<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

50

D

ẠNG

TO

ÁN

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

LẦN

1

<b>DẠNG</b>

<b>34.</b>

<b>PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG LIÊN QUAN</b>

<b>ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG</b>

<b>1</b>

<b>KIẾN THỨC CẦN NHỚ</b>

Đường thẳng

d : x − x0

a =

y − y0

b =

z − z0

c

có

1

véc-tơ chỉ phương là

#»_u

d = (a; b; c)

và một điểm

M (xo; yo; zo) ∈ d

.

Cho mặt phẳng

(P )

có phương trình

Ax + By + Cz + D = 0

có một véc-tơ pháp tuyến

#»

n = (A; B; C)

.

Cho mặt phẳng

(P )

vng góc với đường thẳng

∆

có một véc-tơ chỉ phương

#»u_(∆)

P

∆

#»
n_{(P )}

#»
u_(∆)

Khi đó mặt phẳng

(P )

nhận

#»u_(∆)

làm véc-tơ pháp tuyến

#»n_{(P )} = #»u_(∆)

.

Nếu có hai véc-tơ

#»a ,#»b

khơng cùng phương và có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng

(P )

thì ta có một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng

(P )

là

#»n =

ỵ

#»a ,#»b

ó

.

<b>2</b>

<b>BÀI TẬP MẪU</b>

Ví dụ 1. Trong không gian

Oxyz

, mặt phẳng đi qua điểm

M (1; 1; −1)

và vng góc với đường

thẳng

∆ : x + 1

2 =
y − 2

2 =
z − 1

1

có phương trình là

A

2x + 2y + z + 3 = 0

.

B

x − 2y − z = 0

.

C

2x + 2y + z − 3 = 0

.

D

x − 2y − z − 2 = 0

.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Nhóm:

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TỐN: Đây là dạng viết phương trình mặt phẳng.

2. HƯỚNG GIẢI:

B1: Xác định

1

véc-tơ chỉ phương

#»u_(∆)

của đường thẳng

∆

.

B2:

(P ) ⊥ ∆

nên mặt phẳng

(P )

nhận

#»u_(∆)

làm véc-tơ pháp tuyến:

#»n_{(P )} = #»u_(∆)

.

B3: Viết phương trình mặt phẳng

(P )

.

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

<b>LỜI GIẢI CHI TIẾT</b>

Đường thẳng

∆ : x + 1

2 =
y − 2

2 =
z − 1

1

có 1 véc-tơ chỉ phương là

#»_u

(∆) = (2; 2; 1)

.

(P ) ⊥ ∆

nên mặt phẳng

(P )

nhận

#»u_(∆)

làm véc-tơ pháp tuyến:

#»n_{(P )} = #»u_(∆) = (2; 2; 1)

.

Phương trình mặt phẳng

(P )

đi qua điểm

M (1; 1; −1)

và vng góc với đường thẳng

∆

là

(P ) : 2(x − 1) + 2(y − 1) + 1(z + 1) = 0 ⇔ 2x + 2y + z − 3 = 0.

Chọn phương án

C

<b>3</b>

<b>BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN</b>

Câu 1.

Trong không gian với hệ toạ độ

Oxyz

, cho hai điểm

A(0; 1; 1)

và

B(1; 3; 2)

. Viết phương

trình của mặt phẳng

(P )

đi qua

A

và vng góc với đường thẳng

AB

.

A

x + 2y + z − 9 = 0

.

B

x + 2y + z − 3 = 0

.

C

x + 4y + 3z − 7 = 0

.

D

y + z − 2 = 0

.

Lời giải.

Ta có

AB = (1; 2; 1)# »

.

Mặt phẳng

(P )

đi qua

A

và vuông góc với đường thẳng

AB

nên nhận véc-tơ

AB = (1; 2; 1)# »

làm

véc-tơ pháp tuyến. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

(P )

là:

(x − 0) + 2(y − 1 + (z − 1) = 0 ⇔ x + 2y + z − 3 = 0.

