MỤC LỤC
Nội dung

Trang

CHUYÊN ĐỀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. MỞ ĐẦU
B. NỘI DUNG

1.KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1.1 Dạng tổng quát:
1.2 Nghiệm và số nghiệm của hệ:
1.2.1 PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ:
1.2.2 PHƯƠNG PHÁP THỂ:
1.2.3 PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ:
2. GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HỆ HAI P.T BẬC
NHẤT HAI ẨN:
2.1: Dạng 1- Xác định số nghiệm của hệ phương trình
2.2 : Dạng 2 - Giải hệ phương trình
2.3 : Dạng 3- Rèn kỹ năng giải hệ phương trình bằng cách
đưa về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
2.3.1: Phương pháp khai triển – thu gọn
2.3.2 : Phương pháp đặt ẩn phụ
2.4 : Dạng 4 – Hệ phương trình chứa tham số
Loại 3: Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình
Loại 4: Một số bài toán về điều kiện nghiệm của hệ hai
phương trình bậc nhất hai ẩn.
C. BÀI GIẢNG MINH HỌA ( Dạng 4: Loại 1, Loại 2 )
D. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
E.Đánh giá kết quả đạt được

F.Kết luận và kiến nghị
Tài liệu tham khảo, các chuyên đề đã viết gần đây

3
4

4
4
4
4
6
6
7
7
8
9
9
10
11
11
12
15
19
25
25
26


CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. MỞ ĐẦU

1. Đặt vấn đề, lý do chọn đề tài
Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi trước hết Toán học hình
thành cho các em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic,… vì thế
nếu chất lượng dạy và học toán được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta tiếp cận với
nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân loại.
Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng có
hiệu quả thiết bị dạy học, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới
phương pháp dạy và học Toán nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hoá
hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát
triển khả năng tự học, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn
luyện và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào
thực tiễn.
Trong chương trình Đại số 9 – Học kỳ II, xác định kiến thức về hệ hai phương
trình bậc nhất 2 ẩn là một đơn vị kiến thức quan trọng. Bởi lẽ:
Thứ nhất: Trên thực tế giảng dạy chúng tôi nhận thấy việc giải quyết các dạng
toán hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn đối với học sinh lớp 9: Thuần thục khi ở
mức độ nhận biết song lại gặp những khó khăn ở mức độ vận dụng.
Thứ hai: Đây cũng là những nội dung trọng tâm ôn tập theo định hướng trong
tài liệu của SGD để ôn thi vào lớp 10 THPT hàng năm.
Thứ ba: Có thể nhận thấy rằng liên thông kiến thức ở các bậc học thường được
xây dựng theo “hình xoắn ốc”. Vì vậy cho thấy giải quyết tốt được vấn đề này là cơ
sở để học sinh có nhiều thuận lơi trong việc mở rộng tiếp cận với kiến thức hệ
phương trình trong chương trình Toán lớp 10.
Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ
và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất
lượng bộ môn nên nhóm toán trường THCS Trung Kiên đã chọn chuyên đề: “ Hệ
hai phương trình bậc nhất hai ẩn ”
2. Cơ sở thực tiễn
a. Thuận lợi
- Giáo viên: Được sự quan tâm giúp đỡ tạo điều kiện của Ban giám hiệu và tổ

chuyên môn.
- Học sinh: Đa số là con em nông thôn nên có tính cần cù, chịu khó, ngoan
ngoãn.
b. Khó khăn
Tồn tại nhiều học sinh còn yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhận xét, biến
đổi và thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới, nhất
là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 9, do lười học, không chú ý
3


nghe giảng, ỷ nại, trông chờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn
luyện, ý thức học tập yếu.
Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi
gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp, không
biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào là phù
hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất.
Giáo viên chưa thật sự đổi mới phương pháp dạy học hoặc đổi mới chưa triệt
để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, xác định dạy học theo
phương pháp mới còn mơ hồ.
Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con
em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà.
3. Mục đích của đề tài:
Chỉ ra những phương pháp giải giúp học sinh nắm chắc và vận dụng nhuần
nhuyễn các dạng toán “ Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ” .
Giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản, có hệ thống về “ Hệ hai
phương trình bậc nhất hai ẩn ” .
Nâng cao chất lượng bộ môn.
B. NỘI DUNG
1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.1 Dạng tổng quát

 ax  by c(1)
 a ' x  b' y c' ( 2)

(I) 

Phương trình (1), (2) là các phương trình bậc nhất hai ẩn

x,y.
1.2 Nghiệm và số nghiệm của hệ: xoay quanh 3 phương pháp sau đây
1.2.1 Phương pháp đồ thị
* Cách thực hiện:
- Vẽ đường thẳng (1), (2).
- Số nghiệm của hệ (I) là số giao điểm của hai đường thẳng (1) và (2)
- Toạ độ giao điểm của (1) và (2) nếu có là nghiệm của hệ (I)
* Minh họa

4


Vị trí
tương
đối
Hình vẽ

Đường thẳng (1) và
(2) song song

Số
nghiệm
của hệ


Hệ phương trình
vô nghiệm

Đường thẳng (1) và
(2) trùng nhau

Đường thẳng (1) và
(2) cắt nhau tại 1 điểm
duy nhất

Hệ phương trình
vô số nghiệm

Hệ phương trình
có nghiệm duy nhất

* Xét dưới dạng đồ thị hàm số bậc nhất (tạm hiểu trong trường hợp có
thể đưa về được hay nói khác đi là các phép biến đổi sau đây đều có nghĩa ) thì:
(1)  y 

Vị trí
tương
đối
Số
nghiệm
của hệ
Mối
liên hệ
giữa

các hệ
số

 a
c
 a'
c'
x  và (2)  y 
x  . Khi đó:
b
b
b'
b'

Đường thẳng (1) và
(2) cắt nhau tại 1 điểm
duy nhất
Hệ phương trình có
nghiệm duy nhất
 a  a'
a b

=> 
a ' b'
b
b'

Đường thẳng (1) và
(2) song song


Đường thẳng (1) và
(2) trùng nhau

Hệ phương trình vô
nghiệm

Hệ phương trình vô số
nghiệm

  a  a'
a b
 b  b'
 a '  b'


 c  c'
 c b
 b b'
 c' b'
a b c
hay  
a ' b' c '

  a  a'
a b
 b  b'
 a '  b'


 c  c'

 c b
 b b'
 c' b'
a b c
hay  
a ' b' c '

* Nhận xét:
+ Ưu điểm: Sử dụng phương pháp đồ thị khi giải quyết vấn đề về nghiệm của
hệ phương trình là thể hiện trực quan sinh động. Bên cạnh đó tích hợp được nhiều
kỹ năng đó là kỹ năng vẽ đồ thị, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, ... học
sinh có điều kiện tiếp cận với cách giải quyết có tính vận dụng cao và tạo được môi
trường để phát huy sáng tạo khi cho học sinh nhìn nhận vấn đề rộng hơn, sâu hơn.
+ Hạn chế: Thực hiện phương pháp đồ thị để giải quyết các bài tập về hệ hai
phương trình bậc nhất hai ẩn, bên cạnh việc chỉ ra số nghiệm, biện luận số nghiệm
của hệ phương trình là khá nhanh chóng và thuận tiện thì một trong những vấn đề
đặt ra là tìm nghiệm (nếu có) của hệ trên thực tế là phức tạp, thiếu tính chính xác và
5


đặc biệt là khó khăn khi với hệ phương trình có chứa tham số hoặc ngay cả hệ số
đơn giản nhưng hệ lại có nghiệm không nguyên.
Bên cạnh đó khi nhìn nhận theo góc độ đồ thị hàm số bậc nhất như cách giải
quyết trên đây vẫn còn có nhiều vấn đề tồn tại đó là điều kiện xác định các phép
chia trong từng phép biến đổi nêu trên.
Dù vậy, sau này chương trình Toán 10 sẽ giải quyết trọn vẹn vấn đề trên thông
qua việc thiết lập định thức để đưa ra mối liên hệ giữa các hệ số tương ứng với từng
trường hợp nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn .
1.2.2 Phương pháp thể
*Cách thực hiện

+ Từ một phương trình của hệ đã cho, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia.
+ Thế vào phương trình còn lại được phương trình mới chỉ có 1 ẩn
+ Giải phương trình 1 ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho
(Tr1 3,15 SGK Toán 9.Tập 2 – NXBGD)
1.2.3 Phương pháp cộng đại số
* Cách thực hiện
+ Nhân 2 vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) (sao cho
các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau.)
+ Áp dụng quy tắc cộng đại số để được phương trình mới một ẩn
+ Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho
(Tr18 SGK Toán 9.Tập 2 – NXBGD)
*Nhận xét
Điểm chung trong hai phương pháp 1.2.2 và 1.2.3 trên là nguyên tắc quy từ
việc giải hệ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn về việc giải phương trình một ẩn dạng:
Ax+B = 0 (hoặc Ay+B =0) (3). Ở đây, số nghiệm phương trình (3) quyết định số
nghiệm của hệ (I).
+ Nếu A≠0 � pt (3) có nghiệm duy nhất � Hệ (I) có nghiệm duy nhất
+ Nếu A=0; B=0 � pt (3) vô số nghiệm � Hệ (I) vô số nghiệm
+ Nếu A=0; B≠0 � pt (3) vô nghiệm � Hệ (I) vô nghiệm.
Trên cơ sở này, nó sẽ giúp giải quyết tốt các bài tập về hệ phương trình (I)
+ Xác định số nghiệm của hệ.
+ Tìm nghiệm của hệ - giải hệ.
+ Giải và biện luận số nghiệm của hệ theo tham số.
+ Các bài toán về nghiệm của hệ.
Đây chính là ưu điểm hơn hẳn nếu nói về phương pháp vận dụng để giải
quyết các bài tập về nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong 3 phương
pháp đã nêu ở trên.
2. GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC
NHẤT HAI ẨN
2.1. Dạng 1: Xác định số nghiệm của hệ phương trình

6


Bài 1: Mỗi hệ phương trình cho sau đây có bao nhiêu nghiệm?
 2 x  y 1(1)
  4 x  2 y 2(2)

a) 

 x  y 1(1)
  2 x  2 y  2(2)

 x  y 2(1)
 2 x  y  3(2)

b) 

c) 

Hai đường thẳng
(1) và (2) trùng nhau

Hai đường thẳng (1)
và (2) cắt nhau tại
1điểm duy nhất
Ta có

Vẽ đường thẳng (1)
Vẽ
đường thẳng

(1)
xVẽ đường
0 thẳng
2 (1)
xx
00
1/2
y
-2
01
yy
-1
0
-1
0
Vẽ
đường
thẳng
(2)
Vẽđường
đườngthẳng
thẳng(2)
(2)
Vẽ
-3/2
1
xxx
000
-1/2
y

-3
0
yy
1-1 00
Đồ thị

Hai đường thẳng
(1) và (2) song song
Liên hệ
hệ sô

PP
Cộng
đại số

Ta có

Ta có

a 2 1 b 1 c 1
  ;  ; 
a '  4 2 b' 2 c ' 2
a b c
  
a ' b' c '
 2 x  y 1

  4 x  2 y 2

a 1 b 1 1 c 1

 ;   ; 
a '  2 b' 2  2 c '  2
a b c
  
a ' b' c '
 x  y 1

  2 x  2 y  2

 4 x  2 y 2

  4 x  2 y 2
0 x  0 y 4

 2 x  2 y 2

  2 x  2 y  2
0 x  0 y 0

(vô nghiệm)

(vô số nghiệm)

 2 x  y 1(1)

  4 x  2 y 2( 2)

 x  y 1(1)

  2 x  2 y  2( 2)


Phương
Từ (1) <=> y =x-1 thế
Từ (1) <=> y=2x-1 thế
pháp
vào (2) ta có:
vào (2) ta có:
Thế
-2x+2(x-1)=-2
-4x+2(2x-1)=2
<=>0x=0 (vô số
<=> 0x=4 (vô nghiệm)
nghiệm)
7

a 1 b 1
 ; 
a ' 2 b' 1
a b
 
a ' b'

 x  y 2

 2 x  y  3

=> 3x = -1
(nghiệm duy nhất)

 x  y 2(1)


 2 x  y  3(2)

Từ (1) <=> x=y+2
thế vào (2) ta có:
2(y+2) +y = -3
<=> 3y = -7
(nghiệm duy nhất)


Hệ phương trình
vô nghiệm

KL

Hệ phương trình
có vô số nghiệm

Hệ phương trình
có nghiệm duy nhất

2.2. Dạng 2: Giải hệ phương trình
Bài 2. Giải hệ phương trình
 2 x  y 1(1)
 x  y  2( 2)

a) 

* PP thế
a) Từ (2) <=>y=2-x (2’)

Thay vào (1) ta có:
2x-(2-x)=1
... <=>3x = 3 <=>x=1
thay vào (2’) ta có: y=1

 x  2 y 4(1)
 2 x  4 y 8(2)

 x  y 1(1)
  2 x  2 y 2(2)

b) 

c) 

b) Từ (1) <=>x=4-2y (1’)
Thay vào (2) ta có:
2(4-2y) + 4y=8
... <=> 0y = 0
(vô số nghiệm)

c) Từ (1) <=>x=y+1(1’)
Thay vào (2) ta có:
-2(y+1) +2y=2
... <=> 0y = 4
(vô nghiệm)

* PP cộng đại số
�2 x  y  1
�3x  3

a) �
 �
�x  y  2
�x  y  2

�x  2 y  4
�2 x  4 y  8
b) �
 �
�2 x  4 y  8
�2 x  4 y  8

�x  1
�x  1
 �
 �
1 y  2
�
�y  1

�x  2 y  4
 �
 x  4  2 y
�0 x  0 y  0

Vậy hệ phương trình
có nghiệm duy nhất
(x=1;y=1)

Vậy hệ phương trình

có vô số nghiệm.
(x=4-2y; yR)

2x  2 y  2
�x  y  1
�
c) �
 �
2 x  2 y  2
2 x  2 y  2
�
�
�x  y  1
 �
0 x  0 y  4(vl )
�

Vậy hệ phương trình vô
nghiệm

Bài 3 Giải hệ phương trình sau
3
 4 x  2 y 1
a) 
  1 x  y 2
 2

 0,5 x  0,25 y 1
b)  2,5 x 1,25 y 5



1
 2
 3 x  2 y 1
c) 
 1 x  1 y 1
 3
4

(Gợi ý biến đổi tương đương đưa về hệ pt có hệ số nguyên rồi tiến hành giải )
...<=>
chuyển về ...<=>
  4 x  3 y 6(1)
hệ số
...<=> 
 3x  8 y 4(1)
 2 x  y 4(1)
 4 x  3 y 12(2)



x

2
y

4
(
2
)

10
x

5
y

20
(
2
)
nguyên


(2)<=> x= 2y-4 (2’)
12  4 x
(1) <=> y = 4-2x (1’). (2) <=> y=
3
thế (2’) vào (1) ta
Thế (1’) vào (2) ta có:
(2’). Thay (2’ vào (1)
có: 3(2y-4)-8y=4
PP thế
10x+5(4-2x)=20
12  4 x
<=>-2y=16<=>y=-8
ta có: -4x-3.
=6
...<=>0x=0
3
Thay vào (2’) ta có

(vô số nghiệm)
..<=>0x =18 (vn)
x=-20.

8


 3 x  8 y 4

  x  2 y 4

PP cộng
đại số

 3 x  8 y 4

  4 x  8 y 16
  x 20

  x  2 y 4
 x  20

 20  2 y 4
 x  20

 y  8

Vậy hệ phương
trình
có nghiệm duy nhất

(x=-20;y=-8)

KL

  4 x  3 y 6

 4 x  3 y 12
 4 x  3 y 12

 0 x  0 y 18(vl )

 2 x  y 4

10 x  5 y 20
 2 x  y 4

 2 x  y 4
 0 x  0 0

 2 x  y 4

2 x  y 4  y 4  2 x

Vậy hệ phương trình
có vô số nghiệm.
(xR ,y=4-2x)

Vậy hệ phương trình
vô nghiệm


Bài 4 Giải hệ phương trình sau
 (2  3 ) x  3 y 2  5 3 (1)
 4 x  y 4  2 3 (2)

 5 x 3  y 2 2 (1)
a) 
 x 6  y 2 2( 2)

b) 

(1)  y 2 2  5 x 3 (1’).

(2)<=> y = 4-2 3 -4x (2’)
thế (2’) vào (1) ta có:

Thế (1’) vào (2) có:
Phương
pháp thế

Phương
pháp
cộng đại
số

KL

x 6

2 (2 2  5 x 3 ) =2


(2 

3 ) x  3(4  2 3  4 x) 2  5 3

<=> 6x 6 =6 <=> x= 1/ 6
thay vào (1’)
=> y =-1/ 2
...<=>

..<=>

 5 x 6  y 2 4
 6 x 6 6


 x 6  y 2 2
 5 x 3  y 2 2

 (2  3 ) x  3 y 2  5 3

12 x  3 y 12  6 3

 x 1 / 6
... 
 y  1 / 2

 (14  3 ) x 14 

 4 x  y 4  2 3


<=> (14  3 ) x 14  3 x 1
thay vào (2’) => y = -2 3

Vậy hệ phương trình có
nghiệm duy nhất (x= 1/ 6 ;
y = -1/ 2 )

3

 x 1

 y  2 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm
duy nhất (x= 1 ; y = -2 3 )

2.3. Dạng 3: Rèn kỹ năng giải hệ phương trình bằng cách đưa về hệ hai
phương trình bậc nhất hai ẩn
2.3.1. Phương pháp khai triển – thu gọn
Bài 5: Giải các hệ phương trình
 2x  3y 1 3


4
b)  x  y
 5 x  y 2


 2( x  2 y )  3x  y 0
a) 

 3( x  y )  2( x  y ) 6
9


Khai
triển –
thu gọn
PP thế

PP cộng
đại số

KL

 x  y 0(1)
 5 x  y 6(2)

 5 x  15 y  4(1)
 5 x  y 2(2)

<=> 

=> 

(1) <=> y = x (1’) thay (1’)
vào (2) có : 6x =6 <=>
x = 1 thay vào (1’)
=> y = 1
Cộng từng vế của (1) và (2)
=> 6x = 6 => x = 1

thay vào (1) => 1-y = 0
=> y=1
Vậy hệ phương trình có
nghiệm duy nhất
(x = 1; y = 1)

ĐK: x≠y

(2) <=> y = 5x-2 (2’). Thế (2’) vào (1)
có 5x+15(5x-2)= -4 <=> 80x = 26
<=> x = 13/40 thay vào (2’)
=> y = -3/8
Trừ từng vế của (1) và (2)
=> 16y = -6
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy
nhất (x = 13/40; y = -3/8)

2.3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ
Bài 6: Giải hệ phương trình
2 3
 x  y 5

a) 
 2  1 1
 x y

2
� 6
�x  2 y  x  2 y  3
�

b) �
� 3  4  1
�
�x  2 y x  2 y

�
� x  3  2 y 1  2
c) �
�2 x  3  y  1  4

* Sơ lược cách giải
1

1

a) Đặt x u; y v
ĐK:uv≠0.
 2u  3v 5
Hệ thành: 
.
 2u  v 1

Giải hệ pt này ta được
(u=1, v=-1) - thoả mãn
ĐK => (x= 1; y = -1).
Vậy hệ pt có nghiệm duy
nhất (x=1;y=-1)

b) Đặt


c) Đặt

1
1
u;
v
x  2y
x  2y

ĐK: uv≠0.
 6u  2v 3
Hệ thành: 
.
 3u  4v  1

Giải hệ ta được
7
9

(u  ;v 

5
) thoả ĐK
6

7

 x  2 y  9
Suy ra 
 x  2y  5


6

Giải hệ trên ta được
(x 

1
 29
;y 
)
36
72

Vậy hệ phương trình có
10

x  3 u; y  1 v .

ĐK: u,v≥0.
 u  2v 2
.
 2u  v 4

Hệ pt thành: 

Giải hệ pt ta được
(u=2;v=0)-thoả mãn ĐK.
 x  3 2

Suy ra 


 y  1 0

.

Giải hệ trên ta có
(x=1;y=-1)
Vậy hệ phương trình có
nghiệm duy nhất
(x=1;y=-1)


nghiệm duy nhất.
(x 

1
 29
;y 
)
36
72

2.4. Dạng 4: Hệ phương trình chứa tham số
Loại 1, Loại 2: Đã có trong bài giảng minh họa
Loại 3: Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình
Bài 7. Giải và biện luận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau theo tham số
m
 2 x  my 1(1)
 mx  2 y 1(2)


 mx  4y 10 - m(1)
 x  my 4(2)

a) 

b) 

* Sơ lược cách giải
a) Ta có (1) <=> x=

1  my
(1’)
2

Thay (1’) vào (2) ta có:
1  my
 2 y 1 m  m 2 y  4 y 2
2
(4  m 2 ) y 2  m
(2  m)(2  m) y 2  m(3)
m

*) Nếu m=2,
pt(3) thành 0y = 0 (vô số nghiệm)
=> Hệ phương trình vô số nghiệm
(x=

1 2y
;yR)
2


*) Nếu m =-2, pt (3) thành 0y = 4(vô
nghiệm)
� Hệ phương trình vô nghiệm
*) Nếu m ≠ ±2 thì pt (3) có nghiệm duy
nhất
y=

b) Ta có (2) <=> x = 4-my (2’)
Thay (2’) vào (1) ta có:
m(4-my)+4y=10-m
<=> (4-m2)y=10-5m (3)
*) Nếu m =2,
pt (3) thành : 0y = 0 (vô số nghiệm)
=> Hệ pt vô số nghiệm: (x=4-my;
yR)
*) Nếu m = -2,
pt(3) thành: 0y = 20 (vô nghiệm)
=> Hệ pt vô nghiệm
*) Nếu m ≠ ±2 thì pt (3) có nghiệm duy
5
. Thay vào (2’) có
2m
8 m
x=
2m

nhất y =

1

1
thay vào (1’) ta có x =
.
2m
2m

11


Vậy
*) Nếu m=2, thì hệ phương trình có vô
số nghiệm. Nghiệm TQ: (x=

1 2y
;yR
2

)
*) Nếu m =-2, hệ phương trình vô
nghiệm
*) Nếu m ≠ ±2 thì hệ phương trình có

Vậy
*) Nếu m=2, thì hệ phương trình có vô
số nghiệm.
Nghiệm TQ: (x=4-my; yR)
*) Nếu m =-2, hệ phương trình vô
nghiệm
*) Nếu m ≠ ±2, hệ phương trình có
nghiệm duy nhất


1
1
,y=
.)
2m
2m

nghiệm duy nhất (x=

(x=

8 m
5
,y =
)
2m
2m

(Cần lưu ý, sử dụng phương pháp cộng đại số để giải quyết bài toán trên, bắt buộc
phải nhân hai vế của một trong hai phương trình với m nên vẫn có thể mắc thiếu sót
nếu như không phân trường hợp m=0 hay m≠0.)
Loại 4: Một số bài toán về điều kiện nghiệm của hệ hai phương trình bậc
nhất hai ẩn
Thường là gặp những bài toán này, học sinh phải thực hiện được 3 bước cơ
bản sau đây:
- Hệ phương trình có nghiệm khi nào?
- Khi ấy nghiệm là gì?
- Điều kiện nghiệm cần thoả mãn mà bài toán đặt ra?
 x  my 2

. Tìm m để hệ có nghiệm (x, y) duy nhất
 mx  2 y 1

Bài 8: Cho hệ phương trình: 
thoả mãn (x>0;y<0).
Hướng dẫn giải:

 x  my 2(1)
.
 mx  2 y 1(2)

Xét hệ phương trình 

*) Từ (1) <=> x = 2-my (1’), thay vào (2) ta có: m (2-my)-2y=1
=> (m2+2)y = 2m-1 (3).
Do m2+2> 0 m => (3) luôn có nghiệm duy nhất
� hệ luôn có nghiệm (x,y) duy nhất.
2m  1
1
m4
, thay vào (1’) ta có  4  m  x = 2
2
2
m 2
m 2
 m4
m   4
 m 2  2  0
m  4  0
1




*) Để (x>0;y<0) thì : 
1  4  m 
2
 2m  1  0
 2m  1  0
 m  2
2
 m  2
1
Vậy với  4  m  thì hệ phương trình có nghiệm (x;y) duy nhất thoả mãn
2

*) Khi đó y =

(x>0;y<0).
12


 mx  2my m  1
. Tìm m để hệ có nghiệm (x, y) duy
 x  (m  1) y 2

Bài 9: Cho hệ phương trình: 

nhất thoả mãn điểm M(x;y) nằm trong góc phần tư thứ nhất.
Hướng dẫn giải:
 mx  2my m  1(1)

.
 x  (m  1) y 2(2)

Xét hệ phương trình 

*) Từ (2) <=> x = 2 – (m+1)y (2’)
Thay (2’) vào (1) ta có m[2-(m+1)y]+2my=m+1 <=> m(m-1)y=m-1(3)
Hệ có nghiệm duy nhất <=> pt(3) có nghiệm duy nhất <=> m≠0 và m≠1. (*)
*) Khi đó, (3) => y =

1
m 1
thay vào (2’) ta có x =
m
m

*) Điểm M(x;y) nằm trong góc phần tư thứ nhất khi và chỉ khi (x>0, y>0)
m 1
 m  0
m  1 0
m 1


m  1
<=> 
m  0
m  0
 1 0
 m


Vậy với m>1 thì hệ phương trình có nghiệm (x;y) duy nhất thoả mãn điều kiện điểm
M (x;y) nằm trong góc phần tư thứ nhất.
 mx  y 2
có nghiệm
 3 x  my 5

Bài 10 : Tìm giá trị của tham số m để cho hệ phương trình 
m2
duy nhất (x;y) thoả mãn hệ thức x+y=1- 2
m 3

Hướng dẫn giải:
 mx  y 2(1)
 3x  my 5(2)

Xét hệ phương trình 

*) Từ (1) <=> y = mx-2 (1’). Thay (1’) vào (2) ta có:
3x+m(mx-2)=5 <=> (m2+3)x=2m+5 (3) – Luôn có nghiệm duy nhất (do m 2+3>0)
nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất m.
2m  5
5m  6
thay vào (1’) ta có y = 2 .
2
m 3
m 3
2
2
2 m  5 5m  6
4

m
m
*) Để x+y=1- 2
thì 2
+ 2
=1- 2
<=> m = .
7
m 3 m 3
m 3
m 3

*) Khi đó (3) => x=

Vậy với m =

4
m2
thì hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thoả mãn hệ thức x+y=1- 2
7
m 3

 ( a  1) x  y a  1
 x  ( a  1) y 2

Bài 11: Cho hệ phương trình 

a) Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình theo tham số a.
b) Khi hệ có nghiệm (x;y) duy nhất, lập hệ thức liên hệ giữa x và y độc lập với a. Từ
đó chứng tỏ M(x;y) nằm trên đường thẳng cố định.

c) Tìm giá trị nguyên của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x, y nguyên.
13


d) Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm (x;y) duy nhất thoả mãn điều kiện x+y nhỏ
nhất.
Hướng dẫn giải
(a  1) x  y  a  1(1)
�
�x  ( a  1) y  2 (2)

Xét hệ phương trình �

a) Từ (1) => y= (a+1).x- (a +1). Thay vào (2) ta có: a2. x = a2+1 (3)
+) a ≠ 0 hệ có nghiệm duy nhất (x=

a 2 1
a 2 1
;y=
).
a2
a2

+) a = 0 hệ phương trình vô nghiệm.
b) Theo câu a, khi a ≠ 0 hệ có nghiệm duy nhất (x=

a 2 1
a 2 1
;
y=

)
a2
a2

=> x- y = 0 hay y =x (hệ thức độc lập với a)
=> Khi hệ có nghiệm (x; y) duy nhất thì điểm M(x; y) nằm trên đường thẳng y =x
(cố định). ĐPCM
c) Theo câu a, khi a ≠ 0 hệ có nghiệm duy nhất (x=

a 2 1
a 2 1
;
y=
).
a2
a2

Khi đó nếu a nguyên, để x, y nguyên thì a2+1 chia hết cho a2
=> 1 chia hết cho a2 => a2 = 1 => a = ±1 (thoả mãn a≠0).
Vậy: a = ±1 thì hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x, y nguyên.
d) Theo câu a, khi a ≠ 0 hệ có nghiệm duy nhất (x=

a 2 1
a 2 1
;
y=
).
a2
a2


a2  a  2
1 2
1 1
7 7
1   2 2(  ) 2  
Khi đó x  y 
2
a a
a 4
8 8
a

Dấu “=” xảy ra khi ... a = - 4 (thoả mãn a ≠ 0)
=> Min(x+y) =

14

7
khi a = - 4
8


C. BÀI GIẢNG MINH HỌA
I. Hoạt động khởi động:
1. Mục đích
- Tạo sự tò mò gây hứng thú cho học sinh
- Hình dung được những đối tượng sẽ nghiên cứu áp dụng các dạng toán về hệ
phương trình.
2. Nội dung
- Giáo viên kiểm tra các kiến thức cơ bản về hệ phương trình.

3. Cách thức
GV: Chiếu câu hỏi HS quan sát và trả lời câu hỏi
GV: Hỏi HS, đưa ra bảng kiến thức về hệ phương trình
HS nêu câu trả lời.
2x -y = -m
�
vô nghiệm khi?
-4x + 2y = 4
�

Câu hỏi 1: Hệ phương trình �
A. m � 2

B. m � -1

C. m � 1

D. m � -2
y = mx+3
�
y = (2m -1)x+4
�

Câu hỏi 2: Với giá trị nào của m thì hệ phương trình �
Có ít nhất một nghiệm?
A. Mọi m

B. Mọi m � 0

C. Mọi m �1

2mx + y = 1
�
x + y = 2m
�

Câu hỏi 3: Tìm m để hệ phương trình �

1
2
ax + by = c
�
Câu hỏi 4: Cho hệ phương trình �
a'x + b'y = c'
�

A. m = -

3
2

B. m =

1
2

1
2

D. Mọi m �


vô số nghiệm ?

C. m = -

D. Một giá trị khác
(I)

Trong đó: a, b, c, a’, b’, c’  R: a, b; a’, b’ không đồng thời bằng 0
Em hãy nối cột A với cột B để được khẳng định đúng
Cột A
a) Hệ (I) vô nghiệm khi ?
b) Hệ (I) vô số nghiệm khi ?
c) Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi ?

KQ
a�2
b�1
c�4

15

Cột B

a b c
 
a' b' c'
a b c
 �
2)
a' b' c'

a c
�
3)
a' c'
a b
�
4)
a' b'
1)


II. Hoạt động luyện tập:
LUYỆN TẬP
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
Đặt vấn đề: Trong chương trình toán lớp 9, đặc biệt trong các đề thi vào
THPT rất hay gặp loại toán về hệ phương trình chứa tham số . Bài học hôm nay sẽ
nêu phương pháp và cách giải cụ thể với một số loại toán của hệ phương trình chứa
tham số.
1. Mục tiêu
- Thành thạo việc giải hệ phương trình với giá trị của tham số cho trước
- Xác định giá trị nguyên của tham số để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm
nguyên
- Xác định giá trị của tham số để phương trình và hệ phương trình có nghiệm
cho trước.
- Xác định giá trị của tham số để hệ phương trình thỏa mãn các điều kiện về
nghiệm
2. Nội dung cụ thể
Bài toán mở đầu
Cho hệ phương trình:
a. Giải hệ phương trình với m = 5

b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x,y) thoả mãn x = 3y + 1
Hướng dẫn:
a. Giải hệ phương trình với m = 5.
Cách 1:
Với m = 5 ta có hệ:

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là:

Cách 2:

16


Thay m = 5 ta có:

Vậy với m = 5 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:
b. Hệ phương trình có nghiệm (x, y) thoả mãn:
x = 3y + 1  m = 3(m + 1) +1  m = 3m + 4  m = - 2
Vậy với m = -2 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm (x, y)
thoả mãn x = 3y + 1.
Khai thác thêm bài toán trên:
* Sau khi đã tìm được x, y theo m bằng vốn kiến thức đã có các em có thể
giải các loại bài tập sau:
Loại 1: Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm (x,y) thoả
mãn một trong các điều kiện ( K) sau:
ax + by = c; ax + by > c; ax + by < c; xy < 0; xy > 0; x 2 +2.y đạt giá trị nhỏ
nhất; x,y là các số nguyên;

;


….

* Phương pháp giải:
Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x, y) theo tham số m.
Bước 2: Thay nghiệm (x, y) vừa tìm được vào biểu thức điều kiện K.
Bước 3: Giải điều kiện K tìm m.
Bước 4: Trả lời yêu cầu bài toán.
Ví dụ 1: Tìm m để hệ phương trình (I) có nghiệm (x, y) sao cho
2
K = x + 2.y có giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ nhất đó ?
HD Giải:
Theo bài toán mở đầu ta có x = m, y = m + 1 vậy:
K = x2 + 2y = m2 + 2(m+1) = m2 + 2m + 2 = (m+1)2 + 1 ≥ 1
Vậy Knhỏ nhât = 1 khi m = -1.
�mx  y  m  1 (1)
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình : �
�x  my  3m (2)
a) Giải hệ phương trình với m = 2
b) Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên
HD Giải:
a) Với m = 2 thì hệ phương trình



�2 x  y  5
�2 x  y  5
��
�
�x  2 y  6
�2 x  4 y  12

17


� 7
y
�
3y  7
�
� 3
��
��
�x  2 y  6
�x  4
� 3

 hệ có nghiệm (x, y) = (

7 4
, )
3 3

b) Từ (2) suy ra: x = 3m – my, thay vào (1) ta được:
m(3m – my) + y = 2m+1 � (m2 – 1) y = 3m2 – 2m – 1

(3)
Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) phải có nghiệm
duy nhất � m2-1 ≠ 0 � m ≠ ±1
Khi đó nghiệm của hệ phương trình là:

�

2m 2 2
�x 
m
1
m1
�
�
�
3m1 3  2
�y 
m1
m1
�

 m  1 � m  1�Ư(2)
Để hệ có nghiệm nguyên thì 2M
� m + 1 = {-2; -1; 1; 2} � m = {-3; -2; 0; 1} vì m ≠ ±1 � m = {-3; -2; 0}
Vậy với m = {-3; -2; 0; 1} thì hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên
Loại 2: Tìm mối liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số m
* Phương pháp giải
Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x, y) theo tham số m.
Bước 2: Bằng cách áp dụng qui tắc cộng đại số hoặc qui tắc thế ta làm mất
tham số m
Bước 3: Trả lời yêu cầu bài toán
�x  y  2m  1
(I)
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình: �
�2 x  y  m  1
Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x, y không phụ thuộc vào m.
HD Giải:

�x  m
� x  y  1
Theo bài toán mở đầu, ta có: �
�y  m  1
Vậy x  y  1 là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x, y không phụ thuộc vào
m.
Chú ý: Nếu biểu thức liên hệ giữa x và y có bậc là 1 thì bài toán trở thành
“ Chứng minh rằng hệ phương trình luôn có nghiệm nằm trên một đường thẳng cố
định”.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng hệ phương trình :
luôn có nghiệm nằm trên một đường thẳng cố định.
HD Giải: Ta có :

� x- y = -1

Vậy hệ phương trình (I) luôn có nghiệm nằm trên đường thẳng cố định x - y = - 1
18


�x  my  1
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình: �
�mx  y  m

(1)
(với m là tham số)
(2)

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m hệ phương trình đã cho luôn có nghiêm
duy nhất.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào giá trị của m.

HD Giải
a) Để hệ có nghiệm duy nhất thì:
1 m
�
m2� 1 m2 1 0 (Luôn đúng với mọi m)
m 1 ۹�
Vậy với mọi m hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất.
1 x
1 x
1 x
.xy
b) Từ (1) � my  1  x � m  y thay vào (2), ta được :
y
y
�  1  x  x  y 2  x  1 � x  x 2  y 2  x  1 � x 2  y2  1
Vậy biểu thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m là: x 2  y2  1
3. Hộp quà may mắn:
Luật chơi: Có 3 hộp quà khác nhau, trong mỗi hộp quà chứa một câu hỏi và
một phần quà hấp dẫn. Nếu trả lời đúng câu hỏi thì món quà sẽ hiện ra. Nếu trả lời
sai thì món quà không hiện ra. Thời gian suy nghĩ cho mỗi câu là 10 giây
* Hộp quà màu vàng
Khẳng định sau đúng hay sai ?
�2 x  y  1
�4 x  2 y  2

Hệ sau có một nghiệm : �

a) Đúng

b) Sai


* Hộp quà màu xanh
( Đề thi vào THPT Vĩnh Phúc năm 2018-2019 )
�x  y  1
Số nghiệm của hệ phương trình: �
là ?
3x  2 y  4
�
A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số

* Hộp quà màu Tím
�x  2 y  1
có vô số nghiệm ?
3x  6 y  3
�

Hệ phương trình �

19

a) Đúng

b) Sai



D. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế và cộng đại số:
Bài 1
2 x  3 y  2
�
3 x  2 y  3
�

a) �

�x  6 y  17
5 x  y  23
�

d) �

�4 x  3 y  6
�2 x  y  0

9x  8 y  6
�
�2 x  y  2

b) �

c) �

7 x  4 y  74
�

�3 x  2 y  32

� x  3y  6
2 x  6 y  12
�

e) �

f) �

Bài 2
�x y
�  20
a) �3 4
�
�5 x  y  11

1
�a b
�  
3
b) �3 3
�
4
a

5
b

10

�

�x y
� 
c) � 2 3
�
�x  y  10

Bài 3
�
�x 2  y 3  1

a) �

�x  y 3  2
�
�x 2  y 3  1

d) �

�x  y 3  2

�
( 2  1) x  y  2
�

b) �

�x  ( 2  1) y  1


�
�x 5  (1  3) y  1

e) �

(1  3) x  y 5  1
�

�
�x 2  3 y  1

c) �

2 x  y 2  2
�

�
5x 3  y  2 2
�

f) �

�x 6  y 2  2

Bài 4
6( x  y )  8  2 x  3 y
�
5( y  x)  5  3 x  2 y
�


a) �

�( x  1)( y  2)  ( x  1)( y  3)
( x  5)( y  4)  ( x  4)( y  1)
�

b) �

�( x  2)( y  1)  xy
( x  8)( y  2)  xy
�

c) �

2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
Bài 5
�1 1
�x  y  1
�
a) �
�3  4  5
�
�x y

�6 5
�x  y  3
�
b) �
�9  10  1
�

�x y

�1 1 1
�x  y  4
�
c) �
10 1
�
 1
�
�x y

�1 1 1
�x  y  24
�
d) �
� 23
�
� x y

1
�1
�x  2  y  1  2
�
e) �
� 2  3 1
�
�x  2 y  1

5

� 4
�x  3  y  1  2
�
f) �
� 5  1  29
�
�x  3 y  1 20

1
�8
�x  y  12  1
�
g) �
�1  5  3
�
�x y  12

� 4
�2 x  1 
�
h) �
� 3 
�
�2 x  1

�
7 x 2  13 y  39
j) � 2
�5 x  11y  33


�2 x 2  3 y 2  36
k) � 2
3x  7 y 2  37
�

�
�3 x  y  5

m) �

2 x  3 y  18
�

9
 1
y 1
2
13

y 1 6

 x  2  2 y  1 9
 2 x  2  y  1  2

n) 

20

1
�1

�x  1  y  2  2
�
i) �
� 2  3 1
�
�y  2 x  1

�
3x 2  y 2  5
l) � 2
2
�x  3 y  1
4
5
� 7


� x7
y6 3
�
o) �
� 5  3 21
�
6
y6
� x7


Bài 6
y

� 2x
�x  1  y  1  2
�
a) �
� x  3 y  1
�
�x  1 y  1

5
� 4
�2 x  3 y  3 x  y  2
�
b) �
� 3  5
 21
�
�3 x  y 2 x  3 y

5
9
� 7
�x  y  2  x  y  1  2
�
c) �
2
� 3

4
�
�x  y  2 x  y  1


x
�x
�y  y  12  1
�
d) �
� x  x 2
�
�y  12 y

6
� 3
�2 x  y  x  y  1
�
e) �
� 1  1 0
�
�2 x  y x  y

5
5
� 4
� x  y 1  2 x  y  3  2
�
f) �
1
7
� 3



�
�x  y  1  2 x  y  3 5

xy
5
�x  y
� xy  x  y  2
�
g) �
�x  y  xy  10
�
x y 3
� xy

1
�2 x
�y  1  x  y  1
�
h) �
�2 y  5 x  2
�
�x  1 y  1

4. Một số bài tập về hệ phương trình chứa tham số

Bài 1: Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình với m = -1.
b) Chứng tỏ rằng với m ≠ 1 hệ luôn có nghiệm duy nhất nằm trên đường thẳng cố
định.
Bài 2: Cho hệ phương trình

a) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm ( x,y) thoả mãn x > 0 và y < 0.
b) Tìm giá trị lớn nhất cảu biểu thức S = 2x - y với (x,y) là nghiệm của hệ phương
trình đã cho.
Bài 3: Cho hệ phương trình:
Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) sao cho H = x - y + 1 có giá trị nhỏ nhất.
Bài 4 : Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

Bài 5: Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình khi m = -2
b) Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm nguyên duy nhất.

