Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (451.78 KB, 23 trang )
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
MỤC LỤC
Nội dung
Mở đầu
Chương 1: Cơ sở lý luận
1. Bất đẳng thức Cauchy
2 . Hệ quả bất đẳng thức Cauchy
Chương 2: Một số ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy
I. Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh bất đẳng thức
II. Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào giải phương trình, bất phương
trình
III. Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào tìm GTLN GTNN
1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy
2. Ứng dụng vào tìm GTLN GTNN
IV. Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh tính chất nghiệm
Kết luận
Tài liệu tham khảo
Trang
2
3
3
3
4
4
8
13
13
17
20
21
22
MỞ ĐẦU
Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
1
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó nhất của toán học
phổ thông mà học sinh cần phải nắm được, bởi ứng dụng của bất đẳng thức
xuyên suốt chương trình toán học THPT. Đặc biệt phải kể đến mảng ứng dụng ,
bởi lí do đó nên tôi chọn đề tài : “ Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng ’’.
Đề tài cũng giúp tôi hiểu sâu hơn về phương pháp dậy bài tập bất đẳng thức cho
học sinh.
2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU :
Để cho học sinh thấy được vai trò bất đẳng thức Cauchy trong giải quyết bài
toán. Yêu cầu đạt đến đối với học sinh là thấy rõ, hiểu và biết cách vận dụng
bất đẳng thức Cauchy trong thực hành giải toán.
3 ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU :
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là vận dụng bất đẳng thức Cauchy vào giải
quyết một số bài toán liên quan trong các đề thi HSG và tuyển sinh ĐH.
4 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU :
Đưa ra những cơ sở lí luận về bất đẳng thức Cauchy . Từ đó mô tả phân tích
để tìm ra biện pháp dậy cho học sinh cách vận dụng vào giải toán.
5 CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CHÍNH :
Với nền tảng cơ sở lí luận về phương pháp dạy toán học , thì đòi hỏi phương
pháp phân tích sản phẩm , tổng kết kinh nghiệm để út ra được lí thuyết cho
chính bản thân người dạy.
6 KẾT CẤU CỦA ĐỀ TÀI :
Đề tài gồm 2 chương :
Chương 1 :
Chương 2 :
Cơ sở lí luận .
Một số ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy.
Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
2
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
Chương 1 : Cơ sở lí luận
1.BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
Cho ai �ﾡ
+
, i = 1, n .Ta có :
n
i =1
ai
n
n
i =1
Dấu '' = '' xảy ra � a1 = a2 = ... = an .
CM
Với n = 2 ta có : a1 + a2
ai , n ﾡ \ { 0,1} (1)
2 a1a2 ( luôn đúng).
k
�1 k
� k
Giả sử (1) đúng với n = k , tức là : �
ak �
ai .Ta chứng minh (1)
k
� i =1 � i=1
cũng đúng với n = k + 1 . Thật vậy , giả sử
1 k
a1 ����
a2 ... ak ak +1 ak +1
ai
k i=1
1 k
ai , ak +1 = x + y,( y 0) .
Đặt x =
k i =1
1
1 k +1
k 1 k
a
k
x+ y �
�
ai =
. �ai + k +1 =
x+
= �x +
y�
Vì
�
k + 1 i =1
k + 1 k i =1
k +1 k +1
k +1 � k +1 �
k +1
k +1
k +1 k
x y
k +1
1
� 1 k +1 � �
�
Do đó : �
ai � = �x +
y�
�k + 1 i=1 � � k + 1 �
x k +1 +
x ( x + y)
k
Dấu '' = '' xảy ra � a1 = a2 = ... = an .
k +1
i =1
Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học bất đẳng thức (1) đúng ∀n
Với n = 1 thì hiển nhiên bất đẳng thức (1) đúng.
ai (đúng).
ﾡ \ { 0,1} .
2. HỆ QUẢ BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
+ Hệ quả 1:
Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
3
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
( )
n
�S�
Nếu ai = S( const ) thì Max
ai = � �xảy ra
i =1
i =1
�n �
� a1 = a2 = ... = an .
n
n
+ Hệ quả 2:
Nếu
n
i =1
ai = P ( const ) thì Min
( a) =n
n
i =1
n
i
P xảy ra � a1 = a2 = ... = an .
Chương 2 : Một số ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy.
I.ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO CHỨNG MINH BĐT
Bài toán 1 (BĐT Bernoulli)
Cho α γ ﾡ + , x −1, khi đó :
α 1 , ta có: ( 1 + x ) 1 + α x (2). Dấu '' = '' xảy ra � α = 1 hoặc
x = 0.
α
0 α < 1 , ta có : ( 1 + x )
1 + α x (3). Dấu '' = '' xảy ra � α = 0 hoặc
α
x =1.
CM
α 1 . Trước hết ta chứng minh α ﾡ
+ Với α = 1thì bđt (2) hiển nhiên đúng .
+
n
, ( n, m ) = 1, n > m. Khi đó ta có :
m
n
m
m
1
+
α
x
+
n
−
m
�
�
(
)
(
)
n
m ( 1 + α x ) + 114+2
... 4
+
31 n ( 1 + α x ) ۳ �
�
n −m
n
�
�
+ Với α > 1 , đặt α =
n
(1+ α x)
m
n
m
� ( x + 1) �( 1 + α x ) � ( 1 + x ) m �( 1 + α x ) � ( 1 + x ) �( 1 + α x. )
α
Dấu '' = '' xảy ra � x = 0.
+ Với α I + , giả sử α là số vô tỷ tùy ý . Khi đó vì ﾡ là tập trù mật trong
ﾡ nên tồn tại dãy số hữu tỷ
Với mọi n , ta có : ( 1 + x )
( 1+ x)
lim
x
αn
αn
( α n ) n =1 ,α n > 1 mà lim α
x
n
= α .
1 + α n x. chuyển qua giới hạn ta có :
lim
( 1 + α n x ) hay ( 1 + x )
x
α
1 + α x. Như vậy BĐT (2)
được chứng minh trọn vẹn.
0 α < 1, α ﾡ +
+ Với α = 0 , thì bđt (3) hiển nhiên đúng.
Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
4
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
+ Với 0 < α < 1 , đặt α =
Ta có : m ( 1 + x ) + ( n − m )
m
, ( n, m ) = 1, m < n, ( m, n ﾡ *+ ) .
n
n
mx
+
n
m
m
�
�
1
+
x
(
)
n n (1+ x) ۳ �
�
� n �
m
� ( 1 + α x ) n �( 1 + x ) m � ( 1 + x ) n �( 1 + α x ) � ( 1 + x ) α �1 + α x
Dấu '' = '' xảy ra � x = 0.
Giả sử α là số vô tỷ tùy ý , vì ﾡ trù mật trong ﾡ nên ∃ ( α n ) n=1 hữu tỷ ,
α n = α .
0 < α n < 1 mà lim
x
∀n
ﾡ *+ ta có : ( 1 + x )
( 1+ x)
lim
x
αn
αn
1 + α n x . Chuyển qua giới hạn , thì được :
lim(1
+ α n x ) hay ( 1 + x )
x
α
1 + α x.
Như vậy bđt (3) được chứng minh hoàn toàn.
, ai
Bài toán 2 : Cho ai γ=ﾡ �
1 k n
�ai
k i =1
0, i 1, k , ( n, k
ﾡ
*
+
) . Ta có :
n
�1 k �
ai � (4) . Dấu '' = '' xảy ra � a1 = a2 = ... = ak .
��
�k i =1 �
CM
1
ai
k i =1
k = 1 , thì BĐT (4) hiển nhiên đúng.
n
k > 1 , áp dụng BĐT cauchy cho 1 số ai và ( n − 1) số S n ta được :
n
n
nS n −1 .ai , ∀i
ai + ( n − 1) S
k
Đặt S =
k
n
n
Do đó : �ai + k ( n − 1) S
i =1
۳
1
ain
�
k i =1
k
k
k
i =1
i =1
nS n−1 �ai = knS n ۳
ain
kS n .
n
�1
�
S n = � �ai �. Dấu '' = '' xảy ra � a1 = a2 = ... = ak . ( đpcm) .
�k i =1 �
k
Chú ý : + Ta có thể chứng minh BĐT (4) nhờ BĐT Bernoulli như sau :
n
�ka i �
ai . Khi đó : (4) k
� �.
i =1 �S �
i =1
n
n
kai � � kai − S �
kai − S
�
∀i , ta có : � �= �
1+
1
+
n
�
S �
S
�S � �
1
Đặt S =
k
k
k
Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
5
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
n
n
�ka �
�ks − ks � k �ka i �
Do đó : �� i ��k+ ۳n �
� �� � k .
i =1
�s �
� s � i =1 �s �
k
kai − S
= 0,(i = 1, k ) � a1 = a2 = ... = a k .
S
+ Nếu thay điều kiện n ﾡ *+ bằng điều kiện n 1, n ﾡ thì cách
Dấu “ = ” xảy ra �
chứng minh thứ 2 hợp lí hơn.
+ Các BĐT (2), (3) , (4) đều có thể chứng minh bằng đạo hàm.
Bài toán 3: Cho x, y , z > 0 và m, n ﾡ * . Chứng minh rằng:
xm ym zm
n + n + n
y
z x
xm−n + ym−n + zm−n . Dấu “ = ” xảy ra � x = y = z.
CM
Áp dụng BĐT CauChy cho ( m + mn + n ) số , ta có :
2
m
m
ym
2 x
2 z
m n + mn n + n n
y
z
x
2
3
2
2
2
3
m
m n mn
z
2
2 ( m + mn+ n ) x y
( m + mn + n )
nm
nm n
y z x
2
2
2
( m + mn+n )
xm −n = ( m2 + mn + n2 ) xm−n
( m2 + mn + n2 )
m
m
zm
2 y
2 x
2
2
m− n
Tương tự ta có : m n + mn n + n n ( m + mn + n ) y
z
x
y
m
m
m
x
2 z
2 y
2
2
m− n
và m n + mn n + n n ( m + mn + n ) z
x
y
z
2
2
3
3
Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức trên và rút gọn ta được điều phải chứng minh.
MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ:
1. Cho ai �ﾡ , ai > 0, i = 1, k , m
n; k
2; m, n, k
ﾡ * . Đặt S =
k
i =1
ain .
Chứng minh rằng :
m −n
aim
k k aim
1 k m −n
k �1 n �
a
ai � .
�
�
�
��
i
n
i =1 S − a
i =1 S
i =1
i =1
k
−
1
k
−
1
k
−
1
k
�
�
i
2. Cho ai �ﾡ , ai > 0, i = 1, n, ∀k , l �ﾡ . Chứng minh rằng :
k
l
k +l
n
�n ai �
�n ai � n ai
S
=
ail .
�
, trong đó
�
�
�
�
�
�
i =1
�i =1 n �
�i =1 n � i =1 n
3. Cho ai �ﾡ , i = 1, n, n �ﾡ *+ . Chứng minh rằng :
k
Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
6
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
m
m
l
1 n l � 1 n
*
�
�� �ai � �ai , ( m, l j ﾡ ) , trong đó l j = α (chẵn).
j =1
j =1 �
n i =1 � n i=1
4. Cho xi �ﾡ , xi > 0, i = 1, k , k �2 . k , m, n �ﾡ * . Chứng minh rằng :
k
k
xin
n −m
� m �xi , trong đó xk +1 x1 .
i =1 x
i =1
i +1
m
j
j
j=1
Chú ý : Với việc sử dụng hằng đẳng thức sau :
m − n = ( m − n ) ( m + m n + ... + mn + n ) .Ta sẽ có một lời giải
bằng BĐT Cauchy thật đẹp cho bài 4 .
5. Cho x, y , z > 0. Chứng minh rằng nếu k , m, n ﾡ *+ thỏa mãn điều kiện
k
k
2
k −1
k
k−2
k −2
xm yn ym zn zm xn
m.n , thì ta có : k + k + k
z
x
y
k −1
x m + n −k + y m + n − k + z m + n −k .
II. ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO GIẢI PT , BPT ,HPT, HBPT.
1. ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO GIẢI PT, BPT.
Ví dụ 1. Giải pt sau :
x 3 − 3 x 2 − 8 x + 40 = 8 4 4 x + 4 .
Lời giải
Điều kiện 4x + 4
�۳0− x
1. Ta có :
x 3 − 3 x 2 − 8 x + 40 = 8 4 4 x + 4 = 4 4 ( x + 1) 4.4.4
CS
x +1+ 4 + 4 + 4
� ( x + 3) ( x − 3) �0 � x = 3.
Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
2
Ví d
ụ 2 .
Giải phương trình sau :
5 27 x10 − 5 x 6 + 5 864 = 0
lời giải
Do x = 0 không là nghiệm của pt , nên chia cả 2 vế cho 5 27x 6 ta được :
x4 −
5
864 1
2
5
4
5
+
.
=
0
�
x
+
=
5
27 x 6
x 6 5 27
27
3
2
4
5
x4
1
�x ��1 � 5
5
� 5
= 3. + 2. 6 �5 � �� 6 �= 5
3
x
27
27
�3 ��x �
4
x
1
Dấu “ = ’’ xảy ra �
= 6 � x10 = 3 � x = �10 3.
3 x
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x =
Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
10
3.
7
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
Ví dụ 3 . Tìm nghiệm x, y của bất phương trình sau :
2002
e 2003
x+
1
y
2003
>
2002 x
1 y
e +
e ( 1 )
2003
2003
Lời giải
Đặt a =
thành : e
2002 1
,
= b � a + b = 1 � b = 1 − a. Khi đó phương trình( 1) trở
2003 2003
ax + ( 1− a ) y
> ae x + be y = ae x + ( 1 − a ) e y � e a( x − y ) > ae x − y + 1 − a ( 2 )
Giả sử ( x0 , y0 ) là nghiệm của BPT (2) , điều này cũng có nghĩa là nghiệm của
BPT (1)
Tức là : e a( x − y ) > ae x − y + 1 − a ( * )
Mặt khác theo BĐT Bernoulli , ta lại có :
0
(
0
0
)
0
(
)
a( x − y )
� 1 + a e a ( x − y ) − 1 = ( 1 − a ) + ae x − y mâu thuẫn với ( *).
ea( x − y ) = �
1
+
e
−
1
�
�
Vậy BPT đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 4 . Chứng minh rằng các BPT sau không có nghiệm nguyên dương:
a) x y + y x 1 ( 1 )
0
0
0
0
a
0
b) ( x + y ) + ( y + z ) + ( x + z )
z
x
y
0
0
0
2 ( 2 )
Lời giải
a) Từ ( 1 ) suy ra 0 < x, y < 1 . Giả sử ( x0 , y0 ) là một nghiệm của BPT (1) , tức
là :
y
x
x0 + y0 1 (*)
Theo BĐT Bernoulli , ta có :
0
0
x0
x0
x0
x0
=
=
1
−
y
x01− y �
1 + ( x0 − 1) �
�
� 1 + ( 1 − y0 ) ( x0 − 1) x0 + y0 − x0 y0
y0
x
Và y0 0
.
x0 + y0 − x0 y0
x0
y0
x0 + y 0
y
x
+
> 1
Do đó : x0 + y0
x0 + y0 − x0 y0 x0 + y0 − x0 y0 x0 + y0 − x0 y0
=
x0
y0
0
0
0
0
Mâu thuẫn (*) suy ra điều giả sử là sai. Vậy BPT (1) vô nghiệm.
b) làm tương tự ý a .
2.ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO GIẢI HPT, HBPT
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau :
Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
8
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
1
1
1
+
+
= 3 3 (1)
x
y
z
x + y + z = 1
xy + yz + zx =
(2)
7
+ 2 xyz (3)
27
Lời giải
Điều kiện x, y, z > 0
1
1
۳ xyz 3 3 xyz ۳ xyz
(4)
xyz
27
1
Từ (2) � 1 = x + y + z �3 3 xyz
xyz
(5)
27
1
1
1
=
=
x
y
z � x = y = z .
Dấu “ = ’’ ở (4) và (5) xảy ra đồng thời �
Từ (1) � 3 3 =
1
1
1
+
+
�3 3
x
y
z
x= y=z
Thay vào (1) � x = y = z =
1
thoả mãn (3) .
3
1
3
Vậy HPT đã cho có nghiệm duy nhất là x = y = z = .
Nhận xét :
Thay vì lý luận dấu “ = ’’ ở (4) và (5) xảy ra đồng thời , ta có thể làm như
sau :
Từ (4) và (5) � xyz =
1
9 1
(6) thế vào (3) ta được : xy + yz + zx =
= (7)
27 3
27
Từ (2), (6),(7) và theo định lí Viét thì x, y,z là 3 nghiệm của phương trình sau :
3
1
1
1
1
� 1�
X − X + X −
= 0 � �X − �= 0 � X = � x = y = z = .
3
3
3
27
� 3�
3
2
Với cách làm ở trên thì phương trình (3) là không cần thiết .
Ta cũng có thể trình bày lời giải bài toán trên theo cách sau :
Vì vai trò x, y , z là như nhau. Không mất tính tổng quát ta giả sử
x
y
z 0. Ta có 3z �x �
�y = z+ +1
Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
0 3z 1
0
z
1
.
3
9
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
7
= xy + yz + zx − 2 xyz = xy ( 1 − 2 z ) + z ( x + y ) �
27
2
2
x + y)
1− z)
(
(
( 1 − 2z ) + z ( x + y ) =
( 1 − 2 z ) + z ( 1 − z )
4
4
3
1�
1
1
�z + z + 1 − 2 z � � 7
3
2
= ( −2 z + z + 1) = �
.
z. z ( 1 − 2 z ) + 1�
�
�+ 1�=
� 4�
3
27
4
4�
�
� �
�
( 3) �
x= y
x= y
1
� � 1 Thế vào (2) ta được x = y = z =
Dấu " = " xảy ra � �
z = 1 − 2z
z=
3
3
thoả
1
3
mãn phương trình (1). Vậy x = y = z = là nghiệm của hệ đã cho.
Bình luận : Với cách làm trên ta thấy phương trình (1) chỉ cần thay bằng
giả thiết x, y, z > 0 là đủ.
Ví dụ 2 . Tìm m để hệ sau có nghiệm dương :
x + y + z =1
xy + yz + zx = 9m
xyz = m
Lời giải
Giả sử hệ có nghiệm nguyên dương x0 > 0, y > 00 , z0 > 0 , tức là :
x0 + y0 + z0 = 1 (1)
x0 y0 + y0 z0 + z0 x0 = 9m
x0 y 0 z 0 = m
Ta có : 1 = x0 + y0 + z0
Với m =
(3)
3 3 x0 y0 z0 = 3 3 m
Mặt khác : 9m = x0 y0 + y0 z0 + z0 x0
Từ (4) và (5) suy ra m =
(2)
m
1
27
(4)
3 3 ( x0 y0 z0 ) 2 = 3 3 m 2 ۳ m
1
.
27
1
27
(5)
1
, thì ta có :
27
Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
10
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
x + y + z =1
xy + yz + zx =
xyz =
1
3
x, y, z là 3 nghiệm (phân biệt hoặc trùng nhau) của
1
27
phương trình sau : X 3 − X 2 +
3
1
1
X−
=0
3
27
1
1
� 1�
� �X − �= 0 � X = � x = y = z = .
3
3
� 3�
1
Vậy với m =
, thì ycbt được thoả mãn.
27
*
Ví dụ 3. Tìm a,b ﾡ + thoả mãn :
a b + b a 12
(1)
a a +b b
(2)
28
Lời giải
Từ (1) ta có : 12 �a+ �
b < b= a
Do a,b ﾡ
*
+
ab 11 (3).
Từ (2) ta có : 282
(
a a +b b
2 4 (ab)3
)
2
ab 6 3 6 6 3 8 12
( a + b ) ( a + b)
( a + b) ( a + b) = ( a + b)
2
2
2
3
� a + b > 3 28 > 9 � a + b �10 (4)
Giả sử a b , từ (3) suy ra ab �11
� a 2 11 a 3.
Với 2 a 3 , thì từ (4) b< 7 = ab 2.7 14 11
(mâu thuẫn (3) )
Với a = 1 , từ (4) suy ra b 9 kết hợp với (3) ta được b = 9;10;11.
Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
11
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
Dễ dàng kiểm tra thấy chỉ có cặp (1 ; 9) là thoả mãn.
Vậy nghiệm của hệ BPT đã cho là ( a, b ) =
{ ( 1;9 ) , ( 9;1) } .
Ví dụ 4 . Tìm nghiệm dương của HBPT sau :
a 2000 + b 2000 + c 2000 = 3 (1)
a 2 + b2 + c2
3
(2)
Lời giải
Áp dụng BĐT cauchy ta có :
a 2000 + 999.1 10001000 a 2000 .1 1000a 2
Tương tự , ta có :
b 2000 + 999.1 1000b 2 và c 2000 + 999.1 1000c 2
2000
2
2
2
Do đó : a 2000 + b 2000 + c + 3.999 1000( a + b + c )
� ( a 2 + b 2 + c 2 ) .1000 �3.( 1 + 999 ) = 3.1000
� a 2 + b 2 + c 2 �3 (3) .
2
2
2
Từ (2) và (3) suy ra a + b + c = 3 . Dấu “ = “ xảy ra � a = b = c = 1 .
Vậy nghiệm của HBPT đã cho là : a = b = c = 1 W
MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
1.Tìm x
2− n
� π�
n
n
0
;
tho
ả
mãn :
sin x + cos x = 2 n , n ﾡ \ { 0,1} .
�
�
2
�
�
2.Giải phương trình sau :
16
+
x − 1986
1
= 10 −
y − 2002
(
x − 1986 + y − 2002
)
3.Tìm GTLN của tham số a để BPT sau có ít nhất một nghiệm :
a 3 ( x − 1) +
2
a
2
( x − 1)
4
a 3 sin
πx
.
2
4.Giải các HPT , HBPT sau :
a)
x , y , x, t > 0
b) x + y + z + t = 12
2005
xy + yz + zx + xt + yt + zt = xyzt − 27
= 8 ( xy ) 2
x
y
+
= xy
y
x
x 2008 + y 2008
Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
12
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
x3 y = 9
c)
3x + y = 6
4x+ y−1 + 3.42 y−1 2
e)
x + 3y 2 − log4 3
6 x 2 x3 − 6 x + 5 = ( x3 + 4 ) ( x 2 + 2 x − 6 )
d)
x+
1
2
1+ 2
x
x
( x − 1) ( y − 2)
4
2
z3t 6 = 1024
f) 4x + z + 16y + t = 8x + 76
2
3
6
x 1; y 2; z 0; t
0
III. ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO TÌM GTLN GTNN .
1.KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BĐT CAUCHY
Giả sử ta cần chứng minh, BĐT sau :
S ( a1 , a2 ,..., an ) C _ const (*)
hoặc S ( a1 , a2 ,..., an )
C _ const
1.1. Trường hợp 1 : S ( a1 , a2 ,..., an ) là một biểu thức đối xứng của các
ai , i = 1, n .Ta dự đoán dấu “ = ’’ trong BĐT (*) xảy khi a1 = a2 = ... = an . . Kiểm
tra lại dự đoán nếu đúng thì kết hợp với điều kiện xảy ra dấu “ = ’’ trong BĐT
cauchy , ta sẽ tìm được các hằng số trong các đánh giá giả định. T ừ đó đưa ra lời
giải của bài toán .
Ví dụ 1:
Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
13
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
a, b, c > 0
Cho
a+b+c
3 Chứng minh rằng :
2
S = 2 ( a 2 + b2 + c 2 ) +
1 1 1 15
+ +
.
a b c 2
Lời giải
Dự đoán S =
1
15
khi a = b = c = . Do đó ta cần chọn α sao cho :
2
2
2a 2 = 2b 2 = 2c 2
1 2
1
1
1 � = � α = 4. Từ đó ta có lời giải sau :
2 α
=
=
α a αb αc
1
1
1
1
1
1 � 1 �1 1 1 �
� 2
S =�
2a + 2b 2 + 2c 2 +
+ + +
+ + �+ � + + �
4
a
4
b
4
c
4
a
4
b
4
c
2
a
b
c
�
� �
�
9 1 �3 1 � 9 3
1
9 3
15
+
3
+
.
