Bài tập bất đẳng thức cosi lớp 9 có đáp án - Giáo viên Việt Nam

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (353.46 KB, 28 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bài tập về bất đẳng thức – Tốn lớp 9

Bài 1: Cho a 3, tìm giá trị nhỏ nhất của

1
S a

a

 

Giải:

1 8a 1 24 1 10

( ) 2 .

9 9 9 9 3

a a

S a

a a a

       

Bài 2: Cho a 2, tìm giá trị nhỏ nhất của 2
1
S a

a

 

Giải:

2 2 2

1 6a 1 12 1 12 3 9

S ( ) 3 . .

8 8 8 8 8 8 8 4 4

a a a a

a

a a a

          

Bài 3: Cho a, b > 0 và a b 1, tìm giá trị nhỏ nhất của

1
S ab

ab

 

Giải:

1 1 15 1 15 17

S ( ) 2

16a 16a 16a 4

16
2

ab ab ab

ab b b b a b

       



 

 

 

Bài 4: Cho a, b, c> 0 và

3
2

a b c  

Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2 2

1 1 1

S a b c

b c a

     

Giải:

Cách 1:

Cách 2:

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

1 1 1

1 1 1 1 4

(1 4 )( ) (1. 4. ) ( )

a b c

b c a

a a a a

b b b b

     

       

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2 2

1 1 4 1 1 4

( ); ( )

17 17

b b c c

c c a a

     

Do đó:

1 4 4 4 1 36

( ) ( )

17 17

1 9 135 3 17

( )

4( ) 4( ) 2

S a b c a b c

a b c a b c

a b c

a b c a b c

         

 

 

       

   

 

Bài 5: Cho x, y, z là ba số thực dương và x y z  1. Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1

x y z

y z x

     

Giải:

2 2 2 2 2

2 2

1 1 1 1 9

(1. 9. ) (1 9 )( ) ( )

1 1 9 1 1 9

: ( ); ( )

82 82

1 9 9 9 1 81

( ) ( )

82 82

1 1 80

( ) 82

x x x x

y y y y

TT y y z z

z z x x

S x y z x y z

x y z x y z

x y z

x y z x y z

       

     

         

 

 

       

   

 

Bài 6: Cho a, b, c > 0 và a2b3c20

Tìm giá trị nhỏ nhất của

3 9 4
2

S a b c

a b c

     

Giải: Dự đoán a =2, b = 3, c = 4

12 18 16 12 18 16

4 4 4 4 2 3 3a 2

20 3.2.2 2.2.3 2.4 52 13

S a b c a b c b c

a b c a b c

S

     

               

     

     

Bài 7: Cho x, y, z > 0 và

1 1 1
4

x yz 

Tìm giá trị lớn nhất của

1 1 1

2x 2 2z

P

y z x y z x y

  

     

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

1 1 4 1 1 4 1 1 1 1 4 4 16 1 1 1 2 1
;

2 2 16

1 1 2 1 1 1 1 1 1 2

;

2 16 2 16

1 4 4 4
1
16

x y x y y z y z x y y z x y y z x y z x y z x y z

TT

x y z x y z x y z x y z

S

x y z

 

                

         

   

         

       

 

    

 

Bài 8:

Chứng minh rằng với mọi x R , ta có

12 15 20

3 4 5

5 4 3

x x x

     

    

     
     

Giải:

12 15 12 15 20 15 20 12

2 . 2.3 ; 2.5 ; 2.4

5 4 5 4 3 4 3 5

x x x x x x x x

x x x

               

      

               

               

Cộng các vế tương ứng => đpcm.
Bài 9:

Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 6 . Chứng minh rằng 8x8y8z 4x14y14z1
Giải:

Dự đoán x=y=z = 2 và 38 .8x x 364x 4xnên:
3

2 2

3 3 2 2 2

8 8 8 3 8 .8 .8 12.4 ;

8 8 8 3 8 .8 .8 12.4

8 8 8 3 8 .8 .8 3 8 .8 .8 192

x x x x x

y y y y y

z z z z z

x y z x y z

   

    

Cộng các kết quả trên => đpcm.
Bài 10:

Cho x, y, z> 0 và xyz = 1. Hãy chứng minh rằng

3 3 3 3 3 3

1 1 1

3 3

x y y z z x

xy yz zx

     

  

Giải:













3 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3

2 2 2

1 3 3x

1 3x 3 1 3 3 1 3 x 3

; ;

x x x

1 1 1 1

3 3 3 3 3

x y xy x y x y xyz xy x y xy x y z xy xyz y

x y y y z yz z x z

xy xy xy yz yz yz z z z

S

xy yz zx x y z

             

     

     

 

     

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bài 11:

Cho x, y là hai số thực khơng âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

biểu thức



 





 



1 1

x y xy

P

x y

 



 

Giải:



 





 





 





 







2 2 2 2 2

1 1 2 1 1 1

4 4 4

1 1 1 1 1

x y xy

x y xy x y xy

P P

x y x y x y xy

  

 

 

      

      

      

Khi cho x=0 và y= 1 thì P = -1/4
Khi cho x=1 và y = 0 thì P = 1/4
KL: Khi dấu = xảy ra.

