Trường THCS Đức Bác

Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính

PHẦN I
ĐẶT VẤN ĐỀ
A/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:
1/ Lý do chọn đề tài:
Trong chương trình Đại số lớp 8, phương pháp phân tích đa thức thành nhân
tử là một nội dung của chương trình tốn, được áp dụng nhiều vào giải các bài tập .
Phương pháp này cũng là một cơng cụ hữu ích cho học sinh trong quá trình luyện
tập như : Rút gọn biểu thức, giải phương trình tích, chia đa thức… khơng những
vận dụng giải các bài tốn ở chương trình lớp 8 mà còn vận dụng giải các bài tập
của các lớp 9 ,10 và về sau này.
Bản thân tôi là giáo viên giảng dạy mơn Tốn, qua một số năm dạy tơi thấy
học sinh sau khi học vẫn cịn lúng túng phân tích đa thức thành nhân tử và thường
mắc phải những sai sót khi làm bài tập .
Để giúp học sinh tự học, học thêm ở nhà tránh những sai sót và định hướng
được một số cách giải khi gặp các dạng tốn phải dùng đến việc phân tích đa thức
thành nhân tử, do đó tơi chọn viết đề tài: “ Một số phương pháp phân tích đa
thức thành nhân tử” để dạy cho học sinh .
Đề tài gồm 3 phần: Phần I là Mở đầu, Phần II là Nội dung và Phần III là Kết
quả, bài học kinh nghiệm. Trong phần nội dung đề tài chủ yếu là chỉ ra các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử, trong mỗi phương pháp đều có ví dụ cụ thể,
bài tập tự luyện và có hướng dẫn giải bài tập tự luyện. Một số bài tập sử dụng Máy
tính bỏ túi để phân tích đa thức thành nhân tử và một số ví dụ nhận định một số sai
sót khi làm bài tập và hướng khắc phục cho học sinh.
2/ Thực trạng vấn đề:
Thực tế học sinh ở trường THCS Đức Bác tiếp thu bài còn chậm và vận dụng
kiến thức từ lý thuyết vào làm bài tập còn hạn chế. Các em còn nhầm lẫn và chưa
thành thạo sử dụng những phương pháp phân tích thành nhân tử, do thời lượng làm

bài tập cịn ít nên chưa giải được những dạng toán mở rộng, nâng cao .
Trong quá trình giải bài tập, đa số học sinh thường mắc các lỗi như :
 Đặt nhân tử chung .
 Chưa vận dụng thành thạo hằng đẳng thức đáng nhớ vào làm bài tập .
 Sử dụng phương pháp nhóm chưa hợp lý.
 Chưa biết cách tách hạng tử.
 Khi gặp đa thức bậc cao, hệ số lớn thì khơng tìm ra được cách giải.
Nguyên nhân học sinh còn tồn tại các khuyết điểm trên là :
+ Do thời lượng luyện tập giờ chính khóa cịn ít, vì vậy học sinh chưa có thời
gian để ơn tập, làm bài tập, giải bài tập nhiều .
+ Học sinh nắm kiến thức chưa tốt, chưa sâu , một số chỉ học máy móc,hiểu
một cách đơn giản chứ chưa nắm vững kiến thức nên gặp nhiều khó khăn
trong q trình làm bài tập.
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
1


Trường THCS Đức Bác

Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính

B/ PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:
1/ Công tác chuẩn bị dạy:
- Địa điểm: Trường THCS Đức Bác .
- Giáo trình: SGK, sách bài tập, một số tài liệu tham khảo khác như sách phát
triển Toán 8, sách toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 8, Sách ôn thi vào lớp 10
THPT chuyên …
2/ Đối tượng học:
Học sinh lớp 8A học chính khóa, ơn tập cuối chương, ngồi ra dạy phụ đạo theo
chuyên đề với HSG.

3/ Lập kế hoạch tổ chức thực hiện:
Ngồi thời gian dạy giờ chính khóa ở trường tơi bố trí lịch học phụ đạo cho học
sinh vào chiều thứ 3 và chiều thứ 7 như sau:
Ngày

Thứ

Buổi

Nội dung dạy học

Số tiết

Địa điểm

3

Trường THCS
Đức Bác

3

Trường THCS
Đức Bác

3

Phương pháp đặt
Chiều nhân tử chung và
luyện tập.


7

Phương pháp dùng
Chiều hằng đẳng thức và
luyện tập.

3

Chiều

Phương pháp nhóm
và luyện tập.

3

Trường THCS
Đức Bác

7

Chiều

Phương pháp tách và
luyện tập.

3

Trường THCS
Đức Bác


3

Phối hợp các phương
Chiều pháp trên và luyện
tập.

7

Phương pháp dùng hệ
Chiều số bất định và luyện
tập

3

Chiều

Phương pháp đổi
biến số và luyện tập.

3

Trường THCS
Đức Bác

3

Trường THCS
Đức Bác


3

Trường THCS
Đức Bác

4/Tổ chức thực hiện:
- Giáo viên dạy theo lịch .
- Học sinh học tập, thực hiện theo nội quy đã quy định .

