ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
----------------



---------------

ĐỖ THỊ PHƯƠNG

VỀ BÀI TOÁN ĐẢM BẢO CHI PHÍ ĐIỀU KHIỂN
CHO MỘT LỚP HỆ NƠ RON THẦN KINH
PHÂN THỨ CÓ TRỄ
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số
:8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Mai Viết Thuận
TS. Nguyễn Hữu Sáu

THÁI NGUYÊN - 2020


1

Möc löc
Ch÷ìng 1 Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà
1.1. Gi£i t‰ch ph¥n thø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
6

1.1.1. T‰ch ph¥n ph¥n thø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2. ⁄o h m ph¥n thø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. ành lþ Razumikhin cho h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ph¥n thø . . .

11

1.3. B i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho mºt sŁ lîp h» ph÷ìng
tr…nh vi ph¥n câ tr„ vîi b“c nguy¶n . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Mºt sŁ bŒ • bŒ træ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13
18

Ch÷ìng 2 B i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho mºt lîp h»
nì ron thƒn kinh ph¥n thø câ tr„

19

2.1. Ph¡t bi”u b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


19

2.2. Mºt ti¶u chu'n cho b i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n cho
mºt lîp h» nì ron thƒn kinh ph¥n thø câ tr„ . . . . . . . . . . .
2.3. Mºt v‰ dö sŁ minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21
27


2

LI NI

U

Mổ hnh mng nỡ ron mổ tÊ bi hằ phữỡng trnh vi phƠn vợi o h m bc
nguyản ữổc nghiản cứu u tiản bi L.O. Chua v L. Yang v o nôm 1988 [6,
7]. Mổ hnh n y  nhn ữổc sỹ quan tƠm nghiản cứu ca nhiu nh khoa
hồc trong nhng nôm gn Ơy do nhng ứng dửng rng lợn ca nõ trong xò
l tn hiằu, xò l hnh Ênh, ti ữu hõa v cĂc lắnh vỹc khĂc [7, 18]. Nôm
2008, trong mt nghiản cứu ca mnh, A. Boroomand v M.B. Menhaj [3]
ln u tiản mổ hnh hõa mng nỡ ron bi hằ phữỡng trnh vi phƠn phƠn
thứ (Caputo hoc Riemann Liouville). So vợi mng nỡ ron mổ tÊ bi hằ
phữỡng trnh vi phƠn vợi o h m bc nguyản, mng nỡ ron mổ tÊ bi hằ
phữỡng trnh vi phƠn phƠn thứ (Caputo hoc Riemann Liouville) cõ th
mổ tÊ cĂc c tnh v tnh chĐt ca mng nỡ ron mt cĂch chnh xĂc hỡn [3,
18]. Do õ hằ phữỡng trnh mng nỡ ron phƠn thứ Â nhn ữổc sỹ quan tƠm
nghiản cứu ca nhiu nh khoa hồc. Nhiu kt quÊ hay v thú v v hằ phữỡng
trnh mng nỡ ron phƠn thứ Â ữổc cổng b trong nhng nôm gn Ơy.

T quan im ca k thut, ngữới ta mong mun thit k cĂc hằ thng iu
khin khổng ch n nh tiằm cn m cặn cõ th Êm bÊo mức hiằu suĐt hằ
thng phũ hổp. Nôm 1972, hai nh khoa hồc Chang v Peng [5] ữa ra v
nghiản cứu b i toĂn Êm bÊo chi ph iu khin cho hằ ng lỹc ữổc mổ tÊ
bi hằ phữỡng trnh vi phƠn thữớng. Sau õ b i toĂn Êm bÊo chi ph iu
khin cho mt s lợp hằ phữỡng trnh vi phƠn cõ tr vợi bc nguyản  nhn
ữổc sỹ quan tƠm ca nhiu nh khoa hồc. i vợi hằ nỡ ron thn kinh vợi bc
nguyản, Â cõ mt s kt quÊ thú v v sƠu sc ữổc cổng b trong nhng
nôm gn Ơy (xem [10, 11, 12] v cĂc t i liằu tham khÊo trong õ). Nôm 2019,
Thun v Hữợng [20] nghiản cứu b i toĂn Êm bÊo chi ph iu khin cho mt


3

lợp hằ nỡ ron thn kinh phƠn thứ cõ tr.
Lun vôn tp trung trnh b y mt s tiảu chu'n cho b i toĂn Êm bÊo chi ph
iu khin cho mt lợp hằ nỡ ron thn kinh phƠn thứ cõ tr dỹa trản cỡ s ồc
hiu v tng hổp b i bĂo  ữổc cổng b trong nhng nôm gn Ơy (xem
[20]). Lun vôn gỗm cõ 2 chữỡng gỗm nhng ni dung chnh nhữ sau:
Trong chữỡng 1, chúng tổi trnh b y mt s khĂi niằm v giÊi tch phƠn
thứ nhữ tch phƠn v o h m phƠn thứ Riemann Liouville, tch phƠn v o h m
phƠn thứ Caputo. Sau õ, chúng tổi trnh b y mt nh lỵ Razumikhin cho hằ
phƠn thứ cõ tr. Tip theo, chúng tổi nhc li mt s kt quÊ v b i toĂn Êm bÊo
chi ph iu khin cho mt s lợp hằ phữỡng trnh vi phƠn vợi bc nguyản. Cui
chữỡng, chúng tổi trnh b y mt s b b trổ. Ni dung chnh ca chữỡng
n y ữổc tham khÊo ch yu t cĂc t i liằu [8, 14, 15, 17, 21].
Trong chữỡng 2 ca lun vôn, chúng tổi trnh b y mt s tiảu chu'n cho b i
toĂn Êm bÊo chi ph iu khin cho mt lợp hằ nỡ ron thn kinh phƠn thứ cõ tr.
Ngo i ra, chúng tổi ữa ra mt v dử s minh hồa cho kt quÊ lỵ thuyt.