Bài 12:

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

3 3 3

a b c

ab bc ca
b  c  a   

Giải:

Cách 1:





3 3 3 4 4 4 ( 2 2 2 2) ab bc ac

a b c a b c a b c

ab bc ac

b c a ab bc ca ab bc ac ab bc ac

 
 

         

   

Cách 2:

3 3 3

2 2 2

2a ; 2 ; 2a

a b c

ab bc b ca

b   c   a  

3 3 3

2 2 2

2( )

a b c

a b c ab bc ac ab bc ac

b  c  a         

Bài 13:

Cho x,y > 0 và xy4. Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 3

2
3x 4 2
A

y
y

 

 

Giải: Dự đoán x = y = 2

2 3

2 2 2

3x 4 2 3x 1 2 1 2 9

4x 4 4 4 4 2 2

y x y y x y

y

y x y x y

 

      

            

     

Bài 14: Cho x, y > 0 và x+y = 1. Chứng minh rằng 3 3

1 1

4 2 3

P

x y xy

   



</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>





3 3 3 3 3

3 3 3 3

3 3

3xy(x+y) 3xy=1

3xy 3xy

P= 4 3xy 4 2 3

x y x y x y

x y x y

x y xy x y

x y

y x

      

   

   








Bài 15: Cho x, y, z > 0 và

1 1 1

1x1y1z  . Chứng minh rằng

1
x

yz 

Giải:



 





 





 



1 1 1 1 1

2 1 1 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

: 2 ; 2

1 1 1 1 1 1

y z yz

x y z y z y z y z

xz xy

TT

y x z z x y

         

        

 

     

Nhân các vế của 3 BĐT => đpcm

Bài 16: Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của 1 1 1

x y z

S

x y z

  

  

Giải:

1 1 1 9 9 3

3 3 3

1 1 1 1 1 1 3 4 4

x y z

S

x y z x y z x y z

 

            

          

Bài 17:

Cho a, b, c > 1. Chứng minh rằng:

2 2 2

4a 5 3

1 1 1

b c

a b c 
Giải:





















2
2

2 2

4 1 4

4a 4 4

4 1 4 1 8 8 8 16

1 1 1 1

5 5 3 3

5 1 10 20; 3 1 6 12

1 1 1 1

a

a a

a a a a

b c

b c dpcm

b b c c

 

          

   

          

   

Bài 18:

Cho a, b, c > 0, chứng ming rằng:

1 1 1 1 1 1

2 2 2a

a b c a b b c c

 

      

  

 

Giải:

1 1 1 9 1 1 1 9 1 1 1 9

; ;

2 2 2

a b b  a b b c c  b c c a a  c a cộng ba bất đẳng thức =>đpcm

Bài 19:

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

1 4 9 36

a b c  a b c 
Giải:



1 2 3



1 4 9 36

a b c a b c a b c

 

   

   

Bài 20:

Cho a, b, c, d > 0 chứng minh rằng:

1 1 4 16 64

a b c   d a b c d  
Giải:

1 1 4 16 16 16 64

;

a b c  a b c a b c     d a b c d  

Cần nhớ:





2 2 2 a b c

a b c

x y z x y z

 

  

 

Bài 21:

Với a, b, c > 0 chứng minh rằng:

4 5 3 3 2 1

a b c a b b c c a

 

      

  

 

Giải:

1 1 4 3 3 3 1 1 4 2 2 8 1 1 4

; ;

a b a b  a b a b b c  b c  b c b c c a  c a
Bài 22:

Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác , p là nửa chu vi tam giác đó.

Chứng minh rằng

1 1 1 1 1 1

p a p b p c a b c

 

      

    

Giải:

1 1 1 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

p a p b p c a b c a b c a b c

a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c

    

         

 

          

               

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Cho x, y, z> 0 và x y x  4. Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2 2

x y z

P

y z z x x y

  

  

Giải:

Cách1:









2 2 2

4
2.

2 2 2

x y z

x y z x y z

P

y z z x x y x y z

   

      

    

Cách 2:

2 2 2

; ;

4 4 4

4
2.

2 2 2

x y z y z x z x y

x y z

y z z x x y

x y z x y z

P x y x

  

     

  

   

       

Bài 24:

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x+2y+3z =18. Chứng minh rằng

2 3z 5 3 5 2 5 51

1 1 2 1 3z 7

y z x x y

x y

     

  

  

Giải:





2 3z 5 3 5 2 5

1 1 2 1 3z

2 3z 5 3 5 2 5

1 1 1 3

1 1 2 1 3z

1 1 1 9

2 3z 6 3 24. 3

1 1 2 1 3z 2 3z 3

9 51

24. 3

21 7

y z x x y

x y

y z x x y

x y

x y x y

     

 

  

     

      

  

 

         

     

 

  

Bài 25:

Chứng minh bất đẳng thức:
2 2

a b  1 ab a b 
Giải:

Nhân hai vế với 2, đưa về tổng cuuả ba bình phương.
Bài 26:

Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì
3

p a  p b  p c  p
Giải:

Bu- nhi -a ta có:

2 2 2

(1 1 1 )( ) 3(3 2 ) 3

p a  p b  p c    p a p b p c      p p  p

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Cho hai số a, b thỏa mãn: a 1; b4. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng

1 1

A a b

a b

   

Giải:

1 1 15 1 15.4 1 17 21

2; 2.