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

2


Trường THCS Đức Bác

Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính

PHẦN II
NỘI DUNG
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐATHỨC THÀNH NHÂN TỬ
Chú ý: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành
một tích của những đa thức.
1. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG
Trong một đa thức nếu các hạng tử có nhân tử giống nhau thì ta có thể đưa ra
làm nhân tử chung theo công thức sau: A.B + A.C = A(B + C).
a/ Các ví dụ:
Ví dụ1 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 2x – 4y.
Giải :

Ta có : 2x – 4y = 2.x – 2.2y
= 2( x – 2y).
Nhận xét : Ở đây nhân tử chung là 2 do đó ta có thể đưa ra ngồi làm nhân tử chung
theo công thức A.B + A.C = A(B + C) như vậy khi dạy, cần chú ý học sinh xác định
được nhân tử chung .
Sau ví dụ 1 và nhận xét, giáo viên cho học sinh tiếp tục thực hiện ví dụ 2
Ví dụ2 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3(a – b) – 5a(b – a).
Giải :
Ta có : 3(a – b) – 5a(b – a) = 3(a – b) + 5a (a – b)
= (a – b)(3 + 5a) .
Nhận xét : Ở ví dụ 2 đa thức cần phân tích có hai hạng tử là 3(a – b) và – 5a(b – a)
nhìn qua ta chưa thấy nhân tử chung. Ta có thể đổi dấu – 5a(b – a) thành 5a (a – b)
để xuất hiện nhân tử chung rồi đặt nhân tử chung .
Khi dạy học sinh thơng qua 2 ví dụ, giáo viên có thể đưa ra thêm ví dụ 3 để rèn
luyện cho học sinh được thành thạo về các bước phân tích.
Ví dụ3 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x(x – 2y)2 – 10y(x – 2y).
Giải : Ta có :
5x(x – 2y)2 – 10y(x – 2y) = 5(x – 2y) 2.x – 5(x – 2y).2y (Nhân tử chung ở đây là
5(x – 2y))
= 5(x – 2y)[x (x – 2y) – 2y]
= 5(x – 2y)( x2 – 2xy – 2y) .

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

3


Trường THCS Đức Bác


Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính

Nhận xét:
Đối với các ví dụ trên khi sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung giáo viên
cần chú ý cho học sinh cách tìm nhân tử chung với đa thức có hệ số nguyên như
sau:
+ Hệ số là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử .
+ Các lũy thừa bằng chữ có mặt trong mọi hạng tử với số mũ của mỗi lũy
thừa là số mũ nhỏ nhất của nó.
b/ Bài tập tự luyện:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a, 4x – 16y.
b, a2 + ab – a.
c, 6x(x – y ) – 8y (y – x ).
d, 7x2 – 14xy2 + 21x2y2.
Bài 2: Tìm x biết x3 +2x = 0.
Bài 3: Chứng minh rằng n2(n + 1) + 2n(n + 1) luôn chia hết cho 6 với mọi số
nguyên n .
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Các bước giải và kết quả như sau:
Bài 1:
a, 4x – 16y = 4(x – 4y).
b, a2 + ab – a =a(a + b -1).
c, 6x(x – y) – 8y (y – x) = 2(x –y ).3x + 2(x – y).4y
= 2(x –y )(3x + 4y).
d, 7x2 – 14x y2 + 21x2y2 = 7x.x – 7x.2y2 + 7x.3xy2
= 7x(x – 2y2 + 3xy2).
Bài 2:
Ta có : x3 + 2x = 0 ⇔ x(x2 + 2 ) = 0

⇔ x = 0 hoặc x2 + 2 = 0
+ x=0.
+ x2 + 2 = 0 (vô lý vì x2 ≥ 0 với ∀ x).
Vậy x = 0 .
Ta có: n2(n + 1) + 2n(n + 1) = n .n .(n + 1) + 2n(n +1)
= n( n + 1)(n + 2).
∈
Khi n Z thì n( n + 1)(n + 2) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên M2; 3 mà(2,3)
=1 do đó n( n + 1)(n + 2) M6.
Bài 3:

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

4


Trường THCS Đức Bác

Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính

2. PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC
Các hằng đẳng thức đáng nhớ : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 – 2AB + B2 = (A – B)2
A2 – B2 = (A + B) (A – B)
A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A+B)3
A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 = (A – B)3
A3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2)
A3 – B3 = (A – B) (A2 + AB + B2)
Phương pháp này chủ yếu là vận dụng các hằng đẳng thức để phân tích, như vậy
học sinh phải học thuộc các hằng đẳng thức .

a/ Các ví dụ:
Ví dụ 1:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a2 – 6ab + 9b2.
Giải :
Ta có : a2 – 6ab + 9b2 = a2 – 2.a .3b + (3b)2
= ( a – 3b)2 .
Nhận xét: Ở đây ta đã viết các hạng tử thứ nhất và thứ ba của đa thức dưới dạng
một lũy thừa để áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu .
Qua ví dụ này học sinh chú ý khi một đa thức có ba hạng tử, trong đó có hai hạng
tử được viết dưới dạng một lũy thừa thì ta nghĩ đến hằng đẳng thức bình phương
của một hiệu hoặc bình phương của một tổng.
Ví dụ 2:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – 9 .
Giải :
Ta có :
x2 – 9 = x2 – 32
= (x – 3)(x + 3).
Nhận xét: Để áp dụng được hằng đẳng thức thì hạng tử thứ hai của đa thức phải
được viết dưới dạng một lũy thừa 9 = 3 2.Khi đó hằng đẳng thức sử dụng là hiệu hai
bình phương.
Ví dụ 3:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x – y)2 – (y – t)2.
Giải:
Ta có:
(x – y)2 – (y – t)2 = [(x – y ) + (y – t )][(x – y ) – (y – t )]
= (x – y + y – t )(x – y – y + t)
= (x – t )(x – 2y + t).
Nhận xét: Từ ví dụ trên ta chú ý khi áp dụng hằng đẳng thức A 2 – B2 =(A + B)(A –
B) nếu B là một đa thức thì khi viết A – B ta phải dùng thêm dấu ngoặc để không
sai dấu.

b/ Bài tập tự luyện:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a, x2 – 4y2.
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
5


Trường THCS Đức Bác

Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính

b, (3x – y)2 – (x + 2y)2 .
c, 8x3 +12x2y + 6xy2 + y3.
Bài 2: Tính nhanh
a, 1052 – 25
b, 452 + 402 – 152 + 80.45.
Bài 3: Rút gọn biểu thức
a, ( 3x – 1)2 + 2(3x –1)(2x + 1) + (2x + 1)2
b, (6x + 1 )2 + (6x -1 )2 – 2(6x + 1 )( 6x - 1 )
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Một số bước giải và kết quả:
Bài 1 : a, x2 – 4y2 = x2 – (2y)2 = (x + 2y)(x – 2y).
b, (3x – y)2 – (x + 2y)2 = [(3x – y ) + (x + 2y)][(3x – y ) – (x + 2y)]
= (3x – y + x + 2y )(3x – y – x – 2y)
= (4x + y )(2x – 3y).
3
2
2
3
c, 8x +12x y + 6xy + y = (2x)3 + 3.(2x)2y + 3.2x.y2 + y3

