

áp dụng định lí Vi – ét, ta có:

1

2

1

2

7

2 .

2 x

x x















</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

b) Ta cã: = =

3

1

2 x



x



3

2

3  

2 

1 3 .

1

3 1 2

2 3 .

1

3 1 2

x



x x



x x



x



x x



x x

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

= = . VËy =

3

7

3.2.

2 

























343 42

343 168 175

8

2

8 

3 

3

1

2 x

175 

x

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

c) =

2) Đặt u = và v =

1

2 x



x

1 14 8

2

2 

2

1

2

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

Ta cã: u + v = += - =-

= =



2 

1

2 x



x



2 

2

1 x

2 

x

2

1

2 x



x



x

1



x

2





x

1



x

2



2 

2 x x

1 2



x

1



x

2



2

7

2.2

2 













49

7 49 16 14 19

4

2

4 

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

u + v



19

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

Mµ: u . v = .=- + = - +



2 

1

2 x



x



2 

2

1 x

2 

x

2

1 .

2 x x



3 

1

2 x



x

1 .

2 x x



x x

1 2



2 

3 

1

2 x



x

1 .

2

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

= 22 - + 2 =

175

8

175 48 175

127

6

8 

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

u . v



127

8 

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

Vì 2 số u và v có tổng u + v và tích u. v. Nên u ; v là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai:

19

4 

127

8 



2

19

127 0

4

8

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

Vậy phơng trình cần tìm là:

Bài 62: Cho phơng trình gäi x1 ; x2 lµ hai nghiệm của phơng trình
1) Không giải phơng trình hÃy tính giá trị của các biểu thức sau:

a) ; b)

2

19

127 0

4

8 

 

X

2 X

8 X



38 X



127 0



2 x



9 x

 

6 0

1

2 x



x

1 .

2 x x

1

3

2

3

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

2) Xác định phơng trình bậc hai nhận và là nghim.

Giải:

1) Xét phơng trình .
Ta có:

Phơng
trình có 2
nghiƯm ph©n
biƯt ;

1

2 x

2





3 x

1

2 x







9 x

 

6 0

2

9 4.2.6 81 48 33 0

  













1 x

2

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

áp dụng định lí Vi – ét, ta có:

1

2

1

2

9

2 .

3 x

x x















</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

b) Ta cã: = =

= =

3

1

2 x



x



3

2

3  

2 

1 3 .

1

3 1 2

2 3 .

1

3 1 2

x



x x



x x



x



x x



x x



x

1 

x

2 

3 

3 .

x x x

1

2 

1 

x

2 

3

9

3.3.

2 

























729 81 729 324

405

8

2

8 

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

VËy =

3

1

2 x

405 

x

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

2) Đặt u = và v =

1

2

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

Ta
cã:
u
+ v
=
+=
+
=
-=
u
+ v
=



2 x

1 

3 x

2 



2 x

1

2

2 



9

3 x

2

x

1 

2

1



2 

9

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

Mµ: u . v = .=- + =



2 x

1 

3 x

2 



2 x

2



3 x

1



1

2 4 .



x x

1

2 

6 x



x

1

2 9 .

25 .



x x

1

2 

2

1

2 6 x

x





2

9 243 150 243

93 25.3 6

75

2 





</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

u . v



93

2 

</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

V× 2
sè u vµ v
cã tỉng
u + v =
vµ tÝch u.
v .

9

2

93

2

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84>

Nên u; v là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai:

Vậy phơng

trình cần
tìm là:

Bài 63:

Cho phơng
trình
a) Giải
phơng
trình

2

9

93 0

2 





X

2

9

93 0

2 





X

2 x



5 x



6 0



</div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>

b) Gọi x1; x2

là hai

nghiệm của
phơng
trình . HÃy
tính giá trị
của biểu
thức: B =
Giải:

a) Xét
ph-ơng trình

1

3

1

2 x



5 x



6 0



</div>
(86)<div class='page_container' data-page=86>

Ta có:

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt và

2

5 4.2. 6

25 48 73 0

 













73  



1

5

73

5

73

2.2

4 x

2



 

5

73 

 

5

73

2.2

4

</div>
(87)<div class='page_container' data-page=87>

b) ¸p dơng ®inh lÝ Vi – Ðt ta cã:

1

2

1

2

5

2 .

3 x

x x















</div>
(88)<div class='page_container' data-page=88>

Mµ: =

3

1

2 x



x



3

2

3  

2 

1 3 .