16 16 16 4 4 4

b b

a b A

a b b

 

          

 

Bài 28:

Chứng minh rằng a4b4 a b ab3  3
Giải:

   

a2 2 b2 2 (12 1 )2



a2 b2





a2 b2

 

a2 b2



2ab a



2 b2



a4 b4 a b ab3 3

              

 

 

Bài 29:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
2

2
( 1)

( 1)

x y xy y x

A

xy y x x y

   

 

    (Với x; y là các số thực dương).
Giải:

Đặt

( 1) 1

; 0

x y

a a A a

xy y x a

 

    

 

Có

1 8 1 8 1 8 2 10 10

( ) .3 2. .

9 9 9 9 3 3 3 3

a a a

A a A

a a a

           

Bài 30:

Cho ba số thực a b c, , đôi một phân biệt.

Chứng minh

2 2 2

2 2 2 2

( ) ( ) ( )

a b c

b c  c a  a b 
Giải:

. . . 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0
( ) ( ) ( )

a b b c c a

b c c a c a a b a b b c

a b c

VT

b c c a a b

  

     

 

    

  

 

(Không cần chỉ ra dấu = xảy ra hoặ nếu cần cho a= 1,b=0 => c=-1 thì xảy ra dấu =)

Bài 31:

Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c 3. Chứng ming rằng

2 2 2

1 2009

670

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Giải:









2 2 2

2 2

2 2 2

1 2009

1 1 1 2007 9 2007

670

a b c ab bc ca

a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c a b c



   

      

           

Bài 32:

Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn:

a b c

  

3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2

P

a

b

c

ab bc ca

a b b c c a







Giải:

3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2

Mà a3 + ab2  2a2b ;b3 + bc2  2b2c;c3 + ca2  2c2a Suy ra 3(a2 + b2 + c2)  3(a2b + b2c + c2a) > 0

Suy ra

2 2 2

P

a

b

c

ab bc ca

a

b

c







2 2 2

9 (

)

P

2(

)

a

b

c

a

b

c

a

b

c











t = a2 + b2 + c2, với t  3.

Suy ra

9

1 3 1

3

4

2 2 2

t

P t

t



 

 





 





 P  4 a = b = c = 1

Bài 33:

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của

P =

1 1 1

16x4y z
Giải:





1 1 1 1 1 1 21

16x 4 16x 4 16 4 16 4 16

y x z x z y

x y z

y z y z x y x z y z

       

               

 

     

1
16 4 4

y x

x y có =khi y=2x;

16 2

z x

x z  khi z=4x;4 1

z y

y z  khi z=2y =>P  49/16

Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn:

4

5

23 x



y



Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

6

7 B 8x

18y

x

y





Giải:

6

7

2

4

5 B 8x

18y

8x

18y

8 12 23 43

x

y

x

y

x

y









































 

















Dấu bằng xảy ra khi





1 1

x; y

;

2 3













.Vậy Min B là 43 khi





1 1

x; y

;

2 3













Bài 35

Cho x, y. z là ba số thực thuộc đoạn [1;2] và có tổng khơng vượt quá 5. Chứng minh rằng
x2 + y2 + z2  9

Giải:

0
1
x
2
x

1     và x 20 (x 1)(x 2)0

 x2 3x 2

Tương tự y2 3y 2 và z2 3z 2

 x2 + y2 + z23( x + y +z) – 6  3. 5 – 6 = 9

Bài 36:

Cho a, b, c là các số thuộc



1; 2



thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 6. Chứng minh rằng

a  b c 0.

Giải:



 



2 2 2

1 2 0 2 0; 2 0; 2 0

6 0

a a a a b b c c

a b c a b c

            

       
Bài 37:

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a  b c 2. Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1 97

a b c

b c a

     

Giải:

2 2 2

2 2

9 1 81 1 1 4 9

1. . 1 ;

4 16 97 4

1 4 9 1 4 9

;

4 4

97 97

a a a a

b b b b

b b c c

c c a a

       

       

       

       

   

         

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bài 38:

Cho tam giác có ba cạnh lần lượt là a,b,c và chu vi là 2p. Chứng minh rằng

p p p

p a  p b p c 

Giải:

p p p

p a  p b p c  hay

1 1 1 9 9

p a  p b  p c p a p b p c     p

Bài 39:

Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6. Chứng minh rằng:
2 2 2

3(a b c ) 2a bc52
Giải:



 



















2 2 2

2 2 2
2 2 2

2 2 2

( )( )( ) (6 2a) 6 2 6 2 24

16 36 ( ) 8

2a 48 ( ) 2 48 (1)

3 2 3

2 2 2 0 4 (2) (1) d(2)

abc a b c a b c a b c b c abc ab bc ac

a b c

bc a b c abc

a b c

a b c an dpcm

                

    

         

 

 

        