= (2x + y)3 .
Bài 2:
a, 1052 – 25 = 1052 – 52 = (105 + 5)(105 – 5)
= 110.100
= 11000.
b, 452 + 402 – 152 + 80.45 = (452 + 2.40.45 + 402) – 152
= (45 + 40)2 – 152
= 852 – 152
= (85 + 15) (85– 15)
= 100.70
= 7000.
Bài 3:
a. (3x – 1)2 + 2(3x –1)(2x + 1) + (2x + 1)2 = [(3x –1) + (2x + 1)]2
= (3x – 1 + 2x + 1 )2
= (5x)2
= 25x2 .
b. (6x + 1 )2 + (6x -1 )2 – 2(6x + 1 )( 6x - 1 ) = [(6x + 1 ) – ( 6x - 1 )]2
= (6x + 1 – 6x + 1 )2
= 4.

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

6


Trường THCS Đức Bác

Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính

3. PHƯƠNG PHÁP NHĨM CÁC HẠNG TỬ :

a/ Các ví dụ:
Ví dụ 1:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x(x – 2) – x + 2.
Giải :
Ta có : 5x(x – 2) – x + 2 = 5x(x – 2) – (x – 2 )
= (x – 2) (5x – 1) .
Nhận xét : Với ba hạng tử của đa thức trên ta có thể nhóm hai hạng tử thứ hai và
thứ ba với nhau ta được nhân tử chung là x – 2.
Ví dụ 2:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – x – y2 – y .
Giải :
Ta có : x2 – x – y2 – y = (x2 – y2) – (x + y )
= (x + y ) (x – y) – (x + y )
= (x + y )(x – y – 1) .
Nhận xét: Hạng tử thứ nhất và thứ ba là dạng của hằng đẳng thức nên ta nhóm hai
hạng tử đó với nhau,vậy thì hai hạng tử cịn lại nhóm thành một nhóm.
Ví dụ 3:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – y2 + 6x + 9.
Giải:
Ta có: x2 – y2 + 6x + 9 = (x2 + 6x + 9) – y2
= (x + 3)2 – y2
= (x + 3 + y)(x + 3 – y) .
Nhận xét : Nếu ta cứ tiếp tục nhóm hai hạng tử thành một nhóm thì sẽ khơng phân
tích đa thức trên thành nhân tử được. Như vậy ta có thể nhóm ba hạng tử x 2 , 6x , 9
thành một nhóm để đưa về một hằng đẳng thức, tiếp tục sử dụng hằng đẳng thức
hiệu hai bình phương để ta phân tích.
Sau 3 ví dụ, giáo viên cho học sinh làm một số bài tập sau :
b/ Bài tập tự luyện :
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a.

x2 + 4x – y2 + 4.
b.
3x2 – 3xy – 5x + 5y.
c.
x3 – 2x2 + x – xy2 .
d.
x2 – 4 + (x – 2)2
Bài 2 : Làm tính chia
a.
(x2 – y2 + 6x + 9 ) : (x + y + 3)
b.
(x2 – 3x + xy – 3y ) : (x + y).
Bài 3 : Chứng minh x2 - 2xy + y2 + 1 > 0 với mọi số thực x và y.
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

7


Trường THCS Đức Bác

Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính

c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Các bước giải giáo viên mong đợi học sinh thực hiện được như sau:
Bài 1 : a. x2 + 4x – y2 + 4 = (x2 + 4x + 4) – y2
= (x + 2)2 – y2
= (x + 2 + y ) (x + 2 – y).
b. 3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 3xy) – (5x – 5y)
= 3x (x – y) – 5 (x – y)
= (x – y) (3x – 5) .

c.

x3 – 2x2 + x – xy2 = x(x2 - 2x + 1 – y2)
= x[(x2 - 2x + 1) – y2]
= x[(x – 1)2 – y2]
= x(x – 1 + y )(x – 1 – y).

d. x2 – 4 + (x – 2)2 = (x – 2)(x + 2) + (x + 2)
= (x + 2 ) (x – 2 + 1 )
= (x + 2 ) (x – 1).
Bài 2:
a. (x2 – y2 + 6x + 9 ) : (x + y + 3)
Ta có : x2 – y2 + 6x + 9 = (x2 + 6x + 9) – y2
= (x + 3)2 – y2
= (x + 3 + y )(x + 3 – y).
Do đó (x + 3 + y )(x + 3 – y) : (x + 3 + y ) = x + 3 – y .
x2 – 3x + xy – 3y = (x2 – 3x) + (xy – 3y)
= x (x – 3) + y(x – 3)
= (x – 3) (x + y) .
2
Do đó (x – 3x + xy – 3y) : (x + y) = x – 3 .
Bài 3 : Ta có : x2 - 2xy + y2 + 1 = (x2 - 2xy + y2) + 1
= (x – y)2 + 1
Vì (x – y)2 ≥ 0 với ∀ x, y ∈ R nên (x – y)2 + 1 > 0 với ∀ x, y ∈ R .
b.

Ta có:

Nhận xét :
Phương pháp nhóm các hạng tử là phương pháp mà học sinh sai sót và nhầm

lẫn như nhầm từ cách nhóm các hạng tử khơng hợp lý dẫn đến q trình phân
tích tiếp theo khơng thực hiện được hoặc khi nhóm các hạng tử với nhau mà có dấu
trừ thì hay sai dấu, vì vậy mà giáo viên cần chú ý rèn luyện kỹ năng vận dụng cách
nhóm cho học sinh .

