PHẦN 1
LÝ THUYẾT TÌNH HUỐNG DIDACTIC
Lý thuyết tình huống didactic được Guy Brousseau (Pháp) phát triển từ 1970 đến 1990. Lý
thuyết này phân tích sâu sắc mối quan hệ giữa thầy giáo, học sinh, tri thức và môi trường
trong hệ thống dạy học, đồng thời cũng đưa ra các khái niệm như: tình huống a-didactic,
chướng ngại (về nhận thức), hợp đồng didactic. Các khái niệm này trở thành những công cụ
đắc lực cho việc nghiên cứu các vấn đề liên quan đến giáo dục tốn học.
Về mục đích của lý thuyết tình huống, Brousseau (1999) viết: “ Lý thuyết tình huống nhằm
mục đích phục vụ cho nghiên cứu và đề ra các loại học tập và các tình huống dạy học…Nó
khơng là một phương pháp dạy học. Lý thuyết này có thể cung cấp vài phương pháp dạy
học, nó có thể điều chỉnh hay loại bỏ một vài phương pháp khác ”.
1. Tam giác “Học sinh – Thầy giáo – Tri thức” và môi trường
Theo Brousseau (1986): “ Để tạo ra, cải tiến, tái tạo, mô tả và hiểu rõ các tình huống dạy
học tốn, điều cần thiết – và có thể thực hiện được – là phải lý thuyết hóa hoạt động dạy học
này, xem nó là một đối tượng nghiên cứu độc đáo, chứ không phải là một sự kết hợp đơn
giản của những sự kiện đã được lý thuyết hóa chỉ trong các lĩnh vực độc lập như sư phạm
học, xã hội học, tâm lí học, tốn học, ngôn ngữ học và khoa học luận”.
Nhưng để hiểu rõ các tình huống dạy học tốn, cần phải lý thuyết điều gì? Theo Brousseau
(1986), chúng ta cần lý thuyết “những hiện tượng gắn liền với họat động dạy học, biểu lộ ra
trong những cái có tính đặc thù của kiến thức được giảng dạy”. Muốn vậy, hệ thống tối
thiểu có những thành tố cần được xét tới là: thầy giáo, học sinh, tri thức và môi trường.
Thầy giáo

Học sinh

Môi trường
Tri thức
Hình 3.1: Hệ thống dạy học (Guy Brousseau, 1986)

Như vậy, kiến thức trong một tình huống giảng dạy có liên quan đến sự tác động qua lại
giữa học sinh, thầy giáo và môi trường.

1.1. Tri thức

Trang 1


Sự chuyển đổi didactic chia tri thức làm 3 loại: tri thức khoa học, tri thức giáo khoa và tri
thức được dạy học.
 Mối liên hệ giữa tri thức khoa học và tri thức giáo khoa
Tri thức

Tri thức khoa học
Tri thức khoa học là
tri thức ở cấp độ
của các nhà khoa
học (cấp độ hàn
lâm), được trình
bày dưới dạng càng
khái quát càng tốt
theo qui tắc diễn
đạt của cộng đồng
khoa học và được
phi hồn cảnh hóa,
phi cá nhân hóa,
phi thời gian hóa.

Tri thức giáo khoa
Tri thức giáo khoa (tri thức
chương trình) là tri thức mà
thầy giáo phải giảng dạy,
được sàng lọc từ tri thức khoa

học và có các đặc trưng sau:
+ Là chuẩn kiến thức hợp
pháp.
+ Được sắp xếp theo trình tự
thời gian.
+ Được sắp xếp theo thứ tự
hợp logic và tránh những
bước vòng lịch sử.

Tri thức dạy học
Tri thức dạy học
là tri thức được
giảng dạy ở lớp
học, nói cách
khác tri thức dạy
học là đối tượng
được giảng dạy.
Chính ở cấp độ
này mà thầy giáo
tác động đến học
sinh.

Hình 3.2: Sơ đồ chuyển đổi didactic giữa các cấp độ tri
thức
Tuy tri thức giáo khoa được sàng lọc từ tri thức khoa học nhưng tri thức giáo khoa không
phải là một tập con của tri thức khoa học. Thể chế trường học đã xây dựng các khoa học
như một mơn học nên có nhiều thành phần của mơn học nằm ngồi tri thức khoa học, đồng
thời nhiều khái niệm khoa học khơng được trình bày ở cấp độ hàn lâm.

Tri thức

giáo khoa

Tri thức
khoa học

 Mối liên hệ giữa tri thức giáo khoa và tri thức dạy học
Hình 3.3: Mối liên hệ giữa tri thức khoa học và tri thức giáo khoa

Trang 2


Căn cứ vào tri thức giáo khoa, giáo viên biên soạn tri thức dạy học. Tuy nhiên, tri thức dạy
học không phải là tập con của tri thức giáo khoa. Tùy vào trình độ của học sinh, cơ sở vật
chất, phương tiện dạy học và khả năng sư phạm của mình mà giáo viên biến đổi những hiểu
biết của họ về tri thức đó để có thể dạy được ở một trình độ xác định.

Tri thức
dạy học

Tri thức
giáo khoa

Hình 3.4: Mối liên hệ giữa tri thức giáo khoa và tri thức dạy học
Ở Việt Nam, sự chuyển đổi từ tri thức khoa học đến tri thức mà học sinh thực sự học được,
theo chúng tôi, gồm nhiều bước chuyển đổi có thể mơ tả như hình 3.5.

Tri thức
khoa học
(nhà
khoa học)


Tri thức
giáo khoa
(hệ thống
giáo dục)

Tri thức
soạn
giảng
(giáo án)

Tri thức
thực dạy
(lớp học)

Tri thức
thực học
(học
sinh)

Hình 3.5: Sự chuyển đổi didactic của các cấp độ tri thức ở Việt Nam

Ví dụ 1: Sự chuyển đổi didactic của khái niệm giới hạn ở các cấp độ tri thức
Tri thức giáo khoa
Tri thức soạn giảng

Tri thức thực dạy
Tri thức thực học

Ta nói un có giới hạn là a (hay

dần tới a ) khi n � �nếu

Dãy un có giới hạn là a nếu
lim un  a.

