CHƯƠNG 3: BIẾN ĐỔI Z
1. Biến đổi z
2. Các tính chất
3. Biến đổi z hữu tỉ
4. Biến đổi z đơn hướng
5. Phân tích hệ LTI trên miền Z

Chương 3

1


Biến đổi z
Định nghĩa:


X(z) =

 x (n )z

−n

n = −

Ký hiệu:
z
x (n ) 
⎯→
X(z)

Miền hội tụ ROC (Region Of Convergence):

Tập hợp tất cả các giá trị của z để X(z) hội tụ

Chương 3

2


Biến đổi z
 x(n) = {1,2,5,7,0,1}

X(z) = 1 + 2z-1 + 5z-2 + 7z-3 + z-5 hữu hạn khi z  0 → ROC = C\{0}
 x(n) = {1,2,5,7,0,1}

X(z) = z2 + 2z + 5 + 7z-1 + z-3 hữu hạn khi z  0 và z  → ROC = C\{0,}
 x(n) = (n)
X(z) = 1 → ROC = C

 x(n) = (n - k), k > 0
X(z) = z-k, k > 0 → ROC = C\{0}
 x(n) = (n + k), k > 0
X(z) = zk, k > 0 → ROC = C\{}
Chương 3

3


Biến đổi z
➢ x(n) = anu(n)
∞


∞

∞

X z = ෍ 𝑥(𝑛)𝑧 −𝑛 = ෍ 𝑎𝑛 𝑧 −𝑛 = ෍ (𝑎𝑧 −1 )𝑛
𝑛=−∞

𝑛=0

Theo kết quả tính tổng cấp số nhân:

𝑛=0
𝑁

𝑁+1
1
−
𝑞
෍ 𝑞𝑛 =
1−𝑞
𝑖=0

1 − (𝑎𝑧 −1 )𝑁+1
1
X z = lim
=
𝑘ℎ𝑖 𝑎𝑧 −1 < 1
−1
−1
𝑁→∞

1 − 𝑎𝑧
1 − 𝑎𝑧

1
X z =
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > |a|
1 − 𝑎𝑧 −1
➢ Tính X(z) khi x(n) = -anu(-n-1)
Chương 3

4


Biến đổi z
1
𝑥 𝑛 =
𝑛 ՞𝑋 𝑧 =
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 𝑎
1 − 𝑎𝑧 −1
𝑧
1
𝑛
𝑥 𝑛 = −𝑎 𝑢 −𝑛 − 1 ՞ 𝑋 𝑧 =
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 < |𝑎|
1 − 𝑎𝑧 −1
𝑎𝑛 𝑢

|z| > |a|

𝑧


|z| < |a|

Chương 3

5


Biến đổi z
1
𝑥 𝑛 =
𝑛 ՞𝑋 𝑧 =
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 𝑎
1 − 𝑎𝑧 −1
𝑧
1
𝑛
𝑥 𝑛 = −𝑎 𝑢 −𝑛 − 1 ՞ 𝑋 𝑧 =
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 < |𝑎|
1 − 𝑎𝑧 −1
𝑎𝑛 𝑢

𝑧

x(n) = 2nu(n), a = 2
x(n) = (-3)nu(n), a = -3
x(n) = (1/2)nu(-n-1), a = 1/2
x(n) = -3-nu(-n-1) a = 1/3
Chương 3


1
𝑋 𝑧 =
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 2
1 − 2𝑧 −1
1
𝑋 𝑧 =
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 3
1 + 3𝑧 −1
1
1
𝑋 𝑧 =−
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 <
1
2
1 − 2 𝑧 −1
1
1
𝑋 𝑧 =
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 <
1 −1
36
1 − 3𝑧


Biến đổi z
Tính chất của biến đổi z
Tuyến tính

Nếu:
z

x1(n) 
X1(z)
⎯→

và:
thì:
Cosx = (ejx + e-jx)/2
Sinx = (ejx – e-jx)/2j

z
x2(n) 
X2(z)
⎯→

z
a1x1(n) + a2x2(n) 
X(z) = a1X1(z) + a2X2(z)
⎯→

1 − z −1 cos 0
(cos0n)u(n) 
, ROC: |z| > 1
⎯→
−1
−2
1 − 2z cos 0 + z
−1
z
sin 0
z

(sin0n)u(n) 
, ROC: |z| > 1
⎯→
−1
−2
1 − 2z cos 0 + z
z

Chương 3

7


Biến đổi z
Tính chất của biến đổi z
Tuyến tính
1. x(n) = 2nu(n) + 3n-1u(n)
2. x(n) = (-3)n+1u(-n-1) + 2n-2u(n)
3. x(n) = 2-n-1u(n) – u(-n-1)
4. x(n) = u(n) + 3-n+1u(-n-1)

Chương 3

8


Biến đổi z
Tính chất của biến đổi z
Dịch thời gian


Nếu:
z
x(n) 
X(z)
⎯→

thì:

z
x(n - k) 
z-kX(z)
⎯→

x(n) = 2nu(n - 1)
Đặt x1(n) = 2nu(n)
x(n) =

2.2n-1u(n


⎯→
z

- 1) = 2x1(n – 1)