2 2 � abc � 2 2 a + b + c
+ .2 = .
�
�
2 2
2
3
1
Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c = (đpcm).
2
Ví dụ 2 :
Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng :
a3
b3
c3
2
+
+
a + ab + b 2 b 2 + bc + c 2 c 2 + ac + a 2
a+b+c
.
3
Trước tiên ta xét đánh giá giả định sau :
a3
2
αa + βb
a + ab + b 2
3
3
� ( 1− α ) a − β b �( α + β ) ab ( a + b )
1− α 3
−β 3
a +
b �ab ( a + b ) (*)
�
α +β
α +β
Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
14
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
Mặt khác , ta lại có :
a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 )
CS
( a + b ) ( 2ab − ab ) = ab ( a + b )
Do đó (*) luôn đúng nếu ta chọn được α , β thoả mãn :
1−α
=1
α +β
�
�
� −β = 1
α +β
∀a, b 0.
2
α=
� 3
.
�
−
1
�β =
3
Khi này , ta có lời giải sau :
a3
2
1
b3
Ta có : 2
a − b , 2
a + ab + b 2 3
3
b + bc + c 2
c3
2
1
và 2
c − a.
2
c + ac + a
3
3
2
1
b − c
3
3
Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được ĐPCM W
Ví dụ 3 : Cho a, b, c �ﾡ
*
+
t / m abc = 1 . Chứng minh rằng :
1
1
1
+
+
a3 ( b + c) b3 ( c + a) c3 ( a + b)
3
2
Trước tiên ta dự đoán dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c = 1 .
Khi đó
1
1 2 b+c
=
= =
. Do đó :
a3 ( b + c) 2 4 4bc
1
b+c
1
b+ c
+−
=
�
+
2
.
a3 ( b + c) 4bc
a3 ( b + c ) 4bc
Tương tự ta có :
1
b3 ( c + a)
1
a
1
a3 ( b + c )
1 1 �1 1 �
1
− �+ �
và 3
b 4 �c a � c ( a + b)
1
a
1 �1
4�
�b
1�
c�
�
1 1 �1 1 �
−
+ �
c 4�
a
� b�
Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được:
1
1
1
+ 3
+ 3
a ( b + c ) b ( c + a) c ( a + b)
3
1 �1 1 1 � 3 3 1 1 1 3
+ + �
. . = .
2�
a
b
c
2
a
b c 2
�
�
Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
15
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
1.2. Trường hợp 2 : Trong biểu thức S ( a1 , a2 ,..., an ) các ai , i = 1, n không có
tính đối xứng . Khi này việc dự đoán dấu “ = ’’ trong BĐT (*) cho một lớp bài
toán là rất khó. Kết quả của việc này chủ yếu dựa vào kinh nghiệm và trực quan
toán học của mỗi người làm toán.
a, b, c > 0
Chứng minh rằng :
a + 2b + 3c 20
3 9 4
S = a + b + c + +
+
13.
a 2b c
Trước tiên , ta dự đoán S = 13 , khi a, b, c > 0 và thoả mãn a + 2b + 3c = 20
Ví dụ 1 : Cho
Biểu diễn S dưới dạng sau :
3� �
9 � � 4�
�
S =�
α a + �+ �β b + �+ �
γ c + �+ ( 1 − α ) a + ( 1 − β ) b + ( 1 − γ ) c
a� �
2b � � c �
�
Như vậy ta cần chọn các số α , β , γ thoả mãn các điều kiện sau đây :
1−α 1− β 1− γ
α = 1 − k (1)
=
=
=k >0
1
2
3
β = 1 − 2k (2)
3
3
2
γ = 1 − 3k (3)
a=
, b=
,c =
α
2β
γ
3
6
6
+
+
= 20 (4)
a + 2b + 3c = 20
α
2β
γ
Thế (1),(2),(3) vào (4) ta được :
3
6
6
+
+
= 20 (5)
1− k
2 − 4k
1 − 3k
Ta cần chọn 0 < k < 1 sao cho thay vào (5) thì ta khai căn được ở các biểu thức
1
có chứa dấu căn. Dễ thấy k = đáp ứng được yêu cầu đó. Khi này ta có một
4
lời giải đẹp như sau :
Ta có :
LG
Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
16
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
3 � 4 � 1 � 9 � 1 � 16 � 1
1
1
a + �+ �
b + �+ �
c + �+ a + b + c
�
4� a � 2� b � 4� c � 4
2
6
CS
3
4
1
9
1
16 1
۳ S 2. a. + 2. b. + 2. c. + ( a + 2b + 3c )
4
a
2
b
4
c 4
20
3 + 3 + 2 +
= 13
4
۳ S 13. Dấu “ = “ xảy ra � a = 2, b = 3, c = 4 W
S =
Ví dụ 2 : Cho x, y > 0, x + y
1. Chứng minh rằng :
9 48
68.
P = 51x + 23 y + +
x y
Trước tiên ta dự đoán P = 68 , khi x, y > 0 và x + y = 1 .
