SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn: TOÁN – VÒNG II

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 06 câu trong 01 trang

Câu 1 (2,0 điểm):
�b  ab
�� b
a
a b�

a
:


Cho biểu thức: P  �
�
�
�, với a, b > 0 và a ≠ b.
�a b
�� ab  a
ab  b
ab �
�

�
a) Rút gọn P.
b) Tính P biết a > b và a, b là hai nghiệm của phương trình x2 – 6x + 1 = 0.

Câu 2 (1,5 điểm):
Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a, b, c ≠ 0 và a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
a) a3 + b3 + c3 = 3abc
a2
b2
c2
3
b) 2 2 2  2 2 2  2 2 2 
a b c b c a
c a b
2
Câu 3 (2,5 điểm):
a) Tìm các bộ ba số thực (x; y; z) thoả mãn phương trình:
x + y + z + 4 = 2 x  2  4 y 3  6 z 5
b) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x + y = 16. Chứng minh rằng: x2 + xy + y2 �192 .
�
�xy  xy 4

c) Giải hệ phương trình: � 2

2
�x  xy  y  192

.

Câu 4 (1,0 điểm):

Trong 2009 số tự nhiên từ 1 đến 2009 chọn ra n số bất kỳ đôi một phân biệt (n ≥ 2) sao cho
tổng của chúng chia hết cho 8. Trong các cách chọn thoả mãn yêu cầu trên số n lớn nhất có thể là
bao nhiêu?
Câu 5 (2,0 điểm):
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O), gọi I là giao của hai đường chéo AC và
BD. Dựng các đường kính CC’ và DD’ của đường tròn (O), gọi K là giao của BC’ và AD’.
a) Dựng điểm E đối xứng với điểm B qua đường thẳng IK. Chứng minh rằng: Tứ giác
AIKE nội tiếp.
b) Chứng minh rằng: Ba điểm O, I, K thẳng hàng.
Câu 6 (1,0 điểm):
Tìm các bộ hai số nguyên dương (x; y) thỏa mãn phương trình:
x 2  2y 2  3xy  2x  4y  3  0

----------HẾT---------Họ và tên thí sinh :........................................................... Số báo danh ............................................
Họ và tên, chữ ký của giám thị 1:.......................................................................................................
Họ và tên, chữ ký của giám thị 2:......................................................................................................


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH
TỈNH NINH BÌNH
LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn: TOÁN – VÒNG II
(Đề thi vào lớp chuyên Toán, Tin)
Hướng dẫn chấm gồm 3 trang
I Hướng dẫn chung.
1. Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó, có thể sử dụng kết quả câu trước
làm câu sau.
2. Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không cho điểm.
3. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng vẫn cho điểm đủ từng

phần như hướng dẫn, thang điểm chi tiết do tổ chấm thống nhất, không làm tròn điểm.
II. Hướng dẫn chi tiết.
Câu 1 ( 2 điểm):
a. (1.5 điểm):
�b  ab
�� b
a
ab�
P�

a
:


�
�
�
�a b
�� ab  a
ab  b
ab �
�
�
b  ab  a  ab �
b
a
ab�

:�



�
a b
b( a  b)
ab �
� a( b  a)
ab
b b( a  b)  a a ( b  a )  (a  b)( b  a )( a  b)

:
a b
ab( b  a )( a  b)


ab
b ab  b 2  a ab  a 2  (a 2  b 2 )
ab
b ab  a ab
:

:
a b
ab( b  a )( a  b)
a  b ab( b  a )( a  b)
ab
ab
a  b ( b  a )( a  b)
:

.

 a b
ab
a  b ( b  a )( a  b)
a b

0,5
0,5
0,25
0,25

b. (1 điểm):
ab6
�
ab  1
�

Cách 1. Theo định lí Vi-ét: �
P2 



a b



2

0.25

 a  b  2 ab  6  2  4


Vì a  b � P  0 � P  2

Cách 2. Phương trình x2 – 6x + 1 = 0 có hai nghiệm x  3 �2 2

0,25

Vì a  b � a  3  2 2, b  3  2 2
� P  3  2 2  3  2 2  ( 2  1) 2  ( 2  1) 2  2  1  ( 2  1)  2

Câu 2 (2 điểm):
a. (0.5 điểm):

0,25


a + b + c = 0 � c = - (a + b) � a3 + b3 + c3 = a3 + b3 – (a + b)3

0.25

= - 3ab(a + b) = 3abc
b. (1 điểm)