Lun vôn n y ữổc thỹc hiằn ti trữớng i hồc Khoa hồc - i hồc ThĂi Nguyản
v ho n th nh dữợi sỹ hữợng dÔn ca Tin sắ Mai Vit Thun. Tổi xin ữổc b y
tọ lặng bit ỡn chƠn th nh v sƠu sc tợi ngữới hữợng dÔn khoa hồc ca mnh.
Ngữới  t vĐn nghiản cứu, d nh nhiu thới gian hữợng dÔn, tn tnh du
dt v ch bÊo tổi trong sut quĂ trnh thỹc hiằn t i n y.
Tổi xin trƠn trồng cÊm ỡn BGH trữớng i hồc Khoa hồc - i hồc ThĂi
Nguyản, Ban ch nhiằm khoa ToĂn Tin cũng cĂc giÊng viản  tham gia
giÊng dy, Â to mồi iu kiằn tt nhĐt tổi hồc tp v nghiản cứu.
ỗng thới tổi xin gòi lới cÊm ỡn tợi gia nh thƠn yảu,cÊm ỡn nhng ngữới
bn thƠn thit  chôm sõc ng viản khch lằ tổi trong sut quĂ trnh
nghiản cứu. Sau cũng tổi xin knh chúc to n th quỵ thy cổ trữớng i hồc
Khoa hồc - i hồc ThĂi Nguyản tht dỗi d o sức khọe, nim tin tip tửc thỹc
hiằn sứ mằnh cao àp ca mnh l truyn t tri thức cho th hằ mai sau.
Xin chƠn th nh cÊm ỡn.


4


5

Danh mửc kỵ hiằu

R

n

khổng gian vec tỡ thỹc Euclide n chiu
ma trn chuyn v ca ma trn A


AT
I
(A)

ma trn ỡn v
tp hổp tĐt cÊ giĂ tr riảng ca ma trn A

max(A)

= maxfRe : 2 (A)g

min(A)

= minfRe : 2 (A)g

kAk

chu'n ph ca ma trn A; kAk =

A

0

max(A

tức l

>

Rn


A)

h Ax; x i

0;

82

A B

ma trn A nòa xĂc nh dữỡng,
nghắa l A B 0

A>0

ma trn A xĂc nh dữỡng, tức l

LM Is
kxk

bĐt flng thức ma trn tuyn tnh (Linear matrix inequalities)

Rn

>

n

khổng gian cĂc ma trn thỹc cù (n r)


r

n

m

AC [a; b]

khổng gian cĂc h m liản tửc trản[a; b] nhn giĂ tr trong R
khổng gian cĂc h m liản tửc tuyằt i cĐp m trản[a; b]
toĂn tò tch phƠn phƠn thứ Riemann - Liouville cĐp

t0 It
RLD

toĂn tò o h m phƠn thứ Riemann - Liouville cĐp

t

t0
C

D ;D
t

t

x)


E

n

hAx; xi > 0; 8x 2 R ; x 6= 0

chu'n Euclide ca vc tỡ x = (x1; x2; :::; xn) 2 R

C([a; b]; R )

t0

p

x

toĂn tò o h m phƠn thứ Caputo cĐp
h m Gamma
h m Mittag-Leffler hai tham s

;

de

s nguyản nhọ nhĐt lợn hỡn hoc bng

2l
6

L = diagfl1; l2; l3g


0 0 3
1

7

L = 6 0 l2 0 7
4 0 0 l3 5
6

7

n


6

Chữỡng 1

Mt s kin thức chu'n b
Trong chữỡng n y, chúng tổi trnh b y mt s khĂi niằm v giÊi tch
phƠn thứ, nh lỵ Razumikhin cho hằ phữỡng trnh vi phƠn phƠn thứ, b i
toĂn Êm bÊo chi ph iu khin cho mt s lợp hằ phữỡng trnh vi phƠn vợi
bc nguyản. Chúng tổi cụng trnh b y mt s kt quÊ b trổ s ữổc sò
dửng trong chứng minh cĂc kt quÊ chnh ca lun vôn cho cĂc chữỡng sau.
Kin thức sò dửng chữỡng n y ữổc tham khÊo [8, 14, 15, 17, 21].

1.1.

GiÊi tch phƠn thứ


1.1.1.

Tch phƠn phƠn thứ

Trong mửc n y, chúng tổi trnh b y sỡ lữổc v khĂi niằm tch phƠn
phƠn thứ. KhĂi niằm tch phƠn phƠn thứ l mt m rng tỹ nhiản ca khĂi
niằm tch phƠn lp thổng thữớng.
nh nghắa 1.1. ([15]) Cho > 0 v [a; b] R, tch phƠn phƠn thứ
Liouville cĐp ca h m x : [a; b]!
t0 It

x(t) :=

Riemann-R ữổc cho bi

1 Z t
(t s)
) t0

1

t 2 (a; b];

x(s)ds;

+1

trong õ :) l h m Gamma xĂc nh bi


)=

R0

t

1

t

e dt; > 0:

Trong nh nghắa 1.1 khi = 0, chúng ta quy ữợc t0 It := I vợi I l toĂn tò ỗng
nhĐt. Sỹ tỗn ti ca tch phƠn phƠn thứ Riemann Liouville cĐp vợi 0 < < 1
ữổc cho bi nh lỵ sau


7

nh lỵ 1.1. ([15]) GiÊ sò x : [a; b]!

R l mt h m khÊ tch trản [a; b]. Khi

õ, tch phƠn t0 It x(t) tỗn ti vợi hu ht t 2 [a; b]. Hỡn na, t0 It x cụng l mt
h m khÊ tch.
V dử sau Ơy cho ta tch phƠn phƠn thứ ca mt s h m cỡ bÊn.
V dử 1.1. ([15])
(i) Cho x(t) = (t a) , Ơy > 1 v
t0 It


t > a. Vợi bĐt k > 0, chúng ta cõ
+ 1) (t a) + ; t > a:
+ +1)

x(t) =

t

(ii) Cho x(t) = e ; > 0. Vợi bĐt k > 0, chúng ta cõ
+1

( t)

+j

; t > 0:

Xj
t0 It

x(t) =

=0

1.1.2.

