TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Chuyên đề 12

MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÓ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP - LĂNG TRỤ

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM
Câu 1.

(Mã 101 2018) Cho khối lăng trụ ABC. ABC  , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB bằng
2 , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC  lần lượt bằng 1 và 3 , hình chiếu
vuông góc của A lên mặt phẳng  ABC   là trung điểm M của BC  và AM 

2 3
. Thể tích
3

của khối lăng trụ đã cho bằng
A. 2

B. 1

C.

3

D.

2 3
3

Câu 2.

(Mã 103 -2018) Cho khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB ' bằng
2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB ' và CC ' lần lượt bằng 1 và 3 , hình chiếu vuông
góc của A lên mặt phẳng ( A ' B ' C ') là trung điểm M của B ' C ' và A ' M  2 . Thể tích của khối
lăng trụ đã cho bằng
2 3
A.
B. 1
C. 3
D. 2
3

Câu 3.

(Mã 102 2018) Cho khối lăng trụ ABC. A'B'C' , khoảng cách từ C đến BB ' là 5 , khoảng cách
từ A đến BB ' và CC ' lần lượt là 1; 2 . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng A ' B ' C ' là
trung điểm M của B ' C ' , A ' M 
A.

Câu 4.

2 5
.
3

B.

5


15
. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
3
2 15
15
C.
D.
3
3

(Mã 104 2018) Cho khối lăng trụ ABC . ABC  . Khoảng cách từ C đến đường thẳng BB bằng
5 , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC  lần lượt bằng 1 và 2 , hình chiếu
vuông góc của A lên mặt phẳng  ABC   là trung điểm M của BC  và AM  5 . Thể tích
của khối lăng trụ đã cho bằng
A.

Câu 5.

5

B.

C.

2 5
3

D.

2 15

3

(Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hình lăng trụ tam giác ABC. ABC có đáy là tam giác vuông
  120 . Gọi M là trung điểm cạnh BB  (tham
  90 , BAA
tại A , AB  2 , AC  3 . Góc CAA
khảo hình vẽ). Biết CM vuông góc với AB , tính thể tích khối lăng trụ đã cho.



3 1  33
A. V 
Câu 6.

15
3

8

.

B. V 

1  33
.
8



3 1  33

C. V 

4

.

D. V 

1  33
.
4

(Chuyên KHTN - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông
cân tại C , AB  2a và góc tạo bởi hai mặt phẳng  ABC   và  ABC  bằng 60 . Gọi M , N lần
Facebook Nguyễn Vương  Trang 1


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

lượt là trung điểm của AC  và BC . Mặt phẳng  AMN  chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể
tích của phần nhỏ bằng
7 3a 3
6a 3
7 6a 3
3a3
A.
.
B.
.
C.

.
D.
.
24
6
24
3
Câu 7.

Câu 8.

(Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có SA  2 . Gọi D , E lần lượt
là trung điểm của cạnh SA , SC . Thể tích khối chóp S. ABC biết BD  AE .
4 21
4 21
4 21
4 21
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
9
7
3
27
(Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại


BC nhọn. Mặt phẳng
ABC  600 . Biết tứ giác BCCB là hình thoi có B
A , cạnh BC  2a và 
 BCCB vuông góc với  ABC  và mặt phẳng  ABBA tạo với  ABC  góc 450 . Thể tích khối
lăng trụ ABC. ABC bằng
A.

7a3
.
7

B.

3 7 a3
.
7

C.

6 7a3
.
7

D.

7a3
.
21


Câu 9.

(Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy là tam giác đều. Mặt
phẳng  ABC  tạo với đáy góc 300 và tam giác ABC có diện tích bằng 8 . Tính thể tích V của
khối lăng trụ đã cho.
A. 64 3 .
B. 2 3 .
C. 16 3 .
D. 8 3 .

Câu 10.

(Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại
A, AB  a, BC  2 a . Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm của
cạnh H của cạnh AC . Góc giữa hai mặt phẳng  BCB ' C ' và  ABC  bằng 600 . Thể tích khối lăng
trụ đã cho bằng:
3 3a3
3a3
3 3a3
a3 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
8

8
16

Câu 11.

(Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a , SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a . Góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SCD  bằng  , với

cos 
A.
Câu 12.

Câu 13.

1
3

. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

a3 2
.
3

B. a 3 2 .

C.

2 2a 3
.
3


D.

2a 3
.
3

(Sở Ninh Bình) Cho lăng trụ ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  6 ,
AD  3 , AC  3 và mặt phẳng  AAC C  vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng

 AAC C  ,  AABB 

tạo với nhau góc 

ABCD. ABC D là
A. V  12 .

B. V  6 .

có tan  
C. V  8 .

3
. Thể tích của khối lăng trụ
4
D. V  10 .

(Đô Lương 4 - Nghệ An - 2020) Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông

BC nhọn. Biết

tại A , cạnh BC  2a và 
ABC  60 . Biết tứ giác BCC B là hình thoi có B
 BCCB vuông góc với  ABC  và  ABBA tạo với  ABC  góc 45 . Thể tích của khối lăng
trụ ABC. ABC  bằng
a3
3a3
6a 3
a3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
7
7
7
3 7

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 14.

(Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh
a, hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC .
Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng


a 3
. Tính theo
4

a thể tích khối lăng trụ

đó.

a3 3
A.
.
12
Câu 15.

a3 3
B.
.
6

a3 3
C.
.
3

a3 3
D.
.
24


(Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S. ABC có SA vuông góc với mặt phẳng
 ABC  và tam giác ABC cân tại A . Cạnh bên SB lần lượt tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng
trung trực của BC các góc bằng 300 và 450 , khoảng cách từ S đến cạnh BC bằng a . Thể tích
khối chóp S. ABC bằng:
a3
a3
a3
A. VS . ABC  .
B. VS . ABC  .
C. VS . ABC  .
D. VS . ABC  a3 .
2
3
6

Câu 16.

ABCD
(Chu
Văn
An
Hà
Nội
2019)
Cho
tứ
diện
có
BC  BD  AC  AD  1,  ACD    BCD  và  ABD    ABC  . Thể tích của tứ diện ABCD
bằng

2 3
3
2 3
2 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
9
27
27
27

Câu 17.

(Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có SA  a 11 , cosin góc
1
hợp bởi hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SCD) bằng
. Thể tích của khối chóp S . ABCD bằng
10
A. 3a3 .
B. 9a3 .
C. 4a 3 .
D. 12a3 .

Câu 18.


(THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều
6
15
cạnh 1 , biết khoảng cách từ A đến  SBC  là
, từ B đến  SCA là
, từ C đến  SAB  là
4
10
30
và hình chiếu vuông góc của S xuống đáy nằm trong tam giác ABC . Tính thể tích khối
20
chóp VS . ABC .
1
1
1
1
A.
B.
C.
D.
36
48
12
24

Câu 19.

(Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a .
  SCB

  900 . Gọi M là trung điểm của SA . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  MBC 
SAB
6a
. Tính thể tích V của khối chóp S. ABC .
7
5 3a 3
5 3a 3
4 3a 3
A. V 
B. V 
C. V 
12
6
3

bằng

Câu 20.

D. V 

7 3a 3
12

(Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S. ABC có các cạnh SA  BC  3 ; SB  AC  4 ;
SC  AB  2 5 . Tính thể tích khối chóp S. ABC .
A.

390
12


B.

390
4

C.

390
6

D.

390
8

  60 , 
Câu 21. Cho hình chóp S . ABC có 
ASB  CSB
ASC  90 , SA  SB  a , SC  3a . Tính thể tích
của khối chóp S . ABC .
Facebook Nguyễn Vương 3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A.

a3 2
.

4

B.

a3 6
.
18

C.

a3 2
.
12

a3 6
.
6

D.

Câu 22. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a . Gọi M là trung điểm cạnh SA ,
  SCB
  90 , biết khoảng cách từ A đến  MBC  bằng 6a . Thể tích của khối chóp
SAB
21
S . ABC bằng
10a 3 3
8a 3 39
4a 3 13
A.

.
B.
.
C.
.
D. 2a 3 3 .
9
3
3
Câu 23.

(Cụm liên trường Hải Phòng 2019) Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a.

  90. Gọi M là trung điểm của SA. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( MBC )
SAB  SCB
6a
. Tính thể tích V của khối chóp S . ABC.
bằng
7
5 3a 3
5 3a 3
4 3a 3
7 3a 3
A. V 
B. V 
C. V 
D. V 
.
.
.

.
12
6
3
12

Câu 24.

(Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD  BC  3 ,
AC  BD  4 , AB  CD  2 3 . Tính thể tích khối tứ diện ABCD .
A.

2740
.
12

B.

2474
.
12

C.

2047
.
12

2470
.

12

D.

  CBD
  90; AB  a; AC  a 5; 
Câu 25. Cho tứ diện ABCD có DAB
ABC  135. Biết góc giữa hai
mặt phẳng  ABD  ,  BCD  bằng 30. Thể tích của tứ diện ABCD là
A.

a3
.
2

B.

a3
.
3 2

C.

a3
.
6

a3
.
2 3


D.

Câu 26. Cho hình lăng trụ đều ABC. AB C  . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  ABC  bằng
a , góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  BCC B  bằng  với cos  

lăng trụ ABC. A B C  .
3a 3 2
A. V 
.
4
Câu 27.

B. V 

3a 3 2
.
2

C. V 

a3 2
.
2

 CCDD 
A. 2 3 .

. Tính thể tích khối


D. V 

3a 3 2
.
8

 BBC C 

và mặt phẳng

0

bằng 60 , Tính thể tích khối hộp đã cho.
B. 2 .

C.

3.

D. 3 3

(Chuyên Thoại Ngọc Hầu - 2018) Cho lăng trụ ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình chữ
nhật với AB  6, AD  3 , AC  3 và mặt phẳng  AAC C  vuông góc với mặt đáy. Biết hai
mặt phẳng  AAC C  ,  AABB  tạo với nhau góc  thỏa mãn tan  

ABCD. ABC D bằng?
A. V  8 .
B. V  12 .
Câu 29.


2 3

(Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hình hộp ABCD. ABC D có AB vuông góc với
mặt phẳng đáy  ABCD  . Góc giữa AA với mặt phẳng  ABCD  bằng 45 0 . Khoảng cách từ A
đến các đường thẳng BB ' và DD ' bằng 1. Góc giữa mặt phẳng

Câu 28.

