I HC TH I NGUY N
TRìNG I HC KHOA HC

NG TH GIANG

MáTSă NHLịHáITệM NHGI IB ITO N KHNG I M CHUNG
T CH TNG QU T TRONG KHNG GIAN HILBERT

LU NV NTH CS TO NHC
Chuyản ng nh: ToĂn ứng dửng
MÂ s: 8 46 01 12

T P TH

HìNG D N KHOA HC
1. TS. Trữỡng Minh Tuyản
2. TS. Phm Hỗng Trữớng

ThĂi Nguyản

2020


ii

Lới cÊm ỡn
TĂc giÊ xin gòi lới cÊm ỡn sƠu sc tợi TS. Trữỡng Minh Tuyản, TS. Phm
Hỗng Trữớng  luổn tn tnh hữợng dÔn, ch bÊo v giúp ù tĂc giÊ trong sut
quĂ trnh hồc tp nghiản cứu ho n th nh lun vôn.
TĂc giÊ cụng xin gòi lới cÊm ỡn chƠn th nh v sƠu sc tợi cĂc thy, cổ trong
khoa ToĂn Tin, trữớng i hồc Khoa hồc, i hồc ThĂi Nguyản  giÊng dy v giúp ù

tĂc giÊ trong thới gian hồc tp v nghiản cứu ti trữớng.
Qua Ơy tĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn tợi ngữới thƠn trong gia nh, bn b
v ỗng nghiằp  luổn ng viản to iu kiằn giúp ù tổi v mồi mt trong sut
quĂ trnh hồc tp v thỹc hiằn lun vôn n y.


iii

Möc löc
Líi c£m ìn
Mºt sŁ kþ hi»u v vi‚t t›t

ii
v

Mð ƒu

1

Ch÷ìng 1 Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà

3

1.1 Mºt sŁ °c tr÷ng cıa khæng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . .

3

1.2 nh x⁄ khæng gi¢n v to¡n tß ìn i»u trong khæng gian Hilbert

9


1.2.1 nh x⁄ khæng gi¢n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 To¡n tß ìn i»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9
10

1.3 Ph÷ìng ph¡p l°p Halpern v ph÷ìng ph¡p x§p x¿ m•m t…m i”m
b§t ºng chung cıa mºt hå ¡nh x⁄ khæng gi¢n . . . . . . . . . .

14

1.3.1 Ph÷ìng ph¡p l°p Halpern . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.2 Ph÷ìng ph¡p x§p x¿ m•m . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4 Ph÷ìng ph¡p CQ gi£i b i to¡n ch§p nh“n t¡ch . . . . . . . . . .

15

1.5 Mºt sŁ bŒ • bŒ træ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Ch÷ìng 2 Mºt sŁ ành lþ hºi tö m⁄nh cho b i to¡n khæng i”m
chung t¡ch tŒng qu¡t


22

2.1 B i to¡n khæng i”m chung t¡ch tŒng qu¡t . . . . . . . . . . . .

22

2.2 Ph÷ìng ph¡p l°p ki”u Halpern k‚t hæp vîi ph÷ìng ph¡p CQ . .

23

2.3 Ph÷ìng ph¡p x§p x¿ m•m k‚t hæp vîi ph÷ìng ph¡p CQ . . . . .

28

2.4 Mºt sŁ øng döng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.4.1 B i to¡n khæng i”m chung t¡ch . . . . . . . . . . . . . .

31

2.4.2 B i to¡n i”m cüc ti”u t¡ch tŒng qu¡t . . . . . . . . . .

32

2.4.3 B i to¡n ch§p nh“n t¡ch tŒng qu¡t . . . . . . . . . . . .

34


2.4.4 B i to¡n c¥n b‹ng t¡ch tŒng qu¡t . . . . . . . . . . . . .

36


iv

2.4.5 B§t flng thøc bi‚n ph¥n t¡ch tŒng qu¡t . . . . . . . . . 38
2.5 V‰ dö sŁ minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
K‚t lu“n

42

T i li»u tham kh£o

43


v

Mt s kỵ hiằu v vit tt

H

khổng gian Hilbert

h:; :i

tch vổ hữợng trản H


k:k

chu'n trản H

[

php hổp

\

php giao

R+

tp cĂc s thỹc khổng Ơm

G(A)

ỗ th ca toĂn tò A

D(A)

min xĂc

R(A)

min Ênh ca toĂn tò A

A1


toĂn tò ngữổc ca toĂn tò A

I

toĂn tò

;

tp rỉng

8x

vợi mồi x

9x

tỗn ti x

xn !

x0

nh ca toĂn tò A

ỗng nhĐt

dÂy fxng hi tử mnh v x0

xn * x0


dÂy fxng hi tử yu v x0

F(T)

tp

im bĐt

ng ca Ănh x T


1

M

u

Trong thỹc t mt sỹ vt, hiằn tữổng ữổc chuyn i t trng thĂi x (thổng
tin u v o, nguyản liằu) sang trng thĂi b (kt quÊ u ra, sÊn ph'm) cõ th phÊi
chuyn qua mt hay nhiu quĂ trnh bin i liản tip. Ngữới ta mong mun
tm nhng nguỗn hay trng thĂi ban u x dÔn n trng thĂi b ca sỹ vt hiằn
tữổng sau quĂ trnh bin i f n o õ. Chflng hn, viằc tm nghiằm ca hằ
phữỡng trnh tuyn tnh Ax = b. Hoc ngữới ta cụng mun tm nguỗn hay
trng thĂi ban u x sao cho cĂc quĂ trnh bin i liản tip l ti ữu nhĐt
theo mt nghắa n o õ.

Ơy l mổ hnh ca cĂc loi b i toĂn tĂch.

