TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

TÊN ĐỀ TÀ I:

TÁCH KHỐI TÂM CHO BÀ I TOÁN NGUYÊN TỬ TƯƠNG TÁC VỚI TỪ
TRƯỜNG ĐỀU
THE CENTER-OF-MASS SEPERATION FOR THE PROBLEM OF AN
ATOM IN A UNIFORM MAGNETIC FIELD

GVHD: GS.TSKH. LÊ VĂN HOÀNG
SVTH: NGUYỄN ANH TUẤN – K40.102.105

Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

TÊN ĐỀ TÀ I:

TÁCH KHỐI TÂM CHO BÀ I TOÁN NGUYÊN TỬ TƯƠNG TÁC VỚI TỪ
TRƯỜNG ĐỀU
THE CENTER-OF-MASS SEPERATION FOR THE PROBLEM OF AN
ATOM IN A UNIFORM MAGNETIC FIELD

GVHD: GS.TSKH. LÊ VĂN HOÀNG

SVTH: NGUYỄN ANH TUẤN – K40.102.105

Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2018

2


LỜI CẢM ƠN
Việc thực hiện đề tài này không thể khơng kể đến sự đóng góp của GS. Lê Văn
Hồng đã đề nghị đề tài này và luôn theo sát em trong suốt q trình làm khóa luận. Hơn
nữa, thơng qua việc giảng dạy, Thầy Hoàng cũng đã là người truyền cảm hứng cho em
trong việc nghiên cứu các vấn đề liên quan đến Cơ Học Lượng Tử, giúp em có khả năng
và hứng thú tìm tịi các tài liệu liên quan đến bộ môn và đề tài này. Sự thành cơng của
khóa luận cũng nhờ vào cơng ơn rất lớn của Thầy.
Ngoài ra, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy Lê Đại Nam, người đã
góp ý cho em sửa chữa và hồn chỉnh khóa luận. Khóa luận của em sẽ khơng thể hồn
thiện nếu khơng có sự hướng dẫn và giúp đỡ của thầy.
Em xin cảm ơn đến các thầy cô trong tổ Vật Lý Lý Thuyết vì đã tạo điều kiện cho
em thực hiện đề tài này, tạo điều kiện cho em có cơ hội được nghiên cứu một vấn đề khoa
học. Mặc dù kĩ năng phân tích vấn đề và trình bày vấn đề của em cịn có rất nhiều thiếu
sót nhưng các thầy cơ đã rất nhiệt tình chỉ bảo và hướng dẫn em. Đây là một điều may
mắn rất lớn đối với em.
Lời cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè, những người đã ln
động viên và khích lệ tinh thần em trong suốt thời gian qua để em có thể tập trung hồn
thành khóa luận.
TPHCM, ngày 26 tháng 04 năm 2018

Nguyễn Anh Tuấn

3



MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................................... 3
DANH MỤC CÁC HÌNH ................................................................................................... 5
Chương 1 .......................................................................................................................... 5
Chương 2 .......................................................................................................................... 5
MỞ ĐẦU ............................................................................................................................. 6
CHƯƠNG 1: KHỐI TÂM TRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA KHI
CHƯA ĐẶT TRONG TỪ TRƯỜNG ................................................................................. 9
1.1. Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử hydro khi chưa đặt trong từ trường ............. 9
1.2. Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử heli khi chưa đặt trong từ trường ............... 13
CHƯƠNG 2: TÁCH KHỐI TÂM TRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ TRUNG
HÒA TRONG TỪ TRƯỜNG ........................................................................................... 18
2.1. Ảnh hưởng của từ trường lên một hạt mang điện chuyển động.............................. 18
2.2. Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử hydro trung hòa trong từ trường ................ 20
2.3. Tách khối tâm cho bài tốn ngun tử heli trung hịa trong từ trường ................... 26
CHƯƠNG 3: ĐIỀU KIỆN ĐỂ TÁCH CHUYỂN ĐỘNG KHỐI TÂM TRONG
HAMILTONIAN CỦA MỘT NGUYÊN TỬ TRONG TỪ TRƯỜNG............................ 34
CHƯƠNG 4: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN .................................................. 37
KẾT LUẬN .................................................................................................................... 37
HƯỚNG PHÁT TRIỂN ................................................................................................. 37
PHỤ LỤC .......................................................................................................................... 38
A. Toán tử động lượng suy rộng của một hệ N hạt mang điện ...................................... 38
B. Các biểu thức giải tích ............................................................................................... 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 41
Tiếng Việt ....................................................................................................................... 41
Tiếng Anh ....................................................................................................................... 41

4



DANH MỤC CÁC HÌNH

Chương 1
Hình 1: Ngun tử hydro trong hệ tọa độ Descartes ........................................................... 7
Hình 2: Nguyên tử heli trong hệ tọa độ Descartes ............................................................ 12
Chương 2
Hình 3: Nguyên tử hydro khi đặt trong từ trường trong tọa độ Descartes ........................ 19
Hình 4: Nguyên tử heli khi đặt trong từ trường trong tọa độ Descartes............................ 25

5


MỞ ĐẦU
1. Đối với cơ học lượng tử, khi khảo sát chuyển động của các đối tượng vi mô
(như các hạt cơ bản hay một hệ hạt chẳng hạn như nguyên tử), ta sẽ viết Hamiltonian cho
hệ rồi đưa Hamiltonian vào phương trình sóng Schrodinger để giải ra nghiệm là hàm
sóng 𝜓(𝒓) và năng lượng. Hàm sóng bản thân nó khơng có ý nghĩa vật lí. Tuy nhiên, theo
Max Born, bình phương module hàm sóng lại cho ta biết xác suất tìm thấy một hạt trong
một vi phân thể tích [1]. Tuy nhiên, đối với những bài toán nguyên tử (hệ gồm hai hoặc
nhiều hạt), việc giải phương trình Schrodinger sẽ khá phức tạp do số bậc tự do trong bài
toán nhiều. Giả sử khi xét chuyển động của một nguyên tử hydro trong từ trường, ta phải
xét vector bán kính hạt nhân 𝒓𝒉 và vector bán kính electron 𝒓𝒆 . Trong khơng gian
Descartes, mỗi vector sẽ có ba thành phần, do đó Hamiltonian của hệ sẽ có đến sáu bậc tự
do [18]. Điều này sẽ gây khó khăn khi giải phương trình Schrodinger.
Để giảm số bậc tự do, ta sẽ đưa bài toán về hệ quy chiếu khối tâm. Lúc này, thay
vì xét các vector bán kính hạt nhân 𝒓𝒉 và các electron 𝒓𝒆 , ta sẽ đưa về các vector bán kính
của khối tâm và của chuyển động tương đối giữa hạt nhân và electron (đối với các bài
tốn có nhiều electron sẽ xét thêm vector bán kính chuyển động tương đối giữa các

