Mục lục
LỜI NÓI ĐẦU...................................................................................................... - 3 CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU ....................................................................................... - 4 1.1.

Tổng quan về cầu trục ............................................................................. - 4 1.1.1. Khái niệm về cầu trục ................................................................... - 4 1.1.2. Đặc điểm cấu tạo của cầu trục....................................................... - 4 1.1.3. Yêu cầu kỹ thuật đối với hệ cầu trục ............................................. - 6 -

1.2.

Tình hình nghiên cứu trong và ngồi nước ............................................. - 9 -

1.3.

Nhiệm vụ luận văn cần giải quyết ......................................................... - 11 -

CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG MƠ HÌNH ĐỘNG HỌC CHO HỆ CẦU TRỤC .. - 13 2.1.

Mô hình tổng quát của hệ cầu trục 3D .................................................. - 13 2.1.1. Mơ hình vật lý cầu trục 3D và các chế độ làm việc .................... - 13 2.1.2. Xây dựng mơ hình động lực ........................................................ - 14 -

2.2.

Mơ hình động lực học của hệ trong các chế độ làm việc ...................... - 27 2.2.1. Chế độ nâng hạ tải. Hệ 1 bậc tự do ............................................. - 27 2.2.2. Chế độ di chuyển ngang theo trục x. Hệ 2 bậc tự do .................. - 28 2.2.3. Chế độ vừa nâng hạ và di chuyển ngang theo x. Hệ 3 bậc tự do - 29 2.2.4. Chế độ di chuyển theo cả x và y, chiều dài dây không đổi. Hệ 4 bậc
tự do....................................................................................................... - 30 -

2.3.

Kết luận chương 2 ................................................................................. - 31 -

CHƯƠNG 3 : ĐIỀU KHIỂN HỆ CẦU TRỤC DỰA TRÊN MƠ HÌNH TUYẾN
TÍNH HĨA ......................................................................................................... - 32 3.1.

Tuyến tính hóa hệ cầu trục .................................................................... - 32 3.1.1. Phương trình tuyến tính hóa hệ cầu trục ..................................... - 32 3.1.2. Phương trình tuyến tính hóa của cầu trục 2D với 2 bậc tự do .... - 33 3.1.3. Phương trình tuyến tính hóa của cầu trục 2D với 3 bậc tự do .... - 33 -

3.2.

Thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái ............................................ - 34 3.2.1. Điều khiển phản hồi trạng thái .................................................... - 34 3.2.2. Phương pháp gán điểm cực ......................................................... - 35 3.2.3. Thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái cho hệ cầu trục dựa trên
phương pháp gán điểm cực ................................................................... - 37 -

-1-


3.3.

Thiết kế bộ điều khiển tối ưu LQR cho hệ cầu trục .............................. - 41 3.3.1. Điều khiển tối ưu LQR ................................................................ - 41 3.3.2. Áp dụng điều khiển tối ưu LQR cho hệ cầu trục 2dof ................ - 43 -

3.4.

Thiết kế bộ điều khiển Fuzzy-LQR cho hệ cầu trục ............................. - 47 3.4.1. Lý thuyết về logic mờ ................................................................. - 47 3.4.2. Thiết kế bộ điều khiển Fuzzy-LQR cho hệ cầu trục ................... - 56 -

3.5.

Kết luận chương 3 ................................................................................. - 60 -

CHƯƠNG 4 : THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN DỰA TRÊN TÍNH THỤ ĐỘNG
CỦA HỆ CẦU TRỤC ........................................................................................ - 61 4.1.

Khái niệm về tính thụ động của hệ động lực ........................................ - 61 -

4.2.

Thiết kế bộ điều khiển dựa trên tính thụ động của hệ cầu trục ............. - 63 4.2.1. Tính thụ động của hệ cầu trục ..................................................... - 63 4.2.2. Thiết kế điều khiển dựa trên phương pháp năng lượng .............. - 64 4.2.3. Thiết kế điều khiển dựa trên phương pháp năng lượng cải tiến.. - 68 -

4.3.


Kết luận chương 4 ................................................................................. - 72 -

KẾT LUẬN ........................................................................................................ - 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. - 74 PHỤC LỤC ........................................................................................................ - 76 -

-2-


LỜI NÓI ĐẦU
Cầu trục là thiết bị được sử dụng nhiều trong các ngành công nghiệp và dịch vụ để vận
chuyển hàng hóa, nguyên vật liệu. Sử dụng cầu trục thuận tiện và hiệu quả cao trong
công việc bốc xếp hàng hóa, đặc biệt là đối với các thiết bị hạng nặng cần được di
chuyển đến độ cao nhất định. Một trong những vấn đề đang tồn tại ở cầu trục đó là tải
trọng trong khi dịch chuyển dao động quá lớn có thể va đập vào các vật xung quanh làm
hư hỏng và gây nguy hiểm cho con người. Ở nước ta hiện nay chưa có nhiều cơng trình
nghiên cứu chuyên sâu về cầu trục, đặc biệt là nghiên cứu phát triển các hệ thống cầu
trục tự động. Các nghiên cứu hiện có chỉ tập trung vào động lực học cơ cấu dẫn động,
chưa đáp ứng được yêu cầu trong việc tự chủ thiết kế, chế tạo cầu trục phục vụ các cơng
trình, nhà máy trong nước, cũng như u cầu tự động hóa sản xuất. Vì vậy, việc nghiên
cứu tính chất động lực học, thiết kế và điều khiển nhằm nâng cao hiệu quả làm việc của
cầu trục phù hợp với điều kiện công nghệ trong nước trở nên rất cấp thiết và có ý nghĩa
khoa học, thực tiễn cao.
Cầu trục cũng là một hệ cơ điện tử điển hình, do đó tác giả đã quyết định lựa chọn đề
tài “Mơ hình hóa và điều khiển tối ưu cầu trục” làm hướng nghiên cứu cho luận văn
tốt nghiệp. Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu các phương pháp điều khiển cầu trục
giúp giảm dao động của tải trọng và giảm thời gian đạt đích của xe con.
Luận văn đã đưa ra phương pháp tuyến tính hóa hệ cầu trục, sau đó dựa trên mơ hình
tuyến tính hóa nghiên cứu, mô phỏng các phương pháp điều khiển phản hồi trạng
thái, điều khiển tối ưu LQR, áp dụng logic mờ vào điều khiển tối ưu LQR nhằm nâng
cao hơn nữa chất lượng điều khiển. Đồng thời, luận văn cũng đã nghiên cứu tính thụ

động của hệ cầu trục và áp dụng nó để thiết kế bộ điều khiển sử dụng phương pháp
năng lượng. Từ các kết quả nghiên cứu, mô phỏng cho thấy việc áp dụng các phương
pháp điều khiển đã giúp giảm dao động của tải trọng và thời gian đạt đích của xe con.

-3-


CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU
1.1.
1.1.1.

Tổng quan chung về cầu trục
Khái niệm cầu trục

Cầu trục là tên gọi chung của các máy trục chuyển động trên hai đường ray cố định
trên kết cấu kim loại hoặc tường cao để vận chuyển các vật phẩm trong khoảng không
(khẩu độ) giữa hai đường ray đó.
Các cơ cấu của đảm bảo 3 chuyển động:
-

Nâng hạ hàng.

-

Di chuyển xe con.

-

Di chuyển xe cầu.


1.1.2.

Đặc điểm cấu tạo của cầu trục

Cầu trục hiện nay được sử dụng rộng rãi trong các nhà máy, xí nghiệp, dùng để cẩu các
cấu kiện sắt thép, các phôi sản phẩm, lắp ráp các thiết bị máy móc… Tùy theo tải trọng,
chế độ làm việc cầu trục được chia thành nhiều loại. Tuy nhiên, dù đơn giản hay phức
tạo thì cấu tạo cơ bản của cầu trục gồm ba phần: Xe cầu (1), xe con (2) và cơ cấu nâng
hạ (3).