Có chứng minh được 3(a2b2c2) 2a bc18 hay không?
Bài 40:

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P4(a3b3c3) 15 abc.
Giải:

Có a2 a2 (b c )2 (a b c a b c  )(   ) (1) , b2 b2 (c a )2 (b c a b c a  )(   ) (2)
c2 c2 (a b )2 (c a b c a b  )(   ) (3) . Dấu ‘=’ xảy ra  a b c 

Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương. Nhân vế với vế của (1),
(2), (3) ta có: abc(a b c b c a c a b  )(   )(   ) (*)

Từ a b c  2 nên (*)  abc(2 2 )(2 2 )(2 2 ) a  b  c  8 8(a b c  ) 8( ab bc ca  ) 9 abc0
8 9abc 8(ab bc ca) 0 9abc 8(ab bc ca) 8

           (*)

Ta có a3b3c3 (a b c  )3 3(a b c ab bc ca  )(   ) 3 abc 8 6(ab bc ca  ) 3 abc

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2
3

a b c  
.

Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi

2
3

a b c  

Bài 41:

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng

3 3 3

2 1

9a b c  abc4.
Giải:





3 3 3

3 3 3 2 2 2

* 3

ó 3 ( )( )

3 ( ) (1)

ó ( )( )( ) (1 2a)(1 2 )(1 2 )
2 8

1 4( ) 8a 6a (2)

3 3

(1) d(2)

P a b c abc

Ta c a b c abc a b c a b c ab bc ac

a b c abc a b c ab bc ac

c abc a b c a b c a b c b c

ab bc ca bc bc ab bc ca

an a

   

          

         

            



         















3 3 2 2 2

2 2 2

2 5
3

3 3

1 1 1

2 6 6

1 1 1 1 1 1 1 2

0 .

3 3 3 3 6 3 6 9

b c abc a b c ab bc ca

a b c

m ab bc ca P a b c

a b c a b c P

         

  

       

     

             

     

     









3 3 3

3 3 3 2 2 2

2 2 2

* 3

( )( )( ) (1 2a)(1 2 )(1 2 ) 1 4( ) 8a 0

) 2a (3)

3 ( )( ) 6a

6a 3 6a

P a b c abc

abc a b c a b c a b c b c ab bc ca bc

ab bc ca bc

P a b c abc a b c a b c ab bc ac bc

a b c ab bc ac bc a b c ab bc ca bc

   

                 

    

            

             

  3





1 3.1 1
4 4

ab bc ca   bc   

Bài 42:

Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 . Chứng minh rằng:

2 2 2

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Giải:

Chứng minh được



 







2 2 2 2

2 2 2
2 2 2

(6 2 )(6 2 )(6 2 ) 216 72( ) 24( x) 8x
8

24 ( x) (1)
3

mà 9 2x 2 2xz 9

x xz 36 3x 3 3xz (2)
8

ê x xz 24 (

xyz x y z x y z x y z

x y z x y z xy yz z yz

xyz xy yz z

x y z x y z y yz

x y z y yz y yz

N n xyz x y z y yz

       

           

    

         

         

        









2
2 2 2

x)+ 36 3x 3 3xz

x xz 12 ( x) mà 3( x)

1 36

x xz 12 . 12 8

3 3 9

xy yz z y yz

xyz x y z y yz xy yz z x y z xy yz z

x y z

xyz x y z y yz

    

                

 

            

Bài 43:

Cho a 1342; b1342. Chứng minh rằng





2 2

2013 .

a b ab a b

Dấu đẳng thức xảy
ra khi nào?

Giải:

Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau:



a1342



2



b1342



2 0;



a 1342

 

b1342



0;a1342 b 1342 0
Thật vậy:















 























2 2 2 2 2

2 2 2 2

1342 1342 0 2.1342. 2.1342 0 (1)

1342 1342 0 1342a 1342 1342 0 (2)

2.1342. 2.1342 1342a 1342 1342 0
3.1342. 3.1342 2.2013. 3.1342
2013. 2013.

a b a b a b

a b ab b

a b a b ab b

a b ab a b a b

a b a b

         

       

         

        

     2.2013.1342 2013.



a b



2013.



a b 1342 1342



2013.



a b



Bài 44:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:









4 6



 

2 3



2
A x  x  x x

Giải:

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Cách 2:











 













 











4 4 2 2

2 2 2 2

2
2

2 2

2
2

2 2

4 2 4 2

1 3 6 1 3

1 3 4 1 3

2x 8x 10 4 x 4x 3

2( 2) 2 4 ( 2) 1

4( 2) 8( 2) 4 4( 2) 8( 2) 4
8( 2) 8 8

A x x x x

A

A x x

A x x x x

A x

      

 

      

 

 

      

 

      

         

   

Bài 45:

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:
1

1 1 1 4

ab bc ca

c a b 
Giải:

Bài 46

Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh rằng:

3 3 3 3 3 3

1 1 1

1
1x y 1y z 1z x 

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

























2 2 2 2 3 3

3 3

3 3 3 3 3 3

x 2x 2x x x

1 1

1 x

1 1 1

; ;