electron). Sau đó, Hamiltonian sẽ được biến đổi qua hệ khối tâm. Lúc này, bằng các phép
biến đổi giải tích, ta sẽ đưa Hamiltonian trong hệ khối tâm về dạng phân ly biến số, tức là
chuyển động của khối tâm và chuyển động tương đối của các hạt nhân và electron trong
nguyên tử được tách ra một cách rõ rệt. Việc giải phương trình Schrodinger lúc này sẽ
đơn giản hơn do hai biến số hoàn tồn độc lập với nhau. Do đó, khi khảo sát chuyển động
của các ngun tử, ta ln tìm cách đưa Hamiltonian của nguyên tử về hệ quy chiếu khối
tâm và biểu diễn Hamiltonian dưới dạng phân ly biến số, từ đó việc giải phương trình
Schrodinger để tìm hàm sóng sẽ đơn giản hơn rất nhiều.
2. Chưa xét đến việc giải phương trình Schrodinger, hiện nay, việc tách khối tâm
trong bài tốn ngun tử khi khơng có điện từ trường đã được giải quyết và trình bày,
điển hình là bài tốn ngun tử hydro khi khơng có điện từ trường [1]. Tiếp sau đó là bài
tốn ngun tử heli với cách giải gần như tương tự mà đề tài này sẽ giải quyết. Còn đối
6


với nguyên tử trong từ trường, lời giải cho bài tốn ngun tử hydro, heli cũng đã được
cơng bố [4, 5, 13, 14]. Tất cả sẽ được trình bày lại một cách hệ thống nhất trong đề tài
này.
Sau khi đạt được thành công trong việc tách khối tâm trong bài tốn ngun tử
trung hịa khi khơng có điện từ trường và trong từ trường, các nhà khoa học bắt đầu
chuyển đối tượng nghiên cứu các exciton khơng trung hịa trong bán dẫn, nghĩa là số
electron và số lỗ trống không bằng nhau. Lúc này họ đã gặp phải một số khó khăn nhất
định trong việc đưa Hamiltonian về dạng phân ly biến số [15, 16]. Vấn đề đặt ra ở đây đó
chính là tại sao đối với exciton khơng trung hịa thì Hamiltonian của nó trong hệ quy
chiếu khối tâm không thể đưa về dạng phân ly biến số một cách dễ dàng như các nguyên
tử trung hòa. Và liệu có một điều kiện, hay một phép gần đúng nào giúp ta làm được điều
này? Đây vẫn còn là một vấn đề khá nan giải mà các bài báo khoa học đang đặt ra.
3. Đề tài này sẽ nghiên cứu kĩ về các bước để có thể tách khối tâm cho bài toán
nguyên tử. Đối tượng nghiên cứu ban đầu là nguyên tử hydro và heli khi chưa có từ
trường. Khi đặt nguyên tử trung hòa trong từ trường, do có sự xuất hiện của thế vector

nên tốn tử xung lượng của các hạt sẽ bị biến đổi [1]. Lúc này việc tách khối tâm sẽ phức
tạp hơn. Đề tài này sẽ chỉ ra sự khác biệt giữa Hamiltonian của một nguyên tử trong từ
trường với Hamiltonian của một nguyên tử khi khơng có từ trường cũng như trình bày
từng bước cách để tách khối tâm trong bài toán nguyên tử trong từ trường. Ban đầu, để
đơn giản, ta cũng sẽ chọn đối tượng là nguyên tử hydro trong từ trường. Sau đó là heli và
mở rộng ra đối với một ion có hạt nhân Z và một electron, kiểm chứng xem với các cách
làm của các bài toán trên thì có thể tách khối tâm cho bài tốn ion được không.
Mặc dù phạm vi của đề tài chỉ đến bước thiết lập Hamiltonian của nguyên tử ở
dạng phân ly biến số giữa chuyển động khối tâm và chuyển động tương đối của hạt nhân
và electron, nhưng kết quả này sẽ làm tiền đề cho các nghiên cứu sâu hơn, nhất là exciton
khơng trung hịa trong bán dẫn hai chiều.

7


4. Ngoài phần Mở đầu và Kết luận và hướng phát triển, khóa luận sẽ gồm có hai
chương:
Chương 1: Khối tâm trong các bài tốn ngun tử trung hịa khi chưa đặt trong từ
trường.
Chương này sẽ trình bày chi tiết các bước tách khối tâm cho nguyên tử trung hòa
khi chưa đặt trong từ trường. Đối tượng nghiên cứu ở đây chính là nguyên tử hydro và
heli. Chương 1 bao gồm hai phần, mỗi nguyên tử sẽ được trình bày trong một phần.
Chương 2: Khối tâm trong các bài toán nguyên tử trung hòa trong từ trường.
Chương này cũng sẽ trình bày chi tiết các bước tách khối tâm cho nguyên tử trung
hòa trong từ trường. Chương 2 bao gồm ba phần. Hai phần đầu sẽ trình bày việc tách
khối tâm cho hydro và heli. Phần thứ ba, tôi sẽ chuyển đối tượng nghiên cứu sang ion với
hạt nhân 𝑍 và một electron với 𝑍 ≠ 1 để kiểm chứng với các bước tách khối tâm đã thực
hiện trong bài tốn hydro và heli thì đối với ion có thành công hay không.

8



CHƯƠNG 1: KHỐI TÂM TRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ TRUNG
HÒA KHI CHƯA ĐẶT TRONG TỪ TRƯỜNG
1.1. Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử hydro khi chưa đặt trong từ trường
Nguyên tử hydro trung hòa bao gồ m ha ̣t nhân là mô ̣t proton và mô ̣t electron
chuyể n đô ̣ng xung quanh ha ̣t nhân. Trong nguyên tử hydro khi chưa đặt trong từ trường
thì lực tác du ̣ng giữa proton và electron chính là lực Coulomb.
Go ̣i 𝒓𝒉 ≡ (𝑥ℎ , 𝑦ℎ , 𝑧ℎ ) và 𝒓𝒆 ≡ (𝑥𝑒 , 𝑦𝑒 , 𝑧𝑒 ) lầ n lươ ̣t là vector to ̣a đô ̣ của ha ̣t nhân và
electron, 𝑚ℎ và 𝑚𝑒 lầ n lươ ̣t là khố i lươ ̣ng của ha ̣t nhân và electron.
z

𝒓𝒆 − 𝒓𝒉
𝒓𝒉
𝒓𝒆
y

x

Hình 1: Nguyên tử hydro trong hệ tọa độ Descartes.
Hamiltonian của nguyên tử hydro đươ ̣c viế t như sau
̂ ( 𝒓𝒉 , 𝒓𝒆 ) =
𝐻

1
1
1
𝑒2
̂𝒉 𝟐 +
̂𝒆 𝟐 −

𝒑
𝒑
,
2𝑚ℎ
2𝑚𝑒
4πεε0 |𝒓𝒆 − 𝒓𝒉 |

(1.1)

̂,
trong đó 𝒑
𝒑𝒆 lầ n lươ ̣t là toán tử xung lươ ̣ng của ha ̣t nhân và electron, có dạng
𝒉 ̂
̂𝒉 = −𝑖ℏ∇𝒓𝒉 ,
𝒑

(1.2)

̂𝒆 = −𝑖ℏ∇𝒓𝒆 ,
𝒑

(1.3)

∇ là toán tử Nabla, đươ ̣c đinh
̣ nghiã như sau
9


∇= 𝒊


𝜕
𝜕
𝜕
+𝒋
+𝒌 .
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧

(1.4)