Ta biểu diễn P dưới dạng sau :
9� �
48 �
+ ( 51 − α ) x + ( 23 − β ) y
�+ �β y +
�
x� �
7y �
Như vậy , ta cần chọn α , β > 0 thoả mãn các điều kiện sau :
51 − α = 23 − β
α = 28 + β (1)
�
�
αx +
P = �
3
3
, y=4
7β
α
x + y =1
x=
Thay (2) vào (3) ta được :
� x=
3
3
, y=4
(2)
7
β
28 + β
x + y =1
(3)
3
3
+4
=1
7β
28 + β
(4)
Dễ thấy β = 21 thoả mãn (4) , thay vào (1) ta được α = 49 .
Khi này , ta có lời giải sau :
�
�
49 x +
P = �
9� �
48 �
21 y +
+ 2( x + y )
�+ �
x� �
7y �
�
42 + 24 + 2 = 68. Dấu đẳng thức xảy ra khi x =
CS
2. ỨNG DỤNG VÀO TÌM GTLN GTNN .
Ví dụ 1 : Cho x, y, z > 0. Tìm GTNN của biểu thức sau :
Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
3
4
, y = W
7
7
17
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
( x + y + z)
S =
6
xy 2 z 3
LG
Do x, y, z không có mối quan hệ ràng buộc nào . Nên để tìm MinS ta có 2 cách
sau .
Cách 1 . Sử dụng BĐT Cauchy ngược ta có : xy 2 z 3
α ( x + y + z )
6
1
1 �6 ( x + y + z ) �
Ta có : xy 2 z 3 =
( 6 x.3 y.3 y.2 z.2 z.2 z )
�
�
423
423 �
6
�
1
6
xy 2 z 3
( x + y + z ) . Do đó :
432
6
6
x + y + z)
x + y + z)
(
(
S=
= 432.
6
1
xy 2 z 3
( x + y + z)
432
1
1
Vậy MinS = 432 , khi x = y = z > 0 W
2
3
6
Cách 2 . Sử dụng BĐT Cauchy thuận ta có : ( x + y + Z )
αxy 2 z 3 .
6
6
1
1
1
1 �
� 1
Ta có ( x + y + z ) = �
x + y + y + z + z + z�
2
3
3
3 �
� 2
6
2 3
CS �
�
xy
z
2 3
�
66
�= 432xy z . Do đó, ta có kết quả như cách 1.
� 108 �
6
0 x 3
Tìm GTLN của :
0 y 4
S = ( 3 − x ) ( 4 − y ) ( 2 x + 3 y ) .
Ví dụ 2 : Cho
LG
Nhận xét : Rõ ràng với điều kiện đã cho thì 3 − x
theo hệ quả của BĐT cauchy thì
( a)
n
i =1
i
�
min
Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
n
i =1
0,4 − y
0. Mặt khác ,
ai = C _ const. Vậy ta cần
18
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
chọn α , β sao cho :
(3α − α x) + (4 β − β y ) + (2 x + 3 y ) = C _ const.
Dễ dàng thấy α = 2, β = 3. Khi đó ta có lời giải sau :
1
S = ( 6 − 2 x ) ( 12 − 3 y ) ( 2 x + 3 y )
6
3
CS
1�
(6 − 2 x) + (12 − 3 y ) + (2 x + 3 y ) �
36.
�
�
6�
3
�
Vậy MaxS=36 , khi x = 0, y = 2 W
Ví dụ 3 : Cho a,b,c,d > 0. Trong tất cả các nghiệm dương ( x, y,z, t ) của
phương trình :
a b c d
+ + + = 1 . Hãy chỉ ra nghiệm với tổng :
x y z t
n
n
n
n
Sn = x + y + z + t nhỏ nhất với n ﾡ * .
Lời giải
Đặt A = n +1 a n + n +1 b n + n +1 c n + n +1 d n .
Theo BĐT cauchy , ta có :
xn +
a n+1
a
A + ... + A n +1
x 4 44 2 4 x4 43
1
( n + 1)
n +1
a n An
n _ sô'
b n +1
A
( n + 1) n+1 b n A n
y
c
z n + n A n +1 ( n + 1) n +1 c n A n
z
d
Và t n + n A n +1 ( n + 1) n +1 d n A n
t
a b c d�
n
n
n
n
n +1 �
Do đó : x + y + z + t + nA � + + + �
�x y z t �
y + n
n
( n + 1) A
( n + 1) A
Vậy S = x + y + z + t
n
n
n
n
A
n +1
n
(
n +1
=
n +1
a n + n +1 b n + n +1 c n + n +1 d n
)
.
(
n +1
a
n +1
Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
+
n +1
b
n +1
+
n +1
c
n +1
+
n +1
d
n +1
)
n +1
.
19
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
a n +1 n b n +1 n c n +1 n d n +1
A , y = A ,z = A , t = A
x
y
z
t
a b c d
+ + + =1
x y z t
xn =
Dấu “ = “ xảy ra
x = n +1 aA , y = n +1 bA
Vậy MinSn =
(
z=
n +1
n +1
cA , t =
n +1
dA
(*)
a n + n +1 b n + n +1 c n + n +1 d n
)
n +1
, đạt được khi có (*).
MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :
x, y,z > 0
x 30 y30 z 30
1. Cho
. Tìm GTLN của : P = 21 + 21 + 21 .
y
z
x
x + y + z = 2004
2. Tìm giá tị nhỏ nhất của hàm số:
y = 9x
2
1 + x4 + 13x2 1 − x4 ,
(x
1)
x 2001 2002 . Tìm GTLN của y = x ( 2002 − x ) .
a 1
bc a − 1 + ca b − 2 + ab c − 3 .
4. Cho b 2 Tìm GTLN của S =
abc
c 3
2001
3. Với 0
5. Tìm GTLN , GTNN của hàm số : y = x
(
)
1999 − x 2 + 1997 .
IV.ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO CM TÍNH CHẤT NGHIỆM
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng nếu phương trình x 2 n +1 +
dương x 0 , thì x 0 <
n
2 ( n
1
− 4 = 0 (1) có nghiệm
x
2 ).
Lời giải
Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
20
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
Giả sử x 0 > 0 là nghiệm của (1) thì ta có :
x 0
2 n +1
+
1
1
− 4 = 0 � 4 = x 02 n +1 + �2x 0n
x0
x0
x0
� x 0
2. Dấu “ = ” xảy ra
1
= � x 0 = 1.
x0
n
2 n +1
Nhưng x 0 = 1 không thoả mãn (1) . Do đó x 0 < n 2 W
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng phương trình :
4
3
2 2
3
4
x − ax + a x − a x + a = 0 , a > 0 không thể có 4 nghiệm không
âm.
Lời giải
Giả sử phương trình đã cho có 4 nghiệm x1 , x 2 , x 3 , x 4 0.
Theo định lý Viet ta có :
x1 + x 2 + x 3 + x 4 = a
x1 x 2 x 3 x 4 = a 4
Mặt khác theo BĐT Cauchy , ta lại có :
4 x1 x 2 x 3 x 4
4
a4
a
4
x1 + x 2 + x 3 + x 4
4
a
1
( vô lý ).
a
1
4
4
Vậy điều giả sử là sai , tức là phương trình đã cho không thể có 4 nghiệm không
âm W
n
n −1
Ví dụ 3 : Cho P ( x ) = x + a 1 x + ... + a n −1 x + 1 , a i 0 , i = 1,n − 1 và
P ( x ) = 0 có n nghiệm thực . Chứng minh rằng P ( m )
( m + 1)
n
, m, n
ﾡ *.
Lời giải
Vì a i
0 , i = 1,n − 1 và 1 > 0 nên trong n nghiệm của P ( x ) = 0 không có
nghiệm nào dương . Giả sử đó là α i , i = 1,n . Khi này P ( x ) có dạng :
n
n
P ( x ) = �( x − α i ) = �( x + βi ) ( với βi = −α i > 0,i = 1,n )
i =1
i =1
n
Theo định lý Viet thì �βi = ( −1)
i =1
n
n
�α = ( −1) ( −1) = 1 .
i =1
n
n
i
Áp dụng BĐT Cauchy ta được :
Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
21
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
n
P ( m ) = �( m + βi )
۳ P ( m )
i =1
( m + 1)
n
( m + 1)
n
n
n +1
�β = ( m + 1) .
i =1
n
i
W
KẾT LUẬN
Như chúng ta đã biết, bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức khá nổi
tiếng bởi phạm vi ứng dụng rộng rãi của nó. Ngoài việc được vận dụng để
chứng minh các bất đẳng thức đại số thì bất đẳng thức Cauchy còn được sử
dụng trong các các bài chứng minh bất đẳng thức lượng giác hay các bài toán cực
trị hình học. Tuy nhiên, do thời gian nghiên cứu không nhiều nên trong chuyên đề
này những vấn đề thú vị đó vẫn chưa được đề cập đến.
Trên đây là một số kinh nghiệm có được trong quá trình dạy hoc, tìm tòi tự
bồi dưỡng nghiệp vụ chuyên môn. Các ví dụ được sưu tầm và chọn lọc kĩ lưỡng
từ đề thi đại học các năm và đề thi học sinh giỏi các tỉnh trong cả nước. Mặc dù
đã cố gắng song kinh nghiệm còn rất khiêm tốn. Mong nhận được sự góp ý chân
thành của quý thầy cô và các bạn động nghiệp về cả nội dung và hình thức trình
bày để chuyên đề được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Mê Linh , ngày 10 tháng 05 năm 2011
Giáo viên
Trần công Văn
Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
22
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bất đẳng thức ( Phan Đức Chính).
2. Chuyên đề bất đẳng thức và ứng dụng trong đại số (Nguyễn
Đức Tấn).
3. Báo toán học và tuổi trẻ.
4. Báo toán tuổi thơ.
Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
23
