Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x) = sin x - cos x + sin 2x$
(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, BT THPT)
Giải bằng máy tính Casio fx-570ES
$f(x) = sin x - cos x + sin 2x = sin x - cos x + 2 sin x . cos x$
Đặt $t = sin x - cos x$, $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ và $2 sin x . cos x = 1 - t^2$
Bài toán trở thành tìm GTLN và GTNN của hàm số $g(t) = -t^2 + t + 1$
$g`(t) = -2t + 1$
$g`(t) = 0$ $\Leftrightarrow$ $t = \frac{1}{2}$
Tính giá trị của $g(t)$ tại $t = \frac{1}{2}; \pm \sqrt{2}$
Ghi vào màn hình (MathIO): $-X^2 + X + 1$
Ấn (X?) nhập $1 \div 2$ ấn kết quả: $\frac{5}{4} = 1,25$
Ấn (X?) nhập $-\sqrt{}(2)$ ấn kết quả: $-1 - \sqrt{2} = -2,414213562$
Ấn (X?) nhập $\sqrt{}(2)$ ấn kết quả: $-1 + \sqrt{2} = 0,4142135624$
Suy ra:
max $f(x)$ = max $g(t)$ = $\frac{5}{4}$
min $f(x)$ = min $g(t)$ = $-1 - \sqrt{2}}$
Tính gần đúng tọa độ giao điểm của hypebol $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ và đường thẳng $x - 4y - 5 =
0$
(kết quả gần đúng lấy 4 chữ số thập phân)
(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, BT THPT)
Giải bằng máy tính Casio fx-570ES
Tọa độ giao điểm của hypebol và đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1}\\ {x - 4y - 5 = 0} \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}{\frac{(4y + 5)^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 (*)}\\ {x = 4y + 5}
\end{array} \right.$
Giải (*)
Ghi vào màn hình (MathIO): $\frac{(4A + 5)^2}{16} - \frac{A^2}{9} = 1, A$
Ấn (Solve for A) nhập 10 ấn kết quả: $y_1 = -0,2466$
Ghi vào màn hình (MathIO): $\frac{(4B + 5)^2}{16} - \frac{B^2}{9} = 1, B$
Ấn (Solve for B) nhập $-10$ ấn kết quả: $y_2 = -2,5659$
Tìm $x_1, x_2$

Ghi vào màn hình: $4Y + 5$
Ấn kết quả: $x_1 = 4,0135$
Ấn kết quả: $x_2 = -5,2635$
Vậy hypebol và đường thẳng giao nhau tại các điểm có tọa độ lần lượt là:
$\left\{\begin{array}{l}{x_1 = 4,0135}\\ {y_1 = -0,2466} \end{array} \right.$ ; $\left\{\begin{array}{l}{x_2 =
-5,2635}\\ {y_2 = -2,5659} \end{array} \right.$
Tính gần đúng giá trị cực tiểu và giá trị cực đại của hàm số (đề Quốc gia MTCT 2010)

Tính gần đúng giá trị cực tiểu và giá trị cực đại của hàm số $y = \frac{x^2 - 5x + 1}{x + 1}$
(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, BT THPT)
Giải bằng máy tính Casio fx-570ES
$y` = \frac{x^2 + 2x - 6}{(x+1)^2}$
$y`` = \frac{14}{(x+1)^3}$
$y` = 0$ $\Leftrightarrow$ $\frac{x^2 + 2x - 6}{(x+1)^2} = 0$ $\Leftrightarrow$ $x^2 + 2x - 6 = 0$ ($x=-1$
không là nghiệm)
Ghi vào màn hình (MathIO): $A^2 + 2A - 6, A$
Ấn (Solve for A) nhập $-5$ ấn kết quả: $-3,645751311$
Ghi vào màn hình (MathIO): $B^2 + 2B - 6, B$
Ấn (Solve for B) nhập $5$ ấn kết quả: $1,645751311$
Dùng máy tính được: $y``(-3,645751311) < 0$, $y``(1,645751311) > 0$
$\Rightarrow$ $y_{CĐ} = y(-3,645751311)$; $y_{CT} = y(1,645751311)$
Ghi vào màn hình (MathIO): $\frac{X^2 - 5X + 1}{X + 1}$
Ấn (X?) ấn kết quả: $-12,29150262$
Ấn (X?) ấn kết quả: $-1,708497378$
Vậy $y_{CĐ} = -12,29150262$, $y_{CT} = -1,708497378$
Tính thể tích của tứ diện (đề Quốc gia MTCT 2010, THPT)

Cho một tứ diện SPQR có SP = QR = 11, SQ = PR = 20 và SR = PQ = 21. Hãy tính thể tích của tứ diện đó?
(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, THPT)
Giải bằng máy tính Casio fx-570ES

Ta dựng các đường thẳng lần lượt đi qua P, Q, R và lần lượt song song với QR, PR, PQ.
Các đường thẳng trên lần lượt cắt nhau tại A, B, C.
P, Q, R là trung điểm của các cạnh tương ứng AB, BC, CA...
$S_{PQR} = \frac{1}{4} S_{ABC}$. Suy ra:
$V_{SPQR} = \frac{1}{4} V_{SABC}$
Ta có: $\Delta SBQ$ cân tại Q (SQ = BQ = PR) $\Rightarrow$ $\hat{BSQ} = \hat{SBQ}$
$\Delta SCQ$ cân tại Q (SQ = CQ = PR) $\Rightarrow$ $\hat{CSQ} = \hat{SCQ}$
$\Rightarrow$ $\hat{BSC} = \hat{BSQ} + \hat{CSQ} = \frac{1}{2}(2\hat{BSQ} + 2\hat{CSQ}) = \frac{1}{2}
(\hat{BSQ} + \hat{SBQ} + \hat{CSQ} + \hat{SCQ}) = 90^o$
Tương tự: $\hat{ASB} = \hat{ASC} = 90^o$
Suy ra: $V_{SABC} = \frac{1}{6}SA. SB. SC$
$\Rightarrow$ $V_{SPQR} = \frac{1}{24}SA. SB. SC$
Trong đó: $\left\{\begin{array}{l}{SA^2 + SB^2 = AB^2 = 4QR^2 = 4b^2}\\ {SB^2 + SC^2 = BC^2 = 4PR^2 =
4a^2}\\ {SC^2 + SA^2 = AC^2 = 4PQ^2 = 4c^2} \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}{SA^2 = 2(b^2+c^2-a^2)}\\ {SB^2 = 2(a^2+b^2-c^2)}\\ {SC^2 =
2(a^2+c^2-b^2)} \end{array} \right.$
Lưu 20 vào A, 11 vào B, 21 vào C:
Ấn 20 11 21
Ghi vào màn hình (MathIO): $\frac{1}{24} \sqrt{2(B^2 + C^2 - A^2) \times 2 (A^2+B^2-C^2) \times
2(A^2+C^2-B^2)}$
Ấn kết quả: 360
Vậy $V_{SPQR} = 360$ (đvtt).
Một người mua xe máy trả góp (đề thi Quốc gia 2010, THPT)

Một người mua xe máy trả góp với giá tiền là 20.000.000 đ, mức lãi suất 1,2% / tháng với quy ước 1 tháng trả
800.000 đ cả gốc và lãi. Hỏi sau 12 tháng kể từ ngày người ấy mua xe số tiền còn nợ là bao nhiêu đồng? Sau một
năm lãi suất lại tăng lên là 1,5% / tháng và người đó lại quy ước 1 tháng trả 1.000.000 đ cả gốc và lãi (trừ tháng cuối
cùng). Hỏi sau bao nhiêu tháng người ấy trả hết nợ? (tháng cuối trả không quá 500.000 đ).
(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, THPT)
Giải bằng máy tính Casio fx-570MS

Gọi $u_0$ là số tiền người đó mua xe: $u_0 = 20 000 000$ (đồng)
$u_n$ là số tiền người đó còn nợ sau n tháng.
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{u_0 = 20 000 000}\\ {u_ n = 1,012u_{n-1} - 800 000 (TH: n \le 12)}\\ {u_n = 1,015
u_{n-1} - 1 000 000 (TH: n > 12)} \end{array} \right.$
Nhớ 0 vào X, nhớ 20000000 vào A
Ấn 0 20000000
Ghi vào màn hình: $X = X+1 : A = 1.012A - 800000$
Ấn liên tiếp phím cho đến khi X = 12 thì dừng.
Ấn kết quả: $u_{12} = 12818250,87$.
Vậy sau 12 tháng, số tiền người đó còn nợ là 12818250,87 đồng.
Ghi vào màn hình: $X = X+1 : A = 1.015A - 1000000$
Ấn liên tiếp phím cho đến khi $A < 0$ thì dừng.
Ấn kết quả: $27$
Vậy sau 27 tháng người đó trả hết nợ.
Tìm số hạng thứ 2009 (đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010)