2

1
3
Hình 1.1 Cấu tạo cầu trục

-4-


1. Xe cầu
Là khung sắt hình chữ nhật được thiết kế với kết cấu chịu lực. Gồm hai dầm chính chế
tạo bằng thép đặt cách nhau một khoảng tương ứng với khoảng cách bánh xe của xe con
(đường ray), bao quanh đó là một dàn khung. Hai đầu cầu được liên kết cơ khí với hai
dầm ngang tạo thành khung hình chữ nhật trong mặt phẳng ngang. Các bánh xe của cầu
trục được thiết kế trên các dầm ngang của khung hình chữ nhật để cho cầu trục có thể
chạy dọc suốt nhà xưởng một cách dễ dàng.

2. Xe con
Là bộ phận chuyển động theo đường ray trên xe cầu, trên đó đặt cơ cấu nâng và cơ cấu
di chuyển xe con. Tùy theo công dụng của cầu trục mà trên xe con có một hoặc hai cơ

cấu nâng. Xe con di chuyển trên cầu và cầu di chuyển dọc theo chiều dài phân xưởng
sẽ đáp ứng việc vận chuyển hàng hóa đến mọi nơi trong phân xưởng.
3. Cơ cấu nâng hạ
Cơ cấu nâng hạ của cầu trục có hai loại chính: loại dùng cho cầu trục một dầm là palăng
điện hoặc palăng tay. Palăng điện hoặc palăng tay đều có khả năng di chuyển dọc theo
dầm chính để nâng hạ vật. Các loại palăng này là bộ phận máy được chế tạo hoàn chỉnh
theo tải trọng, tốc độ nâng và chế độ làm việc. Khi lựa chọn cần căn cứ theo u cầu,
chọn thơng số theo Catalog và kích thước bao có sẵn.
Đối với loại dầm thơng thường các cơ cấu nâng hạ được chế tạo và đặt trên xe con để
có thể di chuyển dọc theo dầm chính. Loại móc để nâng hàng đã được bao gói thơng
dụng. Trên xe con có thể có từ một đến ba cơ cấu nâng; trong đó có một cơ cấu nâng
chính và có thể có một đến hai cơ cấu nâng phụ. Khi dùng cơ cấu gầu ngoạm thì tốc độ
nâng hạ sẽ lớn hơn loại dùng móc treo để khi thả gầu lưỡi gầu có thể ăn sâu vào đống
vật liệu.
Ngồi ra cịn có cơ cấu phanh hãm, gồm ba loại: Phanh guốc, phanh đĩa và phanh đai.
Khi động cơ của cơ cấu đóng vào lưới điện thì đồng thời động cơ phanh cũng có điện,

-5-


mở má phanh giải phóng trục động cơ để động cơ làm việc. Khi động cơ ngừng làm
việc, động cơ phanh mất điện, ép chặt má phanh vào trục động cơ để hãm. Cầu trục loại
nặng thường dùng hai phanh để đảm bảo an tồn.
Dẫn động của cầu trục có thể bằng tay hoặc dẫn động điện. Dẫn động bằng tay chủ
yếu dùng trong các phân xưởng sửa chữa, lắp ráp nhỏ, nâng hạ khơng thường xun,
khơng địi hỏi năng suất và tốc độ cao.
Cầu trục thường được chế tạo với các thơng số:
-

Tải trọng nâng:


Q = 1 ÷ 500 tấn

-

Chiều cao nâng:

Hmax = 16 m

-

Vận tốc nâng:

Vn = 2 ÷ 40 m/phút

-

Vận tốc di chuyển xe con: Vxmax = 60 m/phút

-

Vận tốc di chuyển cầu trục: Vcmax = 60 m/phút
Cầu trục có Q > 10 tấn thường được trang bị hai hoặc ba cơ cấu nâng, gồm

một cơ cấu nâng chính và một hoặc hai cơ cấu nâng phụ, được lắp trên xe con.

1.1.3.

Yêu cầu kỹ thuật đối với hệ cầu trục


1. Cần đảm bảo tốc độ nâng chuyển với tải trọng định mức
Tốc độ chuyển động tối ưu của hàng hoá được nâng chuyển là điều kiện trước tiên để
nâng cao năng suất bốc xếp hàng hoá, đưa lại hiệu quả kinh tế tốt nhất cho sự hoạt
động của cầu trục. Nếu tốc độ thiết kế quá lớn sẽ địi hỏi kích thước trọng lượng của
các bộ truyền động cơ khí lớn, điều này dẫn đến giá thành chế tạo cao.
Mặt khác tốc độ nâng hạ tối ưu đảm bảo cho hệ thống điều khiển chuyển động cho
các cơ cấu thỏa mãn các yêu cầu về thời gian đảo chiều, thời gian hãm, làm việc liên
tục trong chế độ quá độ, gia tốc và độ giật thoả mãn yêu cầu. Ngược lại tốc độ quá
thấp sẽ ảnh hưởng đến năng xuất bốc xếp hàng hố. Thơng thường tốc độ chuyển
động của hàng hoá ở chế độ định mức nằm trong phạm vi (0,2-1)m/s hay (12-60)m/p.

-6-


2. Có khả năng thay đổi tốc độ trong phạm vi rộng
Phạm vi điều chỉnh tốc độ của các cơ cấu điều khiển chuyển động là điều kiện cần
thiết để nâng cao năng xuất bốc xếp đồng thời thoả mãn yêu cầu của công nghệ bốc
xếp với nhiều chủng loại hàng hố. Cụ thể là: khi nâng và hạ móc khơng hay tải trọng
nhẹ với tốc độ cao, cịn khi có yêu cầu khai thác phải có tốc độ thấp và ổn định để hạ
hàng hố vào đúng vị trí yêu cầu.
Vì vậy số cấp tốc độ cho các cơ cấu điều khiển chuyển động của cầu trục ít nhất là 3
cấp tốc độ. Cấp tốc độ thấp nhằm thoả mãn công nghệ khi nâng và hạ hàng chạm đất,
cấp tốc độ cao là tốc độ tối ưu cho từng cơ cấu, giữa hai cấp tốc độ này thường được
thiết kế thêm các tốc độ trung gian để thoả mãn cơng nghệ bốc xếp hàng hố cũng
như sự ổn định của cầu trục.
3. Có khả năng rút ngắn thời gian quá độ
Các cơ cấu điều khiển chuyển động trên cầu trục làm việc ở chế độ ngắn hạn lặp lại,
thường hệ số đóng điện ε% = 40% vì vậy thời gian quá độ chiếm hầu hết thời gian
công tác. Do đó việc rút ngắn thời gian quá độ là biện pháp cơ bản để nâng cao năng
xuất. Thời gian quá độ trong các chế độ công tác là thời gian khởi động và thời gian

hãm trong quá trình tăng tốc và giảm tốc. Để rút ngắn thời gian quá độ cần sử dụng
các biện pháp như: Chọn động cơ có mơmen khởi động lớn; Giảm mơmen qn tính
của các bộ phận quay; Dùng động cơ điện có tốc độ khơng cao (1000-1500) v/ph.
Đối với động cơ điện một chiều, mômen khởi động phụ thuộc vào giới hạn của các
phiến góp vì vậy thường chọn dịng khởi động Ikđ = (2-2,5)Iđm.
Đối với động cơ xoay chiều mômen khởi động phụ thuộc vào loại động cơ, với động
cơ không đồng bộ rotor lồng sóc mơmen khởi động có thể đạt 1,5Iđm, cịn với động
cơ không đồng bộ rotor dây quấn về nguyên tắc mơmen khởi động có thể chọn bằng
mơmen tới hạn Mmax.
4. Có trị số hiệu suất cosφ cao