0,5

a + b + c = 0  a = - b - c  a2 = b2 + 2bc + c2  a2 - b2 - c2 = 2bc
Tương tự có: b2 - c2 - a2 = 2ac , c2 - a2 - b2 = 2ab
a2
b2
c2

a2
b2
c2
a 3  b3  c3 3abc 3








2abc
2abc 2
a 2  b 2  c2 b 2  c2  a 2 c 2  a 2  b 2 2bc 2ac 2ab

0,25
0,25

Câu 3 (2 điểm):
a (1 điểm):
Điều kiện: x �2, y �3, z �5

0,25

x + y + z + 4 = 2 x  2  4 y3 6 z 5
� (x  2  2 x  2  1)  (y  3  4 y  3  4)  (z  5  6 z  5  9)  0

0,25


� ( x  2  1)  ( y  3  2)  ( z  5  3)  0
2

2

2

0,25

� x  2 1  0
� x  2 1
�x  3
�
�
�
�
�
� � y  3  2  0 � � y  3  2 � �y  7
�
�
�z  14
�
� z 5 3  0
� z 5  3

0,25

b (0.5 điểm):
(x  y) 2
4




Cách 1: xy �++


 0 (x  y) 2 �
ۣ
xy

4xy (x y) 2
(x  y) 2
4

4xy

x 2 2xy y 2

0

x 2 2xy y 2

x, y R , đẳng thức xảy ra x  y

� x2 + xy + y2 = (x + y)2 – xy �(x  y) 2 

0.25

(x  y) 2 3(x  y) 2 3.162



 192 .
4
4
4

0.25

Đẳng thức xảy ra x  y = 8.
Cách 2: x2 + xy + y2 =

3(x  y) 2 (x  y) 2
3(x  y) 2

�
 192 . Đẳng thức xảy ra x  y =
4
4
4

8.
c. (1 điểm)
�x  y �0
�x  y �0

0.25

Điều kiện: �

0.25


x  y  x  y  4 � x  y �4 � x  y �16
3(x  y) 2
 �

y 2 192
, x 2 �xy
4

x2 + xy + y2 �

� x  y  16 � x  y  8

192

3(x  y) 2
4

256 (x y) 2

x y 16

0.25


0.25

Câu 4 (1 điểm):
S = 1 + 2 + 3 + …+ 2009 =


0.5

2009.2010
 2019045 . Suy ra S chia cho 8 dư 5
2

� S  5M
8 , do đó số n lớn nhất là 2008.

0.5

Câu 5 (2 điểm):
A

E

t
B
K
I

C’

D

a) 1 điểm

D’

C


�  IBK
� (vì B, E đối xứng với nhau qua KI)
IEK

0.25

�  OCD
�
�' D )
(cùng chắn cung C
IBK

0.25

�  ODC
�
� ')
(cùng chắn cung CD
IAK

0.25

�  ODC
�
�  IAK
� � tứ giác AIKE nội tiếp.
Mà OCD
(vì OC = OD) � IEK


0.25

b. 1 điểm
�  EIK
�
Tứ giác AIKE nội tiếp � EAK

0.25

�  BIK
� (vì B, E đối xứng với nhau qua KI)
EIK
�  EBt
� (cùng phụ với góc EBI
� )
BIK

0.25

�  EBt
� � EAD
� '  EBD
� '  1800 � tứ giác AEBD’ nội tiếp
� EAK

0.25

� E nằm trên đường tròn tâm (O, R)

Mà IK là trung trực của BE suy ra IK đi qua O (ĐPCM)


0.25

Câu 6. (1 điểm)
x 2  2 y 2  3 xy  2 x  4 y  3  0 � x 2   3 y  2  x  2 y 2  4 y  3  0

(1)

Nếu pt (1) có nghiệm nguyên theo x, thì:

0.25

   3 y  2   4  2 y 2  4 y  3  y 2  4 y  8 là số chính phương.
2

� y 2  4 y  8  k 2  k �N  �  y  2   k 2  12 � ( y  2  k )( y  2  k )  12
2

Ta có: Tổng  y  2  k   ( y  2  k )  2(k  2) là số chẵn nên

 y  2  k  ; ( y  2  k ) cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Mà 12 chỉ có thể bằng tích 1.12 hoặc 2.6

0.25


hoặc 3.4 và y + 2 + k > 0, y + 2 + k > y + 2 – k nên chỉ có các hệ phương trình sau:
�y  2  k  2 �y  2
��
�
�y  2  k  6 �k  2

� ( x; y )  (1; 2), (3; 2) .

0.25
0.25