1 x 1 y 1 z

y y x y x y y x y y y x y

y xy x y z

z x y

dpcm

y x y z z x y z x x y z

          
       
   
    
           
Bài 47

Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng:





2 2a 2

a b

a b    b b a

Giải:













1 1 2





2a 2

2 2 4 4

a b

a b    a b a b     a b a    b  ab a b  b b a

     

Bài 48

Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện:

3 3 3

1 1 1

1
1 8a  1 8b  1 8c 
Giải:









2 2 2

3 2

2 2

3 3

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 1

2a 1 4a 2a 1 4a 2 2 1
1 8a 2a 1 4a 2a 1

1 1 1 1

; ;

2 1 2 1

1 8b 1 8c

1 1 1 9

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

a

b c

VT

a b c a b c

   
     

   
 
 
 
     
       
Bài 49

Với a,b,c là ba số thực dương . Chứng minh rằng:

3 3 3

2 2 2

a b c

b  c  a   

Giải:

Cách 1:



2 2 2





2 2 2

 

2 2 2



3 3 3 4 4 4

2 2 2

a b c a b c a b c

a b c a b c

a b c

b c a ab bc ca ab bc ca ab bc ca

     

         

   

Cách 2





3 3 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2a ; 2 ; 2 2 ( )

a b c

ab bc b ca c VT a b c ab bc ca a b c

b   c   a            

Bài 50

Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1 2

x y z

y z x 
Giải:





2 1 2 1 2 1 3 3 3 3 3

; ; .3

1 4 1 4 1 4 4 4 4 4 2

x y y z z x

x y z VT x y z

y z x

  

             

  

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Bài 1: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2009 –

2010)

a) Cho x, y, z, a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

3abc + xyz3 3 (a + x)(b + y)(c + z).
b) Từ đó suy ra: 333333 33 2 33

Bài 2: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2010 –

2011)

a) Cho 2 số dương a và b. Chứng minh rằng :

1 1 1 1

( )

a b  a b

b) Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn

1 1 1

2010.
x y z 

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1 1 1

2 2 2

P

x y z x y z x y z

  

     

Bài 3: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 –

2012)

a) Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 : 2 2

2 1

x 2y 3xy y 1  .

b) Cho 3 số dương a,b,c với abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2 2 2 2 2

1 1 1

2 3 2 3 2 3

M

a b b c c a

  

      .

Bài 4: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 xy, trong đó x, y là các số thực thoả mãn
điều kiện: x2013y2013 2x1006 1006y .

Bài 5: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014)

Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng:

3
2

a b c

b c c a a b     

Bài 6: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 –

2016)

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 6

3 4

P

xy y

 

 .

Bài 7: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016)

Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn

1 1 1

2
1 2 x1 2 y1 2 z  .

Chứng minh rằng

1
64

xyz 
.

Bài 8: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017)

Cho m, n là các số thực thay đổi sao cho m2n2 5. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức:Q m n mn   1.

Bài 9: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 –

2018)

a) Với

4
0

x

< <

, chứng minh rằng 2

(

)

4 3 x

x - x ³ .

b) Cho a, b, c là ba số dương nhỏ hơn 
4

3 sao cho a + b + c = 3. Chứng minh
rằng:

(

)

(

)

(

)

2 2 2

1 1 1

3 3 5 3 3 5 3 3 5

a b+ -c +b c+ a- +c a+ -b ³ .

Bài 10: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018)
Với a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:

a) 2

a a

a b a b ;

b) 2 2 2 1

a b c

a b  b c  c a  .

Bài 11: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 –

2019)

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 2.

Chứng minh rằng





1 1 1

2 9xyz 21

x y z

 

    

 

 

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 12: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019)

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

1 1 1

P

a b c

  

Bài 13: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2019 –

2020)

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca  1. Chứng minh rằng

2 1 2 1 2 1 2
a b  b c  c a   .

Dấu “=” xảy ra khi nào?

Bài 14: ( HSG TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009)

Tìm x, y để biểu thức F đạt giá trị nhỏ nhất: F 5x2 2y2 2xy 4x2y3
Bài 15: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2008 2009)

a)Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cđa hµm sè y= x +1
x2+x +1 .

b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6. 
Chứng minh rằng: 3(a2 + b2 + c2) + 2abc  52.

Bài 16: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2009 – 2010)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

1
1
1

1    

 b

ca
a

bc
c

ab

Bài 17: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013)
Cho ba số dương a b, và c thoả mãn abc 1. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1

2 3 2 3 2 3 2

a  b  b  c  c  a   .

Bài 18: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2016 – 2017)
Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 . Chứng minh

1 1 1 3

2 2 2

ab a   bc b   ca c  

Bài 19: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2017 – 2018)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z xyz   .

Chứng minh rằng:

2 1 1 2

1 1   1 1

 y  

x z

xyz

x y z

Bài 20: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2018 – 2019)

Cho ba số không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện a b c  4. Tìm giá trị 
lớn nhất của biểu thức P a b b c c a abc3  3  3  2  ab3bc3ca3bca2.