Để đưa bài toán về hê ̣ to ̣a đô ̣ khố i tâm, ta sẽ sử du ̣ng hai vector mới như sau
𝒓 = 𝒓𝒆 − 𝒓𝒉 ,

𝑹=

𝑚 ℎ 𝒓𝒉 + 𝑚 𝑒 𝒓𝒆
,
𝑚ℎ + 𝑚𝑒

(1.5)

(1.6)

trong đó r là vector mô tả chuyể n đô ̣ng tương đố i của electron so với ha ̣t nhân; R là
vector to ̣a đô ̣ khố i tâm của nguyên tử hydro. Ta sẽ biế n đổ i sang hệ quy chiếu khố i tâm
qua các công thức liên hê ̣ như sau
𝑥 = 𝑥𝑒 − 𝑥ℎ
{𝑦 = 𝑦𝑒 − 𝑦ℎ ,
𝑧 = 𝑧𝑒 − 𝑧ℎ


(1.7)

𝑚ℎ 𝑥ℎ + 𝑚𝑒 𝑥𝑒
𝑚ℎ + 𝑚𝑒
𝑚ℎ 𝑦ℎ + 𝑚𝑒 𝑦𝑒
𝑌=
,
𝑚ℎ + 𝑚𝑒
𝑚ℎ 𝑧ℎ + 𝑚𝑒 𝑧𝑒
𝑍=
{
𝑚ℎ + 𝑚𝑒

(1.8)

1 𝑒2
𝑉 ( 𝒓) = −
.
4πεε0 |𝒓|

(1.9)

𝑋=

Các biể u thức đa ̣o hàm riêng phầ n cũng sẽ đươ ̣c biế n đổ i sang hê ̣ quy chiếu khố i tâm, cụ
thể là đố i với ha ̣t nhân, ta có
𝜕
𝜕 𝜕𝑥
𝜕 𝜕𝑋

𝜕
𝑚ℎ
𝜕
=
+
=−
+
𝜕𝑥ℎ 𝜕𝑥 𝜕𝑥ℎ 𝜕𝑋 𝜕𝑥ℎ
𝜕𝑥 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝜕𝑋
𝜕
𝜕 𝜕𝑦
𝜕 𝜕𝑌
𝜕
𝑚ℎ
𝜕
=
+
=−
+
;
𝜕𝑦ℎ 𝜕𝑦 𝜕𝑦ℎ 𝜕𝑌 𝜕𝑦ℎ
𝜕𝑦 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝜕𝑌
𝜕
𝜕 𝜕𝑧
𝜕 𝜕𝑍
𝜕
𝑚ℎ
𝜕
=
+

=− +
{ 𝜕𝑧ℎ 𝜕𝑧 𝜕𝑧ℎ 𝜕𝑍 𝜕𝑧ℎ
𝜕𝑧 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝜕𝑍

(1.10)

đố i với electron, ta có
10


𝜕
𝜕 𝜕𝑥
𝜕 𝜕𝑋
𝜕
𝑚𝑒
𝜕
=
+
=
+
𝜕𝑥𝑒 𝜕𝑥 𝜕𝑥𝑒 𝜕𝑋 𝜕𝑥𝑒 𝜕𝑥 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝜕𝑋
𝜕
𝜕 𝜕𝑦
𝜕 𝜕𝑌
𝜕
𝑚𝑒
𝜕
=
+
=

+
.
𝜕𝑦𝑒 𝜕𝑦 𝜕𝑦𝑒 𝜕𝑌 𝜕𝑦𝑒 𝜕𝑦 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝜕𝑌
𝜕
𝜕 𝜕𝑧
𝜕 𝜕𝑍
𝜕
𝑚𝑒
𝜕
=
+
=
+
{ 𝜕𝑧𝑒 𝜕𝑧 𝜕𝑧𝑒 𝜕𝑍 𝜕𝑧𝑒 𝜕𝑧 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝜕𝑍

(1.11)

Bây giờ, ta sẽ lần lượt đưa các toán tử động lượng của hạt nhân và electron về hệ
quy chiếu khối tâm. Viết toán tử xung lượng của hạt nhân dưới dạng tường minh ta thu
được
̂𝒉 = −𝑖ℏ (𝒊
𝒑

𝜕
𝜕
𝜕
).
+𝒋
+𝒌
𝜕𝑥ℎ

𝜕𝑦ℎ
𝜕𝑧ℎ

Thay (1.10) vào biểu thức trên, ta thu được
̂𝒉 = −𝑖ℏ [− (𝒊
𝒑

𝜕
𝜕
𝜕
𝑚ℎ
𝜕
𝜕
𝜕
) (𝒊
+𝒋
+𝒌 )+(
+𝒋
+ 𝒌 )]
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝑚 ℎ + 𝑚𝑒
𝜕𝑋
𝜕𝑌
𝜕𝑍

̂𝒉 = −𝑖ℏ(−∇𝐫 ) + (
⟹𝒑


̂𝒉 = −𝐩
̂+(
⟹𝒑

𝑚ℎ
) (−𝑖ℏ∇𝐑 )
𝑚 ℎ + 𝑚𝑒

𝑚ℎ
)𝒑
̂ ,
𝑚 ℎ + 𝑚𝑒 𝒄

(1.12)

̂ = −𝑖ℏ∇𝐫 là toán tử xung lươ ̣ng đă ̣c trưng cho chuyể n đô ̣ng tương đố i giữa
trong đó 𝐩
̂𝒄 = −𝑖ℏ∇𝐑 là toán tử xung lươ ̣ng đă ̣c trưng
electron và ha ̣t nhân ứng với to ̣a đô ̣ (x,y,z); 𝒑
cho chuyể n đô ̣ng khố i tâm của hê ̣ ứng với to ̣a đô ̣ (X,Y,Z).
Thực hiện tương tự các bước biến đổi trên với toán tử động lượng của electron, ta cũng
thu được
𝑚𝑒
̂𝒆 = 𝐩
̂+(
)𝒑
̂ .
𝒑
𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝒄


(1.13)

Bây giờ, ta sẽ lầ n lươ ̣t thay các biể u thức toán tử đô ̣ng lươ ̣ng và thế năng trên vào
Hamiltonian ban đầ u của nguyên tử hydro. Để đơn giản, ta sẽ xét toán tử đô ̣ng năng của
hê ̣ trước
11


2
2
1
1
1
𝑚ℎ
1
𝑚𝑒
𝟐
𝟐
̂ +
̂ =
[−𝐩
̂+(
)𝒑
̂ ] +
[𝐩
̂+(
)𝒑
̂ ] .
𝒑
𝒑

2𝑚ℎ 𝒉
2𝑚𝑒 𝒆
2𝑚ℎ
𝑚ℎ + 𝑚 𝑒 𝒄
2𝑚𝑒
𝑚 ℎ + 𝑚𝑒 𝒄

Thực hiện các phép biến đổi toán học, ta thu được
1
1
1 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝟐 1
1
̂𝒉 𝟐 +
̂𝒆 𝟐 = (
)𝐩
̂ + (
)𝒑
̂𝒄 𝟐 .
𝒑
𝒑
2𝑚ℎ
2𝑚𝑒
2 𝑚ℎ 𝑚 𝑒
2 𝑚ℎ + 𝑚𝑒