-7-


Công tác khai thác hợp lý cầu trục trong bốc xếp hàng hố là một yếu tố để nâng cao
tính kinh tế của hệ thống điều khiển. Như chúng ta đã biết hệ thống truyền động điện
của các cần trục thường không sử dụng hết khả năng công suất, hệ số tải thường trong
khoảng 0,3 - 0,4. Do vậy khi chọn các động cơ truyền động ta phải chọn loại có hiệu
cosφ cao và ổn định trong phạm vi rộng, làm việc tin cậy.
5. Đảm bảo an tồn hàng hố
Đảm bảo an tồn cho hàng hố, thiết bị và cơng nhân bốc xếp là yêu cầu cao nhất
trong công tác khai thác vận hành cầu trục. Để thực hiện điều đó thì các bộ truyền
động cần phải có quy trình an tồn cho cơng tác vận hành và điều khiển cầu trục trong
q trình hoạt động.
Trong q trình tính tốn thiết kế phải chọn các hệ số dự trữ hợp lý. Kỹ thuật điều
khiển chuyển động cầu trục cần có các hệ thống giám sát, bảo vệ tự động các hệ
thống. Ngồi ra cịn có các hệ thống đo lường và bảo vệ quá tải cho cơ cấu nâng hạ
hàng.
Hệ thống điều khiển bắt buộc phải có đầy đủ các bảo vệ sự cố, bảo vệ ngắn mạch,
bảo vệ quá tải cho động cơ thực hiện và bảo vệ dừng khẩn cấp.

Các loại phanh hãm cho các hệ thống làm việc phải có tính bền vững cao.
6. Điều khiển tiện lợi và đơn giản
Để đảm bảo thuận lợi cho người điều khiển, việc thiết kế thiết bị điều khiển phải được
bố trí thuận tiện và thống nhất giữa các loại cầu trục. Đồng thời người điều khiển có
thể sử dụng các lệnh khẩn cấp một cách thuận tiện và dễ dàng.
7. Ổn định nhiệt cơ và điện
Các cầu trục thông thường được lắp ráp để vận hành ở các nơi có nhiệt độ và độ ẩm
cao, các khu vực làm việc thường có nhiệt độ biến đổi theo mùa rõ rệt. Vì vậy các
thiết bị điện phải được chế tạo thích hợp với mơi trường cơng tác.

-8-


8. Tính kinh tế và kỹ thuật cao
Thiết bị chắc chắn, kết cấu đơn giản, trọng lượng và kích thước nhỏ, giá thành hạ, chi
phí bảo quản và chi phí năng lượng hợp lý.

1.2.

Tình hình nghiên cứu trong và ngồi nước

Vì tính đa dạng của nó nên cấu tạo của cầu trục cũng rất khác nhau. Tuy nhiên chúng
có các đặc điểm và cơ cấu chung như: Cơ cấu nâng hạ, cơ cấu di chuyển dọc, cơ cấu
di chuyển ngang và một số cơ cấu phụ để lấy và giữ hàng.
Hệ thống cầu trục hiện đại thường được trang bị các bộ điều khiển chất lượng cao để
giảm sự lắc của hàng hóa và tăng độ chính xác các chuyển động. Trong những thập
niên gần đây, rất nhiều cơng trình nghiên cứu về điều khiển cầu trục đã được công bố
cả về lý thuyết và thực tế.
Trong nước, đã có một số nghiên cứu áp dụng phương pháp năng lượng thiết kế điều
khiển cầu trục [11]. Bên cạnh đó đã có cơng trình nghiên cứu, tích hợp cơng nghệ

điều khiển để nâng cao hiệu quả làm việc của cầu trục tốc độ cao [12]. Bước đầu các
nghiên cứu này đã đạt được những thành tựu nhất định.
Trên thế giới, một số kỹ thuật điều khiển đã được áp dụng từ các kỹ thuật đơn giản
như điều khiển tuyến tính [17]-[23], điều khiển phi tuyến [24]-[26], điều khiển tối ưu
[27]-[29], tới các kỹ thuật điều khiển hiện đại như điều khiển mờ [30] và mạng nơ
ron nhân tạo [31].
Mơ hình điều khiển đơn giản nhất là các mơ hình tuyến tính [17]-[23]. Các kỹ thuật
điều khiển cho mơ hình này được xây đựng trên cơ sở hệ phương trình trạng thái đã
được tuyến tính hóa của hệ động lực học cầu trục, Sakawa [17] đã xây dựng luật điều
khiển tuyến tính nhờ sử dụng phương pháp phản hồi trạng thái và phân bố điểm cực.
Trong cơng trình khác của Corriga [20], đã xây dựng mơ hình biến thiên tham số
tuyến tính của cầu trục hai chiều trong đó chiều dài của dây cáp được xem như tham
số thay đổi theo thời gian. Tác giả Giua [21] đã mở rộng phương pháp điều khiển trên
cho mơ hình cầu trục ba chiều với cấu trúc hệ thống điều khiển tương tự. Với cơng
trình [22], Sawodny đã thiết kế hệ thống tự động điều khiển cầu trục làm việc như rô

-9-


bốt trong nhà xưởng nhờ sử dụng cả phương pháp phản hồi trạng thái và điều khiển
tiền tiếp thuận tuyến tính.
Phương pháp điều khiển phi tuyến cho hệ thống cầu trục phức tạp hơn nhiều so với
phương pháp tuyến tính. Moustafa [24] đã xây dựng sơ đồ khối điều khiển phi tuyến
để điều khiển bám cho chuyển động của xe con và giảm thiểu sự lắc của khối lượng
hàng theo tính chất của hàm Lyapunov. Các bộ điều khiển trên cơ sở thụ động đối
với hệ cầu trục ba chiều đã được thiết kế bởi Fang [25], trong đó kể thêm sự liên kết
giữa vị trí của xe cầu và góc lắc của khối lượng hàng. Sự ổn định của hệ thống được
kiểm chứng bằng các phân tích ổn định trên cơ sở tiêu chuẩn Lyapunov kết hợp với
lý thuyết bất biến LaSalle. Trong một số cơng trình của Lee [26], vấn đề điều khiển
cầu trục với tốc độ nâng hạ cao đã được đề cập.

Sakawa [27] đã nghiên cứu áp dụng điều khiển tối ưu cho hệ cầu trục bốc xếp
container thơng qua việc chia q trình vận chuyển hàng thành năm giai đoạn. Đối
với mội giai đoạn chuyển động, luật điều khiển tối ưu được tính sao cho đáp ứng quỹ
đạo chuyển động tương thích với điều kiện biên nhất định và góc lắc của container là
nhỏ nhất. Một giải thuật điều khiển tối ưu khác cũng đã được xây dựng bởi Auernig
[28] nhằm giảm thiểu thời gian di chuyển. Điều kiện cần và đủ để giải bài toán tối ưu
theo thời gian được dựa trên sự mở rộng nguyên lý cực tiểu Pontryagin. Ngoài ra,
một luật điều khiển tối ưu phi tuyến đã được giới thiệu bởi Algarni [29]. Bộ điều
khiển đã được xây dựng theo điều kiện biên và hàm ràng buộc đối với các trạng thái,
nhằm giảm thiểu góc lắc của khối lượng hàng và thời gian vận chuyển.
Tuy nhiên, với sự đòi hỏi ngày càng cao của quá trình sản xuất, hệ thống cầu trục vẫn
phải tiếp tục hoàn thiện, đặc biệt là trong vấn đề điều khiển nhằm nâng cao độ chính
xác nâng chuyển và giảm thiểu, tiến tới triệt tiêu hoàn toàn góc lắc. Trên thế giới, các
nhà nghiên cứu trong điều khiển cầu trục đã tập trung vào các giải pháp điều khiển
triệt tiêu dao động một cách nhanh chóng, liên tục và hiệu quả. Các phương pháp điều
khiển cầu trục đã được phát triển bao gồm, Singhose [42] và Park [33] sử dụng kỹ
thuật tạo dáng tín hiệu vào (input shaping) cho vòng điều khiển hở. Tuy nhiên, các
kỹ thuật điều khiển vòng hở phụ thuộc nhiều vào các tham số hệ thống, nên mức độ