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

a)Tìm x. y để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất: P = 3x2 + 11y2 – 2xy – 2x + 6y – 1 .

b)Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn hệ thức a + b + c = 6abc. Chứng minh
rằng:













2

2 bc

ca

ab

a c



b



b a



c



c b



a



c)Cho ba số thực

  

, , 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x

y

z

M

y z z x x y











. Với mọi x, y, z > 0.

Bài 22: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2011 – 2012)
Cho x, y là các số thực dương thõa mãn xy = 1 .

Chứng minh rằng : (x + y + 1)(x2 + y2) +

x y  8

Bài 23: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2014 – 2015)
Cho 3 số x , y , z >0 thỏa điều kiện x+ y+ z=1 .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= x

x+1+

y
y+1+

z
z+1
Bài 24: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2016 – 2017)
Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1 1 1 1 1

x yz y xz z xy xy yz zx

 

      

    

Bài 25: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017– 2018)
a)Cho a, b, c là ba số không âm thỏa mãn điều kiện





2 2 2

a + b + c 2 ab + bc + ca

và p, q, r

là ba số thỏa mãn p + q + r = 0. Chứng minh rằng: apq + bqr + crp  0.

b)Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a.b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:

M =









2 2 4

a + b + 1 a + b +
a + b

Bài 26: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018– 2019)
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3

Chứng minh rằng a b31  b c31 c a315

Bài 27: ( HSG TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2018– 2019)

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>









4 3 3 4

P 2x x 2y 1 y 2x 1 2y

Bài 28: (HSG TĨNH GIA – THANH HĨA NĂM HỌC 2013– 2014)
Cho c¸c sè x,y,z thoả mÃn x+y+z =1

Tìm giá trị bé nhất của biểu thøc : M =

2 2 2 2 2 2

x xy y  y yz z  z zx x

Bài 29: ( HSG TỈNH DAKLAK NĂM HỌC 2012– 2013)
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn:a b c  3.

Chứng minh rằng: 2 2 2

1 1 1

a b c

b c a

  

  

  

Bài 30: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2016– 2017)
a) Cho a, b là hai số thực , x, y là hai số thực dương.

Chứng minh rằng:





2
2 2 a b

a b

x y x y



 

 .

b) Cho x, y là hai số thực dương sao cho x + y = 1.

Chứng minh rằng: 2 2
4

1 1 3

x y

x  y 

  .

Bài 31: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018– 2019)
Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh:

3 4

a b

c

a

b

c

b

c

a

a b b c c a







 













Bài 32: ( HSG TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2009– 2010)

Cho 3 số dương a b c, , . Chứng minh bất đẳng thức:

2 2 2

a b b c c a

a b c ab bc ca

  

    

.
Bài 33: ( HSG TỈNH HÀ NAM NĂM HỌC 2012– 2013)

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn:a b c  3. Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1

a b c

b c a

  

  

  

Bài 34: ( HSG TỈNH H TNH NM HC 2008 2009)

Các số thực x,y,z thoả m·n: x4 + y4 + z4 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

P = x2(y + z) + y2(x + z) + z2(y + x) .

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Cho a, b, c > 0 vµ abc = 1.

Chøng minh r»ng



 



  

     

3 3 3

a b c 3

1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 4

Bài 36: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2012– 2013)

Các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x+ y+ z=1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức:

F= x

(

x2+y2

)

( x+ y )+

y4

(

y2+z2

)

( y + z )+

z4

(

z2+x2

)

( z + x ) .

Bài 37: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2014– 2015)

Cho a,b   thỏa mãn:

9
(2 )(1 )

a b

  

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 16a4 4 1b4

Bài 38: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2009– 2010)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

( 1)

x y xy y x

A

xy y x x y

   

 

    (Với x; y là các số thực dương).

Bài 39: (HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2013– 2014)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

2 ab



6 bc



2 ac



7 abc

. Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

4

9

4

2

4 ab

ac

bc

C

a

b a

c b c





Bài 40: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2014– 2015)

Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: xy yz zx xyz   . Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức:

1 1 1

4 3 4 3 3 4

M

x y z x y z x y z

  

      .

Bài 41: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2016– 2017)

Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn a2b2c2 3.

Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

a 3ab b b 3bc c c 3ca a

3
6a 8ab 11b 6b 8bc 11c 6c 8ca 11a

     

  

      .

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Chứng minh bất đẳng thức

2 2 2

3 8 3 8 3 8 1

x y z

x   y   z   .

Bài 43: ( HSG TỈNH HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2016– 2017)

Cho ba số thực a, b, c dương. Chứng minh rằng:













3 3 3

a b c

1
a  b c  b  c a  c  a b 

Bài 44: (HSG TỈNH HỊA BÌNH NĂM HỌC 2009– 2010)

Cho hai số a, b thoả mÃn a1; b4, tìm giá trị nhá nhÊt cđa tỉng:

1 1

A a b

a b

   

Bài 45: ( HSG TỈNH HỊA BÌNH NĂM HỌC 2013– 2014)

Cho m là số cố định, x và y là các số thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

2 2

( 3 1) (2 4)

P x y  x my 

Bài 46: ( HSG TỈNH NGHỆ AN- BẢNG A NĂM HỌC 2010– 2011)

a) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và

1

4 x



y



z



.