1

3 1 2

2 3 .

1

3 1 2

x



x x



x x



x



x x



x x



x

1 

x

2 

3 

3 .

x x x

1

2 

1 

x

2 





3

5 125 45

125 180

305 3. 3 .

2

8

2

8 

























</div>
(89)<div class='page_container' data-page=89>

VËy =

Bµi 64: Cho phơng trình gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình

3

1

2 x

305 x

8

2

</div>
(90)<div class='page_container' data-page=90>

Không giải phơng trình, hÃy tính giá trị của các biểu thức sau:

a) ;
b)

Giải:

a) Xét phơng
trình

- Ta cã:
Ph-¬ng trình có 2
nghiệm phân
biệt ;

1

2 x



x

1 .

2 x x

x

1 

x

2 x



7 x

 

1 0



7 

2 4.2.1 49 8 41 0

  









</div>
(91)<div class='page_container' data-page=91>

- áp dụng đinh lí Vi Ðt ta cã: ;

1

2

1

2

7

2

1 .

2 x

x x





















1 0;

x 

x 

1 2

.

2 0

0

</div>
(92)<div class='page_container' data-page=92>

; ;

b) Đặt A =

( A > 0)



x 

1 .

2

2 0;

0 x x 

1

2

0 x



x



1 x



x







2 



2

1

2

1

2

1

2 1 2

</div>
(93)<div class='page_container' data-page=93>

( V× A >
0 )

. VËy =

Bài 65: Chứng minh với bất kì giá trị nào của k, phơng trình:

a) có hai nghiệm trái dÊu



2

7

1

7

2 7 2 2

A

2

2.

2 

 





7 2 2

A

2 



x

7 2 2

1 

x

2 

2

</div>
(94)<div class='page_container' data-page=94>

b) kh«ng thĨ cã hai nghiƯm d¬ng

c) cã mét nghiƯm b»ng 1
KÕt quả:

a) ac < 0,=> phơng trình có hai nghiệm tr¸i dÊu

2

12 x



70 x



k

 

1

0

2 (

1)

0 x



k



x



k



k

</div>
(95)<div class='page_container' data-page=95>

b) Ta cã S = , nên phơng trình không thể có hai nghiệm dơng

c) Thay x = 1 vào phơng trình thấy thỏa mÃn => phơng trình có một nghiệm bằng 1

Bài 66: Cho phơng trình

a) Chứng minh rằng phơng trình có hai nghiệm trái dấu với mọi m

70 0

12 

k



  

k

  

2 (

1)

2

0

</div>
(96)<div class='page_container' data-page=96>

b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là . Tìm giá trị của m để đạt giá trị nhỏ nhất
Hớng dẫn:

a) TÝnh ac = < 0 , nên phơng trình có hai nghiệm trái dÊu víi mäi m

1 ,

2 x x

1

2 x



x



1 

2

7

2

4 m

















m



</div>
(97)<div class='page_container' data-page=97>

b) TÝnh =>

2

1

2

11 (

3 )

3 x



2

x



m

2





1

2

11

3

</div>
(98)<div class='page_container' data-page=98>

2

1

2 x

3 m 



x

2 3

</div>
(99)<div class='page_container' data-page=99>

Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi = 0 <=> m =

Bài 67 Cho phơng trình x2 – 2(m – 4)x – 2m – 8 = 0
a) Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biÖt.

b) Cho A = x2(x2 – 2) + x1(x1 – 2). Tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất.
Hớng dẫn:

a) TÝnh

b) MinA = 32 <=> m = 4

Bµi 68 Cho phơng trình x2 2(m 1)x + 2m – 4 = 0 
a) Chøng minh ph¬ng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Cho B = . Tìm m để B đạt giá trị nhỏ nhất.
Hớng dẫn:

11

3

2 (m 3)

15 0, m

 











2

1

2

</div>
(100)<div class='page_container' data-page=100>

a) => phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt

2

</div>
(101)<div class='page_container' data-page=101>

b)
B
=
=
=>

MinB = 3 <=> m =

2

1

2 x



x

2 (2m 3)





3 

3

</div>
(102)<div class='page_container' data-page=102>

Bài 69 Cho phơng trình bậc hai 
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm

b) Cho biểu thức P = . Tìm m sao cho P đạt giá trị nhỏ nhất, hãy tính giá trị ấy.
Hớng dẫn:

b) Tính đợc P =

Khi

VËy MinP = 32 <=> m = - 3

Bµi 70 Cho phơng trình x2 2(m 6)x 2m 2 = 0
a) Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiƯm ph©n biƯt.

b) Cho P = x12 + x22 26x1x2 - x12. x22 . Chứng minh giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào tham số
m.

