ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM NGỌC THÀNH

TÍCH NGOÀI CỦA BA VECTƠ
TRONG KHÔNG GIAN
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, NĂM 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM NGỌC THÀNH

TÍCH NGOÀI CỦA BA VECTƠ
TRONG KHÔNG GIAN
VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS TRỊNH THANH HẢI

THÁI NGUYÊN, NĂM 2020


i

Mục lục
Mục lục

i

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

iv

Danh mục các hình vẽ

v

Phần mở đầu

1

1 Một số kiến thức chuẩn bị

3

1.1

1.2


Tích ngoài hai vectơ trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.3

Biểu thức tọa độ của tích ngoài hai vectơ . . . . . .

4

1.1.4

Mối quan hệ giữa tích ngoài và tích vô hướng của
hai vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.5


Diện tích của tam giác . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.6

Diện tích của hình bình hành . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.7

Diện tích của tứ giác . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Tích ngoài ba vectơ trong không gian . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


5

1.2.3

Biểu thức xác định của tích ngoài ba vectơ . . . . .

6

1.2.4

Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ khác vectơ không

7

1.2.5

Tích ngoài ba vectơ trong hình học Euclid . . . . . .

7

1.2.6

Thể tích hình hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9


ii


2 Vận dụng tích ngoài hai vectơ để giải quyết một số bài toán
trong hình học phẳng
2.1

2.2

11

Ứng dụng của tích ngoài hai vectơ trong mặt phẳng . . . . 11
2.1.1

Hệ thức giữa ba vectơ bất kì . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.2

Công thức cộng cung trong lượng giác . . . . . . . . 12

2.1.3

Đường thẳng, giao điểm của hai đường thẳng . . . . 12

2.1.4

Điều kiện đồng quy của ba đường thẳng

2.1.5

Định lý Céva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

. . . . . . 13


Một số ví dụ minh họa ứng dụng của tích ngoài hai vectơ
trong quá trình giải toán hình học phẳng . . . . . . . . . . 15

3 Vận dụng tích ngoài ba vectơ để giải quyết một số bài toán
hình học không gian
3.1

3.2

25

Ứng dụng của tích ngoài ba vectơ trong không gian . . . . . 25
3.1.1

Thể tích hình tứ diện . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.2

Điều kiện đồng phẳng cho bốn điểm . . . . . . . . . 26

3.1.3

Phương trình mặt phẳng trong hình học Euclid . . . 27

3.1.4

Định lý Thales trong không gian . . . . . . . . . . . 28

Một số ví dụ minh họa ứng dụng của tích ngoài ba vectơ

trong quá trình giải toán hình học không gian . . . . . . . . 29

Kết luận
Tài liệu tham khảo

55
57


iii

Lời cảm ơn
Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Phó Giáo sư - Tiến
sĩ Trịnh Thanh Hải. Tác giả xin trân trọng bày tỏ lòng kính trọng và biết
ơn sâu sắc tới thầy, người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn, động viên khích
lệ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và
nghiên cứu luận văn.
Qua bản luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu
trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa
Toán - Tin, cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy và tạo mọi điều
kiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu trong suốt thời gian qua.
Tác giả cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và tất cả mọi
người đã quan tâm, động viên và giúp đỡ để tác giả có thể hoàn thành
luận văn của mình.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày ... tháng ... năm 2020
Tác giả luận văn

Phạm Ngọc Thành



iv

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết
tắt
→
−
−
(→
a, b)
(a, b)
S[XY Z]
SXY Z
→
− −
→
−
→
−
a ↑↑ b (→
a ↑↓ b )
→
−
→
−
a
b
VTCP
VTPT

BĐT

→
−
−
Góc lượng giác giữa hai véc tơ →
a, b.
Góc giữa hai đường thẳng a, b.
Diện tích đại số của XY Z .
Diện tích hình học của XY Z .
→
−
−
Hai véc tơ →
a , b cùng hướng (ngược hướng).
→
−
−
Hai vectơ →
a , b cùng phương.
Vectơ chỉ phương.
Vectơ pháp tuyến.
Bất đẳng thức.


v

Danh mục các hình vẽ
Hình 1:.......................................................................................... 8
Hình 2:.......................................................................................... 8

Hình 3:.......................................................................................... 9
Hình 4:........................................................................................ 14
Hình 5:........................................................................................ 15
Hình 6:........................................................................................ 16
Hình 7:........................................................................................ 17
Hình 8:........................................................................................ 18
Hình 9:........................................................................................ 19
Hình 10:...................................................................................... 20
Hình 11:...................................................................................... 22
Hình 12:...................................................................................... 23
Hình 13:...................................................................................... 26
Hình 14:...................................................................................... 28
Hình 15:...................................................................................... 29
Hình 16:...................................................................................... 30
Hình 17:...................................................................................... 31
Hình 18:...................................................................................... 35
Hình 19:...................................................................................... 36
Hình 20:...................................................................................... 37
Hình 21:...................................................................................... 38
Hình 22:...................................................................................... 39
Hình 23:...................................................................................... 40
Hình 24:...................................................................................... 41
Hình 25:...................................................................................... 42


vi

Hình 26:...................................................................................... 45
Hình 27:...................................................................................... 46
Hình 28:...................................................................................... 47

Hình 29:...................................................................................... 48
Hình 30:...................................................................................... 49
Hình 31:...................................................................................... 50
Hình 32:...................................................................................... 50
Hình 33:...................................................................................... 51


1

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông đối với môn toán,
nội dung tích ngoài của vectơ, mà cụ thể là tích ngoài của hai vectơ trong
mặt phẳng, tích ngoài của ba vectơ trong không gian chưa được đưa vào
giảng dạy mà các nội dung này chỉ được đề cập đến trong chương trình
môn toán dành cho học sinh chuyên toán.
Trong các đề thi học sinh giỏi, có rất nhiều bài liên quan đến tích
ngoài của hai vectơ trong mặt phẳng, tích ngoài của ba vectơ trong không
gian.
Xuất phát từ thực tế trên, với mong muốn đưa ra một cách hệ thống
kiến thức về tích ngoài hai vectơ trong mặt phẳng, tích ngoài ba vectơ
trong không gian và ứng dụng khái niệm, tính chất của tích ngoài hai
vectơ trong mặt phẳng, tích ngoài ba vectơ trong không gian để giải một
số bài toán, tác giả đã lựa chọn đề tài "Tích ngoài của ba vectơ trong
không gian và ứng dụng".

2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu và trình bày một cách hệ thống về tích ngoài hai vectơ trong
mặt phẳng và tích ngoài của ba vectơ trong không gian. Đồng thời trình
bày ứng dụng của tích ngoài của hai vectơ trong mặt phẳng, tích ngoài

của ba vectơ trong không gian.


2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn có nhiệm vụ:
a. Tìm hiểu về tích ngoài hai vectơ trong mặt phẳng: Định nghĩa, tính
chất, biểu thức tọa độ tích ngoài hai vectơ, mối quan hệ giữa tích ngoài và
tích vô hướng của hai vectơ, diện tích tam giác, diện tích hình bình hành,
diện tích tứ giác
b. Tìm hiểu về tích ngoài ba vectơ trong không gian: Định nghĩa, tính
chất, biểu thức xác định của tích ngoài ba vectơ, điều kiện đồng phẳng
của ba vectơ, tích ngoài ba vectơ trong hình học Euclid, thể tích hình hộp
c. Tìm hiểu về ứng dụng tích ngoài hai vectơ trong mặt phẳng và tích
ngoài của ba vectơ trong không gian
d. Sưu tầm một số bài toán hình học phẳng, hình học không gian
trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao Đẳng; đề thi THPT Quốc Gia;
đề thi chọn học sinh giỏi trong nước và Quốc tế có thể khai thác tính chất
tích ngoài hai vectơ, tích ngoài của ba vectơ để giải. Sau đó đưa ra lời giải
các bài toán đó

4. Nội dung luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn được trình
bày trong ba chương:
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương 2. Vận dụng tích ngoài hai vectơ để vào giải quyết một số
bài toán hình học phẳng.
Chương 3. Vận dụng tích ngoài ba vectơ vào giải một số bài toán
hình học không gian.

Một cách cụ thể, luận văn sẽ trình bày các kết quả chính ở các tài
liệu tham khảo [1].


3

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương 1, luận văn chọn lọc và trình bày một số kiến thức liên
quan đến tích ngoài của hai vectơ trong mặt phẳng và tích ngoài của ba
vectơ trong không gian.

1.1

Tích ngoài hai vectơ trong mặt phẳng

1.1.1

Định nghĩa

→
−
−
Tích ngoài của hai vectơ →
a , b kí hiệu là [a, b] là một số được xác
định như sau:
→
−
→
−

a = 0
* Nếu →
−
→
− thì [a, b] = 0
b = 0
→
−
→
−
−
−
a = 0
→
− →
→
− →
* Nếu →
−
→
− thì [a, b] = | a |.| b |. sin( a , b ).
b = 0
Từ định nghĩa trên ta có ngay hệ quả hiển nhiên:

→
−
a
1.1.2

→

−
b ⇔ [a, b] = 0.

