BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

LÝ THỊ THẢO NGUYÊN

PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TOÁN
CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
ĐẠI SỐ 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MƠN TỐN
Mã số: 8140111

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN DƯƠNG HOÀNG

ĐỒNG THÁP - NĂM 2019


i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan rằng, luận văn thạc sĩ khoa học “Phát triển tư duy thuật toán
cho học sinh trong dạy học phương trình và hệ phương trình đại số 10 trung học
phổ thơng” là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Những số liệu được sử dụng
trong luận văn là trung thực được chỉ rõ nguồn trích dẫn.
Đồng Tháp, tháng 10 năm 2019
Tác giả luận văn

Lý Thị Thảo Nguyên

ii

LỜI CẢM ƠN
Luận văn thạc sĩ chuyên ngành lý luận và phương pháp dạy học toán với đề
tài “Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh trong dạy học phương trình và hệ
phương trình đại số 10 trung học phổ thơng” là kết quả của q trình cố gắng
khơng ngừng của bản thân và được sự giúp đỡ, động viên khích lệ của các thầy, bạn
bè đồng nghiệp và người thân. Qua trang viết này tác giả xin gửi lời cảm ơn tới
những người đã giúp đỡ tôi trong thời gian học tập - nghiên cứu khoa học vừa qua.
Tơi xin tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối với PGS.TS. Nguyễn Dương
Hoàng đã trực tiếp tận tình hướng dẫn cũng như cung cấp tài liệu thơng tin khoa học
cần thiết cho luận văn này.
Xin cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, các thầy cô giáo của
trường Đại học Đồng Tháp đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực hiện và hồn
thành nghiên cứu của mình.
Xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu, các giáo viên và học sinh Trường
Trung học phổ thông Nguyễn Việt Khái đã tạo điều kiện cho tơi hồn thành tốt cơng
việc nghiên cứu khoa học của mình.

TÁC GIẢ

Lý Thị Thảo Nguyên


iii

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1
1. Lí do chọn đề tài ....................................................................................................... 1

2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................................ 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................................... 3
4. Giả thuyết khoa học .................................................................................................. 3
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................................ 3
6. Phương pháp nghiên cứu .......................................................................................... 3
7. Đóng góp của luận văn ............................................................................................. 4
8. Bố cục của luận văn.................................................................................................. 5
NỘI DUNG ............................................................................................................ 6
Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ................................................... 6
1.1. TỔNG QUAN VỀ TƯ DUY, TƯ DUY TOÁN HỌC ......................................... 6
1.1.1. Tư duy..................................................................................................... 6
1.1.1.1) Khái niệm tư duy .............................................................................. 6
1.1.1.2) Đặc điểm của tư duy ......................................................................... 6
1.1.1.3) Tư duy như một quá trình, tư duy như một hoạt động ....................... 8
1.1.2. Tư duy toán học ...................................................................................... 9
1.1.3. Tư duy thuật toán .................................................................................. 13
1.1.3.1) Khái niệm thuật toán ...................................................................... 13
1.1.3.2) Quy tắc tựa thuật toán ..................................................................... 14
1.1.3.3) Khái niệm tư duy thuật toán ............................................................ 15
1.2. MỘT SỐ BIỂU HIỆN CỦA TƯ DUY THUẬT TỐN TRONG CHỦ ĐỀ
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐẠI SỐ 10 ...................... 17
1.2.1. Nội dung chương trình phương trình và hệ phương trình ....................... 17
1.2.1.1) Sơ lược về nội dung phương trình và hệ phương trình từ lớp 8 đến
lớp 10 .......................................................................................................... 17
1.2.1.2) Phân phối chương trình chủ để phương trình và hệ phương trình
trong đại số 10 - THPT ................................................................................ 18
1.2.1.3) Mục tiêu chung ............................................................................... 18
1.2.1.4) Mục tiêu cụ thể ............................................................................... 19
1.2.2. Các đặc trưng của tư duy thuật toán trong chủ đề phương trình và hệ
phương trình ................................................................................................... 21



iv

1.3. THỰC TRẠNG VỀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TOÁN TRONG DẠY
HỌC ĐẠI SỐ 10 Ở TRƯỜNG THPT ....................................................................... 26
1.3.1. Mục đích khảo sát ................................................................................. 26
1.3.2. Nội dung khảo sát.................................................................................. 27
1.3.3.1) Đối với giáo viên ............................................................................ 27
1.3.3.2) Đối với học sinh ............................................................................. 27
1.3.3. Đối tượng và phạm vi khảo sát .............................................................. 27
1.3.4. Kết quả khảo sát .................................................................................... 27
1.3.4.1) Định lượng ..................................................................................... 27
1.3.4.2) Định tính......................................................................................... 29
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 ...................................................................................... 30
Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TỐN
CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠI SỐ 10 TRUNG HỌC PHỔ THƠNG ............................................. 31
2.1. NGUYÊN TẮC ĐỊNH HƯỚNG XÂY DỰNG BIỆN PHÁP ........................... 31
2.2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TOÁN CHO HỌC
SINH TRONG CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ............... 36
2.2.1. Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh khả năng phát hiện và vận dụng
thành thạo các thuật toán, quy tắc tựa thuật toán để giải bài tập....................... 36
2.2.1.1) Mục đích của biện pháp .................................................................. 36
2.2.1.2) Cách thức thực hiện ........................................................................ 36
2.2.1.3) Các minh hoạ .................................................................................. 37
2.2.2. Biện pháp 2: Giúp học sinh phân tích, tổng hợp, xác định các mối liên hệ
trong bài toán để xây dựng các quy trình giải tốn; khái qt hố một q trình
giải bài tốn phương trình và hệ phương trình trên một số bài tập cụ thể thành
một quá trình giải bài toán trên lớp các bài tập ................................................ 53