Tri thức khoa học
Nếu
  0, n0 �N :
n  n0 � un  a  

un có giới
thì ta nói dãy số
hạn là a.

lim  un  a   0.

n � �

n ��

lim un  a
Ký hiệu n��
hay un � a
khi n � �.

Ví dụ 2: Sự chuyển đổi didactic của khái niệm tích phân ở các cấp độ tri thức

Trang 3



Tri thức khoa học

Công thức Newton Leibniz
f x
Cho hàm số   xác định
a; b  .
a; b 
trên đoạn 
Chia 
thành các đoạn
1 ,  2 , K ,  n không “dẫm”

lên nhau, rồi trên mỗi đoạn  i
lấy điểm xi tùy ý, khi đó ta
n

� f  x  .
i

ln có tổng i 1
giới hạn hữu hạn của

i

Nếu

� f  x 
i

i


tồn tại thì

lim

f  x  dx.
� f  x   �
i 1

 Đối với chương trình nâng
cao
Cho hàm số f liên tục trên
K và a, b là hai số bất kỳ
thuộc K . Nếu F là một
nguyên hàm của f trên K
thì hiệu số
F  b  F  a

 Đối với chương trình nâng cao
Cho hàm số f liên tục trên K và
a, b là hai số bất kỳ thuộc K .
Nếu F là một nguyên hàm của f
liên tục trên K thì
b

f  x  dx  F  x 
�
a

b

a

 F  b  F  a  .

được gọi là tích phân của f
từ a đến b và ký hiệu là
b

f  x  dx.
�
Trong trường hợp a  b, ta

i

i

a

 Đối với chương trình cơ bản

b

b

n

max i �0

Tri thức thực dạy
Tri thức thực học


a

n

i 1

Tri thức giáo khoa
Tri thức soạn giảng

gọi

f  x  dx
�
a

là tích phân

a; b  .
của f trên đoạn 

 Đối với chương trình cơ
bản
Cho

f  x

trên

 a; b .


Giả sử

một nguyên hàm của
trên

đoạn

 a; b .

 a; b .
là

f  x

 a; b .

Hiệu số

f  x

là hàm số liên tục trên
Giả sử

trên đoạn

 a; b  của hàm số f  x 

f  x  dx  F  x 
�

a

là một

Khi đó tích phân xác định

trên đoạn
là:
b

F  x

f  x

ngun hàm của

là hàm số liên tục
F  x

Cho

b
a

 F  b  F  a  .

F  b  F  a

được
gọi là tích phân từ a đến b

(hay tích phân xác định trên
đoạn

 a; b  )

của hàm số
b

f  x ,

ký hiệu là

f  x  dx.
�
a

Trang 4


1.2. Thầy giáo
Trong lý thuyết tình huống, thầy giáo có hai chức năng trái ngược nhau trong dạy học một
tri thức, đó là: ủy thác và thể chế hóa.
Chức năng ủy thác: Làm sống lại tri thức, làm sao cho học sinh tạo ra tri thức đó.
Chức năng thể chế hóa: Biến đổi kiến thức đó thành một “sự kiện” mới về nhận thức. Nói
cách khác, gắn kiến thức đã được học sinh kiến tạo vào thể chế của kiến thức.
Do đó, có thể xem q trình truyền đạt kiến thức của thầy giáo gồm 2 pha: pha ủy thác và
pha thể chế hóa.
Trong pha ủy thác, thầy giáo cần xây dựng lại tình huống đem lại nghĩa cho kiến thức cần
giảng dạy sao cho hoạt động của học sinh “giống với” hoạt đông của nhà nghiên cứu.
Trong pha thể chế hóa, giáo viên giúp học sinh biến đổi các câu giải đáp đã tìm được trong

pha ủy thác thành tri thức mới, tức là học sinh phải phi cá nhân hóa, phi hồn cảnh hóa và
phi thời gian hóa kiến thức đã sản sinh ra để nhận biết cái gì có tính phổ biến, biết được tầm
quan trọng và vị trí của chúng trong chương trình.

Thầy giáo ủy thác
(hồn cảnh hóa, cá
nhân hóa, thời gian
hóa lại tri thức):
Xây dựng tình huống
mang lại nghĩa của tri
thức

Học sinh
Tìm lời giải
đáp

Thầy giáo giúp
học sinh thể chế
hóa
(phi hồn cảnh
hóa, phi cá nhân
hóa, phi thời gian
hóa lại tri thức)

Học sinh
Nhận biết tầm
quan trọng của
tri thức

Pha thể chế hóa

Pha ủy thác
Hình 3.6: Thầy giáo với hai chức năng ủy thác và thể chế hóa
Ví dụ: Dạy học định lí Pythagore:
Chuẩn bị: giấy bìa cứng, e – ke, kéo, viết đỏ, viết xanh, viết chì.

Trang 5


Pha ủy thác
- Giáo viên yêu cầu học sinh vẽ trên giấy bìa cứng 8 tam giác vng có cạnh huyền là , hai
cạnh góc vng là và (xem hình vẽ).

- Giáo viên yêu cầu học sinh vẽ trên giấy bìa cứng 2 hình vng có cạnh là (xem hình vẽ).

- Dùng kéo cắt những tam
giác vng và hình vng ra.
Sau đó, xếp 8 tam giác vào hai hình vng như hình vẽ.
-Dùng viết đỏ để đánh dấu hình vng có cạnh và dung viết chì để đánh dấu hình vng có
cạnh . Dùng viết xanh để đánh dấu hình vng có cạnh .

