BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI KHU VỰC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
ĐỀ THI CHÍNH THỨC NĂM 2010
Môn toán Lớp 9 Cấp THCS
Thời gian thi: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19/03/2010.
Bài 1. (5 điểm). Tính giá trị của các biểu thức sau :
a.
1 1 1 1
A= + ...
1 3 3 5 5 7 2009 2011
+ + +
+ + + +
b.
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
B= 1 1 ... 1
1 2 2 3 2009 2010
+ + + + + + + + +
c.
C 291945 831910 2631931 322010 1981945= + + + +
Kết quả
A = +++…+
= +++…+
=
= ≈ 21,92209
B = ++…+
= 1+ – +1+ – +…+1+ –
= 2010 – ≈ 2009,99950
C ≈ 541,16354
Bài 2. (5 điểm)
a. Một người gửi tiết kiệm 250.000.000 (đồng) loại kỳ hạn 3 tháng vào ngân hàng với lãi suất

10,45% một năm. Hỏi sau 10 năm 9 tháng , người đó nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi. Biết
rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó.
b. Nếu với số tiền ở câu a, người đó gửi tiết kiệm theo loại kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 10,5% một
năm thì sau 10 năm 9 tháng sẽ nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi. Biết rằng người đó không
rút lãi ở tất cả các định kỳ trước và nếu rút tiền trước thời hạn thì ngân hàng trả lãi suất theo loại
không kỳ hạn là 0,015% một ngày ( 1 tháng tính bằng 30 ngày ).
c. Một người hàng tháng gửi tiết kiệm 10.000.000 (đồng) vào ngân hàng với lãi suất 0,84% một
tháng. Hỏi sau 5 năm , người đó nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi. Biết rằng người đó không
rút lãi ra.
Kết quả
a. Gọi a là số tiền gửi ban đầu, r là lãi suất một kỳ hạn và n là số kỳ hạn thì số tiền cả vốn lẫn
lãi sau n kỳ hạn là : A = a(1+r)
n

+ Lãi suất một kỳ hạn 3 tháng là .3 = 2,6125%
+ 10 năm 9 tháng = 129 tháng = 43 kỳ hạn
+ Số tiền nhận được sau 10 năm 9 tháng là : A = 250 000 000
43
= 757 794 696,8 đ
b. + Lãi suất một kỳ hạn 6 tháng là .6 = 5,25%
1
+ 10 năm 9 tháng = 129 tháng = 21 kỳ hạn cộng thêm 90 ngày
+ Số tiền nhận được sau 10 năm 6 tháng là : B = 250 000 000(1+)
21
= 732 156 973,7 đ
+ Số tiền B được tính lãi suất không kỳ hạn trong 90 ngày tiếp theo,
nhận được số lãi là : C = 732 156 973,7 . . 90 = 98 841 191,45 đ
+ Và số tiền nhận được sau 10 năm 9 tháng là : B + C = 830 998 165,15 đồng.

c. Gọi lãi suất hàng tháng là x, số tiền gốc ban đầu là a đồng

+ Số tiền cả gốc và lãi cuối tháng 1 là : a + ax = a(1+ x) đ
+ Số tiền gốc đầu tháng 2 là : a(1+x) + a = a[(1+x)+1] = [(1+x)
2
–1] = [(1+x)
2
–1] đ
+ Số tiền cả gốc và lãi cuối tháng 2 là : [(1+x)
2
–1] + [(1+x)
2
–1].x = [(1+x)
3
–(1+x)]
+ Số tiền gốc đầu tháng 3 là : [(1+x)
3
–(1+x)] + a = [(1+x)
3
–(1+x)+x] = [(1+x)
3
– 1] đ
+ Số tiền cả gốc và lãi cuối tháng 3 là : [(1+x)
3
– 1] + [(1+x)
3
– 1].x = [(1+x)
3
– 1](1+x)
+ Tương tự, đến cuối tháng n thì số tiền cả gốc và lãi là : [(1+x)
n
– 1](1+x) đồng

Với a = 10 000 000 đồng, x = 0,84%, n = 60 tháng thì số tiền nhận được là :
D = [(1+ 0,0084)
60
–1](1+ 0,0084) = 782 528 635,8 đồng
Bài 3. (5 điểm)
a. Tìm giá trị của x biết.
x 3
0
1 2
2 2
1 1
2005 6
1 9
2006 3
1 9
2007 1
1 9
2008 9
1 2
2009 3
3
2
1
5
+ =
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +

+ +
+
b. Tìm x ,y biết :
14044 1
1
1
12343
7
1
3
1
1
1
9
1
x
y
= +
+
+
+
+
+

Kết quả
a. x = – 2,57961
b. x = 7 ; y = 6
Bài 4. (5 điểm) Tìm số dư ( trình bày cả cách giải) trong các phép chia sau:
a. 2009
2010

: 2011 ;
b. 2009201020112012 : 2020 ;
c. 1234567890987654321 : 2010 ;
2
Kết quả
a. 2009
2
≡ 4(mod 2011) ⇒ 2009
30
≡ 4
15
≡ 550 (mod 2011)
⇒ 2009
2010
≡ 550
67
(mod 2011)
Ta có : 550
2
≡ 850 (mod 2011) ⇒ 550
6
≡ 850
3
≡ 1798 (mod 2011)
⇒ 550
18
≡ 1798
3
≡ 1269 (mod 2011)
⇒ 550

54
≡ 1269
3
≡ 74 (mod 2011)
Mà 550
12
≡ 1798
2
≡ 1127 (mod 2011)
Nên 550
67
≡ 74.1127.550 ≡ 1 (mod 2011)
Do đó 2009
2010
≡ 1 (mod 2011)
Vậy số dư trong phép chia 2009
2010
: 2011 là 1
b. Số dư trong phép chia 200920102 : 2020 là 802
Số dư trong phép chia 802011201 : 2020 là 501
Số dư trong phép chia 5012 : 2020 là 972
Vậy số dư trong phép chia 2009201020112012 : 2020 là 972
c. Số dư trong phép chia 1234567890987654321 : 2020 là 471
Bài 5. (5 điểm)
a. Cho a = 11994 ; b = 153923 ; c = 129935. Tìm ƯCLN( a ; b; c) và BCNN( a; b; c);
b.
5 3 3 2 2
3 3 2 2 2
3x y 4x y 3x y 7x
P(x, y)

x y x y x y 7
- + -
=
+ + +
với x = 1,23456 ; y = 3,121235
Kết quả
a. + Ta có = = ⇒ ƯCLN(a,b) = 11994 : 6 = 1999
Và ƯCLN(1999,c) =1999. Vậy ƯCLN(a,b,c) =1999
+ BCNN(a,b) = 11994 . 77 = 923538
Ta có = = ⇒ BCNN(923538,c) = 923538 . 65 = 60029970
Vậy BCNN(a,b,c) = 60029970
b. 1,23456
3,121235
Ghi vào máy biểu thức (3X
5
Y
3
– 4X
3
Y
2
+ 3X
2
Y – 7X) : (X
3
Y
3
+ X
2
Y

2
+ X
2
Y + 7)
Ấn được kết quả là : 2,313486662
Vậy P = 2,31349
Bài 6. (5 điểm)
a. Viết giá trị của biểu thức sau dưới dạng số thập phân

2 o ' o ' o ' 2 o '
2 o ' 2 o '
sin 33 12 sin 56 48.sin 33 12 sin 56 48
A
2sin 33 12 sin 56 48 1
+ -
=
+ +
b. Tính các tích sau : B = 26031931 x 26032010 ; C = 2632655555 x 2632699999 .
Kết quả
a. Ta có : A =
=
3
=
Kết quả A ≈ 0,02515
b. Đặt x = 2603; y = 1931, ta có : B = (x.10
4
+ y)(x.10
4
+ y + 79)
= x

2
.10
8
+ 2xy.10
4
+ 79x.10
4
+ y
2
+ 79y
Kết hợp tính trên máy và ghi trên giấy, ta được :
x
2
.10
8
677560900000000
2xy.10
4
100527860000
79x.10
4
2056370000
y
2
3728761
79y 152549
B 677663488111310
b. Đặt x = 26326 ; y = 55555 ; z = 99999, ta có :
C = (x.10
5