2.2.2.1) Mục đích của biện pháp .................................................................. 53
2.2.2.2) Cách thức thực hiện ........................................................................ 54
2.2.2.3) Các minh hoạ .................................................................................. 55
2.2.3. Biện pháp 3: Giúp học sinh mơ tả chính xác q trình tiến hành một hoạt
động trong quá trình dạy và học chủ đề phương trình, hệ phương trình ........... 70
2.2.3.1) Mục đích của biện pháp .................................................................. 70


v

2.2.3.2) Cách thức thực hiện ........................................................................ 72
2.2.3.3) Các minh hoạ .................................................................................. 72
2.2.4. Biện pháp 4: Giúp học sinh xác định quy trình tối ưu để giải quyết một
bài tập trong chủ đề phương trình, hệ phương trình ........................................ 78
2.2.4.1) Mục đích của biện pháp .................................................................. 78
2.2.4.2) Cách thức thực hiện ........................................................................ 79
2.2.4.3) Các minh hoạ .................................................................................. 79
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 ...................................................................................... 88
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ........................................................... 89
3.1. MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ........................................................ 89
3.2. NỘI DUNG THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM......................................................... 89
3.3. HÌNH THỨC TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM ...................................................... 90
3.3.1. Tổ chức thực nghiệm sư phạm............................................................... 90
3.3.1.1) Đối tượng thực nghiệm .................................................................. 90
3.3.1.2). Thời gian thực nghiệm ................................................................... 90
3.3.1.3) Hình thức thực nghiệm .................................................................. 90
3.4. ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM ......................................................... 91
3.4.1. Đề kiểm tra thực nghiệm (45 phút) ........................................................ 91
3.4.2. Dụng ý sư phạm của đề kiểm tra ........................................................... 91
3.4.2. Đáp án và thang điểm của đề kiểm tra ................................................... 92

3.5. PHÂN TÍCH KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM ....................................................... 94
3.5.1. Phân tích định tính ................................................................................ 94
3.5.2. Phân tích định lượng ............................................................................. 95
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 ...................................................................................... 98
KẾT LUẬN .......................................................................................................... 99
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 100
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ................................................. 103
PHỤ LỤC
Phụ lục 1: PHIẾU CÂU HỎI PHỎNG VẤN GIÁO VIÊN .................................... P1
Phụ lục 2: PHIẾU KHẢO SÁT HỌC SINH .......................................................... P4
Phụ lục 3: GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM ................................................................. P7


vi

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT
Ký hiệu

Diễn giải

GV

Giáo viên

HĐ

Hoạt động

HS


Học sinh

NXB

Nhà xuất bản

PT

Phương trình

SGK

Sách giáo khoa

SL

Số lượng

THPT

Trung học phổ thông

TL

Tỉ lệ

Tr

Trang



vii

DANH MỤC BẢNG, BIỂU ĐỒ, HÌNH, SƠ ĐỒ
Bảng 1.3 ................................................................................................................ 28
Bảng 1.4 ................................................................................................................ 29
Bảng 3.1 ................................................................................................................ 90
Bảng 3.2 ................................................................................................................ 92
Bảng 3.3 ................................................................................................................ 95
Biểu đồ 3.1 ............................................................................................................ 96
Biểu đồ 3.2 ............................................................................................................ 96
Hình 1.1 ................................................................................................................ 24
Sơ đồ 1.1 ................................................................................................................. 8
Sơ đồ 2.1 ............................................................................................................... 72
Sơ đồ 2.2 ............................................................................................................... 72
Sơ đồ 2.3 ............................................................................................................... 72
Sơ đồ 2.4 ............................................................................................................... 73
Sơ đồ 2.5 ............................................................................................................... 74
Sơ đồ 2.6 ............................................................................................................... 76
Sơ đồ 2.7 ............................................................................................................... 78


1

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Để đào tạo nguồn nhân lực đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hoá,
hiện đại hoá và hội nhập quốc tế, cần có sự đổi mới tồn diện về giáo dục đào tạo
theo tinh thần nghị quyết 29-NQ/TW Ngày 4 tháng 11 năm 2013 của hội nghị


Trung ương 8 Khóa XI. “Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị
kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học” [1]. Thực
hiện theo tinh thần nghị quyết Đảng, chương trình tổng thể giáo dục phổ thơng
cơng bố ngày 28/7/2017 của Bộ giáo dục và Đào tạo nêu rõ: “Giáo dục tốn học
hình thành và phát triển những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực
toán học với các thành tố cốt lõi là: Năng lực tư duy và lập luận tốn học, năng lực
mơ hình hoá toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học…”
Trong dạy học bộ mơn tốn ở các trường THPT, phát triển tư duy thuật tốn
có vai trị quan trọng. Tư duy thuật toán tạo một điều kiện tốt để HS tiếp thu kiến
thức, rèn luyện các kỹ năng toán học. Tư duy thuật tốn phát triển sẽ góp phần thúc
đẩy sự phát triển các thao tác trí tuệ khác cho HS như: Phân tích, tổng hợp so sánh,
khái quát hố, trừu tượng hố,…Mặt khác, cịn hình thành cho HS những phẩm chất
trí tuệ như: Tính cẩn thận, chi tiết, tính linh hoạt, tính độc lập, sáng tạo. Vì vậy, việc
dạy học phát triển tư duy thuật tốn có thể góp phần thực hiện mục tiêu đào tạo hình
mẫu con người có năng lực tự quyết, có khả năng ứng xử và giải quyết các vấn đề
trong khoa học và thực tiễn cuộc sống.
Chương trình Đại số 10 đặc biệt là phần phương trình và hệ phương trình rất
có cơ hội rèn luyện và phát triển tư duy thuật toán cho HS. Bài tập chủ đề này tuy
khơng khó nhưng phong phú và đa dạng. HS thường gặp lúng túng khi giải quyết
những dạng toán thuộc chủ đề này, đặc biệt là HS có học lực trung bình trở xuống.
Vì vậy, bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về chủ đề phương trình và
hệ phương trình một cách đầy đủ theo quy định của chương trình, việc phát triển tư
duy thuật tốn trong giải phương trình và hệ phương trình cho học sinh mang nhiều