-u cầu học
sinh tính tổng diện tích hình vng được đánh dấu
bằng viết đỏ và viết chì.
-u cầu học sinh tính diện tích hình vng được đánh dấu bằng viết xanh.
-Yêu cầu học sinh so sánh chúng.
Pha thể chế hóa

Trang 6



Khi học sinh phát hiện tổng diện tích hai hình vng được đánh dấu bằng viết đỏ và viết chì
bằng diện tích hình vng được đánh dấu bằng viết xanh. Giáo viên gợi ý: hình vng được
đánh dấu bằng viết xanh có diện tích bằng hình vng được dựng trên cạnh huyền của tam
giác vng ban đầu. Tương tự, hình vng được đánh dấu bằng viết đỏ và viết chì có diện
tích bằng diện tích hai hình vng dựng trên hai cạnh góc vng của tam giác vng ban
đầu.
Giáo viên giúp học sinh thể chế hóa: “trong một tam giác vng, diện tích hình vng dựng
trên cạnh huyền bằng tổng diện tích dựng trên hai cạnh góc vng”, đây chính là định lí
Pythagore.
1.3. Mơi trường
Mơi trường didactic là mơi trường tự nhiên của học sinh. Việc học tập không phải là kết quả
của việc truyền đạt thong tin từ thầy giáo đến học sinh. Dạy học một kiến thức có nghĩa là
tạo ra một môi trường didactic sao cho kiến thức này là điều kiện cần thiết cho học sinh tồn
tại trong mơi trường đó. Trong lí thuyết tình huống, kiến thức là kết quả của sự tương tác
giữa học sinh và một môi trường được tổ chức bởi thầy giáo trong một khung cảnh của một
tình huống a-didactic.
1.4. Học sinh
Với quan niệm như trên, khi dạy học một tri thức, thầy giáo phải đề ra một hình huống sao
cho học sinh xây dựng hay điều chỉnh kiến thức của mình, và xem đó là lời giải đáp cho
những u cầu của môi trường chứ không phải thỏa mãn ý muốn của thầy. Về mối quan hệ
giữa học sinh và mơi trường, lý thuyết tình huống đưa ra hai giả thuyết sau đây:
Giả thuyết 1 (học tập bằng cách thích nghi) : Chủ thể học bằng cách làm cho bản thân thích
nghi (đồng hóa và điều tiết) với một mơi trường sản sinh ra những mâu thuẫn, những khó
khăn và tình trạng mất cân bằng.
Giả thuyết 2 : Một mơi trường khơng có dụng ý didactic (tức là khơng có ý tổ chức để
giảng dạy một tri thức) là không đủ để làm cho một chủ thể lĩnh hội được tất cả những kiến
thức mà xã hội mong muốn chủ thể đó đạt được.

Trang 7



Chủ thể
Kiến thức

Hành động

Mơi trường

Thơng tin

Tiên đốn

Phản hồi

Hình 3.7. Học tập bằng thích nghi của chủ thể với mơi trường
2. CÁC TÌNH HUỐNG A-DIDACTIC
Rút ngắn hai cơng đoạn ủy thác và thể chế hóa là cách dạy truyền thống: thầy giáo trình bày
tri thức và học sinh tự mình tìm kiếm cách chiếm lĩnh tri thức đó trong khả năng có thể
được. Ở đây, khi dạy học một khái niệm, giáo viên phát biểu định nghĩa và cho một số bài
tập mà học sinh có thể giải được nhờ áp dụng điều đã học mà không cần sự biến đổi nào.
Học sinh trong trường hợp này thường làm theo mẫu hay “làm tương tự” mà khơng có
những hoạt động phá vỡ thế cân bằng và lập lại thế cân bằng. Các bài tập này thường khơng
có tác dụng gắn cho khái niệm “một nghĩa”. Trong khi đó, đối với học sinh thì nghĩa của
một kiến thức xuất phát chủ yếu từ những tình huống mà ở đó kiến thức đã tác động vào
nhằm tạo ra những “thích nghi” thích đáng. Vì thế, các giả thuyết nêu trên (xem 1.4) dẫn ta
đến yêu cầu phải đưa ra khái niệm tình huống a-didactic.
Tình huống a-didactic là tình huống chứa đựng tất cả những điều kiện nhằm cho phép học
sinh thiết lập được mối liên hệ với kiến thức mà khơng có liên quan gì đến thầy giáo.
Những hành động của học sinh, các câu trả lời hay lập luận mà học sinh đưa ra phụ thuộc
vào mối liên hệ của học sinh với tri thức, nghĩa là liên quan đến vấn đề mà học sinh phải

giải quyết hay những khó khăn mà học sinh phải vượt qua.
Có bốn loại tình huống a-didactic: tình huống hành động, tình huống diễn đạt, tình huống
xác nhận và tình huống thể chế hóa.
Chúng ta cần phân biệt tình huống a-didactic với tình huống khơng didactic và tình huống
didactic. Tình huống khơng didactic là một tình huống không được tổ chức một cách rõ rang
để dạy học một tri thức. Tình huống didactic là tình huống được tổ chức một cách rõ rang
nhằm dạy một tri thức. Học sinh làm hết các công việc mà thầy giáo đưa ra nhằm truyền đạt
kiến thức này cho học sinh.

Trang 8


Hình 3.8. Sự liên hệ giữa tình huống didactic và tình huống a-didactic
Để hiểu rõ khái niệm tình huống a-didactic, ta xét ví
sau đây.

dụ

Ví dụ: “Chia đơi thể tích khối lập phương”
(Áp dụng cho học sinh lớp 11)
Cho một bình có dạng hình lập phương có thể tích 1
(xem hình vẽ). Hãy đong nửa lít nước từ chiếc bình
trên. (Lưu ý, khơng được sử dụng thêm bất kì một vật
dụng nào khác).

lít

Kịch bản
Màn 1: Giáo viên giải thích trị chơi.
u cầu của trị chơi là đong nửa lít nước từ chiếc bình có dạng hình lập phương, thể tích

một lít mà khơng được sử dụng bất kì vật dụng thứ hai nào. Do đó, chúng ta chỉ có một cách
là đổ đầy nước vào bình, sau đó đổ nước ra. Vấn đề là phải đổ ra như thế nào để trong bình
cịn lại nửa lít nước?
Màn 2:

Trang 9


Chia lớp thành hai đội. Cho học sinh thời gian 7p để thảo luận. Sau đó, mỗi nhóm cử đại
diện tiến hành cách làm của mình (mỗi nhóm được thực hiện 5 lần).
Màn 3:
Các thành viên còn lại ghi lại những phương án của đội mình và đội bạn. Từ đó, thảo luận
để điều chỉnh và tìm phương án hợp lí nhất.
Màn 4:
Giáo viên u cầu mỗi đội trình bày phương án mà đội mình cho là có thể giải quyết vấn đề.
Đội còn lại xem xét và xác nhận hoặc bác bỏ.
Màn 5: Giáo viên đưa ra đáp án.
Đặt chiếc bình nghiêng sao cho mực nước trong bình là
mặt phẳng đi qua đường chéo của hai đáy. (xem hình vẽ).