+ y)(x.10
5
+ z) = x
2
.10
10
+ xy.10
5
+ xz.10
5
+ yz
Kết hợp tính trên máy và ghi trên giấy, ta được :
x
2
.10
10
6930582760000000000
xy.10
5
146254093000000
xz.10
5
263257367400000
yz 5555444445
B 6930992277015844445
Bài 7. (5 điểm) Tìm tứ giác có diện tích lớn nhất nội tiếp trong đường tròn ( O , R) cố định ( trình
bày cả cách giải)
Tính chu vi và diện tích tứ giác đó biết R = 5, 2358( m)
Kết quả
a. Dựng hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ cùng nội tiếp

với đường tròn (O) sao cho MP ⊥ BD
Ta sẽ chứng minh S
MNPQ
lớn nhất khi MNPQ là h.vuông.
Thật vậy, gọi h là chiều cao ∆MNP, h’ là chiều cao ∆MBP
thì h < h’ ⇒ S
MNP
= < = S
MBP
dấu ‘=’ xảy ra khi N ≡ B là điểm chính giữa cung MP.
Do đó, ta có :
S
MNPQ
= S
MNP
+ S
MPQ
< S
MBP
+ S
MDP
= S
MBPD
= S
MBD
+ S
PBD
< S
ABD
+ S

CBD
= S
ABCD
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi MNPQ trùng với ABCD, tức là MNPQ là hình vuông.
S
ABCD
= = 2R
2
= 2(5,2358)
2
= 54,82720328 Vậy S
ABCD
= 54,82720 (cm
2
)
P
ABCD
= 4.AB = 4R = 4.5,2358 = 29,61815748 Vậy P
ABCD
= 29,61816 (cm)
Bài 8. ( 5 điểm) Cho đa thức
5 4 3 2
P(x) x ax bx cx dx 6= + + + + +
a. Xác định các hệ số a, b, c, d biết P (–1) = 3 ; P(1) = 21 ; P(2) = 120 ; P(3) = 543 ;
b. Tính giá trị của đa thức tại x = –2,468 ; x = 5,555 ;
c. Tìm số dư trong phép chia đa thức P( x ) cho x + 3 và 2x – 5 .
Kết quả
4
a. Ta có hệ phương trình : ⇒
Vậy P(x) = x

5
+ 2x
4
+ 3x
3
+ 4x
2
+ 5x + 6
b. P(–2,468) = – 44,43691 và P(5,555) = 7865,46086
c. Số dư trong phép chia P(x):(x + 3) là P(–3) = –135
Số dư trong phép chia P(x):(2x – 5) là P() = 266,15625
Bài 9. (5 điểm) Cho dãy số :
( ) ( )
n n
n
9- 11 - 9+ 11
U =
2 11
với n = 0; 1; 2; 3; …
a. Tính 5 số hạng U
0
; U
1
; U
2
; U
3
; U
4
.

b. Trình bày cách tìm công thức truy hồi U
n+2

theo U
n+1
và U
n
.

c. Viết quy trình ấn phím liên tục tính U
n+2

theo U
n+1
và U
n
. Từ đó tính U
5
và U
10

Kết quả
a. Thay n = 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 vào công thức ta được :
n 0 1 2 3 4
U
n
0 –1 –18 –254 –3312
b. Cho U
n + 2
= aU

n + 1
+ bU
n
+ c. Thay n = 0 ; 1 ; 2 vào công thức, ta được hệ phương trình :
⇒ ⇒
Vậy U
n + 2
= 18U
n + 1
– 70U
n

c. Quy trình bấm phím liên tục tính U
n + 2
trên máy Casio 570MS, 570ES :
Đưa U
1
vào A, tính U
2
rồi đưa vào B: – 1 18 – 700
Lặp lại dãy phím : 18 – 70 (được U
3
)
18 – 70 (được U
4
)
Do đó tính được U
5
= – 41836
Và U

9
= – 982396816, ghi giấy rồi tính được U
10
= – 12105999648
Bài 10. (5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD chứa vừa khít 3 đường tròn trong nó ( hình vẽ) , biết
bán kính đường của đường tròn bằng 20 cm
a. Tính diện tích phần hình phẳng nằm ngoài các hình tròn trong hình vẽ .
b. Cho hình chữ nhật ABCD quay một vòng xung quanh trục là đường thẳng đi qua tâm của các
đường tròn . Tính thể tích vật thể được tạo nên bởi phần hình tìm được ở câu a
Kết quả
a. Ta có BC = 2R = 40 cm; AC = 6R = 120 cm
+ Diện tích hình chữ nhật ABCD là : S
1
= AB.AC = 4800 cm
2
+ Diện tích mỗi hình tròn là : S
2
= πR
2
= 400π cm
2
+ Diện tích cần tìm là : S = S
1
– 3S
2
= 4800 – 1200π (cm
2
)
S ≈ 1030,08881 (cm
2

)
b. Khi cho hình trên quay một vòng quanh trục là đường thẳng qua tâm
của các hình tròn thì h.chữ nhật tạo nên một hình trụ có bán kính đáy
5