Hướng dẫn học sinh học tốt phần phương trình lượng giác
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (721.61 KB, 27 trang )
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN
ĐỀ TÀI:HƯỚNG DẪN HỌC SINH
HỌC TỐT PHẦN
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
GV : TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN
GV : TRÁ
C THỊ HUY Ø
NH LIÊ
N
1
NĂM HỌC 20102011 GV TRÁC TH
Ị HUỲNH
LIÊN
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
A/ PHẦN MỞ ĐẦU
I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
Lượng giác là một bộ phận trong chương trình Tốn phổ thơng, cơng thức lượng giác
tương đối nhiều và khó nhớ, nếu chỉ học thuộc lòng cơng thức thì học sinh rất dễ nhầm
lẫn.Mặt khác trong tất cả các đề thi Đại học, cao đẳng đều có ít nhất một câu giải
phương
trình lượng giác và câu này học sinh dễ lấy điểm nếu các em biết cách học và cách nhớ.
Theo tơi khi dạy phần lượng giác thì giáo viên cần thực hiện những cơng việc sau:
1/ Giúp học sinh hiểu, thuộc và chứng minh được các cơng thức lượng giác.
2/ Giúp học sinh một số nhận xét cơ bản để chứng minh một đẳng thức lượng giác
hay rút gọn một biểu thức lượng giác.
3/ Giúp học sinh một số nhận xét cơ bản khi nhìn phương trình đã cho biết sử dụng
cơng thức nào để đưa phương trình đó về dạng phương trình đã biết cách giải.
4/ Giúp học sinh nhận và loại nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện.
Nội dung đề tài này tơi chỉ gợi ý một vài cách nhớ cơng thức lượng giác và một
số phương pháp giải phương trình lượng giác vi tơi nhận thấy cơng thức lượng giác học
sinh thường khơng nhớ và đa số học sinh rất e ngại phương trình lượng giác có điều
kiện.
Vì vậy để giúp các em học sinh đạt điểmtối đa phần lượng giác trong các kỳ thi
tôi
mạnhdạnviếtđềtài này.
Tơi rất mongnhậnđược ý kiến đónggóp chânthànhcủaq thầycô
cùng
đồngnghiệpđểbài viếtđược tổngquáthơn,hayhơn.
II/ N Ộ
I DUNG
:
Bài viết gồm các phần sau:
1/ Cách học và ghi nhớ cơng thức lượng giác.
2/ Bài tốn tìm ngọn cung khi biết cung và tìm cung khi biết ngọn cung.
3/ Một số phương pháp biến đổi phương trình lượng giác.
4/ Cách nhận và loại nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện.
Đồng Xồi, ngày 21 tháng 2 năm 2011
Giáo viên
2
NĂM HỌC 20102011 GV TRÁC TH
Ị HUỲNH
LIÊN
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN
B/ PHẦN NỘI DUNG
I/ CÁCH HỌC VÀ GHI NHỚ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1/HỆ THỨC CƠ BẢN :( phần này ta ghi nhớ từ định nghĩa giá trị lượng giác )
sin x
2
1/ 2sin
x + cos
x =1
2/ tanx =
cos x
cos x
3/ cotx =
4/ tanx . cotx = 1
sin x
1
1
5/ 1 + tan2x =
6/ 1 + cot2x =
2
cos x
sin 2 x
B
x
M
K
A
A'
O
H
y
B'
Khi dạy định nghĩa giá trị lượng giác góc α , giáo viên lưu ý
tọa độ điểm ngọn cung M là (x;y) và sin α = y,
x
y
cos α = x, tan α = ( x 0) , cot α = ( y 0)
y
x
Từ đó giáo viên cho học sinh tìm toạ độ điểm ngọn cung M ở
π
một vài vị trí đặc biệt, ví dụ : α = 1500 ; α = 3900, α = ,…
3
Sau đó giáo viên hướng dẫn học sinh tìm hiểu cơng thức 1,2,3
từ định nghĩa , cơng thức 4,5,6 học sinh phải chứng minh
được, xem như một ví dụ để giáo viên đi đến dạng tốn
chứng minh một đẳng thức lượng giác.
2 /CUNG LIÊN KẾT : ( để học thuộc cơng thức này trước hết các em phải thuộc định nghĩa các
cung đối , bù ,phụ , hơn kém …Sau đó thuộc phần cách nhớ và áp dụng vào bài tập)
Hai cung đối nhau là x và – x Hai cung bù nhau là x và x
cos ( - x) = - cosx
cos( x) = cosx
sin ( - x) =
sin ( - x) = - sinx
sinx
tan(- x) = - tanx
tan ( - x) = - tanx
cot (- x) = - cotx
cot ( - x) = - cotx
Hai cung phụ nhau là x và
cos(
2
- x) = sinx
2
– x Hai cung hơn kém nhau
cos (
là x và
+ x
+ x) = - cosx
3
NĂM HỌC 20102011 GV TRÁC TH
Ị HUỲNH
LIÊN
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
sin (
tan(
2
2
cot (
2
- x) = cosx
- x) = co tx
sin (
tan(
2
2
2
tan (
cot (
+ x) = - sinx
+ x) = tanx
+ x) = cotx
- x) = tanx
Hai cung hơn kém nhau