Chọn phương án

B

Câu 2.

Trong không gian với hệ trục

Oxyz

, cho

A(1; 0; −3)

,

B(3; 2; 1)

. Mặt phẳng trung trực đoạn

AB

có phương trình là

A

x + y + 2z − 1 = 0

.

B

2x + y − z + 1 = 0

.

C

x + y + 2z + 1 = 0

.

D

2x + y − z − 1 = 0

.

Lời giải.

Trung điểm của đoạn

AB

là

I(2; 1; −1)

. Mặt phẳng trung trực đoạn

AB

chứa

I

và có véc-tơ pháp

tuyến là

AB = (2; 2; 4)# »

có phương trình

2(x − 2) + 2(y − 1) + 4(z + 1) = 0 ⇔ x + y + 2z − 1 = 0

.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ

T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1

Câu 3.

Trong không gian

Oxyz

, mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau

x − 1
−2 =

y + 2
1 =

z − 4
3

và

x + 1

1 =

y
−1 =

z + 2

3

có phương trình là

A

−2x − y + 9z − 36 = 0

.

B

2x − y − z = 0

.

C

6x + 9y + z + 8 = 0

.

D

6x + 9y + z − 8 = 0

.

Lời giải.

Đường thẳng

d1:

x − 1
−2 =

y + 2
1 =

z − 4

3

đi qua điểm

M (1; −2; 4)

, có một VTCP là

#»_u

1 = (−2; 1; 3)

.

Đường thẳng

d2:

x + 1
1 =

y
−1 =

z + 2

3

có một VTCP là

#»

u2= (1; −1; 3)

.

Mặt phẳng

(P )

chứa hai đường thẳng cắt nhau

d1, d2 ⇒ (P )

qua điểm

M (1; −2; 4)

, có một VTPT là

#»

n = [ #»u1, #»u2] = (6; 9; 1)

. Phương trình mặt phẳng

(P )

là

(P ) : 6(x − 1) + 9(y + 2) + (z − 4) = 0 ⇔ 6x + 9y + z + 8 = 0.

Chọn phương án

C

Câu 4.

Trong không gian

Oxyz

, mặt phẳng chứa trục

Oz

và vng góc với mặt phẳng

(α) : x −
y + 2z − 1 = 0

có phương trình là

A

x + y = 0

.

B

x + 2y = 0

.

C

x − y = 0

.

D

x + y − 1 = 0

.

Lời giải.

Mặt phẳng

(α) : x − y + 2z − 1 = 0

có véc-tơ pháp tuyến

#»nα= (1; −1; 2)

.

Trên trục

Oz

có véc-tơ đơn vị

#»k = (0; 0; 1)

.

Mặt phẳng chứa trục

Oz

và vng góc với mặt phẳng

(α)

là mặt phẳng qua

O

và nhận

ỵ

#»nα;#»k

ó

=
(−1; −1; 0)

làm véc-tơ pháp tuyến. Do đó có phương trình

−x − y = 0 ⇔ x + y = 0

.

Chọn phương án

A

Câu 5.

Trong không gian với hệ trục

Oxyz

, cho đường thẳng

d

:

x − 1
2 =

y
1 =

z + 1

3

và mặt phẳng

(Q) : 2x + y − z = 0

. Mặt phẳng

(P )

chứa đường thẳng

d

và vng góc với mặt phẳng

(Q)

có phương

trình là

A

−x + 2y − 1 = 0

.

B

x − y + z = 0

.

C

x − 2y − 1 = 0

.

D

x + 2y + z = 0

.

Lời giải.

VTCP của

d

là

#»u = (2; 1; 3)

, VTPT của

(Q)

là

#»n = (2; 1; −1)

.

Mặt phẳng

(P )

nhận VTPT là

#»v = [ #»u , #»n ] = (−4; 8; 0) = −4(1; −2; 0)

.

và

(P )

đi qua điểm

A(1; 0; −1)

nên có phương trình tổng quát là

x − 2y − 1 = 0

.