(1.14)

Đến đây, ta đặt như sau
𝑚ℎ 𝑚𝑒
,

𝑚ℎ + 𝑚𝑒

(1.15)

𝑀 = 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 ,

(1.16)

𝑚=

với 𝑀 là khối lượng của khối tâm, 𝑚 là khối lượng rút gọn của chuyển động tương đối
giữa hạt nhân và electron.
Khi đó, ta có Hamiltonian của nguyên tử hydro trong hệ quy chiếu khố i tâm như sau
̂=
𝐻

−ℏ2 2 −ℏ2 2
1 𝑒2
∇𝐑 +
∇𝐫 −
.
2𝑀
2𝑚
4πεε0 |𝒓|

(1.17)

Như vâ ̣y từ (1.17), ta thấ y chuyể n đô ̣ng của nguyên tử hydro khi chưa có từ trường
có thể tách ra làm hai chuyể n đô ̣ng: mô ̣t là chuyể n đô ̣ng của mô ̣t ha ̣t có khố i lươ ̣ng rút
gọn 𝑚, hai là chuyể n đô ̣ng của khố i tâm có khố i lươ ̣ng 𝑀 [1].

Từ đây, Hamiltonian được tách thành hai thành phần như sau
̂=𝐻
̂𝑐 + 𝐻
̂𝑟𝑒𝑙 ,
𝐻
trong đó ta có
̂𝑐 =
𝐻
̂𝑟𝑒𝑙 =
𝐻

−ℏ2 2
∇ ,
2𝑀 𝐑

−ℏ2 2
1 𝑒2
∇ −
.
2𝑚 𝐫 4πεε0 |𝒓|

Lúc này hàm sóng sẽ có dạng phân ly biến số như sau
12


Ψ(𝑹, 𝒓, 𝒓𝟎 ) = 𝜓(𝑹)𝜙(𝒓, 𝒓𝟎 ).

(1.18)

̂ Ψ = 𝐸Ψ, ta có hai phương trình sau

Thay vào phương trình Schrodinger 𝐻
−ℏ2 2
∇ 𝜓(𝑹) = 𝐸𝐶 𝜓(𝑹),
2𝑀 𝐑

(1.19)

−ℏ2 2
1 𝑒2
(
) 𝜙(𝒓) = 𝐸𝑟𝑒𝑙 𝜙(𝒓).
∇ −
2𝑚 𝐫 4πεε0 |𝒓|

(1.20)

Việc giải phương trình Schrodinger lúc này sẽ đơn giản hơn rất nhiều do hai biến
số đã phân ly hoàn toàn. Do khối lượng hạt nhân là proton lớn hơn nhiều (1836 lần) so
với khối lượng của electron nên 𝑚 ≈ 𝑚𝑒 , tuy nhiên trong các tính tốn chính xác hơn, ta
cần tính thêm hiệu ứng khối lượng hạt nhân. Phương trình (1.19) mơ tả chuyển động tự
do của hạt có khối lượng 𝑀. Vì có sự tách biến giữa hai chuyển động này, khi khảo sát
nguyên tử hydro, ta có thể xem như nó đứng yên và chỉ để lại thành phần chuyển động
tương đối giữa electron và hạt nhân trong Hamiltonian [1].
1.2. Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử heli khi chưa đặt trong từ trường
Nguyên tử heli bao gồ m ha ̣t nhân là hai proton mang điện tích dương và hai
electron mang điện tích âm chuyể n đô ̣ng xung quanh ha ̣t nhân. Lực tác du ̣ng giữa proton
và electron và giữa các electron với nhau chin
́ h là lực điê ̣n (lực Coulomb).
Go ̣i 𝒓𝒉 ≡ (𝑥ℎ 𝑦ℎ , 𝑧ℎ ) và 𝒓𝒆𝟏 ≡ (𝑥𝑒1 𝑦𝑒1 , 𝑧𝑒1 ), 𝒓𝒆𝟐 ≡ (𝑥𝑒2 𝑦𝑒2 , 𝑧𝑒2 ) lầ n lươ ̣t là vector
to ̣a đô ̣ của ha ̣t nhân và electron thứ nhất, thứ hai; 𝑚ℎ và 𝑚𝑒 lầ n lươ ̣t là khố i lươ ̣ng của ha ̣t

nhân và electron.

13


z
𝒓 𝒆𝟏 − 𝒓 𝒉

𝑒1
𝒓 𝒆𝟏

𝒓𝒉

𝒓 𝒆𝟐 − 𝒓 𝒆𝟏

O

𝒓 𝒆𝟐 − 𝒓 𝒉

y
𝒓 𝒆𝟐

𝑒2

x

Hình 2: Nguyên tử heli trong hệ tọa độ Descartes.
Hamiltonian của nguyên tử heli đươ ̣c viế t như sau
̂=
𝐻


1
1
1
𝟐
𝟐
̂
̂𝒉 𝟐 +
𝒑
𝒑̂
𝒑̂
𝒆𝟏 +
𝒆𝟐 + 𝑉 ,
2𝑚ℎ
2𝑚𝑒
2𝑚𝑒

(1.21)

trong đó 𝑉̂ (𝒓𝒉 , 𝒓𝒆𝟏 , 𝒓𝒆𝟐 ) là toán tử thế năng (có thể coi là hàm thế năng). Hàm thế năng là
hàm thế năng tương tác Coulomb giữa từng electron với ha ̣t nhân và giữa các electron với
nhau được viết như sau
1
2𝑒 2
2𝑒 2
𝑒2
(−
),
𝑉=
−

+
4πεε0
|𝒓𝒆𝟏 − 𝒓𝒉 | |𝒓𝒆𝟐 − 𝒓𝒉 | |𝒓𝒆𝟐 − 𝒓𝒆𝟏 |

(1.22)

̂,
̂𝒆𝟏 , 𝒑̂𝒆𝟐 lầ n lươ ̣t là toán tử xung lươ ̣ng của ha ̣t nhân và từng electron.
𝒑
𝒉 𝒑
Để đưa bài toán về hê ̣ to ̣a đô ̣ khố i tâm, ta sẽ sử du ̣ng các vector mới như sau
𝒓=

𝑹=

1
(𝒓 + 𝒓𝒆𝟐 ) − 𝒓𝒉 ,
2 𝒆𝟏

(1.23)

𝒓𝟎 = 𝒓𝒆𝟐 − 𝒓𝒆𝟏 ,

(1.24)

𝑚ℎ 𝒓𝒉 + 𝑚𝑒 𝒓𝒆𝟏 + 𝑚𝑒 𝒓𝒆𝟐
.
𝑚ℎ + 2𝑚𝑒

(1.25)