+ j + 1)

o h m phƠn thứ


Mửc n y trnh b y mt cĂch ngn gồn v o h m Riemann Liouville v o h
m Caputo. Ơy l hai loi o h m ữổc sò dửng rng rÂi trong nhiu lắnh vỹc.

nh nghắa 1.2. ([15]) Cho trữợc mt s thỹc dữỡng

v mt khoÊng [a; b]

R. o h m phƠn thứ Riemann Liouville cĐp ca h m x : [a; b]! R ữổc cho bi
t

RL

0

n

Dt x(t) := d
n
dt

t0 It

n

x(t) =

t
n
n
d Z (t s)

n ) dtn
t0

1

1

x(s)ds;
n

trong õ n := d e l

s nguyản nhọ nhĐt lợn hỡn hoc bng v

d

dt

n

l o

h m thổng thữớng cĐp n.
V dử 1.2. Cho h m bữợc ỡn v (unit-step function)
8
> 1; nu t

f(t) =

0


<

> 0; nu t < 0:

:

Bng cĂch sò dửng nh nghắa 1.2, ta tnh o h m phƠn thứ Riemann
Liouville cĐp ca h m f(t) l
RL
t
D f(t) =
0t

)

:


8

Trữợc khi trnh b y iu kiằn cho sỹ tỗn ti ca o h m phƠn thứ Riemann
Liouville, chúng tổi nhc li mt s kt quÊ sau.
Cho [a; b] l mt khoÊng hu hn trong R: AC[a; b] l khổng gian cĂc h m
tuyằt i liản tửc trản [a; b]: Kolmogorov v Fomin  ch ra mi liản hằ gia
cĂc h m tuyằt i liản tửc v cĂc h m khÊ tch Lebesgue nhữ sau:
Zt

f(t) 2 AC[a; b] , f(t) = c +


(s)ds

((s) 2 L(a; b));

a

do õ mt h m tuyằt
trản [a; b]:

i liản tửc f(t) cõ

0

o h m f (t) = (t) hu khp nỡi

n

Vợi n 2 N; ta nh nghắa lợp h m AC [a; b] nhữ sau:
n

AC [a ; b] = ff : [a ; b]! R; (D

g:

D = dt
d

n 1

f)(t) 2 AC[a ; b]


n

Mằnh sau Ơy cho ta mt s c tnh ca lợp h m AC [a; b].
n

Mằnh 1.1. ([15]) Khổng gian AC [a; b] chứa tĐt cÊ cĂc h m f(t) cõ dng
nhữ sau:
n 1X

f(t) = t

0

I (t) +

t

k

k

ck(t t0) ;
=0

trong õ (t) 2 L(a; b); ck(k = 0; 1; : : : ; n 1) l cĂc hng s tũy ỵ v
n1
1
Z t
s) (s)ds:

t0 It (t) =
t0 (t
(n 1)!
Ngo i ra, t cĂc iu kiằn trản ta cõ
(n)
=
(s) = f (s); ck

(k)
f (t0) (k = 0; 1; : : : ; n 1):

k!
nh lỵ sau

Ơy cho ta mt tiảu chu'n cho sỹ tỗn ti ca

o h m phƠn

thứ Riemann Liouville.
n

nh lỵ 1.2. ([15]) Cho
h m phƠn thứ

RL

D f(t)
t0

0; n = d e: Nu f(t) 2 AC [a; b]; khi

õ o
tỗn ti hu khp nỡi trản [a; b] v
cõ th ữổc biu

t

din dữợi dng sau
n 1
RL
t 0Dt

k=0

f(t) =

X

Kt quÊ sau

Ơy

+

f (k)(t0)
k

t

1
(t t0)k +


)

ữổc suy ra trỹc tip t

n

)

nh lỵ 1.2

Z

t0

(t s)

n+ 1

(n)

f (s)ds

:


9

Hằ quÊ 1.1. ([15]) Nu 0 < < 1 v f(t) 2 AC[a; b] th
t


RL

0

1

Dt f(t) =

Z t f0(s)ds
+

f(t0)
) (t t0)

t0

:

(t s)

Mằnh sau khflng nh toĂn tò o h m phƠn thứ Riemann Liouville l mt
toĂn tò tuyn tnh.
Mằnh 1.2. ([14]) Cho trữợc mt s thỹc dữỡng . Khi õ o h m phƠn thứ
Riemann Liouville cĐp l mt toĂn tò tuyn tnh, tức l
RL
t 0 Dt

trong õ ;


RL
t0Dt

[ f(t) + g(t)] =

RL
t0Dt

f(t) +

g(t)

n

2 R; f(t); g(t) 2 AC [a; b]:

Chứng minh. Ta cõ
RL
t 0 Dt

=
=
=

[ f(t) + g(t)]
n
1
d Z t

n


) dt

n

d

n

RL
t 0 Dt

) dt
f(t) +

n

n

t0

(t s)

n

1

[ f(s) + g(s)] ds

t


d

Z t0 (t s)n
RL
t 0 Dt

1

f(s)ds +

n

) dt

n

n

t

Z

t0

(t s)

n

1


g(s)ds

g(t):

nh nghắa 1.3. ([14]) Cho trữợc mt s thỹc dữỡng v mt khoÊng [a; b]
R. o h m phƠn thứ Caputo cĐp ca h m x : [a; b]! R ữổc cho bi
C
t0

Dt x(t) := t0 It

n

n

D x(t);
n

trong õ n := d e l s nguyản nhọ nhĐt lợn hỡn hoc bng v D =

dn

l
n

dx

o h m thổng thữớng cĐp n.
T


o h m phƠn thứ

i vợi mt h m vc tỡ x(t) = (x1(t); x2(t); : : : ; xd(t))
C
t0

Dt x(t) :=

C
t0

C

C

Dt x1(t); t0 Dt x2(t); : : : ; t0 Dt xd(t)

T

:

nh lỵ sau Ơy cho ta mt iu kiằn cho sỹ tỗn ti o h m Caputo phƠn thứ
cĐp .


10

n


nh lỵ 1.3. ([15]) Cho

0; n = [ ] + 1: Nu f(t) 2 AC [a; b]; khi

õ o

C

h m phƠn thứ Caputo t0 Dt f(t) tỗn ti hu khp nỡi trản [a; b]. Hỡn na, ta cõ
C

(i) Nu 62N th t0 Dt x(t) biu din dữợi dng sau:
t (n)
1
f (s)ds
C
t 0 Dt f(t) =
n ) Z
t0

(t s)

:

n+1

c biằt, khi 0 < < 1 v f(t) 2 AC[a; b]; ta cõ:
C
t 0


f (s)ds

) Zt

Dt f(t) =

C

(ii) Nu

t 0

1

(t s)

0

:

n

= n 2 N th t0 Dt f(t) biu din dữợi dng sau:
C
t0

n

(n)


Dt f(t) = f (t):

c biằt,
C
t0

0

Dt f(t) = f(t):

Mằnh sau khflng nh toĂn tò o h m phƠn thứ Caputo l mt toĂn tò tuyn
tnh.
Mằnh 1.3. ([14]) Cho trữợc mt s thỹc dữỡng . Khi õ o h m phƠn thứ
Caputo cĐp l mt toĂn tò tuyn tnh, tức l
C
t0

C

C

Dt [ f(t) + g(t)] = t0 Dt f(t) + t0 Dt g(t);
n

trong õ ; 2 R; f(t); g(t) 2 AC [a; b]:
Chứng minh. Tữỡng tỹ nhữ chứng minh Mằnh 1.2.

Ta d d ng

chứng minh ữổc tnh chĐt sau ca o h m phƠn thứ Caputo.

Mằnh
C
t0

1.4. ([14]) Cho trữợc mt s thỹc dữỡng

. Nu

l hng s th

Dt = 0:
Ging vợi php tnh vi tch phƠn c in, o h m phƠn thứ Caputo l

nghch Êo trĂi ca toĂn tò tch phƠn phƠn thứ.
nh lỵ 1.4. ([15]) Cho

> 0 v f(t) 2 C[a; b]: Khi õ ta cõ
C
t0

Dt ( t0 It f(t)) = f(t):


11

Tuy nhiản, o h m phƠn thứ Caputo nõi chung khổng l toĂn tò nghch Êo
phÊi ca tch phƠn phƠn thứ. iu n y ữổc ch rê trong nh lỵ dữợi Ơy
n

nh lỵ 1.5. ([15]) Cho

t0 It

> 0; n = [ ] + 1: Nu f(t) 2 AC [a; b] th
t

C

0

Dt f(t) = f(t)

n 1 (k)
Xk

=0

c biằt, nu 0 <1 v

k

f (t0) (t t0) :
k!

f(t) 2 AC[a; b] th
t0 It

t

C


0

Dt f(t) = f(t) f(t0):

nh lỵ sau Ơy cho ta mi quan hằ gia o h m phƠn thứ Caputo v o h
m phƠn thứ Riemann-Liouville.
nh lỵ 1.6. [15] Cho > 0 v ta t n = d e . Vợi bĐt k x 2 ACn[a; b], chúng
cõ:
x(t) n 1 (t t0)j
!
(j)
0
x
(t
)
;
C
RL
t0 Dt x(t) =
t 0 Dt
Xj
j!
=0

vợi hu ht t 2 [a; b]:
nh lỵ dữợi Ơy cõ vai trặ quan trồng trong viằc nghiản cứu tnh thử
ng cho mt s mng nỡ ron phƠn thứ.
nh lỵ 1.7. (B 2.3, trang 73 trong cun sĂch chuyản khÊo ca A.A.
Kilbas v cĂc ỗng tĂc giÊ [15]) Cho cĂc s dữỡng > 0; > 0. GiÊ sò rng f(t) l mt
h m liản tửc. Khi õ ta cõ flng thức sau Ơy



t0 It

1.2.

t0 It

f(t) = t0 It ( t0 It f(t)) = t0 It

+

f(t); 8t

t0

0:

ành lþ Razumikhin cho h» ph÷ìng tr…nh vi ph¥n
ph¥n thø

Trong möc n y chóng tæi tr…nh b y ành lþ Razumikhin cho h» ph÷ìng
tr…nh vi ph¥n ph¥n thø Caputo câ tr„.
Tr÷îc h‚t, chóng tæi nh›c l⁄i

ành ngh¾a v• h m Mittag-Leffler.


12


+1
X

E (z) =
k=0

ữổc gồi l h m Mittag-Leffler mt tham s.
Nhn xt 1.1. Trong nh nghắa 1.4, nu cho = 1; ta cõ

nh nghắa 1.4. [14] Cho

2 C; mt h m E : C! C xĂc nh bi
k

z k+
;
1)

k

+1

z

X

E1(z) =

+1
Xk


k=0

k + 1)

=

zk
z

=e:

=0 k!

Do õ h m Mittag-Leffler chnh l m rng ca khĂi niằm h m mụ.
nh nghắa 1.5. [14] Cho ;

2 C; mt h m E ; : C! C xĂc nh bi
k

+1
Xk

E ; (z) =

=0

z

k + );


ữổc gồi l h m Mittag-Leffler hai tham s. CĂc h m Mittag-Leffler nhn
giĂ tr ma trn ữổc nh nghắa ho n to n tữỡng tỹ, tức l
+1

A

k

Xk

E ; (A)=

=0

k+ )

n n

; 8A 2 R

:

CĂc tnh chĐt ca h m Mittag-Leffler mt tham s, hai tham s  ữổc
trnh b y chi tit trong cun sĂch chuyản khÊo ca A.A. Kilbas [15]. Xt hằ
phữỡng trnh vi phƠn phƠn thứ Caputo cõ tr sau Ơy
8 tC0 Dt x(t) = f(t; xt); t t0;
(1.1)
trong õ
[t0; +1) C([t0


> x(t) = (t); t 2 [t
>
(0; 1) x t = x(t + )
2 C([t0
:
<

2

n

n

; t ];
0

0

; t0];

R

n

);

; t0]; R ) ! R l mt h m liản tửc tng khúc theo t v

0; f :

thọa
n

; t0]; R )
mÂn iu kiằn Lipschitz a phữỡng trản [t0; +1); xt0 = 2 C([t0
l iu kiằn ban u.
nh nghắa 1.6. ([13]) Hằ (1.1) ữổc gồi l
n nh Mittag Leffler nu bĐt
flng thức sau Ơy ữổc thọa mÂn


)]b ;
kx(t)k [m(x0)E ( (t t0)
ð â > 0; b > 0 v h m m(x) 0 (m(0) = 0) thäa m¢n i•u ki»n Lipschitz àa ph÷ìng
n

theo x 2 R vîi h‹ng sŁ Lipschitz m0.