2

ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao chất lượng dạy và học mơn tốn trong
trường THPT.

Trong những nghiên cứu về tư duy thuật tốn của HS đã có các cơng trình
luận văn, luận án như:
 Luận án tiến sĩ của Bùi Văn Nghị (Hà Nội - 1996): “Vận dụng tư duy thuật
tốn vào việc xác định hình để giải các bài tốn hình học khơng gian ở
trường trung học phổ thơng”. [23]
 Luận án tiến sĩ của Nguyễn Chí Trung (Hà Nội - 2015): “Phát triển tư duy
thuật toán cho học sinh thơng qua dạy học thuật tốn ở trường trung học
phổ thông”. [29]
 Luận văn thạc sĩ của Mai Quốc Tuấn (Huế - 2011): “Phát triển năng lực tư
duy thuật tốn cho học sinh trung học phổ thơng trong dạy học hình học
khơng gian”. [33]
 Luận văn thạc sĩ của Chu Hương Ly (Vinh - 2007): “Góp phần phát triển tư
duy thuật giải cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học một số
nội dung phương trình”. [22]
 Luận văn thạc sĩ của Phan Quốc Khánh (Cần Thơ – 2017): “Phát triển năng
lực tư duy thuật toán cho học sinh trong dạy học chủ đề phương pháp tọa
độ trong khơng gian - hình học lớp 12”. [12]
Tuy nhiên, chưa có nghiên cứu nào về phát triển tư duy thuật toán cho học
sinh trong dạy học phương trình và hệ phương trình trong đại số 10.
Từ những lí do trên, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu: “Phát triển tư duy
thuật toán cho học sinh trong dạy học phương trình và hệ phương trình đại số 10
trung học phổ thơng”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đề xuất các biện pháp nhằm góp phần phát triển tư duy thuật
tốn cho HS thơng qua dạy học phương trình và hệ phương trình – Đại số 10.


3

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống hoá những vấn đề lí luận về tư duy, tư duy tốn học, thuật toán, tư
duy thuật toán.
Xác định những thành tố của tư duy thuật tốn thể hiện trong nội dung
phương trình và hệ phương trình – Đại số 10.
Tìm hiểu thực trạng về hoạt động dạy học phát triển tư duy thuật toán trong
dạy học đại số 10 ở một số trường THPT trên địa bàn thành phố Cà Mau.
Đề xuất các biện pháp góp phần phát triển tư duy thuật tốn cho HS thơng
qua dạy học phương trình và hệ phương trình – Đại số 10.
Thực nghiệm kiểm tra tính khả thi của những biện pháp đề xuất.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu đề xuất được các biện pháp phát triển tư duy thuật tốn và vận dụng một
cách hợp lí trong dạy học thì góp phần phát triển nâng cao tư duy thuật tốn cho
HS, từ đó nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường THPT.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu các hoạt động dạy và học thể hiện qua dạy học phương trình và
hệ phương trình trong đại số 10 được hướng dẫn giải theo tư duy thuật toán.
- Phạm vi nghiên cứu
Các lớp 10 ở một số trường THPT (Đại số 10-THPT), các sách tham khảo
phần phương trình và hệ phương trình.
- Đối tượng khảo sát
HS lớp 10 và giáo viên (GV) dạy toán 10 tại một số trường (THPT Nguyễn
Việt Khái, THPT Cà Mau,…) trên địa bàn thành phố Cà Mau.
6. Phương pháp nghiên cứu
6.1. Nghiên cứu lí luận
- Nghiên cứu các văn kiện của Đảng và của ngành giáo dục có liên quan đến
dạy học mơn tốn ở bậc THPT.
- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học mơn tốn, tâm lý học, lý luận dạy
học mơn tốn.



4

- Các sách báo, các bài viết về khoa học tốn phục vụ cho đề tài.
- Các cơng trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài.
6.2. Điều tra quan sát
- Quan sát, điều tra thực tiễn dạy học phương trình và hệ phương trình trong
đại số 10.
- Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong quá
trình khai thác các bài tập sách giáo khoa.
6.3. Tổng kết kinh nghiệm
Đúc kết và rút kinh nghiệm từ các đồng nghiệp trong giảng dạy tốn nói
chung và cách thức phát triển tư duy thuật toán cho học sinh.
6.4 Thực nghiệm sư phạm
- Thực hiện dự giờ, giảng dạy, thiết kế bài tập nhóm, bài kiểm tra và phiếu
trắc nghiệm khách quan nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và tính hiệu quả của biện
pháp đã đề xuất.
- Tổ chức thực nghiệm sư phạm có lớp đối chứng và lớp thực nghiệm để
kiểm tra chất lượng, hiệu quả, tính khả thi của đề tài.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm với lớp học thực nghiệm và lớp học đối
chứng trên cùng một lớp đối tượng. Thu thập kết quả, thống kê, phân tích để đánh
giá hiệu quả của các biện pháp đề xuất.
6.5. Thống kê toán học
Thống kê kết quả thực nhiệm bằng cách phát phiếu thăm dị, phân tích định
tính, định lượng và rút ra kết luận liên quan đến các nội dung được phân tích.
7. Đóng góp của luận văn
7.1. Về mặt lí luận
- Luận văn làm sáng tỏ những vấn đề liên quan đến tư duy thuật toán trong
dạy học phương trình và hệ phương trình.
- Luận văn đưa ra một số biện pháp để góp phần phát triển tư duy thuật tốn