Cho dãy số {$u_n$} với
$u_n = sin(2010 - sin(2010 - sin (2010 - ... sin(2010 - sin2010))))$
Tìm $n_0$ để với mọi $n \le n_0$ thì $u_n$ có 4 chữ số thập phân ngay sau dấu phẩy là không đổi. Tính giá trị
$u_{2009}$
(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, THPT)
Giải bằng máy tính Casio fx-570ES
(chọn đơn vị đo góc là rad)
Nhớ $-1$ vào X, nhớ 0 vào A
Ấn $-1$ 0
Ấn 1 ($X+1 \to X$)
Ấn sửa lại thành: $X + 1 \to X : sin (2010 - A)$
Ấn
Ấn liên tiếp phím cho đến khi $sin (2010 - A)$ kết quả có 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy không đổi thì dừng.
Ấn

Kết quả: $n_0 = 186$
Và $u_{186} = u_{187} = u_{188} = .... = -0,3071$
Suy ra: $u_{2009} = -0,3071$
Thứ hai, 5/4/2010
Tìm số tự nhiên n (đề thi Quốc gia MTCT 2010, THPT)

Hãy tìm số tự nhiên n, sao cho giá trị của $(1+1)(2+\sqrt{2})(3+\sqrt{3})...(n+\sqrt{n})$ sai khác số 43294578923
không quá một đơn vị.
(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010, THPT)
Giải bằng máy tính Casio fx-570ES
Ghi vào màn hình (MathIO): $X = X + 1 : A = A (X + \sqrt{X}) : 43294578923 - A$
Ấn (X?) nhập 0 ấn (A?) nhập 1 ấn
Ấn liên tục cho đến khi $-1 \le 43294578923 - A \le 1$ thì dừng.
Ấn
Ta được $n = 12$.
Tìm nghiệm gần đúng của hệ (đề Quốc gia MTCT 2010)

Tìm nghiệm gần đúng của hệ:
$\left\{\begin{array}{l}{xy (x-2) (y-2) = 4}\\ {x^2 + y^2 - 2(x+y) = 4} \end{array} \right.$
(kết quả chính xác tới 4 chữ số thập phân)
(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT 2010 - THPT)
Giải bằng máy tính Casio fx-570ES
$\left\{\begin{array}{l}{xy (x-2) (y-2) = 4}\\ {x^2 + y^2 - 2(x+y) = 4} \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}{xy (x-2) (y-2) = 4}\\ {x(x-2) + y(y-2) = 4} \end{array} \right.$
Đặt $\left\{\begin{array}{l}{u = x(x-2)}\\ {v = y(y-2)} \end{array} \right.$
Hệ phương trình trên trở thành:
$\left\{\begin{array}{l}{uv = 4}\\ {u+v = 4} \end{array} \right.$
Suy ra: $u,v$ là nghiệm của phương trình: $X^2 - 4X + 4 = 0$
Chọn chương trình giải phương trình bậc 2: ấn
Nhập hệ số: 1 $-4$ 4

Ấn kết quả: $X=2$
Vậy $\left\{\begin{array}{l}{u=2}\\ {v=2} \end{array} \right.$
$\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}{x(x-2) = 2}\\ {y(y-2) = 2} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\
{\begin{array}{l}{x^2 - 2x - 2 =0}\\ {y^2 - 2y - 2 = 0} \end{array} \right.$
Ấn
Nhập hệ số: 1 $-2$ $-2$
Ấn kết quả: $\left\{\begin{array}{l}{X_1 = 2,7321}\\ {X_2 = -0,7321} \end{array} \right.$
Hệ có 4 nghiệm:
$\left\{\begin{array}{l}{x_1 = 2,7321}\\ {y_1 = 2,7321} \end{array} \right.$ ; $\left\{\begin{array}{l}{x_2 =
2,7321}\\ {y_2 = -0,7321} \end{array} \right.$ ; $\left\{\begin{array}{l}{x_3 = -0,7321}\\ {y_3 = 2,7321}
\end{array} \right.$ ; $\left\{\begin{array}{l}{x_4 = -0,7321}\\ {y_4 = -0,7321} \end{array} \right.$
Thứ bảy, 3/4/2010
Tìm các giá trị của a thỏa mãn hệ thức (đề Quốc gia MTCT 2010)

Cho các hàm số $f(x) = \frac{a}{x^2} - 3x + 2$, ($x \ne 0$) và $g(x) = a sin 2x$. Tìm các giá trị của a thỏa mãn hệ
thức: $f[f(-1)] \approx \sqrt{2} + g[f(2)]$
(kết quả gần đúng chính xác tới 4 chữ số thập phân)
(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT năm 2010 - THPT)
Giải bằng máy tính Casio fx-570ES
$f(-1) = a + 5$
$f[f(-1)] = f(a + 5) = \frac{a}{(a+5)^2} - 3(a+5) + 2$
$f(2) = \frac{a}{4} - 4$
$g[f(2)] = g(\frac{a}{4} - 4) = a sin(2(\frac{a}{4} - 4)) = a sin(\frac{a}{2} - 8)$
Ta có: $f[f(-1)] = \sqrt{2} + g[f(2)]$
$\Leftrightarrow$ $\frac{a}{(a+5)^2} - 3(a+5) + 2 = \sqrt{2} + a sin(\frac{a}{2} - 8)$
(Chọn đơn vị đo góc là rad)
Ghi vào màn hình (MathIO): $\frac{X}{(X+5)^2} - 3(X+5) + 2 = \sqrt{2} + X sin(\frac{X}{2} - 8)$
Ấn (X?) nhập 1
Ấn kết quả: $-5,8122$
Thử lại với các giá trị ban đầu của X khác nhau ta đều tìm nghiệm duy nhất nghiệm $-5,8122$

Kết luận: $a = -5,8122$

Cho hàm số. Tính tổng (đề thi QG 2010)

Cho hàm số $f(x) = 4^x (4^x + 2)^{-1}$. Hãy tính tổng:
$S = f(\frac{1}{2010}) + f(\frac{2}{2010}) + f(\frac{3}{2010}) + ... + f(\frac{2009}{2010})$
(Trích đề thi Quốc gia giải toán trên MTCT năm 2010 - THPT)
Giải bằng máy tính Casio fx-570ES
Ta chứng minh: $f(x) + f(1-x) = 1$
Thật vậy:
$f(x) + f(1-x) = 4^x (4^x + 2)^{-1} + 4^{1-x} (4^{1-x} + 2)^{-1}$
$= 4^x (4^x + 2)^{-1} + 4^{1-x} [4 \times 4^{-x} + 2 \times 4^{-x} \times 4^x]^{-1}$
$= 4^x (4^x + 2)^{-1} + 4^{1-x} [2 \times 4^{-x} (2 + 4^x)]^{-1}$
$= 4^x (4^x + 2)^{-1} + 4^{1-x} \times 2^{-1} \times 4^x (2 + 4^x)^{-1}$
$= 4^x (4^x + 2)^{-1} + 2 (2 + 4^x)^{-1}$
$= (4^x + 2)(4^x + 2)^{-1}$
$= 1$
Từ đó suy ra:
$S = [f(\frac{1}{2010}) + f(\frac{2009}{2010})] + ... + [f(\frac{1004}{2010}) + f(\frac{1006}{2010})] +
f(\frac{1005}{2010})$
$= 1004 \times 1 + f(\frac{1005}{2010})$
Ghi vào màn hình (MathIO): $1004 + 4^X (4^X + 2)^{-1}$
Ấn (X?) nhập $1005 \div 2010$
Ấn kết quả: $\frac{2009}{2}$
Ấn kết quả: 1004.5
Vậy $S = 1004,5$.
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Tính gần đúng giá trị của a và b nếu đường thẳng $y = ax + b$ đi qua điểm $M(1; 2)$ và là tiếp tuyến của đồ thị
hàm số $y = -3x^2 + 4x - 5$.

(Trích đề thi HSGMT Toàn quốc năm 2009, lớp 12 BT THPT)
Giải bằng máy tính Casio fx-570ES
Tiếp tuyến đi qua $M(1; 2)$ nên có phương trình là: $y = k(x-1) + 2$
Khi đó hệ phương trình sau có nghiệm:
$\left\{\begin{array}{l}{-3x^2 + 4x - 5 = k(x-1) + 2 (*)}\\ {-6x + 4 = k (**)} \end{array} \right.$
Thế (**) vào (*) ta được: $-3x^2 + 4x - 5 = (-6x + 4)(x-1) + 2$
Ghi vào màn hình (MathIO): $-3A^2 + 4A - 5 = (-6A + 4)(A-1) + 2, A$
Ấn (Solve for A) nhập 5 ấn kết quả: $x_1 = 2,41423562$
Ghi vào màn hình (MathIO): $-3B^2 + 4B - 5 = (-6B + 4)(B-1) + 2, B$
Ấn (Solve for B) nhập $-5$ ấn kết quả: $x_2 = -0,414213562$
Tính k
Ghi vào màn hình: $C = -6X + 4$
Ấn (X?) nhập kết quả: $k_1 = -10,48528137$
Ghi vào màn hình: $D = -6X + 4$
Ấn (X?) nhập kết quả: $k_2 = 6,485281374$