Ta bit rng b i toĂn chĐp nhn tĂch (Split Feasibility Problem), vit tt l

(SFP), ln u tiản ữổc xuĐt v nghiản cứu bi Censor and Elfving [3] vợi
mửc ch mổ hnh hõa mt s b i toĂn ngữổc. B i toĂn n y ữổc phĂt biu
nhữ sau:
Tm phn tò x 2 C sao cho T (x ) 2 Q;

(0.1)

trong õ, C v Q ln lữổt l cĂc tp con lỗi, õng v khĂc rỉng trong cĂc khổng
gian Hilbert thỹc H1 v H2, T : H1 ! H2 l mt toĂn tò tuyn tnh b chn. Ta cõ
th thĐy rng cĂc b i toĂn (0.1), cụng nhữ mt s b i toĂn liản quan,
l trữớng hổp c biằt ca b i toĂn tĂch tng quĂt sau

Ơy. Cho X v Y l hai

khổng gian Hilbert hay Banach, v cho T : X ! Y l mt Ănh x t X v o Y . GiÊ
sò (P1) v (P2) l hai b i toĂn cho trữợc trong X v Y , tữỡng ứng. Xt b i toĂn tm
mt phn tò x thuc X sao cho x l mt nghiằm ca (P 1) v T (x ) l mt nghiằm
ca (P2). Ta kỵ hiằu b i toĂn n y l (P ).
Nôm 2019 Reich v Tuyen [14] Â ln u tiản xuĐt v nghiản cứu dng
tng quĂt ca B i toĂn (P ) nhữ sau: Cho X1; X2; : : : ; XN l cĂc khổng gian
Hilbert hay Banach v cho Ti : Xi ! Xi+1, i = 1; 2; : : : ; N 1, l cĂc Ănh x t X i v o
Xi+1. GiÊ sò (Pi), i = 1; 2; : : : ; N, l N b i toĂn cho trữợc trản X i, tữỡng ứng. Khi
õ dng tng quĂt ca B i toĂn (P ) l tm mt phn tò


2

x trong X1 sao cho x l mt nghiằm ca b i toĂn (P1), T1(x ) l mt nghiằm ca b i
toĂn (P2), ..., v TN 1(TN 2(:::T2(T1(x )))) l mt nghiằm ca B i toĂn (P N ), hồ kỵ
hiằu b i toĂn n y l (GP ).

Cử th hỡn trong [14] Reich v Tuyen  xt b i toĂn (GP ) vợi cĂc Ănh x
chuyn Ti l tuyn tnh, b chn v (Pi) l b i toĂn tm khổng im ca toĂn tò ỡn
iằu cỹc i Ai. B i toĂn n y ữổc gồi l b i toĂn khổng im chung tĂch tng quĂt
(Generalized Split Common Null Point Problem, vit tt l GSCNPP).
Mửc ch ca lun vôn n y l trnh b y li cĂc kt quÊ ca Reich v Tuyen
trong [14] v mt cÊi tin ca phữỡng phĂp CQ, kt hổp vợi phữỡng phĂp im gn
k giÊi b i toĂn GSCNPP. Ni dung ca lun vôn ữổc chia l m hai chữỡng ch
nh, trong õ:
Chữỡng 1. Mt s kin thức chu'n b
Chữỡng n y tp trung trnh b y li mt s tnh chĐt cỡ bÊn v khổng gian
Hilbert, php chiu mảtric, hai phữỡng phĂp lp cỡ bÊn tm im bĐt ng ca
Ănh x khổng giÂn (phữỡng phĂp lp Halpern, phữỡng phĂp xĐp x gn kt).
Tip theo, cp n phữỡng phĂp CQ giÊi b i toĂn chĐp nhn tĂch v cui cũng l
mt s b b trổ ữổc sò dửng trong chứng minh cĂc nh lỵ Chữỡng 2
ca lun vôn.
Chữỡng 2. Mt s nh lỵ hi tử mnh cho b i toĂn khổng im chung tĂch tng
quĂt
Ni dung ca chữỡng n y cp n cĂc kt quÊ trong [14] v hai nh lỵ hi tử
mnh giÊi b i toĂn GSCNPP. Mt s ứng dửng ca cĂc phữỡng phĂp lp cho cĂc
b i toĂn liản quan khĂc (b i toĂn khổng im chung tĂch, b i toĂn im cỹc tiu
tĂch tng quĂt, b i toĂn chĐp nhn tĂch tng quĂt, b i toĂn cƠn bng tĂch
tng quĂt v bĐt flng thức bin phƠn tĂch tng quĂt) cụng ữổc giợi thiằu
chữỡng n y.


3

Ch֓ng 1
Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà
Ch÷ìng n y bao gçm 5 möc ch‰nh. Möc 1.1 • c“p ‚n mºt sŁ °c tr÷ng cì

b£n cıa khæng gian Hilbert thüc, Möc 1.2 giîi thi»u sì l÷æc mºt sŁ k‚t qu£ v•
¡nh x⁄ khæng gi¢n v to¡n tß ìn i»u. Möc 1.3 tr…nh b y v• ph÷ìng ph¡p l°p
Halpern v ph÷ìng ph¡p x§p x¿ m•m cho b i to¡n t…m i”m b§t ºng cıa ¡nh x⁄
khæng gi¢n. Möc 1.4 • c“p ‚n b i to¡n ch§p nh“n t¡ch v ph÷ìng ph¡p CQ ” x§p
x¿ nghi»m cıa b i to¡n n y trong khæng gian Hilbert. Möc 1.5 giîi thi»u mºt
sŁ bŒ • bŒ træ cƒn sß döng trong vi»c tr…nh b y nºi dung cıa Ch÷ìng 2.
Nºi dung cıa ch÷ìng n y phƒn lîn ÷æc tham kh£o tł c¡c t i li»u [1,2,8,12].

1.1

Mºt sŁ

°c tr÷ng cıa khæng gian Hilbert

Ta luæn gi£ thi‚t H l khæng gian Hilbert thüc vîi t‰ch væ h÷îng ÷æc k‰
hi»u l h:; :i v chu'n ÷æc k‰ hi»u l k:k.
Tr÷îc h‚t, ta nh›c l⁄i mºt °c tr÷ng h…nh håc quan trång cıa khæng gian
Hilbert.
M»nh

• 1.1.1. Trong khæng gian Hilbert thüc H ta luæn câ flng thøc sau

kx
vîi måi x; y; z 2 H.