trong dạy học phương trình và hệ phương trình trong đại số 10.


5

7.2. Về mặt thực tiễn
- Giúp học sinh học tốt được chủ đề phương trình và hệ phương trình.
- Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp và học viên
cao học, có thể áp dụng rộng rãi đối với các nội dung khác của môn tốn góp phần
phát triển tư duy thuật tốn của HS nhằm nâng cao chất lượng dạy và học ở trường
phổ thông.
8. Bố cục của luận văn
Phần mở đầu.
Phần nội dung: Gồm 3 chương
- Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn.
- Chương 2: Một số biện pháp góp phần phát triển tư duy thuật tốn trong
dạy học phương trình và hệ phương trình trong đại số 10.
- Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.
Phần kết luận.


6

NỘI DUNG
Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. TỔNG QUAN VỀ TƯ DUY, TƯ DUY TOÁN HỌC
1.1.1. Tư duy
1.1.1.1) Khái niệm tư duy
Theo từ điển Tiếng việt, tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức, đi
sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình thức như

biểu tượng, khái niệm, phán đốn và suy lí. [35]
Các tác giả Phạm Minh Hạc, Phạm Hoàng Gia, Trần Trọng Thủy, Nguyễn
Quang Uẩn (1992), đã định nghĩa: “Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những
thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng
trong hiện thực khách quan”. [5]
X. L. Rubinstêin phát biểu rằng: “Tư duy- đó là sự khơi phục trong ý nghĩ
của chủ thể với khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu
cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể”. [30]
Từ điển Triết học đã viết: “Tư duy là sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ
chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực của thế giới trong
các khái niệm, phán đốn, lí luận. Tư duy xuất hiện trong q trình sản xuất của con
người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp và phản ánh những mối liên
hệ hợp quy luật. Tư duy chỉ tồn tại trong những mối liên hệ không thể tách rời khỏi
hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho
nền tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và
những kết quả tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tư duy là những
q trình như trừu tượng hố, phân tích, tổng hợp, việc nêu lên những vấn đề nhất
định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm, kết
quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó”. [36]
1.1.1.2) Đặc điểm của tư duy
- Tính “có vấn đề” của tư duy: Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn


7

cảnh, những tình huống mà với vốn hiểu biết sẵn có, phương pháp hành động cũ,
con người khơng đủ sức giải quyết và rơi vào hồn cảnh “có vấn đề”. Vậy nên, con
người phải vượt ra khỏi phạm vi những hiểu biết đó và đi tìm cách thức mới để giải
quyết nhằm đạt được mục đích nghĩa là phải tư duy.
Ví dụ khi học về hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn, giáo viên đưa ra bài toán

 2x  2 y  4  x
giải hệ phương trình 
và yêu cầu học sinh suy nghĩ tìm cách giải.
2 x  3 y  2 y  5

Đối với nhiều học sinh thì đây là một tình huống có vấn đề mà bản thân cần phải tư
duy mới giải quyết được. Học sinh thực hiện bằng cách chuyển vế các ẩn x và y
sang phải và thu gọn để đưa về đúng dạng của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, sau
đó giải bằng các phương pháp đã học để tìm x và y.
- Tính trừu tượng và khái qt của tư duy: Tư duy có khả năng phản ánh
những thuộc tính chung, những mối quan hệ có tính quy luật của hàng loạt sự vật,
hiện tượng. Tu duy có khả năng thoát ly khỏi sự vật, hiện tượng những thuộc tính,
những dấu hiệu cá biệt cụ thể, chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất chung cho
nhiều sự vật và hiện tượng cần thiết cho quá trình tư duy. Tư duy cho phép con
người bao quát chung những thuộc tính bản chất của sự vật, hiện tượng.
- Tính gián tiếp của tư duy: Tư duy là suy nghĩ của con người. Tư duy phản
ánh các sự vật hiện tượng một cách gián tiếp bằng ngơn ngữ nói, viết. Các quy luật,
các quy tắc công thức, các sự kiện và sự phụ thuộc được khái quát và diễn đạt trong
các từ. Ví dụ như khi suy nghĩ về việc tìm cách giải một bài tốn bắt buộc người
học phải trình bày các suy nghĩ của mình.
Trong quá trình dạy và học giữa giáo viên và học sinh trong lớp học thì tính
gián tiếp của tư duy được thể hiện rõ trong các hoạt động. Ví dụ như khi giáo viên
đưa ra những tình huống “có vấn đề” u cầu học sinh phải suy nghĩ, khi đó tư duy
được phản ánh qua ngơn ngữ. Giáo viên có thể hiểu được học sinh có tư duy hay
khơng qua các câu trả lời hoặc qua phần trình bày bài viết.
- Tư duy của con người có quan hệ mật thiết với ngơn ngữ: Ngôn ngữ cố
định lại các kết quả, biểu đạt kết quả của tư duy. Ngôn ngữ được xem là phương