Kết quả: b) P = 196 => giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào tham số m.

2 x

2(m 1)x



2m 10





0

2 1 2

1

2 6x x



x



x

m



3 hc m



3

2 4(m



2)



28 



2 m



3 

m



2 

1 

m



2  

1 P

32

2

</div>
(103)<div class='page_container' data-page=103>

Bài 71 Cho phơng trình 
a) Giải phơng trình khi m = 1

b) Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

c) Chøng minh biĨu thøc A = kh«ng phơ thuộc vào giá trị của tham số m
Kết quả:

b) , với mọi m

c) A = 10 => Giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của tham sè m

Bài 72 Cho phơng trình . Tìm m sao cho hai nghiệm của phơng trình thỏa mãn A = t giỏ tr nh nht.

Hớng dẫn: Để phơng tr×nh cã hai nghiƯm th×

2 x



2(m 1)x



m 4





0

1

2

1 x (1 x )





x (1 x )



1

2 x

 

2 7 , x

 

2

7

2

19

1 '

(m

)

0

2

4  





2 x



2(m 1)x



2m 10

2 



2

0 1 2

1

2 10x x



x



x

</div>
(104)<div class='page_container' data-page=104>

Khi m => m + 3 => => A

2 1 2

1

2 10x x

4(m 3)



2 x



48 



x

48

3 



0 

m 3





2 

0

</div>
(105)<div class='page_container' data-page=105>

Khi m => m + 3 => => A
=> MinA = 48 <=> m = - 3

Bài 73 Tìm hai số x, y trong các trờng hợp sau:

a) x + y = 11 và xy = 28 b) x – y = 5 vµ xy = 66 c)
Híng dÉn:

a) Hai số x, y là hai nghiệm của phơng trình bËc hai

3 6





m 3

4.36 



48

2 

192

36 





2 x



y



25 vµ xy



12

2

</div>
(106)<div class='page_container' data-page=106>

giải phơng trình ta đợc

Do x, y có vai trị nh nhau nên có hai cặp số (x , y) thỏa mãn là
b) Đặt Y = - y, ta có x + Y = 5, xY = - 66. Giải nh câu a tìm đợc

Hay
c) Tìm
x + y =

Kết
quả:

1

2 X

4, X



7 x

4 x

7 hc

y

7 y

4 









x

11 x

6 hc

Y

6 Y

11 













x

11 x

6 hc

y

6 y

11 













7 

x

3 x

4 x

3 x

4 hc

y

4 y

3 y

4 y

3 







</div>
(107)<div class='page_container' data-page=107>

Bài 74: Tìm giá trị của tham số m để hai phơng trình bậc hai sau có ít nhất một nghiệm chung, tìm
nghiệm chung đó :

Giải:
Cách 1:

- Hai phơng trình có nghiƯm chung khi vµ chØ khi hƯ cã nghiƯm

- Trõ vế với vế của hai phơng trình trong hệ ta có phơng trình: (m - 1)x = m - 1 (*)
+) NÕu m = 1. Thay trùc tiÕp vµo hai phơng trình ta có:

. Hai phng trỡnh ny u vơ nghiệm nên khơng có nghiệm chung

2 x



mx 1

 

0 vµ x + x + m = 0

2 x

mx 1

0 x + x + m = 0





 









2

</div>
(108)<div class='page_container' data-page=108>

Nếu . Từ phơng trình (*) => x = 1, đây là nghiệm chung của hai phơng trình. Thay x = 1 vào một trong hai
phơng trình ta đợc m = - 2

- Vậy m = - 2 thì hai phơng trình có nghiệm chung x = 1
Cách 2: Xét hai trờng hợp

Nếu x = 0, ta thấy phơng trình thứ nhất <=> 1 = 0 (vô lí). Vậy x = 0 không là nghiệm của

ph-ơng trình thứ nhất => không là nghiệm chung của hai phph-ơng trình.

