Chuyên đề: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
NHỮNG NỘI DUNG CƠ BẢN
I. Hệ phương trình đối xứng loại 1:
Phần 1- Định nghĩa chung: Dựa vào lý thuyết đa thức đối xứng.
− Phương trình n ẩn x
1
, x
2
, ..., x
n
gọi là đối xứng với n ẩn nếu thay x
i
bởi x
j
; x
j
bởi x
i
thì phương trình
không thay đổi.
− Khi đó phương trình luôn được biểu diễn dưới dạng:
x
1
+ x
2
+ ... + x
n
x
1
x
2

+ x
1
x
3
+ ... + x
1
x
n
+ x
2
x
1
+ x
2
x
3
+ ... + x
n-1
x
n
...............................
x
1
x
2
... x
n
− Hệ phương trình đối xứng loại một là hệ mà trong đó gồm các phương trình đối xứng.
− Để giải được hệ phương trình đối xứng loại 1 ta phải dùng định lý Viét.
* Nếu đa thức F(x) = a

0
x
n
+ a
1
x
n
−
1
+... a
n
, a
0
≠ 0, a
i
∈ P có nhgiệm trên P là c
1
, ..., c
n
thì:
1
1 2
0
2
1 2 1 3 1 2 1 2 3 -1
0
1 1
0
...
... ...

...............................
... ( 1) .
n
n n n
n
n
n
a
c c c
a
a
c c c c c c c c c c c c
a
a
c c c
a

+ + + = −



+ + + + + + + =





= −




(Định lý Viét tổng quát)
Phần 2 – Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn:
A. LÝ THUUYẾT
1. Định lý Viét cho phương trình bậc 2:
Nếu phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
thì:
1 2
1 2

.
b
S x x
a
c
P x x
a

= + = −




= =



Ngược lại, nếu 2 số x
1
, x
2
có
1 2
1 2

.
x x S
x x P
+ =


=

thì x
1
, x
2
là nghệm của phương trình X
2
− SX + P = 0.
2. Định nghĩa:
( , ) 0
( , ) 0
f x y
g x y
=



=

, trong đó
( , ) ( , )
( , ) ( , )
f x y f y x
g x y g y x
=


=

3.Cách giải:
Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và
2
4S P≥
.
Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Viét đảo tìm x, y.
Chú ý:
+ Cần nhớ: x
2
+ y
2
= S
2
– 2P, x
3

+ y
3
= S
3
– 3SP.
+ Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv.
+ Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại 1 sau khi đặt ẩn phụ.
4. Bài tập:
Loại 1: Giải hệ phương trình
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
2 2
3 3
30
35
x y xy
x y
+ =


+ =

.
Nguyễn Văn Thân – Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số
1
GIẢI
Đặt
S , Px y xy= + =
, điều kiện
2
4S P≥

. Hệ phương trình trở thành:
2
2
30
P
SP 30
S
90
S(S 3P) 35
S S 35
S
ì
ï
ï
=
ï
ì
=
ï
ï
ï ï
Û
í í
æ ö
ï ï
- =
÷
ç
ï ï
î - =

÷
ç
ï
÷
ç
÷
ï
è ø
ï
î
S 5 x y 5 x 2 x 3
P 6 xy 6 y 3 y 2
ì ì ì ì
= + = = =
ï ï ï ï
ï ï ï ï
Û Û Û Ú
í í í í
ï ï ï ï
= = = =
ï ï ï ï
î î î î
.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
3 3
( ) 2
2
xy x y
x y
− = −



− =

.
GIẢI
Đặt
, , t y S x t P xt= − = + =
, điều kiện
2
4S P≥
Hệ phương trình trở thành:
3 3 3
xt(x t) 2 SP 2
x t 2 S 3SP 2
ì ì
+ = =ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
+ = - =
ï ï
î î
S 2 x 1 x 1
P 1 t 1 y 1
ì ì ì
= = =
ï ï ï
ï ï ï

Û Û Û
í í í
ï ï ï
= = = -
ï ï ï
î î î
.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4
x y
x y
x y
x y

+ + + =




+ + + =


.
GIẢI
Điều kiện

0, 0x y≠ ≠
.
Hệ phương trình tương đương với:
2 2
1 1
x y 4
x y
1 1
x y 8
x y
ì æ ö æ ö
ï
÷ ÷
ç ç
ï
+ + + =
÷ ÷
ç ç
ï
÷ ÷
ç ç÷ ÷
ï
è ø è ø
ï
í
ï
æ ö æ ö
ï
÷ ÷
ç ç

+ + + =
÷ ÷
ï
ç ç
÷ ÷
ï
ç ç
÷ ÷
è ø è ø
ï
î
Đặt
2
1 1 1 1
S x y , P x y , S 4P
x y x y
æ ö æ ö æ öæ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= + + + = + + ³
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
è ø è ø è øè ø
ta có:
2
1 1
x y 4