13

Nhn xt 1.2. ([13]) Nu hằ (1.1) n nh Mittag Leffler th hằ n nh tiằm

cn, tức l

lim kx(t) k = 0:

t

+


1

!

Tip theo, chúng tổi trnh b y nh lỵ Razumikhin cho hằ phữỡng trnh
vi phƠn phƠn thứ Caputo cõ tr. i vợi lợp hằ phữỡng trnh vi phƠn phƠn thứ
Caputo cõ tr, S. Liu cũng cĂc cng sỹ [13] Â ữa ra mt phiản bÊn mợi ca
nh lỵ Razumikhin cho hằ phƠn thứ cõ tr. Theo nhữ sỹ hiu bit ca chúng
tổi, Ơy l mt trong nhng phữỡng phĂp quan trồng nghiản cứu tnh n
nh v mt s tnh chĐt liản quan ca hằ phữỡng trnh vi phƠn phƠn thứ
Caputo cõ tr.
nh lỵ 1.8. [13] Xt hằ phữỡng trnh vi phƠn phƠn thứ Caputo cõ
tr (1.1). GiÊ sò tỗn ti ba hng s dữỡng a1; a2; a3 v mt h m khÊ vi V : R
n

R ! R thọa mÂn
(i) a1kxk
v
(ii)

2

V (x)

2

a2kxk ,

o h m phƠn thứ cĐp

C
t0

Dt V (x(t))

ca h m V (:) thọa mÂn
2

a3kxk khi m V (x(t + s))

V (x(t)); s 2 [

; 0], vợi

> 1 n o õ.
Khi õ hằ n nh tiằm cn.

1.3. B i toĂn Êm bÊo chi ph iu khin cho mt s lợp hằ phữỡng
trnh vi phƠn cõ tr vợi bc nguyản
Nhữ Â phƠn tch trong phn m u. B i toĂn Êm bÊo chi ph iu khin
cho cĂc hằ ng lỹc ữổc nghiản cứu u tiản bi hai nh toĂn hồc S.S.L.
Chang v T.K.C. Peng v o nôm 1972 (xem [5]). Trong b i toĂn n y, ngo i viằc
thit k mt b iu khin Êm bÊo cho hằ thng iu khin khổng nhng n
nh m cặn Êm bÊo rng mt h m chi ph to n phữỡng liản hằ vợi hằ ng lỹc
õ cõ giĂ tr hu hn v giĂ tr õ c ng nhọ c ng tt.
Xt hằ iu khin tuyn tnh ổtổnổm
8
> x(t) = Ax(t) + Bu(t); t
<


>

:

x(0) = x0 2 Rn; u(t) 2 Rm;

0;

(1.2)


14

vợi h m chi ph to n phữỡng (hay cặn gồi l h m mửc tiảu dng to n phữỡng)
Z +1
T
T
(1.3)
J(u) =
[x (t)Qx(t) + u (t)Ru(t)]dt;
0

trong õ Q 2 R

nn

;R2R

mm


l cĂc ma trn i xứng, xĂc nh dữỡng cho trữợc.

n

n

iu khin u(t) 2 U ; R : Trong õ U = fu(t) 2 L 2([0; 1); R ); u(t) 2 hu khp trản
[0; 1)g: B i toĂn iu khin ti ữu cho hằ iu khin tuyn tnh (1.2) hay cặn
gồi l b i toĂn ti ữu to n phữỡng l tm iu khin chĐp nhn ữổc u(:) 2 U sao
cho vợi iu khin n y giĂ tr ca h m chi ph to n phữỡng t giĂ tr nhọ nhĐt,
tức l J(u) ! min: Bng cĂch dũng nguyản lỵ cỹc i Pontriagin, trong [19, 22] Â
ữa ra mt lới giÊi cho b i toĂn n y. KhĂc vợi b i toĂn iu khin ti ữu, b i toĂn Êm
bÊo chi ph iu khin cho hằ (1.2) l tm mt iu khin u(t) chĐp nhn ữổc n
o õ sao cho vợi iu khin n y hằ (1.2) l n nh tiằm cn v giĂ tr ca h m chi
ph to n phữỡng (1.3) l khổng vữổt quĂ mt giĂ tr hu hn J n o õ. Nhữ
vy, ta cõ th phĂt biu nh nghắa b i toĂn Êm bÊo chi ph iu khin cho lợp
hằ (1.2) v mt toĂn hồc nhữ sau:

nh nghắa 1.7. Xt hằ iu khin tuyn tnh (1.2) v h m chi ph to n
phữỡng (1.3), nu tỗn ti mt lut iu khin ngữổc u (t) = Kx(t); K 2 R
s dữỡng J sao cho hằ õng
8 x(t) = [A + BK]x(t);
>
<

>

mn

v mt


(1.4)
x(0) = x0

:
l n nh tiằm cn v giĂ tr ca h m chi ph to n phữỡng (1.3) thọa mÂn
J ; th J ữổc gồi l giĂ tr Êm bÊo chi ph iu khin cho hằ (1.2) v u

J

(t) ữổc gồi l lut iu khin ngữổc Êm bÊo chi ph iu khin cho hằ (1.2).