Nếu . Từ hai phơng trình rút ra

m

1

1 x

2

1

0

2 m

,

m

x



</div>
(109)<div class='page_container' data-page=109>

Ta cã: <=> , đây là nghiệm chung của hai phơng tr×nh => m = - 2
VËy m = - 2 thì hai phơng trình có nghiệm chung x = 1

Bài 75: Tìm giá trị của tham số k để hai phơng trình bậc hai sau có ít nhất một nghiệm chung, tìm nghiệm
chung đó :

Gi¶i:

- Hai phơng trình có nghiệm chung khi và chỉ khi hệ

có nghiệm

- Trừ vế với vế của hai phơng trình trong hệ ta có phơng trình: (k + 2)x = 4

+) Nếu k = - 2. Thay vào phơng trình (1), ta cã:

Giải phơng trình này ta đợc hai nghiệm là

2 x

1 x

x







2

3

2

3 x

 

1 x



x



x

 

1 x



1

2 2x



(3k 1)x 9







0 vµ 6x + (7k - 1)x -19 = 0

2 2x

(3k 1)x

9

0 (1)

6x + (7k - 1)x -19 = 0

(2)

















2 2x



5x



9 

0

1

2

5

97

5

97 x

, x

4 



</div>
(110)<div class='page_container' data-page=110>

Thay k = - 2 vào phơng trình (2), ta cã:

Giải phơng trình này ta đợc hai nghim l

=> k = - 2 thì hai phơng trình không có nghiệm chung

+) Nếu . Từ phơng trình (*) => x = . Thay vào phơng trình (1), ta cã:

2 6x



15x 19





0

3

4

15

681

15

681 x

, x

12 





k



4

2

</div>
(111)<div class='page_container' data-page=111>

=> (thỏa mÃn )

Với , phơng trình (1) <=> có hai nghiệm

và phơng trình (2) <=> cã hai nghiÖm

2 3k



8 k



4 

0

1

2 k

2, k

3 

k



2

1 k

2 

2 2x



7x



9 

0

5

6

9 x

1, x

2 



2

</div>
(112)<div class='page_container' data-page=112>

=> thì hai phơng trình có nghiệm chung x = 1

7

8

19 x

1, x

2 



1

</div>
(113)<div class='page_container' data-page=113>

Tơng tự với , hai phơng trình có nghiệm chung x =
- KÕt luËn:

k = 2 th× hai phơng trình có nghiệm chung x = 1

2 k

3

</div>
(114)<div class='page_container' data-page=114>

k
=
thì
hai

phơng trình có nghiệm chung x =

2

3

</div>
(115)<div class='page_container' data-page=115>

Bài 76: Cho hai phơng trình sau:

Tỡm m để hai phơng trình đã cho có đúng một nghiệm chung
Hng dn:

- Hai phơng trình có nghiệm chung khi và chỉ khi hệ

có nghiệm
- Rút m từ phơng trình (2) thay vào phơng trình (1), ta có

Phng trỡnh = 0 vô nghiệm => Nghiệm chung là x = - 2, khi đó m = - 1
Bài 77 Tìm a để hai phơng trình sau có nghiệm chung

Hớng dẫn:

- Hai phơng trình có nghiệm chung khi vµ chØ khi hƯ

cã nghiƯm

2 x



(2m 3)x





6 

0 (1) vµ 2x + x + m - 5 = 0 (2)

2 x

(2m 3)x

6 0 (1)

2x + x + m - 5 = 0

(2)

















3

2 4x



3x



7x



6  

0 ( x



2)(4x



5x 3)





0

2 4x



5x



3

2 2x



(2 3a )x



 

4 a



0 vµ 2x



3(1 a )x 5 2a



 



0

2 2x

(2 3a )x

4 a

0 2x

3(1 a )x

5 2a

0 















</div>
(116)<div class='page_container' data-page=116>

- Trõ vÕ
víi vÕ
cđa hai
phơng
trình, ta
có: x =
a 1.
Thay
vào
ph-ơng
trình
thứ

nhất, ta
nhận
đ-ợc a =
- Thay a
= 2 vào
cả hai
phơng
trình,
tìm
nghiệm
và kết
luận về
nghiệm
chung
là gì ?
- Thay a
= - 2
vào cả
hai

ph-ơng trình, tìm nghiệm và kết luận về nghiệm chung là gì ?
- Tãm

lại: a =
thì hai
phơng
trình có
nghiệm
chung.
Bài 78

Tìm k
để hai
phơng
trình
sau có
nghiệm
chung.
Tìm
nghiệm
chung
đó
Hớng
dẫn:

2 

2

</div>
(117)<div class='page_container' data-page=117>

- Hai phơng trình có nghiệm chung khi vµ chØ khi hƯ cã nghiƯm

- Trõ vÕ víi vế của hai phơng trình, ta có: (k + 3)x = - (k + 3) (*)