Chứng minh rằng:







 

1 2x + y + z

x

2y

z

x

y

2z

b) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn

x

2011



y

2011



z

2011



3

.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

M



x



y



z

Bài 47: ( HSG TỈNH NGHỆ AN- BẢNG B NĂM HỌC 2010– 2011)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2

4x+3

A

x

1 



Bài 48: ( HSG HUYỆN NGHĨA ĐÀN TỈNH NGHỆ AN- BẢNG B NĂM HỌC

2011– 2012)

Cho a > 0, b > 0 và a + b 1 . Tìm GTNN của biểu thức A = a2+b2+ 1

a2+

b2 .
Bài 49: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2015– 2016)

Cho

a b c 

, ,

0 thỏa mãn

a b c

  

3 . Chứng minh rằng:

2 2 2

1 1 1

a b c

b c a

  

  

  

Bài 50: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2016– 2017)

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn

ab bc ca 1.





Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức

2 2 2

2a

b

c

P

1 a

1 b

1 c





</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Bài 51: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2018– 2019)

Cho

a b c

, ,

là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 4 4

a b c

P

a b b c c a

     

     

  

     

Bài 52: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2013– 2014)

Cho

{

a+2 b+3 c ≥10a ,b ,c >0 , chứng minh rằng : a+b +c + 3

4 a+
9
8 b+

c≥

13
2

Bài 53: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2014– 2015)

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn

ab ac bc





3

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức 2 2 2

19 3 19

3

1 a

b

c

T

b

c

a







Bài 54: ( THI VÀO LỚP 10 TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2016– 2017)

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức P 2a2ab2b2  2b2bc2c2  2c2ca2a2

Bài 55: ( HSG TỈNH KOMTUM NĂM HỌC 2012– 2013)

Cho a b c, , là các độ dài ba cạnh của một tam giác và thỏa hệ thức a b c  1.

Chứng minh rằng

2 2 2 1
2
a b c 

Bài 56: ( HSG TỈNH LAI CHÂU NĂM HỌC 2014– 2015)

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

1 1 1 1

a b c b c a c a b

 



 



 

 

a b c



Bài 57: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2014– 2015)

Cho x, y dương thỏa mãn điều kiện:

x y 6





Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

6

8 P 3x 2y

x

y





Bài 58: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2015– 2016)

Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn: 2 2 2 2 2 2

1

2 a



b



4 c



b



4 a



c



4 

3

Chứng minh rằng:

3 ab bc ca

4 



Bài 59: ( HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2018– 2019)

Cho ba số dương x, y,zthỏa mãn điều kiện: xy yz zx  673.

Chứng minh rằng: 2 2 2

2019 2019 2019

x x x

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Bài 60: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2011 – 2012)

Tìm GTLN của

y



x 9 x



.

Bài 61: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2014 – 2015)

Cho ba số thực khơng âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức

√

2 x2+3 xy +2 y2+

√

2 y2+3 yz+ 2 z2+

√

2 z2+3 zx+2 x2

Bài 62: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2008 – 2009)

a) Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè x, y, z có tổng là một số không âm thì
3 3 3

x y z 3xyz.

b) Cho m, n là các số thỏa mÃn điều kiện

1
mn

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2 2

2 2 2 2

m n m n

P .

m n m n



 



Bài 63: (HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HC 2009 2010)

Cho các số dơng x, y, z thoả mÃn điều kiện: xy + yz + zx = 670. Chøng minh r»ng

2 2 2

2010 2010 2010

x y z

x  yz  y  zx z  xy x y z 

Bài 64: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2012 – 2013)
Cho a,b,c là các số thực dương. CMR:

3 2 3 2a 3 2 6

ab bc ca a b c

a b c b c c a b

 

  

     

Bài 65: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2013 – 2014)

Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn x y z  3.

Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

4 .

4 4 4

x y z y z x z x y

xyz

yz zx xy

     

  

  

Bài 66: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2014 – 2015)

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x2+y2+z2=3
Chứng minh rằng 3x

√

yz+

y
3

√

xz+

z
3

√

xy≥ xy+yz+xz

Bài 67: (HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2015 – 2016)

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

a −b¿2
¿

b − c¿2
¿

c −a¿2

(¿¿)≥9
2

¿
¿

(

a2+b2+c2

)

.

Bài 68: (HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2017 – 2018)

Chứng minh rằng





2 2 2

3 3 3

a b b c c a

a b c

a ab b bc c ca

  

 

      

  

  với a b c, , là độ dài ba
cạnh của một tam giác.

Bài 69: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2013 – 2014)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

1 1 1

1 a



b



c



.

Chứng minh rằng:



 





 



1

8 a



b



c





a



b



c



.

Bài 70: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2015 – 2016)

Cho

a b

,



0

thỏa mãn

a

 

b

2

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:





1 M

a

b

a

Bài 71: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019)

Cho ba số thực dương thỏa mãn x y z 2 xyz    .

Chứng minh rằng: x y z 6 2 xy   



 yz zx



Bài 72: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho ba số thực dương a, b, c.Chứng minh rằng:

a3

b+
b3

c +
c3

a ≥ ab+bc+ca

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 73: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013 – 2014)

Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1.

Chứng minh rằng abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0.

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Cho ba số thực , ,

a b c thỏa

1a b c, , 2.

Chứng minh :

7 a b c

a c b

b c a



c b a





.

Bài 75: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2008 – 2009)

Cho

x

+

y

= 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x

+

y

Bài 76: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013 – 2014)

Cho

a,b,c

là 3 số dương thoả mãn

1 1 1

1 a 1 b 1 c     

. Tìm giá trị lớn nhất

của

Q=abc

Bài 77: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2016 – 2017)

Cho

a b c , , 0

. Chứng minh rằng

a b c

b c  c a  a b 

.

Bài 78: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2005 – 2006)

Chøng minh r»ng: 21.

(

a+1

b

)

+ 3 .

(

b+

a

)

 80 víi a  3, b  3. 
DÊu b»ng x¶y ra khi nµo?

Bài 79: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho a , b là hai số dương thỏa mãn a + b = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =

2 2

1 1 1 1

a b

a b a b

   

      

   

Bài 80: ( HSG TP QUY NHƠN NĂM HỌC 2013 – 2014)
Cho x + y = 2 . CMR :x5 + y5 ≥ 2.

Bài 81: ( HSG TỈNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c . Biết P(x) > 0 với mọi x thuộc R và a > 0.

Chứng minh rằng:

5 3 2
1

a b c

a b c

 

 

Bài 82: ( HSG TỈNH THÁI NGUYÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho a



R thỏa mãn a

– a

+ a = 2. Chứng minh rằng : 3 < a

< 4

Bài 83: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2010 – 2011)

Cho ba số dương a b c, , thoả mãn: a2 b2  b2c2  c2a2  2011.

Chứng minh rằng:

2 2 2 1 2011

2 2

a b c

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Bài 84: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2013 – 2014)

Cho x, y là các số thực dương thoả mãn x + y = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3

1 1

xy
x y

 

 .

Bài 85: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2014 – 2015)

Cho các số thực dương

a b c

, ,

thỏa mãn 2 2

2 a

b

c

a

b

6. b

a

b

a





























Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

4 .

(2

)

(2

)

(

)

bc

ca

ab

P

a b c

b a c

c a b





Bài 86: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2016 – 2017)

Cho các số thực

a b c, ,

thỏa mãn :

0a b c, , 2

và

a b c  5

. Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức :

A a b c

.

Bài 87: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2017 – 2018)
Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn x z . Chứng minh rằng

2 5
.
2

xz y x z

y yz xz yz x z



  

  

Bài 88: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2018 – 2019)
Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn x y z   1 0.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:



 



3 3

2
x y

P

x yz y xz z xy


  

Bài 89: ( HSG TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2016 – 2017)

Cho 2 số thực dương x, y thỏa điều kiện

x 1

1 x 1 y    . Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức P = xy2

Bài 90: ( HSG TỈNH TRÀ VINH NĂM HỌC 2017 – 2018)

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của

P =

ab bc ca

cab  abc  bca
Bài 91: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2007 – 2008)

Cho các số thực dương

a b c

, ,

thoả mãn

abc 

2. Chứng minh rằng

a



b



c



a b c b c a c a b

 



.

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn abc 2. Chứng minh rằng

3 3 3

a b c a b c b c a c a b    

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 93: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2009 – 2010)

Chứng minh rằng:





1 1 1 1

( )( )( )
2

a b c abc

a b b c c a abc a b b c c a

  

   

      với mọi a b c , , 0

Bài 94: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2010 – 2011)

Cho a, b, c là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3

4

8

2

3 a

c

b

c

P

a

b c a b

c a b

c











 

.

Bài 95: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2011 – 2012)

Cho a b c d, , , là các số thực thỏa mãn điều kiện:
2012

abc bcd cda dab a b c d        . Chứng minh rằng:



a2 1

 

b2 1

 

c2 1

 

d2 1



2012

    

Bài 96: ( HSG TP VĨNH YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho a b c, , là các số dương. Chứng minh rằng

a) 2 2 2 1

a b c

b c c  a a  b .













2 2 2 2 2 2

2 2 2

3 6 3 6 3 6

a b c b c a c a b

a b c

b c c a a b

  

    

   .

Bài 97: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2003 – 2004)

Cho biểu thức M = a2 + b2 biết rằng a và b là nghiệm của phương trình 5a2 + 5b2 + 8ab =

18.

Tìm những giá trị của a và b để :
a) M đạt giá trị lớn nhất
b) M đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 98: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2006 – 2007)

Cho 1 ≤ m ≤ 2 và 1 ≤ n ≤ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2
3 3
(m n)

m n






Bài 99: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2011 – 2012)

</div>

Bài tập bất đẳng thức cosi lớp 9 có đáp án - Giáo viên Việt Nam

<b>Bài tập về bất đẳng thức – Tốn lớp 9</b>















 





 





 





 





 





 

















 





 





 











































   







 







Đặt

Có









<i>a b c</i>

  

3

P

<i>a</i>