Chọn phương án

C

Câu 6.

Trong không gian với hệ toạ độ

Oxyz

, cho đường thẳng thẳng

d : x + 1
2 =

y

1 =

z − 2

1

. Viết

phương trình mặt phẳng

(P )

chứa đường thẳng

d

song song với trục

Ox

.

A

(P ) : y − z + 2 = 0

.

B

(P ) : x − 2y + 1 = 0

.

C

(P ) : x − 2z + 5 = 0

.

D

(P ) : y + z − 1 = 0

.

Lời giải.

Đường thẳng

d

đi qua điểm

M (−1; 0; 2)

và có véc-tơ chỉ phương

#»u (2; 1; 1)

; trục

Ox

có véc-tơ đơn vị

#»

i (1; 0; 0)

.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Nhóm:

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

pháp tuyến

#»n =



#»u , #»i



= (0; 1; −1)

.

⇒

Phương trình của

(P )

là

y − z + 2 = 0

Chọn phương án

A

Câu 7.

Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, mặt phẳng chứa hai điểm

A(1; 0; 1)

,

B(−1; 2; 2)

và

song song với trục

Ox

có phương trình là

A

y − 2z + 2 = 0

.

B

x + 2z − 3 = 0

.

C

2y − z + 1 = 0

.

D

x + y − z = 0

.

Lời giải.

Gọi

(P )

là mặt phẳng cần tìm.

Do

(P ) k Ox

nên

(P ) : by + cz + d = 0

.

Do

(P )

chứa các điểm

A(1; 0; 1)

,

B(−1; 2; 2)

nên

®

c + d = 0

2b + 2c + d = 0 ⇒ 2b + c = 0

.

Ta chọn

b = 1 ⇒ c = −2

. Khi đó

d = 2

.

Vậy phương trình

(P ) : y − 2z + 2 = 0

.

Chọn phương án

A

Câu 8.

Trong không gian

Oxyz

, cho hai đường thẳng chéo nhau

d1:
x − 2

2 =

y − 6
−2 =

z + 2
1

và

d2:

x − 4

1 =

y + 1
3 =

z + 2

−2

. Phương trình mặt phẳng

(P )

chứa

d1

và

(P )

song song với đường thẳng

d2

là

A

(P ) : x + 5y + 8z − 16 = 0

.

B

(P ) : x + 5y + 8z + 16 = 0

.

C

(P ) : x + 4y + 6z − 12 = 0

.

D

(P ) : 2x + y − 6 = 0

.

Lời giải.

Đường thẳng

d1

đi qua

A(2; 6; −2)

và có một véc-tơ chỉ phương

#»u1= (2; −2; 1)

.

Đường thẳng

d2

có một véc-tơ chỉ phương

#»u2 = (1; 3; −2)

.

Gọi

#»n

là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng

(P )

. Do mặt phẳng

(P )

chứa

d1

và

(P )

song song

với đường thẳng

d2

nên

#»n = [ #»u1, #»u2] = (1; 5; 8)

.

Vậy phương trình của mặt phẳng

(P )

đi qua

A(2; 6; −2)

và có một véc-tơ pháp tuyến

#»n = (1; 5; 8)

là

x + 5y + 8z − 16 = 0.

Chọn phương án

A

Câu 9.

Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, viết phương trình mặt phẳng

(P )

chứa trục

Oz

và

điểm

M (1; 2; 1)

.

A

(P ) : y − 2z = 0

.

B

(P ) : 2x − y = 0

.

C

(P ) : x − z = 0

.

D

(P ) : x − 2y = 0

.

Lời giải.

Trục

Oz

có véc-tơ chỉ phương

#»k = (0; 0; 1)

và

OM = (1; 2; 1)# »

.

Vì mặt phẳng

(P )

chứa trục

Oz

và điểm

M (1; 2; 1)

nên mặt phẳng

(P )

có véc-tơ pháp tuyến

#»

n =

ỵ

#»k ,OM# »

ó

= (−2; 1; 0)

.