1

C. V  10 .

3
. Thể tích khối lăng trụ
4

D. V  6 .

(Cụm 5 Trường Chuyên - Đbsh - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là tam giác
ABC vuông cân tại A , cạnh BC  a 6 . Góc giữa mặt phẳng  AB C  và mặt phẳng  BCC B 
bằng 60 . Tính thể tích V của khối đa diện AB CAC  .

Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

A. a 3 3 .

B.


3a

3

2

3

.

C.

a

3

2

3

.

D.

a3 3
.
3

BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI
 />Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  />Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  />Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  />

Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương
 />Tải nhiều tài liệu hơn tại: />
Facebook Nguyễn Vương 5


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Chuyên đề 12

MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÓ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP - LĂNG TRỤ

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM
Câu 1.

(Mã 101 2018) Cho khối lăng trụ ABC. ABC  , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB bằng

2 , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC  lần lượt bằng 1 và

3 , hình chiếu

vuông góc của A lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm M của BC  và AM 

2 3
. Thể
3

tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. 2

B. 1


C.

3

D.

2 3
3

Lời giải
Chọn A

Cắt lăng trụ bởi một mặt phẳng qua A và vuông góc với AA ta được thiết diện là tam giác
AB1C1 có các cạnh AB1  1 ; AC1  3 ; B1C1  2 .
Suy ra tam giác AB1C1 vuông tại A và trung tuyến AH của tam giác đó bằng 1 .
Gọi giao điểm của AM và AH là T .

2 3
; AH  1  MH 
3
AM

A  60  AA 
Do đó MA


A
cos MA


1

H  30 .
. Suy ra MA
3
4
.
3
Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng thể tích khối lăng trụ AB1C1. AB2C2 và bằng
Ta có: AM 

V  AA.S AB1C1 
Câu 2.

4
3

 2.
3 2

(Mã 103 -2018) Cho khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB '
bằng 2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB ' và CC ' lần lượt bằng 1 và

3 , hình

Facebook Nguyễn Vương  Trang 1


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489


chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ( A ' B ' C ') là trung điểm M của B ' C ' và A ' M  2 .
Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A.

2 3
3

B. 1

C.

D. 2

3

Lời giải
Chọn D

Gọi

A1 , A2

lần

lượt

là

hình


chiếu

A

của

trên

BB ' ,

CC ' .

Theo

đề

ra

AA1  1; AA2  3; A1 A2  2.
Do AA12  AA2 2  A1 A2 2 nên tam giác AA1 A2 vuông tại A .
Gọi H là trung điểm A1 A2 thì AH 

A1 A2
 1.
2

Lại có MH  BB '  MH  ( AA1 A2 )  MH  AH suy ra MH  AM 2  AH 2  3 .
nên cos(( ABC ), ( AA1 A2 ))  cos( MH , AM )  cos HMA 
Suy ra S ABC 


S AA1 A2
cos(( ABC ), ( AA1 A2 ))

MH
3

.
AM
2

 1. Thể tích lăng trụ là V  AM  S ABC  2 .

Nhận xét. Ý tưởng câu này là dùng diện tích hình chiếu S '  S cos  .
Câu 3.

(Mã 102 2018) Cho khối lăng trụ ABC. A'B'C' , khoảng cách từ C đến BB ' là 5 , khoảng
cách từ A đến BB ' và CC ' lần lượt là 1; 2 . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt
phẳng A ' B ' C ' là trung điểm M của B ' C ' , A ' M 

15
. Thể tích của khối lăng trụ đã cho
3

bằng
A.

2 5
.
3


B.

5

C.

2 15
3

D.

Lời giải
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />
15
3


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Chọn C

Kẻ AI  BB ' , AK  CC ' ( hình vẽ ).
Khoảng cách từ A đến BB ' và CC ' lần lượt là 1; 2  AI  1 , AK  2 .
Gọi F là trung điểm của BC . A ' M 
Ta có

15
15
 AF 
3

3

AI  BB ' 
  BB '   AIK   BB '  IK .
BB '  AK 

Vì CC '  BB '  d (C, BB ')  d ( K , BB ')  IK  5  AIK vuông tại A .
Gọi E là trung điểm của IK  EF  BB '  EF   AIK   EF  AE .
Lại có AM   ABC  . Do đó góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  AIK  là góc giữa EF và

5
  30 .
  AE  2  3  FAE
 . Ta có cos FAE
AM bằng góc 
AME  FAE
2
AF
15
3
Hình chiếu vuông góc của tam giác ABC lên mặt phẳng

 AIK 

là AIK nên ta có:

3
2
 1  S


 S ABC .
S AIK  S ABC cos EAF
ABC
2
3
15
AF
 AM  3  AM  5 .
AMF 
Xét AMF vuông tại A : tan 
AM
3
3
Vậy VABC. A ' B 'C '  5.

2
2 15

.
3
3
Facebook Nguyễn Vương 3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 4.

(Mã 104 2018) Cho khối lăng trụ ABC . ABC  . Khoảng cách từ C đến đường thẳng BB
5 , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC  lần lượt bằng 1 và 2 , hình


bằng

chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng  ABC   là trung điểm M của BC  và AM  5 .
Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A.

5

B.

15
3

C.

2 5
3

D.