T

1

Bng cĂch chồn h m Lyapunov Krasovskii V (x(t)) = x (t)P x(t); vợi P 2
nn

R
l mt ma trn i xứng, xĂc nh dữỡng, ta d d ng chứng minh ữổc kt
quÊ sau:
nn

mm

nh lỵ 1.9. Cho Q 2 R ; R 2 R
l cĂc ma trn i xứng, xĂc nh dữỡng.
Xt hằ iu khin tuyn tnh ổtổnổm (1.2) vợi h m chi ph to n phữỡng



15

nn

tữỡng ứng (1.3). GiÊ sò tỗn ti mt ma trn i xứng, xĂc nh dữỡng P 2 R ;
mt ma trn Y cõ s chiu thch hổp sao cho bĐt flng thức ma trn tuyn t
nh sau ữổc thọa mÂn:

2

T

T T

T

3

(AP + PA + BY + Y B ) PQ Y R
6
Q 0
7 < 0:
6
R 7
4
5
6

7


1

Khi õ u(t) = Y P x(t) l lut iu khin ngữổc Êm bÊo chi ph iu khin cho hằ
tuyn tnh ổtổnổm (1.2) v giĂ tr Êm bÊo chi ph iu khin cho hằ l J =
T

1

x 0 P x0:
Nhữ vy, thổng qua cĂc nh nghắa trản ta thĐy v cỡ bÊn b i toĂn Êm bÊo
chi ph iu khin khĂc vợi b i toĂn iu khin ti ữu. Ngo i ra, nu ma trn A v
ma trn B b "nhiu" th nh A + D 1 (t)E1 v B + D1 (t)E1; trong õ D1; E1 l cĂc
ma trn cho trữợc cõ s chiu thch hổp, (t) l ma trn khổng bit trữợc
những thọa mÂn iu kiằn

T

(t) (t) I; th b i toĂn iu khin ti ữu cho b i toĂn

trản rĐt khõ giÊi những b i toĂn Êm bÊo chi ph iu khin cho b i toĂn õ Â
ữổc hai nh toĂn hồc I.R. Petersen v D.C. McFarlane giÊi quyt khổng mĐy
khõ khôn (xem [17]).
Tip theo, chúng tổi nhc li mt s nh nghắa v kt quÊ v b i toĂn Êm
bÊo chi ph iu khin cho hằ phữỡng trnh vi phƠn cõ tr vợi bc nguyản.
Xt hằ iu khin tuyn tnh khổng chc chn cõ tr
8 x(t) = [A + A]x(t) + [A1 + A1]x(t
d) + [B + B]u(t);
(1.5)
>


x(t) = (t); t [ d; 0];

>

2 Rn

<

:

vợi x (t)

2 Rm

2
l

l
vctỡ iu khin. CĂc ma
vctỡ trng thĂi, u(t)
cĂc ma trn thỹc hng cho trữợc cõ s chiu thch hổp. Cặn

trn A; A1; B l
cĂc ma trn khổng bit trữợc những thọa mÂn iu kiằn
A; A1; B l
[ A B
cĂc ma
A1] = DF (t)[E1 E2 Ed]; trong õ D; E1; E2; Ed l
trn thỹc hng cho trữợc cõ s chiu thch hổp v

trữợc những thọa mÂn iu kiằn F

T

(t)F (t)

ma trn F (t) l khổng bit

I; (t) l h m iu kiằn ban u


16

ca hằ. Liản kt vợi hằ (1.5), ta xt h m chi ph to n phữỡng sau
Z +1
T
T
J(u) =
[x (t)Qx(t) + u (t)Ru(t)]dt;

(1.6)

0

n n

trong õ Q 2 R ; R 2 R
trữợc. iu khin u(t) 2 U ;

m m


l cĂc ma trn i xứng, xĂc nh dữỡng cho
n

R :

nh nghắa 1.8. Xt hằ iu khin tuyn tnh khổng chc chn cõ tr (1.5)
v h m chi ph to n phữỡng (1.6), nu tỗn ti mt lut iu khin ngữổc
u (t) = Kx(t); K 2 R

m n

mt s dữỡng J sao cho vợi tr d; hằ õng

v

8 x(t) = [A + A + BK + BK]x(t) + [A1 + A1]x(t d);

(1.7)

> x(t) = (t); t [ d; 0];

>
:

2

<

l n nh tiằm cn v giĂ tr ca h m chi ph to n phữỡng (1.6) thọa mÂn

J ; th J ữổc gồi l giĂ tr Êm bÊo chi ph iu khin cho hằ (1.5) v u

J

(t) ữổc gồi l lut iu khin ngữổc Êm bÊo chi ph iu khin cho hằ (1.5).

Trong [21], cĂc tĂc giÊ L. Yu v J. Chu  ữa ra mt iu kiằn cho sỹ tỗn ti
mt iu khin ngữổc Êm bÊo chi ph iu khin cho hằ (1.5) nhữ sau. nh lỵ
1.10. ([21]) Cho Q 2 R

nn

;R2R

mm

l cĂc ma trn i xứng, xĂc nh dữỡng.

Xt hằ iu khin tuyn tnh khổng chc chn cõ tr (1.5) vợi h m chi ph to
n phữỡng tữỡng ứng (1.6). GiÊ sò tỗn ti cĂc ma trn i xứng, xĂc
nh dữỡng X; V 2 R

n n

m n

; mt ma trn W 2 R

mt s dữỡng sao cho


v

bĐt flng thức ma trn tuyn tnh sau ữổc thọa mÂn:
2

2

A1V (E1X + T

E

6
V

W)

V Ed

6

T

I

6

Q

6
6

6

W

X
0
0
1

R1

0
0

X 7
0
0 7 < 0:

0

0

6

7
7

7
7


7

6
6
4

7
V 7
5

6

7

õ u (t) = W X 1x(t) l

khin cho hằ (1.5) v
T (0)X
1 (0) + R 0d

0

7

6

Khi

3


T

T

lut

iu khin ngữổc

Êm bÊo chi ph iu

giĂ tr Êm bÊo chi ph iu khin cho hằ l
( )V 1 ( )d :