cos(
sin (
+ x) = - sinx
+ x) =
+ x) = - co tx
là x và
2
+ x
2
CÁCH NHỚ : Giáo viên đóng khung những trường hợp
đặc biệt và ghi nhớ trường hợp đặc biệt đó , trường hợp
nào khơng được nhắc đến thì thêm dấu trừ vào
cos đối , sin bù, phụ chéo
Hơn kém
ta có tang và
cotang
cot(
+ x) = - tanx
Hơn kém
, chéo , sin một
2
2
3/CÔNG THỨC CỘNG :(phần này các em học thuộc cách ghi nhớ , lưu ý ta ln viết cung a
trước , cung b sau theo đúng thứ tự )
cos(a – b ) = cosa.cosb + sina.sinb CÁCH NHỚ :
cos(a + b ) = cosa.cosb - sina.sinb
cos thì cos cos , sin sin
sin ( a + b) = sina.cosb +sinb .cosa
Sin thì sin cos , cos sin
sin ( a – b) = sina.cosb – sinb .cosa
đi cùng
tan a tan b
Cos đổi , sin không
tan ( a – b) =
1 tan a. tan b
tan a tan b
tan ( a + b) =
1 tan a. tan b
cot b. cot a 1
cot ( a + b) =
( cơng thức tan ( a b) và cot( a b) học sinh tự chứng
cot b cot a
minh)
cot b. cot a 1
cot ( a – b) =
cot b cot a
4/CÔNG THỨC NHÂN: ( phần này các em tự chứng minh , xem như bài tập)
cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a
cos3a = 4 cos3a – 3cosa
sin 2a = 2 sina.cosa
sin 3a = 3sina – 4sin3a
2 tan a
3 tan a tan 3 a
tan 2a =
tan3a
=
1 tan 2 a
1 3 tan 2 a
5/CÔNG THỨC HẠ BẬC NÂNG CUNG
1 cos 2a
1 cos 2a
1 cos 2a
cos2 a =
sin2a =
tan2a =
2
2
1 cos 2a
a
6/CÔNG THỨC TÍNH sina , cosa , tana THEO t = tan
2
4
NĂM HỌC 20102011 GV TRÁC TH
Ị HUỲNH
LIÊN
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2t
2t
1 t2
sina =
,
cosa =
,
tan
a
=
2
1 t
1 t2
1 t2
7/CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI : ( phần này các em học thuộc cách nhớ cho cơng thức biến tổng
thành
tích , sau đó suy ngược lại cơng thức biến tích thành tổng )
BIẾN TÍCH THÀNH TỔNG :
1
cosa.cosb = cos a b cos a b
2
1
cos a b cos a b
sina.sinb =
2
1
sina.cosb = sin a b sin a b
2
BIẾN TỔNG THÀNH TÍCH
a b
a b
cos
cosa + cosb = 2 cos
2
2
a b
a b
sin
cosa - cosb = - 2 sin
2
2
a b
a b
cos
sina + sinb = 2 sin
2
2
a b
a b
sin
sina - sinb = 2 cos
2
2
sin( a b)
tan a + tanb =
cos a. cos b
sin(a b)
tan a - tanb =
cos a. cos b
CÁCH NHƠ : Ù 1/ Cos cộng cos bằng
hai cos cos
Cos trừ cos bằng
trừ hai sin sin
Sin cộng sin bằng
hai sin cos
Sin trừ sin bằng hai
cos sin
1
2/ cos nhân cos bằng
của cos cộng
2
cos
CÁCH NHỚ : tang mình cộng với
Bằng sin hai đứa chia cos
ta cos mình
II/ BÀI TỐN TÌM NGỌN CUNG KHI BIẾT CUNG
Ví d ụ :Tìm số ngọn cung của cung x :
π
1/ x = + 2kπ (k Z )
6
π
2/ x = + kπ (k Z )
6
π kπ
(k Z )
3/ x = +
6 2
Giải:
5
NĂM HỌC 20102011 GV TRÁC TH
Ị HUỲNH
LIÊN
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Phương pháp: Vì k Z nên ta l ần l ượt chọn các giá trị k = 0,1,2,...sau đó biểu diễn ngọn cung trên
đường tròn lượng giác đến khi ngọn cung vừa biểu diễn trùng với ngọn cung đầu tiên thì ta dừng laị ,
y
đếm số ngọn cung đã biểu diễn trên đường tròn lượng giác và kết luận.
π
π
1/ Khi k = 0 thì x = ngọn cung của x nằm ở M ( )
π
6
6
M( 6 )
π
π
O
Khi k == 1 thì x = + 2π
ngọn cung của x quay lại M ( )
6
6
π
π
+ 2kπ (k Z )chỉ có 1 ngọn cungnằm ở M ( )
Kết luận : x =
x
6
6
π
π
y
ngọn cung của x nằm ở M ( )
6
6
M()
π
Khi k = 1 thì x = + π
ngọn cung của x nằm ở N
6
O
(N là điểm đối xứng của M qua O)
x
π
π
Khi k == 2 thì x = + 2π
ngọn cung của x quay lại M ( )
6
6
N
π
+ kπ (k Z có 2 ng
)
Kết luận : x =
ọn cung nằm ở M và N.
6
π
π
3/ Khi k = 0 thì x = ngọn cung của x nằm ở M ( )
6
6
P
π π
M()
Khi k = 1 thì x = +
ngọn cung của x nằm ở P
6 2
π
O
Khi k = 2 thì x = + π
ngọn cung của x nằm ở N
6
x
(N là điểm đối xứng của M qua O)
π 3π
Khi k = 3 thì x = +
ngọn cung của x nằm ở Q
N
6 2
Q
(Q là điểm đối xứng của N qua O)
π
π
Khi k = 4 thì x = + 2π
ngọn cung của x quay lại M ( )
6
6
π kπ
+
( k Z có 4 ng
)
Kết luận : x =
ọn cung nằm ở đỉnh hình vuông MNPQ nội tiếp trong đường tròn
6 2
lượng giác.
2/ Khi k = 0 thì x =
Tổng quát:
Nếu x = α +
2kπ
( k,n Z) thì x có n ngọn cung nằm ở đỉnh đa giác đều n cạnh nội
n
tiếp trong đường tròn lượng giác.