8


tiện của tư duy trong sự diễn biến của quá trình tư duy nhờ sự tham gia của hệ thống
tín hiệu thứ hai (ngôn ngữ) mà con người tiến hành các thao tác tư duy, cuối cùng
sản phẩm của quá trình tư duy là những khái niệm, phán đốn, suy lý được biểu đạt
bằng từ, ngữ, câu,...
1.1.1.3) Tư duy như một quá trình, tư duy như một hoạt động
Tư duy được xét như một quá trình, nghĩa là tư duy có nảy sinh, diễn biến và
kết thúc. Q trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếp nhau được K.K.Platonov
mô tả theo sơ đồ như sau:
Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên tưởng

Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Chính xác hố

Khẳng định

Phủ định

Giải quyết vấn đề

Hoạt động tư duy mới

Sơ đồ 1.1

Như vậy, tư duy là một hoạt động trí óc, là giai đoạn cao nhất của nhận thức

và là sản phẩm của bộ não khi con người cần giải quyết một vấn đề để tìm ra ý
tưởng cho vấn đề cần giải quyết. Tư duy vận dụng những cái đã biết để đề ra giải
pháp giải quyết những cái tương tự. Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là
một ý nghĩ nào đó và được thể hiện qua ngơn ngữ.
Ví dụ 1.1: Giải phương trình sau: x  x  2  x  2  3
Quá trình phát triển tư duy của HS để giải bài toán:


9

* Nhận thức vấn đề, biểu đạt thành nhiệm vụ tư duy: u cầu bài tốn địi
hỏi giải phương trình, cần huy động các kiến thức như: định nghĩa căn bậc hai,
phương trình tương đương và phương trình hệ quả, hằng đẳng thức đáng nhớ.
* Xuất hiện các liên tưởng: Để giải phương trình ta có các cách sau.
- Cách 1: Đặt ẩn phụ.
- Cách 2: Bình phương hai vế.
- Cách 3: Sử dụng phép biến đổi tương đương.
* Sàng lọc các liên tưởng, hình thành giả thuyết về cách giải quyết vấn đề:
Bài tốn cho hai vế có cùng căn bậc hai của một biểu thức. Nếu giải bằng cách đặt
ẩn phụ hoặc bình phương hai vế của phương trình thì đều gây khó khăn cho HS như
là khơng xử lí triệt để căn bậc hai và có cả sử dụng hằng đẳng thức, cách giải dài và
tạo tâm lí nặng nề. HS chọn cách sử dụng phép biến đổi tương đương (chuyển vế
đổi dấu) sẽ khử được căn bậc hai ở hai vế, tìm được x và kết hợp với điều kiện để
kết luận nghiệm. Vậy nên HS chọn cách 3 sẽ giải bài toán thuận lợi hơn.
* Kiểm tra giả thuyết về cách giải quyết vấn đề:
Điều kiện của phương trình: x  2

x x2  x2 3

 x x2  x2 3

 x  3 (nhaä
n)
Vậy phương trình có nghiệm x  3
1.1.2. Tư duy tốn học
a) Khái niệm
Theo B.V Gen-hex-den-co, trong giáo dục toán học, yêu cầu đối với tư duy
toán học bao gồm: Năng lực nhìn thấy sự khơng rõ ràng của q trình suy luận, thấy
được sự thiếu sót của những điều cần thiết trong chứng minh; sự cơ đọng; sự chính
xác của các kí hiệu; phân chia rõ ràng tiến trình suy luận, thói quen lí lẽ và logic. [29]

Theo A.la.Khin-sin, những nét độc đáo của tư duy toán học là: suy luận theo
sơ đồ logic chiếm ưu thế, khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục


10

đích; phân chia rành mạch các bước suy luận; sử dụng chính xác các kí hiệu; tính có
căn cứ đầy đủ của lập luận. [21]
b) Đặc trưng của tư duy toán học
Theo Nguyễn Văn Lộc, tư duy toán học được hiểu: [19]
- Thứ nhất, là hình thức biểu lộ của tư duy biện chứng trong quá trình con
người nhận thức khoa học tốn học hay trong q trình áp dụng toán học vào các
lĩnh vực khoa học khác.
- Thứ hai, tư duy tốn học có tính chất đặc thù được quy định bởi bản chất
của khoa học toán học, bởi sự áp dụng các phương pháp toán học để nhận thức các
hiện tượng của thế giới hiện thực, cũng như bởi chính các phương thức chung của
tư duy mà nó sử dụng.
Do đặc thù của tư duy loài người là tư duy biện chứng mà tư duy tốn học
phải có đầy đủ các tính chất đặc trưng vốn có của tư duy nói chung, do đó tư duy
tốn học phải là tư duy biện chứng.

