SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

PHÒNG GD & ĐT HUYỆN KRÔNG ANA
TRƯỜNG THCS BUÔN TRẤP
­­­­­­­­­­

TÊN SÁNG KIẾN:

MỘT SỐ KINH NGHIỆM
VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ TRONG GIẢI
BÀI TẬP HÌNH HỌC 7
Thuộc bộ môn Toán
    
 

Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Kim Thoa
Chức danh: Giáo viên
Trình độ chuyên môn cao nhất: Đại học
Chuyên ngành đào tạo: Sư phạm Toán.

                             

Krông Ana, tháng 03 năm  2017

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

1


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Trong quá trình dạy học và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán cấp THCS, tôi 
nhận thấy đa số  học sinh đều rất sợ  học Hình học. Không chỉ  đối với các em  
học sinh trung bình, yếu, kém sợ  học môn Hình học mà ngay cả  học sinh khá, 
giỏi cũng vậy. Rất hiếm có học sinh thực sự yêu thích học Hình. Cứ đến các tiết 
Hình học các em thường rất sợ  và không thích học, cảm giác bị  bắt buộc nên  
không có hứng thú học tập vì thế  chất lượng học Hình học của học sinh chưa 
cao. 
Nguyên nhân chủ  yếu là do các em chưa nắm vững được hệ  thống kiến 
thức, chưa biết cách vẽ hình cũng như chưa biết cách trình bày lời giải một bài  
toán Hình học. Do nắm kiến thức chưa sâu, hiểu vấn đề một cách mơ hồ, chưa 
nắm vững bản chất kiến thức, chưa có khả năng vận dụng tốt kiến thức để giải 
bài tập,  chưa nắm được nhiều phương pháp giải các dạng toán  Hình học  nên 
học sinh thường gặp khó khăn khi giáo viên yêu cầu học sinh giải bài tập. Ngay 
cả đối với các bài toán Hình học đã cho đầy đủ các yếu tố trên hình vẽ, vẫn còn  
nhiều học sinh chưa biết cách để giải bài toán thế nào chứ chưa kể đến các bài 
toán đòi hỏi phải vẽ thêm yếu tố phụ để giải hoặc chứng minh.
Có rất nhiều bài tập Hình học mà nếu chỉ sử dụng các yếu tố bài toán đã 
cho thì chưa thể  giải hoặc chứng minh được  mà đòi hỏi phải vẽ  thêm yếu tố 
phụ mới tìm ra được lời giải. Cũng có nhiều bài toán Hình học mà việc vẽ thêm  
yếu tố phụ làm cho việc giải bài toán trở nên dễ dàng và thuận tiện hơn.  Ngoài 
ra, việc vẽ thêm yếu tố phụ còn giúp giáo viên thuận lợi trong việc ra đề  kiểm 
tra cũng như mở rộng và phát triển bài toán. Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như 
thế  nào để  có lợi cho việc giải toán thì lại không hề  đơn giản, thậm chí là rất 
khó khăn và phức tạp mà không phải giáo viên và học sinh nào cũng có thể  làm 
được. Việc vẽ  thêm yếu tố  phụ  đòi hỏi phải có sự  sáng tạo và phải đạt được 
mục đích làm cho việc giải toán được dễ dàng, thuận tiện và ngắn gọn hơn. Tuy 
nhiên, qua thực tế  dạy học cho thấy vẫn chưa có phương pháp chung nào cho 
việc vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học, vì vậy  nên tôi mạnh dạn trao 

đổi  “Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7” để 
giúp học sinh THCS nói chung và học sinh lớp 7 nói riêng có thể hiểu sâu và nắm 
vững kiến thức, biết thêm một số cách vẽ yếu tố phụ để giải bài tập Hình học,  
nắm được nhiều phương pháp giải bài tập Hình học khác nhau, giúp cho học  
sinh  cảm thấy việc học nhẹ  nhàng và có hiệu quả  hơn, có hứng thú với việc 
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

2


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

học Hình học hơn, nâng cao năng lực, phát triển trí tuệ  và óc sáng tạo cho học  
sinh, đồng thời cũng là để  rèn luyện, nâng cao trình độ  chuyên môn nghiệp vụ 
của bản thân cũng như  trao đổi một số  kinh nghiệm cùng quý Thầy cô, bạn bè, 
đồng nghiệp.
Rất mong được sự  góp ý và trao đổi chân thành của quý thầy cô để  kinh 
nghiệm nhỏ  này hoàn thiện hơn và mang lại hiệu quả  cao hơn trong dạy học 
Toán ở trường THCS.
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài:
*Mục tiêu: Giúp giáo viên và học sinh nắm được một số phương pháp vẽ 
thêm yếu tố  phụ  để  giải bài tập Hình học 7 mà việc tìm được lời giải đòi hỏi  
phải vẽ  thêm yếu tố  phụ  mới có thể  giải quyết được hoặc giúp cho việc giải  
Toán được  thuận lợi, dễ dàng và ngắn gọn hơn. Mặt giúp học sinh khắc sâu và 
nắm vững kiến thức tổng hợp, phong phú để  vận dụng vào việc giải hoặc  
chứng minh Hình học. Tạo niềm say mê, hứng thú học Hình học của học sinh, 
môn học mà nhiều học sinh rất sợ và không thích học, đồng thời nâng cao năng 
lực, phát triển trí tuệ và óc sáng tạo cho học sinh
Đưa ra một số  phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ để giáo viên và học sinh  
có thể áp dụng trong việc giải một bài tập Hình học nhằm nâng cao chất lượng 

giáo dục và hiệu quả giảng dạy, phát huy được tính tích cực, chủ  động và sáng 
tạo của giáo viên cũng như  của học sinh trong quá trình dạy  học và bồi dưỡng 
học sinh giỏi môn Hình học 7. 
Bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ  của bản thân, làm tài liệu tham khảo  
cho giáo viên và học sinh. Giúp giáo viên và học sinh thấy được sự  quan trọng  
của việc vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7.
*Nhiệm vụ:  Tìm tòi, nghiên cứu tài liệu tham khảo về  một số  phương  
pháp vẽ thêm yếu tố phụ để giải bài tập Hình học 7.
Tích lũy kinh nghiêm thực tế trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học 
sinh giỏi và ra đề kiểm tra môn Hình  học.
Học  hỏi  từ   bạn  bè,  đồng  nghiệp  qua  trao   đổi  kinh  nghiệm,  sinh  hoạt  
chuyên môn hoặc dự giờ thăm lớp.
3. Đối tượng nghiên cứu: 
 Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7.
4. Giới hạn của đề tài:
Nghiên cứu về một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập 
Hình học 7 ở trường THCS Buôn Trấp từ năm  20012 đến năm 2017.
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

3


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

5. Phương pháp nghiên cứu:
a) Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận
­ Phương pháp phân tích ­ tổng hợp tài liệu;
­ Phương pháp khái quát hóa các nhận định độc lập.
b) Nhom ph
́

ương pháp nghiên cứu thực tiễn
­ Phương pháp điều tra;
­ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm giáo dục; 
­ Phương pháp nghiên cứu các sản phẩm hoạt động;
­ Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia;
­ Phương pháp khảo nghiệm, thử nghiệm.
c) Phương pháp thống kê toán học