2

yk + kx

2


zk = ky

2

zk + 2hx

y; x

zi;


4

Chứng minh. Tht vy, ta cõ
ky

2

zk + 2hx

y; x

zi = hy; yi + hz; zi + 2hx; xi

2hx; zi

2hx; yi

= [hx; xi 2hx; yi + hy; yi]

+ [hx; xi 2hx; zi + hz; zi]
2

= kx

yk + kx

2

zk :

Mằnh 1.1.2. Cho H l mt khổng gian Hilbert thỹc. Khi õ, vợi mồi x; y 2 H v
mồi 2 [0; 1], ta cõ
k x + (1

)yk2 =

kxk2 + (1

)kyk2

(1

)kx

yk2:

(1.1)

Chứng minh. Ta cõ

k x + (1

)yk2 =

2kxk2

2 (1

)hx; yi + (1

)2kyk2

= kxk2 + (1

)kyk2

(1

)(kxk2

= kxk2 + (1

)kyk2

(1

)kx

2hx; yi + kyk2)
yk2:


Ta ữổc iu phÊi chứng minh.
Mằnh 1.1.3. Cho H l mt khổng gian Hilbert thỹc. Khi õ, nu vợi x; y 2
H thọa mÂn iu kiằn
jhx; yij = kxk:kyk;
tức l bĐt flng thức Schwars xÊy ra dĐu bng th hai vc tỡ x v y l phử thuc
tuyn tnh.
Chứng minh. GiÊ sò ngữổc li rng x 6= y vợi mồi 2 R. Khi õ, t tnh chĐt ca
tch vổ hữợng, ta cõ
2

0 < kxyk =

2

2

2

kyk 2 hx; yi + kxk ;

2 R. Ta thĐy rng nu y = 0, th hin nhiản x v y l phử thuc tuyn
hx; yi
tnh. GiÊ sò y =6 0, khi

õ vợi = kyk2 , th bĐt flng thức trản tr th nh jhx;
yij < kxk:kyk;

iu n y mƠu thuÔn vợi giÊ thit. Vy x v y l phử thuc tuyn tnh.
Mằnh ữổc chứng minh.



5

Nhc li rng, dÂy fxng trong khổng gian Hilbert H ữổc gồi l hi tử yu v
phn tò x 2 H, nu
lim hxn; yi = hx; yi;
n!1

vợi mồi y 2 H. T tnh liản tửc ca tch vổ hữợng, suy ra nu xn ! x, th xn *
x. Tuy nhiản, iu ngữổc li khổng úng. Chflng hn, xt khổng gian
2

l = ffxng

R:

P1

2

l2 ,

jxnj < 1g v feng
n=1

en = (0; :::; 0;

ữổc cho bi


; 0; :::; 0; :::);

1
v tr thứ n

vợi mồi n 1. Khi õ, en * 0, khi n ! 1. Tht vy, vợi mỉi y 2 H, t bĐt flng thức
Bessel, ta cõ
1
X

n=1

jhen; yij

2

2

kyk < 1:

Suy ra limn!1hen; yi = 0, tức l e n * 0. Tuy nhiản, fe ng khổng hi tử v 0, v
kenk = 1 vợi mồi n 1.
Ta bit rng mồi khổng gian Hilbert H u thọa mÂn iu kiằn ca Opial, t
nh chĐt n y ữổc th hiằn trong mằnh dữợi Ơy:
Mằnh 1.1.4. Cho H l mt khổng gian Hilbert thỹc v fx ng H l mt dÂy bĐt ký
thọa mÂn iu kiằn xn * x, khi n ! 1. Khi õ, vợi mồi y 2 H v y 6= x, ta cõ
n

lim inf


kx n

xk

!1

n

kx n

< lim inf

y

!1

k

:

(1.2)

Chứng minh. V xn * x, nản fxng b chn.
Ta cõ
2

kxn

yk = kxn


2

2

x; x yi:

xk + kx yk + 2hxn

V x 6= y, nản
lim inf kx n
n

y

2

k

!1

> lim inf( x n
n

x

!1 k

2

k


= lim inf k x n
n

x; x y )

+2x

i

hn

x 2:
k

!1

Do õ, ta nhn ữổc
n

lim inf

!1

Mằnh ữổc chứng minh.

kx n

xk


n

< lim inf
!1

kx n

y

k

:


6

Mằnh 1.1.5. Mồi khổng gian Hilbert thỹc H u cõ tnh chĐt Kadec-Klee,
tức l nu fxng H l mt dÂy bĐt ký trong H thọa mÂn cĂc iu kiằn xn * x
v kxnk ! kxk, th xn ! x, khi n ! 1.
Chứng minh. Ta cõ
2

kxn

2

xk = kxnk

2hxn; xi + kxk


2

! 0; n ! 1:
Suy ra xn ! x, khi n ! 1. Mằnh

ữổc chứng minh.

Mằnh 1.1.6. Cho C l mt tp con lỗi v õng ca khổng gian Hilbert thỹc H.
Khi õ, vợi mỉi x 2 H, tỗn ti duy nhĐt phn tò PC x 2 C sao cho
kx

yk vợi mồi y 2 C:

PC (x)k kx
inf k x

u k . Khi õ, tỗn ti

fu

ng

Chứng minh. Tht vy, t d = u2C
d; n! 1 . T õ ta cõ
kx unk!
kun

2

umk = k(x un) (x um)k

2

= 2kx unk

2

2

un + um

+ 2kx umk

2

2

2

4kx

C sao cho

k

2

2

2(kx unk + kx umk ) 4d ! 0;
dÂy Cauchy trong H. Suy ra tỗn ti u =


khi n; m ! 1 : Do õ fung l
n

lim u 2 C. Do chu'n l

h m s liản tửc nản kx

!1 n

uk = d. GiÊ sò tỗn ti v 2 C

sao cho kx vk = d. Ta cõ
2

ku vk = k(x u) (x v)k
2

2

2

u+v
2

= 2(kx uk + kx vk ) 4kx

2

k


0:
Suy ra u = v. Vy tỗn ti duy nhĐt mt phn tò P C x 2 C sao cho kx P C xk =
infu2C kx uk:
nh nghắa 1.1.7. Php cho tữỡng ứng mỉi phn tò x 2 H mt phn tò P C x
2 C xĂc nh nhữ trản ữổc gồi l php chiu mảtric t H lản C.