- 10 -


thích nghi khơng cao.
Hệ thống điều khiển phản hồi vịng kín ít phụ thuộc vào sự thay đổi của các tham số
hệ thống và tác động ngoài cũng đã được đề xuất đề điều khiển chống lắc cho cầu
trục. Hệ thống này sử dụng các kỹ thuật điều khiển từ kinh điển như bộ điều khiển
PID đến các kỹ thuật điều khiển thông minh như bộ điều khiển mờ. Lee và Cho [34]
cũng đề xuất hệ thống điều khiển phản hồi vịng kín sử dụng logic mờ. Ngồi ra, hệ
thống cầu trục thông minh trên cơ sở logic mờ cũng đã được phát triển bởi Wahyudi
và Jalani [35]. Các bộ điều khiển mờ có thể được áp dụng để điều khiển vị trí và điều

khiển chống lắc. Hiệu quả của hệ thống cầu trục thông minh đã được đánh giá bằng
thử nghiệm trên mơ hình cầu trục trong phịng thí nghiệm. Một số kết quả thực nghiệm
đã minh chứng hiệu quả điều khiển vị trí tốt cũng như có khả năng chống lắc cao hơn
so với hệ thống cầu trục sử dụng các bộ điều khiển kinh điển như PID.
Như vậy, xuất phát từ đặc điểm nguyên lý, kết cấu và yêu cầu hoạt động của cầu trục,
đồng thời đáp ứng yêu cầu ngày càng cao về tốc độ và khối lượng nâng chuyển, các
nhà khoa học trên thế giới đã xây dựng một số mơ hình nghiên cứu động lực học cầu
trục, cũng đã áp dụng nhiều kỹ thuật điều khiển khác nhau từ đó cho ra đời các thế
hệ cầu trục ngày càng tiên tiến.

1.3.

Nhiệm vụ luận văn cần giải quyết

Cầu trục được sử dụng rộng rãi trong một số lượng lớn các lĩnh vực, chẳng hạn như
ngành công nghiệp nặng, cảng biển, nhà máy ô tô và thiết bị xây dựng. Năng suất và
hiệu quả của cầu trục phụ thuộc không chỉ vào trọng lượng tải trọng và tốc độ mà còn
về khả năng giảm dao động của các tải trọng một cách nhanh chóng vào cuối mỗi
hoạt động. Lý thuyết và thực nghiệm đã chỉ ra rằng khả năng tăng tốc và giảm tốc
nhanh hơn tương ứng với dao động của các tải trọng lớn hơn. Tình trạng này dẫn đến
một tình huống nguy hiểm và có thể gây ra tai nạn nghiêm trọng nếu dao động của
các tải trọng trở nên quá lớn. Dao động của các tải trọng quá lớn có thể phá vỡ các
cầu trục, hư hỏng thiết bị và cơ sở hạ tầng khác, hoặc thậm chí làm tổn thương người
lân cận.

- 11 -


Q trình hoạt động của một cầu trục có thể được chia thành ba giai đoạn, cụ thể là:
nâng hạ hàng, di chuyển xe con, di chuyển xe cầu. Giai đoạn thứ hai là nhiệm vụ khó

khăn nhất. Đối với giai đoạn này, các xe con và các tải trọng có để đạt được vị trí
mong muốn nhanh chóng. Trong khi đó, dao động của các tải trọng phải được giữ ở
mức nhỏ và phải được dập tắt ở cuối của mỗi hoạt động.
Hai phương pháp chủ yếu sau đây là cần thiết để đạt được yêu cầu như vậy: Cách tiếp
cận thứ nhất bao gồm thiết kế một quỹ đạo hợp lý chống rung lắc cho tải trọng. Cách
tiếp cận thứ hai liên quan đến việc thiết kế một bộ điều khiển chống rung lắc. Trong
cách tiếp cận đầu tiên, quỹ đạo mong muốn bình thường bao gồm ba giai đoạn, cụ
thể là, gia tốc, vận tốc không đổi, và giảm tốc. Thời gian và hình dạng của sự tăng
tốc trong giai đoạn đầu tiên và thứ ba sẽ được lựa chọn để tăng dao động với giá trị
tối đa trước khi giảm dao động bằng khơng. Do đó sẽ khơng có dao động trong giai
đoạn vận tốc khơng đổi. Phương pháp thứ hai là thiết kế một bộ điều khiển cho cầu
trục. Một số bộ điều khiển đã được nghiên cứu như tuyến tính hóa từng phần, điều
khiển trượt, điều khiển tối ưu LQR, phương pháp năng lượng thiết kế PD phi tuyến…
Trong luận văn này mơ hình động lực của hệ thống bao gồm các phần tử cơ và điện
được thiết lập bằng phương trình Lagrange. Sau đó các bộ điều khiển như điều khiển
tối ưu LQR và phương pháp năng lượng thiết kế PD phi tuyến sẽ được áp dụng cho
mơ hình cầu trục. Các mơ phỏng số sử dụng mơ hình cầu trục trong MATLAB được
thực hiện để cho thấy tính hiệu quả của phương pháp đề xuất. Các kết quả thu được
chứng minh rằng bộ điều khiển có hiệu quả để chuyển tải trọng đến vị trí mong muốn
trong khi các dao động của tải trọng được dập tắt ở cuối quá trình hoạt động.

CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG MƠ HÌNH ĐỘNG HỌC CHO HỆ CẦU TRỤC
Việc nghiên cứu điều khiển bất kỳ hệ động lực nào bao gồm hệ cơ, hệ cơ-điện, hệ
cơ điện tử, … đều bắt đầu từ xây dựng mơ hình. Mơ hình động lực học mơ tả mối
liên hệ giữa các đại lượng đầu vào hay các biến điều khiển với các trạng thái hay

- 12 -


đầu ra của hệ của hệ. Đối với các hệ cơ điện liên tục theo thời gian mơ hình động lực

chính là các phương trình vi phân chuyển động của hệ. Mơ hình của hệ cầu trục
tương đối phức tạp. Tuy nhiên, với các giả thiết đưa vào chúng ta có thể nhận được
mơ hình đơn giản.
Chương này sử dụng phương trình Lagrange để thiết lập phương trình vi phân
chuyển động cho hệ với đầu vào là các điện áp đặt lên các động cơ một chiều dẫn
động cho hệ và các biến trạng thái. Trước hết phương trình Lagrange đối với hệ
cơ điện được sử dụng để thiết lập phương trình vi phân chuyển động cho hệ cầu
trục khơng gian. Sau đó từ các phương trình này, ta sẽ suy ra được phương trình động
lực học cho các chế độ làm việc khác nhau.

2.1.

Mơ hình tổng qt của hệ cầu trục 3D

2.1.1. Mơ hình vật lý cầu trục 3D và các chế độ làm việc
Cầu trục thông thường gồm ba bộ phận chính: Cơ cấu nâng hạ thực hiện nhiệm
vụ nâng và hạ hàng; Xe goòng cùng với cơ cấu di chuyển xe goòng thực hiện nhiệm
vụ di chuyển xe gng và hàng hóa theo trục ngang; và xe cầu cùng với cơ cấu di
chuyển cầu thực hiện nhiệm vụ di chuyển cả cầu trục và tải chạy theo trục dọc. Khi
làm việc cầu trục thực hiện năm chuyển động chính gồm chuyển động của xe cầu,
chuyển động của xe goòng, chuyển động nâng hạ hàng và hai chuyển động lắc của
hàng.
Trong khai thác sử dụng cầu trục các chế độ di chuyển sau có thể xảy ra tùy theo
mục đích cụ thể:
i)

Chế độ nâng hạ hàng - trong đó chỉ có động cơ nâng hạ làm việc;

ii)


Chế độ di chuyển ngang - động cơ xe goòng làm việc;

iii)

Chế độ vừa di chuyển ngang vừa nâng hạ - hai động cơ xe goòng và nâng hạ

làm việc;
- 13 -


iv)

Chế độ di chuyển ngang và dọc - động cơ xe cầu và xe goòng làm việc;

v)

Chế độ di chuyển ngang, dọc và nâng hạ đồng thời - cả ba động cơ hoạt động.

