Chuyên đề 26 tích phân đáp án
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.21 MB, 59 trang )
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
TÍCH PHÂN- PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Chuyên đề 26
TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM
Dạng 1. Tích phân cơ bản có điều kiện
1.Định nghĩa: Cho hàm số y f x liên tục trên K ; a, b là hai phần tử bất kì thuộc K , F x
là một nguyên hàm của f x trên K . Hiệu số F b F a gọi là tích phân của của f x từ a
b
f x dx F x
đến b và được kí hiệu:
b
a
F b F a .
a
2. Các tính chất của tích phân:
a
b
f x dx 0
a
a
a
b
b
f x dx f x dx
b
b
a
b
a
c
a
b
f x dx f x dx f x dx
a
a
c
b
b
k . f x dx k . f x dx
a
b
f x g x dx f x dx g x dx
Nếu f x g x x a; b thì
a
b
f x dx g x dx .
a
a
Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp
x
.dx
x
1
1
1
C
1
x dx ln x C
1
x
2
1
dx C
x
1 ax b
ax b dx a . 1 C
1
1
ax b dx a .ln ax b C
1
1 1
ax b 2 dx a . ax b C
1
sin x.dx cos x C
sin ax b .dx a .cos ax b C
cosx.dx sin x C
cos ax b .dx a .sin ax b C
1
sin
2
x
2
1
1
.dx cot x C
sin ax b .dx a .cot ax b C
.dx tan x C
cos ax b .dx a .tan ax b C
1
cos
1
x
x
e .dx e
x
a .dx
x
C
ax
C
ln a
2
1
1
2
1
.dx .eax b C
a
dx
1
xa
x 2 a 2 2a ln x a C
e
ax b
Nhận xét. Khi thay x bằng ax b thì lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm
1
.
a
Facebook Nguyễn Vương Trang 1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 1.
(Kinh Môn - Hải Dương 2019) Cho F x là một nguyên hàm của f x
2
. Biết
x2
F 1 0 . Tính F 2 kết quả là.
A. ln 8 1 .
C. 2ln 3 2 .
Lời giải
B. 4 ln 2 1 .
D. 2 ln 4 .
Chọn D
2
Ta có:
2
f ( x)dx F 2 F 1
1
2
x 2 2 ln x 2
2
1
2 ln 4 2 ln1 2 ln 4
1
F 2 F 1 2 ln 4 F 2 2 ln 4 (do F 1 0 ).
Câu 2.
(Mã 103 - 2019) Cho hàm số f x . Biết f 0 4 và f ' x 2sin 2 x 1, x , khi đó
4
f x dx bằng
0
A.
2 16 4
16
.
B.
2 4
16
.
C.
2 15
16
.
D.
2 16 16
16
.
Lời giải
Chọn A
1
Ta có f x 2 sin 2 x 1 dx 2 cos 2 x dx 2 x sin 2 x C .
2
Vì f 0 4 C 4
1
Hay f x 2 x sin 2 x 4.
2
4
Suy ra
0
4
1
f x dx 2 x sin 2 x 4 dx
2
0
1
2
1 2 16 4
x cos 2 x 4 x 4
.
4
16
4
16
2
0
Câu 3.
(Mã 104 - 2019) Cho hàm số f x . Biết f 0 4 và f x 2sin 2 x 3 , x R , khi đó
4
f x dx bằng
0
A.
2 2
8
.
B.
2 8 8
8
.
C.
2 8 2
8
.
D.
3 2 2 3
.
8
Lời giải
Chọn C
1
x 3 dx 1 cos 2 x 3 dx 4 cos 2 x dx 4 x sin 2 x C .
2
1
Ta có f 0 4 nên 4.0 sin 0 C 4 C 4 .
2
1
Nên f x 4 x sin 2 x 4 .
2
f x dx 2sin
2
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
4
0
Câu 4.
4
1
1
2 8 2
f x dx 4 x sin 2 x 4 dx 2 x 2 cos 2 x 4 x 4
.
2
4
8
0
0
(Mã 102 - 2019) Cho hàm số f ( x) .Biết f (0) 4 và f ( x) 2cos2 x 3, x , khi đó
4
f ( x)dx bằng?
0
A.
2 8 8
8
.
B.
2 8 2
8
.
C.
2 6 8
8
.
D.
2 2
8
.
Lời giải
Chọn B
,
Ta có f ( x) f ( x)dx (2cos2 x 3)dx (2.
1 cos 2 x
3)dx
2
1
(cos 2 x 4) dx = sin 2 x 4 x C do f (0) 4 C 4 .
2
Vậy f ( x )
1
sin 2 x 4 x 4 nên
2
4
0
4
1
f ( x) dx ( sin 2 x 4 x 4) dx
2
0
4
2 8 2
1
.
( cos 2 x 2 x 2 4 x)
8
4
0
1
Câu 5.
Biết rằng hàm số f x mx n thỏa mãn
2
f x dx 3 , f x dx 8 . Khẳng định nào dưới đây
0
là đúng?
A. m n 4 .
Ta có:
B. m n 4 .
0
C. m n 2 .
Lời giải
D. m n 2 .
m 2
x nx C .
2
1
m
1
f x dx 3 x 2 nx 3 m n 3 1 .
2
2
0
f x dx mx n dx =
1
Lại có:
0
2
m
f x dx 8 2 x
0
2
2
nx 8 2m 2n 8 2 .
0
1
m 2
mn 3
Từ 1 và 2 ta có hệ phương trình: 2
.
n 2
2m 2n 8
mn 4.
1
Câu 6.
Biết rằng hàm số f x ax 2 bx c thỏa mãn
0
3
A. .
4
Ta có:
4
B. .
3
7
f x dx ,
2
4
.
3
Lời giải
a
b
f x dx ax 2 bx c dx = x3 x 2 cx C .
3
2
C.
2
f x dx 2 và
0
D.
3
.
4
Facebook Nguyễn Vương 3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
1
Lại có:
7
a
f x dx 2 3 x
3
0
2
a
f x dx 2 3 x
3
0
3
f x dx
0
1
1
7
b 2
7
1
x cx a b c 1 .
3
2
2
2
2
0
8
b 2
2
x cx 2 a 2b 2c 2 2 .
3
2
0
9
13
13 a 3 b 2
3 13
9a b 3c
x x cx
3 .