Phân tích kịch bản
Màn 1
Giáo viên giải thích trị chơi và xác định mấu chốt vấn đề cần giải quyết. Khi đó, giáo viên
đã tạo ra một mơi trường để học sinh hành động.
Màn 2
Đây là một tình huống hành động: mỗi đội cử đại diện tiến hành cách làm của đội mình.
Mỗi học sinh đứng trong một mơi trường: tiến hành đổ nước trong bình ra và chọn cách nào
để trong bình chỉ cịn lại nửa lít nước.
Quy trình cơ sở?
Như vậy, tình huống này cung cấp thơng tin phản hồi cho học sinh và cho phép thấy tính

hiệu quả các giải pháp của họ.
Màn 3
Đây là tình huống diễn đạt. Màn này có 2 pha:
Pha a

Trang 10


Đại diện mỗi đội lên tiến hành cách làm của mình. Những thành viên cịn lại khơng can
thiệp mà chỉ quan sát, thu nhận thông tin từ cách làm của hai đại diện.
Pha b
Mỗi đội thảo luận với nhau để tìm ra cách giải quyết bài tốn. Sau đó, trình bày với tất cả
các thành viên trong đội để mọi người hiểu về chiến lược được cho là hợp lí nhất.
Màn 4
Đây là tình huống xác nhận. Học sinh tranh luận với nhau về phương án giải quyết vấn đề.
Giáo viên đóng vai trị là chủ tọa trong cuộc tranh luận.
Màn 5
Đây là tình huống thể chế hóa.
Để đong được nửa lít nước từ chiếc bình đã cho, học sinh phải biết chia đôi khối lập
phương. Tức là dùng một mặt phẳng cắt khối lập phương thành 2 phần bằng nhau. Tuy
nhiên, nếu cắt khối lập phương theo mặt phẳng song song với đáy thì khơng đảm bảo lúc
nào khối lập phương cũng được chia làm hai phần bằng nhau. Do vậy, cần tìm mặt phẳng
cắt khác.
Gọi là thể tích hình lập phương cạnh
Ta có:

với là diện tích hình vng cạnh và là chiều cao.
Gọi là thể tích cần tìm.
Ta có:


Từ đây, ta thấy rằng để chia đơi một khối lập phương ta có thể chia đơi chiều cao của nó
hoặc chia đơi diện tích đáy.
Do đề bài khơng cho sử dụng bất kì cơng cụ nào khác nên việc chia đơi chiều cao khơng thể
chính xác được.

Trang 11


Vì vậy, chỉ cịn cách chia đơi mặt đáy. Nhưng do chiếc bình có hình dạng là hình lập
phương nên diện tích mặt đáy và mặt bên bằng nhau. Do đó, thay vì chia đơi mặt đáy, ta
chia đơi mặt bên. Vậy mặt phẳng cắt phải đi qua đường chéo của mặt bên.
2.1. Tình huống hành động
Thầy giáo tổ chức một môi trường cho học sinh hành động rồi rút lui khỏi hiện trường. môi
trường dành cho học sinh là mơi trường: (a) có chứa một vấn đề mà học sinh tiếp nhận một
cách tự giác và có ước muốn giải quyết nó nhằm thỏa mãn tính tị mị; (b) học sinh có
những phương tiện để tìm ra được lời giải, hoặc bằng cách phát minh ra một biện pháp mới
hay chọn một trong các cách mà họ đã biết nhờ sự gợi ý nào của thầy giáo. Trong tình
huống này, kiến thức xuất hiện như một phương tiện cho việc giải quyết vấn đề hay một lớp
vấn đề.
Hành động
Học sinh

Mơi trường
Thơng tin

Phản hồi

Hình 3.9. Mối liên hệ giữa học sinh và mơi trường trong tình huống hành động
2.2. Tình huống diễn đạt
Môi trường dành cho học sinh được phát triển trên cơ sở các kinh nghiệm trước đó hoặc từ

hoạt động: Học sinh trao đổi và so sánh những điều quan sát được với nhau. Họ có thể
khơng có đủ ngơn ngữ để trình bày một cách rõ rang những điều quan sát được; Vì thế,
những cố gắng chính của học sinh là tìm ngơn từ để diễn tả hoặc thống nhất với nhau những
tính chất chung. Kiến thức trong tình huống này xuất hiện như kết quả của một kinh nghiệm
thuộc về cá nhân, điều cần phải được truyền đạt (được phi cá nhân hóa và phi hồn cảnh
hóa) để học sinh khác hiểu
Các chiến lược diễn đạt
Học sinh – người nhận

Học sinh – người phát
Phản hồi

Hình 3.10. Vai trị của học sinh trong tình huống diễn đạt
2.3 Tình huống xác nhận

Trang 12


Thầy giáo đóng vai trị như một lí thuyết gia trong việc đánh giá sản phẩm của các lí
thuyết gia khác, trong trường hợp này là học sinh. Học sinh cố gắng giải thích một hiện
tượng nào đó, hay kiểm chứng một giả thuyết. Thầy giáo hành động như chủ tọa một cuộc
tranh luận khoa học: thầy giáo can thiệp chỉ để ổn định trật tự trong tranh luận giữa học sinh
với nhau, thu hút chú ý của học sinh vào những chổ có bất đồng ý kiến nếu có, và khuyến
khích họ nên chính xác và có hệ thống hơn khi sử dụng các khái niệm. Đối với học sinh,
môi trường giống như một hội nghị khoa học hơn một buổi nghe giảng bài. Kiến thức có
tính chất sống động của một lý thuyết đang trong quá trình hình thành.
2.4 Tình huống thể chế hóa
Tình huống này đưa ra những giá trị đối với tri thức mà học sinh học được trong lớp,
nó ln liên quan đến các khái niệm, kí hiệu và kiến thức. Thầy giáo sẽ cho biết tầm quan
trọng và thông báo cho học sinh về các thuật ngữ, định nghĩa, định lý mà đã được cơng