J

=


17

BƠy giớ, ta ữa ra nh nghắa tng quĂt v b i toĂn Êm bÊo chi ph iu
khin cho hằ iu khin cõ tr vợi bc nguyản.
Xt hằ iu khin cõ tr
8
>

x(t) = (t);

<


Rn

2

t [ h; 0];

>

2 Rm

2

:
trong õ x(t)
l vc tỡ trng thĂi, u(t)
n
h 0
l hng s tr, 2 C := C([
h; 0]; R ) l

v f:

R

+

(1.8)

x(t) = f(t; xt; u(t)); t 0;


C R

m

l
vc tỡ iu khin;
h m iu kiằn ban u

n

! R l h m vctỡ cho trữợc thọa mÂn iu kiằn,

f(t; 0; 0) = 0; t 0: Liản kt vợi hằ iu khin cõ tr (1.8), ta xt h m chi ph to n
phữỡng sau.
Z

+1

J(u) =
0

trong õ Q 2 R

nn

;R2R

mm

T


T

(1.9)

[x (t)Qx(t) + u (t)Ru(t)]dt;

l cĂc ma trn i xứng, xĂc nh dữỡng cho trữợc.

n

iu khin u(t) 2 U ; R : Ta cõ nh nghắa sau.
nh nghắa 1.9. Xt hằ iu khin cõ tr (1.8) v h m chi ph to n phữỡng
n

m

(1.9), nu tỗn ti mt lut iu khin ngữổc u (t) = g(x(t)); g : R ! R v mt s
dữỡng J sao cho hằ õng
8 x(t) = f(t; xt; g(x(t))); t 0;
>

<

>
v

l n nh tiằm cn

J


:

(1.10)

x(t) = (t); t [ h; 0];

2
giĂ tr ca h m chi ph to n phữỡng (1.9) thọ a m Ân

J ; th J ữổc gồi l giĂ tr Êm bÊo chi ph iu khin cho hằ iu khin cõ

tr (1.8) v u (t) ữổc gồi l lut iu khin ngữổc Êm bÊo chi ph iu khin cho
hằ iu khin cõ tr (1.8).
V o h m phƠn thứ v tch phƠn thứ cõ nhiu tnh chĐt khĂc biằt so vợi
o h m v tch phƠn c in nản viằc nghiản cứu b i toĂn Êm bÊo chi ph
iu khin cho hằ phữỡng trnh vi phƠn phƠn thứ cõ nhiu thĂch thức. Nôm
2019, Thuan v Huong [20] nghiản cứu b i toĂn Êm bÊo chi ph iu khin
cho mt lợp hằ phữỡng trnh vi phƠn phƠn thứ cõ tr bin thiản bng cĂch sò


18

döng kÿ thu“t b§t flng thøc ma tr“n tuy‚n t‰nh, ành lþ Razumikhin cho h»
ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ph¥n thø v mºt sŁ t‰nh ch§t cıa gi£i t‰ch ph¥n thø.
Trong ch÷ìng 2 cıa lu“n v«n, chóng tæi s‡ tr…nh b y l⁄i mºt c¡ch câ h»
thŁng k‚t qu£ n y.

1.4.


Mºt sŁ bŒ

• bŒ træ

Trong möc n y, chóng tæi nh›c l⁄i mºt sŁ bŒ • ÷æc sß döng ” chøng
minh c¡c k‚t qu£ ch‰nh trong c¡c nºi dung ti‚p theo cıa lu“n v«n.
n

BŒ • 1.1. (B§t flng thøc Cauchy ma tr“n [4]) Cho x; y 2 R v S 2 R
ma tr“n Łi xøng, x¡c ành d÷ìng. Khi â ta câ ¡nh gi¡ sau:
T

2x y

T

T

nn

l mºt

1

x Sx + y S y:

BŒ • 1.2. (BŒ • Schur [4]) Cho X; Y; Z l c¡c ma tr“n câ sŁ chi•u th‰ch
T

1


hæp, X; Y l hai ma tr“n Łi xøng, x¡c ành d÷ìng. Khi â X + Z Y Z < 0 n‚u v
ch¿ n‚u
2

4

X ZT

Z Y

3

5<0:

BŒ • sau ¥y câ vai trÆ quan trång trong vi»c ÷îc l÷æng h m Lyapunov.
n

BŒ • 1.3. ([8]) Cho x(t) 2 R l mºt v†c tì h m kh£ vi li¶n töc v P 2 R
ma tr“n Łi xøng, x¡c ành d÷ìng. Khi â ta câ ÷îc l÷æng sau ¥y:

1 C
2 t 0 Dt
t0

T

x (t)P x(t)
0:


T

C

nn

l mºt

x (t)P t0 Dt x(t); 8t


19

Ch֓ng 2

B i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u khi”n
cho mºt lîp h» nì ron thƒn kinh ph¥n
thø câ tr„
Ch÷ìng n y tr…nh b y mºt sŁ ti¶u chu'n cho b i to¡n £m b£o chi ph‰ i•u
khi”n cho mºt lîp h» nì ron thƒn kinh ph¥n thø câ tr„. Nºi dung ÷æc tr…nh b
y trong ch÷ìng n y düa mºt phƒn tr¶n b i b¡o cıa M.V. Thuan v D.C. Huong
cæng bŁ tr¶n t⁄p ch‰ Optimal Control Applications and Methods n«m
2019.

2.1.