+) Nếu k = - 3, thay vào hai phơng trình và nhận thấy hai phơng trình đều vơ nghiệm nên khơng có
nghiệm chung

+) Nếu k => x = - 1, đây là nghiệm chung của hai phơng trình
Thay vào một trong hai phơng trình thu đợc k = 4

Bµi 79 : Chứng minh rằng hệ số của hai phơng trình bậc hai:

liên lạc với nhau bởi hệ thức

2 x

3x

k

0 x

kx

3

0 

















3 

2

1

2

</div>
(118)<div class='page_container' data-page=118>

th× có ít nhất một trong hai phơng trình trên có nghiệm
Giải:

Cách 1: Gọi lần lợt là biệt thức của hai phơng trình

Ta có:

1 2

1

2 a a



2( b



b )

1 ,

2 

2

1

2 a

1 4 b

1 a

2 4b

2 a

1 a

2 4( b

1 b )

2 a

1 a

2 2a a

1 2

</div>
(119)<div class='page_container' data-page=119>

=>
hc
hc
VËy ít
nhất
một
trong
hai
ph-ơng
trình
trên có
nghiệm

Cỏch 2: Giả sử cả hai phơng trình đều vơ nghiệm. Khi đó hay:

1

2    



a

1



a

0 2



2 

0

1



0

2



1 ,

2 



0 

1 0,

2

0  

2

1

2 a



4 b vµ a



4 b

2

1

2

1

2 1 2

1 1 2

2

</div>
(120)<div class='page_container' data-page=120>

, vì

=> Phải có ít nhất một trong hai biệt thức không âm. Vậy có ít nhất một trong hai ph ơng trình trên có
nghiệm

Bài 80: Cho phơng trình 
a) Giải phơng trình khi a = - 1

a

1

a

2



2 0 ( v« lÝ)









a

1



a

2



2 

0

2

</div>
(121)<div class='page_container' data-page=121>

Xác định a biết phơng trình có một nghiệm là - . Tìm nốt nghiệm kia

3

</div>
(122)<div class='page_container' data-page=122>

c) Chøng minh r»ng víi a + b th× cã Ýt nhÊt mét trong hai phơng trình sau đây có nghiệm
Hớng dẫn:

a) x = 0 hc x = - 1

c) TÝnh tæng:

2 

2 x



2ax



b



0,

x



2bx



a



0

2

13

1 a

; x

10

5 



2

1

2

1

2 '

(a

2a 1) ( b

2b 1) (a

b 2)

'

(a 1)

( b 1)

(a

b 2)

0

</div>
(123)<div class='page_container' data-page=123>

=> hc hc

Vậy ít nhất một trong hai phơng trình trên có nghiệm
Bài 81: Tìm m để hai phơng trình tơng đơng

Híng dÉn:

1 '

 0



2

'

 0



1 ',

2 '



0 

(m 1)x 8







4x



m vµ mx - 3x = 2 víi m



3

2 x



x



m



0 vµ x



mx 1

 

0

</div>
(124)<div class='page_container' data-page=124>

=> x =

(m 1)x 8







4x



m

m 8 (m 3)

m 3







</div>
(125)<div class='page_container' data-page=125>

Hai phơng trình tơng đơng <=> = => m = - 6
Vậy m = - 6 thì hai phơng trình tơng đơng

 Tr êng hỵp 1 : Hai phơng trình có nghiệm chung

m

8 m 3

2 m 3

2

</div>
(126)<div class='page_container' data-page=126>

- Hai phơng trình có nghiệm chung khi vµ chØ khi hƯ cã nghiƯm

- Trõ vÕ víi vế của hai phơng trình trong hệ ta có phơng tr×nh: (m - 1)x = m - 1 (*)
+) NÕu m = 1. Thay trực tiếp vào hai phơng trình ta cã:

. Hai phơng trình này đều vơ nghiệm nên khơng có nghiệm chung

Nếu . Từ phơng trình (*) => x = 1, đây là nghiệm chung của hai phơng trình. Thay x = 1 vào một trong hai
phơng trình ta đợc m = - 2

- VËy m = - 2 thì hai phơng trình có nghiệm chung x = 1

2 x

mx 1

0 x + x + m = 0





 









2 x



x 1

 

0 vµ x



x 1

 

0

</div>
(127)<div class='page_container' data-page=127>

-Với m = - 2, phơng trình thứ nhất lµ : . TËp nghiƯm S =

- Víi m = - 2, phơng trình thứ hai là : .