14


Trong bài toán hydro, do chỉ có mô ̣t ha ̣t nhân và mô ̣t electron nên khi chuyể n về hê ̣ khố i
tâm, ta chỉ xét hai vector (mô ̣t thành phầ n chuyể n đô ̣ng tương đố i giữa electron với ha ̣t
nhân và mô ̣t thành phầ n chuyể n đô ̣ng của khố i tâm). Đố i với bài toán heli, do cũng có
mô ̣t ha ̣t nhân nhưng có đế n hai electron nên viê ̣c chuyể n về hê ̣ khố i tâm sẽ phức ta ̣p hơn,
nghiã là ta phải xét đế n ba vector bao gồm
𝒓 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) là vector mô tả chuyể n đô ̣ng tương đố i của hai electron so với ha ̣t nhân,
𝒓𝟎 = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) là vector mô tả chuyể n đô ̣ng tương đố i của hai electron so với nhau,
𝑹 = (𝑋, 𝑌, 𝑍) là vector mô tả chuyể n đô ̣ng của khố i tâm.
Sau đó, từ (1.23), (1.24) và (1.25), ta cũng sẽ tiế n hành biế n đổ i từ hê ̣ to ̣a đô ̣ Descartes
sang hê ̣ to ̣a đô ̣ khố i tâm tương tự như bài toán hydro. Cụ thể ta có
𝜕
𝜕 𝜕𝒓𝟎
𝜕 𝜕𝒓
𝜕 𝜕𝑹
𝜕
1 𝜕
𝑚𝑒
𝜕
=
+
+
=−
+
+
,
𝜕𝒓𝒆𝟏 𝜕𝒓𝟎 𝜕𝒓𝒆𝟏 𝜕𝒓 𝜕𝒓𝒆𝟏 𝜕𝑹 𝜕𝒓𝒆𝟏

𝜕𝒓𝟎 2 𝜕𝒓 𝑚ℎ + 2𝑚𝑒 𝜕𝑹

(1.26)

𝜕
𝜕 𝜕𝒓𝟎
𝜕 𝜕𝒓
𝜕 𝜕𝑹
𝜕
1 𝜕
𝑚𝑒
𝜕
=
+
+
=
+
+
,
𝜕𝒓𝒆𝟐 𝜕𝒓𝟎 𝜕𝒓𝒆𝟐 𝜕𝒓 𝜕𝒓𝒆𝟐 𝜕𝑹 𝜕𝒓𝒆𝟐 𝜕𝒓𝟎 2 𝜕𝒓 𝑚ℎ + 2𝑚𝑒 𝜕𝑹

(1.27)

𝜕
𝜕 𝜕𝒓𝟎
𝜕 𝜕𝒓
𝜕 𝜕𝑹
𝜕
𝑚ℎ
𝜕

=
+
+
=− +
.
𝜕𝒓𝒉 𝜕𝒓𝟎 𝜕𝒓𝒉 𝜕𝒓 𝜕𝒓𝒉 𝜕𝑹 𝜕𝒓𝒉
𝜕𝒓 𝑚ℎ + 2𝑚𝑒 𝜕𝑹

(1.28)

Từ kết quả trên, ta sẽ biế n đổ i toán tử đô ̣ng lươ ̣ng từ hê ̣ to ̣a đô ̣ Descartes qua hê ̣ to ̣a đô ̣
khố i tâm như sau
̂𝒉 = −𝒑
̂+
𝒑

𝑚ℎ
̂,
𝒑
𝑚ℎ + 2𝑚𝑒 𝒄

1
𝑚𝑒
̂𝟎 + 𝒑
̂+
̂,
𝒑̂
𝒑
𝒆𝟏 = −𝒑
2

𝑚ℎ + 2𝑚𝑒 𝒄
𝒑̂
𝒆𝟐 = 𝑖ℏ

𝜕
1
𝑚𝑒
̂𝟎 + 𝒑
̂+
̂,
=𝒑
𝒑
𝜕𝒓𝒆𝟐
2
𝑚ℎ + 2𝑚𝑒 𝒄

(1.29)
(1.30)
(1.31)

̂ = −𝑖ℏ∇𝐫 là toán tử xung lươ ̣ng đă ̣c trưng cho chuyể n đô ̣ng tương đố i giữa hai
trong đó 𝐩
electron với nhau trong to ̣a đô ̣ (x,y,z),

15


̂𝟎 = −𝑖ℏ∇𝐫𝟎 là toán tử xung lươ ̣ng đă ̣c trưng cho chuyể n đô ̣ng tương đố i giữa hai
𝒑
electron với ha ̣t nhân trong to ̣a đô ̣ (x0,y0,z0),

̂𝒄 = −𝑖ℏ∇𝐑 là toán tử xung lươ ̣ng đă ̣c trưng cho chuyể n đô ̣ng khố i tâm của hê ̣ ứng với
𝒑
to ̣a đô ̣ (X,Y,Z).
Thay (1.29), (1.30), (1.31) vào (1.21), ta có
2
1
1
𝑚ℎ
̂𝒉 𝟐 =
(−𝒑
̂+
̂)
𝒑
𝒑
2𝑚ℎ
2𝑚ℎ
𝑚ℎ + 2𝑚𝑒 𝒄
2
1
1
1
𝑚𝑒
𝟐
(−𝒑
̂𝟎 + 𝒑
̂+
̂)
𝒑̂ =
𝒑
2𝑚𝑒 𝒆𝟏

2𝑚𝑒
2
𝑚ℎ + 2𝑚𝑒 𝒄
2
1
1
1
𝑚𝑒
𝟐
(𝒑
̂+ 𝒑
̂+
̂) .
𝒑̂ =
𝒑
2𝑚𝑒 𝒆𝟐
2𝑚𝑒 𝟎 2
𝑚ℎ + 2𝑚𝑒 𝒄

Khai triển các biểu thức trên và thu gọn, ta thu được Hamiltonian của heli như sau
̂=
𝐻

1
1
1
1
̂𝒄 𝟐 +
̂𝟎 𝟐 + (
)𝒑

̂𝟐
𝒑
𝒑
+
2(𝑚ℎ + 2𝑚𝑒 )
𝑚𝑒
2𝑚ℎ 4𝑚𝑒
1
2𝑒 2
2𝑒 2
𝑒2
(− 𝒓
).
+
− 𝒓
+
4πεε0
|− 𝟎 + 𝒓| | 𝟎 + 𝒓| |𝒓𝟎 |
2
2

(1.32)

Đến đây, ta đặt như sau
2𝑚𝑒 𝑚ℎ
,
2𝑚𝑒 + 𝑚ℎ

(1.33)


𝑀 = 𝑚ℎ + 2𝑚𝑒 .