Vậy phương trình mặt phẳng

(P )

đi qua qua

O(0; 0; 0)

có dạng

−2x + y = 0 ⇔ 2x − y = 0

.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

50

D

ẠNG

TO

ÁN

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

LẦN

1

Câu 10.

Cho

A(1; −1; 0)

và

d : x + 1

2 =

y − 1

1 =

z

−3

. Phương trình mặt phẳng

(P )

chứa

A

và

d

là

A

x + 2y + z + 1 = 0

.

B

x + y + z = 0

.

C

x + y = 0

.

D

y + z = 0

.

Lời giải.

Đường thẳng

d

có véc-tơ chỉ phương

#»u = (2; 1; −3)

và

M ∈ d ⇒ M (−1; 1; 0),AM = (−2; 2; 0)# »

.

Vì mặt phẳng

(P )

chứa trục

d

và điểm

A(1; −1; 0)

nên mặt phẳng

(P )

có véc-tơ pháp tuyến

#»

n =

ỵ

#»u ,AM# »

ó

= (6; 6; 6)

.

Vậy phương trình mặt phẳng

(P )

đi qua qua

A(1; −1; 0)

có dạng

1(x − 1) + 1(y + 1) + z = 0 ⇔

x + y + z = 0

.

Chọn phương án

B

Câu 11.

Cho hai đường thẳng chéo nhau

d1:
x − 2

1 =

y − 1
−1 =

z

2

và

d2:











x = 2 − 2t
y = 3
z = t

. Mặt phẳng

song song và cách đều

d1

và

d2

có phương trình là

A

x + 5y − 2z + 12 = 0

.

B

x + 5y + 2z − 12 = 0

.

C

x − 5y + 2z − 12 = 0

.

D

x + 5y + 2z + 12 = 0

.

Lời giải.

d1

có VTCP

#»u1 = (1; −1; 2)

.

d2

có VTCP

#»u2 = (−2; 0; 1)

.

Gọi

(α)

là mặt phẳng cần tìm, có VTPT

#»n = [ #»u1, #»u2] = (−1; −5; −2)

⇒ (α) : x + 5y + 2z + m = 0

.

Lấy điểm

M1(2; 1; 0) ∈ d1

,

M2(2; 3; 0) ∈ d2

.

Vì

(α)

cách đều

d1

và

d2

nên

d (d1, (α)) = d (d2, (α)) ⇔ d (M1, (α)) = d (M2, (α))
⇔ |m + 7|√

30 =

|m + 17|
√

30 ⇔ m = −12.

Vậy

(α) : x + 5y + 2z − 12 = 0

.

Chọn phương án

B

Câu 12.

Trong không gian tọa độ

Oxyz

, cho 2 đường thẳng

d1: x − 1

2 =

y + 2
1 =

z − 1
−2

,

d2:

x − 1

1 =

y − 1

3 =

z + 2

1

. Mặt phẳng

(P ) : ax + by + cz + d = 0

song song với

d1, d2

và khoảng cách từ

d1

đến

(P )

bằng 2 lần khoảng cách từ

d2

đến

(P )

. Tính

S =

a + b + c
d

.

A

S = 1

3

.

B

S = 1

.

C

S = 4

.

D

S = 8

34

hay

S = −4

.

Lời giải.

Đường thẳng

d1

đi qua điểm

A(1; −2; 1)

và có véc-tơ chỉ phương là

#»u1 = (2; 1; −2)

.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Nhóm:

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

(P )

có VTPT là

#»n = [ #»u1, #»u2] = (7; −4; 5)

nên có phương trình

(P ) : 7x − 4y + 5z + d = 0

.

Ta có:

d[A; (P )] = 2d[B; (P )] ⇔ |d + 20| = 2|d − 7| ⇔

ñ

d = 34
d = −2.

Vậy

S = 8

34

hay

S = −4

.

Chọn phương án

D

Câu 13.

Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho mặt cầu

(S)

:

(x − 1)2+ (y + 1)2+ z2 = 11

và

hai đường thẳng

d1

:

x − 5

1 =

y + 1

1 =

z − 1
2

,

d2

:

x + 1

1 =

y
2 =

z

1

. Viết phương trình tất cả các mặt

phẳng tiếp xúc với mặt cầu

(S)

đồng thời song song với hai đường thẳng

d1

,

d2

.

A

3x − y − z + 7 = 0

.

B

3x − y − z − 15 = 0

.

C

3x − y − z − 7 = 0

.

D

3x − y − z + 7 = 0

hoặc

3x − y − z − 15 = 0

.

Lời giải.

Mặt cầu

(S)

có tâm

I(1; −1; 0)

, bán kính

R =√11

.

d1

qua

A(5; −1; 1)

và có véc-tơ chỉ phương

u#»1 = (1; 1; 2)

.

d2

qua

B(−1; 0; 0)

có véc-tơ chỉ phương

u#»2= (1; 2; 1)

.

Mặt phẳng

(P )

cần tìm song song với hai đường thẳng

d1

,

d2

nên

(P )

có véc-tơ pháp tuyến là

#»

n = [ #»u1, #»u2] = (−3; 1; 1)

.

Phương trình mặt phẳng

(P )

có dạng:

−3x + y + z + d = 0

.

A /∈ (P ) ⇔ d 6= 15

;

B /∈ (P ) ⇔ d 6= −3

.

Mặt khác mặt phẳng

(P )

tiếp xúc với mặt cầu

(S)

nên ta có:

N (0; 0; 1) ⇔ | − 3 − 1 + 0 + d|√
9 + 1 + 1 =

√

11 ⇔ | − 4 + d| = 11 ⇔

ñ

d = 15
d = −7.
• d = 15

(loại)

• d = −7

, ta có phương trình mặt phẳng

(P )

là

−3x + y + z − 7 = 0 ⇔ 3x − y − z + 7 = 0

.

Chọn phương án

A

Câu 14.

Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz

, cho đường thẳng

∆ : x − 1

2 =

y
1 =

z − 2
2

và

điểm

M (2; 5; 3)

. Mặt phẳng

(P )

chứa

∆

sao cho khoảng cách từ

M

đến

(P )

lớn nhất có phương

trình là

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

50

D

ẠNG

TO

ÁN

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

LẦN

1

P

d
A

H

I

Gọi

I (1 + 2t; t; 2 + 2t)

là hình chiếu vng góc của

A

trên

d

.

d

có véc-tơ chỉ phương là

#»u_d = (2; 1; 2)

.

Ta có

AI · #»# » ud = 0(2t − 1)2 + (t − 5) + (2t − 1)2 = 0 ⇔ t = 1

suy ra

I(3; 1; 4)

.

Khoảng cách từ

A

đến mặt phẳng

(P )

là

AH = d (A, (P )) ≤ AI

suy ra khoảng cách từ

A

đến

(P )

lớn nhất bằng

AI

.

Khi đó mặt phẳng

(P )

qua

I

và nhận

AI = (1; −4; 1)# »

làm véc-tơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng

(P )

:

x − 4y + z − 3 = 0

.

Chọn phương án

C

Câu 15.

Trong không gian với hệ tọa độ

Ozyz

cho điểm

A(2; −1; −2)

và đường thẳng

(d)

có phương

trình

x − 1

1 =

y − 1
−1 =

z − 1

1

. Gọi

(P )

là mặt phẳng đi qua điểm

A

, song song với đường thẳng

(d)

và khoảng cách từ đường thẳng

d

tới mặt phẳng

(P )

là lớn nhất. Khi đó mặt phẳng

(P )

vng góc

với mặt phẳng nào sau đây?

A

x − y − 6 = 0

.

B

x + 3y + 2z + 10 = 0

.

C

x − 2y − 3z − 1 = 0

.

D

3x + z + 2 = 0

.

