WWW.VNMATH.COM
Chương 6
Mũ và lôgarít
6.1 Hàm số mũ, hàm số lũy thừa
Bài 6.1 : Rút gọn biểu thức sau trong miền xác định của nó :
1. P =
x
³⁄₂
+ y
³⁄₂
(x
2
− xy)
²⁄₃
:
x
²⁄₃
.
3
√
x − y
x
√
x − y
√
y
.
2. Q = a
3
¾



4
√
a +
4
√
b

2
+

4
√
a −
4
√
b

2
a +
√
ab
¿

.
3

a.
√
a.

3. R =

x + y
³⁄₂
:
√
x

²⁄₃
:
æ
√
x −
√
y
√
x
+
√
y
√
x −
√
y
é
²⁄₃
.
4. T =
æ
1

x
¹⁄₂
− 4x
¹⁄₂
−
2
3
√
x
x
3
√
x − 4
3
√
x
é
2
−
√
x
2
+ 8x + 16.
Bài 6.2 : Cho x < 0, chứng minh rằng :

−1 +
Ö
1 +
1
4

(
2
x
− 2
−x
)
2
1 +
Ö
1 +
1
4
(
2
x
− 2
−x
)
2
=
1 − 2
x
1 + 2
x
.
Bài 6.3 : Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số y =
2
x
+ 2
−x

2
.
Bài 6.4 : Xét hàm số f(x) =
2
x
+ 2
−x
2
và g(x) =
2
x
− 2
−x
2
. Chứng minh rằng với mọi x
1
, x
2
ta có các hệ thức sau :
1. f(x
1
+ x
2
) + f(x
1
− x
2
) = 2 f(x
1
)f(x

2
).
2. g(2x
1
) = 2g(x
1
)f(x
1
).
3. f(2x
1
) = 2f
2
(x
1
) − 1.
Bài 6.5 : Cho hàm số f(x) =
4
x
4
x
+ 2
. Tính tổng : S = f

1
1993

+ f

2

1993

+ ··· + f

1992
1993

.
6.2 Hàm số logarit
Bài 6.6 : Tính các đại lượng sau :
1. A = 9
2 log
3
4+4log
81
2
.
2. B = log
a

a
2
.
3
√
a.
5
√
a
4

4
√
a

, với a > 0, a  1.
Bài
6.7 : Cho log
12
27 = a. Tính theo a giá trị của log
6
16.
127
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 6.8 : Cho log
14
28 = a. Tính theo a giá trị của log
49
16.
Bài 6.9 : log
49
16 =
2a − 2
2 − a
Bài 6.10 : Cho lg 392 = a;lg 112 = b. Tính log
5
7 theo a và b.
Bài 6.11 : Biết log
2
3 = a; log

3
5 = b;log
7
2 = c. Tính theo a, b, c giá trị của log
140
63.
Bài 6.12 : Cho log
4
75 = a;log
8
45 = b. Tính log
3
√
25
135 theo a và b.
Bài 6.13 : Cho a, b > 0 và a
2
+ b
2
= 7ab. Chứng minh rằng với mọi α > 0, α  1, ta có :
log
α
a + b
3
=
1
2
 
log
α

a + log
α
b
¡
Bài 6.14 : Chứng minh rằng : 2008 = − log
5

log
5
5
Õ
5

. . .
5
√
5


ßÞ


2008 dấu căn
à
.
Bài 6.15 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông, với độ dài cạnh huyền là c. Giả sử c± b  1. Chứng minh
rằng :
log
c+b
a + log

c−b
a = 2log
c+b
a. log
c−b
a.
Bài 6.16 : Cho log
12
18 = α, log
24
54 = β. Chứng minh rằng : α.β + 5(α − β) = 1.
Bài 6.17 : Giả sử :
x(y + z − x)
lg x
=
y(z + x − y)
lg y
=
z(x + y − z)
lg z
. Chứng minh rằng :
x
y
y
x
= z
y
y
z
= z

x
x
z
.
Bài 6.18 : Cho N > 0 và N  1. Chứng minh rằng :
1
log
2
N
+
1
log
3
N
+ ··· +
1
log
2008
N
=
1
log
2008!
N
.
Bài 6.19 : Cho y = 10
1
1 − lg x
; z = 10
1