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

8


Trường THCS Đức Bác

Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính

4.PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ KHÁC.
Chú ý :Ở phương pháp này có rất nhiều cách tách khác nhau, với tam thức bậc hai
ax2 + bx + c (a ≠ 0) có thể tách hạng tử có bậc cao nhất hoặc tách hạng tử tự do
nhưng thông thường ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho : b1 + b2 = b
b1 . b2 = a. c
Trong thực hành ta có thể làm như sau :
Bước 1: Tìm tích a.c
Bước 2: Phân tích a.c thành tích của hai số nguyên bằng mọi cách .
Bước 3 : Chọn 2 thừa số có tích bằng a.c nói trên mà có tổng bằng b .
- Đối với các đa thức bậc lớn hơn 2 ta dùng phương pháp nhẩm nghiệm
a/ Các ví dụ:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 -10x +16.
Giải: Ta có x2 -10x +16 = x2 – 2x – 8x + 16
= (x2 – 2x) – (8x – 16)
= x(x – 2 ) – 8(x - 2)
= (x – 2)(x – 8).

Nhận xét: Ở đây ta đã tách -10x thành -2x và -8x, sau đó dùng phương pháp nhóm
và đặt nhân tử chung.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 - x – 6.
Giải: Ta có x2 – x – 6 = x2 – 3x + 2x – 6
= (x2 – 3x )+ (2x – 6)
= x(x – 3) + 2(x – 3)
= (x – 3)(x + 2).
Nhận xét : Ở đây ta đã tách -x thành -3x và 2x, sau đó dùng phương pháp nhóm và
đặt nhân tử chung.
Ví dụ 3: Tìm x biết : x2 + 5x + 6 = 0
Để tìm được x trước hết ta đi phân tích đa thức x2 + 5x + 6 thành nhân tử .
Giải : Ta có x2 + 5x + 6 = x2 + 2x + 3x + 6
= (x2 + 2x )+ (3x + 6)
= x(x + 2) + 3(x + 2)
= (x + 2)(x + 3) .
2
⇔
Nên x + 5x + 6 = 0 (x + 2)(x + 3) = 0
⇔ x + 2 = 0 hoặc x + 3 = 0
+ x + 2 = 0 ⇔ x = -2 .
+ x + 3 = 0 ⇔ x = -3 .
Vậy x = -2; -3.
Nhận xét:
Đối với các ví dụ trên, ta có thể giải được nhiều cách, tuy nhiên ở đây các ví
dụ đều chỉ ra sử dụng phương pháp tách hạng tử bx dựa vào cách hướng dẫn ở
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
9


Trường THCS Đức Bác


Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính

trên để thực hành giải bài toán, nhằm giúp học sinh biết vận dụng phương pháp
tách, rèn luyện được kỹ năng sử dụng phương pháp nhóm và đặt nhân tử chung
,đặc biệt phải chú ý đến bước sử dụng phương pháp nhóm đó cũng chính là phối
hợp các phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử.
Sau khi giáo viên dạy học sinh thơng qua 3 ví dụ cụ thể của phương pháp
tách hạng tử, tiếp theo cho học sinh làm bài tập tự luyện như sau:
b/ Bài tập tự luyện :
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 16x – 5x2– 3.
b. x2 – 7x + 12 .
c. 2x2 + 3x – 5
d. 4x2 – 3x – 1
Bài 2: Chứng minh rằng
a. x(x – 6) + 10 > 0
b. -x2 - x - 1 < 0
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
A = x2 – 6x + 11
B = 2x2 + 10x – 1
C = 5x – x2
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Các lời giải ngắn gọn yêu cầu học sinh thực hiện được:
Bài 1 : a. – 5x2 +16x – 3 = -5x2 + 15x + x – 3
= (-5x2 + 15x) + (x – 3)
= -5x(x – 3) + (x – 3)
= (x – 3) (-5x + 1).
2
b. x – 7x + 12 = x2 – 3x – 4x + 12

= (x2 – 3x) – (4x – 12)
= x(x – 3) – 4(x – 3)
= (x – 3 )(x – 4 ).
2
c. 2x + 3x – 5 = 2x2 + 5x – 2x – 5
= (2x2 + 5x )– (2x + 5)
= x(2x + 5) – (2x + 5)
= (2x + 5) (x – 1).
d. 4x2 – 3x – 1 = 4x2 – 4x + x – 1
= (4x2 – 4x)+( x – 1)
= 4x(x – 1) + (x – 1)
= (x – 1)(4x + 1).

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

10


Trường THCS Đức Bác

Bài 2: a. Ta có

b. Ta có

Bài 3 :

a.

Vậy Amin
b.


Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính

x(x – 6) + 10 = x2 – 6x + 10
= x2 – 2. x .3 + 32+ 1
= (x – 3)2 + 1 > 0 ∀ x.
1
1
3
+( )2 + ]
2
2
4
1 2 3
= – [(x + ) + ] < 0 .
2
4

-x2 - x - 1 = -[( x2 + 2.x.

Ta có : A = x2 – 6x + 11 = x2 – 2 .x .3 + 32+ 2
= (x – 3)2 + 2 ≥ 2 .
= 2 tại x = 3.
5 25
25
+
–
) –1
2
4

4
5
25
= 2(x + )2 –
–1.
2
2
27
5
27
∀ x.
=–
+ 2(x + )2 ≥ –
2
2
2

B = 2x2 + 10x – 1 = 2(x2+ 5x ) – 1 = 2(x2 + 2.x .

Vậy Bmin = –

27
5
tại x = - .
2
2

c. C = 5x – x2 = - [x2 – 2.x.
=
Vậy Cmax =


5
5
25
+ ( )2]+
2
2
4

25
5
25
– (x – )2 ≤
4
2
4

25
5
tại x = .
4
2

MỘT SỐ BÀI TỐN CĨ THỂ GIẢI ĐƯỢC NHIỀU CÁCH
HOẶC TRONG MỘT CÁCH CÓ PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x2 + 6xy + 3y2– 3z2.
Giải :
Ta có 3x2 + 6xy + 3y2– 3z2 = 3(x2 + 2xy + y2– z2) (Đặt nhhân tử chung )
= 3 [( x2 + 2xy +y2) – z2] (Nhóm)
= 3[(x + y)2– z2]

( Dùng hằng đẳng thức )
= 3(x + y + z)(x + y– z).
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 -10x +16.
Giải :
Cách 1: Ta có x2 -10x +16 = x2 – 2x – 8x + 16
(Tách -10x thành -2x và -8x)
2
= (x – 2x) – (8x – 16)
= x(x – 2 ) – 8(x - 2)
= (x – 2)(x – 8).
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

11


Trường THCS Đức Bác

Giáo viên : Nguyễn Xn Chính

Ta có x2 -10x +16 = x2 – 4 – 10x + 20
(Tách 16 thành -4 và 20 )
2
= (x – 4) – (10x – 20)
= (x – 2) (x + 2) – 10 (x – 2)
= (x – 2) (x + 2 – 10)
= (x – 2) (x – 8).
2
Cách 3: Ta có x -10x +16 = x2 – 4x + 4 – 6x + 12 (Tách -10x thành -4x và
-6x ;16 thành 4 và 12)
= (x2 – 4x + 4) – (6x – 12)

= (x – 2)2 – 6(x – 2)
= (x – 2) (x – 2 – 6)
= (x – 2) (x – 8 ).
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x2 – 3x – 1.
Giải :
Cách1:
4x2 – 3x – 1 = 3x2– 3x + x2 – 1
(Tách 4x2 thành3x2 và x2 )
= 3x(x – 1) + (x +1)(x– 1)
= (x – 1)(3x + x +1)
= (x – 1)(4x + 1).
Cách 2:

Cách 2 :

4x2 – 3x – 1 = 4x2 – 4x + x – 1
(Tách -3x thành -4x và x)
2
= (4x – 4x) + ( x – 1)
= 4x(x – 1) + (x – 1)
= (x – 1)(4x + 1).

Cách 3 :

4x2 – 3x – 1 = 4x2– 4 – 3x + 3
(Tách -1 thành -4 và 3)
2
= 4(x – 1) – 3( x –1)
= 4(x – 1)(x + 1) – (x – 1)
= (x – 1)(4x + 1).


Nhận xét :
Một bài toán có thể có nhiều lời giải khác nhau nhưng cuối cùng đều có
chung một kết quả. Như vậy trong các tiết luyện tập, giáo viên có thể cho học sinh
giải một số bài tập ở các dạng khác nhau, sử dụng các phương pháp khác nhau,
sau đó nhận xét và so sánh, lời giải nào hay và ngắn gọn.
Giáo viên cho học sinh làm một số bài tập sau :
b/ Bài tập tự luyện :
Bài 1 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a.
x3 – 2x2y + xy2 – 9x
b. 2x – 2y – x2 + 2xy – y2
c. x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y
Bài 2 : Tìm x biết
a. 7x – 6x2 – 2 = 0
c. 2x2 + 3x – 5 = 0
b. 16x – 5x2 – 3 = 0
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
12


Trường THCS Đức Bác

Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính

5. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT BIẾN SỐ PHỤ
Phân tích đa thức thành nhân tử đôi khi ta phải dùng biến phụ để cho việc phân
tích được đơn giản hơn .
a/ Các ví du:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) +128
Giải :
Ta có A = x(x +10)(x + 4)(x + 6) +128
= (x2 + 10x )(x2 + 10x + 24) +128
Đặt x2 + 10x + 12 = y. Khi đó đa thức đã cho trở thành :
(y – 12)(y +12) +128 = y2 -144 +128 = y2 - 16
= (y - 4)(y + 4)
= (x2 + 10x + 8)(x2 + 10x + 16).
Nhận xét : Ở đây ta đã dùng biến phụ là y = x2 + 10x + 12 . Như vậy khi dùng
biến phụ để phân tích đa thức thành nhân tử thì sau khi phân tích xong ta phải đổi
về biến cũ.
* Ta có bài tốn tổng qt sau :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x + a) (x + b )(x + c)(x + d) + m .
- Đối với bài toán này thường dùng phương pháp đặt biến số phụ chú ý :
+ Khi a + b = c + d thì ta ghép [(x + a)(x + b)] ; [(x + c )(x + d)]
và đặt y = x2 + (a + b)x +

ab + cd
.
2

+ Khi a + c = b + d thì ta ghép [(x + a)(x + c)] ; [(x + b)(x + d)]
và đặt y = x2 + (a + c)x +

ac + bd
.
2

+ Khi a + d = b + c thì ta ghép [(x + a)(x + d)] ; [(x + b)(x + c)]

Và đặt y = x2 + (a + d)x +

ad + bc
.
2

Áp dụng bài toán tổng quát giáo viên cho học sinh làm ví dụ sau :
Ví dụ 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
x(x – 1)(x + 1)(x + 2) – 24
Giải : Ta có A = [x(x + 1)][(x – 1)(x + 2)] – 24 (Do 0 + 1 = -1+ 2)
= (x2 + x )(x2 + x – 2) – 24
Đặt x2 + x – 1 = y. Đa thức đã cho có dạng :
(y +1) (y – 1) – 24 = y2 – 1 – 24 = y2– 25
= (y – 5)(y + 5)
= (x2 + x + 1 – 5)(x2 + x + 1 + 5).
= (x2 + x – 4)( x2 + x + 6)
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

13


Trường THCS Đức Bác

Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính

b/ Bài tập tự luyện :
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. (x + 2) (x – 2)( x2 – 10) – 72
b. (x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72
c. (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3

Bài 2 : Giải phương trình
(6x + 7 )2(3x + 4) ( x + 1) = 6
Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của
A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Các bước giải và kết quả cần hướng dẫn cho học sinh:
Bài 1:
a. Ta có : (x + 2) (x – 2)( x2 – 10) – 72 = (x2 – 4)( x2 – 10) – 72
Đặt x2 – 7 = y, đa thức trên trở thành :
(y – 3)( y + 3) – 72 = y2 – 9 – 72
= y2 – 81
= (y – 9 )(y + 9)
2
Vậy (x + 2) (x – 2)( x – 10) – 72 = (x2 – 7 + 9) (x2 – 7 – 9)
= (x2 + 2 ) (x2 – 16)
= (x2 + 2) (x + 4) (x – 4) .
b. (x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72 = [(x – 7) (x – 2)][ (x – 5) (x – 4) ] - 72
= (x2 – 9x + 14)( x2 – 9x + 20) - 72
Đặt x2 – 9x + 17 = y . Đa thức trở thành (y – 3)(y + 3) – 72
Làm tương tự như câu a ta được kết quả như sau:
(x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72 = (x2 – 9x + 26)( x2 – 9x + 8).
= (x2 – 9x + 26)(x – 8) (x – 1).
c. Đặt a – b = x ; b – c = y; c – a = z suy ra x + y + z = 0 hay z = -(x + y).
Từ đó đa thức có dạng :
x3 + y3 + z3 = x3 + y3 – (x + y)3 = (x + y)(x2 – xy + y2) – (x + y)(x2 + 2xy + y2)
= (x + y)[(x2 – xy + y2) – (x2 + 2xy + y2)
= (x + y)(x2 –xy + y2 – x2 – 2xy – y2 )
= -3xy(x + y)
= 3xyz.
Vậy B = 3(a – b)(b – c)(c – a).

Qua bài trên ta suy ra : Nếu có X + Y + Z = 0 ta ln có X3 + Y3 + Z3 = 3XYZ
Bài 2 : Giải phương trình
(6x + 7 )2(3x + 4) ( x + 1) = 6
 (6x + 7 )2(3x + 4) ( x + 1) . 12 = 6 .12
 (6x + 7 )2(6x + 8) ( 6x + 6) = 72
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
14


Trường THCS Đức Bác

Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính

Đặt 6x + 7 = y, phương trình trở thành y2(y + 1)( y – 1) = 72
 y4 – y2 – 72 = 0
 y4 – 9y2 + 8y – 72 = 0
 y2(y2 – 9) + 8(y2 – 9) = 0
 (y2 – 9)(y2 + 8) = 0  y = -3 hoặc y = 3 .
−5
.
3
−2
Với y = 3 ⇒ x = .
3

Với y = -3 ⇒ x =

Vậy phương trình có nghiệm là
Bài 3 :


−5
−2
và
.
3
3

Ta có :
A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
= [(x – 1)(x + 6)][( x + 2)(x + 3)]
= (x2 + 5x – 6)( x2 + 5x + 6)

Đặt x2 + 5x = y khi đó A = y2 – 36 ≥ -36
Amin = -36 ⇒ x2 + 5x = 0 ⇔ x = 0 , x = -5.
6. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH
Mệnh đề : Nếu hai đa thức A và B bằng nhau thì các hạng tử cùng bậc của hai đa
thức đó phải có hệ số bằng nhau .
a/ Các ví dụ:
Ví dụ 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
2x3 – 5x2 + 8x – 3
Giải : Ta có 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = 2x3 – x2 – 4 x2+ 2x + 6x – 3
= (2x3 – x2) – (4 x2– 2x) + (6x – 3)
= x2(2x – 1) – 2x(2x – 1) + 3(2x – 1)
= (2x – 1) (x2– 2x+ 3).
Nhận xét : Đa thức bậc ba ở ví dụ 1 phân tích được thành tích của một nhị thức bậc
nhất và một tam thức bậc hai, do đó ta cịn có cách giải tổng qt hơn như sau :
Với đa thức bậc 3 : a1x3 + b1x2 + c1x + d1 (a1 ≠ 0) ta luôn phân tích được thành tích
của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai như sau :
a1x3 + b1x2 + c1x + d1 = (ax + b ) (cx2 + dx + m). (*)
 a1x3 + b1x2 + c1x + d1 = cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm


Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

15


Trường THCS Đức Bác

Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính

ac = a1
ad + bc = b

1
Đồng nhất các hệ số với nhau ta được: 
am + bd = c1

bm = d1

Giải ra ta tìm được các giá trị a, b, c, d, m, thay vào vế phải của (*) ta có kết quả
cần tìm.(Ta có thể chọn các giá trị sao cho thỏa mãn bài toán)
Ap dụng : Bài toán ở ví dụ 1 ta có cách giải khác như sau :
Ta có 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = (ax + b ) (cx2 + dx + m)
 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm
Đồng nhất thức ta có : ac = 2, ad + bc = -5, am + bd = 8, bm = -3.
Giả thiết rằng a > 0 (nếu a < 0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử ) do đó a = 2 hoặc a = 1.
Xét a = 2 ⇒ c = 1, 2d +b = -5 , 2m + bd = 8 , bm = -3 , b có thể bằng ± 1; ± 3.
Xét b = -1 thì m = 3 , d = -2 thỏa mãn các điều kiện trên .
Vậy a = 2, c = 1, b = -1, m = 3, d = -2 ta có :
2x3 – 5x2 + 8x – 3 = (2x – 1)(x2 – 2x + 3).

Ví dụ2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
x3+ 3x2 + 3x + 2
Giải:
Đặt x3 + 3x2 + 3x + 2 = (ax + b ) (cx2 + dx + m)
 x3 + 3x2 + 3x + 2 = cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm
 ac = 1
 ad + bc = 3

Đồng nhất thức ta có: 
 am + bd = 3
bm = 2

Giả thiết rằng a > 0 (nếu a < 0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử ) do đó a = 1.
Xét a = 1 ⇒ c = 1, d + b = 3 , m + bd = 3 , bm = 2 , b có thể bằng ± 1 ; ± 2
Xét b = 2 thì m =1, d = 1 thỏa mãn các điều kiện trên .
Vậy a =1, c = 1, b = 2, m = 1, d = 1 ta có :
x3 + 3x2 + 3x + 2 = (x + 2)(x2 + x + 1).
Nhận xét:
Khi sử dụng phương pháp hệ số bất định dựa vào mối quan hệ của các hệ số
để ta đưa ra các giá trị tương ứng của a,c từ đó ta tìm các giá trị tiếp theo của các
hệ số còn lại .
b/ Bài tập tự luyện :
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp dùng hệ số bất
định
a. 2x3 – 12x2 + 17x – 2
b. 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1.
Bài 2 : Tìm số nguyên a sao cho đa thức (x + a)(x – 5) + 2 phân tích được thành
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

16



Trường THCS Đức Bác

Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính

(x + b)(x + c) với b, c là các số nguyên .
Bài 3: Tìm số nguyên m sao cho đa thức (x + m)(x + 5) + 3 phân tích được thành
(x + a)(x + b) với a, b là các số nguyên.
c/ Hướng dẫn giải bài tập tự luyện:
Các lời giải mong đợi học sinh trình bày được:
Bài 1 :
a. Đồng nhất đa thức này với đa thức cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm
ta được : ac = 2, ad + bc = -12, am + bd = 17, bm = -2 .
Giả thiết rằng a > 0 (nếu a < 0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử ) do đó a = 1 hoặc a = 2
Xét a = 1 ⇒ c = 2, d + 2b = -12 , m + bd = 17, bm = -2, b có thể bằng ± 1 ; ± 2
Xét b = -2 thì m = 1, d = -8, thỏa mãn các điều kiện trên .
Vậy a = 1, b = -2,c = 2, d = -8, m = 1.
2x3 – 12x2 + 17x – 2 = (x – 2)(2x2 – 8x + 1).
Đa thức 3x2 – 22xy– 4x + 8y + 7y2 + 1 phân tích được thành nhân tử có dạng
(3x + ay + b)(x + cy + d).
Phép nhân này cho ta kết quả 3x2 + (3c + a)xy + (3d +b)x + (ad + cb)y + acy2 + bd.
Đồng nhất đa thức với đa thức 3x2 –22xy– 4x + 8y + 7y2 + 1 ta được :
3c + a = -22; 3d + b = -4 ; ad + cb = 8; ac = 7; bd = 1.
Từ bd = 1 và 3d + b = -4 nên b = d = -1. ac = 7 mà a + c = -8 nên c = -7, a = -1.
Thỏa mãn 3c + a = -22.
Vậy a = b = d = -1; c = -7.
Nên 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1 = (3x - y - 1)(x - 7y - 1).
Bài 2 :
Với mọi x ta có (x + a)(x – 5) + 2 = (x + b)(x + c) (1)

Khi x = 5 thì 2 = (5 + b)(5 + c).
Vì b, c là nguyên nên (5 + b)(5 + c) là tích của hai số nguyên .Số 2 chỉ viết dưới
dạng tích của hai số nguyên bằng hai cách 1.2 hoặc (-1).(-2)
b.

Giả sử b ≤ c ta xét hai trường hợp :
*

5 + b = 1 b = −4
⇒

5 + c = 2 c = −3

Thay vào (1) ta dược (x + a)(x – 5) + 2 = (x – 3)(x – 4) với ∀x .
Với x = 4 thì a = -2. Vậy đa thức được phân tích thành (x – 2)(x – 5) + 2 = (x – 4)(x
– 3).
*

5 + b = −2 b = −7
⇒

5 + c = −1 c = −6

Thay vào (1) ta được (x + a)(x – 5) + 2 = (x – 7)(x – 6) với ∀x .
Với x = 6 thì a = -8. Vậy đa thức được phân tích thành (x – 8)(x – 5) + 2 = (x – 7)(x
– 6).
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

17



Trường THCS Đức Bác

Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính

Bài 3:
Bài này giáo viên yêu cầu học sinh tự giải.
Kết quả: (x + 9)(x + 5) + 3 = (x + 8)(x + 6) với m = 9.
(x +1)(x + 5) + 3 = (x + 2)(x + 4) với m = 1.
C/ MỘT SỐ SAI SÓT CỦA HỌC SINH VÀ HƯỚNG KHẮC PHỤC:
Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy một số học sinh tiếp thu khá dễ dàng các
nội dung trên, nhờ cụ thể hóa các phương pháp nên học sinh biết cách vận dụng vào
giải bài tập.
Tuy nhiên, cũng cịn một số học sinh vẫn cịn sai xót, làm bài thiếu chính xác
và cần phải khắc phục, chẳng hạn như: chưa biết đặt nhân tử chung, khi nhóm các
số hạng với nhau còn hay sai dấu …
Sau đây là ví dụ minh họa:
Bài giải của học sinh

Những sai sót
và cách khắc phục

Bài giải đúng

Bài tốn 1: Phân tích đa
thức 3x2 – 6x thành nhân tử
Học sinh 1 :
Thiếu sót :
2
2

Ta có: 3x – 6x = 3(x – x )
Học sinh 2 :
Cả hai học sinh đặt được nhân
2
Ta có: 3x – 6x = x(3x – 6 ) tử chung tuy nhiên vẫn cịn
thiếu.
Ta có: 3x2 – 6x = 3x(x - 2)
Cụ thể :Ở học sinh 1thiếu nhân
tử x
Ở học sinh 2 thiếu nhân tử 3.
Khắc phục :
Nhắc lai cách tìm nhân tử
chung.
Bài tốn 2: Phân tích đa
thức x2 – y2 + 4x + 4 thành
nhân tử
Giải:
Học sinh 1 :
Sai sót :
Ta có :
x2 – y2 + 4x + 4 = (x2 – y2) Cả 2 học sinh sử dụng cách
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

18


Trường THCS Đức Bác

+ (4x + 4) = (x + y) (x – y )
+ 4(x + 1).