(1.34)

𝑚=

Khi đó, thay (1.31), (1.32) và (1.20) vào (1.30), Hamiltonian của bài toán nguyên tử heli
trung hòa trong trường xuyên tâm có da ̣ng như sau

̂=
𝐻

−ℏ2 2 −ℏ2 2
−ℏ2 2
1
2𝑒 2
2𝑒 2
𝑒2
(− 𝒓
).
∇ +
∇ +
∇ +
− 𝒓
+
2𝑀 𝐑 𝑚𝑒 𝐫𝟎 2𝑚 𝐫 4πεε0
|− 𝟎 + 𝒓| | 𝟎 + 𝒓| |𝒓𝟎 |
2
2


(1.35)

16


Khác với bài tốn hydro, do ngun tử heli có 2 electron tương tác với hạt nhân và
còn tương tác với nhau nên ngoài hai chuyển động của một khối tâm có khối lượng 𝑀,
một hạt có khối lượng rút gọn 𝑚 đặc trưng cho chuyển động tương đối của electron với
hạt nhân, Hamiltonian cịn xuất hiện một tốn tử đặc trưng cho chuyển động tương đối
của 2 electron với nhau.
Từ đây, Hamiltonian được tách thành hai thành phần như sau
̂=𝐻
̂𝑐 + 𝐻
̂𝑟𝑒𝑙 ,
𝐻
trong đó ta có
̂𝑐 =
𝐻

̂𝑟𝑒𝑙 =
𝐻

−ℏ2 2
∇ ,
2𝑀 𝐑

−ℏ2 2
−ℏ2 2
1
2𝑒 2

2𝑒 2
𝑒2
(− 𝒓
).
∇𝐫𝟎 +
∇𝐫 +
− 𝒓
+
𝟎
𝟎
|
|
𝑚𝑒
2𝑚
4πεε0
𝒓
𝟎
|− + 𝒓| | + 𝒓|
2
2

Tương tự như nguyên tử hydro, sau khi thế vào phương trình Schrodinger, ta cũng thu
được hai phương trình như sau
−ℏ2 2
∇ 𝜓(𝑹) = 𝐸𝐶 𝜓(𝑹),
2𝑀 𝐑
−ℏ2 2
−ℏ2 2
1
2𝑒 2

2𝑒 2
𝑒2
[
(− 𝒓
)] 𝜙(𝒓, 𝒓𝟎 )
∇ +
∇ +
− 𝒓
+
𝑚𝑒 𝐫𝟎 2𝑚 𝐫 4πεε0
|− 𝟎 + 𝒓| | 𝟎 + 𝒓| |𝒓𝟎 |
2
2

(1.36)

(1.37)

= 𝐸𝑟𝑒𝑙 𝜙(𝒓, 𝒓𝟎 ).
Do 𝑚ℎ ≫ 𝑚𝑒 nên có thể xem 𝑚 ≈ 𝑚𝑒 . Tuy nhiên trong một số tính tốn khác, đặc
biệt là trong bài toán exciton trong bán dẫn hai chiều, ta vẫn phải xét đến hiệu ứng khối
lượng lỗ trống do lúc này khối lượng của lỗ trống xấp xỉ bằng khối lượng của electron.

17


CHƯƠNG 2: TÁCH KHỐI TÂM TRONG CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ
TRUNG HÒA TRONG TỪ TRƯỜNG
2.1. Ảnh hưởng của từ trường lên một hạt mang điện chuyển động
Để mô tả từ trường, người ta dùng vector từ trường 𝑩. Ý nghĩa vật lý của vector

này liên quan đến lực Lorentz tác dụng lên điện tích 𝑞 khi nó đặt trong từ trường. Khi
một điện tích chuyển động trong vùng khơng gian có từ trường, điện tích đó sẽ bị chịu tác
dụng bởi lực Lorentz có dạng [1]
𝑭 = 𝑞 (𝒗 × 𝑩).

(2.1)

Ngồi cách mơ tả từ trường theo cách tiếp cận lực như trên, người ta cịn sử dụng cách
mơ tả theo tiếp cận năng lượng bằng cách sử dụng thế điện động lực bao gồm thế vector
𝑨 (ngồi ra cịn có thế vơ hướng 𝜑 nhưng trong trường hợp này ta chỉ xét từ trường mà
khơng có điện trường nên không xét đến thế vô hướng). Hai cách tiếp cận đều tương
đương nhau. Điều đó được thể hiện qua hệ thức
𝑩 = ∇ × 𝑨.

(2.2)

Như vậy, nếu biết thế vector 𝑨 thì ta có thể suy ra vector 𝑩. Tuy nhiên, từ vector từ
trường ta không thể suy ra thế vector một cách đơn trị do phương trình 𝑩 = ∇ × 𝑨 thuộc
dạng vi phân. Khi xây dựng phương trình ngược, thuộc dạng tích phân, sẽ xuất hiện các
hằng số tùy ý. Do vậy, ta cần chọn một định chuẩn để áp đặt lên thế điện động. Theo
Avron et. al (1978), sử dụng định chuẩn Lorentz [3], thế vector có dạng
𝑨=

𝟏
𝑩 × 𝒓.
𝟐

(2.3)

Xét một hạt mang điện 𝑞 chuyển động trong từ trường. Để xem xét ảnh hưởng của

từ trường lên hạt này, ta sẽ viết Hamiltonian của nó trong từ trường để xem có gì khác
biệt so với khi khơng có từ trường hay khơng. Thật vậy, trước tiên ta sẽ viết Hamiltonian

18


cho hệ, sau đó chuyển thành Hamiltonian theo tiên đề tương ứng giữa toán tử và đại
lượng vật lý.
Ta bắt đầu bằng phương trình chuyển động Lagrange như sau
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
( )−
= 0,
𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑗̇
𝜕𝑞𝑗

(2.4)

với 𝑗 = 1,2,3, …, hàm Lagrange cho hạt mang điện 𝑞 chuyển động trong từ trường có
dạng
𝐿=

1
𝑚𝑣 2 + 𝑞𝒗. 𝑨,
2

(2.5)

ở đây, ta có
𝑞1 ≡ 𝑥, 𝑞2 ≡ 𝑦, 𝑞3 ≡ 𝑧, 𝑞1̇ ≡ 𝑣𝑥 , 𝑞2̇ ≡ 𝑣𝑦 , 𝑞3̇ ≡ 𝑣𝑧 .

Đem hàm Lagrange với kí hiệu như trên thế vào phương trình chuyển động Lagrange
(2.5), ta dễ dàng thu được (2.1). Từ đây ta sẽ sử dụng hàm Lagrange cho các tính tốn
cần thiết.
Xung lượng suy rộng cho hệ được tính từ cơng thức
𝑝𝑗 =

𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑗̇

⟹ 𝒑 = 𝑚𝒗 + 𝑞𝑨.

(2.6)
(2.7)

Biểu thức (2.7) cho ta ý nghĩa vật lý của thế vector 𝑨. Nó chính là phần xung lượng của
từ trường đóng góp vào xung lượng của một đơn vị điện tích chuyển động trong từ
trường. Đây chính là sự khác biệt về tốn tử xung lượng của hạt mang điện khi ở trong từ
trường so với khi khơng có từ trường.
Hàm Hamilton của hệ được tính từ cơng thức

19


3

𝐻 = ∑ 𝑝𝑗 𝑞𝑗̇ − 𝐿.

