Đề thi GVG cấp THCS
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (123.61 KB, 3 trang )
Phßng GD - §T H ¬ng S¬n
§Ò thi Chän gi¸o viªn giái huyÖn THCS n¨m häc 2008 - 2009
M«n To¸n
Thời gian làm bài: 120 phút
----------------------------
Câu 1. a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình
2004x y+ =
b) Tìm m
∈
N để 13m + 3 là số chính phương .
Câu 2. Giải phương trình sau:
2 2
x 1 x 1 0− − + =
Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
2
x 1
A
x 1
−
=
+
Câu 4. Khối 9 của một trường có 56 em học sinh cần phụ đạo thêm, trong
đó có 32 nam. Nhà trường dự kiến chia thành các tổ học phụ đạo sao cho:
- Mỗi tổ gồm có các học sinh nam, các học sinh nữ.
- Số các học sinh nam, số học sinh nữ được chia đều vào các tổ.
- Số người trong mỗi tổ không quá 15 em nhưng cũng không ít hơn
9 em.
Hãy tính xem nhà trường có thể sắp xếp như thế nào và có tất cả mấy
tổ ?
Câu 5. Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và CD vuông góc với
nhau. Trong đoạn AB lấy điểm M khác 0. Đường thẳng CM cắt đường tròn
(O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến
với đường tròn (O) tại N ở điểm P. Chứng minh rằng:
a) Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn.
b) Tứ giác CMPO là hình bình hành.
c) CM.CN = 2R
2
d) Khi M di chuyển trên đoạn AB thì P di chuyển ở đâu ?
------------------------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM THI GVG NĂM HỌC 2008 -2009
MÔN TOÁN
Câu Nội dung – yêu cầu
1
(6,0đ)
a)(3đ)
2004x y+ =
2 501x y+ =
do vế phải là số vô tỷ =>
x y+
là các số vô tỷ và các căn này phải đồng dạng với 501 . Đặt 501x a= và
501 501 501y b x y a b= => + = +
( a,b
≥
0 ; a,b
∈
Z) . Ta cã a+b = 2
a 0 1 2
b 2 1 0
=>
x 0 501 2004
y 2004 501 0
b)(3đ) Đặt 13 m + 3 = x
2
( x
∈
Z ) => 13( m-1) = x
2
- 16= (x-4)(x+4) (1)
=> (x-4)(x+4) M13 mà 13 là nguyên tố => (x+4) M13 hoặc (x-4) M13 hay x+4
= 13 k hoặc x-4 = 13k' ( k,k'
∈
N ) . Với n+4 = 13k => x = 13 k - 4 . Từ (1) ta
có 13( m-1) = 13k ( 13k - 8) m = 13k
2
- 8k +1
với x - 4 = 13k' => x = 13k' +4
từ (1) ta có 13( m-1) = 13k'( 13k' +8) m= 13k'
2
+8k' +1 => m= 13l
2
±
8l+1
(l
∈
N) thì 13m +3 là số chính phương
2
(2,5đ)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
x 1 x 1 0 x 1 x 1
x 1 0 x 1
x 1 x 1 x 1 x 1 0
x 1 hay x 1
x 1 hoac x 1
x 1 x 1 1 0
x 1 0hoac x 2 0
x 1 hay x 1
x 1 hay x 1 hay x 2 hay x 2
− − + = ⇔ − = −
− ≥ ≥
⇔ ⇔
− = − − − − =
≤ − ≥
≤ − ≥
⇔ ⇔
− − − =
− = − =
≤ − ≥
⇔
= = − = = −
3
(2,5đ)
Ta có
2 2
2 2 2
2
2 2
x 1 x 1 2 2
A 1
x 1 x 1 x 1
1 2
Do x 1 1 1 2
x 1 x 1
Suy ra A 1
A 1 x 0
− + −
= = = −
+ + +
−
+ ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≥ −
+ +
≥ −
= − ⇔ =
Vậy GTNN của A bằng -1 khi x = 0
4
(3đ)
* Gọi số HS nam được chia vào tổ là x,
số HS nữ được chia vào tổ là y,
x, y nguyên dương.
Theo đề ra ta có hệ:
32 24
x y
=
(1)
9
≤
x + y
≤
15 (2)
Từ (1) ta có: 3x – 4y = 0 =>
4
3
x y
=
Đặt y = 3t, t > 0 và t
∈
z, ta có: x = 4t
Từ (2), ta có: 9
≤
3t + 4t
≤
15 hay 9
≤
7t
≤
15
=>
9
7
< t
≤
15
7
=>
2 2
1 2
7 7
t
< ≤
Vì t
∈
z nên giá trị t cần tìm là t = 2, ta tính ra x = 8; y = 6
Như vậy, mỗi tổ có 8 HS nam, 6 HS nữ.
Số tổ được chia là:
56
4
6 8
=
+
tổ
5
(6đ)
C
a)(1đ)
A B
N
E P D F
* Tam giác OMP vuông tại M nên O, M, P thuộc đường tròn đường kính
OP.
* Tam giác ONP vuông tại N nên O, N, P thuộc đường tròn đường kính OP.
* Vậy O, M, N, P cùng thuộc đường tròn đường kính OP.
b)(1,5đ) MP//OC (vì cùng vuông góc với AB)
·
·
NMP NCD=
(hai góc đồng vị)
·
·
ONC OCN=
(hai góc đáy của tam giác cân ONC)
·
·
NMP NOP=
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung NP)
Suy ra
·
·
MNO NOP=
; do đó, OP//MC.
Vậy tứ giác MCOP là hình bình hành.
c)(1,5đ)
( . )CND COM g g∆ ∆:
Nên
OC CM
CN CD
=
hay CM.CN = OC.CD = 2R
2
d)(2đ) Vì MP = OC = R không đổi.
Vậy P chạy trên đường thẳng kẻ từ D //AB. Do M chỉ chạy trên đoạn AB nên
P chỉ chạy trên EF thuộc đường thẳng song nói trên.
M
O