Tính biện chứng của tư duy tốn học được đặc trưng bởi sự nhận thức tính
thay đổi, tính hai mặt, tính mâu thuẫn, sự thống nhất, sự liên hệ tương hỗ và phụ
thuộc lẫn nhau của các khái niệm và các quan hệ.
Một trong các biểu hiện của tư duy biện chứng là tư duy lý thuyết – khoa
học. Tư duy lý thuyết – khoa học bảo đảm sự đạt tới mục đích nhận thức có hiệu
quả hơn.
Như vậy tư duy toán học biểu lộ ở các giai đoạn “tiền logic”: hình thành giả
thuyết lẫn giai đoạn “logic”: chứng minh tính đúng đắn của giả thuyết, mở rộng giả
thuyết, phát hiện các ứng dụng đa dạng của giả thuyết trong các tình huống mới.

x2  2x

Ví dụ 1.2: Giải phương trình
x 1

3
x 1

Quá trình tư duy để giải bài tốn có thể được thể hiện như sau:
- Giai đoạn tiền logic: Tìm nghiệm của phương trình
- Giai đoạn logic:


11

+ Nghiệm của phương trình phải thỏa mãn điều kiện của phương trình.
Do đó trước hết phải tìm điều kiện của phương trình. Sau đó sử dụng phép biến
đổi tương đương (nhân hai vế với cùng một biểu thức biểu thức ln có giá trị
khác 0) để khử căn bậc hai, biến đổi phương trình về phương trình đơn giản hơn
và giải tìm nghiệm. So sánh với điều kiện để kết luận nghiệm của phương trình.


2 x2  x  3
 2x  3
+ Mở rộng bài toán: Giải phương trình
2x  3
Nhận xét: Bài tốn trên áp dụng cơng thức

 A

2

 A ( A  0)

c) Các thành phần của tư duy toán học
* Tư duy cụ thể: Là tư duy trong mối liên hệ qua lại với mô hình cụ thể của
đối tượng. Trong quá trình giảng dạy toán; các phương pháp cụ thể hoá – quy nạp
và trừu tượng hoá – suy diễn thường được sử dụng, từ đó xuất hiện sự cần thiết nói
về tư duy cụ thể. Người ta phân biệt hai dạng tư duy cụ thể: Dạng phi thủ thuật (Sự
quan sát, sự tri giác cảm tính) và dạng thủ thuật (các hành động gián tiếp với mơ
hình cụ thể của đối tượng).
* Tư duy trừu tượng là tư duy đặc trưng bởi kỹ năng trừu xuất khỏi nội dung
cụ thể của đối tượng nghiên cứu, nhằm là nổi bật các tính chất chung của nó, mà các
tính chất này là chủ thể của sự nghiên cứu.
- Trong q trình giảng dạy tốn, tư duy trừu tượng có thể được biểu lộ ở hai
hình thức:
+ Ở dạng tường minh: Ví dụ, trong giáo trình hình học khi xét khái niệm
thể hình học, chúng ta trừu xuất tất cả các tính chất của thể vật chất, chỉ giữ lại hình
dạng, kích thước và vị trí trong khơng gian.
+ Ở dạng khơng tường minh: Ví dụ, khi đếm các đối tượng của một tập hợp
cụ thể, chúng ta trừu xuất tất cả các tính chất của mỗi đối tượng riêng biệt, với giả

định rằng các đối tượng giống nhau (đồng nhất).
- Trong quá trình trừu tượng hố tư duy phải thực hiện các hoạt động phân
tích, tuy nhiên do “suy luận diễn dịch là trái tim của tư tưởng toán học” nên sự trừu


12

tượng hóa tốn học phải mang đặc trưng “Lơgic”. Trong q trình tư duy trừu
tượng, những biểu tượng khơng gian đã có được biến đổi, giúp cho sự hình thành
các biểu tượng khơng gian mới. Do đó tư duy trừu tượng có thể chia thành:
+ Tư duy phân tích.
+ Tư duy lôgic.
+ Tư duy không gian.
* Tư duy trực giác: Tư duy trực giác liên hệ chặt chẽ với khái niệm trực giác.
- Trực giác (từ latinh: intnilio) – đó là năng lực đặc biệt của sự hiểu biết,
được đặc trưng bởi sự nhận thức trực tiếp các chân lý.
+ Trong q trình nghiên cứu giáo trình tốn phổ thơng, trực giác biểu lộ cả
ở hình thức, phương pháp, phương tiện của nhận thức. Trực giác biểu lộ ở hình thức
của nhận thức, vì rằng nhận thức đi từ trực quan sinh động, nhận thức được thực
hiện trên cơ sở thu nhận theo linh tính các thơng tin mà HS có được. Trực giác cũng
biểu lộ với tư cách là một trong các phương pháp, phương tiện của nhận thức.
+ Những biểu hiện quan trọng của trực giác toán học là kỹ năng định hướng
trong các tình huống mới khơng quen biết, năng lực nhìn thấy các kết quả đúng đắn,
việc lựa chọn các con đường thực hiện chúng, sự nhìn thấy được các kết luận sai
lầm hiển nhiên.
- Khái niệm trực giác là một yếu tố của một phương thức tư duy được gọi là
tư duy trực giác. Tư duy trực giác có đặc điểm là trong nó có các giai đoạn xác định
một cách khơng tường minh, nó có khuynh hướng dựa trên sự tri giác tồn bộ vấn
đề ngay lập tức.
* Tư duy hàm: Tư duy hàm liên hệ chặt chẽ với khái niệm hàm số.

- Tư duy hàm là phương thức tư duy đặc trưng bởi việc nhận thức tiến trình
của các quan hệ chung và riêng giữa các đối tượng toán học hay giữa các tính chất
của chúng (và bởi kỹ năng sử dụng các quan hệ ấy).
- Tư duy hàm có một số nét đặc trưng chủ yếu sau:
+ Hiểu biết các đối tượng toán học trong sự chuyển động thay đổi.