7

V dử 1.1.8. Cho C = fx 2 H : hx; ui = yg, vợi u 6= 0. Khi õ
PC x = x + y h x; ui u:
2

kuk
ak Rg, trong õ a 2 H l

V dử 1.1.9. Cho C = fx 2 H : kx

tò cho trữợc v R l mt s dữỡng. Khi õ, ta cõ:
8
R
ak R;
PC x = x
>

<
>
:


a +

nu kx

(x

x a > R:

a) nu

k

kx ak

mt phn

k
Ănh x PC :

H! C

Mằnh dữợi Ơy cho ta mt iu kiằn cn v
l mt php chiu mảtric.
Mằnh 1.1.10. Cho C l mt tp con lỗi õng ca khổng gian Hilbert thỹc H.
Khi õ, iu kiằn cn v Ănh x PC : H ! C l php chiu mảtric t H lản C l

hx PC x; PC x yi 0 vợi mồi x 2 H v y 2 C:

(1.3)


Chứng minh. GiÊ sò PC l php chiu mảtric. Khi õ vợi mồi x 2 H; y 2 C v t)PC
mồi t 2 (0; 1), ta cõ ty + (1
x 2 C. Do õ, t nh nghắa ca php chiu
mảtric, suy ra
2

kx PC xk

2

kx ty (1 t)PC xk ;

vợi mồi t 2 (0; 1).
BĐt flng thức trản tữỡng ữỡng vợi
2
2
2
2
kx PC xk
kx PC xk
2thx PC x; y PC xi + t ky PC xk ;
vợi mồi t 2 (0; 1). T õ, ta cõ
t
hx PC x; PC x yi

2

2 ky PC xk ;

vợi mồi t 2 (0; 1). Cho t ! 0+, ta nhn ữổc

hx

PC x; PC x yi

0:


8

Ngữổc li, giÊ sò
hx

PC x; PC x yi

0 vợi mồi x 2 H v y 2 C:

Khi õ, vợi mỉi x 2 H v y 2 C, ta cõ
kx

2

PC x; x y + y

PC xk = hx

PC xi

= hx

PC x; y PC xi + hx


PC x; x yi

kx

yk + hy PC x; x PC x + PC x yi

= kx

yk + hy PC x; x PC xi k y PC xk yk :

2

2

2

2

kx
Suy ra PC l php chiu mảtric t H lản C.
T mằnh

trản, ta cõ hằ quÊ dữợi

Ơy:

Hằ quÊ 1.1.11. Cho C l mt tp con lỗi õng ca khổng gian Hilbert H v PC l
php chiu mảtric t H lản C. Khi õ, vợi mồi x; y 2 H, ta cõ
kPC x PC yk


2

hx

Chứng minh. Vợi mồi x; y 2 H, t Mằnh

y; PC x PC yi:
1.1.10, ta cõ

hx

PC x; PC y PC xi

0;

hy

PC y; PC x PC yi

0:

Cng hai bĐt flng thức trản ta nhn

ữổc iu phÊi chứng minh.

Mằnh 1.1.12. Nu C l mt tp con lỗi v õng ca khổng gian Hilbert H, th C
l tp õng yu.
Chứng minh. GiÊ sò C khổng l tp õng yu. Khi õ, tỗn ti dÂy fx ng trong C
thọa mÂn xn * x, những x 2= C. V C l tp lỗi v õng, nản theo nh lỵ tĂch cĂc

tp lỗi, tỗn ti y 2 H v " > 0 sao cho
hy; zi < hy; xi
vợi mồi z 2 C.

";

c biằt
hy; xni < hy; xi

";


9

vợi mồi n. Cho n ! 1, ta nhn

ữổc

hy; xi
iu n y l vổ lỵ. Do

õ, C l tp

hy; xi

";

õng yu.

Chú ỵ 1.1.13. Nu C l tp õng yu trong H th hin nhiản C l tp õng.

T

nh lỵ Banach-Alaoglu, ta cõ mằnh dữợi

Ơy:

Mằnh 1.1.14. Mồi tp con b chn ca H u l tp compact tữỡng i yu.

1.2

1.2.1

nh x khổng giÂn v toĂn tò
gian Hilbert

ỡn

iằu trong khổng

nh x khổng giÂn

nh nghắa 1.2.1. Cho C l mt tp con lỗi, õng v khĂc rỉng ca khổng gian
Hilbert thỹc H. nh x T : C ! H ữổc gồi l mt Ănh x khổng giÂn, nu vợi mồi x;
y 2 C, ta cõ
kT x

T yk

kx


yk:

Ta kỵ hiằu tp im bĐt ng ca Ănh x khổng giÂn T l F (T ), tức l F (T ) = fx 2
C : T x = xg.
Mằnh dữợi

Ơy cho ta mổ tÊ v tnh chĐt ca tp im bĐt

ng F (T ).

Mằnh 1.2.2. Cho C l mt tp con lỗi, õng v khĂc rỉng ca khổng gian
Hilbert thỹc H v T : C ! H l mt Ănh x khổng giÂn. Khi õ, F (T ) l mt tp lỗi v
õng trong H.
Chứng minh. GiÊ sò F (T ) 6= ;.
Trữợc ht, ta ch ra F (T ) l tp õng. Tht vy, v T l Ănh x khổng giÂn nản
T liản tửc trản C. GiÊ sò fx ng l mt dÂy bĐt ký trong F (T ) thọa mÂn x n ! x,
khi n ! 1. V fxng F (T ), nản
kT xn

xnk = 0;


10

vợi mồi n 1. T tnh liản tửc ca chu'n, cho n ! 1, ta nhn ữổc kT x
0, tức l x 2 F (T ). Do õ, F (T ) l

xk =

tp õng.