Lời giải.

P

A

H

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Nhóm:

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

Gọi

K(x; y; z)

là hình chiếu vng góc của

A

lên

d

. Tọa độ của

K

là nghiệm của hệ











− x + 1 = y − 1
y − 1 = −z + 1
x − y + z − 1 = 0

⇔











x = 1
y = 1
z = 1

⇔ K(1; 1; 1)

Ta có

d ((d), (P )) = d (K, (P )) = KH ≤ KA = √14

. Nên khoảng cách từ

d

đến

(P )

đạt giá trị lớn

nhất bằng

√14

khi mặt phẳng

(P )

qua

A

và vng góc với

KA# »

.

Khi đó có thể chọn VTPT của

(P )

là

KA# »

.

Vậy

(P )

vng góc với mặt phẳng

3x + z + 2 = 0

.

Chọn phương án

D

Câu 16.

Trong không gian

Oxyz

, gọi

(P )

là mặt phẳng chứa đường thẳng

d : x − 2

1 =

y − 1
2 =

z
−1

và cắt các trục

Ox

,

Oy

lần lượt tại

A

và

B

sao cho đường thẳng

AB

vng góc với

d

. Phương trình

của mặt phẳng

(P )

là

A

x + 2y + 5z − 5 = 0

.

B

x + 2y + 5z − 4 = 0

.

C

x + 2y − z − 4 = 0

.

D

2x − y − 3 = 0

.

Lời giải.

Ta có

#»ud = (1; 2; −1)

.

®

A ∈ Ox ⇒ A(a; 0; 0)
B ∈ Oy ⇒ B(0; b; 0) ⇒

# »

AB = (−a; b; 0)

.

Theo đề bài

AB ⊥ d ⇒ AB · #»# » ud = 0 ⇔ −a + 2b = 0 ⇔ a = 2b ⇒AB = (−2b; b; 0)# »

⇒ #»u = (−2; 1; 0)

là một VTCP của

AB

.

Ta có

®

#»

u = (−2; 1; 0)
#»

ud = (1; 2; −1)

⇒ [ #»u , #»u_d] = (−1; −2; −5) ⇒ #»n = (1; 2; 5)

là một VTPT của

(P )

.

Kết hợp với

(P )

qua

M (2; 1; 0) ∈ d ⇒ (P ) : (x − 2) + 2(y − 1) + 5z = 0 ⇔ x + 2y + 5z − 4 = 0

.

Chọn phương án

C

Câu 17.

Tìm tất cả các mặt phẳng

(α)

chứa đường thẳng

d

:

x
1 =

y
−1 =

z

−3

và tạo với mặt phẳng

(P )

:

2x − z + 1 = 0

góc

45◦

.

A

(α)

:

3x + z = 0

.

B

(α)

:

x − y − 3z = 0

.

C

(α)

:

x + 3z = 0

.

D

(α)

:

3x + z = 0

hay

(α)

:

8x + 5y + z = 0

.

Lời giải.

d

đi qua điểm

O(0; 0; 0)

có vtcp

#»u = (1; −1; −3)

.

(α)

qua

O

có vtpt

#»n = (a; b; c)

có dạng

ax + by + cz = 0

, do

#»n · #»u = 0 ⇒ a − b − 3c = 0

.

(P )

:

2x − z + 1 = 0

vtpt

#»k = (2; 0; −1)

.

Ta có

cos 45◦=

#»_{n ·}#»_k

| #»n | ·

#»
k

⇔

_p

|2a − c|

5 (a2_{+ b}2_{+ c}2₎ =
√

2

2 ⇔ 10 a
2

+ b2+ c2

= (4a − 2c)2

⇔ 10 b2+ 6bc + 9c2+ b2+ c2

= (4b + 12c − 2c)2 ⇔ 10 2b2+ 6bc + 10c2

= (4b + 10c)2

⇔ 4b2− 20bc = 0 ⇔

ñ

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

50

D

ẠNG

TO

ÁN

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

LẦN

1

X

b = 0 ⇒ a = 3c ⇒ (α)

:

x + 3z = 0

.

X

b = 5c

, chọn

c = 1 ⇒ b = 5

,

a = 8 ⇒ (α)

:

8x + 5y + z = 0

.

Chọn phương án

D

Câu 18.

Trong không gian

Oxyz

,

d : x
−1 =

y + 1
2 =

z − 2

1

và mặt phẳng

(P ) : 2x − y − 2z + 4 = 0

.

Mặt phẳng chứa đường thẳng

d

và tạo với mặt phẳng

(P )

góc với số đo nhỏ nhất có phương trình

là

A

x − z − 2 = 0

.

B

x + z − 2 = 0

.

C

3x + y + z − 1 = 0

.

D

x + y − z + 3 = 0

.

Lời giải.

Q
P

d

A
K
E

H

Lấy điểm

A(0; −1; 2)

thuộc đường thẳng

d

.

Gọi

H

là hình chiếu vng góc của

A

lên mặt phẳng

(P )

.

Gọi

E, K

lần lượt là hình chiếu vng góc của

H

lên mặt phẳng

(Q)

và đường thẳng

d

.

Ta có:

AH ⊥ (P ), HE ⊥ (Q) ⇒



◊

(P ), (Q)



=AHE = α

’

. Xét

cos α =
HE
HA ≤

HK
HA

.

α

có số đo nhỏ nhất khi

⇔ cos α

lớn nhất

⇔ E ≡ K

.

Lúc đó mặt phẳng

(Q)

chứa đường thẳng

d

và vng góc với mặt phẳng

(HAK)

.

Mặt phẳng

(AHK)

là mặt phẳng chứa đường thẳng

d

và vuông với mặt phẳng

(P ) ⇒ #»n_AHK =

[ #»ud, #»nP]

là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng

(AHK)

.

Suy ra một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng

(Q) ⇒ #»nQ = [ #»ud, #»nAHK] = (−6; −6; 6)

⇒

Phương trình mặt phẳng

(Q)

:

x + y − z + 3 = 0

.

Chọn phương án

D

Câu 19.

Trong không gian

Oxyz

, cho hai điểm

A(1; 2; 1)

và

B(3; −1; 5)

. Mặt phẳng

(P )

vng góc

với đường thẳng

AB

và cắt các trục

Ox

,

Oy

và

Oz

lần lượt tại các điểm

D

,

E

và

F

. Biết thể tích

của tứ diện

ODEF

bằng

3

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Nhóm:

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

A

2x − 3y + 4z ±√3

36 = 0

.

B

2x − 3y + 4z +3

2 = 0

.

C

2x − 3y + 4z ± 12 = 0

.

D

2x − 3y + 4z ± 6 = 0

.

Lời giải.

Vì

AB ⊥ (P )

nên mặt phẳng

(P )

có một véc-tơ pháp tuyến là

AB = (2; −3; 4)# »

, do đó phương trình

mặt phẳng

(P )

có dạng

2x − 3y + 4z + d = 0

.

Từ đây tìm được

D(−d

2; 0; 0)

,

E(0;
d

3; 0)

,

F (0; 0; −
d

4)

suy ra

OD =

|d|

2

,

OE =
|d|

3

,

OF =
|d|

4

.

Mặt khác tứ diện

ODEF

có

OD, OE, OF

đơi một vng góc nên

VODEF =
1

6OD · OE · OF ⇔
(|d|)3

144 =
3

2 ⇔ |d| = 6 ⇔ d = ±6.

Vậy phương trình mặt phẳng

(P )

là

2x − 3y + 4z ± 6 = 0

.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

50

D

ẠNG

TO

ÁN

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

LẦN

1

 BẢNG ĐÁP ÁN 

1.

B

2.

A

3.

C

4.

A

5.

C

6.

A

7.

A

8.

A

9.

B

10.

B

</div>

<!--links-->
BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

• 2
• 2
• 8