Học sinh 2 :
Ta có :
x2 – y2 + 4x + 4 = (x2 + 4x)
+ (4 – y2) = x (x + 4) + (2 –
y) (2 + y) .

Bài toán 2: Phân tích các
đa thức sau thành nhân tử.
a. x2 – 9y2
a.
b. (x – y )2
– (2y – z)2
Giải:
Học sinh 1 :
Ta có :
x2 – 9y2 = (x + 9y)( x – 9y).
Học sinh 2 :
Ta có :
(x – y )2 – (2y – z)2 = (x – y
+ 2y – z)(x – y – 2y – z )
= (x + y – z)(x – 3y – z ).

Giáo viên : Nguyễn Xn Chính

nhóm khơng hợp lý, nên bước
tiếp theo khơng thể đi phân tích
được nữa.
Khắc phục :

Ta có : x2 – y2 + 4x + 4

=(x2 + 4x + 4) – y2
= (x – 2)2 – y 2
= (x – 2 + y)(x – 2 – y ).

Gv cần lưu ý cho hs nhóm các
hạng tử thích hợp đó là :
+ Mỗi nhóm đều có thể phân
tích được .
+ Sau khi phân tích đa thức
thành nhân tử ở mỗi nhóm thì
q trình phân tích phải tiếp tục
được .
Sai sót :

Học sinh 1, 2 có lời giải sai, 2
học sinh đã định hướng được
hằng đẳng thức nhưng áp dụng Ta có : x2 – 9y2
chưa được .
= x2 – (3y)2
= (x + 3y )(x – 3y ).
Khắc phục:
Ta có :
2
* Chú ý 9y chưa được viết (x – y )2– (2y – z)2
dưới dạng một lũy thừa, 9y2 ≠ = [(x – y) +( 2y – z)][(x –
(9y)2 .
y) – (2y –z)]
* Khi hạng tử B trong hằng = (x – y + 2y – z)(x – y –
đẳng thức là một đa thức thì 2y + z )
khi viết

=(x + y – z )(x - y + z).
A – B ta phải dùng thêm dấu
ngoặc.
* Trong quá trình giảng dạy, sẽ xuất hiện những trường hợp học sinh mắc phải
sai lầm, tuỳ theo đối tượng mà giáo viên chấn chỉnh, uốn nắn hoặc có những biện
pháp, phương pháp phù hợp với mục đích các em học sinh hiểu bài và biết cách
vận dụng giải bài tập.

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

19


Trường THCS Đức Bác

Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính

PHẦN III
KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM
1) Kết quả:
 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (trên đây chỉ là
một trong những phương pháp mà học sinh hay sử dụng )là một trong những
chủ đề toán rất hay, khi nghiên cứu sâu thấy rất là thú vị, nó áp dụng được trong
giải tốn phương trình, vận dụng tìm giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhỏ nhất của các
biểu thức đại số, tuy nhiên việc sử dụng Máy tính bỏ túi Casio f(x)-570MS để
phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng tìm nghiệm của phương trình cũng
là nội dung có nhiều điểm mới, cuốn hút đối vơi học sinh trung học cơ sở .
 Qua giảng dạy một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân
tử, học sinh nắm vững và vận dụng được các cách giải góp phần nâng cao hiệu
quả giảng dạy của giáo viên và rèn học sinh khả năng tư duy toán, độ linh hoạt,

sáng tạo và kỹ năng thực hành của học sinh.
 Sau khi đề tài này đưa vào áp dụng dạy các tiết luyện tập, ôn tập
chương, ôn tập cuối năm học và ôn luyện học sinh giỏi vòng trường tham gia thi
vòng thị kết qua học sinh đạt được như sau:
Năm học
HSG giải toán trên máy
HSG HSG giải tốn 8
tính Casio
(Số đạt giải/số tham dự)
(Số đạt giải/số tham
dự)
2013-2014
8/8
7/8
2014-2015
4/5
5/5
2015-2016

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

20


Trường THCS Đức Bác

Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính

2) Bài học kinh nghiệm:
- Thường xuyên nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo.

- Sàng lọc các nội dung hay, tâm đắc và biên soạn thành tài liệu riêng cho bản
thân.
- Luôn luôn trao đổi học hỏi đồng nghiệp, lựa chọn phương án giảng dạy hiệu
quả nhất.
- Động viên, khuyến khích học sinh cố gắng học tập và tăng cường thời gian
luyện tập thực hành.
- Khi tổ chức thực hiện, giáo viên phải quyết tâm, tác phong chuẩn mực, lập
thời gian biểu và bám sát nội dung thực hiện.
- Sau nội dung giảng dạy, phải tổ chức kiểm tra đánh giá học sinh.
3) Lời kết:
 Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên đề tài cũng không tránh
khỏi những thiếu sót và hạn chế, rất mong Hội đồng khoa học góp ý xây dựng để
đề tài của tơi được hoàn thiện hơn.
Đức Bác, ngày 26 tháng 10 năm 2015
Người viết

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

21


Trường THCS Đức Bác

Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính

Tài liệu tham khảo

1. Sách giáo khoa và sách bài tập toán 8 (Nhà xuất bản GD).
2. Nâng cao và phát triển tốn 8 (Tập 1, 2).
Tác giả: Vũ Hữu Bình

3. Tốn bồi dưỡng học sinh lớp 8.
Tác giả: Vũ Hữu Bình

NXBGD.
NXB Hà Nội .

Nhận xét của hội đồng khoa học:
Nhận xét của Tổ KHTN:
………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………
Nhận xét của Nhà trường:
………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..

………………..………………………………………………………………………
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
22


Trường THCS Đức Bác

Giáo viên : Nguyễn Xuân Chính

………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………
Nhận xét của Phòng giáo dục- đào tạo Huyện:
………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
………………..………………………………………………………………………
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

23