𝑋1 𝑧 =

1
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 2
1 − 2𝑧 −1



⎯→ 𝑋 𝑧 =
z

Chương 3

2𝑧 −1
𝑧 =
,
1 − 2𝑧 −1
𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 2

2𝑧 −1 𝑋1

9


Biến đổi z
Tính chất của biến đổi z
Dịch thời gian
1. x(n) = 2n-1u(n+1) + 3-n-1u(n)
2. x(n) = (-1/3)n+1u(-n) + 2-2nu(n)
3. x(n) = (-1)nu(n+2) – 2nu(-n+1)
4. x(n) = u(n-2) + 2n-2u(-n-3)

Chương 3

10



Biến đổi z
Tính chất của biến đổi z
Co trên miền z

Nếu:
z
x(n) 
X(z), ROC: r1 < |z| < r2
⎯→

thì:

z
anx(n) 
X(a-1z), ROC: |a|r1 < |z| < |a|r2
⎯→

1 − z −1 cos 0
(cos0n)u(n) 
, ROC: |z| > 1
⎯→
−1
−2
1 − 2z cos 0 + z
z

1 − az −1 cos 0
a (cos0n)u(n) 
, ROC: |z| > |a|

⎯→
−1
2 −2
1 − 2az cos 0 + a z
n

z

Chương 3

11


Biến đổi z
Tính chất của biến đổi z
Đảo thời gian
Nếu:
z
x(n) 
X(z), ROC: r1 < |z| < r2
⎯→

thì:

z
x(-n) 
X(z-1), ROC:
⎯→

1

1
< |z| <
r2
r1

x(n) = u(-n)
z
u(n) 
⎯→

1
, ROC: |z| > 1
−1
1− z

x(n) = u(-(n-1)-1)


⎯→
z

z
x(n) 
X(z) =
⎯→

𝑧 −1
𝑋 𝑧 =−
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 < 1
1 − 𝑧 −1

Chương 3

1
, ROC: |z| < 1
1− z
12


Biến đổi z
Tính chất của biến đổi z
Vi phân trên miền z
Nếu:
z
x(n) 
X(z)
⎯→

thì:

z
−z
nx(n) 
⎯→

dX ( z )
dz

x(n) = nanu(n)

1

, ROC: |z| > |a|
1 − az −1
 1 
d
−1 
az −1
1
−
az


X(z) = -z
=
dz
(1 − az −1 )2
z
anu(n) 
⎯→

na u(n) 
⎯→
n

Chương 3

z

az −1

(1 − az )


−1 2

, ROC: |z| > |a|
13


Biến đổi z
Tính chất của biến đổi z
Vi phân trên miền z
1. x(n) = n2anu(n)
2. x(n) = n(-1/3)n+1u(-n)
3. x(n) = n2nu(n+2)
4. x(n) = n2-n-2u(-n-3)
5. x(n) = (1/n)2nu(n – 1)

Chương 3

14


Biến đổi z
Tính chất của biến đổi z
Tích chập

Nếu:
z
x1(n) 
X1(z)
⎯→


và:
thì:

z
x2(n) 
X2(z)
⎯→

z
x1(n) * x2(n) 
X1(z)X2(z)
⎯→

Tích chập của hai tín hiệu x1(n) và x2(n) thực hiện như sau:
 Tính biến đổi z của x1(n) và x2(n) (tương ứng là X1(z) và X2(z))
 Tính X(z) = X1(z)X2(z)
 Biến đổi z ngược x(n) = Z-1{X(z)}, x(n) là tích chập của x1(n) và x2(n)
Chương 3

15


Biến đổi z
Tính chất của biến đổi z
Tích chập
Tính tích chập của:

x1(n) = {1,-2,1} và x2(n) = {2,0,-2,1}



X1(z) = 1 - 2z-1 + z-2
X2(z) = 2z2 – 2 + z-1

Y(z) = X1(z)X2(z) = (1 - 2z-1 + z-2)(2z2 – 2 + z-1)
= 2z2 – 2 + z-1 - 4z + 4z-1 -2z-2 + 2 – 2z-2 + z-3
= 2z2 – 4z + 5z-1 – 4z-2 + z-3
y(n) = {2,-4,0,5,-4,1}

Chương 3

16


Biến đổi z
Tính chất của biến đổi z
Tính tích chập của:
x1(n) = 3.2n-1u(n-1) và x2(n) =(-1)n-1u(n)
3𝑧 −1
𝑌 𝑧 = 𝑋1 𝑧 𝑋2 𝑧 =
𝑋1 𝑧 =
,
𝑅𝑂𝐶:
𝑧
>
2
1 − 2𝑧 −1
3𝑧 −1
1
=

−
1
−1
−1 , 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 2
1
−
2𝑧
1
+
𝑧
𝑋2 𝑧 = −
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 1
1 + 𝑧 −1
3
𝑧
𝐴
𝐵
−1
1
−1
1
𝑌 𝑧 =−
=𝑧
+
𝑌
𝑧
=
𝑧
+
=