21


Bài 6: Cho hệ phương trình :
a)Chứng minh rằng hệ luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi a.
b)Tìm a để hệ có nghiệm (x,y) sao cho x<1 ; y<1.
Bài 7: Cho hệ phương trình :
Xác định m nguyên để hệ sau có nghiệm duy nhất (x;y) và x; y nguyên.
Bài 8: Cho hệ phương trình :
Xác định m để hệ có nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 0.
Bài 9: Cho hệ phương trình:
a) Giải và biện luận hệ phương trình.
b) Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất. Hãy tìm m để x + y > 1.
Bài 10: Cho hệ phương trình :
a) Giải hệ phương trình khi m =
b) Xác định giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn điều kiện x > y
Bài 11: Cho hệ phương trình :
Trong đó m


Z; m ≠ 1. Xác định m để hệ phương trình có nghiệm nguyên.

Bài 12: Cho hệ phương trình:
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m.
b) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm (x; y) là số nguyên.
c) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm dương duy nhất.
Bài 13: Cho hệ phương trình:
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m.
b) Trong trường hợp có nghiệm duy nhất, tìm các giá trị của m để tích xy nhỏ nhất.

22


Bài 14: Cho hệ phương trình:
a) Biểu thị x và y theo z.
b) Tìm GTNN và GTLN của thức A = x + y – z.
Bài 15: Tìm các số nguyên a, b, c thỏa mãn hệ phương trình:

Bài 16: Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình với a = 2
b) Tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất.
Bài 17: Cho hệ phương trình:
Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà
S=

đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 18: Cho hệ phương trình:
a) Chứng minh rằng nếu hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thì điểm M (x; y) luôn thuộc
một đường thẳng khi m thay đổi.

b) Xác định m để điểm M thuộc góc phần tư thứ nhất.
Bài 19: Cho hệ phương trình:
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m.
b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên.
c) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x; y), điểm M (x, y) luôn luôn chạy
trên một đường thẳng cố định.
Bài 20: Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình khi a = 2.
b) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất.
Bài 21: Cho hệ phương trình:
a) Xác định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Xác định m để hệ phương trình có nghiệm nguyên.
23


c) Chứng tỏ rằng điểm M(x, y) với (x,y) là nghiệm của hệ phương trình đã cho luôn
luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
d) Tìm giá trị của m để biểu thức P =xy có giá trị lớn nhất với (x, y) là nghiệm của
hệ phương trình. Tìm GTLN đó.
Bài 22: Cho hệ phương trình:
Tìm giá trị của a

sao cho hệ có nghiệm (x, y) với x, y là số nguyên.

Bài 23: Cho hệ phương trình với tham số a:
a) Giải hệ phương trình với a = 2
b) Giải và biện luận hệ phương trình.
c) Tìm các giá trị nguyên của a để hệ phương trình có nghiệm nguyên.
d) Tìm các giá trị nguyên của a để nghiệm của hệ phương trinhfthoar mãn điều kiện
x + y nhỏ nhất.

Bài 24: Cho hệ phương trình với tham số m :
a) Giải hệ phương trình với m =3
b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
c) Tìm các giá trị nguyên của m để nghiệm của phương trình là số nguyên.
Bài 25: Tìm các số nguyên a, b, c thỏa mãn cả hai phương trình:
2a + 3b = 6 và 3a + 4c = 1
Bài 26: Cho hệ phương trình với tham số a:
Tìm các giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm (x, y) thỏa mãn điều kiện:
S = x + y đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 27: Cho hệ phương trình với tham số m:
a) Giải hệ phương trình với m = 2.
b) Tính các giá trị của x,y theo m và từ đó tìm giá trị của m để S = x + y đạt GTLN.
Bài 28: Cho hệ phương trình với tham số m:
a) Giải hệ phương trình vớ m = 6.
b) Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm (x, y) thỏa mãn x = 3y.
c) Tìm các giá trị của m để hệ có nghiệm (x, y) thỏa mãn x.y = 0.
24


Bài 29: Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình khi m = 1.
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm.
Bài 30: Cho hệ phương trình với tham số m:
a) Giải hệ phương trình khi m = -1
b) Tìm giá trị của m để hệ có nghiệm (x, y) sao cho biểu thức S = x – y + 1 đạt
GTNN.
Bài 31: Cho hệ phương trình với tham số m:
a) Giải hệ phương trình với m = 1.
b) Tìm các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm (x, y) thỏa mãn là số nguyên.


Bài 32: Cho hệ phương trình với tham số m:
Gọi nghiệm của phương trình là (x, y).
a) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
b) Tìm giá trị của m thỏa mãn
c) Tìm các giá trị của m để biểu thức

nhận giá trị nguyên.

Bài 3: Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình với a =
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y > 0
Bài 34: Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình khi a = -2
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x – y = 1
Bài 35: Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình khi a = 5
25


b) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm.
c) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y < 0
d) Tìm a để hệ có nghiệm x =
Bài 36: Cho hệ phương trình với tham số m:
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa nghiệm x, y không phụ thuộc vào m.
c) Khi hệ có nghiệm duy nhất, tìm m nguyên để hệ có nghiệm nguyên.
Bài 37: Cho hệ phương trình với tham số m:
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa nghiệm x, y không phụ thuộc vào m.
Bài 38: Cho hệ phương trình với tham số m :

a) Giải hệ phương trình với m = 6
b) Tìm m để hệ có nghiệm (x, y) thỏa mãn x = 3y.
Bài 39: Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình khi a = 2.
b) Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm.
Bài 40: Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình khi m =
b) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x + y > 0.
Bài 41: Với giá trị nào của a, hệ phương trình có một nghiệm số nguyên:

Bài 42: Cho hệ phương trình:
a) Giải hệ phương trình với m = 2
b) Với giá trị nào của a thì hệ vô nghiệm, hệ vô số nghiệm.

26