2 15
3

Lời giải
Chọn D

Gọi J , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BB và CC  , H là hình chiếu vuông
góc của C lên BB
Ta có AJ  BB 1 .


 2 .
BB   AJK   BB  JK  JK //CH

AK  CC  AK  BB
Từ 1 và  2  suy ra

 JK  CH  5 .

Xét AJK có JK 2  AJ 2  AK 2  5 suy ra AJK vuông tại A .

5
.
2
Gọi N là trung điểm BC , xét tam giác vuông ANF ta có:
Gọi F là trung điểm JK khi đó ta có AF  JF  FK 

5
AF
1

  60 . ( AN  AM  5 vì AN //AM và AN  AM ).
cos NAF
 2   NAF
AN
2
5
S
1
1

1
Vậy ta có SAJK  AJ . AK  .1.2  1  SAJK  SABC .cos 60  SABC  AJK    2 .
1
cos 60
2
2
2

15
  
Xét tam giác AMA vuông tại M ta có MAA
AMF  30 hay AM  AM .tan 30 
.
3
Vậy thể tích khối lăng trụ là V  AM .S ABC 
Câu 5.

15
2 15
.2 
.
3
3

(Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hình lăng trụ tam giác ABC. ABC có đáy là tam giác vuông
  120 . Gọi M là trung điểm cạnh BB 
  90 , BAA
tại A , AB  2 , AC  3 . Góc CAA
(tham khảo hình vẽ). Biết CM vuông góc với AB , tính thể tích khối lăng trụ đã cho.


Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021



3 1  33
A. V 

8

.

B. V 



3 1  33

1  33
.
8

C. V 

4

.

D. V 


1  33
.
4

Lời giải
Chọn C

Do AC  AB , AC  AA nên AC   ABBA  . Mà AB   ABBA  nên AC  AB .
Có AB  AC , AB  CM nên AB   AMC   AB  AM .
    1 
  
Đặt AA  x  x  0  . Ta có AB  AB  AA và AM  AB  BM  AB  AA .
2
 



    1  
1
1
Suy ra AB. AM  AB  AA  AB  AA   AB 2  AA2  AB. AA
2
2
2


1
1
  22  1 x 2  1 .2.x.cos120   1 x 2  1 x  4

 AB 2  AA2  AB. AA.cos BAA
2
2
2
2
2
2
 
1  33
1
1
Do AB  AM nên AB. AM  0   x 2  x  4  0  x 
.
2
2
2













3 1  33

  2. 1  33 .sin120 
Lại có S ABB A  AB. AA.sin BAA
(đvdt).
2
2
3 1  33 1  33
1
1
Do AC   ABBA  nên VC . ABBA  . AC.S ABB A  . 3.

(đvtt).
3
3
2
2
1
2
Mà VC . AB C   VABC . AB C   VC . ABB A  VABC . AB C   VC . AB C   VABC . AB C  .
3
3





3
3 1  33 3 1  33
Vậy VABC . AB C   VC . ABB A  .

(đvtt).

2
2
2
4

Facebook Nguyễn Vương 5


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 6.

(Chuyên KHTN - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC . ABC  có đáy ABC là tam giác vuông
cân tại C , AB  2a và góc tạo bởi hai mặt phẳng  ABC   và  ABC  bằng 60 . Gọi M , N lần
lượt là trung điểm của AC  và BC . Mặt phẳng  AMN  chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể
tích của phần nhỏ bằng
A.

7 3a 3
.
24

B.

6a 3
.
6

C.


7 6a 3
.
24

D.

3a3
.
3

Lời giải
Chọn A

Gọi I là trung điểm AB , suy ra AB   CIC   nên góc giữa  C AB  và
IC  60 .
 CI , C I  , suy ra C

AB

IC 
 tan 60  a 3 .
Tam giác C IC vuông tại C nên C C  CI  tan C
2
1
Diện tích tam giác ABC là S ABC   AB  CI  a 2 .
2
Thể tích khối lăng trụ là V  CC   S ABC  a 3  a 2  a 3 3 .
Trong  ACC A  , kéo dài AM cắt CC  tại O .
Suy ra C M là đường trung bình của OAC , do đó OC  2CC   2a 3 .
1

1 1
1
Thể tích khối chóp VO. ACN   S ACN  OC    S ABC  2CC   V .
3
3 2
3
1
1 1
1
Thể tích khối chóp VO.C ME   SC ME  OC    S ABC   OC   V .
3
3 8
24

1
1
7
7
7 3a3
Do đó VC EM .CAN  VO. ACN  VO.C ME  V  V  V   a3 3 
.
3
24
24
24
24
Vậy phần thể tích nhỏ hơn là VC EM .CAN 

7 3a3
.

24

Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />
 ABC 

là góc


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 7.

(Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có SA  2 . Gọi D , E lần
lượt là trung điểm của cạnh SA , SC . Thể tích khối chóp S. ABC biết BD  AE .
A.

4 21
.
7

B.

4 21
.
3

C.

4 21
.

9

D.