(2.8)

𝑗=1


Thay (2.5), (2.7) vào (2.8) ta có
1
𝐻 = 𝑚𝒗𝟐 + 𝑞𝒗. 𝑨 − ( 𝑚𝒗𝟐 + 𝑞𝒗. 𝑨).
2
Biến đổi biểu thức trên, ta thu được
𝐻=

1
𝑚𝒗𝟐 .
2

𝒗=

𝒑 − 𝑞𝑨
.
𝑚

(2.9)

Từ (2.7) suy ra
(2.10)

Thay (2.10) vào (2.9), ta suy ra Hamiltonian của một hạt mang điện chuyển động trong từ
trường có dạng như sau
̂=
𝐻

1
(𝒑

̂ − 𝑞𝑨)2 .
2𝑚

(2.11)

Kết quả này khác với Hamiltonian của một hạt mang điện khi khơng có từ trường:
̂=
𝐻

1 2
̂ .
𝒑
2𝑚

(2.12)

Ở các bài tốn dưới đây, ta sẽ sử dụng Hamiltonian cho hạt chuyển động trong từ trường
để giải và đưa Hamiltonian về hệ khối tâm.
2.2. Tách khối tâm cho bài toán nguyên tử hydro trung hòa trong từ trường
Go ̣i rh  ( xh , yh , zh ) và re  ( xe , ye , ze ) lầ n lươ ̣t là vector to ̣a đô ̣ của ha ̣t nhân và
electron, 𝑚ℎ và 𝑚𝑒 lầ n lươ ̣t là khố i lươ ̣ng của ha ̣t nhân và electron.

20


z

⃗𝑩
⃗


𝒓𝒆 − 𝒓𝒉
𝒓𝒉
𝒓𝒆
y

x

Hình 3: Nguyên tử hydro khi đặt trong từ trường trong hệ tọa độ Descartes.
Hamiltonian của nguyên tử hydro trong từ trường đươ ̣c viế t như sau
1
1
1
𝑒2
𝟐
𝟐
̂=
̂ − 𝑒𝑨𝒉 ) +
̂ + 𝑒𝑨𝒆 ) −
𝐻
(𝒑
(𝒑
,
2𝑚ℎ 𝒉
2𝑚𝑒 𝒆
4πεε0 |𝒓𝒆 − 𝒓𝒉 |

(2.13)

̂,
trong đó 𝒑

𝒑𝒆 lầ n lươ ̣t là toán tử xung lươ ̣ng của ha ̣t nhân và electron,
𝒉 ̂
𝑨 là thế vector. Nó liên quan đến sự ảnh hưởng của trường điện từ lên xung lượng của hạt
mang điện. Nó chính là phần xung lượng của trường điện từ đóng góp vào xung lượng
của một đơn vị điện tích chuyển động trong từ trường [1].
Khai triển (2.13), ta đươ ̣c
̂=
𝐻

1
1
(𝒑
̂𝒉 𝟐 − 2𝑒𝑨𝒉 𝒑
̂𝒉 + 𝑒 𝟐 𝑨𝒉 𝟐 ) +
(𝒑
̂𝒆 𝟐 + 2𝑒𝑨𝒆 𝒑
̂𝒆 + 𝑒 𝟐 𝑨𝒆 𝟐 )
2𝑚ℎ
2𝑚𝑒
1
𝑒2
−
4πεε0 |𝒓𝒆 − 𝒓𝒉 |

̂𝒉 𝟐 𝑒𝑨𝒉 𝒑
̂𝒉 𝑒 𝟐 𝑨𝒉 𝟐 𝒑
̂𝒆 𝟐 𝑒𝑨𝒆 𝒑
̂𝒆 𝑒 𝟐 𝑨𝒆 𝟐
𝒑
1

𝑒2
̂=
⟹𝐻
−
+
+
+
+
−
.
2𝑚ℎ
𝑚ℎ
2𝑚ℎ
2𝑚𝑒
𝑚𝑒
2𝑚𝑒
4πεε0 |𝒓𝒆 − 𝒓𝒉 |

(2.14)

21


Để đưa bài toán về hê ̣ to ̣a đô ̣ khố i tâm, ta sẽ sử du ̣ng hai vector mới tương tự bài tốn
ngun tử hydro khi khơng có từ trường như sau
𝒓 = 𝒓𝒆 − 𝒓𝒉 ,

𝑹=

𝑚 ℎ 𝒓𝒉 + 𝑚 𝑒 𝒓𝒆

.
𝑚ℎ + 𝑚𝑒

(2.15)

(2.16)

Biến đổi (2.15) và (2.16) để biểu diễn các vector tọa độ của hạt nhân và electron trong hệ
Descartes theo hệ khối tâm, ta được
𝑚ℎ
𝒓,
𝑚ℎ + 𝑚𝑒
𝑚𝑒
𝒓𝒉 = 𝑹 −
𝒓.
𝑚ℎ + 𝑚𝑒
Theo (2.3), ta sẽ chọn các thế vector như sau
𝒓𝒆 = 𝑹 +

1
𝑩 × 𝒓𝒆 ,
2
1
𝑨𝒉 = 𝑩 × 𝒓𝒉 .
2
𝑨𝒆 =

(2.17)
(2.18)


(2.19)
(2.20)

Thay (2.17), (2.18) vào (2.19), (2.20), ta được các thế vector của hạt nhân và electron
trong hệ quy chiếu khối tâm như sau
1
1 𝑚ℎ
𝑩×𝑹+
𝑩 × 𝒓,
2
2 𝑚 ℎ + 𝑚𝑒
1
1 𝑚𝑒
𝑨𝒉 = 𝑩 × 𝑹 −
𝑩 × 𝒓.
2
2 𝑚 ℎ + 𝑚𝑒

𝑨𝒆 =

(2.21)
(2.22)

Sau khi đã chuyển các vector từ hệ Descartes về hệ khối tâm, ta sẽ tiếp tục biến đổi các
tốn tử có trong Hamiltonian về hệ khối tâm.
Biến đổi tương tự như bài tốn hydro khi khơng có từ trường, ta được toán tử đô ̣ng lươ ̣ng
trong hê ̣ quy chiếu khố i tâm như (1.12), (1.13).
𝑚ℎ
̂𝒉 = −𝐩
̂+(

)𝒑
̂ ,
𝒑
𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝒄
22


𝑚𝑒
̂𝒆 = 𝐩
̂+(
)𝒑
̂ .
𝒑
𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝒄
Thay (1.12) và (1.13) vào (2.14), ta được
̂𝒉 𝟐
̂𝒆 𝟐
̂𝒄 𝟐 𝒑
̂𝟐
𝒑
𝒑
1
𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝟐 𝒑
𝟐
̂𝒄 +
̂ =
+
=
𝒑
𝒑

+
,
2𝑚ℎ 2𝑚𝑒 2(𝑚ℎ + 𝑚𝑒 )
2𝑚ℎ 𝑚𝑒
2𝑀 2𝑚
với 𝑀 = 𝑚ℎ + 𝑚𝑒 là khối lượng của khối tâm và 𝑚 =

𝑚ℎ 𝑚𝑒
𝑚ℎ +𝑚𝑒

(2.23)

là khối lượng rút gọn của

chuyển động tương đối giữa hạt nhân và electron.
Xét các số hạng có chứa tích thế vector và tốn tử động lượng trong Hamiltonian, biế n
đổ i về hê ̣ to ̣a đô ̣ khố i tâm ta đươ ̣c
̂𝒆
𝑒𝑨𝒆 𝒑
𝑒
𝑚ℎ
𝑚𝑒
{𝑩 × (𝑹 +
̂+(
)𝒑
̂ },
=
𝒓)} {𝐩
𝑚𝑒
2𝑚𝑒

𝑚ℎ + 𝑚 𝑒
𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝒄

(2.24)

̂𝒉
𝑒𝑨𝒉 𝒑
𝑒
𝑚𝑒
𝑚ℎ
{𝑩 × (𝑹 −
̂+(
)𝒑
̂ }.
=
𝒓)} {−𝐩
𝑚ℎ
2𝑚ℎ
𝑚ℎ + 𝑚 𝑒
𝑚ℎ + 𝑚𝑒 𝒄

(2.25)

Khai triển (2.24) và (2.25) rồi trừ vế theo vế, ta được
̂𝒆 𝑒𝑨𝒉 𝒑
̂𝒉
𝑒𝑨𝒆 𝒑
𝑒
𝑒 1
1

𝑒
(𝑩 × 𝑹). 𝐩
( 𝑩 × 𝒓) . 𝒑
̂+ (
) ( 𝑩 × 𝒓) . 𝐩
̂+
̂𝒄 .
−
=
−
𝑚𝑒
𝑚ℎ
2𝑚
2 𝑚𝑒 𝑚 ℎ
2𝑀

(2.26)

Xét các số hạng có chứa thành phần bình phương của thế vector, biến đổi về hệ quy chiếu
khối tâm ta được
𝟐

𝟐

𝑒 𝟐 (𝑩 × 𝑹 −

𝟐

𝟐


𝑒 𝟐 (𝑩 × 𝑹 +

𝑒 𝑨𝒉
=
2𝑚ℎ
𝑒 𝑨𝒆
=
2𝑚𝑒

𝟐
𝑚𝑒
𝑩 × 𝒓)
𝑚ℎ + 𝑚𝑒
,
8𝑚ℎ

(2.27)

𝟐
𝑚ℎ
𝑩 × 𝒓)
𝑚 ℎ + 𝑚𝑒
.
8𝑚𝑒

(2.28)

Khai triển (2.27) và (2.28) rồi cộng vế theo vế, ta được

23



𝑒 𝟐 𝑨𝒉 𝟐 𝑒 𝟐 𝑨𝒆 𝟐
+
2𝑚ℎ
2𝑚𝑒
𝑒𝟐
𝑒𝟐 1
1
𝑒 𝟐 3𝑒 𝟐
2
(𝑩 × 𝑹) + (
) (𝑩 × 𝑹). (𝑩 × 𝒓) + {
} ( 𝑩 × 𝒓) 𝟐 .
=
−
−
8𝑚
4 𝑚𝑒 𝑚ℎ
8𝑚 8𝑀

(2.29)

Thay (2.23), (2.26) và (2.29) vào (2.13), ta đươ ̣c
̂ (𝒓, 𝑹) =
𝐻

̂𝒄 𝟐 𝒑
̂𝟐
𝒑

+
2𝑀 2𝑚

𝑒
𝑒 1
1
𝑒
(𝑩 × 𝑹)𝐩
( 𝑩 × 𝒓) 𝒑
̂+ (
) ( 𝑩 × 𝒓) 𝐩
̂+
̂𝒄
−
2𝑚
2 𝑚𝑒 𝑚ℎ
2𝑀
(2.30)
𝟐
𝟐
𝟐
𝑒𝟐
𝑒
1
1
𝑒
3𝑒
(𝑩 × 𝑹)2 + (
) (𝑩 × 𝑹)(𝑩 × 𝒓) + {
} ( 𝑩 × 𝒓) 𝟐

+
−
−
8𝑚
4 𝑚𝑒 𝑚ℎ
8𝑚 8𝑀
1 𝑒2
−
.
4πεε0 |𝒓|
Biểu thức Hamiltonian đã được đưa về hệ khối tâm. Để đưa về dạng phân ly biến
+

số giữa chuyển động của khối tâm và chuyển động tương đối giữa proton và electron, ta
xét toán tử động lượng suy rộng như sau [13]
𝑁

1
̂𝟎 = ∑ (𝒑̂𝒊 + 𝑒𝑖 𝑩 × 𝒓𝒊 ),
𝑷
2

(2.31)

𝑖=1

với 𝑖 = 1,2, … là các phần tử trong hệ. Trong bài tốn hydro, ta có 𝑖 = (𝑒, ℎ).
Biến đổi biểu thức trên, ta được
1
1

̂𝟎 = 𝒑
̂𝒆 + (−𝑒)𝑩 × 𝒓𝒆 + 𝒑
̂𝒉 + 𝑒𝑩 × 𝒓𝒉
𝑷
2
2
̂𝟎 = −𝑖ℏ
⟹𝑷

𝜕
1
− 𝑒𝑩 × 𝒓.
𝜕𝑹 2

(2.32)

̂𝟎 ; 𝑯
̂ ] = 0 (phụ lục A), ta sẽ giải phương trình hàm riêng trị của tốn tử này có dạng
Do [𝑷
̂𝟎 Ψ = ℏ𝑲Ψ.
𝑷

(2.33)

Giải phương trình (2.34), ta thu được hàm sóng Ψ(𝑹, 𝒓) có dạng
24


Ψ (𝐑 ) =


1

𝑖
1
exp { [ℏ𝑲 + (𝑒𝑩 × 𝒓)] 𝑹} 𝜓(𝒓).
ℏ
2
√𝐶

Chuẩn hóa hàm sóng, ta được 𝐶 = 1. Đặt
𝑖
1
𝑈 = 𝑒𝑥𝑝 { [ℏ𝑲 + (𝑒𝑩 × 𝒓)] 𝑹}.
ℏ
2

(2.34)

Lúc này hàm sóng có dạng như sau [13]
Ψ(𝑹) = 𝑈(𝑹, 𝒓)𝜓(𝒓).

(2.35)

̂ Ψ = 𝐸Ψ và biến đổi, ta có
Thay (2.35) vào phương trình Schrodinger 𝐻
̂ 𝑈𝜓 = 𝐸𝜓,
𝑈 −1 𝐻
Khi đó Hamiltonian được biến đổi trở thành [15, 16]
̂′ = 𝑈 −1 𝐻
̂𝑈 .

𝐻

(2.36)

Từ công thức (2.36) về biểu thức 𝑈 và các toán tử xung lượng trong hệ quy chiếu
khối tâm, ta có các phép biến đổi như sau
𝑒
̂𝑈
𝑈 −1 𝒑
𝒄 = ℏ𝑲 + (𝑩 × 𝒓),
2

(2.37)

𝑒
̂𝑈 = 𝒑
̂ − (𝑩 × 𝑹).
𝑈 −1 𝒑
2

(2.38)

Bình phương hai vế của (2.37) và (2.38), ta được
𝑈

−1

(ℏ𝑲)2
̂𝒄 𝟐
𝒑

𝑒
𝑒2
(
)
( 𝑩 × 𝒓) 2 ,
𝑈=
+
ℏ𝑲 𝑩 × 𝒓 +
2𝑀
2𝑀
2𝑀
8𝑀

(2.39)

̂𝒄 𝟐
̂2
𝒑
𝒑
𝑒
𝑒2
(2.40)
(
)
(𝑩 × 𝑹)2 .
̂ 𝑩×𝑹 +
𝑈
𝑈=
−
𝒑

2𝑚
2𝑚 2𝑚
8𝑚
Tiếp theo, từ các kết quả trên, ta sẽ biến đổi các các số hạng còn lại trong Hamiltonian
−1

như sau

25