Ph¡t bi”u b i to¡n

X†t h» nì ron thƒn kinh ph¥n thø Caputo câ tr„ sau ¥y
8

>

>

Dt x(t) = [A + A(t)] x(t) + [D + D (t)] f(x(t))
+ [W + W (t)] g(x(t )) + [B + B(t)] u(t); t 0;

>
>

<
>
>
>
>

x(t) = (t); t 2 [ ; 0];

:
(2.1)
T

n

m

ð â 2 (0; 1); x(t) = [x1(t) x2(t); : : : ; xn(t)] 2 R l v†c tì tr⁄ng th¡i, u(t) 2 R l
T

v†c tì i•u khi”n, f(x(t)) = [f1(x1(t)) f2(x2(t)); : : : ; fn(xn(t))] 2

n

T

n

c¡c

R ; g(x(t )) = [g1(x1(t )) g2(x2(t )); : : : ; gn(xn(t ))] 2 R l
n n

h m k‰ch ho⁄t cıa m⁄ng nì ron, A = diagfa1; a2; : : : ; ang 2 R
ma tr“n ÷íng ch†o ch‰nh x¡c ành d÷ìng, D; W 2 R
ma tr“n thüc cho tr÷îc;

A(t) = EaFa(t)Ha;

n n

;B2R

D(t) = EdFd(t)Hd;

mºt

l

n m

l


c¡c
W (t) =


20

EwFw(t)Hw;

B(t) = EbFb(t)Hb, trong

õ Ea; Ha; Ed; Hd; Ew; Hw; Eb; Hb l

cĂc ma trn hng s cho trữợc cõ s chiu thch hổp, Fa(t); Fd(t) v Fb(t) l
T

T

T

cĂc ma trn h m khổng bit những thọa mÂn F a (t)Fa(t) I; Fd (t)Fd(t) I; Fw
T
n
(t)Fw(t) I; Fb (t)Fb(t) I; 8t 0; (t) 2 C([ h; 0]; R ) l iu kiằn ban u.
Ta giÊ thit cĂc h m kch hot thọa mÂn

iu kiằn Lipschitz vợi cĂc hằ s

Lipschitz li > 0; ki > 0; fi(0) = 0; gi(0) = 0(i = 1; : : : ; n) :
jfi( 1)


fi( 2)j lij 1

2j;

(2.2)

i = 1; : : : ; n; 8 1; 2 2 R;

jgi( 1) gi( 2)j kij 1
2j; i = 1; : : : ; n; 8 1; 2 2 R:
Liản kt vợi hằ (2.1), ta xt h m chi ph sau Ơy
T
T
J(u) = 1 Z 0 Tf (Tf s) 1
x (s)Q1x(s) + x (s )Q2x(s )
)

(2.3)
T

+ u (s)Q3u(s) ds; 8Tf > 0;
õ Q1; Q2 2 R
trữợc.

nn

; Q3 2 R

mm


l cĂc ma trn i xứng, xĂc nh dữỡng cho

Nhn xt 2.1. Khi = 1, h m chi ph (2.3) ữa v h m chi ph to n phữỡng
cho hằ phữỡng trnh vi phƠn vợi bc nguyản  ữổc nghiản cứu bi nhiu nh
khoa hồc (chflng hn xem [10, 11, 16, 17, 21] v cĂc t i liằu tham khÊo trong
õ).
nh nghắa 2.1. ([20]) Nu tỗn ti mt lut iu khin ngữổc u (t) = Kx(t),
mn

trong õ K 2 R
l mt ma trn chữa bit s ữổc xĂc nh sau, v mt s dữỡng
J sao cho hằ õng dữợi Ơy
8

Dt x(t) = [A + A(t) BKB(t)K] x(t) + [D + D (t)] f(x(t))

>

+ [W + W (t)] g(x(t )); t 0;

>
>

>

<

>
>


>

>

:

x(t) = (t); t 2 [ ; 0]

(2.4)

n nh tiằm cn v giĂ tr ca h m chi ph (2.3) thọa mÂn J(u ) J , th J
ữổc gồi l
l lut

giĂ tr Êm bÊo chi ph iu khin cho hằ (2.1) v u (t)

iu khin ngữổc Êm bÊo chi ph

iu khin cho hằ (2.1).

ữổc gồi


21

2.2.

Mt tiảu chu'n cho b i toĂn
Êm bÊo chi ph

khin cho mt lợp hằ nỡ ron thn kinh phƠn thứ cõ
tr

Trong mửc n y, chúng tổi trnh b y mt tiảu chu'n

iu

giÊi b i toĂn

Êm

bÊo chi ph iu khin cho mt lợp hằ nỡ ron thn kinh phƠn thứ cõ tr (2.1).
nh lỵ 2.1. Xt hằ iu khin phƠn thứ (2.1) vợi h m chi ph (2.3). Cho
trữợc cĂc ma trn thỹc, i xứng xĂc nh dữỡng Q1; Q2; Q3, iu khin u(t) = Y P
1

x(t) l lut iu khin ngữổc Êm bÊo chi ph iu khin cho hằ (2.1)

nu tỗn ti mt ma trn

i xứng xĂc

nh dữỡng P 2 R

n n

, mt ma trn

mn


Y 2R
v cĂc s dữỡng 1; 2; ; v q > 1 sao cho bĐt flng thức ma trn song
tuyn tnh dữợi Ơy ữổc thọa mÂn
D T
W
3
2
T
T
T
T
T
P Ha Y Hb P L P Q1 Y Q3
11
6

0

I + H d Hd

6

T

I + Hw Hw

6

6
6


0

0

0

0

0
0

0

1I

0

0

0

0

0

0

0


7
7

7

7
7 < 0;

6

7

6
6
6

2

I

0

I

0

0

0


0

7
7

7

6

7

6

7

6
6

Q1

6

6

6
6

7
7


0

7

7

7
7

Q3

4

5

2

P

PQ2 P
Q

6

T

0

2


6
6

4

3

(2.5a)

7 < 0:

(2.5b)

7
7

5
I

Hỡn na, giĂ tr Êm bÊo chi ph iu khin cho hằ (2.1) xĂc nh bi J =
max(P
11 =

1

2

)k k ; trong õ
T


AP P A + BY + Y

L = diagfl1; l2; : : : ; lng;

T

T

T

T

T

B + qP + 1EaE + 2EbE + EdE + EwE

= diagfk1; k2; : : : ; kng:

a

b

d

T

;
w



Chøng minh. V… P l mºt ma tr“n Łi xøng, x¡c ành d÷ìng n¶n ma tr“n P

1