4 21
.
27

Lời giải
Chọn D

Gọi O là tâm tam giác đều ABC . Do S . ABC là hình chóp đều nên ta có SO   ABC  .
   1      1  
Ta có AE  SE  SA  SC  SA ; BD  SD  SB  SA  SB .
2
2

ASC  BSC
ASB   .
Đật 
 
 1     1   
BD  AE  BD. AE  0   SA  SB   SC  SA   0

2
 2









1
1 2 1
 SASC  SA  SB.SC  SA.SB  0
4
2
2



2
.
3
Áp dụng định lý hàm số côsin trong tam giác SAC , ta có:
 cos   2  2 cos   4 cos   0  cos  

AC 2  SA2  SC 2  2SA.SC.cos  
Diện tích tam giác ABC là S ABC 

8
2 6
 AC 
.
3
3

2 3

.
3

2 2 6 3 2 2
2 7
AO  .
.

; SO  SA2  AO 2 
.
3 3 2
3
3
1
1 2 3 2 7 4 21
.

Thể tích khối chóp S.ABC là V  SO.S ABC 
.
3
3 3
3
27

Facebook Nguyễn Vương 7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 8.


(Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình lăng trụ ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông

BC nhọn. Mặt
tại A , cạnh BC  2a và 
ABC  600 . Biết tứ giác BCCB là hình thoi có B
phẳng  BCCB  vuông góc với  ABC  và mặt phẳng  ABBA  tạo với  ABC  góc 450 . Thể
tích khối lăng trụ ABC. ABC bằng
A.

7a3
.
7

B.

3 7a3
.
7

6 7a3
.
7

C.

D.

7a3
.

21

Lời giải
Chọn B
B'

C'

A'

B

H

C

K
A

 BCC B    ABC 
Có 
. Do đó trong  BCCB kẻ BH vuông góc với BC tại H
 BCC B    ABC   BC
thì BH   ABC  hay BH là chiều cao của hình lăng trụ.
Trong  ABC  kẻ HK vuông góc với AB tại K . Khi đó AB   BHK  .

 ABBA   ABC   AB

Ta có  BHK   AB


 BHK    ABBA   BK ,  BHK    ABC   KH
 Góc giữa  ABBA  và  ABC  chính là góc giữa B K và KH .



KH là góc nhọn. Do đó B
KH  45 .
BHK vuông tại H nên B

KH  45  BHK vuông cân tại H  BH  KH .
BHK vuông tại H có B
Xét hai tam giác vuông B BH và BKH , ta có

BH 
tan B



BH KH
3

 sin 
ABC  sin 60 
.
BH
BH
2

BH
1

1
21




BH  1  cos 2 B
BH  1  
 sin B
 1

.

2

3
BB
7
 tan BBH  1 
1
4

 BH  BB.

Ta có S ABC 

21 2a 21
(vì BCCB là hình thoi có cạnh BC  2a ).

7

7
1
1
AB. AC  BC .cos 600
2
2



Vậy VABC . ABC   BH .S ABC 



1
1
3 a2 3
.
BC.sin 600  .2a. .2a.

2
2
2
2



2a 21 a 2 3 3 7 a 3
.
.


7
2
7

Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 9.

(Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy là tam giác đều. Mặt
phẳng  ABC  tạo với đáy góc 300 và tam giác ABC có diện tích bằng 8 . Tính thể tích V
của khối lăng trụ đã cho.
A. 64 3 .

B. 2 3 .

C. 16 3 .
Lời giải

D. 8 3 .

Chọn D

Gọi I là trung điểm cạnh BC .
Vì ABC. ABC là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều nên ABC. ABC  là khối lăng trụ đều.
Do đó ta có: AB  AC . Suy ra tam giác ABC cân tại A  AI  BC .
Mặt khác: tam giác ABC đều  AI  BC .
Suy ra BC   AIA  .
Vậy góc giữa mặt phẳng  ABC  và mặt đáy bằng góc 

AIA  300 .
Ta có: tam giác ABC là hình chiếu của tam giác ABC trên mặt đáy nên
S ABC  S ABC .cos   8.cos 300  4 3 .

Đặt AB  x  S ABC 

x2 3
 4 3  x  4.
4

x 3
 2 3  AA  AI .tan 
AIA  2 .
2
Suy ra: VABC . ABC   AA.S ABC  2.4 3  8 3 .

Ta có: AI 

Câu 10.

(Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại
A, AB  a , BC  2a . Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm

của cạnh H của cạnh AC . Góc giữa hai mặt phẳng  BCB ' C ' và  ABC  bằng 600 . Thể tích
khối lăng trụ đã cho bằng:

Facebook Nguyễn Vương 9


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489


A.

3 3a3
.
4

B.

3a 3
.
8

C.

3 3a3
.
8

D.

a3 3
.
16

Lời giải
Chọn C

Ta có BC  a 3 . Từ H kẻ HI vuông góc với BC .
HI HC

AB.HC a 3
.

 HI 

AB BC
BC
4
Gọi K là trung điểm của A’C’ . từ K kẻ KM vuông góc với B’C’ .

Ta có HIC  BAC nên

Tứ giác KMIH là hình bình hành nên KM  IH 

a 3
.
4

Gọi N là điểm trên B’C’ sao cho M là trung điểm của C’ N  A ' N  2 KM 

a 3
.
2


Do A ' H   ABC  nên  A ' NIH    ABC  . Mà A ' N  HI nên HIN là góc tù. Suy ra
 
HIN  1200  A ' NI  600 .
Gọi H ’ là hình chiếu của I lên A’ N suy ra H ’ là trung điểm của A’ N .
3a

.
 A ' H  IH '  NH '. tan 60 0 
4
 V  A ' H .S ABC 

Câu 11.