Tx=xv
Tip theo, ta ch ra tnh lỗi ca F (T ). GiÊ sò x; y 2 F (T ), tức l
)y. Khi õ, t Mằnh 1.1.2 v
tnh
T y = y. Vợi 2 [0; 1], t z = x + (1
khổng giÂn ca T ta cõ
2

kT z zk = k (T z x) + (1 )(T z y)k

2

2

= kT z xk + k(1 )(T z y)k

2

2

(1 )kx yk

= kT z T xk + (1 )k(T z T y)k
2

kz xk + (1 )k(z y)k

2


2

2

(1 )kx yk
(1 )kx yk

2

2

2

= k (z x) + (1 )(z y)k = 0:
Suy ra T z = z v do õ z 2 F (T ). Vy F (T ) l

mt tp lỗi.

1.2.2 ToĂn tò ỡn iằu
nh nghắa 1.2.3. Mt Ănh x a tr A : H ! 2

H

mt toĂn tò

ữổc gồi l

ỡn iằu nu
hu


v; x

yi 0

(1.4)

vợi mồi x; y 2 H v mồi u 2 A(x); v 2 A(y).
ToĂn tò ỡn iằu A ữổc gồi l

ỡn iằu cỹc i nu ỗ th

G(A) = f(x; u) 2 H

H : u 2 A(x)g

khổng chứa thỹc sỹ trong ỗ th ca bĐt k toĂn tò ỡn

iằu n o khĂc trản H.

3

V dử 1.2.4. ToĂn tò A(x) = x + 1 vợi x 2 R l ỡn iằu cỹc i trản R. Tht vy,
hin nhiản A l mt toĂn tò ỡn iằu trản R. Ta s ch ra ỗ th
ca A khổng l tp con thỹc sỹ ca bĐt ký mt toĂn tò ỡn iằu n o khĂc trản R.
GiÊ sò tỗn ti mt toĂn tò ỡn iằu B trản R sao cho ỗ th ca B chứa thỹc sỹ ỗ
th ca A. Khi õ, tỗn ti phn tò x 0 2 R sao cho (x0; m) 2 G(B), những (x0; m)
2= G(A). Nhữ vy s xÊy ra hai trữớng hổp hoc A(x0) > m hoc A(x0) < m.
Trữớng hổp 1: A(x0) > m



11

GiÊ sò x1 l nghiằm ca phữỡng trnh A(x) = m, tức l A(x 1) = m. Khi õ, x1
< x0. Theo nh lỵ giĂ tr trung bnh, tỗn ti x 2 2 (x1; x0) sao cho n = A(x2) 2
(m; A(x0)). T (x0; m) 2 G(B) v (x2; A(x2)) 2 G(A) G(B), suy ra
(x0x2)(m

A(x2)) 0:

V x0 > x2, nản A(x2) m, iu n y mƠu thuÔn vợi A(x2) 2 (m; A(x0)). Nhữ vy,
khổng th xÊy ra trữớng hổp A(x0) > m. Trữớng hổp 2: A(x0) < m
GiÊ sò x1 l nghiằm ca phữỡng trnh A(x) = m, tức l A(x 1) = m. Khi õ, x1
> x0. Theo nh lỵ giĂ tr trung bnh, tỗn ti x2 2 (x0; x1) sao cho
n = A(x2) 2 (A(x0); m). T (x0; m) 2 G(B) v (x2; A(x2)) 2 G(A) G(B), suy ra
(x0x2)(m

A(x2)) 0:

V x0 < x2, nản A(x2) m, iu n y mƠu thuÔn vợi A(x 2) 2 (A(x0); m). Nhữ vy,
khổng th xÊy ra trữớng hổp A(x0) < m.
Vy khổng tỗn ti toĂn tò ỡn iằu B trản R sao cho ỗ th ca B chứa thỹc sỹ
ỗ th ca A. Do õ, A l mt toĂn tò ỡn iằu cỹc i trản R.
V dử 1.2.5. ToĂn tò
8
3


A(x) =
vợi mồi x 2 R l

ỡn

0;

:0; nu x < 0;

iằu những khổng ỡn

iằu cỹc i trản R.

Tht vy, rê r ng A l mt toĂn tò ỡn iằu, những ỗ th ca A l tp con thỹc sỹ
3

ca ỗ th ca toĂn tò ỡn iằu B(x) = x vợi mồi x 2 R.
H

Chú ỵ 1.2.6. ToĂn tò ỡn iằu A : H ! 2 l ỡn iằu cỹc i khi v ch khi R(I + A) = H
vợi mồi > 0, Ơy R(I + A) l min Ênh ca I + A.
T chú ỵ trản ta cõ mt v dử khĂc dữợi

Ơy v toĂn tò

ỡn

iằu cỹc i:

V dử 1.2.7. Cho T : H ! H l mt Ănh x khổng giÂn, tức l kT x T yk kx yk vợi
mồi x; y 2 H. Khi õ A = I T l mt toĂn tò ỡn iằu cỹc i, Ơy I l Ănh x ỗng nhĐt
trản H.

12

Tht vy, vợi mồi x; y 2 H, ta cõ
hA(x)

A(y); x

yi = kx

2

yk

kTx

T yk

suy ra A l mt toĂn tò ỡn iằu.
Tip theo, ta ch ra tnh cỹc i ca A. Vợi mỉi > 0 v

2

0;

mỉi y 2 H, xt

phữỡng trnh
A(x) + x = y:

(1.5)

Phữỡng trnh trản tữỡng ữỡng vợi
x=
Xt Ănh x f :

1 ( T x + y):

(1.6)

1+
1

H ! H bi
f(x) =

( T x + y);

1+
vợi mồi x 2 H . D thĐy, f l Ănh x co vợi hằ s co l

2 (0; 1). Do õ,

1+
theo nguyản lỵ Ănh x co Banach, phữỡng trnh (1.6) cõ duy nhĐt nghiằm.
Suy ra, phữỡng trnh (1.5) cõ duy nhĐt nghiằm. Vy A l mt toĂn tò ỡn iằu
cỹc i.
H

nh nghắa 1.2.8. Cho A : H ! 2 l mt toĂn tò ỡn iằu cỹc i. Khi õ, Ănh x J r
1
= (I + rA) , r > 0 ữổc gồi l giÊi ca A.
A

A

Chú ỵ 1.2.9. i) GiÊi Jr ca toĂn tò ỡn iằu cỹc i A l mt Ănh x ỡn tr, khổng gi
A

Ân v A(x) 3 0 khi v ch khi Jr (x) = x;
A

Tht vy, giÊ sò tỗn ti x 2 H sao cho Jr (x) nhn t nhĐt hai giĂ tr y v z.
T nh nghắa ca toĂn tò giÊi, suy ra
x
T tnh ỡn

y 2 rA(y); x

iằu ca A, suy ra
h(x

Suy ra, ky

z 2 rA(z):

zk

2

y)

(x

z); y

zi

0:

A

0. Do õ, y = z. Vy Jr l mt Ănh x
A

ỡn tr.