13

+ Cách xem xét thao tác – hành động đối với các sự kiện toán học, việc sử
dụng các mối quan hệ nhân – quả.
+ Khuynh hướng giải thích nội dung của các sự kiện toán học, việc chú ý
cao hơn đối với khía cạnh thực tiễn của tốn học.
* Tư duy thuật tốn: Tư duy thuật tốn có liên hệ chặt chẽ với khái niệm
thuật toán.
- Các thuật toán phải thỏa mãn ba yêu cầu cơ bản:
+ Tính xác định: Ai cũng phải hiểu theo cùng một cách mỗi giai đoạn của
quá trình quyết định giai đoạn tiếp theo một cách duy nhất.
+ Tính số đơng: Thuật tốn phải dùng được để giải một loạt (kiểu) xác định
các bài tốn.
+ Tính kết quả: Nếu hồn thành đúng các thao tác theo trình tự đã vạch ra
thì nhất thiết giải được bài toán theo loại đã chọn.
- Trong dạy học, thuật toán dạy học là hệ thống những quy định nghiêm ngặt
được thực hiện theo một trình tự chặt chẽ dẫn tới cách giải quyết đúng đắn.
- Khái niệm thuật toán là một yếu tố của một phương thức tư duy được gọi là
tư duy thuật toán.
1.1.3. Tư duy thuật toán
1.1.3.1) Khái niệm thuật toán
Theo Steven và Robert (1998), từ “Thuật tốn” (algorithm) có nguồn gốc từ
tên gọi Mohamed ibn Musa al-Khowarizmi là tên của nhà toán học cổ đại người

Trung Á (năm 825 sau công nguyên), người đã phát minh ra tập các quy tắc để thực
hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, và các số thập phân. [34]
Theo Nguyễn Xuân Huy (1988), thuật toán là một hệ thống chặt chẽ và rõ
ràng các quy tắc nhằm xác định một dãy các thao tác trên những đối tượng, sao cho
sau một số hữu hạn bước thực hiện các thao tác thực hiện ta đạt được mục tiêu định
trước. [11, tr.3]
Theo Hồng Phê (2003), thuật tốn là bảng chỉ dẫn cụ thể trình tự các bước
cần thực hiện để đi tới lời giải cuối cùng của một bài toán. [25, tr.962]


14

Theo từ điển bách khoa toàn thư tập 4, thuật toán là các quy tắc để thực hiện
theo một thứ tự xác định một hệ thống phép tốn nào đó nhằm giải một bài tốn nào
đó. Thuật tốn dẫn từ các dữ kiện ban đầu đến kết quả cần tìm qua một số hữu hạn
bước (phép toán). Kết quả cần tìm có thể là một lời giải chính xác hoặc một lời giải
gần đúng. [10]
Theo Chu Cẩm Thơ (2015), thuật tốn là một bản quy định chính xác mà
mọi người đều hiểu như nhau về việc hoàn thành những thao tác nguyên tố theo một
trật tự xác định nhằm giải quyết một loạt các bài toán bất kỳ thuộc một loại hay một
kiểu nào đó. [29, tr.66-67]
Theo Đào Tam [27, tr.34]
- Khái niệm thuật toán theo nghĩa hẹp: Thuật toán là dãy thứ tự các thao tác
được thực hiện trên một số hữu hạn các số liệu và đảm bảo sau một số hữu hạn
bước sẽ đạt một kết quả nào đó.
- Khái niệm thuật tốn theo nghĩa rộng: Thuật toán là một dãy hữu hạn các
bước thực hiện theo một thứ tự nhất định để giải quyết một nhiệm vụ nào đó.
Theo Nguyễn Phú Lộc: Khái niệm thuật tốn là một yếu tố của một phương
thức tư duy được gọi là tư duy thuật toán. [16]
Như vậy, thuật toán là một quy tắc chính xác và đơn trị quy định một số hữu

hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự xác định trên những đối tượng sao cho
sau một số hữu hạn những thao tác đó ta thu được kết quả mong muốn. Thuật tốn
có thể được mô tả bằng lời, mô tả bằng sơ đồ, mô tả bằng việc thực hiện thuật toán
để giải quyết vấn đề đang gặp phải.
1.1.3.2) Quy tắc tựa thuật toán
Theo Nguyễn Bá Kim (2007). Trong quá trình dạy học, ta gặp một số quy tắc
chưa mang đầy đủ các đặc điểm đặc trưng của thuật tốn, nhưng có một số trong
các đặc điểm đó và đã tỏ ra có hiệu lực trong việc chỉ dẫn hành động và giải tốn.
Đó là những quy tắc tựa thuật toán được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn
thực hiện được theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thơng tin vào của một lớp
bài tốn thành thơng tin ra mơ tả lời giải của lớp bài tốn đó [14, tr 379].


15

Quy tắc tựa thuật toán phân biệt với thuật toán như sau:
- Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc có thể chưa mô tả hành động một cách xác định;
- Kết quả thực hiện mỗi chỉ dẫn có thể khơng đơn trị;
- Quy tắc không đảm bảo chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thì đem
lại kết quả là lời giải của lớp bài tốn.
Ví dụ 1.3: Quy trình giải phương trình vơ tỉ
- Bước 1: Tìm điều kiện của ẩn.
- Bước 2: Khử căn thức, biến đổi về phương trình đã biết cách giải.
- Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
- Bước 4: Kết luận nghiệm.
Ta nhận thấy khơng có sự chỉ dẫn nào cho biết cách kiểm tra trong bước 2.
Vì thế, có nhiều trường hợp các bước này khơng thực hiện được nên bài tốn đặt ra
ta không giải được.
1.1.3.3) Khái niệm tư duy thuật toán
Theo Trần Vui (2004), tư duy thuật toán là một thành phần tư duy tốn học,