Trong 5 chế độ làm việc trên, chế độ cuối cùng là tổng quát nhất. Nếu căn cứ vào
khơng gian làm việc của cầu trục, ta có thể phân thành hai dạng: cầu trục 2D và
cầu trục 3D. Cầu trục 2D thực hiện được các chế độ di chuyển i), ii), và iii), còn
cầu trục 3D thực hiện được các chế độ di chuyển iv) và v).
Để cho tổng qt, trước hết mơ hình động lực cho cầu trục 3D được xây dựng. Sau
đó tùy theo chế độ di chuyển ta sẽ thu được các mơ hình động lực trong các chế độ
đơn giản hơn.
2.1.2. Xây dựng mơ hình động lực
Trong mục này, việc xây dựng mơ hình động lực học cho cầu trục 3D mơ tả trạng
thái động lực học của cơ cấu di chuyển cầu, xe goòng, cơ cấu nâng/hạ hàng và
chuyển động lắc được trình bày. Để thuận tiện và cũng khơng mất tính tổng quát
hóa, ta xét trường hợp cầu trục được dẫn động bằng các động cơ điện một chiều kích

từ độc lập.
Các giả thiết
Trong q trình xây dựng mơ hình động lực mơ tả hệ, để cho bài tốn trở nên đơn
giản các giả thiết sau đây được đưa vào:
-

Các phần tử cấu thành nên cầu trục và hàng nâng đều được cọi là các vật rắn,

trừ cáp nâng hạ hàng.
-

Cầu chuyển động tịnh tiến theo trục dọc

-

Xe goòng chuyển động tịnh tiến theo phương ngang trên cầu

-

Hàng hóa có kích thước nhỏ gọn và được coi có khối lượng tập trung tại khối

- 14 -


tâm của nó,
-

Trong chế độ làm việc 2D xe gng và hàng hóa chuyển động trong một mặt

phẳng đứng;

-

Dây cáp xem như khơng co giãn và ln căng, có khối lượng khơng đáng kể

và có thể bỏ qua;
-

Trạng thái di chuyển của các vật không chịu ảnh hưởng của các tác động nhiễu

từ bên ngồi như gió, độ nghiêng của khung cầu trục…
-

Bỏ qua ma sát khô.

Các tọa độ suy rộng cơ và điện
Để mơ tả vị trí của hệ cầu trục và tải trọng trong trường hợp tổng quát, năm tọa độ
suy rộng sẽ được sử dụng. Các tọa độ này được định nghĩa như sau:
𝑞1 = 𝑥 là dịch chuyển của xe goòng trên cầu theo trục Ox,
𝑞2 = 𝑦 là dịch chuyển của xe cầu theo trục Oy,
𝑞3 = 𝑙 là khoảng cách từ xe goòng đến tải trọng nâng hay chiều dài phần cáp
không cuốn vào tang trống,
𝑞4 = 𝛼 là góc lắc của dây cáp trong mặt phẳng đứng ABC song song Oxz, và
𝑞5 = 𝛽 là góc lắc của dây cáp trong mặt phẳng ACD.
Các tọa độ suy rộng này lập thành véc tơ tọa độ suy rộng của hệ cơ có dạng:
𝒒𝑚 = [𝑞1𝑚 , 𝑞2𝑚 , 𝑞3𝑚 , 𝑞4𝑚 , 𝑞5𝑚 ]𝑇 = [𝑦, 𝑥, 𝑙, 𝛼, 𝛽]𝑇

- 15 -


Hình 2-1 Mơ hình động lực học 3D cầu trục

Để mô tả trạng thái của ba động cơ điện một chiều dẫn động cho ba tọa độ, ta chọn
điện tích trong mỗi mạch điện làm tọa độ suy rộng. Như thế, các tọa độ suy rộng điện
sẽ là
𝒒𝑒 = [𝑞𝑒,1 , 𝑞𝑒,2 , 𝑞𝑒,3 ]𝑇
Tổng cộng ta có 8 tọa độ suy rộng mô tả đủ trạng thái cơ và điện của hệ cầu trục.
Véc tơ tọa độ suy rộng tổng thể sẽ là:
𝒒=[

𝒒𝑚
] = [𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞8 ]𝑇 = [𝑞1𝑚 , 𝑞2𝑚 , 𝑞3𝑚 , 𝑞4𝑚 , 𝑞5𝑚 , 𝑞1𝑒 , 𝑞2𝑒 , 𝑞3𝑒 ]𝑇
𝒒𝑒

Ngoài ra, nếu ký hiệu các góc quay của rơto các động cơ dẫn động tương ứng
là 𝜃𝑚,𝑖 , 𝑖 = 1,2,3 Khi đó ta có các quan hệ động học giữa vận tốc góc của các rơto
và vận tốc của xe cầu, xe goòng và tốc độ cuốn nhả cáp như sau
𝜃̇𝑚,𝑖 = 𝑖𝑖 𝜔𝑏𝑥,𝑖 = 𝑖𝑖 𝑞̇ /𝑟𝑖 ,

𝑖 = 1,2,3

(2-1)

trong đó : 𝑖1 , 𝑖2 , 𝑖3 là các tỷ số truyền từ trục động cơ đến trục các bánh xe xe cầu,
xe goòng, và tang trống cuốn cáp; 𝑟1 , 𝑟2 , 𝑟3 là các bán kính hiệu dụng của các bánh
xe xe cầu, xe goòng, và tang trống cuốn cáp.

- 16 -


Phương trình Lagrange loại 2
Hệ phương trình phân chuyển động của hệ cũng được xây dựng bằng phương trình

Lagrange dạng:
d

(

∂T

dt ∂q̇ i

)−

∂T
∂qi

+

∂Φ
∂q̇ i

+

∂Π
∂qi

= Q∗i ,

i = 1,2, … , 8

(2-2)


trong đó 𝑇 và 𝛱 tương ứng là động năng và thế năng của hệ; 𝛷 là hàm hao tán do
các thành phần cản tuyến tính; và 𝑄𝑖∗ là lực suy rộng không thế tương ứng với tọa
độ suy rộng thứ i.
Ở dạng ma trận phương trình Lagrange loại 2 được viết dưới dạng sau:
d

∂T T

∂T T

∂Φ T

∂Π T

∂𝐪

∂𝐪̇

∂𝐪

( ) −( ) +(

dt ∂𝐪̇

) + ( ) = 𝐐∗

(2-3)

1


trong đó động năng của hệ được viết ở dạng T = 𝒒̇ 𝑇 𝑴(𝒒)𝒒̇ với 𝑴(𝒒) là ma trận
2

khối lượng; 𝛱 = 𝛱(𝑞) là hàm thế năng; hàm hao tán do lực cản tuyến tính được viết
1

dưới dạng 𝛷 = 𝒒̇ 𝑫𝒒̇ với 𝑫 là ma trận cản.
2

Sau khi tính tốn các đạo hàm trong biểu thức (2-3), phương trình vi phân chuyển
động của hệ được viết lại như sau
𝐌(𝐪)𝐪̈ + C(𝐪, 𝐪̇ )𝐪̇ + 𝐃𝐪̇ + g(𝐪) = 𝐁𝐮,

(2-4)

với
𝜕𝛱 𝑇

𝜕𝛱 𝑇

𝑪(𝒒, 𝒒̇ )𝒒̇ = 𝑴̇(𝒒)𝒒̇ − ( ) ,

𝑔(𝒒) = ( ) ,
𝜕𝒒

𝜕𝒒

𝑸∗ = 𝑩𝒖 − 𝑫𝒒̇ .

Ma trận 𝑪(𝒒, 𝒒̇ ) được xác định từ ma trận khối lượng 𝑴(𝒒) theo công thức

Christoffel như sau:
𝐂(𝐪, 𝐪̇ ) = cij (𝐪, 𝐪̇ )
1

∂mij

2

∂qk

cij (𝐪, 𝐪̇ ) = ∑m
k=1 (

+

∂mik
∂qj

Động năng của hệ

- 17 -

−

∂mjk
∂qi

) 𝑞̇ 𝑘

(2-5)



Động năng của hệ bao gồm động năng cơ và động năng điện.
Động năng cơ của hệ bằng tổng động năng chuyển động của xe cầu, xe goòng,
khối lượng hàng, và động năng quay của các rô to động cơ. Động năng này được
tính như sau:
3

Tm

1
1
1
1
= mb vb2 + mt vt2 + mp vp2 + ∑ Jm,i θ̇2 𝑚,𝑖
2
2
2
2

(2-6)

i=1

Trong đó : mb, mt, mp lần lượt là khối lượng của xe cầu, xe gng và hàng hóa;
các 𝐽𝑚,1 , 𝐽𝑚,2 , 𝐽𝑚,3 là lượt là mơ men qn tính khối của các rô to của ba động cơ
điện tương ứng; 𝑣𝑏 , 𝑣𝑡 , 𝑣𝑝 lần lượt là độ lớn vận tốc của khối tâm xe cầu, xe goòng
và tải trọng; 𝜃̇𝑚,1 , 𝜃̇𝑚,2 , 𝜃̇𝑚,3 là vận tốc góc rô to của ba động cơ. Lưu ý rằng: tùy theo
vị trị đặt động cơ mà các khối lượng mb và mt có thể bao gồm cả khối lượng của
động cơ đặt trên nó.

Vận tốc các khối tâm của xe cầu, xe gng và tải trọng được tính từ tọa độ của chúng
như sau:
Xe cầu và xe goòng chuyển động tịnh tiến với vận tốc khối tâm được tính
𝐫C1 = [a1 , q1 , 0]T ⇒ vb2 = 𝑞̇ 12 ,

(2-7)

𝐫C2 = [q2 , q1 , H]T ⇒ vt2 = (𝑞̇ 12 + 𝑞̇ 22 ).

(2-8)

Từ Hình ( 2-1) vị trí khối tâm của tải trọng được tính theo các tọa độ suy rộng như
sau:

- 18 -


Đạo hàm theo thời gian biểu thức (2-9) ta nhận được
𝑥𝑝̇ = 𝑥̇ + 𝑙 ̇ 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 + 𝑙𝛼̇ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 − 𝛽̇ 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛽
𝑦̇𝑝 = 𝑦̇ + 𝑙 ̇ 𝑠𝑖𝑛 𝛽 + 𝑙𝛽̇ 𝑐𝑜𝑠 𝛽

(2-10)

̇
𝑧𝑝̇ = 𝑙 𝑐𝑜𝑠
𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 − 𝑙𝛼̇ 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 + 𝛽̇ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛽
Vận tốc của tải trọng trong không gian sẽ là:
̇
̇
𝑣𝑝2 = 𝑥̇ + 𝑦̇ 2 + 𝑙 2̇ + 2𝑦̇ 𝑙 𝑠𝑖𝑛𝛽

+ 2𝑙𝑦̇ 𝛽̇ cos 𝛽 + 2𝑙 𝑥𝑠𝑖𝑛𝛼
cos 𝛽 + 𝑙2 𝛽̇ +
2𝑙𝑥̇ 𝛼̇ cos 𝛼 cos 𝛽 + 𝑙2 𝛼̇ cos2 𝛽 − 2𝑙𝑥̇ 𝛽̇ sin 𝛼 sin 𝛽

(2-11)

Thay các biểu thức (2-7),(2-11) vào (2-6), chú ý đến quan hệ động học (2-1), và
thực hiện một số phép rút gọn ta nhận được biểu thức động năng cơ của hệ:
𝑇

𝑚

1
𝑖12 𝐽𝑚,1 2 1
𝑖22 𝐽𝑚,2
= (𝑚𝑡 + 𝑚𝑏 + 𝑚𝑝 + 2 ) 𝑦̇ + (𝑚𝑏 + 𝑚𝑝 + 2 ) 𝑥̇
2
2
𝑟1
𝑟2

1
1
1
+ (𝑚𝑝 + 𝑖32 𝐽𝑚,3 /𝑟32 )𝑖 2 + 𝑚𝑙2 𝛼̇ cos2 𝛽 + 𝑚𝑝 𝑙2 𝛽̇
2
2
2
̇
̇

+𝑚𝑦̇ 𝑙 𝑠𝑖𝑛𝛽
+ 𝑚𝑙𝑦̇ 𝛽̇ cos 𝛽 + 𝑚𝑥𝑙̇ s𝑖𝑛𝛼
cos 𝛽

(2-12)

−𝑚𝑙𝑥̇ 𝛽̇ sin 𝛼 sin 𝛽 + 𝑚𝑙𝑥̇ 𝛼̇ cos 𝛼 cos 𝛽
hay có thể viết được dạng
𝑇𝑚 =

1 𝑚,𝑇 𝑚 𝑚 𝑚
𝒒̇ 𝑴 (𝒒 )𝒒̇
2

Động năng điện được tính là tổng động năng điện tích chạy qua các cuộn dây trong
động cơ. Thành phần động năng này được tính như sau:
1

1

2

2

3
2
𝑇 𝑒 = ∑3𝑖=1 𝐿𝑎,𝑖 𝒒̇ 𝑒2
𝑖 = ∑𝑖=1 𝐿𝑎,𝑖 𝒒̇ 5+𝑖 ,

(2-13)


Với 𝐿𝑎,1 , 𝐿𝑎,2 , 𝐿𝑎,3 là hệ số tự cảm của các cuộn dây của ba động cơ. Ta có thể viết
lại biểu thức động năng điện (2-13) theo véc tơ vận tốc suy rộng điện và ma trận
quán tính điện như sau:
- 19 -


1

1

2

2

𝑇 𝑒 = ∑3𝑖=1 𝐿𝑎,𝑖 𝒒̇ 5+𝑖 = 𝒒̇ 𝑒,𝑇 𝑴𝑒 𝒒̇ 𝑒

(2-14)

với ma trận quán tính điện dạng đường chéo
𝑴𝑒 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝐿𝑎,1 , 𝐿𝑎,2 , 𝐿𝑎,3 )

(2-15)

Kết hợp động năng cơ và động năng điện ta thu được biểu thức động năng của hệ cơ
điện cầu trục như sau:
1

1


2

2

𝑇 = 𝑇 𝑚 + 𝑇 𝑒 = 𝒒̇ 𝑚,𝑇 𝑴𝑚 (𝒒𝑚 )𝒒̇ 𝑚 + 𝒒̇ 𝑒,𝑇 𝑴𝑒 𝒒̇ 𝑒
=

(2-16)

1 𝑇
𝒒̇ 𝑴(𝒒)𝒒̇
2

với ma trận quán tính tổng thể nhận được bằng cách ghép hai ma trận quán tính cơ
và điện
𝑴(𝒒) = 𝑑𝑖𝑎𝑔[𝑴𝑚 (𝒒𝑚 ), 𝑴𝑒 ]

(2-17)

Hàm thế năng hệ
Thế năng của hệ bằng thế năng của khối lượng hàng cho bởi:
𝛱 = −𝑚𝑝 𝑔𝑞3 𝑐𝑜𝑠 𝑞4 𝑐𝑜𝑠 𝑞5 hay 𝛱 = −𝑚𝑔𝑙 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽

(2-18)

Hàm hao tán
Tổng năng lượng hao tán do các phần tử cản nhớt và các điện trở của các động
cơ được thể hiện bằng hàm hao tán. Đối với hệ cầu trục mô tả ở đây, hàm hao tán có
dạng như sau
2

𝛷 = 𝑏1 𝑞̇ 12 + 𝑏2 𝑞̇ 22 + ∑3𝑖=1 𝑅𝑎2𝑖 𝑞̇ 5+𝑖
= 𝒒̇ 𝑇 𝑫𝒒̇ ,

(2-19)

với ma trận cản hằng số
𝑫 = diag(𝑏1 , 𝑏2 , 0,0,0, 𝑅a,1 , 𝑅a,2 , 𝑅a,3 ),
trong đó 𝑏1 , 𝑏2 là các hệ số cản nhớt cản trở chuyển động của xe cầu và xe goòng;
𝑅𝑎,1 , 𝑅𝑎,2 , 𝑅𝑎,3 là các điện trở trong các động cơ dẫn động.

- 20 -


Các lực suy rộng không thế
Chú ý đến quan hệ vật lý trong động cơ điện một chiều, theo tài liệu về động cơ điện
một chiều, khi có dịng điện chạy trong cuộn dây một mô men lực sẽ được sinh ra
tác dụng lên rô to và khi rô to quay sẽ tạo ra một sức phản điện động trong mạch
của động cơ. Các quan hệ này được thể hiện bởi các biểu thức sau:
Mômen động cơ đặt lên rô to:
𝜏𝑖 = 𝐾𝑚,𝑖 𝐼𝑖 = 𝐾𝑚,𝑖 𝑞̇ 𝑖𝑒 = 𝐾𝑚,𝑖 𝑞̇ 5+𝑖 ,

𝑖 = 1,2,3

(2-20)

Điện áp phản sức điện động:
𝑈𝑒𝑚𝑓,𝑖 = 𝐾𝑒,𝑖 𝜃̇𝑚,𝑖 = 𝐾𝑚,𝑖 𝑞̇ 5+𝑖 ,

𝑖 = 1,2,3


(2-21)

trong đó 𝐾𝑚,𝑖 , 𝐾𝑒,𝑖 là các hằng số mơmen và hằng số phản sức điện động của động
cơ; 𝐼𝑖 = 𝑞̇ 𝑖𝑒 = 𝑞̇ 5+𝑖 là dòng điện chạy trong động cơ thứ i .
Để đưa ra biểu thức của các lực suy rộng không thế (bao gồm điện áp đặt lên các
động cơ, phản sức điện động, mômen quay rơ to), ta tính tổng cơng ảo của các lực
này khi cho hệ thực hiện các di chuyển ảo. Biểu thức tổng công ảo của các lực không
thế này như sau:
𝛿𝐴 = ∑3𝑖=1 𝜏𝑖 𝛿𝜃𝑚,𝑖 + ∑3𝑖=1( 𝑈𝑖 − 𝑈𝑒𝑚𝑓,𝑖 )𝛿𝑞𝑖𝑒

(2-22)

Chú ý rằng, từ quan hệ (2-1) ta suy ra
𝛿𝜃𝑚,𝑖 =

𝑖𝑖
𝑟𝑖

𝛿𝑞𝑖 ,

𝑖 = 1,2,3

(2-23)

Thế các biểu thức (2-20), (2-21) và (2-23) vào (2-22), ta nhận được
𝛿𝐴 = ∑3𝑖=1 𝜏𝑖

𝑖𝑖
𝑟𝑖


𝛿𝑞𝑖 + ∑3𝑖=1( 𝑈𝑖 − 𝑈𝑒𝑚𝑓,𝑖 )𝛿𝑞𝑖𝑒

8

= ∑ 𝑄𝑖∗ 𝛿𝑞𝑖
𝑖=1

- 21 -

(2-24)


Từ đây ta nhận được các biểu thức lực suy rộng như sau
𝑄𝑖∗ =

𝑖𝑖
𝑖𝑖
𝜏𝑖 = 𝐾𝑚,𝑖 𝑞̇ 5+𝑖 ,
𝑟𝑖
𝑟𝑖

𝑖 = 1,2,3

𝑄4∗ = 𝑄5∗ = 0
∗
𝑄5+𝑖
= (𝑈𝑖 − 𝑈𝑒𝑚𝑓2𝑖 ) = 𝑈𝑖 − 𝐾𝑒2𝑖 𝑖𝑖 (𝑟𝑖 )−1 𝑞̇ 𝑖 ,

𝑖 = 1,2,3


(2-25)

Lưu ý nếu thành phần lực cản nhớt cơ và điện khơng được tính trong hàm hao tán
thì ta cần bổ sung thêm các lực cản đó vào biểu thức lực suy rộng khơng thế. Khi đó
ta có
Q∗i =

ii
ri

τi − bi q̇ =

ii
ri

K m,i q̇ 5+i − bi q̇ i ,

Q∗4 = Q∗5 = 0
Q∗5+i = (Ui − Uemf,i ) − R a,i q̇ 𝑖 ,

i = 1,2,3.

Để thuận tiện cho việc biểu diễn phương trình động lực ở dạng ma trận, ta sẽ viết
lại các biểu thức lực suy rộng dưới dạng tích của các ma trận và véc tơ:
Véc tơ lực suy rộng không thế ứng với các tọa độ suy rộng cơ

𝑸∗,𝑚

𝑄1∗
(𝑖1 /𝑟𝑖 )𝐾𝑚,1

∗
𝑄2
0
= 𝑄3∗ =
0
0
0
[0] [
0

0
(𝑖1 /𝑟𝑖 )𝐾𝑚,2
0
0
0

0
𝑞̇ 6
0
(𝑖1 /𝑟𝑖 )𝐾𝑚,3 [𝑞̇ 7 ]
𝑞̇ 8
0
]
0

hay
𝑸,∗𝑚 = 𝑩𝑲𝑚 𝑹−1 𝒒̇ 𝑒 = 𝑩𝑲𝑚 𝑹−1 𝒒̇ 𝑒

(2-26)


Véc tơ lực suy rộng không thế ứng với các tọa độ suy rộng điện
∗,𝑚

𝑸

𝑄1∗
𝑈1 (𝑖1 /𝑟1−1 )𝐾𝑒,1
∗
= [𝑄2 ] = [𝑈2 ] [
0
𝑈3
𝑄3∗
0

0
(𝑖2 /𝑟2 )𝐾𝑒,2
0

0
𝑞̇ 1
0
𝑞̇
] [ 2]
(𝑖3 /𝑟3 )𝐾𝑒,3 𝑞̇ 3

Hay
𝑸∗,𝑒 = 𝒖 − 𝑲𝑒 𝑅−1 𝒒̇ 𝑚
𝑎 , với

- 22 -


𝑚 𝑚 𝑚 𝑇
𝒒̇ 𝑚
𝑎 = [𝑞̇ 1 , 𝑞̇ 2 , 𝑞̇ 3 ]

(2-


27)
Véc tơ điều khiển u và các ma trận xuất hiện trong các biểu thức (2-26) và (227) được định nghĩa như sau:
𝑈1
𝑈
𝒖 = [ 2] ,
𝑈3

1
0
̅
𝑩= 0
0
[0

0
1
0
0
0

0
0

1 ,
0
0]

𝐾𝑚,1
𝑲𝑚 = [ 0
0

0
𝐾𝑚,2
0

0
0 ],
𝐾𝑚,3

𝑹

−1

0
𝑖2 /𝑟2
0

𝑖1 /𝑟1
=[ 0
0

𝐾𝑒,1
𝑲𝑒 = [ 0

0

0
𝐾𝑒,2
0

0
0 ]
𝑖3 /𝑟3

0
0 ]
𝐾𝑒,3

Để biểu diễn tọa độ suy rộng cơ chủ động 𝑞𝑎𝑚 theo tọa độ suy rộng cơ tổng thể đưa
vào ma trận Z như sau
1
𝒁 = [0
0

0
1
0

0
0
1

0
0

0

0
0]
0

Khi đó ta viết được
𝑚
𝒒̇ 𝑚
𝑎 = 𝒁𝒒̇

(2-28)

Và như vậy, véc tơ lực suy rộng không thế ứng với các tọa độ suy rộng điện (227) được viết lại thành
−1
𝑚
𝑸∗,𝑒 = 𝒖 − 𝑲𝑒 𝑹−1 𝒒̇ 𝑚
𝑎 = 𝒖 − 𝑲𝑒 𝑹 𝒁𝒒̇