3a a 2 3 3 3a 3
.
.

4
2
8

(Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a , SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a . Góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SCD  bằng  ,
với cos 
A.

a3 2
.
3

1
3

. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
B. a3 2 .


C.

2 2a 3
.
3

D.

2a 3
.
3

Lời giải
Chọn A

Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Đặt AD  m , m  0 .
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, gốc tọa độ trùng với A , tia Ox, Oy , Oz lần lượt trùng
với các tia AB, AD, AS .Khi đó tọa độ của các điểm là:

B  a;0;0  ; D  0; m;0  ; C  a; m;0  ; S  0;0; a 


 
SB   a;0;  a  ; BC   0; m; 0    SB, BC    ma;0; ma 



 
SD   0; m;  a  ; DC   a; 0;0    SD, DC    0;  a;  ma 
 
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng  SBC  là  SB, BC    ma; 0; ma  , của mặt phẳng  SCD  là
 
 SD, DC    0;  a 2 ;  ma  .


Theo giả thiết: cos 

1
3



m2 a 2
2



2

a a  m .ma. 2

1
3






 3m 2  2 a 2  m 2  m  a 2.

1
1
a3 2
Thể tích khối chóp S. ABCD bằng V  .SA.S ABCD  .a.a.a 2 
.
3
3
3

Câu 12.

(Sở Ninh Bình) Cho lăng trụ ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  6 ,

AD  3 , AC  3 và mặt phẳng

 AAC C 

vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng

 AAC C  ,  AABB 

tạo với nhau góc  có tan  

ABCD. ABC D là
A. V  12 .

B. V  6 .


C. V  8 .
Lời giải

3
. Thể tích của khối lăng trụ
4
D. V  10 .

Chọn C

Facebook Nguyễn Vương 11


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Gọi M là trung điểm của AA . Kẻ AH vuông góc với AC tại H , BK vuông góc với AC tại
K , KN vuông góc với AA tại N .
Do  AAC C    ABCD  suy ra AH   ABCD  và BK   AAC C   BK  AA
  .
 AA   BKN   AA  NB suy ra 
AAC C  ,  AABB   KNB





Ta có: ABCD là hình chữ nhật với AB  6 , AD  3 suy ra BD  3  AC
Suy ra ACA cân tại C . Suy ra CM  AA  KN // CM




AK AN NK


.
AC AM MC

Xét ABC vuông tại B có BK là đường cao suy ra BK 

AB 2  AK . AC  AK 

BA.BC
 2 và
AC

AB 2
2
AC

  3  KB  3  KN  4 2 .
Xét NKB vuông tại K có tan   tan KNB
KN 4
3
4
Xét ANK vuông tại N có KN 

2
4 2
, AK  2 suy ra AN  .

3
3

2
4 2
 AM  1  AA  2
2
  3  3 
.
3 AM MC
CM  2 2
Ta lại có: AH . AC  CM . AA  AH 

CM . AA 2 2.2 4 2


AC
3
3

Suy ra thể tích khối lăng trụ cần tìm là: V  AH . AB. AD 
Câu 13.

4 2
. 6. 3  8 .
3

(Đô Lương 4 - Nghệ An - 2020) Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác

BC nhọn.

vuông tại A , cạnh BC  2a và 
ABC  60 . Biết tứ giác BCC B là hình thoi có B
Biết  BCCB vuông góc với  ABC  và  ABBA tạo với  ABC  góc 45 . Thể tích của khối
lăng trụ ABC. ABC  bằng
A.

a3
.
7

B.

3a3
.
7

C.

6a 3
.
7

D.

a3
.
3 7

Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Lời giải
Chọn B


BC là góc nhọn nên H
Gọi H là chân đường cao hạ từ B của tam giác BBC . Do góc B
thuộc cạnh BC .  BCCB vuông góc với

 ABC 

suy ra BH là đường cao của lăng trụ

ABC. ABC  .
BCCB là hình thoi suy ra BB  BC  2a . Tam giác ABC vuông tại A , cạnh BC  2a và

ABC  60 suy ra AB  a , AC  a 3 .
Gọi K là hình chiếu của H lên AB , do tam giác ABC là tam giác vuông tại A nên
BK BH

 BH  2 BK .
HK //AC 
BA BC
Khi đó mặt phẳng  BHK  vuông góc với AB nên góc giữa hai mặt phẳng

 ABC  là góc

 ABBA


và



KH  45  BK  h 2 , với BH  h .
KH . Theo giả thiết, B
B

2
2
2
Xét tam giác vuông BBH có BH 2  BH 2  BB 2 hay h  4BK  4a 1 .
2
2
2
Xét tam giác vuông BBK : BK 2  BK 2  BB 2 hay 2h  BK  4a  2 .

Từ 1 và  2  ta có h 

2 3a
.
7

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC. ABC  bằng V  S ABC .h 
Câu 14.

1
3a3
AB.BC.h 
.

