ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
----------------



---------------

HOÀNG THỊ VẦN

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH GIẢI BÀI
TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG TÁCH TRONG
KHÔNG GIAN HILBERT
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số
:8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. TS. Trương Minh Tuyên
2. TS. Phạm Hồng Trường

THÁI NGUYÊN - 2020


ii

Lới cÊm ỡn
TĂc giÊ xin gòi lới cÊm ỡn sƠu sc tợi TS. Trữỡng Minh Tuyản ngữới thy Â
luổn tn tnh hữợng dÔn, ch bÊo v giúp ù tĂc giÊ trong quĂ trnh hồc tp v

ho n thiằn lun vôn.
ỗng thới, tĂc giÊ cụng xin gòi lới cÊm ỡn n cĂc thy, cổ trong khoa ToĂn Tin,
trữớng i hồc Khoa hồc, i hồc ThĂi Nguyản  giúp ù, to iu kiằn cho tĂc giÊ trong
sut quĂ trnh hồc tp v nghiản cứu ti Trữớng.
Cui cũng tĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn tợi ngữới thƠn trong gia nh, bn b
v ỗng nghiằp  luổn ng viản to iu kiằn giúp ù tổi v mồi mt trong sut
quĂ trnh hồc tp v vit lun vôn n y.


iii

Möc löc
Líi c£m ìn
Mºt sŁ kþ hi»u v vi‚t t›t

ii
iv

Mð ƒu

1

Ch÷ìng 1 Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà

3

1.1. Mºt sŁ °c tr÷ng cıa khæng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . .

3


1.2. nh x⁄ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert . . . . . . . . . . . .

11

1.2.1. nh x⁄ khæng gi¢n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.2. Ph÷ìng ph¡p chi‚u lai gh†p . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.3. Ph÷ìng ph¡p chi‚u thu hµp . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3. To¡n tß ìn i»u trong khæng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . .

16

Ch÷ìng 2 Hai ph÷ìng ph¡p chi‚u gi£i b i to¡n i”m b§t ºng chung
t¡ch

21

2.1. Ph¡t bi”u b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2. Ph÷ìng ph¡p chi‚u lai gh†p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


23

2.3. Ph÷ìng ph¡p chi‚u thu hµp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.4. Ùng döng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.4.1. B i to¡n (MSCFPP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.4.2. B i to¡n (MSCNPP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

K‚t lu“n

T i li»u tham kh£o

34

35


iv


Mt s kỵ hiằu v vit tt

h:; :i

tch vổ hữợng trản khổng gian Hilbert H

k:k

chu'n trản khổng gian Hilbert H

[

php hổp

\

php giao

R+

tp cĂc s thỹc khổng Ơm

G(A)

ỗ th ca toĂn tò A

D(A)

min xĂc


R(A)

min Ênh ca toĂn tò A

A1

toĂn tò ngữổc ca toĂn tò A

I

toĂn tò

;

tp rỉng

8x

vợi mồi x

xn !
xn * x0

x0

nh ca toĂn tò A

ỗng nhĐt

dÂy fxng hi tử mnh v x0

dÂy fxng hi tử yu v x0


1

M

u

Cho C v Q l cĂc tp con lỗi, õng v khĂc rỉng ca cĂc khổng gian Hilbert H 1
v H2, tữỡng ứng. Cho T : H1 ! H2 l mt toĂn tò tuyn tnh b chn. B i toĂn chĐp
nhn tĂch (SFP-Split Feasibility Problem) cõ dng nhữ sau:
1

(0.1)

Tm mt phn tò x 2 C \ T (Q):

Mt dng tng quĂt ca B i toĂn (0.1) l b i toĂn chĐp nhn tĂch a tp (MSSFPMultiple sets Split Feasibility Problem), b i toĂn n y ữổc phĂt biu nhữ sau: Cho
Ci, i = 1; 2; :::; N v Q j, j = 1; 2; :::; M l cĂc tp con lỗi v õng ca H 1 v H2 tữỡng
ứng.
Tm mt phn tò x

2\

N

Ci\

i=1


T

(
\

1

M

Q

)=

j=1 j

:

(0.2)

6;

Mổ hnh b i toĂn (SFP) ln u tiản ữổc giợi thiằu v nghiản cứu bi Y.
Censor v T. Elfving [5] cho mổ hnh cĂc b i toĂn ngữổc. B i toĂn n y õng vai
trặ quan trồng trong khổi phửc hnh Ênh trong Y hồc, iu khin cữớng x tr
trong iu tr bằnh ung thữ, khổi phửc tn hiằu (xem [3], [4]) hay cõ th Ăp
dửng cho viằc giÊi cĂc b i toĂn cƠn bng trong kinh t, lỵ thuyt trặ chỡi.
B i toĂn chĐp nhn tĂch (0.1) l mt trữớng hổp c biằt ca b i toĂn im bĐt ng
chung tĂch. Dng tng quĂt ca b i toĂn im bĐt ng chung tĂch
ữổc phĂt biu nhữ sau: Cho Ti : H1 !


H1, i = 1; 2; :::; N v Sj : H2 !

j = 1; 2; :::; M l cĂc Ănh x khổng giÂn trản H1 v
N

Tm phn tò x 2 \i =1 Fix(Ti) \ T

1

H2, tữỡng ứng.
M
\j =1 Fix(Sj) 6= ;:

H2,

(0.3)

Thới gian gn Ơy, lợp cĂc B i toĂn (0.3) Â thu hút sỹ quan tƠm nghiản cứu ca
nhiu nh toĂn hồc trong v ngo i nữợc. Nôm 2019, cĂc tĂc giÊ Reich S. v


2

Tuyen T.M. Â ữa ra mt phữỡng phĂp lp mợi dỹa trản phữỡng phĂp chiu lai ghp
(Hybrid projection method) giÊi B i toĂn (0.3) (xem [8, nh lỵ 4.2]).
Mửc ch ca lun vôn n y l trnh b y chứng minh chi tit cho nh lỵ 4.2
trong [8] v trnh b y li mt kt quÊ ca tĂc giÊ Ha M.T.N. v phữỡng phĂp chiu
co hàp [6] xĐp x mt nghiằm ca B i toĂn (0.3) cho trữớng hổp M = N = 1.
Ni dung ca lun vôn


ữổc chia l m hai chữỡng chnh:

Chữỡng 1. Mt s kin thức chu'n b
Trong chữỡng n y, lun vôn cp n mt s c trững cỡ bÊn ca khổng gian
Hilbert, php chiu mảtric, Ănh x khổng giÂn cũng cĂc phữỡng phĂp chiu lai
ghp hay chiu co hàp tm im bĐt ng cho lợp Ănh x n y. Mửc cui cũng ca
chữỡng n y cp n khĂi niằm toĂn tò ỡn iằu v mt s tnh chĐt cỡ bÊn.
Chữỡng 2. Hai phữỡng phĂp chiu giÊi b i toĂn im bĐt ng chung tĂch
Chữỡng n y tĂc giÊ trnh b y chứng minh chi tit cho
v

nh lỵ 4.2 trong [8]

trnh b y li kt quÊ ca tĂc giÊ Ha M.T.H. trong [6]. Ngo i ra, bng cĂch sò

dửng tnh chĐt im bĐt ng ca Ănh x trung bnh hay tnh chĐt ca toĂn tò
giÊi i vợi toĂn tò ỡn iằu, tĂc giÊ cụng ữa ra mt s phữỡng phĂp giÊi B i toĂn (0.3)
v b i toĂn khổng im chung tĂch.


3

Chữỡng 1
Mt s kin thức chu'n b
Chữỡng n y bao gỗm ba mửc chnh. Mửc 1.1 cp n mt s c trững cỡ
bÊn ca khổng gian Hilbert thỹc, Mửc 1.2 giợi thiằu sỡ lữổc mt s kt quÊ v
Ănh x khổng giÂn, cũng vợi cĂc phữỡng phĂp chiu lai ghp v chiu thu hàp tm
im bĐt ng cho lợp Ănh x n y. Mửc 1.3 trnh b y mt s khĂi niằm v tnh chĐt
cỡ bÊn v toĂn tò ỡn iằu trong khổng gian Hilbert. Ni dung ca chữỡng n y phn

lợn ữổc tham khÊo t cĂc t i liằu [1] v [2].

1.1.

Mt s

c trững ca khổng gian Hilbert

Ta luổn giÊ thit H l khổng gian Hilbert thỹc vợi tch vổ hữợng ữổc k
hiằu l h:; :i v chu'n ữổc k hiằu l k:k.
Mằnh

1.1. Trong khổng gian Hilbert thỹc H ta luổn cõ flng thức sau
2

2

2

kx yk + kx zk = ky zk + 2hx y; x zi;
vợi mồi x; y; z 2 H.
Chứng minh. Tht vy, ta cõ
ky

2

zk + 2hx

y; x


zi = hy; yi + hz; zi + 2hx; xi
= [hx; xi 2hx; yi + hy; yi]
+ [hx; xi 2hx; zi + hz; zi]
= kx

2

yk + kx

2

zk :

2hx; zi

2hx; yi


4

Vy ta ữổc iu phÊi chứng minh.

Mằnh 1.2. Cho H l mt khổng gian

Hilbert thỹc. Khi õ, vợi mồi x; y 2 H v mồi 2 [0; 1], ta cõ
)yk2 = kxk2 + (1

k x + (1

)kyk2


(1

)kx

yk2:

(1.1)

Chứng minh. Ta cõ
k x + (1

)yk2 =

2kxk2 +

)hx; yi + (1

2 (1

)2kyk2

= kxk2 + (1

)kyk2

(1

)(kxk2


= kxk2 + (1

)kyk2

(1

)kx

2hx; yi + kyk2)

yk2:

Ta ữổc iu phÊi chứng minh.
Mằnh

1.3. Cho H l mt khổng gian Hilbert thỹc. Khi õ, nu vợi x; y 2 H

thọa mÂn iu kiằn
jhx; yij = kxk:kyk;
tức l bĐt flng thức Schwars xÊy ra dĐu bng th hai vc tỡ x v

y l phử thuc

tuyn tnh.

Chứng minh. GiÊ sò ngữổc li rng x 6= y vợi mồi 2 R. Khi õ, t tnh chĐt ca t
ch vổ hữợng, ta cõ
0 < kx
vợi mồi


2

yk =

2

kyk

2

2

2 hx; yi + kxk ;

2 R. Ta thĐy rng nu y = 0, th hin nhiản x v y l phử thuc tuyn
hx; yi

tnh. GiÊ sò y 6= 0, khi
thức trản tr th nh

õ vợi

= kyk2 , th bĐt

jhx; yij < kxk:kyk;
iu n y mƠu thuÔn vợi giÊ thit. Vy x v y l phử thuc tuyn tnh.
Mằnh ữổc chứng minh.

flng



5

Nhc li rng, dÂy fxng trong khổng gian Hilbert H ữổc gồi l hi tử yu v
phn tò x 2 H, nu
lim hxn; yi = hx; yi;

n!1

vợi mồi y 2 H. T tnh liản tửc ca tch vổ hữợng, suy ra nu x n ! x,2 th xn * x.
Tuy nhiản, iu ngữổc li khổng úng. Chflng hn xt khổng gian l = fxng R :
P1 2
2
jxnj < 1 v feng l , ữổc cho bi
n=1

en = (0; :::; 0;

; 0; :::; 0; :::);

1
v tr thứ n

vợi mồi n 1. Khi õ, en * 0, khi n ! 1. Tht vy, vợi mỉi y 2 H, t bĐt flng thức
Bessel, ta cõ
X

1

n=1


jhen; yij

2

2

kyk < 1:

Suy ra limn!1hen; yi = 0, tức l en * 0. Tuy nhiản, feng khổng hi tử v 0, v
kenk = 1 vợi mồi n 1.
Ta bit rng mồi khổng gian Hilbert H

u thọa mÂn

tnh chĐt n y ữổc th hiằn trong mằnh dữợi Ơy:
Mằnh 1.4. Cho H l mt khổng gian Hilbert thỹc v

iu kiằn ca Opial,
mt dÂy

fxng H l

y 6= x,

bĐt ký thọa mÂn iu kiằn xn * x, khi n ! 1. Khi õ, vợi mồi y 2 H v
ta cõ
k
k
k

k
n
n
n
n
x
x
x
y
:
lim inf
< lim inf
!1

(1.2)

!1

Chứng minh. V xn * x, nản fxng b chn.
Ta cõ
2

kxn

yk = kxn

2

2


xk + kx yk + 2hxn

x; x yi:

V x 6= y, nản
lim inf kx n
n

yk 2 > lim inf( x n
n !1

!1

=

k

lim inf x n
k
n !1

x 2+ 2 x n
k

h
2

xk :

x; x y


)
i


6

Do õ, ta nhn ữổc
n

kx n

xk <

lim inf

n

kx n

lim inf

!1

k:
y

!1

Mằnh ữổc chứng minh.

Mằnh 1.5. Mồi khổng gian Hilbert thỹc H u cõ tnh chĐt Kadec-Klee, tức l
nu fxng H l mt dÂy bĐt ký trong H thọa mÂn cĂc iu kiằn x n * x v kxnk ! kxk,
th xn ! x, khi n ! 1.
Chứng minh. Ta cõ
2

kxn

2

xk = kxnk

2hxn; xi + kxk

2

! 0; n ! 1:
Suy ra xn ! x, khi n ! 1. Mằnh

ữổc chứng minh.

Mằnh 1.6. Cho C l mt tp con lỗi v õng ca khổng gian Hilbert thỹc H. Khi õ,
tỗn ti duy nhĐt phn tò x 2 C sao cho
kx k kxk vợi mồi x 2 C:
inf k xk . Khi õ, tỗn ti

Chứng minh. Tht vy, t d = x

kxnk!


f x ng

C

C sao cho

2

d; n! 1 .

T flng thức hnh bnh h nh, ta cõ
2

kxn

2

xmk = 2(kxnk
2

2

+ kxmk) 4k
2

2

xn + xm
2


k

2

(kxnk + kxmk ) 4d ! 0;
khi n; m

! 1 : Do õ f x ng l dÂy Cauchy trong H. Suy ra tỗn ti x

n!1

= lim x

n2

h m s liản tửc nản kx k = d.
C (do fxng C v C l tp õng). Do chu'n l
Tip theo ta ch ra tnh duy nhĐt. GiÊ sò tỗn ti y 2 C sao cho ky k = d. Ta
cõ
kx

y k 2 = 2( x k 2 + ky k 2) 4k x + y k 2
k

2


7
2


2

2(d + d )

4d

2

= 0:
Suy ra x = y . Vy tỗn ti duy nhĐt mt phn tò x 2 C sao cho kx k = inf x2C kxk:

T Mằnh

1.6, ta cõ mằnh dữợi

Ơy:

Mằnh 1.7. Cho C l mt tp con lỗi v õng ca khổng gian Hilbert thỹc H. Khi õ,
vợi mỉi x 2 H, tỗn ti duy nhĐt phn tò PC x 2 C sao cho
kx

PC (x)k

kx

yk vợi mồi y 2 C:

Chứng minh. V C l tp lỗi, õng v khĂc rỉng nản x C cụng l tp lỗi, õng v khĂc
rỉng. Do õ, theo Mằnh 1.6, tỗn ti duy nhĐt mt phn tò PC 2 C sao cho
kx


PC (x)k

kx

yk vợi mồi y 2 C:

nh nghắa 1.1. Php cho tữỡng ứng mỉi phn tò x 2 H mt phn tò PC x 2 C
xĂc nh nhữ trản ữổc gồi l php chiu mảtric t H lản C.
V dử 1.1. Cho C = fx 2 H : hx; ui = yg, vợi u 6= 0. Khi õ
PC x = x + y h x; ui u:
2

kuk
ak Rg, trong õ a 2 H l mt phn tò cho

V dử 1.2. Cho C = fx 2 H : kx

trữợc v R l mt s dữỡng. Khi õ, ta cõ:
ak R;
8x nu kx
PC x =
>a +
<

>

R

a > R:


(x a) nu
kx a k

:
Mằnh dữợi Ơy cho ta mt iu kiằn cn v
mt php chiu mảtric.

x

k

k

Ănh x PC : H ! C l


8

Mằnh 1.8. Cho C l tp con lỗi, õng v khĂc rỉng ca khổng gian Hilbert H.
Cho PC : H ! C l mt Ănh x. Khi õ, cĂc phĂt biu sau l tữỡng ữỡng:
a)

PC l php chiu mảtric t H lản C;

b) hy

PC xi

PC x; x


0 vợi mồi x 2 H v

y 2 C;

Chứng minh. Tht vy, giÊ sò PC l php chiu mảtric t H lản C, tức l kx
PC xk = infu2C kx
y =

y + (1

uk. Vợi mồi x 2 H, y 2 C v

iu n y tữỡng

PC xk ky

xk:

ữỡng vợi
PC xk2

k (y
= 2ky

T

2 (0; 1), t

)PC x. V C lỗi nản y 2 C v do õ

kx

kx

vợi mồi

õ, ta nhn

PC x) (x PC PC x)k2
PC xk2

xk2 + kx

2 hy

PC x; x

PC xi:

ữổc

2hy

Cho ! 0+, ta ữổc hy

PC x; x

PC xi ky

PC x; x PC xi


PC xk2:

0.

Ngữổc li, giÊ sò b) úng. Vợi mồi x 2 H v mồi y 2 C, ta cõ
2

2

kx PC xk = kx y + y PC xk

= kx yk2 + 2hx y; y PC xi + ky PC xk2
= kx yk2 + 2hx PC x; y PC xi k y PC xk2
kx yk2:
Do õ, kx
T mằnh

PC xk = infu2C kx

uk, hay PC l php chiu mảtric t H lản C.

trản, ta cõ hằ quÊ dữợi

Ơy:

Hằ quÊ 1.1. Cho C l mt tp con lỗi õng ca khổng gian Hilbert H v PC l php
chiu mảtric t H lản C. Khi õ, ta cõ cĂc khflng nh sau:



9

a) vîi måi x; y 2 H, ta câ
kPC x PC yk
b) vîi måi x 2 H v

2

hx

y; PC x PC yi;

y 2 C, ta câ
kx

2

yk

kx

2

PC xk + ky

Chøng minh. a) Vîi måi x; y 2 H, tł M»nh
hx

2


PC xk :

• 1.8, ta câ

PC x; PC y PC xi

0;

hy PC y; PC x PC yi

0:

Cºng hai b§t flng thøc tr¶n ta nh“n

÷æc i•u ph£i chøng minh.

b) Vîi måi x 2 H v y 2 C, tł M»nh

• 1.8, ta câ

hx
Tł

PC x; y PC xi

0:

â, ta câ

kx


2

yk = k(x

2

PC x) (y

PC x)k

2

PC xk

2

PC xk :

= kx

PC xk + ky

kx

PC xk + ky

2

2hx


PC x; y PC xi

2

H» qu£ ÷æc chøng minh.
M»nh • 1.9. Cho C l mºt t“p con lçi, âng cıa khæng gian Hilbert H v x 2= C.
Khi â, tçn t⁄i mºt phƒn tß v 2 H, v 6= 0 sao cho
2

suphv; yi hv; xi k vk :
y2C

Chøng minh. V… x 2= C, n¶n v = x PC x 6= 0. Tł M»nh • 1.8, ta câ
hv; y PC xi

0;


10

vợi mồi y 2 C. Suy ra
hv; y x + x
vợi mồi y 2 C.

iu n y tữỡng

0;

ữỡng vợi

2

hv; yi
vợi mồi y 2 C. Do

PC xi

hv; xi k vk ;

õ
2

suphv; yi hv; xi k vk :
y2C

Mằnh ữổc chứng minh.
Chú ỵ 1.1. Mằnh 1.9 cặn ữổc gồi l nh lỵ tĂch tp lỗi cho trữợc vợi mt im
khổng thuc nõ.

Mằnh 1.10. Nu C l mt tp con lỗi v õng ca khổng gian Hilbert H, th C l
tp õng yu.
Chứng minh. GiÊ sò C khổng l tp õng yu. Khi õ, tỗn ti dÂy fx ng trong C thọa
mÂn xn * x, những x 2= C. V C l tp lỗi v õng, nản theo nh lỵ tĂch cĂc tp lỗi,
2

tỗn ti y 2 H v " > 0 (chflng hn lĐy y = v v " = kvk =2 trong chứng minh ca
Mằnh 1.9) sao cho
hy; zi < hy; xi
vợi mồi z 2 C.


";

c biằt
hy; xni < hy; xi

vợi mồi n. Cho n ! 1, ta nhn

ữổc

hy; xi
iu n y l vổ lỵ. Do

";

õ, C l tp

hy; xi

";

õng yu.

Chú ỵ 1.2. Nu C l tp õng yu trong H th hin nhiản C l tp õng.
T
Mằnh

nh lỵ Banach-Alaoglu, ta cõ mằnh dữợi

Ơy:


1.11. Mồi tp con b chn ca H u l tp compact tữỡng i yu.


11

1.2.

nh x khổng giÂn trong khổng gian Hilbert

1.2.1.

nh x khổng giÂn

nh nghắa 1.2. Cho C l mt tp con lỗi, õng v khĂc rỉng ca khổng gian
Hilbert thỹc H. nh x T : C ! H ữổc gồi l mt Ănh x khổng giÂn, nu vợi mồi x; y
2 C, ta cõ
kT x

T yk

kx

yk:

Ta kỵ hiằu tp im bĐt ng ca Ănh x khổng giÂn T l Fix(T ), tức l Fix(T ) = fx 2
C : T x = xg.
Mằnh dữợi

Ơy cho ta mổ tÊ v tnh chĐt ca tp im bĐt


ng Fix(T ).

Mằnh 1.12. Cho C l mt tp con lỗi, õng v khĂc rỉng ca khổng gian Hilbert
thỹc H v T : C ! H l mt Ănh x khổng giÂn. Khi õ, Fix(T ) l mt tp lỗi v õng
trong H.
Chứng minh. GiÊ sò Fix(T ) 6= ;.
Trữợc ht, ta ch ra Fix(T ) l tp õng. Tht vy, v T l Ănh x khổng giÂn nản
T liản tửc trản C. GiÊ sò fxng l mt dÂy bĐt ký trong Fix(T ) thọa mÂn x n ! x, khi
n ! 1. V fxng Fix(T ), nản
kT xn

vợi mồi n

xnk = 0;

1. T tnh liản tửc ca chu'n, cho n ! 1, ta nhn ữổc kT x

tức l x 2 Fix(T ). Do

õ, Fix(T ) l tp

xk = 0,

õng.

Tip theo, ta ch ra tnh lỗi ca Fix(T ). GiÊ sò x; y 2 Fix(T ), tức l T x = x
v T y = y. Vợi mồi 2 [0; 1], ta ch ra z = x + (1 )y 2 Fix(T ). Tht vy, nu x = y,
th z = x = y 2 Fix(T ). GiÊ sò x 6= y, khi õ ta cõ
kT z xk = kT z


T xk

kx

zk = (1

)kx

kT z yk = kT z

T yk

ky

zk = kx

yk:

yk;


12

T õ, ta nhn ữổc
kx yk kT z xk + kT z yk kx yk:
Suy ra
kx yk = kT z xk + kT z yk;
v
kT z xk = (1
t a = T z x v


)kx yk; kT z yk = kx yk:

(1.3)

b = y T z, th ta nhn ữổc ka + bk = kak + kbk, iu n y

tữỡng ữỡng vợi
ha; bi = kak:kbk:
Theo Mằnh 1.3, tỗn ti 2 R sao cho a = b. V x 6= y, nản 6=
T z l mt t hổp affine ca x v y, tức l
T z = x + (1
vợi =

1

kx
=

)y;

(1.4)

.

1+
T (1.3) v (1.4), ta nhn

Suy ra


1. Suy ra

ữổc

T zk = (1

, tức l T z = z. Do

)kx

yk = (1

)kx

yk:

õ, z 2 Fix(T ). Vy Fix(T ) l mt tp lỗi.

Mằnh ữổc chứng minh.
Chú ỵ 1.3. Ta cõ th chứng minh tnh lỗi ca tp Fix(T ) bng cĂch khĂc nhữ

sau: GiÊ sò Fix(T ) 6= ; v x; y 2 Fix(T ). Vợi 2 [0; 1], t z = x + (1 )y. Khi õ, t
Mằnh 1.2 v tnh khổng giÂn ca T ta cõ
2

kT z zk = k (T z
= kT z

x) + (1


)(T z

2

xk + k(1

)(T z

2

y)k

2

y)k
2

2

(1
2

)kx
2

2

yk

= kT z T xk + (1 )k(T z T y)k (1 )kx yk kz xk + (1 )

2

k(z y)k (1 )kx yk

2


13
2

= k (z x) + (1 )(z y)k = 0:
Suy ra T z = z v do õ z 2 Fix(T ). Vy Fix(T ) l

mt tp lỗi.

Mằnh dữợi Ơy cho ta bit v tnh nòa õng ca Ănh x khổng giÂn T .
Mằnh 1.13 (Nguyản lỵ nòa õng, xem [1]). GiÊ sò T l
mt Ănh x khổng
giÂn t tp con lỗi, õng v

khĂc rỉng C ca khổng gian Hilbert thỹc H v o chnh

nõ. Nu T cõ im bĐt ng, th I

T l nòa õng, tức l nu fxng l

trong C hi tử yu v phn tò x 2 C v

dÂy f(I


T )xng hi tử mnh v phn tò

y, th ta cõ (I T )x = y.
Chứng minh. GiÊ sò x T x 6= y. V xn * x, nản xn y * x
nản t Mằnh 1.4, ta cõ
n
kx n x k
lim inf

n

kx n

mt dÂy

y. Do x y 6= T x,

y Tx k

< lim inf

!1

!1

n

n

k


lim inf(
!1

k

lim inf

x

n

x

n

yk + kT xn

T xn

x

Tx

k

)

k
:


!1

Suy ra mƠu thuÔn. Do

õ, x

T x = y.

c biằt, nu y = 0 th x = T x hay

x 2 Fix(T ).
B ữổc chứng minh.
Sỹ tỗn ti

im bĐt

ng

i vợi lợp Ănh x khổng giÂn trong khổng gian

Hilbert ữổc phĂt biu trong mằnh dữợi

Ơy:

Mằnh 1.14. Cho C l mt tp con lỗi, õng v b chn ca khổng gian Hilbert H.
Cho T : C ! C l mt Ănh x khổng giÂn. Khi õ Fix(T ) 6= ;.
Chứng minh. LĐy x0 2 C v dÂy f ng (0; 1] sao cho n ! 0. XĂc nh dÂy Ănh x fTng
trản C nhữ sau:
Tn(x) =

vợi mồi n

1 v mồi x 2 C.

nx 0

+ (1

n)T (x);


14

Vợi mồi x; y 2 C, ta cõ
kTn(x)Tn(y)k = (1 n)kT (x) T (y)k

(1

n)kx

yk:
1

Suy ra, Tn l Ănh x co vợi hằ s co 1 n. Theo nguyản lỵ Ănh x co Banach tỗn ti
duy nhĐt xn 2 C sao cho Tn(xn) = xn, tức l ,
xn =
T

nx 0


+ (1

n)T (xn):

õ suy ra

kxn
Do õ ta cõ kxn

T (xn)k =

nkx0

T (xn)k

ndiam(C)

! 0:

T (xn)k ! 0.

V C l tp b chn v fxng

C nản dÂy fxng cụng b chn. Do õ theo Mằnh

1.11, tỗn ti mt dÂy con fx nk g fxng sao cho xnk * x khi k ! 1. Do õ, theo
Mằnh 1.13, ta nhn ữổc x 2 Fix(T ).
Mằnh ữổc chứng minh.
Mằnh 1.15. Cho C l
Hilbert H. Cho (Ti)i2I v

Fix(

\

mÂn
P

i

2

I iTi)

=

6

i I Fix(Ti) =
2

;

i I

mt tp con lỗi, õng v khĂc rỉng ca khổng gian
mt hồ cĂc Ănh x khổng giÂn t C v o chnh nõ thọa

. Khi õ vợi mồi

P


2

Fix(Ti).

(0; 1) thọa mÂn

i

i2I

i

= 1 ta u cõ

\2
P

Chứng minh. D thĐy \i2I Fix(Ti) Fix( i2I iTi). BƠy giớ ta s ch ra bao h m thức
ngữổc li. LĐy y 2 \i2I Fix(Ti), vợi mồi i 2 I v mồi x 2 C, t Mằnh (1.1) v tnh
khổng giÂn ca Ti, ta cõ
2

2hTix x; x yi = kTix

2

yk k Tix xk k x yk
2


= kTix Tiyk

2

2

k x yk k Tix xk

2

Tix xk2 :
1

Mồi Ănh x co t khổng gian mảtric

y X v o chnh nõ u cõ duy nhĐt mt

(1.5)
im bĐt

ng.


15
P

BƠy giớ, lĐy bĐt ký x 2 Fix(

0=2


Ti). T (1.5), ta cõ

X

x; x ii
i2I

i2I

Suy ra
i2I

x

i

ihTix

P
tức l ,

i2I

X

k

I

0:


xk = 0 v do õ kTix xk = 0 hay x = Tix vợi mồi i 2 I,

i

i

xk

2

Tx

2\2

2

kTix

Fix(T ).
i

P

Vy Fix( i2I iTi) = \i2I Fix(Ti).
Mằnh ữổc chứng minh.
1.2.2.

Phữỡng phĂp chiu lai ghp


Trong mửc n y chúng tổi cp

n mt phữỡng phĂp chiu lai ghp

im bĐt ng ca Ănh x khổng giÂn. Nôm 2003, Nakajo v
chứng minh nh lỵ dữợi Ơy:
nh lỵ 1.1. Cho H l mt khổng gian Hilbert thỹc v
rỉng ca H. Cho T l

tm

Takahashi [7] Â

C l tp con lỗi, õng, khĂc

mt Ănh x khổng giÂn t C v o chnh nõ vợi Fix(T ) 6= ;.

Vợi x1 2 C bĐt ký, ta xĂc nh dÂy fxng nhữ sau
8yn = nxn + (1 n)T xn;
n

>C = z C : y
> n
>
f 2
k
>
>
>
>

>Q = f z 2 C : x
<

n

>x

n+1

>

>
>

h

=P

\

k k

z; x x ni

z ;
kg

(1.6)

0g ;


n

x1; n 1;

C Q
n

xn

z

n

>
>
>
>

:

trong õ f ng l dÂy s thỹc thọa mÂn iu kiằn n [0; a), vợi a < 1. Khi õ, dÂy fx ng
hi tử mnh v PFix(T )x1, khi n ! 1.


1.2.3.

Ph÷ìng ph¡p chi‚u thu hµp

Trong ti”u möc n y, chóng tæi giîi thi»u mºt sŁ k‚t qu£ cıa Takahashi W.,

Takeuchi Y. v Kubota R. trong t i li»u [10] v• ph÷ìng ph¡p chi‚u thu hµp cho b i
to¡n t…m i”m b§t ºng cıa ¡nh x⁄ khæng gi¢n.


16

nh lỵ 1.2. Cho H l mt khổng gian Hilbert thỹc v C l tp con lỗi, õng, khĂc
rỉng ca H. Cho T l mt Ănh x khổng giÂn t C v o chnh nõ vợi Fix(T ) 6= ; v
x0 2 H. Vợi C1 = C v u1 = PC1 x0, xĂc nh dÂy fung nhữ sau:
8y =
>

nu n

n

>
>
>

<

C

n+1

>
>
>
>


:
trong õ 0

z =P
0

un+1

+ (1

n)T un;

= fz 2 Cn : kyn zk kun zkg;

Cn+1

x ; n 2 N;
0

a < 1 vợi mồi n 2 N. Khi

n

=P

õ, dÂy fung hi tử mnh v

x.


Fix(T ) 0

nh lỵ 1.3. Cho H l
rỉng ca H. Cho T l

mt khổng gian Hilbert thỹc v C l tp con lỗi, õng, khĂc
mt Ănh x khổng giÂn t C v o chnh nõ vợi Fix(T ) 6= ;

v x0 2 H. Vợi C1 = C v u1 = PC1 x0, xĂc nh dÂy fung nhữ sau:
8 yn = nun + (1 n) nun + (1 n)T un ;
>

Cn+1 = z Cn : y n

>
>

f2

k

z

un

k k

kg

z ;


>

<
>

un+1 = PCn+1 x0; n 2 N;

>
>
>

:
trong õ 0 n a < 1 v 0 < b n c < 1 vợi mồi n 2 N. Khi õ, dÂy fu ng hi tử mnh v z0
= PFix(T )x0.

1.3.

ToĂn tò

ỡn

iằu trong khổng gian Hilbert

nh nghắa 1.3. Mt Ănh x a tr A : H !

2

H


ữổc gồi l mt toĂn tò

ỡn

iằu nu
hu v; x

yi

0

(1.7)

vợi mồi x; y 2 H v mồi u 2 A(x); v 2 A(y).
ToĂn tò

ỡn

iằu A ữổc gồi l ỡn
G(A) = f(x; u) 2 H

iằu cỹc i nu

ỗ th

H : u 2 A(x)g

khổng chứa thỹc sỹ trong ỗ th ca bĐt k toĂn tò ỡn

iằu n o khĂc trản H.



17
3

V dử 1.3. ToĂn tò A(x) = x vợi x 2 R l

ỡn

iằu cỹc i trản R.

Tht vy, hin nhiản A l mt toĂn tò ỡn iằu trản R. Ta s ch ra ỗ th ca A
khổng l tp con thỹc sỹ ca bĐt ký mt toĂn tò ỡn iằu n o khĂc trản R. GiÊ sò
tỗn ti mt toĂn tò ỡn iằu B trản R sao cho ỗ th ca B chứa thỹc sỹ ỗ th ca A.
Khi õ, tỗn ti phn tò x0 2 R sao cho (x0; m) 2 G(B), những (x0; m) 2= G(A).
Nhữ vy s xÊy ra hai trữớng hổp hoc A(x0) > m hoc
A(x0) < m.

Trữớng hổp 1: A(x0) > m
GiÊ sò x1 l nghiằm ca phữỡng trnh A(x) = m, tức l A(x1) = m. Khi õ, x1 <
x0. Theo nh lỵ giĂ tr trung bnh, tỗn ti x2 2 (x1; x0) sao cho
n = A(x2) 2 (m; A(x0)). T (x0; m) 2 G(B) v (x2; A(x2)) 2 G(A) G(B), suy ra
(x0

x2)(m A(x2)) 0:

V x0 > x2, nản A(x2) m, iu n y mƠu thuÔn vợi A(x2) 2 (m; A(x0)). Nhữ vy,
khổng th xÊy ra trữớng hổp A(x0) > m. Trữớng hổp 2: A(x0) < m
GiÊ sò x1 l nghiằm ca phữỡng trnh A(x) = m, tức l A(x1) = m. Khi õ, x1 >
x0. Theo nh lỵ giĂ tr trung bnh, tỗn ti x2 2 (x0; x1) sao cho

n = A(x2) 2 (A(x0); m). T (x0; m) 2 G(B) v (x2; A(x2)) 2 G(A) G(B), suy
ra
(x0

x2)(m A(x2)) 0:

V x0 < x2, nản A(x2) m, iu n y mƠu thuÔn vợi A(x2) 2 (A(x0); m). Nhữ vy,
khổng th xÊy ra trữớng hổp A(x0) < m.
Vy khổng tỗn ti toĂn tò ỡn iằu B trản R sao cho ỗ th ca B chứa thỹc sỹ ỗ
th ca A. Do õ, A l mt toĂn tò ỡn iằu cỹc i trản R.
V dử 1.4. ToĂn tò
8

>x3; nu x

A(x) =

<

>0; nu x < 0;

:

0;


18

vợi mồi x 2 R l


ỡn

iằu những khổng ỡn

iằu cỹc i trản R.

Tht vy, rê r ng A l mt toĂn tò ỡn iằu, những ỗ th ca A l tp con thỹc sỹ ca
3

ỗ th ca toĂn tò ỡn iằu B(x) = x vợi mồi x 2 R.
H

Chú ỵ 1.4. ToĂn tò ỡn iằu A : H ! 2 l ỡn iằu cỹc i khi v ch khi R(I + A) = H vợi
mồi > 0, Ơy R(I + A) l min Ênh ca I + A.
T chú ỵ trản ta cõ mt v dử khĂc dữợi

Ơy v toĂn tò

ỡn

iằu cỹc i:

V dử 1.5. Cho T : H ! H l mt Ănh x khổng giÂn, tức l kT x T yk kx yk vợi mồi
x; y 2 H. Khi õ A = I T l mt toĂn tò ỡn iằu cỹc i, Ơy I l Ănh x ỗng nhĐt trản H.
Tht vy, vợi mồi x; y 2 H, ta cõ
hA(x)

A(y); x

yi = kx


2

yk k T x

T yk

suy ra A l mt toĂn tò ỡn iằu.
Tip theo, ta ch ra tnh cỹc i ca A. Vợi mỉi > 0 v

2

0;

mỉi y 2 H, xt

phữỡng trnh
A(x) + x = y:

(1.8)

Phữỡng trnh trản tữỡng ữỡng vợi
x=

1 ( T x + y):

(1.9)

1+
Xt Ănh x f : H ! H bi

1 ( T x + y);
1+
vợi mồi x 2 H. D thĐy, f l Ănh x co vợi hằ s co l
f(x) =

2 (0; 1). Do õ,

1+
theo nguyản lỵ Ănh x co Banach, phữỡng trnh (1.9) cõ duy nhĐt nghiằm. Suy
ra, phữỡng trnh (1.8) cõ duy nhĐt nghiằm. Vy A l mt toĂn tò ỡn iằu cỹc i.

H
nh nghắa 1.4. Cho A : H ! 2 l Ănh x mt toĂn tò ỡn iằu cỹc i. Khi õ, giÊi ca
A
1
A.
J = (I + rA) , r > 0 ữổc gồi l
r


19
A

Chú ỵ 1.5. i) GiÊi Jr ca toĂn tò ỡn iằu cỹc i A l mt Ănh x ỡn tr, khổng giÂn v
A

A(x) 3 0 khi v ch khi Jr (x) = x;
A

Tht vy, giÊ sò tỗn ti x 2 H sao cho Jr (x) nhn t nhĐt hai giĂ tr y v z. T

nh nghắa ca toĂn tò giÊi, suy ra
x y 2 rA(y); x z 2 rA(z):
T tnh ỡn iằu ca A, suy ra
h(x y)

Suy ra, ky zk

2

(x z); y zi 0:
A

mt Ănh x ỡn tr.

0. Do õ, y = z. Vy Jr l
A

A

Tip theo, ta ch ra Jr l

mt Ănh x khổng giÂn. Vợi mồi x; y 2 H, t z1 = Jr (x)

A

v z2 = Jr (y), tức l
x z1 2 rA(z1); y z2 2 rA(z2):
T tnh ỡn iằu ca A, ta cõ
hx z1


y + z2; z1 z2i 0:

Suy ra
2

kz1 z2k

hx y; z1

z2i kx yk:kz1

A

Do õ, kz1 z2k kx

z2k:

mt Ănh x khổng giÂn.

yk, hay Jr l
A

GiÊ sò, x = Jr (x). iu n y tữỡng ữỡng vợi x 2 x + rA(x) hay A(x) 3 0.
ii) Vợi mồi s dữỡng v , ta luổn cõ flng thức sau
A

J x=J

A


x+1

Tht vy, t

x+1

y=J

A

Suy ra,
x+

1

z

A

J x ; x 2 H:
A

A

J x ; z = J (x):

2 y + A(y); x 2 z + A(z):

(1.10)



20

T tnh ỡn

iằu ca A, suy ra
hx+(

)z

y

x + z; y

zi

0;

2

tữỡng ữỡng vợi ky zk 0. Suy ra, y = z v do õ ta ữổc iu phÊi chứng minh.
A

iii) ToĂn tò giÊi J l mt Ănh x khổng giÂn.
A

A

Tht vy, vợi mồi x; y 2 H, giÊ sò u = J (x) v v = J (y). Khi
x


õ, ta cõ

u 2 A(u) v y v 2 A(v). Do õ, t tnh ỡn iằu ca A, ta cõ
0

hu

v; (x

u)

(y

v)i = hu

v; x

yi k u

2

vk :

Suy ra
ku
Do õ, ta nhn

2


vk

ữổc ku vk

hu

v; x
kx

yi

kx

yk:ku

vk:

A

yk hay J l mt Ănh x khổng giÂn.

Chú ỵ 1.6. T Mằnh 1.12 v toĂn Chú ỵ 1.5 i), iii), suy ra tp khổng im ca
mt tp lỗi v õng.
tò ỡn iằu cỹc i A cụng l