6
NĂM HỌC 20102011 GV TRÁC TH
Ị HUỲNH
LIÊN
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
III/ BÀI TỐN TÌM CUNG KHI BIẾT NGỌN CUNG
Phương pháp: Để viết được cung x ta càn nhớ phần tổng qt ở bài tốn tìm ngọn cung khi biết
cung , do đó ta nhóm những ngọn cung nào tạo thành một đa giác nội tiếp trong đường tròn lượng
giác lại và viết thành một cung, còn các ngọn cung khác nếu khơng gom lại được thì ta viết riêng
Ví dụ : Cho cung x có các ngon cung nằm trên đường tròn lượng giác như hình vẽ .Hãy tìm cung x ?
y
Hình 1
M()
N
O
A/
P
A
x
Q
Bốn đỉnh M,N,P,Q tạo thành một hình vng nội
tiếp trong đường tròn luợng giác nên ta gom
chung, hai đỉnh A, A/ đối xứng nhau qua O nên ta
viết chung thành một cung được
Vậy các cung x ở hình 1 là
π kπ
x= +
4 2 (k , h Z )
x = hπ
y
Hình 2
B
Bốn đỉnh A,B,A/,B/ tạo thành một hình vng nội
tiếp trong đường tròn luợng giác nên ta gom
chung, Hai đỉnh M,N hợp với đỉnh B/ tạo thành
tam giác đều nội tiếp trong đường tròn luợng
giác nên ta viết chung thành một cung được.Vậy
kπ
x=
2
(k , h Z )
các cung x ở hình 2 là
π hπ
x= +
6 3
M()
N
x
/
A
A
O
B/
PHƯƠNG PHÁP THU GỌN NGHIỆM :
1/ Nếu
x
x
k2
với
h2
x
k
2/ Nếu
x
2
m
2
h
n
thì ta ghi x =
)
Z
(1)
với m ngọncungcủa(1) hợp với n ngọncungcủa(2) lậpthànhmột
(2)
đagiácđềucó m +n cạnhthì ta ghi x =
Z
( kl , h , l
(k , h , l,n , m
)
l2
n m
7
NĂM HỌC 20102011 GV TRÁC TH
Ị HUỲNH
LIÊN
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2
x
k
(1)
m
3/ Nếu
với m ngọn cung của (1) là tập hợp con của n ngọn
2
x
h
(2)
n
cung của (2)
thì ta ghi x = β +
h 2Π
m
(k , h,n , m
Z)
IV/ MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Phương pháp 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng tích số :
1/ Khi hai vế phương trình có những thừa số giống nhau và có chứa x thì ta
phải chuyển về một vế và đưa về phương trình tích .
Ví dụ 1: Giải phương trình : sinx ( 2 cosx +1 ) = cos2x.sinx
Gi ả
i :
sinx ( 2 cosx -1 ) = cos2x.sinx
sinx ( cos2x – 2cosx – 1 ) = 0
sin x = 0
cos 2 x − 2cos x + 1 = 0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x = kπ
sin x = 0
cos x = 1
( k Z )
x = kπ
� x = kπ
x = 2hπ
2/ Nếu các góc trong phương trình có dạng u , 2u ,... thì ta thường dùng công
thức nhân đôi hoặc công thức hạ bậc nâng cung để đưa về phương trình chỉ
theo một góc
Ví dụ2 : Giải phương trình : sin 2x = 2
cos2x
Gi ả
i :
sin 2x = 2 cos2x
2 sinx cosx - 2 cos2x = 0
2cosx ( sinx – cosx ) = 0
cos x = 0
cos x = 0
π
sin x − cos x = 0
sin( x − ) = 0
4
π
x = + kπ
2
π
x = + hπ
4
8
NĂM HỌC 20102011 GV TRÁC TH
Ị HUỲNH
LIÊN
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
π
x = + kπ
2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
( k,h Z )
π
x = + hπ
4
2
hoặc sin 2x = 2 cos x
sin2x = 1 + cos2x
sin2x – cos2x = 1
Ví dụ2 : Giải phương trình : cos4x - sin4x +
cos4x = 0
4
4
Gi ả
i :
cos x - sin x + cos4x = 0
(cos2x + sin2x)( cos2x – sin2x) + cos4x = 0
cos2x + cos4x = 0
2cos3x.cosx = 0
π kπ
x= +
cos3 x = 0
6 3
�
( k , h �Z )
cos x = 0
π
x = + hπ
2
3/ Nếu trong phương trình có chứa cos2x , sin2 x thì ta dùng công thức hạ bậc
nâng cung
Ví dụ 3: Giải phương trình : sin2 x + sin2 2x = sin2 3x +
sin24x
Gi ả
i :
sin2 x + sin2 2x = sin2 3x + sin24x
1 − cos 2 x 1 − cos 4 x 1 − cos 6 x 1 − cos8 x
+
=
+
2
2
2
2
cos2x + cos4x = cos6x + cos8x
2 cos3x cosx = 2 cos7x cosx
cosx ( cos7x – cos3x) = 0
π
+ kπ
2
7 x = 3 x + 2hπ
7 x = −3x + 2hπ
x=
cos x = 0
cos 7 x = cos3 x
π
+ kπ
2
hπ
x=
2
hπ
x=
5
x=
hπ
2
hπ
x=
5
x=
9
NĂM HỌC 20102011 GV TRÁC TH
Ị HUỲNH
LIÊN
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
hπ
x=
2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
( k,h Z )
hπ
x=
5
4/ Nếu trong phương trình có dạng tổng thì ta biến thành tích hoặc ngược lại
Ví dụ 4: Giải phương trình : sinx + sin 2x + sin 3x
=0
Gi ả
i :
sinx + sin 2x + sin 3x = 0
( sin3x + sinx) + sin2x = 0
2sin2x cosx + sin2x = 0