2
7

(Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều
cạnh a, hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm tam giác

ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng

a 3
. Tính theo
4

a thể tích

khối lăng trụ đó.

a3 3
A.
.
12

a3 3
B.
.
6

a3 3
C.
.
3


a3 3
D.
.
24

Lời giải
Chọn A

Facebook Nguyễn Vương 13


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

+ Gọi M là trung điểm BC , H là trọng tâm tam giác ABC  A ' H   ABC  .
+ AM  BC
AH  BC

 BC   AA' M  .
+ Trong tam giác AA' M , kẻ M N  A A ' tại N

A

MN  BC tại M vì BC   AA' M  .
c

a 3
 MN là đoạn vuông góc chung của AA' và BC  MN 
.
4

+ Tam giác AA' M có S AA ' M

b
a

B

1
1
 A ' H . AM  MN . A A '
2
2

M

C

 A ' H . AM  MN . AA '  A ' H . AM  MN . A ' H 2  AH 2

 A' H 

MN . A ' H 2  AH 2

AM

2 a 3
a 3
A' H 2  

4

3 2 
a 3
2

2

2

a 3
A' H  

 3 
.
2
2



2

a 3
a
 4 A ' H  A ' H  
  A ' H  .
3
 3 
2

2


a a2 3 a3 3

.
3 4
12

Vậy thể tích khối lăng trụ VABC. A' B 'C '  A ' H .SABC  .
Câu 15.

(Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng

 ABC  và tam giác

ABC cân tại A . Cạnh bên SB lần lượt tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng

trung trực của BC các góc bằng 300 và 450 , khoảng cách từ S đến cạnh BC bằng a . Thể tích
khối chóp S. ABC bằng:
A. VS . ABC 

a3
.
2

B. VS . ABC 

a3
.
3

C. VS . ABC 


a3
.
6

D. VS . ABC  a3 .

Lời giải
Chọn C

Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

+ Lấy M là trung điểm của BC , tam giác ABC cân tại A

 AM  BC .
SA  BC
 BC   SAM  tại trung điểm M   SAM  là mặt phẳng trung trực cạnh BC .

  450 .
Góc giữa SB và mặt phẳng  SAM  = góc giữa SB và SM = BSM
  300 .
Góc giữa SB và mặt phẳng  ABC  = góc giữa SB và AB = SBA
BC   SAM   BC  SM  khoảng cách từ S đến cạnh BC bằng SM  a .
+ Tam giác vuông cân SBM có BM  a , SB  a 2 .

 BC  2 BM  2a .
Tam giác vuông SAB có sin 30 0 


SA
1 a 2
a 6
; AB 
.
 SA  a 2. 
SB
2
2
2

Tam giác vuông ABM có AM 

a 6
a 2
2
.
AB  BM  
  a 
2
 2 

2

2

2

1
1 a 2 1

a 2 a3
. .2a.
 .
Vậy thể tích khối chóp S. ABC là VS . ABC  SA.SABC  .
3
3 2 2
2
6
Câu 16.

(Chu

Văn

An

-

Hà

Nội

-

2019)

Cho

tứ


diện

ABCD

có

BC  BD  AC  AD  1,  ACD    BCD  và  ABD    ABC  . Thể tích của tứ diện ABCD
bằng
A.

2 3
.
9

B.

3
.
27

C.

2 3
.
27

D.

2 2
.

27

Lời giải
Chọn B

Facebook Nguyễn Vương 15


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Gọi H , K lần lượt là trung điểm cạnh CD , AB .
Đặt AH  x,  x  0 
ACD và BCD lần lượt cân tại A và D nên AH và BH là hai đường cao tương ứng.

 ACD    BCD 

 ACD    BCD   CD  AH   BCD 

 ACD   AH  CD
Do đó AH  BH 1

ACD  BCD  c.c.c  do đó AH  BH (2 đường cao tương ứng) (2)
Từ (1), (2) suy ra AHB vuông cân tại H .

 AB  AH 2  x 2 . (3)
Chứng minh tương tự ta được CKD vuông cân tại K .
CD 2.HD
 CK 

 2. AD 2  AH 2  2. 1  x 2

2
2
Mặt khác, ACD cân tại A có CK là đường cao nên:
AB  2 AK  2 AC 2  CK 2  2 1  2 1  x 2  (4)
Từ (3), (4) ta có:
x 2  2 1  2 1  x 2 
 2 x 2  4  2 x 2  1
 x2 

2
6
x
3
3

 x  0

CD  2.HD  2 1  AH 2 
VABCD 

2 3
3

1
1 6 1 6 2 3
3
.
AH .S BCD  .
. .
.


3
3 3 2 3
3
27

Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Câu 17.

(Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có SA  a 11 , cosin góc
1
hợp bởi hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SCD) bằng
. Thể tích của khối chóp S . ABCD bằng
10
A. 3a3 .

B. 9a3 .

C. 4a3 .
Lời giải

D. 12a3 .

Chọn C

Gọi H là tâm của hình vuông ABCD nên SH  ( ABCD) . Đặt m  HA , n  SH . Do tam giác
SAH vuông tại H nên m2  n2  11a2

Xây dựng hệ trục tọa độ như sau: H (0;0;0) , B(m ;0;0) , D(m ;0;0) , C (0; m ;0) , S (0;0; n)

x y z
Khi đó phương trình mặt phẳng (SBC) là:    1 hay véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
m m n

(SBC) là n1  (n; n; m) .
x
y z
   1 hay véctơ pháp tuyến của mặt
Khi đó phương trình mặt phẳng (SCD) là:
m m n

phẳng (SBC) là n2  (n; n; m)
 
1
1
| n1 . n2 |
   hay
Do cosin góc hợp bởi hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SCD) bằng
nên
10
10 | n1 | . | n2 |
m2
1
mà n 2  11a 2  m 2

2
2
2n  m

10

Vậy

m2
1
m2
1



 m 2  2a 2  m  a 2  SH  3a
2 n 2  m 2 10
22a 2  m 2 10

m  HA  a 2 nên AB  2a ,

Chiều cao của hình chóp là SH  3a .
Diện tích của hình vuông là S ABCD  4 a 2 .