II. PHẦN NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận:
Trong Toán học, Hình học là phân môn đòi hỏi tư duy cao và có nhiều khả 
năng nhất trong việc rèn luyện phương pháp suy luận khoa học. Muốn đạt hiệu  
quả  cao trong việc dạy và học Hình thì phải có phương pháp dạy và học tốt.  
Không có phương pháp tốt, không có hiệu quả  cao. Biết cách dạy Hình và biết 
cách học Hình, hiệu quả  dạy và học sẽ  tăng gấp nhiều lần. Để  dạy và học tốt 
môn Hình học thì đòi hỏi cả giáo viên và học sinh phải nắm vững các kiến thức 
Hình học một cách sâu và rộng; biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức  
từ đơn giản đến phức tạp để có thể giải được bài toán Hình học.
Giúp học sinh nắm được  phương pháp vẽ  thêm yếu tố  phụ  để  giải bài 
tập Hình học 7 là vô cùng quan trọng vì trong chương trình Toán 7, học sinh  
bước đầu được làm quen với việc chứng minh Hình học, rèn kỹ  năng vẽ  hình,  
suy luận để chứng minh các định lý, tính chất cũng như giải bài tập Hình học. Vì  
vậy trong mỗi tiết dạy bài mới, luyện tập, ôn tập, ôn thi học sinh giỏi, giáo viên 
cần linh động đưa ra các dạng toán Hình học mà việc giải đòi hỏi phải vẽ thêm 
yếu tố  phụ  một cách sáng tạo, hiệu quả, thuận lợi cho việc giải bài toán. Sau  
khi học xong các em sẽ tự hệ thống hóa được các kiến thức và các phương pháp  
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

4



SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

giải cần nhớ  để  áp dụng vào bài tập và vào thực tế, việc học Hình học vì thế 
cũng sẽ nhẹ nhàng và có hiệu quả hơn. Các em sẽ có thể tự giải được bài Toán 
Hình học dễ  dàng và   nhanh chóng, không còn thụ  động trông chờ  vào người 
khác.
Việc đưa ra các dạng toán có vận dụng phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ 
một cách hợp lý trong phần luyện tập, ôn tập, ôn thi học sinh giỏi sẽ có tác dụng  
rất lớn trong việc phát triển tư duy đồng thời tạo hứng thú học tập cho HS. Phát 
triển trí tuệ  cho HS lớp 7 qua bộ  môn Hình học là một vấn đề  rất quan trọng, 
cần được thấu triệt trong mọi khâu của việc giảng dạy Toán: cách đặt vấn đề,  
nội dung các câu hỏi gợi mở  của GV khi giảng bài, cách GV kiểm tra và nội  
dung các câu hỏi, bài tập kiểm tra, cách yêu cầu HS phân tích đề  bài , phê phán 
các câu trả lời, các bài làm của học sinh có tác dụng rất lớn đến việc giáo dục tư 
duy độc lập, sáng tạo, óc phê phán cho HS, giúp các em biết thắc mắc, biết trình 
bày lập luận vấn đề một cách chặt chẽ, logic, phát huy khả năng tìm tòi, nghiên 
cứu kiến thức mới... 
Việc vẽ  thêm yếu tố  phụ  phải nhằm mục đích tạo điều kiện cho việc  
giải bài tập hình học được dễ dàng và ngắn gọn hơn chứ không phải là vẽ  một  
cách tùy tiện, đòi hỏi cả giáo viên và học sinh phải có sự  tìm tòi, sáng tạo. Hơn 
nữa việc vẽ  thêm yếu tố  phụ  phải đảm bảo tuân theo các phép dựng hình cơ 
bản và các bài toán dựng hình cơ bản.
“Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố  phụ trong giải bài tập Hình học 7”  
sẽ  giúp giáo viên trau dồi được kiến thức, kỹ  năng ra đề  kiểm tra, mở  rộng và 
phát triển bài toán Hình học, nâng cao chất lượng và hiệu quả  giảng dạy, giúp 
học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực, chủ  động, sáng tạo trong giải 
bài tập Hình học, đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học 
Hình học cho học sinh lớp 7.
2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu:

Hình học là một môn học khó đối với học sinh, đặc biệt là học sinh trung 
bình, yếu, kém. Chất lượng học Hình học thấp, rất nhiều học sinh bị hổng kiến  
thức, nhiều em chưa nắm vững được các kiến thức cơ bản cần thiết. Khả năng 
tư  duy, phân tích tổng hợp của học sinh còn hạn chế, nhiều học sinh chưa có 
khả năng vận dụng kiến thức cơ bản vào làm bài tập. Chính vì thế các em cảm 
thấy thực sự  khó khăn khi học Hình học, tâm lý e ngại, dẫn đến tư  tưởng lười 
học, lười suy nghĩ, thiếu tự tin, sợ học môn Hình học. 
Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi môn Hình học 7  
cũng như dự giờ bạn bè, đồng nghiệp, tôi nhận thấy khi giáo viên đưa ra các bài 
tập   sử  dụng phương pháp vẽ  thêm yếu tố  phụ  để  giải đã tạo ra những tình 
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

5


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

huống bất ngờ,  làm cho học sinh rất hứng thú với việc học tập. Tuy nhiên việc  
vẽ  thêm yếu tố  phụ  như  thế  nào để  có lợi cho việc giải toán thì lại không hề 
đơn giản mà rất khó khăn và phức tạp với cả giáo viên và học sinh bởi vì thực tế 
dạy học cho thấy không có phương pháp chung nào cho việc vẽ thêm yếu tố phụ 
cả. Mỗi một bài toán lại có cách vẽ thêm yếu tố phụ khác nhau khác nhau. Việc  
vẽ  thêm yếu tố  phụ  để  giải bài tập Hình học không chỉ  khó khăn với học sinh 
trung bình, yếu, kém mà ngay cả học sinh khá giỏi cũng cảm thấy ngại và lười  
suy nghĩ, tìm tòi. Khi đọc đề bài toán, học sinh chưa phân tích được các yếu tố 
bài toán đã cho, không biết vẽ hình hoặc vẽ  hình không chính xác, chưa biết sử 
dụng kiến thức nào, phương pháp nào để giải dẫn đến không làm được bài tập. 
Một số học sinh định hướng được cách giải nhưng lại không biết cách trình bày 
bài như thế nào cho chặt chẽ, logic. 
Tuy nhiên trong quá trình dạy học, một số giáo viên chưa thường xuyên và 

chưa có nhiều kinh nghiệm trong việc vẽ thêm yếu tố phụ khi giải bài tập Hình 
học 7, không biết nên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào cho hợp lý nên khó khăn 
trong việc hướng dẫn cho học sinh, do đó hiệu quả giảng dạy chưa cao. Nguyên 
nhân chính là do giáo viên chưa thực sự  đam mê nghiên cứu, tìm tòi, đào sâu và  
mở rộng kiến thức, chưa nắm được nhiều phương pháp giải toán. Do tâm lý học 
sinh trung bình, yếu sợ học môn Hình nên giáo viên khi dạy giáo viên thường chỉ 
dạy qua kiến thức và bài tập trong sách giáo khoa ở  mức độ  áp dụng kiến thức  
cơ  bản trong bài mà không cần phải mở  rộng, khai thác kiến thức theo nhiều 
khía cạnh khác nhau, không đưa ra nhiều cách giải khác cho các bài tập, không 
đưa ra các bài tập đòi hỏi phải vẽ  thêm yếu tố  phụ  để  giải. Chính vì thế  việc 
giải bài toán bằng cách vẽ  thêm yếu tố  phụ  thường chỉ  áp dụng với đối tượng 
học sinh khá giỏi. Để  có thể  khai thác và mở  rộng kiến thức theo nhiều khía 
cạnh khác nhau, từ đó đưa ra các bài toán và phương pháp giải một cách hợp lý,  
có hiệu quả, kích thích được sự phát triển tư  duy của học sinh và giúp học sinh  
nắm vững kiến thức hơn thì giáo viên phải thường xuyên tìm tòi, nghiên cứu, bổ 
sung kiến thức mới và đổi mới phương pháp dạy học.
Học sinh thường có hứng thú học hơn khi gặp các tình huống bất ngờ 
hoặc có vấn đề và thường khắc sâu được kiến thức hơn, nhớ được lâu hơn khi  
tự  tìm tòi kiến thức mới, phương pháp giải mới cho một bài tập Hình học, mà 
việc  giải một bài tập Hình học bằng vẽ  thêm yếu tố  phụ  lại rất có hiệu quả 
trong việc tạo bất ngờ và gây hứng thú học tập cho học sinh, giúp học sinh khắc  
phục được những sai lầm thường gặp do không nắm vững kiến thức trong quá  
trình giải toán.
 Để giải được dạng toán này thì đòi hỏi cả giáo viên và học sinh đều phải  
nắm vững kiến thức Hình học một cách sâu và rộng, nắm được phương pháp 
giải của nhiều dạng toán khác nhau và nắm được các phương pháp dựng hình cơ 
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

6



SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

bản. Hơn nữa không phải lúc nào việc vẽ  thêm yếu tố  phụ  cũng có hiệu quả,  
nếu không áp dụng hợp lý thì càng làm cho học sinh tiếp nhận kiến thức một  
cách mơ  hồ  hơn vì không biết nên vẽ  thêm yếu tố  phụ  như  thế  nào, vận dụng 
kiến thức nào, cách giải nào để  giải bài tập cho phù hợp. Mặt khác không phải 
bài toán nào cũng cần phải vẽ thêm yếu tố phụ để giải nên học sinh phải nhận 
biết được bài toán nào cần và bài toán nào không cần vẽ  thêm yếu tố  phụ  để 
giải.
Chính vì thế  mà việc giúp HS nắm vững kiến thức, nắm vững được các 
dạng toán và phương pháp giải của dạng toán đó để  vận dụng vào làm bài tập  
và giải quyết các vấn đề  thực tế  cuộc sống, tạo niềm say mê, hứng thú học 
Toán cho  HS là vô cùng quan trọng. Việc đưa ra một số  dạng toán có thể  giải 
bằng cách vẽ  thêm yếu tố  phụ  làm cho tiết học có những tình huống bất ngờ, 
sinh động và vui vẻ hơn, tạo được hứng thú học tập cho học sinh, nhờ  đó hiệu 
quả của tiết dạy cũng tăng lên, khắc sâu được kiến thức cho học sinh, giúp học  
sinh tiếp thu kiến thức mới một cách nhẹ nhàng hơn, nhớ được lâu hơn để từ đó  
áp dụng được vào bài tập tương tự  dễ  dàng, biết chọn lựa phương pháp giải 
hay, hợp lý, ngắn gọn khi giải một bài toán, phát triển tư  duy và khả  năng sáng 
tạo của học sinh. Bồi dưỡng năng lực tự học, tự nghiên cứu và tìm tòi khám phá 
kiến thức mới cho học sinh.
 Qua các vấn đề về thực trạng đã nêu ở trên có thể thấy được sự cần thiết  
của việc hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ khi giải bài tập Hình học 7, có 
thể thấy việc giải bài toán bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ mang lại hiệu quả rất  
lớn,  ngoài ra nó còn có tác dụng giáo dục học sinh về mọi mặt, đặc biệt là rèn  
khả  năng tư  duy, phát huy tính sáng tạo, rèn tính cẩn thận và rèn kỹ  năng sử 
dụng ngôn ngữ  chính xác, chính vì thế  trong quá trình giảng dạy giáo viên thực 
sự  nên đưa ra các bài tập Hình học để  hướng dẫn học sinh giải bằng cách vẽ 
thêm yếu tố phụ một cách hợp lý. 

3. Nội dung và hình thức của giải pháp:
a. Mục tiêu của giải pháp: 
­ Giúp GV nhận biết được trường hợp nào nên đưa ra bài toán cần vẽ 
thêm yếu tố phụ để giải khi dạy học môn Toán lớp 7 cho phù hợp để tạo hứng  
thú học tập cho học sinh và nâng cao chất lượng, hiệu quả giảng dạy.
­ Giúp HS nắm vững được bản chất kiến thức, khắc sâu, mở rộng và nâng 
cao kiến thức cho HS, giúp học sinh biết vẽ  hình theo yêu cầu đề  bài, biết 
trường hợp nào cần vẽ thêm yếu tố phụ để giải toán, từ đó có thể vận dụng vào  
giải bài tập từ cơ bản đến nâng cao.
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

7


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

­ Giúp HS tránh được những sai lầm thường gặp khi vẽ  hình và khi giải 
bài tập Hình học, nắm được nhiều phương pháp giải khác nhau cho một bài 
toán, biết chọn lựa cách giải hay, ngắn gọn, hợp lý để  vận dụng vào giải bài 
tập, làm cho học sinh thấy được cái hay, cái đẹp của Toán học.
­ Tạo ra các tình huống có vấn đề, khơi dậy trí tò mò, óc sáng tạo, niềm 
say mê, hứng thú học tập môn Toán của HS.
­ Tạo ra các tình huống bất ngờ, thú vị, làm tiết học nhẹ  nhàng, vui vẻ 
hơn, tạo sự thân thiện giữa GV và HS.
­ Phát triển tư duy độc lập sáng tạo, óc phê phán cho HS, giúp các em biết 
thắc mắc, biết lật đi lật lại vấn đề, biết tìm tòi, suy nghĩ, rèn kỹ năng vẽ hình và  
khả năng suy luận, bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh...
b. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp:
b.1. Vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh các định lý, tính chất.
Trong chương trình Hình học 7, HS đã bước đầu được làm quen với việc 

chứng minh định lý hoặc  tính chất Hình học. Để  chứng minh được các định lý,  
tính chất trong bài mới thì thường phải vẽ  thêm yếu tố  phụ  để  sử  dụng kiến  
thức đã học  trước đó. Do vậy giáo viên phải hướng dẫn, gợi ý để học sinh biết  
cách vẽ thêm yếu tố phụ cho hợp lý.
Ví dụ 1:  Trong bài “Hai đường thẳng song song”, GV yêu cầu HS làm 

bài toán: “Cho hình vẽ sau, biết  BAC
+ ACD = 1800 . Chứng tỏ rằng AB //CD”
HS biết được dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng 
song “Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b và 
trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng 
nhau (hoặc một cặp góc đồng vị  bằng nhau) thì a và b 
song song với nhau”

A

C

B

D

Do vậy cần phải tạo ra một cặp góc so le trong 
hoặc một cặp góc đồng vị  mà sẽ chứng minh được gặp góc đó bằng nhau. Điều 
này gợi cho ta nghĩ đến việc vẽ thêm tia đối của một trong bốn tia trên hình AB, 
AC, CA, CD.
*Hướng dẫn giải: 
A

B


Vẽ tia CE là tia đối của tia CA.

Ta có  ECD
+ ACD = 1800 (vì hai góc kề bù)

2

E


 D = BAC

Ta lại có  BAC
+ ACD = 1800 nên  EC

1

C

D

 D và BAC

Mà  EC
là hai góc đồng vị nên AB // CD.

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

8



SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

Như  vậy qua bài toán này, ta có thêm một tính chất nữa về  dấu hiệu nhận 
biết hai đường thẳng song song như sau: “Nếu đường thẳng c cắt hai đường 
thẳng a và b và trong các góc tạo thành có một cặp góc trong cùng phía bù 
nhau thì a và b song song với nhau”
Ví dụ  2: Chứng minh rằng: Nếu hai góc nhọn xOy và mAn có Ox //  

 .
Am, Oy // An thì  xOy
= mAn
Vì bài toán cho các cặp đường thẳng song song nên Gv hướng dẫn học  
sinh làm thế  nào để  có thể vận dụng được tính chất của hai đường thẳng song 
song. Nghĩa là cần vẽ thêm yếu tố phụ là một đường thẳng cắt các cặp đường 
thẳng song song để tạo ra các cặp góc so le trong, đồng vị hoặc trong cùng phía. 
Trong trường hợp này ta có thể vẽ  thêm yếu tố  phụ là tia OA. Khi đó trên hình 
sẽ xuất hiện các cặp góc đồng vị bằng nhau, giúp cho việc chứng minh dễ dàng 
hơn.

A
2

*Hướng dẫn giải: 

m

x


Vẽ tia OA, ta có:
2

1

1

O

Từ (1) và (2)

n
y

Oy // An 
Ox // Am 

 = A (hai góc đồng vị) (1)
O
1
1
 =A
 (hai góc đồng vị) (2)
O
2
2

 +O
 = A + A � xOy



O
= mAn
1
2
1
2

* Tương tự ta cũng có thể chứng minh bài toán: “Nếu hai góc tù xOy và  



mAn có Ox // Am, Oy // An thì  xOy
 .
= mAn
Hai góc xOy và mAn  được gọi là hai góc có cạnh tương ứng song song.
Qua hai bài toán trên ta đã chứng minh được một  tính chất về hai góc có 
cạnh tương  ứng song song:  “Nếu hai góc có cạnh tương  ứng song song thì 
chúng bằng nhau nếu cả hai đều nhọn hoặc đều tù” (1)
* Tương tự  ta cũng có  thể  chứng minh bài toán:  
“Nếu   hai   góc     xOy   và   mAn   có   Ox   //   Am,   Oy   //   An   và  


xOy
= 900  thì  mAn
= 900 ” 

n

x


Qua   bài toán này ta cũng chứng minh được một   tính 
chất nữa về hai góc có cạnh tương ứng song song:  “Nếu hai 
góc có cạnh tương  ứng song song thì góc này vuông nếu  
góc kia vuông” (2)
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

A
O

m
y

9


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

* GV cũng có thể  thay đổi nội dung bài toán trên như  sau: “Chứng 
minh   rằng:   Nếu   góc   xOy   nhọn   và   mAn   tù   có   Ox   //   Am,   Oy   //   An   thì 



xOy
+ mAn
= 1800 ” 


GV phân tích: vì  mAn
 tù nên góc kề bù với  mAn

 là góc nhọn, do đó ta có 
thể vẽ tia At là tia đối của tia An để được góc mAt là góc nhọn. 

Khi đó hai góc xOy và mAt đều nhọn có Ox // 

 .
Am, Oy // At nên  xOy
= mAt
n



Ta lại có:  mAn
+ mAt
= 1800 (hai góc kề bù)


Từ đó suy ra  xOy
+ mAn
= 1800

m

x

t

A
O


y



Nếu thay góc xOy tù và góc mAn nhọn  thì ta cũng có  xOy
+ mAn
= 1800
Qua  bài toán trên ta cũng chứng minh được một  tính chất nữa về hai góc 
có cạnh tương ứng song song: “Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì 
chúng bù nhau nếu một góc nhọn, một góc tù” (3)
Từ ba tính chất (1); (2) và (3) có được ở các bài toán trên ta có định lý sau:
“Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì:
a) Chúng bằng nhau nếu cả hai góc đều nhọn hoặc đều tù
b) Góc này vuông nếu góc kia vuông
c) Chúng bù nhau nếu một góc nhọn, một góc tù”
Ví dụ  3: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của cạnh  
1
2

BC. Chứng minh rằng:  AM = BC .
1
2

Vì   AM = BC

  2AM = BC, do đó ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng bằng  

2AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn thẳng đó.  Trong trường hợp này,  
yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho M là trung điểm của AD.
*Hướng dẫn giải:

A

Trên tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho MD = 
MA.

1

B

M

1

C

2

Xét  ∆ MAC và  ∆ MDB có: 

1

D ễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp
Người thực hiện: Nguy

10


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7
 =M
 (2 góc đối đỉnh), MC = MB (gt)

MD = MA,  M
1
2
∆ MAC =  ∆ MDB(c.g.c)


 AC = DB,  A1 = D
2

  mà  A và D
 là hai góc so le trong nên AC // BD
Vì  A1 = D
2
1
2

Ta có: 

AC / / BD 
0

�� BD ⊥ AB � ABD = 90
AC ⊥ AB


Xét  ∆ ABC và  ∆ BAD có:  AC = BD,  BAC
= ABD ( = 900 ) , cạnh AB chung
∆ ∆ ABC =  ∆ BAD (c.g.c) 
1
2


 BC = AD (2 cạnh tương ứng)

1
2

Mà  AM = AD � AM = BC
* Vì M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến của tam giác 
vuông ABC. Do đó qua bài toán trên ta đã chứng minh được  tính chất:  “Trong 
một tam giác vuông, đường trung tuyến  ứng với cạnh huyền bằng một  
nửa cạnh huyền”.
Trong quá trình dạy học Hình học, khi dạy một định lý hay  tính chất nào 
đó, giáo viên có thể đưa ra một bài toán có nội dung là định lý, tính chất trong bài  
học, yêu cầu HS vận dụng kiến thức đã học để chứng minh, từ đó rút ra định lý, 
tính chất qua bài toán. Bằng cách này giáo viên vừa có thể tạo tình huống có vấn  
đề, vừa ôn lại được kiến thức đã học, vừa đưa ra được kiến thức của bài mới.  
Nhưng để vận dụng được kiến thức đã học để giải bài toán thì thường phải vẽ 
thêm yếu tố phụ. Do đó HS phải nắm vững được kiến thức đã học, biết cách vẽ 
thêm yếu tố  phụ  phù hợp để  đưa về  dạng toán đã biết. Từ  đó có thể  giải bài  
toán dễ dàng. 
b.2. Vẽ thêm yếu tố phụ để mở rộng và phát triển bài toán.
Trong các tiết luyện tập ôn tập hoặc bồi dưỡng học sinh giỏi, sau khi cho HS  
làm xong một bài toán hình nào đó, giáo viên có thể vẽ thêm yếu tố phụ trên hình 
để  khai thác, phát triển hoặc mở  rộng bài toán, tạo ra các dạng bài toán mang  
tính chất tổng hợp. Làm như vậy sẽ kích thích được trí tò mò, phát huy khả năng  
tư duy, sáng tạo của học sinh, đồng thời làm cho học sinh hứng thú hơn với việc 
học Hình học. Ngoài ra việc vẽ thêm yếu tố  phụ để  mở  rộng bài toán còn giúp 
giáo viên ra đề kiểm tra Hình học dễ dàng hơn.
Ví dụ  1: Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Trên tia đối của các tia 
BA và CA, lấy hai điểm D và E, sao cho BD = CE. Chứng minh DE //BC.

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

11


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

*Hướng dẫn giải: 
A

B

Ta có: AB = AC (gt) và BD = CE (gt) nên AD = AE 
� ∆ADE  cân tại A.
C

E

D

1800 − A
∆ABC cân tại A  � ABC =
2
1800 − A
∆ADE cân tại A  � ADE =
2

(1)
(2)


Từ (1) và (2)  � ABC = ADE . Mà  ABC và  ADE  là hai góc đồng vị nên BC // DE.
Sau khi HS giải xong bài toán trên, giáo viên vẽ  thêm yếu tố  phụ:  Từ  D kẻ 
DM vuông góc với BC, từ  E kẻ  EN vuông góc với BC” sau đó yêu cầu HS 
chứng minh:
+)  DM = EN 
+) Tam giác AMN là tam giác cân.
A

Hướng dẫn giải: 
* Chứng minh DM = EN:
 =C

∆ABC cân tại A  � B
1
1

Mà  B 2 = B 1; C 2 = C 1 (hai góc đối đỉnh). 
Do đó  B 2 = C 2

B

M

1

2
1

D


1

C

N

2
1

E

∆DMB và ∆ENC có: 



BD = CE,  B 2 = C 2 , DMB
= ENC
= 900
∆DMB = ∆ENC (cạnh huyền – góc nhọn) 

DM = EN (hai cạnh tương ứng)
* Chứng minh  ∆AMN cân:
 =E
 (hai góc tương ứng) 
∆DMB = ∆ENC (cmt)  � D
1
1
 =E
 , DM = EN  )
Ta có:  ∆ AMD  =  ∆ ANE (vì AD = AE,  D

1
1

AM = AN (hai cạnh tương ứng)  � ∆AMN cân tại A.

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

12


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

GV tiếp tục mở rộng bài toán bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ như sau:  Từ 
B kẻ  BH vuông góc với AM tại H, từ  C kẻ    CK vuông góc với AN tại K,  
chúng cắt nhau tại I. Yêu cầu HS chứng minh:
+) BH = CK, AH = AK
+) AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và góc MAN.
+) AI là đường trung trực của BC
+) Tam giác IBC cân.

A

+) AI vuông góc với DE
Hướng dẫn giải: 
*Chứng minh: BH = CK, AH = AK:
Ta có:  ∆ AMD =  ∆ ANE (cmt) 

H
1


M

 D = NA
 E � HAB

 AC
  � MA
=K

B

K

C1

2

1

1


 AC  )
� ∆ABH = ∆ACK (vì AB =AC,  HAB
=K

D

N


2

I

E

BH = CK, AH = AK (hai cạnh tương ứng)
*Chứng minh: AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và góc MAN.

 AI � MAI


Ta có:  ∆ AHI =  ∆ AKI (vì AI chung, AH = AK)  � HAI
 (1)
=K
= NAI
 D = NA
 E � HAB

 AC  (2)
∆ AMD =  ∆ ANE (cmt)   � MA
=K

 AI (3)
Từ (1) và (2)  � BAI
=C

Từ (1) và (3)  

 AI là tia phân giác chung của hai góc BAC và góc MAN.


*Chứng minh: AI là đường trung trực của BC
Gọi O là giao điểm của AI và BC

A

Khi   đó   ∆ ABO   = ∆ ACO   (Vì   AB   =   AC, 

 AO , AO chung)
BAO
=C
H
1

M

B

1 2

O

2

tương ứng) (5)

N

2
1


1

D

 =O
 (hai góc tương ứng)
�O
1
2

K

C1

I

E

 +O
 = 1800 (hai   góc   kề   bù)   nên 
 O
1
2
O = O
 = 900 � AO ⊥ BC tại O (4)
1
2

Mà


Ta lại có:  ∆ ABO =  ∆ ACO 

 OB = OC (2 cạnh 

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

13


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

Từ  (4) và (5)   
trực của BC.

 AO là đường trung trực của BC hay AI là đường trung 

*Chứng minh tam giác IBC cân:

 AI , AI chung) 
∆ ABI =  ∆ ACI  (Vì AB = AC,  BAI
=C
ứng)  � ∆ IBC cân tại I.

 IB = IC (2 cạnh tương  

*Chứng minh AI vuông góc với DE:
Ta có:    

DE / / BC (cmt ) 

AI ⊥ BC (cmt )

�� AI ⊥ DE

Bài toán trên vẫn có thể  tiếp tục mở  rộng theo hướng khác, chẳng hạn  
có thể  yêu cầu HS  chứng minh AI là đường trung trực của MN và DE; 
chứng minh HK // MN hoặc gọi P là trung điểm của DE, chứng minh ba  
điểm A, I, P thẳng hàng,...
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên 
tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Từ D kẻ đường vuông góc  
với BC cắt AB ở M, từ E kẻ đường vuông góc với BC cắt AC ở N.  Chứng  
minh MD = NE.
*Hướng dẫn giải:  

A

   Ta có:  ∆ ABC cân tại A  � B = C 1

M

     Mà  C 1 = C 2 (hai góc đối đỉnh) nên  B = C 2
1

B

C

E
2


D

     Hai tam giác vuông BDM và CEN có: 
 =C
 (cmt) và BD = CE (gt)
B
2

N

    

     

∆ BDM =  ∆ CEN (cgv – gnk)

 

 MD = NE (2 cạnh tương ứng)

*Sau khi học sinh giải xong, GV vẽ  MN cắt DE t ại I. Yêu cầu HS chứng  
minh I là trung điểm của DE.
 = IN
 E (2 góc so le trong)
Ta có: MD // NE ( ⊥ BC )  � M
1

A
M
1


1

B

D

I

C

E

2

 = IN
 E (cmt) và 
Hai tam giác vuông DMI và ENI có:  M
1
MD = NE (gt)
∆ DMI =  ∆ ENI (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

N

 DI = IE (2 cạnh tương ứng) hay I là trung điểm của 
DE.

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

14



SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

* GV có thể tiếp tục vẽ thêm yếu tố phụ để tạo thêm hình như sau: 
Từ C kẻ đường vuông góc với AC, từ B kẻ đường vuông góc với AB, chúng 
cắt nhau tại O rồi yêu cầu HS chứng minh AO là đường trung trực của BC.
*Hướng dẫn giải:  
Hai tam giác vuông  ∆ ABO và  ∆ ACO có:  AB = AC, AO chung
∆ ABO =  ∆ ACO (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
 (2 góc tương ứng) 
� A1 = A
2

Gọi H là giao điểm của AO và BC
Xét  ∆ ABH và  ∆ ACH có: AB = AC,  A1 = A2 , AH chung
∆ ABH =  ∆ ACH (c.g.c) 

A

 =H
 (2 góc tương ứng) và HB = HC
�H
1
2

12

M


 (2 cạnh tương ứng)

1

 +H
 = 1800  (hai góc kề bù)
Mà  H
1
2
 =H
 = 900 � AH ⊥ BC  tại H
 � H
1
2
� AO ⊥ BC  tại trung điểm H của BC

Vậy AO là đường trung trực của BC.

1 2

B

H

D

1

I


O

C

E
2

N

Qua hai bài toán trên có thể thấy việc vẽ thêm yếu tố phụ có thể giúp giáo  
viên khai thác, mở rộng bài toán theo nhiều hướng khác nhau, tạo ra bài toán tổng 
hợp được rất nhiều kiến thức và nhiều cách chứng minh Hình học giúp giáo viên  
thuận lợi trong việc ôn tập hoặc ra đề kiểm tra.
Trong quá trình giảng dạy, khi giáo viên đưa ra các bài tập có hình vẽ phức  
tạp và có nhiều câu hỏi ngay một lúc thì sẽ làm cho HS có cảm giác ngợp và vốn 
đã sợ làm bài tập hình thì lại càng sợ hơn. Không giống như Số học hay Đại số,  
chỉ  cần nhìn đề  bài là học sinh nhận ra được yêu cầu của bài toán, nhận biết  
được dạng toán, biết bài toán dễ hay khó và có làm được hay không, còn bài tập 
hình học thì bắt buộc học sinh phải vẽ được hình, dựa vào hình vẽ  để  giải, do 
mỗi bài lại có cách giải khác nhau nên học sinh thực sự cảm thấy rất khó khăn 
và luôn có tư  tưởng ngại khó, sợ  mình không làm được. Chính vì thế  giáo viên 
không nên đưa ra các dạng bài tập có nhiều câu, mà nên khéo léo vẽ  dần thêm  
các yếu tố  phụ  để  mở  rộng thêm bài toán sau khi học sinh làm xong từng câu, 
như  vậy học sinh sẽ cảm thấy đỡ  áp lực và hứng thú hơn với bài học mà giáo  
viên lại đưa ra được nhiều kiến thức tổng hợp cho học sinh.
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

15



SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

b.3. Vẽ thêm yếu tố phụ để  giải các bài toán mà nếu không vẽ  thêm 
yếu tố phụ thì không thể tìm được lời giải.
Trong qua trình dạy và học Hình học, chắc chắn cả giáo viên và học sinh  
sẽ gặp phải những bài toán hình học mà nếu chỉ dựa vào các yếu tố bài toán đã 
cho  thì chưa thể tìm được lời giải. Do đó cả  GV và HS phải tìm cách vẽ  thêm  
yếu tố phụ đưa bài toán về dạng quen thuộc hoặc  có thể sử dụng các kiến thức  
đã học để  giải. Việc vẽ  thêm yếu tố  phụ  một cách hợp lý thực sự  rất khó đối 
với nhiều học sinh, đòi hỏi phải có sự  sáng tạo để  thuận lợi cho việc giải toán 
chứ không phải vẽ một cách tùy tiện. Do đó giáo viên phải biết cách gợi ý, dẫn 
dắt học sinh để tìm ra cách vẽ thêm yếu tố phụ cho phù hợp với bài toán đặt ra.
Ví dụ  1: Cho tam giác ABC vuông tại A có   ABC = 600 . Chứng minh 

AB =

1
BC
2

Nếu chỉ dựa vào hình vẽ  và các yếu tố đã cho thì chưa thể giải được bài  
toán. Do đó phải tìm cách vẽ thêm yếu tố phụ để giải. Vì  ABC = 600  nên ta nghĩ 
đến việc tạo ra tam giác đều. Có thể  vẽ  thêm điểm D sao cho A là trung điểm 
của BD, khi đó  ∆ ABD là tam giác đều, từ đó có thể giải được bài toán dễ dàng.
*Hướng dẫn giải:
C

Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. 

1 2


1

B

Ta có  A2 = 900  (vì  CA ⊥ DB )
 = 900, AC 
Xét  ∆ ABC và  ∆ ADC có: AB = AD,  A1 = A
2
chung

2

A

D

∆ ABC =  ∆ ADC (c.g.c) 
 =D
 (2 góc tương ứng) 
�B

 =D
 = 600  nên là tam giác đều 
∆ BCD có  B
1
2

 BD = BC = DC
1

2

Mà  AB = AD � AB = BC
Qua   bài   toán   này,   giáo   viên   lưu   ý   HS:   “ Nếu   ∆ ABC   vuông   tại   A   có 
ABC = 600  hoặc  ACB = 300  thì  AB = 1 BC ”. Đây là một tính chất quan trọng mà HS 
2

có thể sử dụng để làm các bài toán liên quan đến nửa tam  giác đều.
AC

Ví dụ  2: Cho  ∆ ABC có  A = 600 . Chứng minh BC2 = AB2 + AC2 – AB . 

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

16


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

Bài toán chỉ  cho duy nhất một yếu tố  là   A = 600 , mà lại yêu cầu chứng 
minh BC2 = AB2 + AC2 – AB . AC. Dựa vào yếu tố đã cho thì chưa giải được bài  
toán nên ta nghĩ đến việc vẽ thêm yếu tố phụ là đường vuông góc để tạo ra nửa  
tam giác đều và để có thể áp dụng được định lý Pi­ta­go. Trong trường hợp ta vẽ 
yếu tố phụ là đường thẳng CH vuông góc với AB (H   AB). Áp dụng định lý Pi­
ta­go  vào các tam giác vuông HAC, HBC ta sẽ có điều phải chứng minh.
*Hướng dẫn giải:  
A

Vẽ đường thẳng CH vuông góc với AB (H   AB). 


60

H

∆ HAC vuông tại H có  A = 600  nên là nửa tam giác 
AC
đều  � AH =
2

2

1

B

C

Ta có: HB = AB – AH = AB ­ 

AC
2

Áp dụng định lý Pi­ta­go vào ta giác vuông HAC , ta có:
2

2 

2

AC � 3

2
HC  = AC  ­ AH  = AC  ­  �
� �= 4 AC
�2 �

2

2

AC  = AH + HC  

2

2 

2

Áp dụng định lý Pi­ta­go vào ta giác vuông HBC, ta có:
BC2 = HB2 + HC2
2

AC � 3
AC �
AC � 3
�
�
�
2
2
= �AB −

�+ AC = �AB −
�
�AB −
�+ AC
2 � 4
2 �
2 �4
�
�
�
          
AC � AC �
AC � 3
AC 2 3
�
2
2
= AB �AB −
+ AC 2
�−
�AB −
�+ AC = AB − AB. AC +
2 � 2 �
2 �4
4
4
�
= AB 2 + AC 2 − AB. AC

Ví dụ  3: Cho tam giác ABC (AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ 

đường vuông góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt AB tại D 
và AC tại E. Chứng minh rằng BD = CE.
Muốn chứng minh BD = CE, ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng thứ  ba rồi  
chứng minh chúng bằng đoạn thẳng thứ ba đó. Muốn vậy ta cần vẽ thêm yếu tố 
phụ  là đường thẳng qua B và song song với 
A
AC cắt DE ở F. BF chính là đoạn thẳng thứ ba  
đó.
1

B

M
1

1

2

E
C

*Hướng 
dẫn giải:  

Người thực hiệHn: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp
1

F


D

17


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

Vẽ   đường thẳng qua B và song song với CE, gọi F là giao  điểm của 
đường thẳng này với đường thẳng DE.
 =C
  (hai góc so le trong)
Khi đó  B
1

Xét  ∆ MBF và  ∆ MCE có:
 =C
 , BM = MC (gt),  M
 =M
 (hai góc đối đỉnh)
B
1
1
2

Do đó:  ∆ MBF =  ∆ MCE (c.g.c) 
 BF = CE (2 cạnh tương ứng) (1)
Mặt khác   ∆ ADE có AH là đường cao (AH ⊥ DE) và là tia phân giác của 
 E
DA
 =E


Nên   ∆ ADE cân tại A  � D
1

Mà BF // CE  � F 1 = E 1  (2 góc đồng vị)
 =F
    
Do đó:  � D
1

Từ (1) và (2) 

  ∆ ADE cân tại A 

 BF = BD (2)

 CE = BD.

Ví dụ  4: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) có  A = 800 . Gọi D là điểm 


 D.
nằm trong tam giác sao cho  DBC
= 100 , DCB
= 300 . Tính số đo  BA


 =C
 = 500   mà  DBC
∆ ABC (AB = AC) có  A = 800 � B

= 100 , DCB
= 300 , cần tìm 
 D . Từ giả thiết trên và qua kinh nghiệm giải các bài toán về tính số  đo  
số đo  BA

góc, vẽ thêm tam giác đều là công cụ thường sử dụng nhất. Do vậy trên nửa mặt  
phẳng bờ  BC có chứa điểm A vẽ  tam giác đều BEC, từ  đó ta xác định được số 
 D.
đo  BA
*Hướng dẫn giải:  

E

Trên nửa mặt phẳng bờ  là đường thẳng BC 
có chứa  điểm A, vẽ tam giác đều BEC.
∆ ABC cân tại A 
� ABC =

A


1800 − BAC
1800 − 800
=
= 500
2
2

Trên   nửa   mặt   phẳng   bờ   chứa   tia   BC   có 



CBA
< CBE
(vì 500 < 600 )

D

B

C

 Tia BA nằm giữa hai tia BC, BE.




� CBA
+ ABE = CBE
� ABE = CBE
− CBA
= 600 − 500 = 100

Xét  ∆ EBA  và  ∆ ECA có:
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

18


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7


EB = EC (vì ∆ EBC đều), EA chung, AB = AC(gt)
 A = CE
 A (2 góc tương ứng)
∆ EBA  =  ∆ ECA(c.c.c)  � BE

 E = 600 : 2 = 300
Mà  BEC
= 600 � BA

Xét  ∆ EBA  và  ∆ BDC có:
 A = DCB


BE
(= 300 ) , EB = BC (vì ∆ EBC đều),  ABE = DBC
(= 100 )
∆ EBA  và  ∆ BDC(g.c.g)

BA = BD (2 cạnh tương ứng)

∆ BAD cân tại B

Mà  ABD = ABC − DBC
= 500 − 100 = 400
1800 − ABD 1800 − 400

� BAD =
=
= 700
2

2
 D = 700
Vậy  BA

Qua các bài toán trên có thể thấy chỉ dựa vào giải thiết ta chưa thể tìm ra 
lời giải bài toán, do đó phải tìm cách vẽ thêm yếu tố phụ hợp lý để giải bài toán  
đã cho. Tuy nhiên việc vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để có lợi cho việc giải  
bài toán hình học lại là điều khó khăn và rất phức tạp đối với cả  giáo viên và  
học sinh. Thực tế cho thấy không có phương pháp chung cho việc vẽ thêm yếu 
tố phụ, nó đòi hỏi sự thông minh sáng tạo khi giải toán, bởi vì việc vẽ thêm các  
yếu tố  phụ  cần đạt mục đích là tạo điều kiện để  giải bài toán một cách ngắn  
gọn và dễ dàng hơn chứ không phải tùy tiện thích vẽ thêm là vẽ. Do đó giáo viên 
phải thường xuyên đưa ra dạng toán này để  học sinh nắm được nhiều cách vẽ 
thêm yếu tố phụ khác nhau, từ đó áp dụng làm bài ập tương tự. 
b.4. Vẽ  thêm yếu tố  phụ  để  đưa ra nhiều cách giải khác nhau cho 
một bài toán.
Trong quá trình giảng dạy, và bồi dưỡng học sinh giỏi, việc mở  rộng và 
nâng cao kiến thức đã học nhằm phát triển tư  duy, phát huy tính độc lập, sáng  
tạo và  bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh là vô cùng quan trọng. Chính vì  
thế  giáo viên cần phải tìm tòi, nghiên cứu để  tìm ra các phương pháp giải hay 
cho một bài toán. Hệ thống kiến thức và bài tập đưa ra phải đa dạng, phong phú, 
có sức hấp dẫn, lôi cuốn, kích thích được trí tò mò và mong muốn khám phá của 
học sinh. Trong các tiết luyện tập, ôn tập, bồi dưỡng học sinh giỏi, giáo viên  
khéo léo chọn lựa, cho học sinh làm một số bài toán có thể giải bằng nhiều cách 
bằng cách vẽ  thêm các yếu tố  phụ  khác nhau. Trong đó học sinh có thể  dùng 
kiến thức và phương pháp giải đã học để  giải bài toán. Điều đó sẽ  tạo yếu tố 
bất ngờ, thú vị, kích thích trí tò mò và phát huy khả năng sáng tạo của học sinh.  
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

19



SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

Học sinh sẽ cảm thấy rất hứng thú và say mê học Toán khi phát hiện ra các cách 
giải mới cho một bài toán mà mình chưa biết.
 =C
 ”
Ví dụ 1: “Cho tam giác ABC có AB = AC. Chứng minh :  B

Học sinh đã được học bài trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác cạnh 
– góc – cạnh  nên có thể  sử  dụng để  giải bài toán trên theo một trong các cách 
sau:
*Cách 1: 
Xét  ∆ ABC và  ∆ ACB có:

A

AB = AC (gt);  A  chung, AC = AB (gt)
  ∆ ABC  =  ∆  ACB (c – g – c)
 =C
  (2 góc tương ứng)
�B

C

B

Cách giải này ít học sinh nghĩ đến vì để  chứng minh hai góc bằng nhau 
thường phải dựa vào số  đo góc hoặc dựa vào chứng minh hai tam giác bằng  

nhau. Trong bài này giáo viên cũng chứng minh hai tam  giác bằng nhau nhưng  
thực chất vẫn là một tang giác nhưng thay vị trí các đỉnh tương ứng. Học sinh sẽ 
thấy rất bất ngờ và thú vị khi giáo viên đưa ra cách giải này.
*Cách 2:

A

Kẻ AH là tia phân giác của  A  ,  H BC  

1 2

Xét  ∆ ABH và  ∆ ACH có:
  (theo cách vẽ)
AB = AC (gt); AH chung,  A1 = A
2

  ∆ ABH =  ∆ ACH (c – g – c)

B

H

C

 =C
  (2 góc tương ứng)
�B

Để chứng minh  B = C  trong trường hợp này thì học sinh phải vẽ thêm yếu  
tố  phụ  là vẽ  thêm tia phân giác của góc A để  tạo ra hai tam giác bằng nhau rồi 

chứng minh hai tam giác bằng nhau dựa vào trường hợp bằng nhau cạnh – góc – 
cạnh. Đây là một cách vẽ  yếu tố  phụ  đơn giản mà học sinh có thể  thực hiện  
được.
Học sinh cũng có thể vẽ yếu tố phụ để giải bài toán trên theo hai cách sau:
* Cách 3:
Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao  
cho BD = CE.
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

20


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

Ta có: AB = AC (gt) ; BD = CE (cách vẽ)
 AB + BD = AC + CE 

AD = AE

A

Xét  ∆ ADC và  ∆ AEB có:
AB = AC (gt);  A  chung, AD = AE (cmt)
  ∆ ADC và  ∆ AEB (c – g – c)
 =E
 ; ACD = ABE ; DC = EB  
�D

B


1

1

D

C
E

Xét  ∆ BDC và  ∆ CEB có:
 =E
  (cmt), DC = EB (cmt)
BD = CE (cmt);  D


 (2 góc tương ứng)
∆ BDC =  ∆ CEB (c – g – c)  � DBC
= ECB

 = 1800 (kb); ECB

 = 1800 (kb) � B
 =C

Mà:  DBC
+B
+C
1
1
1

1

*Cách 4:
Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối 
của tia AC lấy điểm N sao cho: AM = AN.

M

N

1

1
1

Xét  ∆ ABN và  ∆ ACM có:

2

AM = AN (cách vẽ);  A1 = A2  (đđ), AB = AC (gt)

A

∆ ABN =  ∆ ACM (c – g – c)
1

B

 =M
 ;NB = MC

�N
1
1

1

C

 =M
  (cmt); NB = MC 
Xét  ∆ MBC và  ∆ NCB có:  N
1
1
(cmt); MB = NC ( vì AB = AC, AM = AN)
 =C
  (2 góc tương ứng)
∆ MBC =  ∆ NCB (c – g – c)  � B
1
1

Cũng vẽ  thêm yếu tố  phụ  để  tạo ra hai tam giác bằng nhau, nhưng trong 
cách 3 và cách 4 mức độ khó và phức tạp cao hơn cách 2 rất nhiều, trong trường  
hợp này không thể chứng minh ngay hai tam giác chứa góc B và góc C bằng nhau 
mà phải chứng minh thêm cặp tam giác khác bằng nhau trước, từ  đó sử  dụng  
một số yêu tố bằng nhau trong hai tam giác này để chứng minh hai tam giác chứa  
góc B và góc C bằng nhau.
 
Qua bài toán này, giáo viên giúp học sinh thấy được đối với nhiều bài toán 
hình học, nếu chỉ  sử  dụng giả  thiết đề  bài cho nhiều khi chưa giải được bài 
toán, nhưng nếu biết cách vẽ thêm yếu tố phụ hợp lý, sáng tạo thì việc giải bài  

toán sẽ  trở  nên dễ  dàng và thuận lợi hơn chẳng hạn như  cách 2 trong bài toán 
này. Học sinh sẽ biết thêm một phương pháp giải toán hình học mới.  
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

21


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

Ví dụ  2: Cho tam giác ABC.  D và E lần lượt là trung điểm của các 
1
cạnh AB và AC. Chứng minh rằng: DE // BC và  DE = BC .
2
* Cách 1:
Nếu chỉ  dựa các yếu tố  đã cho trong hình vẽ  thì chưa thể  chứng minh  
1
được DE // BC và   DE = BC .  Để  giải bài toán trên ta có thể  vẽ  thêm yếu tố 
2
phụ  là lấy điểm M trên tia đối của tia ED sao cho EM = ED để  tạo ra các cặp  
1
tam giác bằng nhau, từ đó chứng minh được DE // BC và  DE = BC .
2
*Hướng dẫn giải:
       Trên tia đối của tia ED lấy điểm M sao cho EM =  
ED.
Xét  ∆ EAD  và  ∆ ECM có: 

A

 =E

 (đđ), ED = EM (theo cách vẽ)
EA = EC (gt),  E
1
2
D

1

1

  ∆ EAD  =  ∆ ECM (c­g­c)

M

E
2

2

B

  AD   =   CM   (2   cạnh   tương   ứng);   A = C 1 (2   góc 
tương ứng)

1

C

 AD // CM 


Ta có :  A = C 1 , mà  A và  C 1 là hai góc so le trong 

 DC = MC
 D (hai góc so le trong )
B

Xét  ∆ BDC  và  ∆ MCD có: 
 D (cmt), DC chung.
BD = MC (= AD) ,  B DC = MC

  ∆ BDC  =  ∆ MCD (c – g – c)
 =C
 (2 góc tương ứng)
 BC = DM (2 cạnh tương ứng);  D
1
2
 =C
 , mà  D
 và  C

Ta có :  D
1
2
1
2 là hai góc so le trong 

Vì  DE =

 DE // BC


1
1
DM  mà DM = BC  � DE = BC .
2
2

Vậy  DE // BC và  DE =

1
BC .
2

*Cách 2 : Ngoài cách vẽ  thêm yếu tố  phụ  như  cách 1, ta cũng có thể  vẽ 
thêm yếu tố phụ là trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, vẽ tia Cx // AB.  
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

22


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

Trên tia Cx lấy điểm N sao cho CN = AD để tạo ra các cặp tam giác bằng nhau, 
1
từ đó chứng minh được DE // BC và  DE = BC .
2
Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, vẽ tia Cx // AB. 
Trên tia Cx lấy điểm N sao cho CN = AD.
 Xét  ∆ EAD  và  ∆ ECN có: 
A


D

1

1
3

x

E

N

2

2

1

B

C

EA = EC (gt),   A = C 1 (vì  AD // CN), AD= CN (theo 
cách vẽ)
  ∆ EAD  =  ∆ ECN (c­g­c)
 =E
 (2   góc   tương   ứng)   và   DE   =   EN   (2   cạnh 
�E
1

2

tương ứng); 

 +E
 = 1800 (kb) nên  E
 +E
 = 1800
Mà  E
1
3
2
3

 ED và EN là hai tia đối nhau 

 D, E, N thẳng hàng.

Xét  ∆ BDC  và  ∆ NCD có: 
 D (BD // CN), DC chung.
BD = CN (= AD) ,  B DC = NC

  ∆ BDC  =  ∆ NCD (c – g – c)
 =C
 (2 góc tương ứng)
 BC = DN (2 cạnh tương ứng);  D
1
2
 =C
 , mà  D

 và  C

Ta có :  D
1
2
1
2 là hai góc so le trong 

Vì  DE =

 DE // BC

1
1
DN  mà DN = BC  � DE = BC
2
2

Vậy  DE // BC và  DE =

1
BC .
2

Qua bài toán trên ta cũng chứng minh được một tính chất:  Trong một tam 
giác đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh thì song song và bằng một  
nửa cạnh còn lại. Đoạn thẳng này được gọi là đường trung bình của tam giác  
mà ta sẽ được học ở Hình học lớp 8. 
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A. D là trung điểm cạnh AB. Trên  
1

tia đối của tia BA lấy E sao cho BE = AB. Chứng minh rằng  CD = CE . 
2
Trong bài toán ở ví dụ  2, ta đã chứng minh được trong một tam giác đoạn 
thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên thì song song và bằng một nửa cạnh còn 
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

23


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

lại mà trong bài toán này đã cho một yếu tố trung điểm và yêu cầu chứng minh  
độ  dài một đoạn thẳng bằng một nửa đoạn thẳng khác nên ta có thể  vận dụng 
tính chất được chứng minh ở ví dụ 2: Trong một tam giác đoạn thẳng nối trung  
điểm của hai cạnh thì song song và bằng một nửa cạnh còn lại  để giải. Có thể 
giải bài toán trên theo các cách sau:
*Cách 1: 
Gọi F là trung điểm của CE
Xét  ∆ AEC có B, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AE, CE, vận dụng 
tính chất được chứng minh ở ví dụ 2: Trong một tam giác đoạn thẳng nối trung  
điểm của hai cạnh thì song song và bằng một nửa cạnh còn lại, ta có :
1
AC , BF / / AC
2
 


BF / / AC � B2 = ACB (SLT)
BF =


 = ACB ( ∆ ABC cân tại A ) � B
 =B

Mà  B
1
1
2

Ta có : 
1
2

1
2

AB =AC,  BF = AC , BD = AB � BD = BF

A

Xét  ∆ BDC và  ∆ BFC có:

D

 =B
  (cmt), BC chung
BD = BF (cmt);  B
1
2

B


∆ BDC =  ∆ BFC (c – g – c)

C

F

 CD = CF (2 cạnh tương ứng) 
1
2

1
2

1
2

E

Mà  CF = CE � CD = CE
*Cách 2: 
Gọi M là trung điểm của cạnh AC

Xét   ∆ AEC có B, M lần lượt là trung điểm của các cạnh AE, AC,   vận 
dụng tính chất được chứng minh  ở ví dụ 2: Trong một tam giác đoạn thẳng nối 
trung điểm của hai cạnh thì song song và bằng một nửa cạnh còn lại, ta có : 
1
BM = CE
2


A
D
B

Ta có : AB =AC, 
M

AM =
C

1
1
AC , AD = AB � AM = AD
2
2

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp
E

24


SKKN: Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ trong giải bài tập Hình học 7

Xét  ∆ ABM và  ∆ ACD có:
AM = AD (cmt);  A  chung; AB =AC (gt)
∆ ABM =  ∆ ACD (c – g – c)

 BM = CD (2 cạnh tương ứng)
1

2

1
2

Mà  BM = CE   � CD = CE
*Cách 3: 
Trên tia đối của tia CA lấy điểm H sao cho CH = CA
Xét  ∆ ABH có D,C lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AH, vận dụng 
tính chất được chứng minh ở ví dụ 2: Trong một tam giác đoạn thẳng nối trung  
1
2

điểm của hai cạnh thì song song và bằng một nửa cạnh còn lại, ta có:  CD = BH
1
2

1
2

Ta có : AB =AC,  AB = AE , AC = AH � AE = AH
Xét  ∆ ACE và  ∆ ABH có:
AE = AH (cmt);  A  chung; AB =AC (gt)
A

∆ ACE = ∆ ABH (c – g – c)

D

 BH = CE (2 cạnh tương ứng)


B

1
1
Mà  CD = BH   � CD = CE
2
2

H

E

* Cách 4: 

C

Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = CB. Xét  ∆ ABN có D,C 
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BN,   vận dụng tính chất được chứng 
minh ở ví dụ 2: Trong một tam giác đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh thì 
1
2

song song và bằng một nửa cạnh còn lại, ta có: CD = AN
A
D
B

1
2


E

1

C

N

Ta có: 
 +B
 = 1800 (kb); ACB + C
 = 1800 (kb)
B
1
2
1
 = ACB ( ∆ ABC cân tại A )
Mà  B
1
 =C

�B
2
1

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

25