sin2x ( 2 cosx + 1) = 0
kπ
sin 2 x = 0
x=
2
1
2π
cos x = −
x=
+ hπ
2
3
kπ
x=
2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
( k,h Z )
2π
x=
+ hπ
3
Ví dụ 5: Giải phương trình : Cosx cos7x = cos 3x
cos 5x
Gi ả
i :
Cosx cos7x = cos 3x cos 5x
1
1
(cos8 x + cos 6 x) = (cos8 x + cos 2 x)
2
2
6 x = 2 x + 2 kπ
cos6x = cos2x
6 x = −2 x + 2 k π
kπ
2 � x = kπ
kπ
4
x=
4
x=
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x =
kπ
4
( k Z )
Bài tập : Giải các phương trình sau :
1) sin 2 4x + sin 2 3x = sin 2 2x + sin 2 x 2) sin x(1 + cosx) = 1 + cosx + cos 2 x
3) sin 2 3x − cos 2 4x = sin 2 5x − cos 2 6x 4)
cos 2 x ( cosx − 1)
sinx + cosx
= 2 ( 1 + s inx )
10
NĂM HỌC 20102011 GV TRÁC TH
Ị HUỲNH
LIÊN
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
cos2x
1
+ sin 2 x − sin 2x 6) cos 2 3x.cos2x − cos 2 x = 0
5) cot x − 1 =
1 + tan x
2
7) ( 2 cos x − 1) ( 2sin x + cosx ) = sin 2x − s inx 8/ sin3 x + cos3 x = sinx – cos x
4
9/ 9 – 13 cosx = 10/ 3( sinx – cos x) + sin 2x = 3
1 tan 2 x
11/ sin2 x – 6 sinx cosx + cos2 x = - 2 12 / cos 3x – cos 2x = sin 3x
sin 3 x sin x
cos 2 x sin 2 x
13/
14/ sin 5x – sinx = 3 sin 2 x
1 cos 2 x
15/ ( cosx + sinx )(1 – sinx ) = cos 2x
17/ cosx - cos 2x = sin 3x
16/ cos4 x – cos 2x + 2 sin6 x = 0
18/ cos2 2x + 2cos2 x = 1
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình đại số
x
2t
1− t2
1/ Coù th e å đặt aå n ph u ï t = ta n � sin x =
,
cos
x
=
2
1+ t2
1+ t2
2t
1− t2
( ho ặc t = ta n x � sin 2 x =
, cos 2 x =
)
1+ t2
1+ t2
Ví duï 1: Giải ph ương trình : 6tan 2 x – 2cos 2 x = cos
2x
π
+ kπ ( k Z )
Giải: Điều kiện : x
2
6tan2 x – 2cos2 x = cos 2x
6tan2 x = 2cos2x + 1
1− t2
nên ta đặt aån phuï t = tan x � cos 2 x =
1+ t2
1− t2
Khi đó phương trình (1) trở thành : 6t2 = 2 (
) + 1 6t4 + 7t2 – 3 = 0
2
1+ t
3
t 2 = − (loai )
1
2
tan2x =
1
3
t2 =
3
1
π
= tan
6
3
1
�π �
tan x = −
= tan �
− �
3
�6�
π
x = + hπ
6
( h Z )
π
x = − + hπ
6
tan x =
11
NĂM HỌC 20102011 GV TRÁC TH
Ị HUỲNH
LIÊN
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
π
+ hπ ( h Z )
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =
6
2/ Biến đổi phương trình đã cho về dạng có những biêu thức đồng dạng để từ đó ta
đặt được ẩn phụ
Ví duï 2: Giải ph ương trình: tanx+tan 2x +tan 3x + cot2x +
cot3x = 6 (1)
kπ
Giải: Điều kiện : x
( k Z )
2
(1)
( tanx + cotx ) + ( tan2x+ cot2x ) +( tan3x+ cot3x ) = 6
t 2
2
, vì sin 2 x 1 nên t 2
t −2
sin 2x
2
2
2
3
3
3
tan x+ cot x = t – 2 , tan x+ cot x = t – 3t
t=2
Khi đó phương trình (1) trở thành: t3 +t2 – 2t – 8 = 0
t 2 + 3t + 4 = 0 (vn)
2
π
=2
sn2x = 1
x = + hπ ( h Z )
sin 2x
4
( thỏa đk)
π
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x = + hπ ( h Z )
4
m
n
3/ Phương trình có chứa đồng thời ( sin x cos x ) , ( sin x.cos x ) thì ta đặt t = sinx cosx
Đặt t = tanx + cotx =
Ví duï3 :Giải ph ương trình: sin 3x + cos3x = 2 ( sinx +
cosx) – 1 (1)
Giải:
Đặt t = sinx + cosx =
2 sin ( x +
π
) . Điều kiện : t �[− 2; 2]
4
sin3x + cos3x = ( sinx + cosx)3 – 3sinxcosx( sinx + cosx) = t3 – 3t (
Khi đó phương trình (1) trở thành: t3 – 3t (
t 2 −1
) = 2t – 1
2
t3 + t – 2 = 0
t 2 −1
)
2
2t3 – 3t( t2 – 1) = 4t – 2
t =1
t 2 + t + 2 = 0 (VN )
1
π
π
= sin
sin ( x + ) =
4
2
4
12
NĂM HỌC 20102011 GV TRÁC TH
Ị HUỲNH
LIÊN
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
x = 2 kπ
π
x = − + 2 kπ
2
x = 2kπ
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
( k Z )
π
x = − + 2 kπ
2
4/ Phương trình có dạng : a (tan2x + cot2x ) + b( tanx – cotx) + c = 0
Ta đặt t = tanx – cotx tan2x + cot2x = t2 + 2
Ví duï 4:Giải ph ương trình: 3 (tan2x + cot2x ) + 2 ( 3 - 1) ( tanx – cotx) – 4 23
0 (1)
Giải:
kπ
Điều kiện : x
( k Z )
2
Đặt t = tanx – cotx tan2x + cot2x = t2 + 2
Khi đó phương trình (1) trở thành: 3 ( t2 + 2) + 2 ( 3 - 1)t – 4 2 3 = 0
3
t = −2
2
t=
3
* t = -2
tanx – cotx = 2
2
tanx – cotx =
3
- 1)t – 4 = 0