1
1
Thể tích của khối chóp S . ABCD là: V  S ABCD .SH  .4a 2 .3a  4a3 .
3
3
Câu 18.

(THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều
cạnh 1 , biết khoảng cách từ A đến  SBC  là


6
15
, từ B đến  SCA là
, từ C đến  SAB 
4
10

Facebook Nguyễn Vương 17


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

30
và hình chiếu vuông góc của S xuống đáy nằm trong tam giác ABC . Tính thể tích
20
khối chóp VS . ABC .
là

A.

1
36

B.

1
48

C.


1
12

D.

1
24

Lời giải
Chọn B

Gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh AC , BC , AB .

1
3 h 3

Đặt SH  h  VS . ABC  .h.
.
3
4
12
Ta có AP 

2 S SAB
6VS . ABC
h 3 30
 2 S SAB 

:
 h 10

AB
2
20
d  C;  SAB  

Tương tự, tính được HM  2h, HN  h

 PH  SP 2  SH 2  3h
Ta có S ABC  S HAB  S HAC  S HBC 
Vậy VS . ABC 
Câu 19.

3
3
1
 HP  HM  HN   3h   h 
4
12
2

3 3 1
.

.
12 12 48

(Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a .
  SCB
  900 . Gọi M là trung điểm của SA . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  MBC 
SAB

bằng

6a
. Tính thể tích V của khối chóp S . ABC .
7

A. V 

5 3a 3
12

B. V 

5 3a 3
6

C. V 

4 3a 3
3

D. V 

Lời giải
Chọn B

Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />
7 3a 3
12



TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

  SCB
  900  S , A, B, C cùng thuộc mặt cầu đường kính SB .
Vì SAB
Gọi D là trung điểm BC , I là trung điểm SB và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , ta
có OI   ABC  .
Gọi H là điểm đối xứng với B qua O  SH   ABC  (vì OI là đường trung bình SHB ).
Gọi BM  AI  J , ta có J trọng tâm SAB .
Trong AID , kẻ JN / / IO . Khi đó, vì BC   JND  nên  JND    MBC  .
Kẻ NE  JD , ta có NE   MBC  . Do đó d  N ;  MBC    NE .

d  A,  MBC  

AD
AD
AD
AD
9


 .

2
4
d  N ,  MBC   ND AD  AN AD  AO AD  AD 5
3
9
5

10a
Suy ra, d  N ,  MBC    d  A,  MBC   
.
9
21
1
1
1
10 a
3
Xét JND có
nên NJ 


 OI  NJ  5a  SH  10a .
2
2
2
NE
ND
NJ
3
2
Ta có



1
1
a 2 3 5 3a 3

Vậy VSABC  SH .S ABC  .10a.
.

3
3
4
6

Câu 20.

(Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S. ABC có các cạnh SA  BC  3 ; SB  AC  4 ;
SC  AB  2 5 . Tính thể tích khối chóp S . ABC .
A.

390
12

B.

390
4

C.

390
6

D.

390

8

Lời giải.

Facebook Nguyễn Vương 19


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

+ Dựng hình chóp S . A ' B ' C ' sao cho A là trung điểm B ' C ' , B là trung điểm A ' C ' , C là
trung điểm A ' B ' .
+ Khi đó SB  AC  BA '  BC '  4 nên SA ' C ' vuông tại S và
2

SA '2  SC '2   2.SB   64

(1) .

 SA '2  SB '2  80 (2)
+ Tương tự SB ' C ' , SA ' B ' vuông tại S và  2
.
2
 SB '  SC '  36 (3)
+ Từ 1 ;  2  ;  3 ta suy ra SC '  10 ; SB '  26 ; SA '  54 .

1
390
1
1
+ Ta tính được VS . A ' B 'C '  SC '. .SA '.SB '  390 và VS . ABC  VS . A ' B 'C ' 

(đvtt).
4
4
3
2

  60 , 
ASB  CSB
Câu 21. Cho hình chóp S . ABC có 
ASC  90 , SA  SB  a , SC  3a . Tính thể tích
của khối chóp S . ABC .
A.

a3 2
.
4

B.

a3 6
.
18

C.

a3 2
.
12

D.


a3 6
.
6

Lời giải
Chọn A

Cách 1:
1
Gọi M là điểm nằm trên SC sao cho SM  SC  a .
3
Ta có:

Tam giác SAM vuông tại S  AM  SA2  SM 2  a 2 .
Tam giác SBM là tam giác đều có độ dài cạnh SM  SB  BM  a .
Tam giác SAB là tam giác đều có độ dài cạnh SA  SB  AB  a .
Vậy AB 2  BM 2  AM 2  Tam giác ABM là tam giác vuông tại B .
Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />