TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học: 2020-2021

Chương 3
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP

Bài 1

Lý thuyết. Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n  * là đúng với mọi n mà không thể
thử trực tiếp thì có thể làm như sau:
 Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n  1.
 Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n  k  1 (gọi là giả thiết quy nạp),
chứng minh rằng nó cũng đúng với n  k  1.
Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp.
Một cách đơn giản, ta có thể hình dung như sau: Mệnh đề đã đúng khi n  1 nên theo kết quả ở
bước 2, nó cũng đúng với n  1  1  2. Vì nó đúng với n  2 nên lại theo kết quả ở bước 2, nó
đúng với n  2  1  3,... Bằng cách ấy, ta có thể khẳng định rằng mệnh đề đúng với mọi số tự
nhiên n  * .
2. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n  p ( p là một số tự
nhiên) thì:
 Bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n  p;
 Bước 2, giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n  k  p và phải chứng minh rằng nó

cũng đúng với n  k  1.
DẠNG: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT
ĐẲNG THỨC, TÍNH CHIA HẾT, HÌNH HỌC…
A. Phương pháp giải
Giả sử cần chứng minh đẳng thức P(n)  Q(n) (hoặc P (n)  Q (n) ) đúng với n  n0 , n0   ta
thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính P(n0 ), Q (n0 ) rồi chứng minh P(n0 )  Q (n0 )
Bước 2: Giả sử P(k )  Q(k ); k  , k  n0 , ta cần chứng minh

P (k  1)  Q(k  1) .

B. Bài tập tự luận
n(n  1)
2
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................

Câu 1.

Chứng mình với mọi số tự nhiên n  1 ta luôn có: 1  2  3  ...  n 

Facebook Nguyễn Vương  Trang 1


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489


Câu 2. Chứng minh với mọi số tự nhiên n  1 ta luôn có: 1  3  5  ...  2n  1  n 2
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
1.3.5...  2n  1
1
Câu 3. Chứng minh rằng với n  1 , ta có bất đẳng thức:

2.4.6.2n
2n  1
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
2 n 1

x n ( x n 1  1)  x  1 
Câu 4. Chứng minh rằng với n  1, x  0 ta có bất đẳng thức:

 . Đẳng thức xảy
xn  1
 2 
ra khi nào?
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
Câu 5. Cho
hàm
số
số
nguyên.
Chứng
minh
rằng
nếu
f :  ,
n  2 là
f ( x)  f ( y )
 x y
 f
 x, y  0 (1)thìta có
2

 2 
f ( x1 )  f ( x2 )  ...  f ( xn )
 x  x  ...  xn 
 f 1 2
 xi  0 , i  1, n (2).
n
n


............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
Câu 6. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 , ta luôn có
n(n  1)(2n  1)

a. 12  2 2  ...  (n  1)2  n 2 
6
1 2
n 3 2n  3
b.  2  ...  n  
3 3
3
4 4.3n
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
Facebook Nguyễn Vương 3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489


...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
Câu 7.
a. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 ta có:

2  2  2  ...  2  2  2 cos


2n 1

(n dấu căn)

nx
(n  1) x
sin
2
2
b. Chứng minh các đẳng thức sin x  sin 2 x  ...sin nx 
với x  k 2 với n  1 .
x
sin

2
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
Câu 8. Chứng minh rằng với mọi n  1 ta có bất đẳng thức:
sin

sin nx  n sin x x  
...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
Câu 9.
n

 1
a. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 , ta có :  1    3
 n

b. 3n  3n  1 với mọi số tự nhiên n  2 ;
2.4.6.2n
c.
 2n  1 với mọi số tự nhiên n  1 ;
1.3.5...  2n  1

............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
Facebook Nguyễn Vương 5


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 10. Cho

hàm

số

f xác

định

với

mọi


x

và

thoả

mãn

điều

kiện: f ( x  y )  f ( x). f ( y ), x, y   (*). Chứng minh rằng với mọi số thực x và mọi số tự
2n

  x 
nhiên n ta có: f  x    f  n  
  2 
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
Câu 11. Cho n là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: an  16 n –15n –1 225
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
Câu 12. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 thì A(n)  7 n  3n  1 luôn chia hết cho 9
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
Câu 13. Cho n là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: Bn   n  1 n  2  n  3 .  3n  3n
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
Câu 14. Trong mặt mặt phẳng cho n điểm rời nhau (n > 2) tất cả không nằm trên một đường thẳng. Chứng
minh rằng tất cả các đường thẳng nối hai điểm trong các điểm đã cho tạo ra số đường thẳng khác
nhau không nhỏ hơn n.
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
Facebook Nguyễn Vương 7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
Câu 15. Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi (n  3) bằng (n  2)1800 .
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
Câu 16.
a. Chứng minh rằng với n  2 , ta luôn có an   n  1 n  2  ...  n  n  chia hết cho 2n .
b. Cho a, b là nghiệm của phương trình x 2  27 x  14  0
Đặt S  n   a n  b n . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì S (n) là một số nguyên
không chia hết cho 715.
c. Cho hàm số f :    thỏa f (1)  1, f (2)  2 và f (n  2)  2 f (n  1)  f (n) .
Chứng minh rằng: f 2 (n  1)  f (n  2) f (n)  (1) n
n

d. Cho pn là số nguyên tố thứ n . Chứng minh rằng: 22  pn .
e. Chứng minh rằng mọi số tự nhiên không vượt qua n ! đều có thể biểu diễn thành tổng của
không quá n ước số đôi một khác nhau của n ! .
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
Facebook Nguyễn Vương 9



NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 17. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: x 2  6 x  1  0 . Đặt an  x1n  x2n . Chứng minh rằng:
a. an  6an 1  an 2

n  2 .

b. an là một số nguyên và an không chia hết cho 5 với mọi n  1 .
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
Câu 18.
a. Trong không gian cho n mặt phẳng phân biệt ( n  1 ), trong đó ba mặt phẳng luôn cắt nhau và
không có bốn mặt phẳng nào có điểm chung. Hỏi n mặt phẳng trên chia không gian thành bao
nhiêu miền?
b. Cho n đường thẳng nằm trong mặt phẳng trong đóhai đường thẳng bất kì luôn cắt nhau và
không có ba đường thẳng nào đồng quy. Chứng minh rằng n đường thẳng này chia mặt phẳng

n2  n  2
miền.
2
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
thành

Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
Câu 19.
a. Cho a, b, c, d , m là các số tự nhiên sao cho a  d , (b  1)c , ab  a  c chia hết cho m . Chứng
minh rằng xn  a.b n  cn  d chia hết cho m với mọi số tự nhiên n .
b. Chứng minh rằng từ n  1 số bất kì trong 2n số tự nhiên đầu tiên luôn tìm được hai số là bội

của nhau.
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................
Facebook Nguyễn Vương 11


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 1.

C. Bài tập trắc nghiệm
Một học sinh chứng minh mệnh đề ''8n  1 chia hết cho 7, n  * '' * như sau:
 Giả sử * đúng với n  k , tức là 8k  1 chia hết cho 7.
 Ta có: 8k 1  1  8  8k  1  7 , kết hợp với giả thiết 8k  1 chia hết cho 7 nên suy ra được

8k 1  1 chia hết cho 7. Vậy đẳng thức * đúng với mọi n  * .

Câu 2.

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Học sinh trên chứng minh đúng.
B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp.
C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp.
D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp.
1
1
1
1
Cho S n 
với n  * . Mệnh đề nào sau đây đúng?



 ... 
1 2 2  3 3  4
n.  n  1
1
1
2
1
B. S 2  .
C. S 2  .
D. S3  .
.
12
6
3
4
1
1
1
1


 ... 
Cho S n 
với n  * . Mệnh đề nào sau đây đúng?
1 2 2  3 3  4
n.  n  1

A. S3 
Câu 3.


n 1
n
n 1
n2
B. S n 
C. S n 
D. S n 
.
.
.
.
n
n 1
n2
n3
1
1
1

 ... 
Cho S n 
với n  * . Mệnh đề nào sau đây đúng?
1 3 3  5
2
n

1

2
n


1




A. S n 
Câu 4.

n 1
n
n
n2
B. S n 
C. S n 
D. S n 
.
.
.
.
2n  1
2n  1
3n  2
2n  5
1 
1 
1 

Cho Pn  1  2   1  2  ...  1  2  với n  2 và n  . Mệnh đề nào sau đây đúng?
 2  3   n 


A. S n 
Câu 5.

A. P 
Câu 6.

n 1
.
n2

B. P 

n 1
.
2n

C. P 

n 1
.
n

D. P 

n 1
.
2n

Với mọi n  * , hệ thức nào sau đây là sai?

n  n  1
A. 1  2  ...  n 
2
B. 1  3  5  ...   2n  1  n 2 .

n  n  1 2n  1
6
2n  n  1 2n  1
2
D. 22  42  62     2n  
.
6
Xét hai mệnh đề sau:
I) Với mọi n  * , số n3  3n 2  5n chia hết cho 3.
C. 12  22  ...  n 2 

Câu 7.

II) Với mọi n  * , ta có

Câu 8.

1
1
1 13

 ... 

.
n 1 n  2

2n 24

Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ I.
B. Chỉ II.
C. Không có.
D. Cả I và II.
*
Với n   , hãy rút gọn biểu thức S  1.4  2.7  3.10  ...  n  3n  1 .
2

A. S  n  n  1 .

2

B. S  n  n  2  .

Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021

C. S  n  n  1 .
Câu 9.

D. S  2n  n  1 .

Kí hiệu k !  k  k  1 ...2.1, k  * . Với n  * , đặt S n  1.1! 2.2! ...  n.n !. Mệnh đề nào dưới
đây là đúng?
A. S n  2.n !.


B. S n   n  1! 1 .

C. S n   n  1! .

D. S n   n  1! 1 .

2

2

Câu 10. Với n  * , đặt Tn  12  22  32  ...   2n  và M n  22  4 2  62  ...   2n  . Mệnh đề nào dưới
đây là đúng?
T
4n  1
A. n 
.
M n 2n  2

B.

Tn
4n  1
.

M n 2n  1

C.

Tn 8n  1
.


Mn
n 1

D.

Tn
2n  1
.

Mn
n 1

Câu 11. Tìm số nguyên dương p nhỏ nhất để 2n  2n  1 với mọi số nguyên n  p .
A. p  5 .

C. p  4 .

B. p  3 .

D. p  2 .

Câu 12. Tìm tất cả các giá trị của n   sao cho 2  n .
A. n  5 .
B. n  1 hoặc n  6 . C. n  7 .
D. n  1 hoặc n  5 .
1
1
1
an  b

Câu 13. Với mọi số nguyên dương n , ta có:
, trong đó a, b, c là

 ... 

 3n  1 3n  2  cn  4
2.5 5.8
*

n

2

các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức T  ab 2  bc 2  ca 2 .
A. T  3 .
B. T  6 .
C. T  43 .
D. T  42 .
1  an  2
 1  1  
Câu 14. Với mọi số nguyên dương n  2 , ta có:  1   1   ... 1  2  
, trong đó a, b là các số
 4   9   n  bn  4
nguyên. Tính các giá trị của biểu thức T  a 2  b 2 .
A. P  5 .
B. P  9 .
C. P  20 .
3
3
3

4
3
2
Câu 15. Biết rằng 1  2  ...  n  an  bn  cn  dn  e, n  * .

D. P  36 .
Tính giá trị

biểu

thức

M  abcd e.

1
1
.
D. M  .
4
2
3
Câu 16. Biết rằng mọi số nguyên dương n , ta có 1.2  2.3  ...  n  n  1  a1n  b1n 2  c1n  d1 và
A. M  4 .

C. M 

B. M  1 .

1.2  2.5  3.8  ...  n  3n  1  a2 n3  b2 n 2  c2 n  d 2 .


Tính

giá

trị

biểu

thức

T  a1a2  b1b2  c1c2  d1d 2 .
4
2
.
D. T  .
3
3
k
k
k
Câu 17. Biết rằng 1  2  ...  n , trong đó n, k là số nguyên dương. Xét các mệnh đề sau:

A. T  2 .

C. M 

B. T  1 .

2


n 2  n  1
n  n  1 2n  1  3n 2  3n  1
n  n  1
n  n  1 2n  1
S1 
, S2 
, S3 
và S 4 
.
30
4
2
6
Số các mệnh đề đúng trong các mệnh đề nói trên là:
A. 4 .

B. 1 .

C. 2 .
2

D. 3 .

2

n  n  1
là sai.
4
Câu 18. Xét Câu toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương n bất đẳng thức n !  2n 1 ”. Một học sinh đã
trình bày lời giải Câu toán này bằng các bước như sau:

Bước 1: Với n  1 , ta có: n !  1!  1 và 2n1  211  20  1 . Vậy n !  2n 1 đúng.
Câu 1, chúng ta thấy ngay được chỉ có S3 

Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với n  k  1 , tức là ta có k !  2k 1 .
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n  k  1 , nghĩa là phải chứng minh  k  1 !  2k .
Facebook Nguyễn Vương 13


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Bước 3 : Ta có  k  1 !   k  1 .k !  2.2k 1  2k . Vậy n !  2n 1 với mọi số nguyên dương n .
Chứng minh trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào ?
A. Đúng.

B. Sai từ bước 2.

C. Sai từ bước 1.

D. Sai từ bước 3.

2

1
1
1
an  bn

 ... 
 2
, trong đó a, b, c, d và n là các số

1.2.3 2.3.4
n  n  1 n  2  cn  dn  16
nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức T   a  c  b  d  .

Câu 19. Biết rằng

là :
A. T  75 .
B. T  364 .
C. T  300 .
D. T  256 .
Câu 20. Tam giác ABC là tam giác đều có độ dài cạnh là 1. Gọi A1 , B1 , C1 lần lượtlà trung điểm
BC , CA, AB . Gọi A2 , B2 , C2 lần lượtlà trung điểm B1C1 , C1 A1 , A1 B1 …Gọi An , Bn , Cn lần lượtlà trung

điểm Bn 1Cn 1 , Cn 1 An 1 , An 1 Bn 1 . Tính diện tích tam giác An Bn Cn ?
1
.
4n

1
.
3n

n

1
.
2n

3

D.   .
4
Câu 21. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là 1. Gọi A1 , B1 , C1 , D1 lần lượtlà trung điểm

A.

AC , BC , CD, DA . Gọi

B.

C.

A2 , B2 , C2 , D2 lần lượtlà trung điểm

A1 B1 , B1C1 , C1 D1 , D1 A1

…Gọi

An , Bn , Cn , Dn lần lượtlà trung điểm An 1 Bn 1 , Bn 1Cn 1 , Cn 1 Dn 1 , Dn 1 An 1 . Tính diện tích tứ giác
An Bn Cn Dn ?
n

1
1
1
3
.
B. n .
C. n .
D.   .

4n
3
2
4
Câu 22. Trên một mặt phẳng cho n đường tròn phân biệt, đôi một cắt nhau và không có ba đường tròn nào
giao nhau tại một điểm. Các đường tròn này chia mặt phẳng thành 92 các miền rời nhau. Tìm n .
A. 10 .
B. 12 .
C. 9 .
D. 11 .
Câu 23. S n  (n  1)(n  2)(n  3)...( n  n) luôn chia hết cho

A.

A. 2n .

B. 3n .

C. 4n .

D. 2n1 .
n

Câu 24. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của n, n  100 để un

2  3   2  3

2

n


 1 là số chính

phương?
A. 50 .
B. 30 .
C. 49 .
D. 49 .
Câu 25. Trên một mặt phẳng cho n đường thẳng phân biệt cùng đi qua 1 điểm phân biệt, này chia mặt
phẳng thành 100 phần rời nhau. Tìm n .
A. 50 .
B. 40 .
C. 20 .
D. 25 .
Câu 26. Bài toán chứng minh A  4 n  15n  1 chia hết cho 9 bằng phương pháp nào dưới đây là thích hợp
nhất?
A. Đồng dư thức.
B. Quy nạp.
C. Tách hạng tử.
D. Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 9.
2n2
 32 n 1 .  5 (1) với n là số nguyên dương. Một học sinh đã giải như sau:
Câu 27. Chứng minh. B  7.2
Bước 1: Xét với n  1 ta có B  10  5
Bước 2: Giả sử (1) đúng với n  k (k  , k  1) , khi đó: Bk  7.22 k  2  32 k 1  5 .
Bước 3: Chứng minh (1) đúng với n  k  1 , hay ta cần chứng minh
Bk 1  7.2 2( k 1)  2  32( k 1) 1  5
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021


Thật vậy Bk 1  7.2 2( k 1)  2  32( k 1) 1  5
 7.22 k  2  2  32 k 1 2
 7.22 k  2.4  32 k 1.9
 4(7.2 2 k  2.4  32 k 1 )  5.32 k 1  5
 4 Bk  5.32 k 1  5 ( Bk  5 )

Vậy Bk 1  5
Bước 4: Vậy B  7.22 n  2  32 n 1  5 với n là số nguyên dương.
Lập luận trên đúng đến bước nào?
A. Bước 1.
B. Bước 2.
C. Bước 3.
D. Bước 4.
n
Câu 28. Cho C  7  3n  1 ,Trong quy trình chứng minh C 9 theo phương pháp quy nạp, giá trị của a
trong biểu thức Ck 1  7.Ck  a (2k  1) là:
A. 9.
B. 0.
C. 9.
D. 18.
3
Câu 29. Với mọi số nguyên dương n thì S n  n  11n chia hết cho số nào sau đây?
A. 6 .
B. 4 .
C. 9 .
D. 12 .
3
2
Câu 30. Với mọi số nguyên dương n thì S n  n  3n  5n  3 chia hết cho số nào sau đây?

B. 4 .

A. 3 .

C. 5 .

D. 7 .
2n

Câu 31. Với mọi số nguyên dương n , a là số nguyên dương cho trước, D  a  1 chia hết cho:
A. a .
B. a 2  1 .
C. a 2 .
D.  a 2  1 .
Câu 32. Cho E  4k  a.k  1 , với a là số tự nhiên. Giá t m  a  1 rị nhỏ nhất của a để E 9 là:
A. 0 .
B. 3 .
C. 6 .
D. 9 .
n
Câu 33. Với mọi số nguyên dương n thì S n  4  15n  1 chia hết cho số nào sau đây?
A. 4 .
B. 6 .
C. 9 .
D. 7 .
2
2
2
2
Câu 34. Với mọi n  N * , tổng S n  1  2  3  ...  n thu gọn có dạng là biểu thức nào sau đây?

A.

n  n  1 n  2 
6

.

B.

n  n  2  2n  1
6

.

n 2  n  1
.
2
6
Câu 35. Với mọi số nguyên dương n thì S n  4 2 n  32 n  7 chia hết cho số nào sau đây?

C.

n  n  1 2n  1

.

D.

A. 23.3 .
B. 22.3.7 .

C. 2.32.7 .
Câu 36. Với mọi n  * biểu thức S  n   1  2  3  ...  n bằng
A.

n  n  1
2

.

B. n  n  1 .

C.

n  n  1
2

D. 2.3.7 2 .

.

D.

n  n  1 n  2 

Câu 37. Biết rằng với mọi số nguyên dương n ta có 1  2  3  .....  n  an 2  bn . Tính
A. 2 .
B. 1 .
C. 3 .
Câu 38. Tổng các góc trong một đa giác lồi n cạnh  n  3 là:
A. n.1800 .


B.  n  11800 .

C.  n  2 1800 .

6

.

a
.
b

D. 6 .
D.  n  31800 .

Câu 39. Mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
A. 2n  n 2 , n  * .
B. 2n  n 2 , n  * \ 1; 2;3; 4 .
C. 2n  n 2 , n  *

D. 2n  n 2 , n   .
Facebook Nguyễn Vương 15


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 40. Với mọi n  N * , tổng S n  1.2  2.3  3.4  ...  n.  n  1 thu gọn có dạng là biểu thức nào sau
đây?
n  n  1 n  2  n  3

.
A.
6
C.

n  n  1 n  2 
2

D.

B.

n  n  1 n  2 
.
3

n 2  3n  1
.
4
2

Câu 41. Với mọi n  N * , tổng S n  12  32  52  ...   2n  1 thu gọn có dạng là biểu thức nào sau đây?
n  n 2  1

n  2n 2  1

n  4n 2  1

.
B.

.
C.
D. Đáp số khác.
3
3
3
Câu 42. Giả sử với mọi n nguyên dương ta có: 1.4  2.7  .....  n  3n  1  An3  Bn 2  Cn . Tính
A.

A B C ?
A. 1 .
B. 2 .
Câu 43. Mệnh đề nào là mệnh đề đúng?

C. 3.

D. 4 .

A. Với mọi số tự nhiên n , tồn tại một đa thức P  n  sao cho cos n  Pn  cos   .

n  n  1
, n  * .
2
C. 2n  n 2 , n  *
B. 1  2  ....  n 

n

D.  n  1  n n 1 , n  * .
Câu 44. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2n 1  n 2  3n.

A. n  3 .
B. n  5 .
C. n  6 .

D. n  4 .

Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học: 2020-2021

Chương 3
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP

Bài 1

 
 
Lý thuyết. Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên  n  *  là đúng với mọi  n  mà không thể 
thử trực tiếp thì có thể làm như sau: 
 Bước 1. Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với  n  1.  
 Bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì  n  k  1  (gọi là giả thiết quy nạp), 
chứng minh rằng nó cũng đúng với  n  k  1.  
Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp. 
Một cách đơn giản, ta có thể hình dung như sau: Mệnh đề đã đúng khi  n  1  nên theo kết quả ở 
bước  2,  nó cũng đúng với  n  1  1  2.  Vì nó đúng với  n  2  nên lại theo kết quả ở bước  2,  nó 
đúng  với  n  2  1  3,...   Bằng  cách  ấy,  ta  có  thể  khẳng  định  rằng  mệnh  đề  đúng  với  mọi  số  tự 
nhiên  n  * .  
2.  Chú  ý:  Nếu  phải  chứng  minh  mệnh đề  là  đúng  với  mọi  số  tự  nhiên  n  p   ( p   là  một  số  tự 
nhiên) thì: 

  Bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với  n  p;  
  Bước 2, giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì  n  k  p  và phải chứng minh rằng nó 

cũng đúng với  n  k  1.  
DẠNG: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT
ĐẲNG THỨC, TÍNH CHIA HẾT, HÌNH HỌC…
A. Phương pháp giải
Giả sử cần chứng minh đẳng thức  P(n)  Q(n)  (hoặc  P (n)  Q (n) ) đúng với  n  n0 ,  n0    ta 
thực hiện các bước sau: 
Bước 1: Tính  P(n0 ),  Q (n0 )  rồi chứng minh  P(n0 )  Q (n0 )  
Bước 2: Giả sử  P(k )  Q(k );  k  , k  n0 , ta cần chứng minh 
P (k  1)  Q(k  1) . 

B. Bài tập tự luận
Câu 1.

Chứng mình với mọi số tự nhiên  n  1  ta luôn có:  1  2  3  ...  n 

n(n  1)
2

Lời giải
Đặt  P (n)  1  2  3  ...  n : tổng n số tự nhiên đầu tiên : 
n(n  1)
 
2
Ta cần chứng minh  P (n)  Q (n)  n  , n  1 . 
Q ( n) 

Bước 1: Với  n  1  ta có  P(1)  1,  Q (1) 


1(1  1)
 1 
2

 P(1)  Q(1)  (1)  đúng với  n  1 . 

Bước 2: Giả sử  P(k )  Q (k )  với  k  , k  1  tức là: 
1  2  3  ...  k 

k (k  1)
(1) 
2

Ta cần chứng minh  P (k  1)  Q(k  1) , tức là: 
Facebook Nguyễn Vương  1


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

1  2  3  ...  k  (k  1) 

(k  1)(k  2)
(2) 
2

Thật vậy:  VT (2)  (1  2  3  ...  k )  (k  1)  
k ( k  1)
 (k  1) (Do đẳng thức (1)) 
2

k
(k  1)(k  2)
 (k  1)(  1) 
 VP(2)  
2
2
Vậy đẳng thức chođúng với mọi  n  1 . 


Câu 2.

Chứng minh với mọi số tự nhiên  n  1  ta luôn có:  1  3  5  ...  2n  1  n 2
Lời giải
2

  Với  n  1  ta có  VT  1,  VP  1  1  

Suy ra  VT  VP   đẳng thức cho đúng với  n  1 . 
  Giả sử đẳng thức chođúng với  n  k  với  k  , k  1  tức là: 
1  3  5  ...  2k  1  k 2 (1) 
Ta cần chứng minh đẳng thức chođúng với  n  k  1 , tức là: 
2

1  3  5  ...  (2k  1)  (2k  1)   k  1 (2) 

Thật vậy:  VT (2)  (1  3  5  ...  2k  1)  (2k  1)  
 k 2  (2k  1) (Do đẳng thức (1)) 
 (k  1)2  VP(1.2)  
Vậy đẳng thức chođúng với mọi  n  1 . 
Câu 3.


Chứng minh rằng với  n  1 , ta có bất đẳng thức: 

1.3.5...  2n  1
1

2.4.6.2n
2n  1

Lời giải
1 1
* Với  n  1  ta có đẳng thức chotrở thành: 
 2  3 đúng. 
2
3
  đẳng thức chođúng với  n  1 . 
* Giả sử đẳng thức chođúng với  n  k  1 , tức là: 
1.3.5...  2k  1
1
(1) 

2.4.6...2k
2k  1
Ta phải chứng minh đẳng thức chođúng với  n  k  1 , tức là: 
1.3.5...  2k  1 2k  1
1
(2) 

2.4.6....2k  2k  2 
2k  3

Thật vậy, ta có: 
VT (2) 

1.3.5...(2k  1) 2k  1
1
2k  1
2k  1
.


 
2.4.6...2k
2k  2
2k  1 2k  2 2 k  2

2k  1
1

 (2k  1)(2k  3)  (2k  2)2  
2k  2
2k  3
 3  1  (luôn đúng) 
Vậy đẳng thức chođúng với mọi số tự nhiên  n  1 . 
Ta chứng minh: 

Câu 4.

x n ( x n 1  1)  x  1 
Chứng minh rằng với  n  1, x  0  ta có bất đẳng thức: 



xn  1
 2 
ra khi nào?

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />
2 n 1

. Đẳng thức xảy 


TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 

Lời giải
3

  Với  n  1  ta cần chứng minh:

x( x 2  1)  x  1 
2
4

  8 x( x  1)  ( x  1)  
x 1
2



Tức là:  x 4  4 x3  6 x 2  4 x  1  0  ( x  1) 4  0  (đúng) 
Đẳng thức xảy ra khi  x  1 . 

x k ( x k 1  1)  x  1 
  Giả sử 


xk  1
 2 

 x 1 
Thật vậy, ta có:  

 2 

2 k 3

2 k 1

x k 1 ( x k  2  1)  x  1 
, ta chứng minh 


x k 1  1
 2 
2

 x 1  x 1

 

 2   2 


2 k 1

2 k 3

(*) 

2

k
k 1
 x  1  x ( x  1)
 


xk  1
 2 
2

k
k 1
k 1
k 2
 x  1  x ( x  1) x ( x  1)
Nên để chứng minh (*) ta chỉ cần chứng minh 
 


xk  1
x k 1  1
 2 

2

 x  1  k 1
2
k 2
k
Hay  
 ( x  1)  x( x  1)( x  1) (**) 
 2 
Khai triển (**), biến đổi và rút gọn ta thu được 
x 2 k  2 ( x  1)2  2 x k 1 ( x  1)2  ( x  1) 2  0  ( x  1)2 ( x k 1  1) 2  0  BĐT này hiển nhiên đúng. Đẳng 

thức có   x  1 . 
Vậy Câu toán được chứng minh. 
Chú ý: Trong một số trường hợp để chứng minh mệnh đề  P (n)  đúng với mọi số tự nhiên  n  ta có 
thể chứng minh theo cách sau 
Bước 1: Ta chứng minh  P (n)  đúng với  n  1  và  n  2k  
Bước 2: Giả sử  P (n)  đúng với  n  k  1 , ta chứng minh  P (n)  đúng với  n  k . 
Cách chứng minh trên được gọi là quy nạp theo kiểu Cauchy (Cô si). 
Câu 5.

Cho 

hàm 

số 

f :    , 

n  2 là 


số 

nguyên. 

Chứng 

minh 

rằng 

nếu 

f ( x)  f ( y )
 x y
 f
   x, y  0  (1)thìta có
2
 2 
f ( x1 )  f ( x2 )  ...  f ( xn )
 x  x  ...  xn 
 f 1 2
 xi  0 ,  i  1, n  (2).
n
n


Lời giải
k
Ta chứng minh (2) đúng với  n  2 ,  k  1  

* Với  k  1  thì (8.2) đúng (do (1)) 

* Giả sử (2) đúng với  n  2k , ta chứng minh (2) đúng với  n  2 k 1  
 x1  ...  x2k 
Thật vậy:  f ( x1 )  ... f ( x2k )  2 k f 
 
2k



 x k  ...  x k 1 
f ( x2k 1 )  ... f ( x2k 1 )  2 k f  2 1 k 2   
2


 x1  ...  x2k
Do đó:  f ( x1 )  ... f ( x2k 1 )  2k f 
2k

 x1  ...  x2k  x2k 1  ...  x2k 1
 2k 1 f 
2k 1


 k
2


 x k  ...  x k 1
f  2 1 k 2

2



 



 . 


Do vậy (2) đúng với mọi  n  2k . 
  Giả sử (2) đúng với mọi  n  k  1  3 , tức là 
Facebook Nguyễn Vương 3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

f ( x1 )  f ( x2 )  ...  f ( xk 1 )
 x  x  ...  xk 1 
 f 1 2
 (3) 
k 1
k 1


Ta chứng minh (8.2) đúng với  n  k , tức là 
f ( x1 )  f ( x2 )  ...  f ( xk )
 x  x  ...  xk 
 f 1 2

 (4) 
k
k


x  x  ...  xk x
Thật vậy: đặt  xk 1  1 2
 , áp dụng (3) ta có 
k
k
 x
x

f ( x1 )  f ( x2 )  ...  f ( xk )  f  
x1  x2  ...  

k f
k  


k 1
k

1




f ( x1 )  f ( x2 )  ...  f ( xk )
 x  x  ...  xk 

Hay
 f 1 2
 . 
k
k


Vậy Câu toán được chứng minh. 
Chú ý: Chứng minh tương tự ta cũng có Câu toán sau 
f ( x1 )  f ( x2 )  ...  f ( xn )
f ( x)  f ( y )
 f ( xy ) x, y  0 (a) thì ta có
 f
Nếu 
2
n



n

xi  0,  i  1, n  (b). 
Câu 6.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên  n  1 , ta luôn có 
n(n  1)(2n  1)
a.  12  22  ...  (n  1) 2  n 2 
 
6
1 2

n 3 2n  3
b.   2  ...  n  
 
3 3
3
4 4.3n
Lời giải
a. Bước 1: Với  n  1  ta có: 
1(1  1)(2.1  1)
VT  12  1,  VP 
 1  VT  VP  
6
  đẳng thức cho đúng với  n  1 . 
Bước 2: Giả sử đẳng thức chođúng với  n  k  1 , tức là: 
k (k  1)(2k  1)
(1) 
12  22  ...  (k  1) 2  k 2 
6
Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với  n  k  1 , tức là cần chứng minh: 
( k  1)(k  1)(2k  3)
12  22  ...  ( k  1) 2  k 2  ( k  1) 2 
(2). 
6
Thật vây: 
do  (1)
k (k  1)(2k  1)
 ( k  1) 2  
VT (2)  12  22  ...  k 2   (k  1) 2 
6


 2k 2  k
 (k  1)(2k 2  7 k  6)
 (k  1) 
 k  1 
 
6
 6

(k  1)(k  2)(2k  3)

 VP(2)  
6
 (2)  đúng   đẳng thức chođúng với mọi  n  1 . 
b. * Với  n  1  ta có  VT  1  VP   đẳng thức cho đúng với  n  1  
1 2
k 3 2k  3
* Giả sử đẳng thức cho đúng với  n  k  1 , tức là:  2  ...  k  
(1) 
3 3
3
4 4.3k
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />


x1 x2 ...xn với 


TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 

Ta sẽ chứng minh đẳng thức chođúng với  n  k  1 , tức là cần chứng minh 

1 2
k k  1 3 2k  5
(2). 
 2  ...  k  k 1  
3 3
3
3
4 4.3k 1
3 2k  3 k  1 3 2k  5
Thật vậy: VT (2)  
 k 1  
 VP (2)  
4 4.3k
3
4 4.3k 1
 (2)  đúng    đẳng thức cho đúng. 
Câu 7.
a. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên  n  1  ta có: 
2  2  2  ...  2  2  2 cos


2 n 1

(n dấu căn) 
sin

b. Chứng minh các đẳng thức  sin x  sin 2 x  ...sin nx 

nx
(n  1) x

sin
2
2
 với  x  k 2 với  n  1 . 
x
sin
2

Lời giải
a.
* Với  n  1  VT  2,  VP  2 cos



 2 
4
 VT  VP   đẳng thức cho đúng với  n  1 . 
* Giả sử đẳng thức chođúng với  n  k , tức là: 
2  2  2  ...  2  2  2 cos



2 k 1
Ta sẽ chứng minh đẳng thức chođúng với  n  k  1 , tức là: 
2  2  2  ...  2  2  2 cos


2k  2

(k dấu căn)(1) 


( k  1  dấu căn)(2). 



Thật vậy: VT (2)    2  2  2  ...  2  2  2  2 cos k 1  



2
k  dau can

 2(1  cos


2

k 1

)  4 cos 2


2

k 2

 2 cos


2k  2


 VP(2)  

(Ở trên ta đã sử đụng công thức  1  cos a  2 cos 2

a
). 
2

 (2)  đúng    đẳng thức chođúng. 

x
sin sin x
2
b.    Với  n  1  ta có  VT  sin x,  VP 
 sin x  nên đẳng thức chođúng với  n  1  
x
sin
2
  Giả sử đẳng thức chođúng với  n  k  1 , tức là: 
kx
(k  1) x
sin sin
2
2
sin x  sin 2 x  ...sin kx 
(1) 
x
sin
2

Ta chứng minh (4) đúng với  n  k  1 , tức là 

Facebook Nguyễn Vương 5


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

sin
sin x  sin 2 x  ...sin( k  1) x 

(k  1) x
(k  2) x
sin
2
2
(2) 
x
sin
2

kx
(k  1) x
sin
2
2
Thật vậy:  VT (2) 
 sin(k  1) x  
x
sin
2

kx
(k  1) x
x

sin  2 cos
sin 
(k  1) x 
2
2
2  
 sin


x
2 

sin

2

(k  1) x
(k  2) x
sin
sin
2
2

 VP(2)  
x
sin

2
Nên (2) đúng. Suy ra đẳng thức chođúng với mọi  n  1 . 
sin

Câu 8.

Chứng minh rằng với mọi  n  1  ta có bất đẳng thức: 
sin nx  n sin x x    
Lời giải
* Với  n  1  ta có:  VT  sin1.  1. sin   VP  nên đẳng thức cho đúng. 
* Giả sử đẳng thức cho đúng với  n  k  1 , tức là: sin kx  k sin x (1) 
Ta phải chứng minh đẳng thức chođúng với  n  k  1 ,tức là: 

sin(k  1)   k  1 sin  (2) 
Thật vậy: 
sin  k  1   sin k cos   cos k sin   
 sin k . cos   cos k . sin   sin k  sin   

 k sin   sin    k  1 . sin   
Vậy đẳng thức chođúng với  n  k  1 , nên đẳng thức chocũng đúng với mọi số nguyên dương  n . 
Câu 9.
n

 1
a. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên  n  1 , ta có :   1    3  
 n
b. 3n  3n  1  với mọi số tự nhiên  n  2 ; 
2.4.6.2n
c. 
 2n  1 với mọi số tự nhiên  n  1 ; 

1.3.5...  2n  1
Lời giải
k

2

n n
 1
a. Ta chứng minh   1    2   1   ,1  k  n (1) bằng phương pháp quy nạp theo  k . Sau đó 
n
k
k


cho  k  n  ta có (7). 
1 1 1
* Với  k  1  VT (1)  1   2   1  VP(1)  
n n n
 (1)  đúng với  k  1 . 
* Giải sử (1) đúng với  k  p,  1  p  n , tức là: 
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 
p

2

p
p
 1

 1    2   1 (2). 
n
n
 n
Ta chứng minh (1) đúng với  k  p  1 , tức là 
 1
1  
 n

 1
Thật vậy:   1  
 n

p 1

 1
 1  
 n

p

p 1



( p  1) 2 p  1

 1 (3). 
n2
n


2
p  1 
 1  p
.  1     2   1  1    
n  n 
 n  n



p2 p2  p p  1
p p2  p p  1



1



1  
n3
n2
n
n2
n2
n



p2  2 p 1 p 1

( p  1) 2 p  1

1 

 1  (3)  đúng    đpcm. 
2
n
n
n2
n
n

Cách khác: Khi  n  1  2  3 (đúng) dễ thấy khi  n  1 

1
 1
tiến dần về  0  1   tiến gần về 
n
 n

n

 1
1 .Vậy  n  1 ta luôn có  1    3  
 n

b. Với  n  2  ta có:  VT  32  9  VP  3.2  1  7  nên đẳng thức chođúng với  n  1  
  Giả sử đẳng thức chođúng với  n  k  2 , tức là:  3k  3k  1 (1) 
Ta chứng minh đẳng thức chođúng với  n  k  1 , tức là: 
3k 1  3(k  1)  1  3k  4 (2) 

Thật vậy:  3k 1  3.3k  3(3k  1)  3k  4  (6k  1)  3k  4  nên (2) đúng. 
Vậy Câu tóan được chứng minh. 
2
c. Với  n  1  ta có:  VT   2,  VP  3  đẳng thức chođúng với  n  1  
1
  Giả sử đẳng thức chođúng với  n  k  1 , tức là: 
2.4.6.2k
 2k  1 (1) 
1.3.5...  2k  1
Ta chứng minh đẳng thức chođúng với  n  k  1 , tức là: 
2.4.6.2k (2k  2)
 2k  3 (2) 
1.3.5...  2k  1 (2k  1)
Thật vậy: 

2.4.6.2k (2k  2)
2 k  2 2k  2
 
 2k  1.

1.3.5...  2k  1 (2k  1)
2k  1
2k  1

2k  2
2
 2k  3   2k  2   (2k  1)(2k  3)  
2k  1
 4  3  hiển nhiên đúng. 
Vậy Câu toán được chứng minh. 


Nên ta chứng minh 

Câu 10. Cho 

hàm 

số 

f xác 

định 

với 

mọi 

x 

và 

thoả 

mãn 

điều 

kiện: f ( x  y )  f ( x). f ( y ),   x, y   (*).  Chứng  minh  rằng  với  mọi  số  thực  x   và  mọi  số  tự 
2n


  x 
nhiên  n  ta có: f  x    f  n    
  2 
Lời giải
x
a. Trong BĐT  f ( x  y )  f ( x). f ( y )  thay  x  và  y  bằng  , ta được: 
2
Facebook Nguyễn Vương 7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 
2

 x x
 x  x
 x 
f     f   . f    f  x    f ( )  
2 2
2 2
 2 
Vậybất đẳng thức đã chođúng với  n  1 . 
Giả sử bất đẳng thức đúng với  n  k  1 . Ta có 
2k

  x 
f  x    f  k 
(1) 
  2 
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với  n  k  1 , tức là: 


  x 
f  x    f  k 1  
  2 

2 k 1

 (2) 
2

 x 
 x
x    x 
Thật vậy ta có: f 
 f


f 
  
 2k 
 2k  1 2k  1    2k  1  
k
2k 
2 2
  x 
  x  
 
f 
  f 



   2k  1   
  2k  





  x 
f 

  2k  

2k

  x 
f 

  2k  1  

2k  1
 
2 k 1

  x 
Do tính chất bắc cầu ta có được:  f  x    f  k 1    
  2 
Bất đẳng thức đúng với  n  k  1  nên cũng đúng với mọi số tự nhiên n. 
Câu 11. Cho  n  là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng:  an  16 n –15n –1 225
Lời giải
  Với  n  1  ta có:  a1  0  a1  225 . 

  Giả sử  ak  16k  15k  1 225 , ta chứng minh 

ak 1  16 k 1  15(k  1)  1 225  
Thậ vậy:  ak 1  16.16k  15k  16  16k  15k  1  15 16k  1  
 ak  15 16k  1  

Vì  16k  1  15. 16k 1  16k  2  ...  115  và  ak  225  
Nên ta suy ra  ak 1  225 . Vậy Câu toán được chứng minh 
Câu 12. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên  n  1  thì  A(n)  7 n  3n  1  luôn chia hết cho  9
Lời giải
* Với  n  1  A(1)  7  3.1  1  9  A(1) 9  
1

* Giả sử  A(k ) 9 k  1 , ta chứng minh  A(k  1) 9  
Thật vậy: A(k  1)  7 k 1  3(k  1)  1  7.7 k  21k  7  18k  9  
 A( k  1)  7 A(k )  9(2k  1)  
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 11 – Năm học 2020-2021 

 A(k ) 9
Vì  
 A(k  1) 9  
9(2k  1) 9
Vậy  A(n)  chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên  n  1 . 
Câu 13. Cho  n  là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng:  Bn   n  1 n  2  n  3 .  3n  3n
Lời giải
  Với  n  1 , ta có: B1  2.3 3  
  Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là: 


Bk   k  1 k  2  k  3  3k  3k  
Ta chứng minh: Bk 1   k  2  k  3 k  4   3  k     1   3k 1  

Bk 1   3  k  1 k  2  k  3  3k  3k  1 3k  2   
 3Bk  3k  1 3k  2   
Mà  Bk  3k  nên suy ra  Bk 1  3k 1 . 
Vậy Câu toán được chứng minh. 
Câu 14. Trong mặt mặt phẳng cho n điểm rời nhau (n > 2) tất cả không nằm trên một đường thẳng. Chứng 
minh rằng tất cả các đường thẳng nối hai điểm trong các điểm đã cho tạo ra số đường thẳng khác 
nhau không nhỏ hơn n.
Lời giải
Giả sử mệnh đề đúng với n  k  3 điểm.
Ta chứng minh nó cũng đúng cho n  k  1 điểm.
Ta có thể chứng minh rằng tồn tại ít nhất một đường thẳng chỉ chứa có hai điểm. Ta kí hiệu đường 
thẳng đi qua hai điểm  An  và  An 1  là  An An 1 . Nếu những điểm  A1 , A2 ,..., An  nằm trên một đường 
thẳng thì số lượng các đường thẳng sẽ đúng là  n  1 : Gồm  n  đường thẳng nối  An 1  với các điểm 
A1 , A2 ,..., An  và đường thẳng chúng nối chung. Nếu  A1 , A2 ,..., An  không nằm trên một đường thẳng 
thì theo giả thiết quy nạp có n đường thẳng khác nhau. Bây giờ ta thêm các đường thẳng nối  An 1  
với các điểm  A1 , A2 ,..., An . Vì đường thẳng  An An 1  không chứa một điểm nào trong  A1 , A2 ,..., An 1 , 
nên đường thẳng này khác hoàn toàn với n đường thẳng tạo ra bởi  A1 , A2 ,..., An . Như vậy số đường 
thẳng tạo ra cũng không nhỏ hơn  n  1 . 
Câu 15. Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi  (n  3)  bằng  ( n  2)1800 .
Lời giải
 Với n  3 ta có tổng ba góc trong tam giác bằng 1800
 Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với k  n , ta phải chứng minh mệnh đề cũng

đúng cho n-giác. Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh
của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ
hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là  k  11800 và


 n  k  11800 .
Facebook Nguyễn Vương 9