nhận chính thức trong chương trình mơn học hay ở trong sách giáo khoa, và học sinh có thể
sử dụng kiến thức mới vừa nắm được để giải quyết các vấn đề sau.
Làm sao có thể tạo ra một tình huống a-didactic?
1. Bản thân học sinh có thể tham gia được vào tình huống nhưng khơng biết chắc được
phương án nào tốt nhất để sử dụng, họ có thể đưa ra lời giải đáp sơ bộ (qui trình cơ
sở) nhưng không phải là điều mà thầy giáo muốn dạy.
2. Qui trinh cơ sở này phải tỏ ra khiếm khuyết, vì thế học sinh phải tìm ra chiến lược
mới để chiến thắng hoặc để giải quyết được vấn đề mà làm thay đổi kiến thức của
mình. Điều này diễn ra trong một mơi trường nơi mà học sinh có thể bác bỏ hay chấp
nhận một chiến lược nhờ vào sự phản hồi từ mơi trường.
3. BIẾN DIDACTIC
Trong q trình giảng dạy có tình huống a-didactic, thầy giáo khi đặt bài tốn cho
học sinh mong đợi học sinh giải bài tốn đó, ít ra một phần, với tư cách là những nhà tốn
học. Trong khn khổ đó, việc học là sự chỉnh lý kiến thức mà học sinh tự sản sinh ra, cịn
người dạy phải gợi ra sự chỉnh lý đó bằng những lựa chọn các biến tình huống; các biến này
được gọi là biến didactic. Sự lựa chọn giá trị của biến didactic cũng rất quan trọng đối với
việc làm xuất hiện một sai lầm mang bản chất khoa học luận và cho phép vượt qua những
sai lầm đó.

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến là .

Trang 13


Biến

Giá trị
+ Dạng tổng quát:
+ Dạng đặc biệt:


Dạng phương trình của mặt phẳng

Phương của vectơ pháp tuyến
Vị trí của điểm
Tọa độ của điểm
Tọa độ của vectơ
Hoạt động của học sinh

+ , ,
+ có phương bất kì
+
+,
+ có vị trí bất kì
+ Tọa độ của điểm thuộc
+ Tọa độ của điểm thuộc
+ Cá nhân
+ Nhóm

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
Biến
Nghiệm của hệ phương trình

Giá trị
+ Nghiệm duy nhất
+ Vơ số nghiệm
+ Vơ nghiệm

Dạng nghiệm

Cách giải hệ phương trình trên

Hoạt động của học sinh

+ Cộng (trừ) đại số
+ Phương pháp thế
+ Định thức
+ Nhóm
+ Cá nhân

4. TÌNH HUỐNG CƠ SỞ
Trong các tính huống a-didactic, học sinh phải giải một bài tốn và xem đó là trách
nhiệm. Nhưng nảy ra vấn đề là làm sao để đảm bảo bài toán đặt ra thực sự thiết yếu đối với
kiến thức cần dạy?

Trang 14


Giả thuyết: “Với mỗi kiến thức (tốn học) có một họ tình huống có khả năng gán cho nó
một nghĩa đúng so với lịch sử của khái niệm đó, so với bối cảnh xã hội, so với cộng đồng
khoa học”. Một tình huống cơ sở của một kiến thức là một sự mơ hình hóa của họ tình
huống đó hay của những vấn đề đặc thù của tri thức cần đạt được.
Nó là cơ sở:
a. Đối với kiến thức: phải xây dựng tình huống cơ sở “sao cho kiến thức xuát hiện ở
dạng đã chọn, xem đó là lời giải hay phương tiện để thiết lập chiến thuật tối ưu”.
Làm thế nào để tìm được họ tình huống như thế? Ta có thể dựa vào lịch sử khái niệm và
việc giảng dạy khái niệm, phân tích bản chất tốn học của khái niệm được xét.
b. Đối với hoạt động giảng dạy: tình huống phải cho phép ta hình dung được càng
nhiều càng tốt các tình huống quan sát tại lớp, ngay cả những tình huống chưa thật thõa
đáng, chừng nào mà chúng có thể giúp cho học sinh nắm được một dạng của tri thức cần
dạy...Ta thu được các tình huống này bằng việc chọn giá trị của một số biến đặc trưng cho
tình huống cơ sở.

5. HỢP ĐỒNG DIDACTIC
Khái niệm hợp đồng didactic được G.Brouseau đưa ra năm 1978 để lý giải một
trường hợp là có một học sinh Gặl học tập khá tốt các mơn học khác, nhưng lại gặp nhiều
khó khăn khi học mơn Tốn. Sau một q trình cùng với gia sư của Gặl quan sát hoạt
động học tập của em này, ông phát hiện rằng Gặl chỉ biết được những điều mà Gặl có
thể lặp lại được theo cách mà thầy đã làm mẫu trước đó. Đối với các bài tập, cậu ta cố phát
hiện ra những hành động mà theo cậu nghĩ là được thầy giáo mong đợi cậu ấy thực hiện,
cậu ta không chú tâm vào việc làm rõ ý nghĩa của kiến thức liên quan các bài tập được đề ra
cho cậu. Khi được hỏi: “Tại sao em cộng hai số này?”, cậu ta ln trả lời: “Vì đây là điều
thầy nói nên chúng em phải làm theo.”, “Đây là cách mà em được dạy”,... Gặl học kém
mơn Tốn khơng phải vì lý do chậm phát triển tinh thần hoặc không thông minh mà lại là do
cái mà Brousseau gọi là “Hợp đồng didactic” làm cản trở việc học tập toán của cậu ta. Để
giúp cho Gặl khơng học kém mơn Tốn, Brousseau đã đưa ra cho Gặl những tình huống
a-didactic mà có những hợp đồng khác với giáo viên của cậu ta đã đưa ra trước đó. Nhờ
vậy, cậu bé khơng cịn nói: “Làm y theo lời thầy giáo đã nói!” nữa.
Brousseau (1980) viết: “Học sinh có khuynh hướng làm rõ bất kỳ thơng tin hay
những điều cịn hạn chế bằng cách sử dụng những điều mà thầy giáo, có thể cố ý hay không
cố ý, thể hiện trong hoạt động của ơng ta. Chúng tơi cho rằng đây là thói quen phổ biến nhất
trong dạy học và chúng tôi định nghĩa hợp đồng didactic như sự ứng xử riêng biệt mà học
sinh mong đợi ở thầy giáo và thầy giáo cũng mong đợi ở học sinh.”

Trang 15


Hợp đồng didactic đưa ra những qui tắc trong suốt q trình học tập; thực sự là nó
bao gồm tồn bộ những mong đợi và ứng xử của học sinh và thầy giáo hướng về kiến thức.
Nó ngầm ẩn đưa ra những điều mà học sinh và thầy giáo phải làm, vai trị và trách nhiệm
của họ với nhau. Ví dụ, khi học sinh của một lớp học không giải được một bài tốn, các em
có khuynh hướng cho rằng thầy giáo đã “phá vỡ hợp đồng” bởi thầy đã cho bài tốn q
khó. Thầy giáo nghĩ rằng học sinh đã phá vỡ hợp đồng bởi vì các em khơng thực sự cố gắng

để giải bài tốn. Chúng ta có thể xét thêm một ví dụ khác: khi học sinh giải một bài toán,
các em ngầm hiểu rằng bài toán này khơng có gì sai sót, nếu các em khơng giải được là do
các em chưa thấu triệt hết mọi dữ liệu của bài tốn. Đây chính là đã có một hợp đồng
didactic giữa thầy và trò trong việc “thầy ra đề – học sinh giải”.
Hợp đồng didactic có những đặc điểm sau đây:
1.
2.
3.
4.
5.

Hợp đồng didactic chỉ nhắm vào kiến thức;
Có một hợp đồng didactic cho mọi loại kiến thức;
Để nắm kiến thức học sinh luôn luôn phải phá vỡ hợp đồng;
Hợp đồng didactic có tính ngầm định và khơng bao giờ được giải thích đầy đủ;
Một hợp đồng hồn toàn được dựa trên các qui tắc hành động của thầy giáo và học
sinh; quan hệ didactic sẽ không hoạt động như mong đợi nếu hợp đồng didactic hoàn
toàn rõ ràng.

Ví dụ: 10 sai lầm và 7 hợp đồng didactic về dạy học khái niệm hàm số liên tục
(trích Trần Anh Dũng, Luận án tiến sĩ khoa học giáo dục: Dạy học khái niệm hàm số liên
tục ở trường trung học phổ thông, Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, 2013)
 Hàm số liên tục ở giai đoạn phân tích sách giáo khoa
Các tổ chức tốn học và các hợp đồng dạy học
9 tổ chức toán học gắn liền với các kiểu nhiệm vụ:
T1 – Chứng minh hàm số liên tục tại mọi điểm ;
T2 – Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm ;
T3 – Chứng minh một hàm số liên tục trên khoảng, đoạn hay nửa khoảng K;
T4 – Tìm các khoảng, nửa khoảng trên đó hàm số liên tục;
T5 – Chứng minh hàm số liên tục trên tập xác định của nó;

T6 – Tìm điều kiện của tham số để hàm số xác định bằng hai công thức liên tục trên R;
T7 – Chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm trên (a; b);

Trang 16


T8 – Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm âm (hay dương) hay có ít nhất
một nghiệm;
T9 – Chứng minh rằng: tồn tại một số mà với nằm trong khoảng giữa và
Dự đoán những sai lầm và nguyên nhân
Luận án giới hạn chỉ xét những sai lầm (SL) có thể dự đốn nguồn gốc theo tiêu chí của
Didactic Tốn, trong đó có nguồn gốc là hợp đồng dạy học (HĐDH).
 SL1: HS lấy một số điểm của đồ thị rồi nối chúng lại bằng một đường liền mà khơng
tính đến đặc điểm của miền xác định.
Ngun nhân:
a. HĐDH 1: Để vẽ đồ thị hàm số, HS chỉ cần xác định một số điểm rời rạc rồi nối
lại bằng một đường liền nét.
b. Chướng ngại khoa học luận (KHL): Quan niệm Euler: “hàm số liên tục nếu
nó xác định bằng một biểu thức” .
 SL2: Kết luận sai về tính liên tục của hàm số tại điểm do chỉ dựa vào các phép tính mà
khơng tính đến đặc trưng của điểm .
Nguyên nhân:
HĐDH 2: Để xét tính liên tục của hàm số tại điểm , HS chỉ cần kiểm tra đẳng thức:

bằng các phép toán đại số mà khơng cần xét đến tính chất của miền xác định (liên thông,
khoảng, nửa
khoảng…) của hàm số.
 SL3: HS đồng nhất miền xác định với miền trên đó hàm số liên tục.
Ngun nhân:
HĐDH 3: Để tìm miền trên đó hàm số liên tục, HS chỉ cần tìm miền xác định của hàm số

và kết luận hàm số liên tục trên đó.
 SL4: Nếu và khơng tìm được cặp số ngun hay hữu tỉ đặc biệt thuộc mà ( là đa thức)
thì HS kết luận phương trình vơ nghiệm.

Trang 17


Ngun nhân:
a. HĐDH 4: Để chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng trong
đó là đa thức, HS chỉ cần kiểm tra hoặc tìm cặp số α và β là các số nguyên hay hữu tỉ đặc
biệt (1/2; 1,5…) thuộc mà .
b. Lỗi lôgic: sử dụng mệnh đề phản đảo.
 SL5: Nếu khơng tìm được cặp số nguyên hoặc hữu tỷ đặc biệt dương mà , đồng thời
và cùng dấu thì HS kết luận phương trình vơ nghiệm trên
(0; +∞). SL tương tự trong trường hợp xét sự tồn tại nghiệm của phương trình trên (-∞; 0)
hay trên .
Nguyên nhân:
a. HĐDH 5: Để chứng minh phương trình có nghiệm âm (dương, hay tùy ý), trong
đó là một đathức, HS chỉ cần thực hiện một trong các hoạt động:
* Tìm cặp nguyên hoặc hữu tỉ đặc biệt thuộc (-∞; 0) (hay (0;+ ∞) hay (-∞;∞)) mà
* Chứng minh và ( hay và ; và ) trái dấu.
b. Lỗi lôgic: sử dụng mệnh đề phản đảo.
 SL6: SL khi vẽ đồ thị các hàm số gián đoạn.
Nguyên nhân: Thiếu kiến thức.
 Hàm số liên tục (HSLT) ở giai đoạn sau khi được giảng dạy tường minh
Khái niệm HSLT lấy cơ chế của một công cụ tường minh và tác động đến các yếu tố lí
thuyết: đạo hàm (lớp 11), nguyên hàm, tích phân (lớp 12) và bài tập (bài tốn tìm giá trị nhỏ
nhất và lớn nhất của hàm số trên một miền, bài toán về nghiệm của phương trình..)
Các tổ chức tốn học và các hợp đồng dạy học
Luận án đã phân tích 3 tổ chức tốn học gắn liền với các kiểu nhiệm vụ:

T10 – Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm nếu có của hàm số tại . ( là hàm
số xác định bởi hai cơng thức);
T11 – Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) và giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số trên [a; b];
T12 – Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm trên miền D.