tan x = −1 − 2 = tan α
tan2x + 2tanx – 1 = 0
tan x = −1 + 2 = tan β
x = α + hπ
x = β + hπ
2
* t =
3
t32 + 2 (
=
Z( k, h
)( thỏa đk)
− cos 2 x
2
1
=
sin 2 x
3
2
1
π
cot2x =
= cot ( )
3
3
π
π lπ
π
2x = + l
x = +
( l Z )( thỏa đk)
3
6 2
2
sin 2 x − cos 2 x
=
3
sin x cos x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
x = α + hπ
π lπ
và x = + ( k, h, l Z )
x = β + hπ
6 2
Bài tập:A/ Giải các phương trình sau:
13
NĂM HỌC 20102011 GV TRÁC TH
Ị HUỲNH
LIÊN
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
6
= 6 2/ s inx − cosx + 4sin 2x = 1
1/ 3cos x + 4sin x +
3cos x + 4sin x + 1
3/ 2(tan x − s inx) + 3(cotx − cosx) + 5 = 0 4/ 1 + s inx + cosx + sin2x + cos2x = 0
π� 3
� π� �
4
4
.sin �
3x − �− = 0
5/ cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 6/ cos x + sin x + cos �x − �
4� 2
� 4� �
2 ( cos6 x + sin 6 x ) − sin x cos x
x�
�
1 + tan x tan �= 4 8/
7/ cot x + sin x �
=0
2�
�
2 − 2sin x
x
9/ 2 + cosx = 2tan 10/ cotx = tanx + 2 tan2x
2
π
π
11/ 1 + tanx = 2 2 sinx 12/ sin( 2x ) = 5 sin( x ) + cos 3x
3
6
3π x
1
π 3x
π
− ) = sin( + ) 14/ 2cos( x + ) = sin3x – cos3x
13/ sin(
10 2
2
10 2
6
2
π
m −1
B/ Tìm m để phương trình :
− 2m tan x − m 2 + 2 = 0 có đúng ba nghiệm thuộc ( π ; )
2
2
cos x
2
π
C/ Tìm m để phương trình : cos x + 2 ( 1 – m)cosx + 2m – 1 = 0 có 4 nghiệm thuộc [0; 2 ]
D/ Tìm m để phương trình : tan4x + ( 2m – 1)tan3x + ( m2 – 2m) tan2x – ( m2 – m + 1) tanx – m + 1 = 0
π π
có 4 nghiệm thuộc khoảng ( ; )
2 2
4
2
E/ Cho phương trình : 2(
+ cos2x ) + m (
cosx) = 1 (1)
2
cos x
cos x
a/ Giải phương trình khi m = 9
π
b/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng ( 0; )
2
4m
F/ Cho phương trình : 4tan2x +
+ 5 = 0 (1)
cosx
a/ Giải phương trình khi m = 1
π π
b/Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng ( ; )
2 2
3
3
G/ Cho phương trình : sin x – cos x = m (1)
a/ Giải phương trình khi m = 1
b/ Tìm m để phương trình (1) có đúng 3 nghiệm thuộc đoạn [ 0 : π ]
H/ Cho phương trình : 4 ( cosx – sinx ) + sin2x = m (1)
a/ Giải phương trình khi m = 1
b/Tìm m để phương trình (1) vô nghiệm
5/ Phương trình lượng giác có nhận loại nghiệm :
Khi giải một phương trình lượng giác nào đó mà quá trình giải cuối cùng dẫn đến việc phải tìm giao của
hai tập hợp T1, T2, vấn đề đặt ra là làm sao một học sinh trung bình có thể tìm T1 T2 được dễ dàng
.Thông thường ta có hai cách làm :
C1: Dùng đường tròn lượng giác
C2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định
a/ Việc chọn nghiệm được nảy sinh từ việc giải phương trình lượng giác không mẫu mực:
14
NĂM HỌC 20102011 GV TRÁC TH
Ị HUỲNH
LIÊN
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Ví dụ 5: Giải phương trình: cos3x + 2 − cos 2 3 x = 2(1 + sin 2 2 x) (1)
Phân tích:
Phương pháp bình phương hay đặt ẩn phụ đều khó khăn. Ta giải phương trình (1) bằng phương pháp
đánh giá miền giá trị 2 vế làm xuất hiện bất đẳng thức đối lập.
Giải: VT (1)
12 + 12 . cos 2 3 x + 2 − cos 2 3 x = 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 − cos 2 3 x = cos3 x
cos3 x 0
cos 2 3 x = 1
cos3 x 0
2 − cos 2 3 x = cos 2 3 x
� cos 3x = 1
VT (1) = 2( 1 + 2sin22x) 2 vì sin22x 0
Đẳng thức xảy ra
Vậy (1)
khi và chỉ khi
1 + 2sin22x = 1
sin2x = 0
cos3 x = 1
(*)
sin 2 x = 0
Để giải hệ (*) ta có nhân xét:
a. Ta có thể tìm nghiệm mỗi phương trình của (*). Nếu nghiệm tìm được đơn giản, ta tìm trên
đường tròn lượng giác các điểm ngọn cung thuộc các tập nghiệm mỗi phương trình. Chọn lấy
những điểm ngọn chung từ đó tìm được nghiệm của hệ cũng là nghiệm của phương trình ban
đầu. Với ý tưởng đó ta dùng C1
y
Ta có (*)
k 2π
M()
3
lπ
x=
2
x=
B
(cần lưu ý với học sinh là các tham số nguyên
x
A/
trong mỗi phương trình là khác nhau)
A
O
Trên đường tròn lương giác các điểm ngọn cung
thuộc tập nghiệm của mỗi phương trình được biểu thị lần
N()
B/
lượt bởi các dấu (.) chấm tròn và (□) ô vuông trên hình vẽ.