S 4 S 4
x y
P 4 1 1
S 2P 8
x y 4
x y
ì
æ ö æ ö
ï
÷ ÷
ç ç
ï
+ + + =
÷ ÷
ç ç
ï
ì
ì
÷ ÷
= =ï
ï
ç ç
÷ ÷
ï
è ø è ø
ï ï ï
Û Û
í í í
æ öæ ö
ï ï ï

=
- =
÷ ÷
ç ç
ï ï ï
îî
+ + =
÷ ÷
ç ç
ï
÷ ÷
ç ç÷ ÷
ï
è øè ø
ï
î
1
x 2
x 1
x
1
y 1
y 2
y
ì
ï
ï
+ =
ï
ì

=
ï
ï
ï ï
Û Û
í í
ï ï
=
ï ï
î
+ =
ï
ï
ï
î
.
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
2 2
2 8 2 (1)
4 (2)
x y xy
x y

+ + =


+ =


.

GIẢI
Điều kiện
, 0x y ≥
. Đặt
0t xy= ≥
, ta có:
2
xy t=
và
(2) x y 16 2t+ = -Þ
.
Thế vào (1), ta được:
2
t 32t 128 8 t t 4- + = - =Û
Suy ra:
xy 16 x 4
x y 8 y 4
ì ì
= =
ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
+ = =
ï ï
î î
.
Loại 2: Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) 1 có nghiệm
Phương pháp giải chung:

+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có).
+ Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và
2
4S P≥
(*).
Nguyễn Văn Thân – Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số
2
+ Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m.
Chú ý:
Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện của u, v.
Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
1
1 3
x y
x x y y m
+ =


+ = −

.
GIẢI
Điều kiện
, 0x y ≥
ta có:
3 3
x y 1 x y 1
x x y y 1 3m ( x) ( y) 1 3m
ì ì
ï ï

+ = + =
ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
+ = - + = -
ï ï
ï ï
î î
Đặt
S x y 0, P xy 0= + =³ ³
,
2
S 4P.³
Hệ phương trình trở thành:
3
S 1 S 1
P m
S 3SP 1 3m
ì
ì
= =ï
ï
ï ï
Û
í í
ï ï
=
- = -

ï ï
îî
.
Từ điều kiện
2
S 0, P 0, S 4P³ ³ ³
ta có
1
0 m
4
£ £
.
Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
2 2
3 9
x y xy m
x y xy m
+ + =


+ = −

có nghiệm thực.
GIẢI
2 2
x y xy m (x y) xy m
xy(x y) 3m 9
x y xy 3m 9
ì
ì

+ + = + + =ï
ï
ï ï
Û
í í
ï ï
+ = -
+ = -
ï ï
îî
.
Đặt S = x + y, P = xy,
2
S 4P.³
Hệ phương trình trở thành:
S P m
SP 3m 9
ì
+ =
ï
ï
í
ï
= -
ï
î
.
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình
2
t mt 3m 9 0- + - =

S 3 S m 3
P m 3 P 3
ì ì
= = -
ï ï
ï ï
Þ Ú
í í
ï ï
= - =
ï ï
î î
.
Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm
2
2
3 4(m 3)
21
m m 3 2 3
(m 3) 12
4
é
-³
ê
+Û Û £ Ú ³
ê
- ³
ê
ë
.

Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
4 1 4
3
x y
x y m
− + − =


+ =

có nghiệm.
GIẢI
Đặt
u x 4 0, v y 1 0= - = -³ ³
hệ trở thành:
2 2
u v 4
u v 4
21 3m
u v 3m 5
uv
2
ì
+ =ï
ì
ï
+ =ï
ï
ï
Û

í í
-
ï ï
+ = -
=
ï ï
î
ï
î
.
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của
2
21 3m
t 4t 0
2
-
- + =
(*).
Hệ có nghiệm
Û
(*) có 2 nghiệm không âm.

/
3m 13
0
0
13
2
S 0 m 7
21 3m

3
0
P 0
2
ì
ì
-
ï
ï
D ³
ï
ï
³
ï
ï
ï
ï ï
Û ³ Û Û £ £
í í
ï ï
-
ï ï
³
³
ï ï
ï ï
î
ï
î
.