Tip theo, ta ch ra Jr l mt Ănh x khổng giÂn. Vợi mồi x; y 2 H, t z1 =
A
A
Jr (x) v z2 = Jr (y), tức l
x

z1 2 rA(z1); y

z2 2 rA(z2):


13

Tł t‰nh ìn

i»u cıa A, ta câ
hx

z2i

y + z2; z1

z1

0:

Suy ra

kz1
Do â, kz1

z2k

z2k2
kx

hx

y; z1

z2i

kx

yk:kz1

z2k:

yk, hay JrA l mºt ¡nh x⁄ khæng gi¢n.

A

Gi£ sß, x = Jr (x). i•u n y t÷ìng ÷ìng vîi x 2 x + rA(x) hay A(x) 3 0.
ii) Vîi måi sŁ d÷ìng v , ta luæn câ flng thøc sau
A

J x=J

Th“t v“y, °t
Suy ra,

x+1

y=J

(1.7)

A

J x ; x 2 H:
A

x+ 1

A

x+

A

A

J x ; z = J (x):

z 2 y + A(y); x 2 z + A(z):

1

Tł t‰nh ìn i»u cıa A, suy ra
hx+(
t÷ìng ÷ìng vîi

ky

zk

chøng minh.
M»nh • 1.2.10. Cho H l

2

)z y x + z; y zi 0;

0. Suy ra, y = z v do â ta ÷æc i•u ph£i

mºt khæng gian Hilbert v A :
A

1

cho Jr l

to¡n tß ìn i»u cüc ⁄i vîi A 0 6= ; v
r > 0. Khi â, vîi måi r; > 0, ta câ
1
A

kJr x

H

H ! 2 l mºt

to¡n tß gi£i cıa A vîi

1

A A
J Jr xk

A

r kx Jr xk;

vîi måi x 2 D(A).
Chøng minh. Theo Chó þ 1.2.9, ta câ
A
JA
r

A

A

r

r

x=J
x + (1
)Jr x :
Do â, tł t‰nh khæng gi¢n cıa J (xem Chó þ 1.2.9), ta câ
A
1
1
)Jr x
A
A A
A
x
+
(1

kJr x J Jr xk = r kJ r
r
1

r kx
M»nh • ÷æc chøng minh.

A

Jr xk:

A A

J Jr xk


14

1.3 Ph÷ìng ph¡p l°p Halpern v ph÷ìng ph¡p x§p x¿ m•m t…m i”m
b§t ºng chung cıa mºt hå ¡nh x⁄ khæng gi¢n
1.3.1 Ph÷ìng ph¡p l°p Halpern
N«m 1967, B. Halpern [5] ¢ • xu§t ph÷ìng ph¡p l°p
(
(1.8)

x0 2 C l mºt phƒn tß b§t k…,
xn+1 = nu + (1 n)T xn; n 0

ð ¥y u 2 C v f ng (0; 1). D¢y l°p (1.8) ÷æc gåi l d¢y l°p Halpern. ˘ng ¢ chøng
minh sü hºi tö m⁄nh cıa d¢y l°p (1.8) v• i”m b§t ºng cıa ¡nh x⁄ khæng gi¢n T

vîi i•u ki»n n = n , 2 (0; 1).
1.3.2

Ph÷ìng ph¡p x§p x¿ m•m

N«m 2000, Moudafi [7] ¢ • xu§t ph÷ìng ph¡p x§p x¿ m•m, ” t…m i”m b§t
ºng cıa ¡nh x⁄ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert v ¢ chøng minh ÷æc c¡c
k‚t qu£ sau:
(1) D¢y fxng C x¡c ành bði:
1
"n
x0 2 C; xn = 1 + "n T xn +1 + "n f(xn); 8n 0;
hºi tö m⁄nh v• nghi»m duy nh§t cıa b§t flng thøc bi‚n ph¥n:
2 F (T ) sao cho h(I f)( );
xi 0; 8x 2 F (T );
x
x x

(1.9)

trong â f"ng l mºt d¢y sŁ d÷ìng hºi tö v• 0.
(2) Vîi mØi phƒn tß ban ƒu z0 2 C, x¡c ành d¢y fzng C bði:
1
"n
f(zn); 8n 0:
z =
n+1
1 + " n T zn + 1 + " n
1
n =1 "n

N‚u limn!1 "n = 0;

= +1 v

limn!1

"n+1

1

"n

1

(1.10)
= 0; th… fzng hºi

tö m⁄nh v• nghi»m duy nh§t cıa b§t flng thøc bi‚n ph¥n:
P
x 2 F (T ) sao cho h(I f)( x );x
ð ¥y, f : C ! C l

xi 0; 8x 2 F (T );

mºt ¡nh x⁄ co cho tr÷îc vîi h» sŁ co c 2 [0; 1). Tøc l
kf(x) f(y)k ckx yk 8x; y 2 C:


15

Chú ỵ 1.3.1. Khi f(x) = u vợi mồi x 2 C, th phữỡng phĂp xĐp x mm ca
Moudafi tr v phữỡng phĂp lp ca Halpern.

1.4

Phữỡng phĂp CQ giÊi b i toĂn chĐp nhn tĂch

Cho C v Q l cĂc tp con lỗi, õng v khĂc rỉng ca cĂc khổng gian Banach
H1 v H2, tữỡng ứng. Cho A : H1 ! H2 l mt toĂn tò tuyn b chn A : H 2 ! H1 l
toĂn tò liản hổp ca A. B i toĂn chĐp nhn tĂch (SFP) trong khổng gian
Banach ữổc phĂt biu nhữ sau:
Tm mt phn tò x 2 S = C \ A 1 (Q) = :
(SFP)
6;
Dng tng quĂt ca B i toĂn (SFP) l

b i toĂn (MSSFP), b i toĂn n y ữổc

phĂt biu nhữ sau: Cho Ci, i = 1; 2; :::; N v Qj, j =
lỗi v õng ca H1 v H2, tữỡng ứng.
Tm mt phn tò x 2 S =

N

\

C i \ A 1(

M

\

i=1

1; 2; :::; M l cĂc tp con
Q

)=
j

j=1

:

(MSSFP)

6;

Mt trong nhng phữỡng phĂp cỡ bÊn giÊi b i toĂn (SFP) l phữỡng phĂp
CQ. Vợi phữỡng phĂp CQ, B i toĂn (SFP) ữổc ữa v b i toĂn tm mt im bĐt
ng ca Ănh x PC I T (I PQ)T , trong õ > 0, P C v PQ ln lữổt l cĂc php chiu
mảtric t E lản C v t F lản Q, tữỡng ứng.
2
, th PC I T (I PQ T l
Ta bit rng nu 2 0;
mt Ănh x
khổng giÂn. Do õ, ngữới ta k
tm im bĐt
k

cõ
th vn dửng cĂc phữỡng phĂp
T

2

ng ca Ănh x khổng giÂn (phữỡng phĂp lp Mann, phữỡng phĂp lp Halpern,
phữỡng phĂp xĐp x gn kt) tm nghiằm ca B i toĂn (SFP).
Xu [17] Â ữa ra v chứng minh cĂc kt quÊ dữợi Ơy. Trữợc ht ổng ch ra sỹ
hi tử yu ca phữỡng phĂp CQ v mt nghiằm ca B i toĂn (SFP).
nh lỵ 1.4.1. [17] Nu 2
0; 2
th dÂy fxng xĂc nh bi x1 2 E v
T

k k
xn+1 = PC I

2

T (I

hi tử yu v mt nghiằm ca b i toĂn (SFP).

PQ)T xn


16

Sỹ hi tử ca phữỡng phĂp lp Mann v phữỡng phĂp lp ữổc cho bi nh lỵ

dữợi Ơy:
2

nh lỵ 1.4.2. [17] Cho dÂy f ng
1

n

n=1

4
2+ T

X
Nu 2

0;

2
T

k k

th dÂy fxng xĂc nh bi x1 2 E v

2

k k

[0; 4=(2 + kT k )] thọa mÂn iu kiằn

2n = 1:

xn+1 = (1

n)xn

+ nP C I

T (I PQ)T xn;

hi tử yu v mt nghiằm ca b i toĂn (SFP).
Nôm 2006, Xu [15] Â ữa ra cĂc thut toĂn m rng ca phữỡng phĂp CQ dữợi
Ơy cho B i toĂn (MSSFP). Trữợc ht ổng chứng minh sỹ hi tử ca
phữỡng phĂp lp Picard cho B i toĂn (MSSFP).
nh lỵ 1.4.3. [15] Nu 2
0; L vợi j
> 0 vợi mồi j = 1; 2; : : : ; M v
2
M
M
L = kT k 2 M j,
f g
2
P

x

n+1

th dÂy x

X

j=1

= P (I

jT

CN

n

xĂc nh bi x

1

Ev
Xj

(I PQj )T : : : PC1 (I

j=1

jT

(I PQj )T )xn

=1

hi tử yu v mt nghiằm ca B i toĂn (MSSFP).

Xu cụng  xƠy dỹng v

chứng minh sỹ hi tử ca phữỡng phĂp lp song

song v phữỡng phĂp lp xoay vặng cho B i toĂn (MSSFP) dng dữợi
Ơy:
nh lỵ 1.4.4. [15]
Nu 2
0; L vợi j > 0 vợi mồi j = 1; 2; : : : ; M,
2
M
N
2
i > 0 thọa mÂn
L = kT k
i = 1, th dÂy fxng xĂc nh bi
jv
j=1

i=1

x1 2E v P

P

x

n+1

=

Xi

N

X

iPCi
=1

M

(I

jT

(I PQj )T )xn

j=1

hi tử yu v mt nghiằm ca B i toĂn (MSSFP).


17

ành lþ 1.4.5. [15] N‚u 2
2

L = kT k

0; L

M
P

vîi

2

j

, th… d¢y fx g x¡c
n

n+1

=P

C[n+1]

> 0 vîi måi j = 1; 2; : : : ; M v

1

M

2

Ev
ành bði x

Xj
jT (I PQj )T )xn

j=1

x

j

(I

=1

hºi tö y‚u v• mºt nghi»m cıa B i to¡n (MSSFP).

1.5

Mºt sŁ bŒ

• bŒ træ
H

BŒ • 1.5.1. Cho A : D(A) H ! 2 l mºt to¡n tß ìn i»u. Khi â c¡c khflng ành sau
l óng.
i) Vîi r

s > 0, ta câ
A

kx

H

Js xk

A

2kx

Jr xk

H

vîi måi x 2 R(I + rA) \ R(I + sA).
H

ii) Vîi måi r > 0 v måi x; y 2 R(I + rA), ta câ
hx

A

y; Jr x

A

A

Jr yi

kJr x

A

2

Jr yk :

H

iii) Vîi måi r > 0 v måi x; y 2 R(I + rA), ta câ
h(I

H

A

Jr )x (I

iv) N‚u S = A

H

A

A

kJr x
Chøng minh. i) Tł

H

A

H

A

2

Jr )y; x yi k(I
Jr )x (I Jr )yk :
1
H
(0) = , th… vîi måi x 2 S v x 2 R(I + rA), ta câ
6;
2

xk

2

kx

xk

flng thøc (1.7), ta nh“n

A

kx Js (x)k kx =
kx

kx
2kx

A

A

A

A

Jr (x)k + kJr (x)
s

Jr (x)k + (1
A

Jr (x)k:

s

2

Jr xk :

־c

A

Js (x)k

s

Jr (x)k + kJs ( r x + (1
A

A

kx

A

A

r )Jr (x)) Js (x)k
A

r )kx Jr (x)k


18
A

A

ii) °t u = Jr x v v = Jr y. Khi â, ta câ x 2 u + rA(u) v y 2 v + rA(v). Do â, tł t
‰nh ìn i»u cıa A, ta thu ÷æc

1
rhu v; x u

(y

v)i

0:

V… v“y, ta câ
hx

y; u

vi

2

ku

vk ;

tøc l ,
A

Jr yi

(IH

JrA)y; x

yi

= h(IH

JrA)x

(IH

hx

A

y; Jr x

A

A

kJr x

2

Jr yk :

iii) Ta câ
h(IH

JrA)x

A

JrA)y; (IH

JrA)x

JrA )y

(IH

A

+ (Jr x Jr y)i
= k(I

H

+ h(I
= k(I

A

Jr )x

(I

A

H

H

Jr )x (I

A

H

Jr )x
A

+ hx

y; Jr x

(I

A

Jr )yk

H

H

2

A

A

A

Jr )y; Jr x Jr yi

A

Jr )yk

A

2

A

Jr yi k Jr x

A

2

Jr yk :

Tł ii) suy ra
h(I

H

A

Jr )x

(I

H

A

Jr )y; x

1

yi

A

iv) V… x 2 A (0), n¶n x 2 F (Jr ). Do
A

2

A

kJr x x k = kJr x x + x x k

k(I

A

Jr )x

(I

H

A

2
A

2

A

= kx

x k + kx Jr xk + 2hJr x x; x x i
x k 2 + k x JAx k 2 2 x JAx; x x
r
r
h

= kx

x k + kx

2

2h(I

H

2

kx x k + kx

= kx

x k2

BŒ • ÷æc chøng minh.

A

2

Jr )yk :

â, tł iii) ta câ

2

= kx

H

A

2

A

2

2kx Jr xk

Jr xk Jr )x ; x x i

Jr )x (I

H
A

Jr xk

k x JrAxk2:

A

2

i


19

B tip theo (B 1.5.2) ữổc sò dửng chứng minh
B 1.5.2. Cho Hi, i = 1; 2; :::; N, l
Ti :

nh lỵ 2.3.1.

cĂc khổng gian Hilbert thỹc. Cho

Hi ! Hi+1, i = 1; 2; :::; N 1, l cĂc toĂn tò tuyn tnh b chn v cho

A:
v 2

H1 ! 2

H

1

2

(0;
2

l mt toĂn tò ỡn iằu cỹc i trản H1. Khi õ, vợi mồi r > 0

H1 !

), Ănh x :

2

kT1k kT2k :::kTN 1k

H1, xĂc nh bi

2

(x) := x T1 T2 :::TN

1(I

H1

A

Jr )TN 1TN 2:::T1x;

l mt Ănh x khổng giÂn trản H1.
Chứng minh. Vợi bĐt ký x; y 2 H1, sò dửng B 1.5.1 iii), ta nhn
k (x)

(y)k

ữổc

2

= kx y
(T1 :::TN 1(I
= kx yk

H1

A

Jr )TN 1:::T1x

H1

2

H1

A

Jr )TN 1:::T1x

A

Jr )TN 1:::T1x

2

2

kT1k :::kTN 1k k(I

kx yk

H1

(I

A

Jr )TN 1:::T1x
T1 :::TN 1(IH1

A

Jr )TN 1:::T1yk

2

2

2 k(I
+

1:::T1y;

A

kT1 :::TN 1(I

kx yk

2

Jr )TN 1:::T1yi

(IH1
2

A

Jr )TN 1:::T1yk

2

2 hTN 1:::T1x TN

+

H1

T1 :::TN 1(I

A

Jr )TN 1:::T1yk

(IH1
A

H1

Jr )TN 1:::T1x

H1

2
A

(I

2

Jr )TN 1:::T1yk

2
2

(2

2

H1

kT1k :::kTN 1k )k(I

A

Jr )TN 1:::T1x

(I

H1

A

Jr )TN 1:::T1yk

2

2

kx yk :
V vy l mt Ănh x khổng giÂn.

B ữổc chứng minh.
B dữợi Ơy ữổc sò dửng chứng minh nh lỵ 2.2.1 (xem Trữớng hổp A
ca Bữợc 2).


20

B 1.5.3 (xem [4]). GiÊ sò T l mt Ănh x khổng giÂn t tp con lỗi, õng
v khĂc rỉng C ca khổng gian Hilbert thỹc H v o chnh nõ. Nu T cõ im
H
T l nòa õng, tức l nu fxng l
mt dÂy trong C hi tử
bĐt ng, th I
yu v phn tò x 2 C v
H

dÂy f(I

H

T )xng hi tử mnh v phn tò y, th ta cõ

(I T )x = y.
Chứng minh. GiÊ sò x T x 6= y. V xn * x, nản xn
nản t Mằnh 1.1.4, ta cõ
n
kx n xk
lim inf

n

kx n

y*x

y. Do x y 6= T x,

y Tx k

< lim inf

!1

!1

k

lim inf( x
!1 k
lim inf x
n

n

Tx
k
x :

n

y

n

n

k

k
+ Tx

n

Tx

k

)

!1

Suy ra mƠu thuÔn. Do õ, x

T x = y. c biằt, nu y = 0 th x = T x hay

x 2 F (T ).
B ữổc chứng minh.
B 1.5.4 cụng ữổc sò dửng chứng minh nh lỵ 2.2.1 (xem Trữớng
hổp B ca Bữợc 2).
B 1.5.4. [6] Cho fsng l mt dÂy s thỹc khổng giÊm theo nghắa tỗn ti

mt dÂy con fsnk g sao cho

s

s

nk

nk+1

k

8

0:

XĂc nh dÂy s nguyản dữỡng f (n)g, vợi n > n0, bi
(n) := maxfn0
Khi õ

(n) ! 1 khi n ! 1 v

k n : sk < sk+1g:

vợi mồi n > n0, ta cõ

maxfs ; s g s
(n)

n

(n)+1

:

B cui cũng dữợi Ơy ữổc sò dửng trong chứng minh ca cĂc nh lỵ
2.2.1 (xem Trữớng hổp A ca Bữợc 2) v nh lỵ 2.3.1.