Tính chất

Tích ngoài của hai vectơ có các tính chất cơ bản sau đây:
i) [a, b] = −[b, a](phản giao hoán).
→
− −
ii) [a, b + →
c ] = [a, b] + [a, c] (phân phối).
iii) [ka, lb] = (kl)[a, b].


4

1.1.3

Biểu thức tọa độ của tích ngoài hai vectơ

→
−
−
Định lý 1.1. Trên mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ →
a (x1 ; y1 ), b (x2 ; y2 ).
Khi đó [a, b] = x1 y2 − x2 y1 .

1.1.4

Mối quan hệ giữa tích ngoài và tích vô hướng của hai

vectơ

Trong hình học phẳng, với hai vectơ tùy ý a và b, ta có biểu thức:

(a.b)2 + [a, b]2 = a2 .b2 .
1.1.5

Diện tích của tam giác

Diện tích đại số của tam giác ABC là một số đại số (có thể dương,
1 −→ −→
âm hoặc bằng không), kí hiệu là S[ABC] = [AB, AC].
2
Định lý 1.2.
i) Nếu tam giác ABC có hướng dương thì S[ABC] = SABC .
ii) Nếu tam giác ABC có hướng âm thì S[ABC] = −SABC .

−→
Hệ quả 1.1. Trên mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC . Biết rằng AB =
−→
1
(x1 ; y1 ), AC = (x2 ; y2 ). Khi đó SABC = |x1 y2 − x2 y1 |.
2
Tính chất 1.1. Cho tam giác ABC và mỗi điểm M thì
i) S[ABC] = S[M AB] + S[M BC] + S[M CA] (Hệ thức Chasle về diện tích).
−−→
−−→
−−→
ii) S[M BC] M A + S[M CA] M B + S[M AB] M C = 0.
iii) Nếu điểm M thuộc đường thẳng BC ta có:


1 −−→ −−→
S[ABC] = S[M AB] + S[M CA] = [BC, M A].
2
1.1.6

Diện tích của hình bình hành

Diện tích đại số của hình bình hành ABCD là một số đại số (có thể
−→ −→
dương, âm hoặc bằng không), kí hiệu là S[ABCD] = [AB, AC].


5

1.1.7

Diện tích của tứ giác

Diện tích đại số của tứ giác lồi ABCD được tính theo công thức sau

1 −→ −−→
S[ABCD] = [AC, BD].
2
Chứng minh.
Theo hệ thức Chasle về diện tích đại số, ta có

S[ABCD] = S[AAB] + S[ABC] + S[ACD] + S[ADA]
1 −→ −→
1 −→ −−→

= 0 + [AB, AC] + [AC, AD] + 0
2
2
1 −→ −−→ −→
= [AC, AD − AB]
2
1 −→ −−→
= [AC, BD].
2

1.2

Tích ngoài ba vectơ trong không gian

1.2.1

Định nghĩa

−
−
−
Tích ngoài của ba vectơ →
x ,→
y ,→
z trong không gian là một hàm vectơ
−
−
−
của ba vectơ →
x ,→

y ,→
z nhận giá trị thực và tuyến tính theo từng vectơ
→
−
→
−
→
−
−
−
−
−
−
−
x , y , z và phản đối xứng theo →
x ,→
y ,→
z , kí hiệu là [→
x ,→
y ,→
z ].
1.2.2

Tính chất

Tích ngoài của ba vectơ trong không gian có hai tính chất cơ bản sau
đây:

−
i) Tuyến tính đối với mỗi vectơ, nghĩa là đối với →

x chẳng hạn ta có:
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
* [→
x +→
x ,→
y ,→
z ] = [→
x ,→
y ,→
z ] + [→
x ,→
y ,→
z]
1

2

1

2


−
−
−
−
−
−
* [α→
x ,→
y ,→
z ] = α[→
x ,→
y ,→
z]
ii) Phản xứng nghĩa là nếu hoán vị hai vectơ nào đó cho nhau, thì giá
trị của tích ngoài đổi thành số đối xứng. Chẳng hạn ta có:
−
−
−
−
−
−
* [→
x ,→
y ,→
z ] = −[→
y ,→
x ,→
z]

−

−
−
* Đặc biệt:[→
x ,→
x ,→
z]=0


6

−
−
−
* Nếu trong ba vectơ →
x ,→
y ,→
z có hai vectơ cùng phương thì tích ngoài
của chúng bằng không.
−
−
−
−
−
−
−
−
Chẳng hạn: Nếu →
y = α→
x thì [→
x , α→

x ,→
z ] = α[→
x ,→
x ,→
z]=0

1.2.3

Biểu thức xác định của tích ngoài ba vectơ

−
−
−
−
−
−
Chọn ba vectơ tùy ý không đồng phẳng →
u ,→
v ,→
w thỏa mãn [→
u ,→
v ,→
w] =
−
−
−
−
−
−
δ , δ = 0 khi đó bộ ba vectơ →

x ,→
y ,→
z có thể phân tích theo →
u ,→
v ,→
w như
sau:
→
−
→
−
→
−
→
−
 x = x1 u + x2 v + x3 w
→
−
−
−
−
y = y1 →
u + y2 →
v + y3 →
w
→
−
→
−
→

−
→
−
z = z1 u + z2 v + z3 w .

(1.1)

Ta có
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
[→
x ,→
y ,→
z ] = [x1 →
u +x2 →
v +x3 →
w , y1 →
u +y2 →
v +y3 →
w , z1 →

u +z2 →
v +z3 →
w]
Ta khai triển vế phải dựa vào hai tính chất tuyến tính và phản xứng, cuối
cùng sẽ được:
−
−
−
[→
x ,→
y ,→
z ] = (x1 y2 z3 + x2 y3 z1 + x3 y1 z2 − x3 y2 z1 − x2 y1 z3 − x1 y3 z2 ) ×
−
−
−
[→
u ,→
v ,→
w]
x1 x2 x3
Quy ước y1 y2 y3 =x1 y2 z3 + x2 y3 z1 + x3 y1 z2 − x3 y2 z1 − x2 y1 z3 − x1 y3 z2
z1 z2 z3
được gọi là định thức.
Vậy ta có

x1 x2 x3
→
−
→
−

→
−
−
−
−
[ x , y , z ] = y1 y2 y3 [→
u ,→
v ,→
w]
z1 z2 z3

(1.2)

Chú ý 1.1. Định thức có thể viết dưới dạng
x1 x2 x3
∆ = y1 y2 y3 = z1 (x2 y3 −x3 y2 )+z2 (x3 y1 −x1 y3 )+z3 (x1 y2 −x2 y1 )
z1 z2 z3
x1 x2 x3
hay ∆ = y1 y2 y3 = Az1 + Bz2 + Cz3 ,với A = x2 y3 − x3 y2 ,
z1 z2 z3
B = x3 y1 − x1 y3 , C = x1 y2 − x2 y1 .
−
−
Nếu chọn hai vectơ →
x, →
y không cùng phương thì A, B , C không triệt
tiêu đồng thời và ta có thể chọn z1 , z2 , z3 bằng vô số cách tức là chọn vectơ


7


→
−
−
−
−
z sao cho ∆=0 và do đó [→
x ,→
y ,→
z ]=0.
→
−
−
−
Vậy ta có vô số cách chọn x ,→
y ,→
z để cho tích ngoài của chúng khác
không.
1.2.4

Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ khác vectơ không

−
−
−
Định lý 1.3. Ba vectơ khác vectơ không →
x ,→
y ,→
z là đồng phẳng nếu và
chỉ nếu tích ngoài của chúng bằng không.

Chứng minh

−
−
−
−
−
−
* Điều kiện cần: Giả sử →
x ,→
y ,→
z đồng phẳng khi đó ta có →
z = α→
x + β→
y
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→

−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
và [ x , y , z ] = [ x , y , α x + β y ] = α[ x , y , x ] + β[ x , y , y ] = 0.
−
−
−
* Điều kiện đủ: Giả sử ta có [→
x ,→
y ,→
z ] = 0.
−
−
Nếu →
x ,→
y cùng phương thì rõ ràng là chúng đồng phẳng với mọi vectơ
→
−
z.
→
−
→

−
−
−
−
−
Nếu →
x ,→
y không cùng phương, ta chọn vectơ t sao cho [→
x ,→
y , t ] = 0.
→
−
−
−
Cho nên các vectơ {→
x ,→
y , t } sẽ không đồng phẳng (theo điều kiện cần)
→
− −
→
−
−
−
−
−
−
và ta có thể phân tích vectơ →
z theo →
x ,→
y, t :→

z = α→
x + β→
y + γ t và
→
−
→
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
[→
x ,→
y ,→
z ] = [→
x ,→
y , α→
x + β→
y + γ t ] = γ[→
x ,→
y , t ].
→
−
−
−

−
Ta thấy [→
x ,→
y , t ] = 0 kéo theo γ = 0 suy ra vectơ →
z đồng phẳng
−
−
với hai vectơ →
x ,→
y.
1.2.5

Tích ngoài ba vectơ trong hình học Euclid

Khái niệm cơ sở trực chuẩn

−
−
−
−
−
−
Quy ước [→
x ,→
y ,→
z ] = 1 nếu vectơ →
x ,→
y ,→
z là ba vectơ đơn vị và tạo
→

−
→
−
→
−
thành tam diện thuận thì bộ ba { x , y , z } được gọi là một cơ sở trực
chuẩn.
Định lý 1.4. Nếu tích ngoài bằng 1 với một cơ sở trực chuẩn nào đó rồi
thì nó sẽ bằng 1 với mọi cơ sở trực chuẩn khác.
Chứng minh


8

Trước hết ta lấy một cở sở trực chuẩn thứ 2
→
− →
− −
−
là { x , y , →
z } có chung vectơ →
z với cơ sở trực
−
−
−
chuẩn {→
x ,→
y ,→
z }.
−

−
−
Ta phải chứng minh [→
x ,→
y ,→
z ] = 1 suy ra
→
− →
− →
−
[ x , y , z ] = 1.
Thật vậy gọi α là góc xOx (xem hình vẽ 1) ta sẽ
có
→
−
−
−
x = cos α→
x + sin α→
y
→
−
→
−
−
−
−
y = − sin α→
x + cos α→
y,z =→

z
cos
α
sin
α
0
→
− →
− →
−
và [ x , y , z ] = − sin α cos α 0 = cos2 α + sin2 α = 1.
0
0
1
→
− →
− →
−
Trong trường hợp tổng quát, vị trí của x , y , z là bất kì so với vị
−
−
−
trí của →
x ,→
y ,→
z.
Ta gọi OU là giao tuyến của mặt phẳng (XOY ) với mặt phẳng vuông
góc với OZ qua O, tức là mặt phẳng chứa OX , OY . Ta chọn trục OV
→
−

−
−
−
−
−
sao cho {→
u ,→
v , z } là trực chuẩn và trục OR sao cho {→
u ,→
r ,→
z } là trực
chuẩn (xem hình 2).

−
−
−
Ta lần lượt biến đổi cơ sở {→
x ,→
y ,→
z}
theo ba bước:
−
−
−
i){→
x ,→
y ,→
z} →

−

−
−
{→
u ,→
r ,→
z } với
phép quay trục Z , góc ψ
→
−
−
−
−
−
−
ii){→
u ,→
r ,→
z } → {→
u ,→
v , z } với
phép quay trục U , góc θ
→
−
→
− →
− →
−
−
−
iii){→

u ,→
v , z } → { x , y , z } với
phép quay trục Z , góc ϕ
Trong mỗi bước cơ sở sau có chung
một trục với cơ sở trước, cho nên nếu
tích ngoài của cơ sở trước bằng một thì tích ngoài của cơ sở sau cũng bằng
→
− →
− →
−
→
−
−
−
−
−
−
−
−
−
một: [ x , y , z ] = [→
u ,→
v , z ] = [→
u ,→
r ,→
z ] = [→
x ,→
y ,→
z ] = 1.
Các góc ψ , θ, ϕ gọi là các góc Euler (Động học).



9

1.2.6

Thể tích hình hộp

−
−
−
Cho ba vectơ bất kì, không đồng phẳng →
x ,→
y ,→
z . Từ điểm O bất kì
−
→
−
−
→
−
→
−
−
−
dựng →
x = OA, →
y = OB, →
z = OC.
Dựng hình hộp với ba cạnh OA, OB, OC gọi là hình hộp dựng trên

−
−
−
ba vectơ →
x ,→
y ,→
z.
−
−
−
−
Ta chọn một cơ sở trực chuẩn {→
u ,→
v ,→
w } sao cho →
u cùng phương

−
−
−
−
với vectơ →
x, →
v đồng phẳng với →
y ,→
z.
Như vậy, ta có thể viết (xem hình 3)
→
−
−

−
x = |→
x |.→
u

→
−
−
−
−
−
x = |→
y |. cos α.→
u + |→
y |. sin α.→
v (trong đó ta gọi α là góc xOy )
→
−
→
−
→
−
−
−
−
Mặt khác ta phân tích →
z = k + h ,trong đó k đồng phẳng →
x, →
y
→

−
−
−
−
−
và →
v , còn h theo phương →
w (vuông góc với mặt phẳng (→
u ,→
v )).
→
− →
−
→
−
−
−
−
−
−
−
−
Khi đó: [→
x ,→
y ,→
z ] = [→
x ,→
y , k + h ] = [→
x ,→
y, h]

→
−
−
−
vì ta có [→
x ,→
y , k ] = 0.

→
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Vậy [→
x ,→
y ,→
z ] = [|→
x |→
u , |→
y | cos α.→
u +|→
y | sin α.→
v, h]
→

−
−
−
−
−
= |→
x ||→
y | sin α.[→
u ,→
v , h ].
→
−
→
− −
nhưng h = ±| h |.→
w , cho nên
→
− − →
−
−
−
−
−
−
[→
x ,→
y ,→
z ] = ±|→
x ||→
y | sin α| h |[→

u ,−
v ,→
w]
→
−
→
−
→
−
= ±| x || y | sin α| h |
−
−
ta thấy |→
x ||→
y | sin α = S , nếu gọi S là diện tích hình bình hành dựng bởi
→
−
→
−
−
x ,→
y . Còn | h | là chiều cao của hình hộp mà đáy là hình bình hành ấy
−→
−
và đáy trên có một đỉnh là C (→
z = OC).
−
−
−
Ta có [→

x ,→
y ,→
z ] = ±|h|S = ±V ,V là thể tích hình hộp có cạnh
OA, OB, OC.
→
−
−→ −−→ −→
−
Nếu h cùng hướng với →
w , tức là tam diện {OA, OB, OC} là thuận
−
−
−
thì ta có [→
x ,→
y ,→
z ] = V.
−→
−−→
−→
−
−
−
Như vậy thể tích hình hộp có cạnh OA = →
x , OB = →
y , OC = →
z
→
−
→

−
→
−
→
−
→
−
→
−
bằng [ x , y , z ] nếu tam diện { x , y , z } là thuận. Nếu tam diện ấy là
nghịch, ta có tích ngoài âm nên phải lấy giá trị tuyệt đối.
−
−
−
Tóm lại, tích ngoài [→
x ,→
y ,→
z ] là thể tích của hình hộp dựng trên ba


10

−
−
−
−
−
−
vectơ →
x ,→

y ,→
z với dấu + nếu {→
x ,→
y ,→
z } là một tam diện thuận, với dấu
− nếu ngược lại. Đó là ý nghĩa hình học của tích ngoài ba vectơ.
Chú ý 1.2. Từ công thức (1.2)
x1 x2
→
−
→
−
→
−
chuẩn thì [ x , y , z ] = y1 y2
z1 z2

−
−
−
nếu chọn bộ ba {→
u ,→
v ,→
w } là cơ sở trực
x3
−
−
−
y3 = [→
x ,→

y ].→
z.
z3


11

Chương 2
Vận dụng tích ngoài hai vectơ để
giải quyết một số bài toán trong
hình học phẳng
2.1

Ứng dụng của tích ngoài hai vectơ trong mặt
phẳng

2.1.1

Hệ thức giữa ba vectơ bất kì

Định lý 2.1. Trên mặt phẳng cho ba vectơ bất kì a, b, c thì ta luôn có:

[b, c].a + [c, a].b + [a, b].c = 0.

(2.1)

Chứng minh
* Nếu cả ba vectơ a, b, c cùng phương với nhau thì [a, b] = [b, c] = [c, a] = 0
dẫn đến (2.1) luôn đúng.
* Nếu có ít nhất một cặp vectơ không cùng phương, chẳng hạn a và b, thì


[a, b] = 0 và vectơ c = αa + β b
(∗)
Lần lượt lấy tích ngoài của hai vế với a và b, ta được:[c, a] = β[b, a],
[c, a]
[b, c]
,β = −
(∗∗)
[c, b] = α[a, b] tức là α = −
[a, b]
[a, b]
−[b, c]a − [c, a]b
Từ (∗) và (∗∗) ta có c =
[a, b]
hay là [b, c].a + [c, a].b + [a, b].c = 0.


12

2.1.2

Công thức cộng cung trong lượng giác

Định lý 2.2. Cho ba vectơ a, b, c là những vectơ đơn vị: |a| = |b| = |c| = 1;
gọi (a, c), (a, b), (b, c) là những góc lượng giác; ta đặt (a, b) = α, (b, c) = β
thì

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

(2.2)


Chứng minh
Theo định lý Chasles về góc cho ta hệ thức:

(a, c) = (a, b) + (b, c) + k2π , k là số nguyên
hay (a, c) = α + β + k2π .
Từ (2.1)ta có [a, c].b = [a, b].c + [b, c].a
Nhân vô hướng với b ta có: [a, c].b2 = [a, b].c.b + [b, c].a.b
Do a, b, c là ba vectơ đơn vị, ta được công thức (2.2).
2.1.3

Đường thẳng, giao điểm của hai đường thẳng

Đường thẳng

Đường thẳng đi qua A, theo phương u là quỹ tích điểm M sao cho
−−→
−−→
AM cùng phương với u tức là [AM , u] = 0 hay là

−−→ −→
[OM − OA, u] = 0

(2.3)

Với O là điểm gốc đã chọn. Phương trình (2.3) là phương trình của đường
thẳng.
Giao của hai đường thẳng

−

Cho thêm một đường thẳng thứ hai đi qua B theo phương →
v (khác
→
−
u ), mà phương trình là

Ta đặt

−−→ −−→
[OB − OM , v] = 0.

(2.4)

−−→
OM = αu + βv.

(2.5)


13

−−→
và cho OM thỏa mãn (2.3) và (2.4), ta có:

−→
[OA − αu − βv, u] = 0
−−→
[OB − αu − βv, v] = 0

−→

[OA, u] + β[u, v] = 0
⇔ −−→
[OB, v] − α[u, v] = 0
Từ đó, ta rút α, β thay vào (2.5) được giao điểm của hai đường thẳng
(2.3) và (2.4) là:
−−→
−→
−−→ [OB, v].u − [OA, u].v
OM =
(2.6)
[u, v]
2.1.4

Điều kiện đồng quy của ba đường thẳng

Lại cho thêm đường thẳng thứ ba có phương trình là:

−→ −−→
[OC − OM , w] = 0

(2.7)

Ba đường thẳng (2.3), (2.4) và (2.7) là đồng quy nếu và chỉ nếu giao
của hai đường (2.3) và (2.4), cho bởi (2.6) thỏa mãn phương trình (2.7).
−→ −−→
−→
Điều kiện đó là: [[u, v]OC − [OB, v]u + [OA, u]v, w] = 0
hay là

−→

−→
−−→
[u, v][OC, w] + [v, w][OA, u] + [w, u][OB, v] = 0

(2.8)

Công thức (2.8) là điều kiện đồng quy cho ba đường thẳng (2.3), (2.4)
và (2.7).

−→
Chú ý 2.1. Có thể lấy điểm C trùng với điểm gốc O. Khi ấy OC = 0.
Điều kiện (2.8) trở thành

−→
−−→
[v, w][OA, u] + [w, u][OB, v] = 0.

(2.9)

Chú ý 2.2. Nếu một đường thẳng được xác định bởi hai điểm, tức nếu
cho ba đường thẳng AA , BB và CC thì ta lấy các vectơ chỉ phương là
−−→ −−→ −→
−−→ −−→ −−→
−−→ −−→ −→
u = AA = OA − OA, v = BB = OB − OB, w = CC = OC − OC rồi
áp dụng công thức (2.8) và (2.9).


14


2.1.5

Định lý Céva

Cho tam giác ABC . Trên các cạnh (có thể kéo dài) BC, CA, AB lần
lượt cho các điểm A , B , C . Hãy tìm điều kiện đồng quy cho ba đường
thẳng AA , BB , CC .
Chứng minh

−−→
−−→
BC
AB
Ta đặt: α = −−→ , β = −−→ ,
AC
BA
−−→
CA
γ = −−→
CB
Từ đó, ta suy ra:
−−→
−→
−−→ OB − αOC
OA =
,
1−α
−→
−→
−−→ OC − β OA

OB =
,
1−β
−→
−−→
−−→ OA − γ OB
OC =
1−γ
(với O là điểm gốc đã chọn)
Chọn O ≡ C , ta có:
−−→
−−→
OB
OA =
,
1−α
−→
−−→ −β OA
OB =
,
1−β
−→
−−→
−−→ OA − γ OB
OC =
1−γ
Ta lại có:
−−→
−→
−−→ −→ OB − (1 − α)OA

u = OA − OA =
1−α
−→
−−→
−−→ −−→ −β OA − (1 − β)OB
v = OB − OB =
1−β
−→
−−→
−−→ −→ OA − γ OB
w = OC − OC =
1−γ
−→ −−→
Áp dụng điều kiện (2.9), ta sẽ được (1 + αβγ)[OA, OB]2 = 0
−→ −−→
Nhưng [OA, OB] = 0, cho nên αβγ = −1.


15

2.2

Một số ví dụ minh họa ứng dụng của tích ngoài
hai vectơ trong quá trình giải toán hình học
phẳng

Ví dụ 2.1. [3] Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M, N theo thứ tự
thuộc các cạnh AB, BC . Các điểm I, J, K theo thứ tự là các trung điểm
của các đoạn DM, M N, N D. Chứng minh rằng AI, BJ, CK đồng quy.
Lời giải.

Đặt O = AI ∩ BJ .
−→ −→
−→ −−→
Ta có [OI, OA] = [OJ, OB] = 0. Ta có

−−→ −→
−→ −→
−→ −−→
−−→ −→
[OK, OC] = [OI, OA] − [OJ, OB] + [OK, OC]
1 −−→ −−→ −→
1 −−→ −−→ −−→
1 −−→ −−→ −→
= [OM + OD, OA] − [OM + ON , OB] + [ON + OD, OC]
2
2
2
−−→ −→
−−→ −−→
1 −−→ −→
=
[OM , OA] + [OD, OA] − [OM , OB]
2
−−→ −−→
−−→ −−→
−−→ −→
−[ON , OB] + [ON , OV ] + [OD, OC]
−−→ −→ −−→
−−→ −→
−−→ −→

1 −−→ −→ −−→
=
[OM , OA − OB] + [ON , OC − OB] + [OD, OA] + [OD, OC]
2
−−→ −−→
−−→ −→
−−→ −→
1 −−→ −→
=
[OM , BA] + [ON , BC] + [OD, OA] + [OD, OC]
2
−→ −−→
−−→ −→
−−→ −→
1 −→ −→
[OA, BA] + [OC, BC] + [AD, OA] + [CD, OC]
=
2
−→ −−→ −−→
1 −→ −→ −−→
=
[OA, BA + DA] + [OC, BC − DC
2
−→ −→
1 −→ −→
[OA, CA] + [OC, AC]
=
2



16

1 −→ −→ −→
= [OA − OC, CA]
2
1 −→ −→
= [CA, CA] = 0.
2
Suy ra OK//OC ⇒ O ∈ KC.
Vậy AI, BJ, CK đồng quy.
Ví dụ 2.2. [1] Cho tam giác ABC và điểm M khác A, B, C . Các đường
thẳng qua M , lần lượt vuông góc với M A, M B, M C, cắt các đường thẳng

BC, CA, AB tại A1 , B1 , C1 . Chứng minh rằng A1 , B1 , C1 thẳng hàng.
Lời giải.

−−−→ −−→
−−−→ −−→
S[M A1 B]
A1 B
[M A1 , M B] M B.sin(M A1 , M B)
Ta có
=
= −−−→ −−→ =
−−−→ −−→ (1)
S[M A1 C]
A1 C
[M A1 , M C]
M C.sin(M A1 , M C)
Mặt khác ta có:

−−−→ −−→
−−−→ −−→
−−→ −−→
(M A1 , M B) ≡ (M A1 , M A) + (M A, M B)(mod 3600 )
−−−→ −−→
−−−→ −−→
−−→ −−→
(M A1 , M C) ≡ (M A1 , M A) + (M A, M C)(mod 3600 )
−−−→ −−→
Có thể xảy ra một trong hai trường hợp góc (M A1 , M A) ≡ 900 (mod 3600 )
−−−→ −−→
hoặc (M A1 , M A) ≡ −900 (mod 3600 )
Tuy nhiên, trong cả hai trường hợp ta đều có:
−−→ −−→
−−−→ −−→
sin(M A1 , M B) cos(M A, M B)
(2)
−−−→ −−→ =
−−→ −−→
sin(M A1 , M C)
cos(M A, M C)


17

Từ (1) và (2), suy ra
−−→ −−→
A1 B
M B.cos(M A, M B)
(3)

=
−−→ −−→
A1 C
M C.cos(M A, M C)
Tương tự như vậy
−−→ −−→
B1 C
M C.cos(M B, M C)
=
(4)
−−→ −−→
B1 A
M A.cos(M A, M B)
−−→ −−→
C1 A
M A.cos(M C, M A)
(5)
=
−−→ −−→
C1 B
M B.cos(M C, M B)
Nhân theo từng vế các đẳng thức (3), (4) và (5) theo định lí Menelaus
thì ba điểm A1 , B1 , C1 thẳng hàng.
Ví dụ 2.3. [3] Cho tam giác ABC . Các điểm M, N, P theo thứ tự thuộc
các cạnh BC, CA, AB . Các điểm X, Y, Z theo thứ tự là trọng tâm của các
tam giác AN P, BP M, CM N . Chứng minh rằng

9
SABC < SXY Z .
2

Lời giải.

Không mất tính tổng quát, ta giả sử tam giác ABC có hướng dương.
1 −−→ −−→
Ta có SXY Z = S[XY Z] = [XY , XZ]
2
1 1 −→ −−→ 1 −→ −−→
= . .(AB + N M ), (AC + P M )
2 3
3
1 1 −→ −→
1 −−→ −→
1 −→ −−→
1 −−→ −−→
= . [AB, AC] + [N M , AC] + [AB, P M ] + [N M , P M ]
9 2
2
2
2
1
= .(S[ABC] + S[AM C] + S[ABM ] + S[M N P ] )
9