Nguyễn Văn Thân – Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số
3
Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình
2 2
4 4 10
( 4)( 4)
x y x y
xy x y m
+ + + =


+ + =

có nghiệm thực.
GIẢI
2 2
2 2
2 2
(x 4x) (y 4y) 10
x y 4x 4y 10
xy(x 4)(y 4) m (x 4x)(y 4y) m
ì
ì
ï + + + =ï
+ + + =
ï
ï
Û
í í
ï ï

+ + = + + =
ï ï
î
î
.
Đặt
2 2
u (x 2) 0, v (y 2) 0= + = +³ ³
. Hệ phương trình trở thành:
u v 10 S 10
uv 4(u v) m 16 P m 24
ì ì
+ = =
ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
- + = - = +
ï ï
î î
(S = u + v, P = uv).
Điều kiện
2
S 4P
S 0 24 m 1
P 0
ì
ï
³

ï
ï
ï
-³ Û £ £
í
ï
ï
³
ï
ï
î
.
Loại 3: Một số bài toán giải bằng cách đưa về hệ phương trình.
Ví dụ. Giải phương trình:
3 3
3
1
2
x x+ − =
.
GIẢI
Đặt:
3
3
x u
1 x v

=



− =


. Vậy ta có hệ:
3 3
3
u v
2
u v 1

+ =



+ =

⇔
2
3
u v
2
(u v) (u v) 3uv 1

+ =



 
+ + − =
 


⇔
3
u+v =
2
19
u.v =
36







u, v là hai nghiệm của phương trình:
2
3 19
X - X + = 0
2 36
⇒
9+ 5
u =
12
9 - 5
u =
12







⇒
3
3
9 + 5
x =
12
9 - 5
x =
12

 

 ÷
 ÷

 


 

 ÷
 ÷

 

Vậy phương trình có hai nghiệm: {x} =
3 3

9 5 9 5
;
12 12
 
   
+ −
 
 ÷  ÷
 
 ÷  ÷
 
   
 
.
B. BÀI TẬP
I. Giải các hệ phương trình sau:
1)
4 4
6 6
1
1
x y
x y

+ =


+ =



2)
2 2
4 2 2 4
5
13
x y
x x y y

+ =


− + =


3)
30
35
x y y x
x x y y

+ =


+ =


4)
2 2
4
2 8 2

x y
x y xy

+ =


+ + =


5)
2 2
18
( 1)( 1) 72
x x y y
xy x y

+ + + =


+ + =


6)
( )
( )
2 2
2 2
1
1 5
1

1 49
x y
xy
x y
x y

 
+ + =

 ÷
 


 

+ + =
 ÷

 

7)
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4
x y
x y
x y

x y

+ + + =




+ + + =


8)
7
1
78
y
x
y x
x y
x xy y xy

+ = +




+ =


9)
( ) ( )

2 2 3 3
4
280
x y
x y x y
+ =



+ + =


Nguyễn Văn Thân – Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số
4
10)
6 6
3 3
2
3 3
x y
x x y y

+ =


=


II. Gi h phng trỡnh cú tham s:
1. . Tỡm giỏ tr ca m:

a)
( )
5 4 4
1
x y xy
x y xy m

+ =


+ =


cú nghim.
b)
2 2
2
1
x y xy m
x y xy m
+ + = +



+ = +


cú nghim duy nht.
c)
( )

( )
2
2 2
4
2 1
x y
x y m

+ =


+ = +


cú ỳng hai nghim.
2.
2 2
x xy y m
x y m
+ + =



+ =


(1II)
a. Gii h phng trỡnh khi m = 5.
b. Tỡm cỏc giỏ tr ca m h phng trỡnh ó cho cú nghim.
3.

2 2
3 8
x xy y m
x y xy m
+ + =



+ =


(7I)
a Gii h phng trỡnh khi m = 7/2.
b. Tỡm cỏc giỏ tr ca m h phng trỡnh ó cho cú nghim.
4.
2 2
1x xy y m
x y xy m
+ + = +



+ =


(40II)
a. Gii h phng trỡnh khi m=2.
b. Tỡm cỏc giỏ tr ca m h phng trỡnh ó cho cú nghim (x;y) vi x >0, y >0.
III. Gii phng trỡnh bng cỏch a v h phng trỡnh:
1. Gii phng trỡnh:

4 4
1 18 3x x + =
.
2. Tỡm m mi phng trỡnh sau cú nghim:
a.
1 1x x m + + =
b.
m x m x m + + =
c.
3 3
1 1x x m + + =
Phn 3 H phng trỡnh i xng loi 1 ba n: (c thờm)
a. Định nghĩa: Là hệ ba ẩn với các phơng trình trong hệ là đối xứng.
b. Định lý Vi-et cho ph ơng trình bậc 3:
Cho 3 số x, y, z có:
x + y + z =
xy + yz + zx =
xyz =





Thì x, y, z ;à nghiệm của phơng trình X
3
- X
2
+ X - = 0. (*)
Thậy vậy: (X - x)(X - y)(X - z) = 0
[ X

2
- (x + y)X + xy ](X - z) = 0
X
3
- X
2
z - X
2
(x + y) + (x + y)zX + xyX - xyz = 0
X
3
- X
2
+ X - = 0.
(*) có nghiệm là x, y, z phơng trình X
3
- X
2
+ X - = 0 có 3 nghiệm là x, y, z.
c.Cách giải:
+ Do các phơng trình trong hệ là đối xứng nên ta luôn viết đợc dới dạng , ,
Nguyn Vn Thõn Chuyờn : H phng trỡnh i s
5