Chỉ có 1 điểm ngọn chung tại A.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
(k )
15
NĂM HỌC 20102011 GV TRÁC TH
Ị HUỲNH
LIÊN
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
b. Ta cũng có thể chọn giao của hai nghiệm bằng cách tìm nghiệm nguyên của phương trình vô
k 2π
x=
3
định. Thật vậy:(*)
lπ
x=
2
Hệ có nghiệm chung nếu : ∃k , l �Z :
k 2π lπ
=
3
2
4k
k ( nên rút theo vì hệ số đi với 1 nhỏ hơn)
� l = 3 = k + 3
k
k
Do l , k �Z � �Z � = m �Z � k = 3m
3
3
Thay vào tập nghiệm đầu tiên của hệ ta có nghiệm của phương trình (1) là
Ví dụ 6: Giải phương trình: sin 4 x(cos x − 2sin 4 x) + cos 4 x(1 + sin x − 2cos 4 x) = 0 (1)
Giải:
Ta có: (1)
Do
(sin4x.cosx + sinx.cos4x) – 2( sin24x + cos24x) + cos4x = 0
sin 5 x 1
cos 4 x 1
Vậy (2)
sin5x + cos4x = 2 (2)
y
VT (2)
B
sin 5 x = 1
(*) N()
cos 4 x = 1
M()
Cách 1:
Ta có (*)
x
π kπ
x= +
10 5
lπ
x=
2
/
A
A
O
P()
Q()
B/
Biểu diễn các điểm ngọn cung thuộc tập nghiệm
của hai phương trình trên đường tròn lượng giác chúng
có 1 điểm ngọn chung là B.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x =
π
+ m2π
2
Nhận xét: Ta nghĩ tới C1 khi việc biểu diễn các điểm ngọn cung thuộc tập nghiệm mỗi phương trình trên
đường tròn lưỡng giác là ít vị trí. Trong trường hợp số điểm ngọn của chúng có quá nhiều vị trí và phức
tạp thì ta sẽ nghĩ tới C2. Bây giờ ta dùng C2 để chọn nghiệm thử
16
NĂM HỌC 20102011 GV TRÁC TH
Ị HUỲNH
LIÊN
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Cách 2:
Hệ có nghiệm chung nếu : ∃k , l �Z :
Do l , k �Z �
π k 2π lπ
l −1
+
=
� 4k = 5l − 1 � k = l +
10
5
2
4
l −1
l −1
�Z �
= m �Z � l = 4m + 1
4
4
Từ đó thay vào tập nghiệm thứ 2 nghiệm của phương trình là: x =
π
+ m2π
2
Ví dụ 7: Giải phương trình: sin4x.cos16x = 1 (1)
Phân tích: Có thể biến đổi tích thành tổng hay đánh giá miền giá trị các vế. Mỗi nhận xét cho ta cách
giải riêng. Tuy nhiên việc biến đổi tích thành tổng cho lời giải ngắn gọn hơn.
Cách 1: Biến tích thành tổng
Ta có: (1)
sin20x – sin12x = 2 � (1 − sin 20 x) + (1 + sin12 x) = 0
π kπ
x=
+
sin 20 x = 1
40 10
��
� �
sin12 x = −1
π lπ
x=− +
24 6
Hệ có nghiệm chung nếu : ∃k , l �Z :
� k =
Do l , k �Z �
π kπ
π lπ
+
=− +
40 10
24 6
5l − 2
2(l − 1)
= 1+
3
3
l −1
l −1
�Z �
= m �Z � l = 3m + 1
3
3
Thay vào tập nghiệm thứ 2 của hệ phương trình. nghiệm của phương trình (1) là: x =
π mπ
+
8
2
Cách 2: Đánh giá miền giá trị hai vế:
/
Ta có: Từ (1) � sin 4 x . cos16 x = 1 (1 ) (1’)
Do
�sin 4 x = 1
cos16 x = 1
sin 4 x . cos16 x
1
�sin 4 x = 1
sin 4 x = 1
��
Vậy (1’) � �
cos16 x = 1
cos16 x = 1
Mặt khác do: sin4x.cos16x = 1 > 0 nên sin4x và cos16x cùng dấu
17
NĂM HỌC 20102011 GV TRÁC TH
Ị HUỲNH
LIÊN
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
sin 4 x = 1 �
sin 4 x = −1
�
Do đó �
(2)
�
cos16 x = 1 �
cos16 x = −1
�
Từ (1) (2) nhưng nếu (2) thỏa thì (1) cũng thỏa. Vậy (1)
a/
(2)
sin 4 x = 1
(a) (ta giải hệ (a) bằng hai cách để thấy rõ ưu điểm của mỗi cách)
cos16 x = 1
Cách 1: Biểu diễn nghiệm mỗi phương trình trên đường tròn lương giác
π kπ
+
8 2
lπ
x=
8
x=
Ta có (a)
B
N
M()
Biểu diễn các điểm ngọn cung của hai phương trình
trên đường tròn lượng giác. Có 4 điểm ngọn cung trùng
x
A/
nhau là M,N,P,Q.
Vậy nghiệm của hệ (a) là: x =
P
A
O
π mπ
+
8
2
B/
Q
Cách 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định:
Hệ có nghiệm chung nếu : ∃k , l �Z :
π kπ lπ
+
=
� l = 4k + 1
8 2
8
Thay vào tập nghiệm phương trình thứ 2 của hệ, nghiệm phương trình đã cho là:
x = (4k + 1)
sin 4 x = −1
b/ �
cos16 x = −1
π π kπ
= +
8 8 2
π kπ
x=− +
8 2
�
π lπ
x= +
16 8
Hệ có nghiệm chung nếu : ∃k , l �Z : −
π kπ π lπ
+
= + � 2l = 8k − 3 Vô lí vì VT chẵn, VP lẻ
8 2 16 8
Hệ (b) vô nghiệm
Kết luận: Vậy nghiệm phương trình là x =
π mπ
+
8
2
18
NĂM HỌC 20102011 GV TRÁC TH
Ị HUỲNH
LIÊN
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
b/ Việc chọn nghiệm phương trình được nảy sinh do giải phương trình lượng giác chứa tang,
cotang hoặc có chứa ẩn số ở mẫu:
Ví dụ 8: Giải phương trình: tan 2 x.tan 3 x.tan 5 x = tan 2 x − tan 3 x − tan 5 x (1)
Phân tích: Nguyên tắc giải phương trình loại này là:
Đặt điều kiện cho bài toán có nghĩa.
Sau đó, giải phương trình và kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa điều kiện đặt ra hay không?