nó gắn liền với khái niệm thuật tốn, nó giúp cho HS thấy được nền tảng của việc tự
động hố, đặc tính hình thức, thuần t máy móc của q trình thực hiện các thuật
tốn, đó là cơ sở cho việc chuyển giao một số chức năng của con người cho máy
thực hiện. [37, tr.37]
Theo Nguyễn Bá Kim [14], khi HS làm quen với một số thuật toán như:
Thuật toán cộng, trừ, nhân, chia,…các số tự nhiên, thuật tốn giải phương trình bậc
hai,…trong q trình giảng dạy GV cần rèn luyện cho HS loại hình tư duy quan
trọng, đó là tư duy thuật tốn. Tư duy thuật tốn có liên hệ chặt chẽ với khái niệm
thuật tốn, nó là một hình thức tư duy biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động
toán học sau:
(T1): Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một
thuật tốn cho trước.
(T2): Phân tích một hành động thành những thao tác thành phần được thực
hiện theo một trình tự xác định.


16

(T3): Mơ tả chính xác tiến trình tiến hành một hoạt động.
(T4): Khái quát hoá một hoạt động trên những đối tượng riêng lẻ thành một
hoạt động trên một lớp đối tượng.
(T5): So sánh những thuật toán khác nhau cùng thực hiện một cơng việc và
phát hiện thuật tốn tối ưu.
Hoạt động (T1) thể hiện khả năng thể hiện một thuật tốn có sẵn, (T2 – T5)
thể hiện khả năng xây dựng thuật toán mới.
Việc phát triển tư duy thuật tốn cho HS có thể được thực hiện bằng cách rèn
luyện cho họ những khả năng đã liệt kê ở trên như những thành tố của phương thức
tư duy thuật toán. Trong dạy học toán, muốn phát triển tư duy thuật tốn cho HS thì
người GV cần tổ chức, điều khiển các hoạt động tư duy thuật toán cho HS. Qua đó
giúp HS nắm vững các quy tắc, các bước thực hiện theo quy trình đồng thời phát

triển khả năng tư duy thuật tốn thơng qua các hoạt động đó.
Ví dụ 1.4: Trong phần Đại số 9, sau khi dạy xong phương trình bậc hai

ax 2  bx  c  0 ( a  0) và công thức nghiệm (cơng thức nghiệm thu gọn), GV có
thể u cầu HS nêu các bước giải phương trình bậc hai và từ đó khái qt các bước
để hình thành quy trình giải toán như sau:
- Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c.
- Bước 2: Tính biệt thức   b 2  4ac ( hoaë
c '  b'2  ac)
- Bước 3: Xét dấu 
+ Nếu   0 thì phương trình vơ nghiệm.
+ Nếu   0 thì phương trình có nghiệm kép x1  x2  

b
2a

+ Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1,2 

b  b 2  4ac
2a

- Bước 4: Kết luận nghiệm.
Hoạt động trên nhằm rèn luyện cho HS các hoạt động T1 và T4 của tư duy
thuật toán; đó là thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với


17


một thuật toán cho trước, khái quát hoá một hoạt động trên những đối tượng riêng lẻ
thành một hoạt động trên một lớp đối tượng.
1.2. MỘT SỐ BIỂU HIỆN CỦA TƯ DUY THUẬT TỐN TRONG CHỦ ĐỀ
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐẠI SỐ 10
1.2.1. Nội dung chương trình phương trình và hệ phương trình
1.2.1.1) Sơ lược về nội dung phương trình và hệ phương trình từ lớp 8 đến
lớp 10
Khái niệm phương trình và hệ phương trình là một trong những khái niệm
quan trọng của toán học. Lý thuyết về phương trình đã được nhiều nhà tốn học
nghiên cứu như Điôphang, Viet, Đecac, … và đã được phát triển thành lý thuyết đại
số cổ điển, lý thuyết phương trình khơng phải chỉ là cơ sở xây dựng đại số học mà
còn giữ vai trò quan trọng trong các bộ mơn khác của tốn học.
Chủ đề phương trình và hệ phương trình có mặt ở nhiều khối lớp từ cấp 2
đến cấp 3. Những kiến thức về phương trình và hệ phương trình cịn là chìa khóa để
giải quyết nhiều vấn đề thuộc hầu hết các chủ đề kiến thức về Đại số, Giải tích. Vì
vậy bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về chủ đề phương trình, hệ
phương trình một cách đầy đủ theo quy định của chương trình, việc rèn luyện kĩ
năng giải phương trình và hệ phương trình cho học sinh có ý nghĩa quan trọng trong
việc nâng cao chất lượng dạy học nhiều nội dung mơn tốn ở trường THPT.
Về mặt lý luận như các khái niệm phương trình, hệ phương trình, quan hệ
tương đương đối với hai phương trình, được đưa dần ở mức độ thích hợp với từng
bậc lớp có phần lặp đi lặp lại và nâng cao dần qua các lớp từ 8 đến 10. Học sinh
cũng được tiếp cận với từng loại phương trình và hệ phương trình thích ứng với
những yếu tố lý thuyết đã học, cụ thể là:
Lớp 8: (Chương III: Phương trình bậc nhất một ẩn, gồm 16 tiết). Học sinh
được học các khái niệm phương trình một ẩn, nghiệm của phương trình và giải
phương trình. Nội dung tiếp theo các em được học về hai phương trình tương đương
và các phép biến đổi tương đương nhưng chưa học phương trình hệ quả. Dạng
phương trình tương ứng: phương trình bậc nhất, phương trình tích, phương trình
chứa ẩn ở mẫu thức và giải bài tốn bằng cách lập phương trình.