Trang 18


Dự đoán các sai lầm và nguyên nhân
 SL7: Để tìm điều kiện cho hàm số xác định bởi :

có đạo hàm tại , HS có thể thực hiện một trong hai kỹ thuật:
a) Chỉ cần cho mà không cần để ý đến tính liên tục của hàm số tại .
b) HS sử dụng định lí về liên hệ đạo hàm – liên tục nhưng không kiểm tra phần đảo.
Nguyên nhân:
Lỗi lôgic - SL do không nắm vững kiến thức, yếu khả năng suy luận (sử dụng mệnh đề
phản đảo của mệnh đề “có đạo hàm ⇒liên tục”)
SL 8: Đểtìm GTNN và GTLN của hàm số xác định trên [a; b], HS chỉ cần so sánh các
giá trị , , trong đó hoặc là các nghiệm của hoặc là các điểm mà tại đó khơng xác định. Tính
liên tục khơng được xét đến.
Nguyên nhân:
HĐDH 6: “HS chỉ được yêu cầu tìm GTNN và GTLN của hàm số liên tục trên [a; b] và
họ chỉ cần thực
hiện các thao tác mà khơng cần thiết phải kiểm tra tính liên tục của hàm số”.
 SL9: Điều kiện để phương trình có nghiệm trên D là:

tính liên thơng của D bị bỏ qua.
Ngun nhân:
HĐDH 7: “ HS chỉ được đề nghị tìm điều kiện của để phương trình có nghiệm trên miền
D, trong đó lien tục trên D.

 SL 10: Những sai lầm do những khó khăn trong việc “đọc” được tính chất của hàm số
qua đồ thị của nó.
Nguyên nhân: SL do thiếu kiến thức.
6. CHƯỚNG NGẠI (VỀ NHẬN THỨC)

Trang 19


6.1 Chướng ngại
Theo S. Papert: “Kiến thức mới thường có mâu thuẫn với kiến thức cũ và việc học
tập hiệu quả đòi hỏi những chiến lược để giải quyết những mâu thuẫn như vậy. Đôi khi một
số mảng kiến thức có thể điều hịa được, đơi khi cái này hay cái kia bị loại bỏ và đôi khi cả
hai giữ lại nếu có thể duy trì chúng trong những phần riêng biệt nhau”. Kiến thức cũ thường
đặt ra những chướng ngại cho việc học tập kiến thức mới. Ngoài ra, chướng ngại cũng có
thể do nhiều nguyên nhân khác nhau như sau đây.
Khái niệm chướng ngại về nhận thức được Gaston Bachelard đưa ra vào năm 1938.
Khái niệm này được chú ý nhằm để nghiên cứu giúp nhận ra những khó khăn mà học sinh
có thể gặp phải. G. Bachelard đã giới thiệu khái niệm “chướng ngại khoa học luận” như sau:
“Chúng ta phải nêu vấn đề về tri thức khoa học liên quan đến các chướng ngại...nó nằm
ngay bên trong bản thân hành động thu nhận kiến thức, nó xuất hiện như kết quả tất yếu
không thể tránh khỏi, làm chậm tốc độ học tập và gây ra những khó khăn về nhận thức. Ở
dây, nó chính là những nguyên nhân gây ra sự đình trệ và ngay cả sự giật lùi, điều mà ta có
thể hiểu là những lí do cho tính ỳ, điều đó được chúng tơi gọi là chướng ngại khoa học
luận.”
Trên cơ sở quan niệm về chướng ngại của Bachelard, Bernard Cornu (1991) đã phân
ra thành bốn loại chướng ngại như sau:
 Chướng ngại khoa học luận (epistemological obstacles) xuất hiện bởi bản chất của
chính các khái niệm toán học. Theo G. Bachelard, chướng ngại khoa học luận xảy ra
cả trong lịch sử phát triển của tư tưởng khoa học mà còn trong cả thực tiễn giáo dục.
Theo ông, các chướng ngại khoa học luận có hai tính chất chủ yếu:

 Chướng ngại khoa học luận là không thể tránh khỏi và là những thành phần chủ
yếu của kiến thức được lĩnh hội;
 Chướng ngại khoa học luận có thể được tìm thấy, ít nhất một phần, trong lịch sử
phát triển của khái niệm.
 Chướng ngại sư phạm (didactical obstacles) xuất hiện do bản chất của việc dạy học
của thầy giáo.
 Chướng ngại tâm sinh lý (genetic and psychological obstacles) xảy ra như là kết quả
của sự phát triển cá thể của học sinh.
 Chướng ngại văn hóa (culture obstacles): loại chướng ngại này được lưu hành trong
cuộc sống văn hóa.
6.2. Cách xác định chướng ngại.
Để xác định chướng ngại, ta có các cách sau đây:

Trang 20


Thứ nhất, nghiên cứu lịch sử phát triển của khái niệm để phát hiện chướng ngại mà các nhà
toán học đã gặp phải trong quá trình phát triển khái niệm đó, chướng ngại này thường trở
thành chướng ngại khoa học luận cho học sinh khi học tập khái niệm đó.
Thứ hai, nghiên cứu những sai lầm có cùng bản chất của đa số học sinh xung quanh khái
niệm nào đó có thể giúp phát hiện các loại chướng ngại.
Ngồi hai cách trên, theo chúng tơi, ta có thể phát hiện chướng ngại bằng các cách khác như
sau:
Thứ ba, nghiên cứu cấu tạo chương trình tốn trong nhà trường phổ thơng có thể giúp giáo
viên phát hiện những chướng ngại khoa học luận vì vốn hiểu biết của học sinh có thể gây
trở ngại cho học tập cái mới. Ví dụ, nghiên cứu nội dung chương trình hình học phẳng có
thể giúp ta phát hiện những chướng ngại của học sinh khi học hình học khơng gian (do vốn
kinh nghiệm về hình học phẳng của các em gây ra).
Thứ tư, để phát hiện chướng ngại sư phạm trong học tập một khái niệm của học sinh ta có
thể tiến hành dạy khái niệm đó theo những cách khác nhau. Thơng qua việc so sánh và đánh

giá kết quả học tập của học sinh giữa các cách dạy khác nhau giúp ta phát hiện ra những
chướng ngại sư phạm do cách dạy học này hay cách dạy học khác gây ra. Nhờ đó, khi dạy
học ở từng lớp cụ thể, giáo viên có thể xác định nên dạy theo cách này hay cách khác và có
những biện pháp hạn chế những khó khăn tương ứng để giúp học sinh lĩnh hội tri thức tốt
hơn. Trong thực tiễn, giáo viên thường có khuynh hướng chủ quan về hiệu quả cách dạy học
nào đó cho các tri thức cụ thể; họ thường khơng có khâu phân tích ban đầu (phân tích tiên
nghiệm) để dự đốn những diễn biến có thể xảy ra trong dạy học, và họ cũng khơng có kiểm
tra và phân tích tiếp thu của học sinh (phân tích hậu nghiệm) để xác định tính hiệu quả của
cách dạy học mà mình tiến hành.
Thứ năm, đặc điểm ngơn ngữ và văn hóa mà có thể gây chướng ngại cho nhận thức. Ví dụ,
thuật ngữ “dần tới” có thể gây chướng ngại cho nhận thức khái niệm giới hạn. Trong thực
tiễn, chúng tôi cũng đã từng lưu ý học sinh rằng khi hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần
tới a thì f(x) chỉ dần tới L chứ khơng bao giờ bằng L.
Thứ sáu, xác định các dạng trí tuệ mà từng học sinh bị hạn chế. Thông qua quá trình dạy
học hoặc bằng khảo sát, giáo viên cần biết được mỗi học sinh có thế mạnh về dạng trí tuệ
nào và yếu về dạng trí tuệ nào. Chẳng hạn, với học sinh yếu về trí tuệ ngơn ngữ thì các em
sẽ có khó khăn về nhận thức khi học sinh chỉ trình bày bài học bằng lời.

Trang 21


PHẦN 2
HAI BÀI BÁO VỀ DIDACTIC
1. Bài báo nước ngoài
EFFICACY OF TEACHING MATHEMATICS WITH METHOD OF
DIDACTICAL GAMES IN a-didactic SITUATION
Peter Vankú

“Quaderni di Ricerca in Didattica”, n15, 2005.
G.R.I.M. (Department of Mathematics, University of Palermo, Italy)

2. Bài báo trong nước
DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Trần Anh Dũng

Luận án tiến sĩ khoa học giáo dục, 2013

Trang 22


Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

PHẦN 3
VẬN DỤNG LÝ THUYẾT DIDACTIC ĐỂ DẠY BÀI
“ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU”
I. MỤC TIÊU BÀI HỌC
1. Kiến thức: Học sinh cần nắm các nội dung sau:
 Khái niệm đường tròn;
 Định nghĩa phương trình đường trịn;
 Các dạng bài tập về thiết lập phương trình đương trịn.
 Khái niệm mặt cầu và định nghĩa phương trình mặt cầu;
2. Kĩ năng: Học sinh cần:
6. Tìm được tâm và bán kính đường trịn; mặt cầu;
7. Tìm được phương trình mặt cầu qua các dạng tốn;
8. Nhận biết được phương trình mặt cầu dạng chính tắc và dạng tổng quát.
3. Tư duy thái độ:
3. Rèn luyện kĩ năng lơgic tốn.
4. Rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo.

Trang 23



5. Rèn luyện tính chính xác khoa học trong tốn học.
II. CHUẨN BỊ – PHƯƠNG PHÁP
1. Chuẩn bị: Giáo án, sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, các câu hỏi và kiến thức cơ
bản về “ Khái niệm khối cầu”; “Phương trình mặt cầu”
2. Phương pháp: Diễn giảng, hỏi đáp, gợi mở, nêu vấn đề, đàm thoại…
III. CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH
1. Ổn định lớp: Ổn định trật tự, kiểm tra sĩ số, tác phong học sinh.
2. Kiểm tra bài cũ: (Lồng vào tiết dạy)
3. Vào bài:

TL

HĐGV-HĐHS

Nội dung

Giáo viên treo lần lượt các tấm hình: Hình 1;
Hình 2; Hình 3 và yêu cầu học sinh dự đoán kết
quả;
HS: quan sát, lắng nghe câu hỏi và trả lời;
GV: Treo tấm hình 1.

Hình 1.

Các em suy nghĩ trong 30 giây để trả lời câu hỏi
sau đây:
“Hãy chia mặt đồng hồ thành 6 phần theo ý
thích của bạn sao cho tổng các chữ số trong từng

phần bằng nhau. Cách chia như thế nào?”
HS: quan sát và thảo luận.

Trang 24


GV: nêu đáp án. Các em quan sát đáp án.

Đáp án

Yêu cầu HS lý giải.
HS: Giải thích:
Trên mặt đồng hồ có 12 chữ số, đem tổng của
chúng chia cho 6 sẽ có thương là:
(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12):6=13

GV: Treo tấm hình 2.

Hình 2.

Các em suy nghĩ trong 60 giây để trả lời câu hỏi
sau đây:
Đây là một vật thể thơng thường. Hình dưới đây
là bóng của vật thể đó từ hai góc độ quan sát
khác nhau. Hỏi hình dạng của vật thể đó như thế
nào?
HS: quan sát hình vẽ và thảo luận.

GV treo đáp án.


Đáp án.

u cần HS giải thích.
HS: Quan sát hình 2 biết đáy của vật thể là hình
trịn; vật thể nhìn ngang có chiều cao và chiều
ngang bằng nhau, nên suy luận ta nhận thấy đây
là hình trụ trịn có chiều cao bằng đường kính
đáy.

GV: Treo hình 3

Hình 3

Trang 25