(2-29)

Phương trình vi phân chuyển động của cầu trục khơng gian
Thay các biểu thức động năng, thế năng, hàm hao tán và các lực suy rộng khơng
thế vào phương trình Lagrange ta nhận được các phương trình ở dạng ma trận như
sau:
- 23 -


đối với các tọa độ suy rộng cơ
𝑴𝑚 (𝒒𝑚 )𝒒̈ 𝑚 + 𝑪𝑚 (𝒒𝑚 , 𝒒̇ 𝑚 )𝒒̇ 𝑚 + 𝑫𝑚 𝒒̇ 𝑚 + 𝒈𝑚 (𝒒𝑚 )

(2-30)

= 𝑩𝑲𝑚 𝑹−1 𝒒̇ 𝑒
đối với các tọa độ suy rộng điện
𝑴𝑒 𝒒̈ 𝑒 + 𝑫𝑒 𝒒̇ 𝑒 = 𝒖 − 𝑲𝑒 𝑹−1 𝒁𝒒̇ 𝑚

(2-31)

Hay ở dạng tổng thể
[
+[

𝑫𝑚
0

𝑴𝑚 (𝒒𝑚 )
0

𝑚
0 𝑞̈
𝑪𝑚 (𝒒𝑚 , 𝒒̇ )
][ 𝑒]+ [
𝑴 𝒒̈
0

𝑚
0 𝒒̇
][ 𝑒]
0 𝒒̇


𝑚
𝑩𝑲𝑚 𝑹−1 𝒒̇ 𝑒
𝒈𝑚 (𝒒𝑚 )
0 𝒒̇
]
|
|
[
]
[
]
+
=
𝑫𝑒 𝒒̇ 𝑒
0
𝒖 − 𝑲𝑒 𝑹−1 𝒁𝒒̇ 𝑚

(2-32)

Do hằng số thời gian điện nhỏ so với hằng số thời gian cơ nên ở đây để cho đơn
giản ta bỏ qua sự biến đổi của dòng điện 𝐿𝑎 𝑑𝑖/𝑑𝑡 ≈ 0 , điều đó nghĩa là 𝑴𝑒 𝒒̈ 𝑒 =
𝐿𝑎 𝒒̈ 𝑒 ≈ 0. Khi đó, từ phương trình (2-31) ta nhận được
𝑫𝑒 𝒒̇ 𝑒 = 𝑹𝑎 𝒒̇ 𝑒 = 𝒖 − 𝑲𝑒 𝑹−1 𝒁𝒒̇ 𝑚 ,
⇒ 𝒒̇ 𝑒 = (𝑹𝑎 )−1 𝒖 − (𝑹𝑎 )−1 𝑲𝑒 𝑅−1 𝒁𝒒̇ 𝑚

(2-33)

Thay vào (2-33) vào phương trình (2-30) ta được
𝑴𝑚 (𝒒𝑚 )𝒒̈ 𝑚 + 𝑪𝑚 (𝒒𝑚 , 𝒒̇ 𝑚 )𝒒̇ 𝑚 + 𝑫𝑚 𝒒̇ 𝑚 + 𝒈𝑚 (𝒒𝑚 )
= 𝑩𝑲𝑚 𝑹−1 (𝑹𝑎 )−1 𝒖 − 𝑩𝑲𝑚 𝑹−1 (𝑹𝑎 )−1 𝑲𝑒 𝑹−1 𝒁𝒒̇ 𝑚

hay
𝑴𝑚 (𝒒𝑚 )𝒒̈ 𝑚 + 𝑪𝑚 (𝒒𝑚 , 𝒒̇ 𝑚 )𝒒̇ 𝑚 + 𝑫𝑚 + 𝑩𝑲𝑚 𝑹−1 (𝑹𝑎 )−1 𝑲𝑒 𝑹−1 𝒁𝒒̇ + 𝒈𝑚 (𝒒𝑚 )
= 𝑩𝑲𝑚 𝑹−1 (𝑹𝑎 )−1 𝒖
Để đơn giản cách viết, ta sẽ sử dụng các tọa độ suy rộng 𝒒 ≡ 𝒒𝑚 , khi đó phương trình
vi phân chuyển động cho hệ cầu trục trở thành
𝑴(𝒒)𝒒̈ + 𝑪(𝒒, 𝒒̇ )𝒒̇ + [𝑫𝑚 + 𝑩𝑲𝑚 𝑹−1 (𝑹𝑎 )−1 𝑲𝑒 𝑹−1 𝒁]𝒒̇ + 𝒈(𝒒) =
- 24 -


𝑩𝑲𝑚 𝑹−1 (𝑹𝑎 )−1 𝒖.
Hay viết gọn lại ở dạng
𝑴(𝒒)𝒒̈ + 𝑪(𝒒, 𝒒̇ )𝒒̇ + 𝑫𝒒̇ + 𝒈(𝒒) = Bu

với

(2-34)

𝑫 = 𝑫𝑚 + 𝑩𝑲𝑚 𝑹−1 (𝑹𝑎 )−1 𝑲𝑒 𝑹−1 𝒁,
𝑩 = 𝑩𝑲𝑚 𝑹−1 (𝑹𝑎 )−1

Sử dụng phần mềm Maple, ta thu được các ma trận như dưới đây. Ma trận quán tính:
𝑚𝑝 𝑞3 𝑐𝑞5
0
𝑚𝑝 𝑠𝑞5
𝑚11
0
𝑚22 𝑚𝑝 𝑠𝑞4 𝑐𝑞5 𝑚𝑝 𝑞3 𝑐𝑞4 𝑐𝑞5 −𝑚𝑝 𝑞3 𝑠𝑞4 𝑠𝑞5
𝑚33
0
𝑴(𝑞) =

0
2 2
0
𝑚𝑝 𝑞3 𝑐 𝑞5
𝑚𝑝 𝑞32
[
]
Với
m11 = mb + mt + mp + 𝑖12 𝐽𝑚1 /𝑟12 ,
𝑚33 = 𝑚𝑝 +

𝑖32 𝐽𝑚3
𝑟32

,

m22 = mt + mp + i22 Jm2 /r22
𝑠() = sin (), 𝑐() = cos ()

Ma trận liên quan đến các lực Côriôlis và lực ly tâm:
0 0 𝑐13 𝑐14
0 0 𝑐23 𝑐24
𝑪(𝑞, 𝑞̇ ) = 0 0 𝑐33 𝑐34
0 0 𝑐43 𝑐44
[0 0 𝑐53 𝑐54

𝑐15
𝑐25
𝑐35
𝑐45

𝑐55 ]

với các phần tử như sau:
𝑐13 = 𝑚𝑝 𝑞̇ 5 𝑐𝑞5 ,
𝑐14 = 0,
𝑐15 = 𝑚𝑝 𝑞̇ 3 𝑐𝑞5 − 𝑚𝑝 𝑞3 𝑞̇ 5 𝑠𝑞5 ,
𝑐23 = 𝑚𝑝 𝑞̇ 4 𝑐𝑞4 𝑐𝑞5 − 𝑚𝑝 𝑞̇ 5 𝑠𝑞4 𝑠𝑞5 ,
𝑐24 = 𝑚𝑝 𝑞̇ 3 𝑐𝑞4 𝑐𝑞5 − 𝑚𝑝 𝑞3 𝑞̇ 4 𝑐𝑞5 𝑠𝑞4 − 𝑚𝑝 𝑞3 𝑞̇ 5 𝑐𝑞4 𝑠𝑞5 ,
𝑐25 = −𝑚𝑝 𝑞̇ 3 𝑠𝑞4 𝑠𝑞5 − 𝑚𝑝 𝑞3 𝑞̇ 4 𝑐𝑞4 𝑠𝑞5 − 𝑚𝑝 𝑞3 𝑞̇ 5 𝑐𝑞5 𝑠𝑞4 ,
- 25 -