2
2
2
2
3
0 2
1
7
1
3 a 2 b c 2
a 1
8
Từ 1 , 2 và 3 ta có hệ phương trình: a 2b 2c 2 b 3 .
3
16
9
13
c
3
9a 2 b 3c 2
4
16
P a b c 1 3 .
3
3
Câu 7.
(Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Có hai giá trị của số thực a là a1 , a2 ( 0 a1 a2 ) thỏa
a
mãn
a1
2 x 3 dx 0 . Hãy tính T 3
1
B. T 12 .
A. T 26 .
a
3a2 log 2 2 .
a1
C. T 13 .
Lời giải
D. T 28 .
Chọn C
a
Ta có:
2 x 3 dx x
2
a
3 x a 2 3a 2 .
1
1
a
Vì
2 x 3 dx 0 nên a
1
2
a 1
3a 2 0 , suy ra
.
a 2
Lại có 0 a1 a2 nên a1 1 ; a2 2 .
a
2
Như vậy T 3a1 3a2 log 2 2 31 32 log 2 13 .
1
a1
m
Câu 8.
(Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho
3x
2
2 x 1 dx 6 . Giá trị của tham số m
0
thuộc khoảng nào sau đây?
A. 1; 2 .
B. ;0 .
C. 0; 4 .
D. 3;1 .
Lời giải
Chọn C
m
Ta có:
3x
2
m
2 x 1 dx x 3 x 2 x m3 m 2 m .
0
0
m
3x
2
2 x 1 dx 6 m3 m2 m 6 0 m 2 0; 4 .
0
Vậy m 2 0; 4 .
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
1
Câu 9.
(Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Cho I 4 x 2 m 2 dx . Có bao nhiêu giá trị nguyên của
0
m để I 6 0 ?
A. 1.
B. 5.
C. 2.
Lời giải
D. 3.
Chọn D
1
1
Theo định nghĩa tích phân ta có I 4 x 2 m 2 d x 2 x 2 2 m 2 x 2 m 2 2 .
0
0
Khi đó I 6 0 2m2 2 6 0 m2 4 0 2 m 2
Mà m là số nguyên nên m 1;0;1 . Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu.
Câu 10.
(Sở GD Kon Tum - 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của a để
A. 5 .
B. 6 .
C. 4 .
Lời giải
a
2 x 3 dx 4 ?
0
D. 3 .
Chọn C
Ta có:
a
2 x 3 dx x
0
Khi đó:
2
a
3 x a 2 3a .
0
a
2 x 3 dx 4 a
0
2
3a 4 1 a 4
Mà a * nên a 1;2;3; 4 .
Vậy có 4 giá trị của a thỏa đề bài.
Câu 11.
(THPT Lương Thế Vinh - HN 2018).Có bao nhiêu số thực b thuộc khoảng ;3 sao cho
b
4 cos 2 xdx 1 ?
A. 8.
B. 2.
C. 4.
Lời giải
D. 6.
b k
1
12
Ta có: 4 cos 2 xdx 1 2 sin 2 x b 1 sin 2b
.
5
2
b
k
12
Do đó, có 4 số thực b thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b
Câu 12.
(Cần Thơ - 2018) Cho hàm số f x xác định trên \ 2; 2 thỏa mãn f x
4
,
x 4
2
f 3 f 3 f 1 f 1 2 . Giá trị biểu thức f 4 f 0 f 4 bằng
A. 4 .
B. 1.
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải
Ta có: x
2
4
1
1
dx
dx ln x 2 ln x 2 C .
4
x2 x2
Facebook Nguyễn Vương 5
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
x2
ln x 2 C1 khi x 2
2 x
f x ln
C2 khi 2 x 2
Do đó:
x
2
x2
ln x 2 C3 khi x 2
1
1
f 3 ln 5 C1 ; f 3 ln C3 ; f 0 C2 ; f 1 ln 3 C2 ; f 1 ln C2 ;
5
3
C1 C3 2
f 3 f 3 f 1 f 1 2 C1 C3 2C2 2
.
C2 1
1
Vậy f 4 f 0 f 4 ln 3 C1 C2 ln C3 C1 C2 C3 3 .
3
4
Câu 13.
(Chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai - 2018) Biết
1
là các số nguyên. Tính T a b c
A. T 3 .
B. T 3 .
1
Ta có
4x
C. T 4 .
Lời giải
D. T 5 .
2
x ex 1
1
x nên
2x
xe
2 x e
4
4
1
1
x ex
1
x
1 4 x xe2 x dx 1 2 x e x dx x e
Vậy a 1 , b 1 , c 4 . Suy ra T 4 .
Câu 14.
1
x ex
dx a eb ec với a , b , c
4x
xe2 x
4
1 e1 e4 .
1
(Sở Bạc Liêu - 2018) Cho hàm số f x xác định trên \ 0 thỏa mãn f x
3
3
và f 2 2 ln 2 . Giá trị của biểu thức f 1 f 4 bằng
2
2
6 ln 2 3
6 ln 2 3
8 ln 2 3
8 ln 2 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
4
4
4
Lời giải
f 2
Có f x f x dx
1
ln x x C1
f x
ln x 1 C
2
x
Do f 2
x 1
1
dx ln x C
2
x
x
khi x 0
khi x 0
3
1
3
ln 2 C1 C1 1 ln 2
2
2
2
Do f 2 2 ln 2
3
1
3
ln 2 C2 2 ln 2 C2 ln 2 1
2
2
2
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
x 1
,
x2
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
1
ln x x 1 ln 2
Như vậy, f x
ln x 1 ln 2 1
x
khi x 0
khi x 0
1
8 ln 2 3
Vậy f 1 f 4 2 ln 2 ln 4 ln 2 1
.
4
4
Câu 15.
(Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Cho hàm số
f (0) 4
f ( x ) có
π
4
và f ( x) 2 cos 2 x 1, x Khi đó
f ( x) dx bằng.
0
A.
2 16 16
16
.
B.
2 4
16
.
C.
2 14
16
.
D.
2 16 4
16
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
1 cos 2 x
f ( x) (2 cos 2 x 1)dx 2
1dx cos 2 x 2dx
2
sin 2 x
2 x C.
2
sin 2 x
Lại có f (0) 4 C 4 f ( x )
2 x 4.
2
cos 2 xdx 2dx
π
4
0
π
4
π
π
π
4
4
4
sin 2 x
1
f ( x)dx
2 x 4 dx sin 2 xd(2 x) 2 xdx 4dx
2
4 0
0
0
0
π
π
cos 2 x
π 2 16π 4
2
.