Kết luận nghiệm.
x
cos 2 x 0
�
�
cos3 x �۹
0 + �x
Giải:Điều kiện: �
�
�
cos5 x 0
x
Với điều kiện (1)
π
4
π
(2m 1)
6
π
(2h + 1)
10
(2l + 1)
tan 5 x(1 + tan 2 x.tan 3 x) = tan 2 x − tan 3 x (2)
Nhận xét:
1 + tan2x.tan3x 0 vì nếu: 1 + tan2x.tan3x = 0
tan2x = tan3x (VT=0 VP=0)
� 1 + tan 2 2 x = 0 vô lý
Vậy (2)
tan 5 x =
tan 2 x − tan 3 x
= tan(− x)
1 + tan 2 x.tan 3 x
� 5 x = − x + kπ � x =
kπ
6
Ta kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa các điều kiện hay không?
a/ Điều kiện (a) bị vi phạm nếu : ∃k , l �Z :
Vậy x = k
kπ
π
= (2l + 1) � 2k = 6l + 3 (vô lý vì
6
4
)
π
thỏa điều kiện (a)
6
π
π
= ( 2m + 1)
k = 2m + 1 là số nguyên lẻ
6
6
19
NĂM HỌC 20102011 GV TRÁC TH
Ị HUỲNH
LIÊN
b/ Điều kiện (b) bị vi phạm nếu ∃k , m Z : k
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
π
Vậy điều kiện (b) thỏa nếu k = 2n , khi đó nghiệm pt là x = n
3
c/ Điều kiện (c) bị vi phạm nếu ∃n, h Z : n
Vậy x = n
π
π
= ( 2h + 1)
3
10
10n = 6h + 3 ( vô lý vì n, h Z)
π
π
thỏa điều kiện (c) .Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là : x = n
3
3
Ví dụ 9: Giải phương trình: tan 5 x = tan 3 x , với x − 3
1 (1)
Giải:
π kπ
+
( a)
10 5
(k , h Z )
Điều kiện :
π hπ
x
+
(b)
6 3
x
Với điều kiện trên thì tan5x=tan3x
Điều kiện (a) bị vi phạm nếu ∃k , l
5x = 3x + l π
Z saocho
x =
π kπ lπ
+
=
10 5
2
lπ
2
k = 2l +
l −1
2
l −1
= m là số nguyên l = 2m + 1
2
Suy ra điều kiện (a) không bị vi phạm nếu l = 2n nghiệm x = n π
π hπ
Điều kiện (b) bị vi phạm nếu ∃h, n Z saocho n π = +
6n = 2h + 1 ( vô lý)
6 3
Vậy nghiệm x thỏa điều kiện (a) và (b) là x = n π
Vì k,l là số nguyên nên
Do x − 3 1 2 nπ 4 , Vì n Z nên ta chọn n = 1
Vậy phương trình có nghiệm x = π
Ví dụ 10: Giải phương trình:
( cot
2
x − 1)
2cot x
− cos 4 x.cot 2 x = cos x (1)
Giải:
cos x 0
0
Điều kiện : sin x �۹۹
sin 2 x 0
Với điều kiện trên thì (1)
sin 2 x
( cos
0
2
2
x
l
x − sin 2 x )
π
2
.sin x − cos 4 x.
sin x.2cos x
cos 2 x(1 − cos 4 x)
= cos x
sin 2 x
cos 2 x
= cos x
sin 2 x
20
NĂM HỌC 20102011 GV TRÁC TH
Ị HUỲNH
LIÊN
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
π
sin4x = cosx = sin ( − x )
2
π k 2π
x= +
10
5
π k 2π
x= +
6
3
π 2kπ
π 2kπ lπ
l −1
=
a/ Nghiệm x = +
vi phạm điều kiện nếu +
k = l +
10
5
10
5
2
4
l −1
Do k,l Z nên
= m l = 4m + 1
4
π 2kπ
Vậy x = +
là nghiệm Thay l vào k ta có k = 5m + 1
10
5
của (1) với k 5m + 1
π 2kπ
π 2kπ lπ
k +1
=
b/ Nghiệm x = +
vi phạm điều kiện nếu : +
1 + 4k = 3l l = k +
6
3
6
3
2
3
k +1
Do k,l Z nên
= n k = 3n – 1
3
π 2kπ
Vậy x = +
là nghiệm của (1) với k 3n – 1
6
3
π k 2π
x= +
(k 5m + 1)
10
5
Kết luận: Nghiệm của (1) là
( k,m,n Z )
π k 2π
x= +
(k 3n − 1)
6
3
c/ Việc chọn nghiệm được nảy sinh do biến đổi phương trình ban đầu về phương
trình hệ quả
Ví dụ 11: Giải phương trình: cosx.cos2x.cos4x.cos8x =
1
(1)
16
Phân tích : vế trái của (1) là biểu thức có dạng tích các cos mà góc sau gâp đôi góc trước nên ta thường
nhân hai vế của (1) cho sin góc nhỏ nhất.