2 x



2x 1

  

0 x



1

 

1

2

1

2

</div>
(128)<div class='page_container' data-page=128>

TËp nghiÖm S’ =

=> S . Vậy m = - 2 thì hai phơng trình khơng tơng đơng



1; 2





</div>
(129)<div class='page_container' data-page=129>

 Tr êng hỵp 2 : Hai phơng trình cùng vô nghiệm <=>

<=>

1

2

0

2

1 1 4m

0 m

1

4 m

2

4 m

4

0 2

m

2



























</div>
(130)<div class='page_container' data-page=130>

Kết luận : thì hai phơng trình tơng đơng

Bài 82: Tìm m và n để hai phơng trình sau tơng đơng

Híng dÉn:

- NhËn thÊy phơng trình thứ hai có ac < 0 nên luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2

- Vy hai phơng trình tơng đơng thì nghiệm x1 và x2 của phơng trình thứ hai cũng là nghiệm của phng
trỡnh th nht

- áp dụng vi - ét cho cả hai phơng trình, ta có:
- Kết quả: m = 2 vµ n = 1

1 m

2

4 

2 x



(2m



n )x 3m





0 vµ x - (m + 3n)x - 6 = 0

1

2 1 2

x

2m

n

m 3n

x x

3m

6 



















</div>
(131)<div class='page_container' data-page=131>

Bµi 83: Cho hai phơng trình . Biết rằng

Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phơng trình có nghiệm

Hớng dẫn: TÝnh

2 x



bx

 

c

0 vµ x + cx + b = 0

1 b



c



2

1

2 b

c

4( b c )

</div>
(132)<div class='page_container' data-page=132>

Theo đề bài => b + c = . Từ đó => (đpcm)
Bài 84: Cho ba phng trỡnh sau:

Chứng minh rằng trong ba phơng trình có ít nhất một phơng trình có nghiệm

1 b

bc



c



2

1

2 ( b c )

0    





2

</div>
(133)<div class='page_container' data-page=133>

Híng dẫn: Chứng minh

Bài 85 Cho phơng trình:

Tỡm m và n để phơng trình có hai nghiệm là x1 = 1 và x2 = 2

2

1

2

3 (a 2)

( b 2)

( c 2)

0      













2

</div>
(134)<div class='page_container' data-page=134>

KÕt qu¶: m = , n = 0

Bài 86: Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm lµ :

</div>
(135)<div class='page_container' data-page=135>

a)
1
vµ

b)
Híng dÉn:

1

2

</div>
(136)<div class='page_container' data-page=136>

a) Ta cã: S = 1 + vµ P = 1.

3

1

2

1 

2

1

</div>
(137)<div class='page_container' data-page=137>

Hai sè 1 vµ là hai nghiệm của phơng trình:

1

2 3

1

2 x

Sx

P

0 x

0 2x

3x 1

0

2

</div>
(138)<div class='page_container' data-page=138>

b) Tơng tự:

Bài 87 Cho phơng trình . Không giải phơng trình, hÃy tính giá trị của biểu thức

a) b) c)

2 x



2x



4 

0

2 x



5x



2 

0

2

1

2

</div>
(139)<div class='page_container' data-page=139>

d) e)
Híng dÉn:

a) 21 b) - 9 5 c) 433 d) - 20 e)

2

3

2

1

2

1

2 x

.x



x

.x

1

2 x



x

</div>
(140)<div class='page_container' data-page=140>

Bµi 88: Gäi là hai nghiệm của phơng trình:

Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc A =
Híng dÉn:

§K:

Tính đợc A =

1

2 x , x

2 2x



2(m 1)x



m



4m 3





0 1 2

1

2 x x



2x



2x

5 m

1 







 



2 m 1 m 7

m

8m 7

2 

</div>
(141)<div class='page_container' data-page=141>

Với điều kiện trên thì





2 9 (m

4)

m

8m 7

9 m 1 m 7

0 A

2 





</div>
(142)<div class='page_container' data-page=142>

VËy MaxA = <=> m = - 4

</div>
(143)<div class='page_container' data-page=143>

Bài 89Cho phơng trình bậc hai

1. Chứng tỏ phơng trình luôn có hai nghiệm với mọi m

2. Đặt A =

a) Chøng minh A =
b) T×m m sao cho A = 27

3. T×m m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia
Hớng dẫn:

2. a) Theo vi – ét tính đợc A =

2 x



2mx



2m 1





0

2

1

2 1 2

2( x



x

) 5x x



2 8m



18m



9

2 (m 1)