+
𝑧−2 𝑧+1
𝑧−2 𝑧+1
𝑧−2 𝑧+1
1 − 2𝑧 −1 1 + 𝑧 −1
−3
𝐴=
ቤ
= −1
𝑧 + 1 𝑧=2
−3
y(n) = - 2nu(n) + (-1)nu(n)
𝐵=
ቤ
=1
𝑧 − 2 𝑧=−1
Chương 3

17


Biến đổi z
Tính chất của biến đổi z
Tích chập
1. x1(n) = u(n); x2(n) = 2nu(n – 2)
2. x1(n) = 3nu(-n); x2(n) = u(n + 2)

Chương 3

18



Biến đổi z
Tính chất của biến đổi z
Tương quan

Nếu:

z
x1(n) 
X1(z)
⎯→

và:
thì:

z
x2(n) 
X2(z)
⎯→

rx x (l) =
1 2



x

l = −


1

z
( n ) x 2 ( n − l) 
R x x (z) = X1 (z)X 2 (z −1 )
⎯→
1 2

Tương quan của hai tín hiệu x1(n) và x2(n) thực hiện như sau:
 Tính biến đổi z của x1(n) và x2(n) (tương ứng là X1(z) và X2(z))
 Tính X(z) = X1(z)X2(z-1)
 Biến đổi z ngược x(n) = Z-1{X(z)}, x(n) là chuỗi tương quan của x1(n) và x2(n)
Chương 3

19


Biến đổi z
Tính chất của biến đổi z
Tương quan
Tính tương quan của:

x1(n) = {1,-2,1} và x2(n) = {2,0,-2,1}


X1(z) = 1 - 2z-1 + z-2
X2(z) = 2z2 – 2 + z-1

Y(z) = X1(z)X2(z-1) = (1 - 2z-1 + z-2)(2z-2 – 2 + z)
= 2z-2 – 2 + z - 4z-3 + 4z-1 - 2 + 2z-4 – 2z-2 + z-1

= z – 4 + 4z-1 - 4z-3 + 2z-4
y(n) = {1,-4,4,0,-4,2}

Chương 3

20


Biến đổi z
Tính tương quan của:
x1(n) = 3u(n) và x2(n) =-(-1/2)nu(n)
3
𝑋1 𝑧 =
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 1
1 − 𝑧 −1
1
1
𝑋2 𝑧 = −
, 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 >
1 −1
2
1 +2𝑧

𝑌 𝑧 = 𝑋1 𝑧 𝑋2 𝑧 −1 =
3
1
=
−
, 𝑅𝑂𝐶: 2 > 𝑧 > 1
1

1 − 𝑧 −1
1 + 2𝑧

3𝑧
2
𝐴
𝐵
𝑌 𝑧 =−
=𝑧
+
𝑧−1 𝑧+2
𝑧−1 𝑧+2
−2
2
−2
2
−6
𝑌 𝑧 =𝑧
+
=
+
𝑧−1 𝑧+2
1 − 𝑧 −1 1 + 2𝑧 −1
𝐴=
ቤ
= −2
𝑧 + 2 𝑧=1
−6
𝐵=
ቤ

=2
y(n) = - 2u(n) - 2(-2)nu(-n-1)
𝑧 − 1 𝑧=−2
Chương 3

21


Biến đổi z
Tính chất của biến đổi z
Tương quan
Tính 𝑟𝑥1 𝑥2 (𝑛)
1. x1(n) = 3-nu(n); x2(n) = 2nu(n – 2)
2. x1(n) = 3nu(-n); x2(n) = u(-n + 2)

Chương 3

22


Biến đổi z hữu tỉ
M

N(z)
=
X(z) =
D( z )

b
k =0

N

k

z

−k

−k
a
z
 k

b0 z − M
=
a0 z − N

k =0

b1 M −1
b
z + ... + M
b0
b0
a
a
z N + 1 z N −1 + ... + N
a0
a0


zM +

M

X(z) =

Gz N − M

 (z − z

k

)

 (z − p

k

)

k =1
N

k =1

Chương 3

23



Biến đổi z hữu tỉ
Điểm cực của X(z): các giá trị z tại đó X(z) = 
Biểu diễn: pk (pole)
Ký hiệu: x
Điểm không của X(z): các giá trị z tại đó X(z) = 0
Biểu diễn: zk (zero)
Ký hiệu: o

Chương 3

24


Biến đổi z hữu tỉ
Hàm hệ thống của hệ LTI
y(n) = x(n)*h(n)

h(n)

x(n)

Y ( z)
H ( z) =
X ( z)

Y(z) = X(z)H(z)

H(z): hàm hệ thống của hệ LTI
N


M

k =1

k =0

y (n) = − ak y (n − k ) +  bk x(n − k )
M

H ( z) =

−k
b
z
 k
k =0
N


−k 
1 +  ak z 
 k =1


Hệ LTI biểu diễn bằng phương trình sai
phân hệ số hằng có hàm hệ thống là hàm
hữu tỉ
Chương 3

25