4 ( x 4 x) 4
4
16
0
0
Câu 16.
.
(Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho hàm số f x có f 0 0 và f ' x sin 4 x, x . Tích phân
2
f x dx bằng
0
A.
2 6
18
.
B.
2 3
32
.
3 2 16
.
64
Lời giải
C.
D.
3 2 6
.
112
Chọn C
Ta có:
2
1
1 cos 4 x
1 cos 2 x 1
2
sin 4 x
1 2 cos 2 x cos 2 x 1 2 cos 2 x
4
2
2
4
1
cos 4 x 4 cos 2 x 3 .
8
1
1
1
3
Suy ra f x f ' x dx cos 4 x 4 cos 2 x 3 dx sin 4 x sin 2 x x C .
8
32
4
8
1
1
3
Vì f 0 0 nên C 0 hay f x sin 4 x sin 2 x x .
32
4
8
Facebook Nguyễn Vương 7
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Do đó
2
2
0
1
3
1
3 2
1
1
f x dx sin 4 x sin 2 x x dx
cos 4 x cos 2 x x 2
32
4
8
8
16 0
128
0
1 1 3 2 1 1 3 2 16
.
64
128 8 64 128 8
Dạng 2. Tích phân hàm số hữu tỷ
P x
dx ? với P x và Q x là các đa thức không chứa căn.
Q x
a
b
Tính I
PP
chia đa thức.
Nếu bậc của tử P x bậc mẫu Q x
PP
Nếu bậc của tử P x bậc mẫu Q x mà mẫu số phân tích được thành tích số
đồng
nhất thức để đưa thành tổng của các phân số.
Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp:
+
1
ax m bx n
1 a
b
1
an bm ax m bx n
+
A B x Ab Ba A B m
mx n
A
B
.
x a x b x a x b
x a x b
Ab Ba n
+
1
A
Bx C
với b 2 4ac 0 .
2
2
x m ax bx c x m ax bx c
+
1
2
2
x a x b
Nếu bậc tử P x
A
B
C
D
.
2
x a x a
x b x b 2
bậc mẫu Q x mà mẫu không phân tích được thành tích số, ta xét một số
trường hợp thường gặp sau:
dx
PP x a.tan t .
, n N *
+ I1
2
2 n
x a
+ I2
+ I3
I3
b
dx
dx
x
tan t .
. Ta sẽ đặt
, 0
2
2a
4a
ax bx c
b
a x
2a 4a
2
px q
.dx với b 2 4ac 0 . Ta sẽ phân tích:
ax bx c
2
p 2ax b dx
b. p
dx
q
và giải A bằng cách đặt t mẫu số.
. 2
2
2a
ax
bx
c
2a
ax
bx c
I2
A
2
Câu 1.
(THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Biết
dx
x 1 2 x 1 a ln 2 b ln 3 c ln 5 . Khi đó giá trị
1
a b c bằng
A. 3 .
B. 2 .
C. 1.
Lời giải
D. 0 .
Ta có:
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
2
2
2
2
1
1
dx
1
2
1 x 1 2 x 1 1 2 x 1 x 1 dx 21 2 x 1 dx 1 x 1 dx
2
2
2
2
1
2. ln 2 x 1 ln x 1 ln 2 x 1 ln x 1 ln 5 ln 3 ln 3 ln 2
1
1
1
1
2
ln 2 2ln 3 ln 5 .
Do đó: a 1, b 2, c 1 . Vậy a b c 1 2 1 0 .
0
Câu 2.
(THPT An Lão Hải Phòng 2019) Biết I
của a 4b bằng
A. 50
B. 60
3x 2 5 x 1
2
1 x 2 dx a ln 3 b, a, b . Khi đó giá trị
C. 59
Lời giải
D. 40
Chọn C
0
0
3x 2 5 x 1
21
3 2
0
1 x 2 dx 1 3x 11 x 2 dx 2 x 11x 21.ln x 2 1
2 19
19
21.ln . Suy ra a 21, b . Vậy a 4b 59
3 2
2
Ta có I
Câu 3.
x2 2
1
0 x 1 dx m n ln 2 , với m, n là các số nguyên. Tính m n .
A. S 1 .
B. S 4 .
C. S 5 .
Lời giải
Chọn A
Biết
1
D. S 1 .
1
1
0
1
1 dx
x2 2
( x 1)2
1
dx ( x 1)dx
ln | x 1|10
ln 2
0
0
x 1
x 1
2 0
2
m 2, n 1 m n 1
1
Câu 4.
(Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Tích phân I
0
các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức a b .
A. 1.
B. 0 .
C. 1 .
Lời giải
1
Ta có I
0
x 1
2
1
1
x 1
2
x2 1
dx a ln b trong đó a , b là
D. 3 .
1
1
2x
1
1
2
2
d
x
1
d
x
d
x
d
x
1
x
ln
x
1
1 ln 2
0 x 2 1 0 0 x 2 1
0
0
x2 1
a 1
a b 3.
b 2
5
Câu 5.
(Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Biết
Tính S a 2b .
A. S 2 .
5
B. S 2 .
x2 x 1
b
3 x 1 dx a ln 2 với a , b là các số nguyên.
C. S 5 .
Lời giải
D. S 10 .
5
5
a 8
x2
x2 x 1
1
3
d
x
x
d
x
3 x 1
3 x 1 2 ln x 1 8 ln 2 b 3 S a 2b 2 .
3
Facebook Nguyễn Vương 9
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
2
Câu 6.
(THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Cho
x
2
1
P a b?
A. P 1 .
B. P 5 .
2
x
10
a
dx ln với a, b . Tính
x 1
b
b
C. P 7 .
Lời giải
2
D. P 2 .
2
x
1
2 x 11
2
Ta có x 2
dx x
dx x 1
dx
x 1
x 1
x 1
1
1
1
2
x3
10
10
2 10
a
x ln x 1 ln 2 ln 3 ln ln .
3
3 b
b
3
1 3
Suy ra a 2; b 3 . Vậy a b 5 .
3
Câu 7.
(Chuyên Sơn La 2019) Cho
x
1
2
x3
dx a ln 2 b ln 3 c ln 5 , với a, b, c là các số nguyên.
3x 2
Giá trị của a b c bằng
A. 0 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 1.
Lời giải
3
3
3
3
x3
x3
2
1
1 x2 3x 2 dx 1 x 1 x 2 dx 1 x 1dx 1 x 2dx
3
2ln x 1 ln x 2 2ln 2 ln 3 ln 5
1
Suy ra a 2 , b 1 , c 1 .
Nên a b c 2 1 1 2 .
4
Câu 8.
(Sở Phú Thọ 2019) Cho
x
3
trị của 2
A. 12
a 3b c
2
5x 8
dx a ln 3 b ln 2 c ln 5 , với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá
3x 2
bằng
B. 6
C. 1
Lời giải
D. 64
Chọn D
4
Ta có: I
3
3 x 2 2 x 1
5x 8
5x 8
2
3
dx
dx
dx
dx
2
x 3x 2
x 1 x 2
x 1 x 2
x 1 x 2
3
3
3
3ln x 1 2 ln x 2
4
4
4
4
3ln 3 2 ln 2 3ln 2 3ln 3 ln 2 0.ln 5
3
a 3
Suy ra b 1 2a 3b c 26 64 .
c 0
5
Câu 9.
Biết
x2 x 1
b
3 x 1 dx a ln 2 với a , b là các số nguyên. Tính S a 2b .
A. S 2 .
B. S 2 .
C. S 5 .
Lời giải
D. S 10 .
Chọn A
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
5
3
5
2
5
2
a 8
x
x x 1
1
3
dx x
dx ln x 1 8 ln b 3 S a 2b 2 .
x 1
x 1
2
2
3
3
1
Câu 10. Biết rằng
x
2
0
1
a
dx
x 1
b
a , b , a 10 . Khi đó a b có giá trị bằng
B. 15 .
A. 14 .
1
Xét I
0
C. 13 .
Lời giải
D. 12 .
1
1
1
dx
dx .
2
2
x x 1
1 3
0
x
2 4
1
3
3
tan t , với t
, . Khi đó dx
1 tan 2 t dt .
2
2
2
2 2
Với x 0 , ta có t .
6
Đặt x
Với x 1 , ta có t
3
Khi đó I
6
3
.
3
1 tan 2 t
3
3
a 3
2
2
3
2
. Từ đó suy ra
a b 12 .
dt
dt=
t
3
b9
9
2
3
3
1
tan
t
6
6
4
2
Câu 11.
(Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Biết
của abc bằng
A. 8 .
x2 5x 2
0 x 2 4 x 3 dx a b ln 3 c ln 5 , a, b, c . Giá trị
B. 10 .
C. 12 .
Lời giải
D. 16 .
Ta có:
2
2
2
2
x2 5x 2
1
2
x 1
0 x2 4 x 3 dx 0 1 x 1 x 3 dx 0 1 x 1 x 3 dx x ln x 1 2 ln x 3 0
2 3ln 3 2 ln 5 .
Vậy a 2, b 3, c 2 , do đó abc 12 .
0
Câu 12.
(THPT Nguyễn Trãi - Dà Nẵng - 2018) Giả sử rằng
của a 2b là
A. 30 .
B. 60 .
3x 2 5 x 1
2
1 x 2 dx a ln 3 b . Khi đó, giá trị
C. 50 .
Lời giải
D. 40 .
Ta có:
0
I
0
3x 2 5 x 1
21
1 x 2 dx 1 3x 11 x 2 dx
0
3x 2
19
I
11x 21.ln x 2 21.ln 2 21.ln 3
2
2
1
Facebook Nguyễn Vương 11
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
a 21
2 19
I 21ln
19 a 2b 40 .
3 2
b 2
4
Câu 13.
(Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định -2019) Biết
các số nguyên dương và
A. 5 .
x3 x 2 7 x 3
a
1 x2 x 3 dx b c ln 5 với a , b , c là
2
3
a
là phân số tối giản. Tính P a b c .
b
B. 4 .
C. 5.
Lời giải
D. 0.
4
4
3 2 x 1
x3 x 2 7 x 3
d
x
1 x 2 x 2 x 3 dx
1 x 2 x 3
Ta có
4
4
d x 2 x 3 27
4
27
1 2
x 2 x 3 2
3ln x 2 x 3
3ln 5 .
1
x x3
2
2
2
1
1
4
Mà
x3 x 2 7 x 3
a
1 x2 x 3 dx b c ln 5 , suy ra a 27 , b 2 , c 3 .
Vậy P a b 2 c3 4 .
1
Câu 14. Cho
4 x 2 15 x 11
0 2 x 2 5 x 2 dx a b ln 2 c ln 3 với a , b , c là các số hữu tỷ. Biểu thức T a.c b
bằng
A. 4 .
1
.
2
Lời giải
B. 6 .
C.
D.
1
.
2
Ta có
1
1
1
4 x 2 15 x 11
(4 x 2 10 x 4) (5 x 7)
5x 7
d
x
d
x
2 2
dx
2
0 2 x 2 5 x 2
0
2x 5x 2
2x 5x 2
0
1
1
3
3
5
1
2
dx 2 x ln | x 2 | ln | 2 x 1| 0 2 ln 2 ln 3
x 2 2x 1
2
2
0
Vậy a 2 , b 1 , c
5
nên T 6 .
2
1
Câu 15.
(SGD Bến Tre 2019) Biết
A. S 1 .
x2 2
1
0 x 1 dx m n ln 2 , với m , n là các số nguyên. Tính S m n .
B. S 5 .
C. S 1 .
Lời giải
D. S 4 .
Chọn C
1
1
1
x2
x2 2
1
1
dx x 1
d
x
ln 2 .
Ta có:
x ln x 1
x 1
x 1
2
0 2
0
0
Suy ra m 2 ; n 1 . Vậy S 1 .
Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
1
Câu 16.
1
(THPT Cẩm Bình 2019) Cho 2
dx a ln 2 b ln 3 , với a, b là các số hữu tỷ. Khi đó
x 3x 2
0
a b bằng
A. 0 .
B. 2 .
C. 1.
D. 1.
Lời giải
Chọn C
1
Xét
1
1
1
1
1
1
x 1 1
d
x
d
x
0 x 2 3x 2 0 x 1 x 2 0 x 1 x 2 dx ln x 2 0 2 ln 2 ln 3.
Vậy a 2, b 1 a b 1.
1
Câu 17.
(Sở Hà Nam - 2019) Cho
a b c bằng
A. 3 .
2 x 2 3x
0 x 2 3x 2dx a b ln 2 c ln 3 với a , b , c là các số nguyên. Tổng
B. 2 .
C. 1 .
Lời giải
D. 1 .
Chọn C
1
Ta có:
1
2 x 2 3x
3x 4
0 x 2 3x 2dx 0 2 x 2 3x 2 dx
1
1
1
2
2
dx 2 x ln x 1 2ln x 2 0 2 ln 2 2ln 3 .
x 1 x 2
0
Suy ra a 2 ; b 1; c 2 .
Vậy a b c 1.
2
Câu 18.
(Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho biết
0
T a b bằng
A. 13.
2
x 1
dx a ln 5 b ln 3 , với a , b . Tính
x 4x 3
2
2
B. 10.
C. 25.
Lời giải
D. 5.
Chọn A
Ta có:
A
2
0
x 1
x 1
A
B
x 4 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3
2
x 1
x 1
1, B
2
x 3 x 1
x 1 x 3
2
2
1
x 1
2
dx
dx ln x 1 2 ln x 3 ln 3 2 ln 5 2 ln 3
2
x 1 x 3
0
0
x 4x 3
0
2
2 ln 5 3ln 3 a ln 5 b ln 3
a 2, b 3 T 13.
2
Câu 19.
(Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Biết
x2 5x 2
0 x2 4 x 3 dx a b ln 3 c ln 5 , a, b, c . Giá trị
của abc bằng
Facebook Nguyễn Vương 13
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
A. 8 .
B. 10 .
C. 12 .
Lời giải
D. 16 .
Chọn C
Ta có:
2
2
2
x2 5x 2
x 1
1
2
0 x2 4 x 3 dx 0 1 x2 4 x 3 dx 0 1 x 1 x 3 dx
2
x ln x 1 2ln x 3 2 2ln 5 3ln 3 a b ln 3 c ln 5 .
0
a 2
b 3 a.b.c 12 .
c 2
4
Câu 20.
(Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Biết
các số nguyên dương và
A. 5 .
x3 x 2 7 x 3
a
1 x 2 x 3 dx b c ln 5 với a, b, c là
a
là phân số tối giản. Tính giá trị của P a b 2 c 3 .
b
B. 3 .
C. 6 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn D
4
4
3 2 x 1
x2
x3 x 2 7 x 3
27
2
d
x
x
2
d
x
3ln 5 .
2 x 3ln x x 3
2
1 x 2 x 3
1
x x3
2
2
1
4
Ta có
Vậy P a b 2 c 3 4 .
3
Câu 21.
(Bình Phước - 2019) Cho
dx
x 1 x 2 a ln 2 b ln 3 c ln 5 với
a , b , c là các số hữu tỉ. Giá
2
trị của a b 2 c 3 bằng
A. 3 .
B. 6 .
D. 4 .
C. 5 .
Lời giải
Chọn B
3
3
x 1
dx
1
1
Ta có
dx ln
x2
x 1 x 2 2 x 1 x 2
2
3
2
4
3
ln ln 4ln 2 ln 3 ln 5 .
5
4
Suy ra a 4, b 1, c 1 . Vậy a b 2 c 3 6 .
4
Câu 22.
(SGD Đà Nẵng 2019) Cho
3
2 a 3b 7 c bằng
A. 9 .
2x 3
dx a ln 2 b ln 3 c ln 7 với a , b, c . Giá trị của
2
3x
x
B. 6 .
C. 15 .
Lời giải
D. 3 .
Chọn D
4
Ta có:
3
4
4
x x 3
2x 3
1
1
d
x
d
x
dx ln x x 3
2
x 3x
x. x 3
x x3
3
3
4
ln 28 ln18
3
14
ln14 ln 9 ln 2 2 ln 3 ln 7 .
9
a 1 , b 2 , c 1 .
ln
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Vậy 2 a 3b 7 c 3 .
2
Câu 23.
(SGD Điện Biên - 2019) Cho
x
x 1
2
dx a b.ln 2 c.ln 3 , với a , b , c là các số hữu tỷ. Giá trị
1
6a b c bằng:
A. 2 .
B. 1 .
C. 2 .
Lời giải
D. 1.
Chọn D
2
1
1
1 2
1
dx
1 x 12
1 x 1 x 12 dx ln x 1 x 1 1 6 ln 2 ln 3 .
2
Ta có
x
1
a , b 1, c 1 , nên 6a b c 1 .
6
3
Câu 24.
(SP Đồng Nai - 2019) Biết
x
2
A. 11 .
5 x 12
dx a ln 2 b ln 5 c ln 6 . Tính S 3a 2b c .
5x 6
2
B. 14 .
D. 3 .
C. 2 .
Lời giải
Chọn A
3
Ta có
3
3
5 x 12
3
2
d
x
2 x 2 5 x 6 2 x 2 x 3 dx 2 ln x 2 3ln x 3 2
2ln 5 3ln 6 2 ln 4 3ln 5 4ln 2 ln 5 3ln 6 .
a 4, b 1, c 3 .
Do đó S 3a 2b c 12 2 3 11 .
Dạng 3. Tích phân đổi biến
b
Tích phân đổi biến:
b
f x .u ' x .dx F u x a F u b F u a .
a
Có sẵn
Tách từ hàm
Nhân
Các bước tính tích phân đổi biến số
Bước 1. Biến đổi để chọn phép đặt t u x dt u ' x .dx (quan trọng)
x b t u b
Bước 2. Đổi cận:
(nhớ: đổi biến phải đổi cận)
x a t u a
Bước 3. Đưa về dạng I
u b
ua
f t .dt đơn giản hơn và dễ tính toán.
Một số phương pháp đổi biến số thường gặp
b
Đổi biến dạng 1. I
a
b
b
f x
g ' x
.dx h x .dx f g x .
.dx với
g x
g x
a
a
I1
I2
Facebook Nguyễn Vương 15
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Đổi biến dạng 2.
Nghĩa là nếu gặp tích phân chứa căn thức thì có khoảng 80% sẽ đặt t căn trừ một số trường
hợp ngoại lệ sau:
1/ I1 f
a 2 x 2 .xchẵn .dx
đặt x a.sin t hoặc x a.cos t .
cos 2 x 1 sin 2 x
(xuất phát từ công thức sin 2 x cos 2 x 1 2
2
sin x 1 cos x
2/ I 2 f
x 2 a 2 .xchẵn.dx
đặt x a.tan t hoặc x a.cot t .
(mấu chốt xuất phát từ công thức tan 2 x 1
3/ I 3 f
x 2 a 2 .xchẵn .dx
đặt x
1
cos 2 x
a
a
hoặc x
.
sin t
cos t
ax
đặt x a.cos 2t .
4/ I 4 f
dx
a x
5/ I 5
dx
a bx
n
n
1
đặt x .
t
a bx
n
s
s
đặt t n ax b .
6/ I 6 R 1 ax b ,......, k ax b .dx
(trong đó n là bội số chung nhỏ nhất của s1 ; s2 ;...; sk
7/ I 7
dx
ax b cx d
Đổi biến dạng 3.
đặt t ax b cx d .
1
1
t ln x dt .dx
f ln x . x .dx
x
Đổi biến dạng 4.
t sin x dt cos x.dx
f sin x .cos x.dx
Đổi biến dạng 5.
t cos x dt sin x.dx
f cos x .sin x.dx
Đổi biến dạng 6.
f tan x . cos
Đổi biến dạng 7.
f cot x . sin
1
2
x
1
2
x
dx
t tan x dt
dx
cos 2 x
dx
t cot x dt
dx
sin 2 x
Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
f sin x cos x . sin x cos x dx
t sin x cos x
Đổi biến dạng 8.
f sin x cos x . sin x cos x dx
t sin x cos x
f ax 2 b n .xdx
t ax 2 b dt 2axdx
Đổi biến dạng 9.
f ax b n .xdx
t ax b dt adx
1
Câu 1.
(Đề Tham Khảo -2019) Cho
xdx
x 2
2
a b ln 2 c ln 3 với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của
0
3a b c bằng
A. 2
B. 1
C. 2
Lời giải
D. 1
Chọn D
Đặt t x 2 dt dx
Đổi cận: x 0 t 2 ; x 1 t 3
1
3
xdx
x 2
2
0
t 2 dt
t2
2
3
3
2
1
2
1 2
2 dt ln t ln 3 ln 2 1 ln 2 ln 3
t t
t 2
3
3
2
1
Suy ra a ; b 1; c 1
3
3a b c 1 1 1 1 .
3
Câu 2.
Tính K
2
x
dx bằng
x2 1
1 8
B. K ln .
2 3
A. K ln 2 .
C. K 2ln 2 .
8
D. K ln .
3
Lời giải
Đặt t x 2 1 dt 2 xdx xdx
dt
2
Với x 2 t 3; x 3 t 8
Ta có K
8
8 1 8
1 dt 1
ln t ln .
3 2 3
23 t 2
1
Câu 3.
(Chuyên Long An - 2018) Cho tích phân I
0
x7
2 5
1 x
dx , giả sử đặt t 1 x 2 . Tìm mệnh đề
đúng.
3
1 t 1
dt .
2 1 t 5
2
A. I
3
1 t 1
dt .
C. I
2 1 t4
2
3
B. I
t 1
t5
1
3
dt .
3
3 t 1
dt .
D. I
2 1 t4
4
Lời giải
2
Ta có: t 1 x dt 2 xdx .
Đổi cận: x 0 t 1 .
x 1 t 2 .
Facebook Nguyễn Vương 17
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
3
1 t 1
dt .
I
dx
dx
2 5
2 5
2 1 t5
0 1 x
0 1 x
1
1
x7
2
x.x 6
1
Câu 4.
(KTNL Gia Bình Năm 2019) Có bao nhiêu số thực a để
x
ax
2
dx 1 .
0
A. 2
B. 1
C. 0
Lời giải
D. 3
Chọn B
a 1
Điều kiện tích phân tồn tại là a x 2 0, x 0;1
a 0
Đặt t a x 2 dt 2xdx . Khi đó
1
a e2 1
1 a e2 a
dt 1 1 a
a t 2 ln a 1 1 a e2 a
1
a 2
e 1
1
So sánh điều kiện ta được a 2
.
e 1
1
x
1
0 a x 2 dx 2
Câu 5.
(Nguyễn
1 a
Huệ
-
Phú
Yên
-
Cho
2020)
hàm
số
f x
có
f 1 0
và
1
f x 2019.2020.x x 1
2018
, x . Khi đó
f x dx
bằng
0
A.
2
.
2021
B.
1
.
1011
C.
2
.
2021
D.
1
.
1011
Lời giải
Chọn C
1
Cần nhớ:
f x dx f x C
và
ax b
1 ax b
dx
a 1
Ta có f x f x dx 2019.2020.x x 1
2018
C 1 .
dx 2019.2020 x x 1
2018
dx .
Đặt t x 1 dt dx và x t 1 .
Suy ra f x 2019.2020 t 1 t 2018 dt 2019.2020 t 2019 t 2018 dt
t 2020
t 2019
2020
2019.2020
2020t 2019 C .
C 2019t
2020 2019
Từ đó f x 2019 x 1
2020
Mà f 1 0 2019 1 1
Suy ra f x 2019 x 1
2020 x 1
2020
2020
2019
2020 1 1
2020 x 1
C .
2019
2019
C 0 C 0.
.
1
1
Vậy
1
f x dx 2019 x 1
0
0
2020
2020 x 1
2019
2021
2020
x 1
x 1
dx 2019.
2020.
2021
2020
0
2
2019
.
1
2021
2021
Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
1
Câu 6.
(Đề Tham Khảo 2019) Cho
xdx
x 2
2
a b ln 2 c ln 3 với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của
0
3a b c bằng
A. 2
B. 1
C. 2
Lời giải
D. 1
Chọn B
Đặt t x 2 dt dx
Đổi cận: x 0 t 2 ; x 1 t 3
1
3
xdx
x 2
0
2
2
t 2 dt
t2
3
3
2
1
2
1 2
2 dt ln t ln 3 ln 2 1 ln 2 ln 3
3
3
t t
t 2
2
1
Suy ra a ; b 1; c 1
3
3a b c 1 1 1 1 .
Câu 7.
2 x 3x 2
(Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho
Tính giá trị của biểu thức 12 A 7 B .
23
241
A.
B.
252
252
Đặt t 3x 2 dt 3dx dx
6
8
7
dx A 3x 2 B 3x 2 C với A, B, C .
52
9
Lời giải.
C.
D.
7
9
dt
.
3
Khi đó.
6
2 x 3x 2 dx
2 t2 6
2
2 t 8 2t 7
7
6
t
d
t
t
2
t
d
t
C .
3 3
9
9 8
7
1
4
8
7
3x 2 3x 2 C .
36
63
1
4
7
Từ đó ta có A
, B
. Suy ra 12 A 7 B .
36
63
9
1
Câu 8.
(Chuyên Hà Tĩnh - 2018) Biết
P a2 b2 .
A. 13 .
1
Ta có I
0
B. 5 .
2 x 2 3x 3
0 x 2 2 x 1 dx a ln b với a, b là các số nguyên dương. Tính
C. 4 .
Lời giải
2 x 2 3x 3
dx
x2 2 x 1
dt dx
Đặt t x 1
suy ra
x t 1
Khi đó
2
x 0 t 1
x 1 t 2
2
2
2 t 1 3 t 1 3
2t 2 t 2
1 2
I
dt
dt
2 2 dt
2
2
t
t
t t
1
1
1
2
D. 10 .
2
2
2t ln t 3 ln 2 .
t 1
Suy ra P 32 2 2 13 .
Facebook Nguyễn Vương 19
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 9.
với m , p , q và
(Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định -2019) Cho
là các phân số tối giản. Giá trị m p q bằng
A. 10 .
22
.
3
Lời giải
B. 6 .
D. 8 .
C.
Chọn C
1
e3 x1
3
Ta có
2
1
1
1 5
e e 2 . Suy ra m , p 5 và q 2 .
3
3
1
22
Vậy m p q 5 2
.
3
3
1
Câu 10. Biết rằng
xe
x2 2
dx
0
a b c
e e với a, b, c . Giá trị của a b c bằng
2
A. 4 .
B. 7 .
1
Ta có:
x
xe
2
1
2
dx
0
C. 5 .
Lời giải
D. 6 .
1 x2 2
1 2 1 1
e d x 2 2 e x 2 e3 e 2 .
0 2
20
2
Nên a 1 , b 3 , c 2 .
Vậy a b c 6 .
e
Câu 11.
(KTNL GV Lý Thái Tổ 2019) Biết
x
2
1
x 1
dx ln ae b với a, b là các số nguyên dương.
x ln x
2
Tính giá trị của biểu thức T a ab b 2 .
A. 3.
B. 1.
C. 0.
Lời giải
D. 8.
Chọn B
1
e 1
e
x 1
x dx d x ln x ln x ln x e ln e 1
dx
1 x2 x ln x 1 x ln x 1 x ln x
1
e
Vậy a 1, b 1 nên T a 2 ab b 2 1.
2
Câu 12.
2
(Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Biết x 1 e
x
1
x
p
dx me q n , trong đó m, n, p, q
1
p
là các số nguyên dương và
là phân số tối giản. Tính T m n p q .
q
B. T 10 .
A. T 11 .
C. T 7 .
Lời giải
D. T 8 .
Chọn B
2
2
Ta có: I x 1 e
1
x
1
x
2
dx x 2 2 x 1 e
1
x
1
x
2
dx x 2 1 e
1
x
1
x
2
dx 2 xe
x
1
x
dx
1
Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Xét
2
I1 x 2 1 e
x
1
x
1
1 2
x
2
x
xe
2
e
1
2
I1 2 xe
2
dx x 2 .e
x
1
x
.
1
x
1
x
d x
2
x e
2
x
2
2
1
1
x
x
x2 1
1
2
2
x
x
dx
x
.
e
d
x
x
d
e
1
x2
x
1
1 2
x
1
x
2
2 xe
2
dx x e
x
1 2
x
1
1
x
dx
1
1
1
x
x
2
Ix e
x
1 2
x
1
3
4e 2 1
1
m 4
n 1
p
2
Do x 1 e dx me n , trong đó m, n, p, q và
là phân số tối giản
q
1
p 3
q 2
Khi đó, T m n p q 4 1 3 2 10 .
2
p
q
1
x
x
x2
Câu 13. Số điểm cực trị của hàm số f x
2tdt
1 t
là
2
2x
A. 0
B. 1
C. 2
Lời giải
D. 3
Chọn D
d 1 t
2tdt
Ta có f x
2
1 t
1 t2
2x
2x
x2
x2
2
ln 1 t
2
x2
2x
ln 1 x 4 ln 1 4 x 2 .
x 0
4 x3
8x2
4 x3
8x
f x
; f x 0
0
4
2
4
2
1 x 1 4x
1 x 1 4x
x
Trục xét dấu:
17 1 .
2
Từ đó ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 14.
(Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hàm số y f x có đạo hàm trên đồng thời thỏa mãn
1
f 0 f 1 5 . Tính tích phân I f x e f x dx .
0
A. I 10
B. I 5
C. I 0
Lời giải
D. I 5
Chọn C
1
1
I f x e
0
Câu 15.
f x
dx e
0
f x
d f x e
f x
1
0
e
f 1
e
f 0
e5 e5 0 .
(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f x có f 3 3 và f x
x
, x 0 .
x 1 x 1
8
Khi đó
f x dx bằng
3
Facebook Nguyễn Vương 21
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
A. 7 .
B.
197
.
6
29
.
2
Lời giải
C.
D.
181
.
6
Chọn B
Xét
x
f x dx x 1
Khi đó,
f x dx
x 1
dx . Đặt t x 1 x 1 t 2 x t 2 1 dx 2tdt .
t 1 . t 1 2tdt 2t 2 dt
x
t 2 1
dx 2
2tdt
t t
t. t 1
x 1 x 1
t 2 2t C x 1 2 x 1 C .
Mà f 3 3 3 1 2 3 1 C 3 C 5 .
f x x 1 2 x 1 5 x 2 x 1 4 .
8
8
f x dx
3
3
x2 4
x 2 x 1 4 dx
2 3
21
Câu 16.
(Mã 102 2018) Cho
x
5
sau đây đúng?
A. a b 2c
dx
x4
8
19 197
x 1 4 x 36 .
6
6
3
3
a ln 3 b ln 5 c ln 7 , với a , b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào
B. a b 2c
C. a b c
Lời giải
D. a b c
Chọn B
Đặt t x 4 2tdt dx .
Với x 5 t 3 ; x 21 t 5
21
Ta có
5
5
5
dx
dt
1
1
1
1
2 2
ln t 2 ln t 2 ln 2 ln 5 ln 7 .
3
t 4 2
2
2
2
x x4
3
55
Câu 17.
(Mã 101 2018) Cho
x
16
dưới đây đúng?
A. a b 3c
Chọn.
dx
a ln 2 b ln 5 c ln11 , với a , b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào
x9
B. a b 3c
C. a b c
Lời giải
D. a b c
A.
Đặt t x 9 t 2 x 9 2tdt dx .
Đổi cận x 16 t 5 , x 55 t 8 .
55
Do đó
16
dx
x x9
8
8
8
1 x 3 8
2tdt
dt
1 1
1
2
5 t t 2 9 5 t 2 9 3 5 x 3 x 3 dx 3 ln x 3 5
1 5 1 1 2
1
1
ln ln ln 2 ln 5 ln11 .
3 11 3 4 3
3
3
2
1
1
Vậy a ; b ; c a b c .
3
3
3
Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
2
Câu 18.
(Đề Tham Khảo 2017) Tính tích phân I 2 x x 2 1dx bằng cách đặt u x 2 1 , mệnh đề nào
1
dưới đây đúng?
2
3
B. I
A. I udu
0
2
3
1
udu
2 1
C. I 2 udu
0
D. I udu
1
Lời giải
Chọn A
2
I 2 x x 2 1dx
1
đặt u x 2 1 du 2 xdx . Đổi cận x 1 u 0 ; x 2 u 3
3
Nên I udu
0
5
Câu 19.
1
dx a b ln 3 c ln 5 . Lúc
1 1 3x 1
(Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Giả sử tích phân I
đó
A. a b c
5
.
3
B. a b c
4
.
3
C. a b c
7
.
3
8
D. a b c .
3
Lời giải
Chọn B
2
Đặt t 3 x 1 . Ta có t 2 3 x 1 dx tdt .
3
Đổi cận
5
4
1
1 2
dx
. tdt
1 t 3
1 1 3x 1
2
Ta có I
4
2 t
dt
3 2 t 1
4
4
2
1
2
1
dt t ln 1 t 2
3 2 t 1
3
4 2
2
ln 3 ln 5 .
3 3
3
4
2
2
Do đó a ; b ; c .
3
3
3
Vậy a b c
Câu 20.
(Liên
trường
Nghệ
4
.
3
An
-
2020)
x7
3
, x ; . Biết rằng
2
2x 3
Khi đó a b bằng
A. 250 .
B. 251 .
f x
7
Cho
hàm
x
a
f 2 dx b
4
C. 133 .
số
f x
( a, b , b 0,
có
f 2 0
và
a
là phân số tối giản).
b
D. 221 .
Facebook Nguyễn Vương 23
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Lời giải
Chọn B
1
17
2 x 3
x7
17
2 .dx 1 2 x 3
.dx 2
2
.dx
2x 3
2x 3
2 2x 3
Ta có f x f x .dx
2 x 3
1 1
.
2 2
3
3
2
Mà f 2 0
Suy ra f x
7
Do đó
4
1
6
17
1
. 2x 3 C
2
6
1
6
2.2 3
2 x 3
3
17
. 2x 3 C .
2
17
1 17
26
.
. 2.2 3 C 0 C 0 C
2
6 2
3
17
26
. 2x 3
2
3
1
17
26
3
x
1
f dx x 3 . x 3 dx
6
2
3
2
4
6
7
1
15
17
x 3 .
3
1
15
7 3
5
1
15
7 3
5
3
3
2 x 3
5
7
5
x 3
5
2
17
.
2
3
x 3
3
2
26
x
3
4
7
26
x 3 x
3 4
3
17
26 1
3
. 7 3 .7
3
3 15
4 3
5
17
26 1
3
. 7 3 .7
3
3 15
4 3
5
17
26
3
. 4 3 .4
3
3
17
26
3
. 4 3 .4
3
3
236
.
15
Suy ra a 236, b 15 . Vậy a b 251 .
ln 6
Câu 21.
(Nam Định - 2018) Biết tích phân
1
0
nguyên. Tính T a b c .
A. T 1 .
B. T 0 .
ex
ex 3
dx a b ln 2 c ln 3 , với a , b , c là các số
C. T 2 .
D. T 1 .
Lời giải
Đặt t e x 3 t 2 e x 3 2tdt e x dx .
x ln 6 t 3
Đổi cận
.
x 0
t 2
Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
ln 6
Suy ra
0
3
ex
3
2tdt
dx
1 t
1 ex 3
2
3
2
2
dt 2t 2 ln t 1 2
1 t
2
6 2 ln 4 4 2 ln 3
a 2
2 4 ln 2 2 ln 3 b 4 .
c 2
Vậy T 0 .
1
Câu 22.
(Chuyên Vinh - 2018) Tích phân
dx
bằng
3x 1
0
4
A. .
3
3
B. .
2
1
.
3
Lời giải
2t
Đặt t 3 x 1 t 2 3x 1 2tdt 3dx dt dx
3
Đổi cận: x 0 t 1 ; x 1 t 2
1
Khi đó
0
C.
1
2
.
3
1
1
2
dx
2 1
2
2
.tdt dt t .
30
3 0 3
3x 1 3 0 t
Cách khác: Sử dụng công thức
dx
2
ax b C thì
ax b a
2
Câu 23.
D.
(Đề Tham Khảo 2018) Biết
( x 1)
1
1
0
1
2
dx
2
3x 1 .
3
3x 1 3
0
dx
dx a b c với a , b, c là các số nguyên
x x x 1
dương. Tính P a b c
A. P 18
B. P 46
C. P 24
Lời giải
D. P 12
Chọn B
Cách 1
2
2
2
dx
dx
x x 1
1 ( x 1) x x x 1 dx 1 x( x 1) x 1 x 1
x( x 1) x x 1
Khi đó I
1 2
2
dx
x 1 x
dx
x( x 1)
1
1
Đăt t x 1 x dt
dx 2dt
2 x 1 2 x
2 3
2 3
2
2
dt
2
t
t 1
2 3 4 2 2 32 12 2
2
P a b c 32 12 2 46.
Cách 2
2
2
2
dx
dx
1 ( x 1) x x x 1 dx 1 x( x 1) x 1 x 1
2
1
2
x 1 x
x 1 x
1
1
dx
dx 2 x 2 x 1
x( x 1)
x
x 1
1
x( x 1)
x 1 x
x 1 x
dx
2
2 2 2 2 3 2 2 32 12 2
1
Facebook Nguyễn Vương 25