0, m

 







2

</div>
(144)<div class='page_container' data-page=144>

3. Phơng trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia, giả sử

Bài 90Cho phơng trình

a) Xỏc định m để phơng trình có hai nghiệm đều âm

1

2

3 m

3,m

4 



2

1 x



2x

1

3

2

3 m

,m

2

4 

2

</div>
(145)<div class='page_container' data-page=145>

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn
Hớng dẫn:

3

1

2

</div>
(146)<div class='page_container' data-page=146>

'

0 P

0 S

0  









</div>
(147)<div class='page_container' data-page=147>

a) §K: => m < - 3

b) Tính đợc

<=>

Giải hai phơng trình trên ta đợc

Bài 91 Cho phơng trình

25

0.

1

2 

x



m 3, x





m 2



3

1

2 x



x



50

3 (m 3)





(m 2)





50

2 3m

3m 7

10 3m

3m 7

10 3m

3m 7

10 





















1

5

1

5 m

hc m =

2 







2

</div>
(148)<div class='page_container' data-page=148>

Gi¶i phơng trình khi m = -

b) Tỡm m phơng trình có hai nghiệm trái dấu

</div>
(149)<div class='page_container' data-page=149>

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức

Híng dÉn:

b) m < - 1

c) m = 0 hoặc m = - 2

Bài 92 Cho phơng tr×nh

a) Xác định m để phơng trình vơ nghiệm

1

2 x , x

2

1

2

1 x (1 2x )





x (1 2x )





m

1

2

1

3

1

3 x

, x

2 





2

</div>
(150)<div class='page_container' data-page=150>

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức
Hớng dẫn:

a) XÐt hai trêng hỵp m = 0 và m .

Phơng trình vô nghiệm <=> m > 1 hc

1

2 x



x



1

0 

</div>
(151)<div class='page_container' data-page=151>

b) Để phơng trình có hai nghiệm phân biệt thì => m < - 3 hoặc 0 < m < 1 .

<=> => (tháa m·n)

a

0 '

0 





 



1

2 x

1



x

2

2 

1 ( x

1 

x )

2 

1

9

273

9

273 m

,m

8 





</div>
(152)<div class='page_container' data-page=152>

Bài 8: Cho phơng trình . Không giải phơng trình, hÃy tính:

;

2 x



3x 1

 

0

1

2 x



1

x

2

b)x .x

x

1

2 

x

2

1

2 x

1

2 

1 x

2

</div>
(153)<div class='page_container' data-page=153>

f) g)

2

1

2 x

1 

2 x

1

x

2



x

2

x

1

x

3 x



x

3

1

2

</div>
(154)<div class='page_container' data-page=154>

i) k)

3

1

2 x

1

4 

x

2

4 x

1

2 

x

2

1 x



2

3

2

1

2

1

2

</div>
(155)<div class='page_container' data-page=155>

KÕt qu¶:

2

1

2 1 2

1

2

1

2 x

x x (x

x )

x (x

1) x (x

1)









4

1

2 x



x

2

1 1 2

2

3

1

2 1 2

6x

5x x 6x

8x x 8x x



</div>
(156)<div class='page_container' data-page=156>

a) 3

b) 1 vµ

c) 7

d) e) 3 f) 2

</div>
(157)<div class='page_container' data-page=157>

g) h) 8

i) 18 k) 47 m) 47 n) 3

</div>
(158)<div class='page_container' data-page=158>

p) 21

1

</div>
(159)<div class='page_container' data-page=159>

Bài 93 a) Cho phơng trình . Tìm giá trị của m để (1) có nghiệm thỏa mãn

b) Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là:
Kết qu¶:

a) ĐK để phơng trình có hai nghiệm là :

Tỡm c

b) Phơng trình :

2 x

(m 3)x



2(m



2)



0 (1)

1

2 x



2x

1

3 2 và

3

2 m

2 2

1 hoặc m



2 2 + 1

1

2 3 3 5

m

,m

2 





2

</div>
(160)<div class='page_container' data-page=160>

Bµi 94 Cho phơng trình 
a)

b) Tìm m để phơng trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó tính tổng hai nghiệm của phơng trình
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức

2 (m 1)x



2mx

 

m 1

 