Giải:
a/ Xét sinx = 0 x = l π không thỏa phương trình (1)
b/ Xét sinx 0 x l π .Nhân hai vế của (1) cho sinx :
1
(1) sinx cosx.cos2x.cos4x.cos8x = sinx
16
1
1
sin2x.cos2x.cos4x.cos8x = sinx
2
16
1
1
sin4xcos4x.cos8x = sinx
4
16
21
NĂM HỌC 20102011 GV TRÁC TH
Ị HUỲNH
LIÊN
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2 kπ
x=
1
1
15
sin8xcos8x = sinx sin16x = sinx
(2)
π 2kπ
8
16
x= +
17 17
π
Ta phải loại bỏ các nghiệm x = l vì (2) là phương trình hệ quả của (1)
2 kπ
15l
l
a/ Nghiệm x =
= l π k =
= 7l +
15
2
2
l
Do k,l Z nên = m Z l = 2m , suy ra k = 15m
2
2 kπ
Vậy x =
là nghiệm của phương trình (1) với k 15m
15
π 2kπ
l −1
b/ Nghiệm x = +
= l π k = 8l +
17 17
2
l −1
Do k,l Z nên
= n Z l = 2n + 1 , suy ra k = 17n + 8
2
π 2kπ
Vậy x = +
là nghiệm của phương trình (1) với k 17n + 8
17 17
2 kπ
x=
(k 15m)
15
(k , m, n Z )
Kết luận : Nghiệm của phương trình (1) là :
π 2kπ
x= +
(k 17n + 8)
17 17
Ví dụ 12: Giải phương trình: cos2x + cos4x + cos6x + cos8x + cos10x =
1
(1)
2
Phân tích : vế trái của (1) là biểu thức có dạng tổng các cos mà các góc tạo thành một câp số cộng với
d
công sai d = 2x.Thường để rút gọn ta nhân hai vế cho sin
2
Giải:
a/ Xét sinx = 0 x = n π không thỏa phương trình (1)
b/ Xét sinx 0 x n π .Nhân hai vế của (1) cho sinx , ta có :
1
(1) sinxcos2x + sinxcos4x + sinxcos6x + sinxcos8x + sinxcos10x = sinx
2
1
1
[(sin3x – sinx)+( sin5x – sin3x)+(sin7x – sin5x)+( sin9x – sin7x)+( sin11x – sin9x)] = sinx
2
2
kπ
sin11x – sinx = sinx sin11x = 0 x =
11
22
NĂM HỌC 20102011 GV TRÁC TH
Ị HUỲNH
LIÊN
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
kπ
kπ
Nghiệm x =
vi phạm điều kiện nếu ∃ k,l Z sao cho :
= n π k = 11.n
11
11
kπ
Vậy nghiệm của phương trình (1) là : x =
với k 11.n ( k, n Z)
11
M Ộ
T S
Ố
ĐỀ THI ĐỂ HỌC SINH TỰ LUYỆN
Giải các phương trình : 1/ cos2x + cos
3
x = 2 ĐHTM 97 ĐS : x = 8n π
4
2/ sin3x( cosx – 2sin3x) + cos3x(1 + sinx – 2cos3x) = 0 ĐS : ptvn
3/ sinx( cos
x
x
2sinx) + cosx( 1 + sin 2cosx) = 0 ĐS : x = 2 π + 8n π
4
4
4/ sinx.sin2x.cos(3x +
π
) = 1 ĐS : ptvn
4
6/ cos2x + cos4x + cos6x = cosx.cos2x.cos3x + 2 ĐS : x = k π
5/ sinx.cos4x.cos8x = 1 ĐS : x =
π
+ k2 π
2
7/ sin2000x + cos2000x = 1 TTĐTCBYT tp HCM 1999
23
NĂM HỌC 20102011 GV TRÁC TH
Ị HUỲNH
LIÊN
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
π
x = + 2kπ
1
1
2
6
+
=
8/
ĐS :
5π
cos x sin 2 x sin 4 x
x=
+ 2kπ
6
9/ tan2x.tan7x = 1 ĐS : x =
π kπ
+
18 9
(k
−5 − 9t )
C/ TÀI LIỆU THAM KHẢO
1/ Bộ đề thi Đại Học của Bộ Giáo Dục
2/ Các đề thi Đại Học những năm vừa qua
3/ Sách chun đề lượng giác của Lê Hồng Đức, Phan Huy Khải
4/ Tạp chí Tốn học tuổi trẻ
D/ PHẦN KẾT LUẬN
Kết quả thực hiện
:
Nội dung đề tài này,tơi đã áp dụng dạy cho học sinh lớp 10 , 11 trong thời gian 14
tiết, trong đó 8 tiết đầu tơi dạy và khắc sâu phần cơng thức lượng giác, sau đó huớng
dẫn cho học sinh những phương pháp cơ bản để giải phương trình lượng giác , phần này
tơi dạy cho các học sinh từ trung bình yếu trở lên, phần phương trình lượng giác có nhận
loại nghiệm tơi dạy cho học sinh khá giỏi với thời gian 6 tiết.Khi tôi dạy cho học sinh
vấnđềnày,tôi thấycácemrấtthíchthú,khi gặpmộtđềbài tươngtự cácem
đãvậndụngcáchgiải mộtcáchlinh hoạt,có khi cùngmộtđềcácemlại giải
được nhiềucáchkhácnhau.Tơi hy vọng với nội dung đề tài này tơi sẽ giúp ích được
cho học sinh một số kinh nghiệm học cơng thức và phương pháp giải phương trình lượng
giác để các em hiểu sâu và nắm bắt được vấn đề, qua đó các em sẽ u thích mơn Tốn
hơn, sẽ tự tin hơn trong phòng thi và kết quả các kỳ thi sẽ đạt cao hơn.
Kết quả cá nhân đạt được trong các năm gần đây
24
NĂM HỌC 20102011 GV TRÁC TH
Ị HUỲNH
LIÊN
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
NĂM HỌC
MÔN TOÁN
KHEN THƯỞNG
3 KHỐI
ĐIỂM TỪ 5 – 10 ĐIỂM TỪ 8-10
2006-2007
182
Bằng khenUBND TỈNH217
2007-2008
Giấy khen SỞ GD-BP 192
2008-2009
CSTĐCS- SỞ GD-BP
2009=2010
202
CSTĐCS-Bằng khenBỘ GD
104
198
178
191
SL
%
57,1
91,2
92,7
94,5
SL
18
21
20
24
%
HỌC SINH GIỎI
TOÁN
17,3
9,6
10,4
11,8
2
4
6
Kiến nghò :
Nhiệm vụ hàng đầu của người giáo viên dạy Toán là làm sao
cho học sinh yêu thích môn Toán, chăm chú nghe giảng trong
giờ dạy của mình và đạt kết quả cao trong các kỳ thi. Hiện nay
có rất nhiều học sinh cảm thấy môn Toán trừu tượng, khó
hiểu, khơng nhớ được cơng thức, ít liên quan đến đời sống thực tại. Do
đó khi trực tiếp giảng dạy môn Toán tôi luôn cố gắng tìm
phương pháp hay để các em tiếp cận vấn đề của Toán học
dễ
hơn.nhiều
Sángphương
kiến trên
làhay,
một
phần
nhỏ
tôi dàng
tìm kiếm
pháp
trực
quan,
dễ trong
hiểusuy
đểnghó
học
sinh
của
chúng
ngày
càng
giỏita
hơn, thi đậu nhiều hơn nữa.
Dù đã cố gắng rất nhiều trong việc phân tích các ví dụ nhưng cũng khó tránh khỏi những
sai sót.Rất mong nhận được ý kiến đóng góp của q thầy cô
để bài viết được hoàn
hảo hơn.
NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ TOÁN
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
25
NĂM HỌC 20102011 GV TRÁC TH
Ị HUỲNH
LIÊN