0

1 

1

2 x , x

1

2

1

2 x

5

</div>
(161)<div class='page_container' data-page=161>

KÕt quả:

a)
=>

phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) m =

'

1

0   

1 

1

2 3 ,x

x

6

2 



1 2

1

2

</div>
(162)<div class='page_container' data-page=162>

d) m =

Bài 95 Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn

1

3 

2 x



mx



m 1

 

0 1 2

1

2

</div>
(163)<div class='page_container' data-page=163>

KÕt qu¶: m = 6

Bài 4: Xác định k để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn
Kt qu: k = 7

Bài 96 Cho phơng trình

a) Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

c) Xỏc nh m sao cho phơng trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.
Kết quả:

c) Phơng trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau

2 ( k 1)x





2( k



2)x



k 3





0

1

2 (4x



1)(4x



1)



18

2 x



2(m 1)x





m 3





0

1

2 1 2

</div>
(164)<div class='page_container' data-page=164>

§K: <=> m = 1

(Lu ý HS: Phơng trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau không phải hai
nghiệm là hai số đối nhau)

Bµi 97 Cho phơng trình bậc hai

a) Xỏc nh m phng trình có nghiệm

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm
Kết quả:

1 2

1

2 '

0, m

x x

0 x

0  



















2

</div>
(165)<div class='page_container' data-page=165>

a) Xét hai trờng hợp m = 0 và m => kết quả là:
b) - 1 < m < 0

Bài 98 Cho phơng trình

a) Xỏc nh m để phơng trình có nghiệm

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng
Kết quả:

0 

m



1

2

</div>
(166)<div class='page_container' data-page=166>

a) b)

Bµi 99 Cho phơng trình . Không giải phơng trình, hÃy tính giá trị của các biểu thức sau: a) b)
c) d)

2 m

3 

2 m

3 

2 x



3 x



5 

0

1

2

1 x



x

2

1

2 x

2 

x

2

1

2

1 x



3

1

2

</div>
(167)<div class='page_container' data-page=167>

KÕt qu¶: a) b) c) d)

Bài 100 Cho phơng trình

a) Xỏc nh m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

b) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2 và tính nghiệm kia

15

5 3 2 5



5 

3 3 (1

5 )





2

</div>
(168)<div class='page_container' data-page=168>

c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn

1

2

7

1

</div>
(169)<div class='page_container' data-page=169>

KÕt qu¶: a) b) m = - 6 vµ x2 = c) m = - 6

1 m

3

</div>
(170)<div class='page_container' data-page=170>

Bài 10: Cho phơng tr×nh

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn

2 2x



6x



m



0

1

2

1 x

</div>
(171)<div class='page_container' data-page=171>

KÕt qu¶: a) 0 < m b) m =

Bài101 : Cho phơng trình

9

2

18

5

2

</div>
(172)<div class='page_container' data-page=172>

b) Tìm m để

Hớng dẫn: b) Kết hợp vi – ét = với , tìm đợc => m = ?

m



1 1 2

1

2 x x



0 vµ x = 2x

1

2 x

2(m 1)



x

m 1





1

2

</div>
(173)<div class='page_container' data-page=173>

=> m < - 1 hoặc m > 3

Kết quả bài toán: m = 7 hoặc m = - 5

Bài 102 Cho phơng trình 
1) Cho n = 0

a) Chứng tỏ phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm là 1

2) Tìm m và n để hai nghiệm của phơng trình (1) thỏa mãn :

1 2

x x



0

2 x



mx



n 3





0

1

2 x , x

1

2

1

2 x

1 x

7 













</div>
(174)<div class='page_container' data-page=174>

KÕt qu¶: 1) a. Thay n = 0 vào phơng trình, ta có =>
b. m = 2

2) Từ điều kiện đề bài

ViÕt hƯ thøc vi – Ðt vµ suy ra m = - 7 ; n = 15

Bµi 103 Cho phơng trình

a) Chứng tỏ phơng trình luôn có nghiƯm

b) Tìm m để A = đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Kết quả:

a) Ph¬ng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

2 x





mx 3

0, m







0

1

2

1

2

1

2 x

1 x

4 vµ x = 3

x

7 





















2 x



(2m 3)x



m 3





0

1

2

</div>
(175)<div class='page_container' data-page=175>

Tải Bài tập phương trình bậc hai Có đáp án - Chuyên đề phương trình bậc hai hệ thức và đáp án

√

√

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

√

(

<sub>√</sub>

√

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>























































































