1 − lg y
. Chứng minh rằng : x = 10
1
1 − lg z
.
Bài 6.20 : Tìm các giới hạn sau :
1. A = lim
x→0
e
5x+3
− e
3
2x
.
2. B = lim
x→0
e
x
− 1
√
x + 1 − 1
.
3. C = lim
x→0
ln(1 + x
3
)
2x
.
4. D = lim

x→0
ln(1 + 2x)
tan x
.
Bài 6.21 : Cho hàm số y = ln
1
1 + x
. Chứng minh rằng : xy
′
+ 1 = e
y
.
Bài 6.22 : Cho hàm số y =
1
1 + x + ln x
. Chứng minh rằng : xy
′
= y(yln x − 1).
Bài 6.23 : Cho hàm số y = e
−x
sin x. Chứng minh rằng : y
′′
+ 2y
′
+ 2y = 0.
Bài 6.24 : Cho y = sin(ln x) + cos(ln x). Chứng minh rằng : y + xy
′
+ x
2
y

′′
= 0.
Bài 6.25 : Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số y =

1
3

2−x
và y = 3
x
2
−3x+1
.
Bài 6.26 : Cho 0 < x < 1;0 < y < 1; y > x. Chứng minh rằng :
1
y − x

ln
y
1 − y
− ln
x
1 − x

> 4.
Bài 6.27 : Cho x > y > 0. Chứng minh rằng :
x + y
2
>
x − y

ln x − ln y
.
Bài 6.28 : Chứng minh rằng, nếu x > 0 thì ln x <
√
x.
Bài 6.29 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
ln
2
x
x
, trên
ä
1;e
3
ç
.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 128
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
6.3 Phương trình mũ và logarit
Vấn đề 1 : Phương trình cơ bản

Khi giải phương trình chứa mũ hoặc logarit ta cần đặt điều kiện cho ẩn, cụ thể
• a
x
xác định khi 0 < a  1;
• log
a
x xác định khi 0 < a  1 và x > 0.

Ta có một số phương trình cơ bản sau (giả sử 0 < a  1) :
1. a
f(x)
= a
g(x)
⇔ f(x) = g(x).
2. a
f(x)
= b ⇔ f(x) = log
a
f(x).
3. log
a
f(x) = log
a
(g(x)) ⇔



f(x) > 0 (hoặc g(x) > 0)
f(x) = g(x).
4. log
a
f(x) = b ⇔ f(x) = a
b
.
Bài 6.30 : Giải các phương trình sau :
1. 2
x
= 8;

2. 9
x
= 27;
3. 3
x
= 5;
4. 4
2x+1
= 1;
5. e
x
= 2;
6. log
3
x = log
3
5;
7. log
2
x =
1
2
;
8. ln x = 0;
9. log x = −4.
Bài 6.31 : Giải các phương trình sau :
1. (2 +
√
3)
2x

= 2 −
√
3;
2. 2
x
2
−3x+2
= 4;
3. 2.3
x+1
− 6.3
x−1
− 3
x
= 9;
4. 9
x+1
= 27
2x+1
;
5. log
2
1
x
= log
1
2
(x
2
− x − 1);

6. log
4
(x + 12).log
x
2 = 1;
7. log
3
x + log
9
x + log
27
x = 11;
8. log
3
(3
x
+ 8) = 2 + x.
Bài 6.32 : Giải các phương trình sau :
1. log
2
[x(x − 1)] = 1;
2. log
2
x + log
2
(x − 1) = 1;
3. log
2
x + log
4

x = log
1
2
√
3;
4. log
2
(3 − x) + log
2
(1 − x) = 3;
5. 1−
1
2
log(2x − 1) =
1
2
log(x− 9);
6.
1
6
log
2
(x−2)−
1
3
= log
1
8
√
3x − 5.

TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 129
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Vấn đề 2 : Phương pháp logarit hai vế

Khi phương trình mỗi vế là tích của các hàm số mũ hoặc các hằng số.
Phương pháp là lấy logarit hai vế theo một cơ số thích hợp.
Bài 6.33 : Giải các phương trình sau :
1. 3
x−1
.2
x
2
= 8.4
x−2
;
2. 2
x
.5
x
= 0,2. log

10
x−1

5
;
3. 0,125.4
2x−3

=

4
√
2

x
;
4. 2
x+1
.5
x
= 200;
5. 3
x
.8
x
x+1
= 36;
6. 3
2−log
3
x
= 81x;
7. 3
4
x
= 4
3
x

;
8. 5
x−1
= 10
x
.2
−x
.5
x+1
;
9. 32
x+5
x−7
= 0,25.128
x+17
x−3
.
Vấn đề 3 : Phương pháp đặt ẩn phụ

1. Nếu đặt t = a
x
, điều kiện t > 0;
2. Nếu đặt t = log
a
x, về cơ bản không cần đặt điều kiện cho t;
3. Nếu phương trình chứa tham số ta cần đặt điều kiện chặt cho ẩn t.
4. Một số cách đặt thông thường :
(a) Nếu t = a
x
thì a

2x
= t
2
, a
−x
=
1
t
;
(b) Nếu đặt t = log
a
b thì log
b
a =
1
t
;
(c) Nếu đặt t =
√
u(x) thì u(x) = t
2
;
(d) Với phương trình chứa (a ±
√
b) mà (a +
√
b)(a −
√
b) = 1, nếu đặt t = (a +
√

b)
x
thì (a −
√
b)
x
=
1
t
.
(e) Với phương trình dạng α.a
x
+ β.b
x
+ γ.c
x
= 0, ta thường chia hai vế cho a
x
(hoặc b
x
hoặc c
x
) rồi đặt ẩn phụ.
Bài 6.34 : Giải các phương trình sau :
1. 3
2x+5
= 3
x+2
+ 2;
2.

6
log
2
2x
+
4
log
2
x
2
= 3;
3. log
2
2
x − 3 log
2
x + 2 = 0;
4.
1
5 − log x
+
2
1 + log x
= 1;
5. log
1
2
x + log
2
2

x = 2;
6. 3.4
x
− 2.6
x
= 9
x
;
7. 3
x+1
+ 18.3
−x
= 29;
8. 27
x
+ 12
x
= 2.8
x
;
9. log
2
x
3
− 20log
√
x + 1 = 0;
10. log
9x
27− log

3x
3 + log
9
243 = 0;
11.
log
2
x
log
4
2x
=
log
8
4x
log
16
8x
;
12. log
3
(3
x
− 1).log
3

3
x+1
− 3


=
12;
13. log
x−1
4 = 1 + log
2
(x − 1);
14. 5

log
2
(−x) = log
2
√
x
2
;
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 130
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
15. 3
log
4
x+
1
2
+ 3
log
4

x−
1
2
=
√
x;
16. 4
−
1
x
+ 6
−
1
x
= 9
−
1
x
;
17. 4
ln x+1
− 6
ln x
− 2.3
ln x
2
+2
= 0;
18. 3


log
2
x − log
2
8x + 1 = 0;
19. log
2
1
2
(4x) + log
2
x
2
8
= 8.
20. 2
sin
2
x
+ 4.2
cos
2
x
= 6;
21. 4
3+2 cos 2x
− 7.4
1+cos 2x
= 4
1

2
.
Vấn đề 4 : Phương pháp phân tích thành nhân tử

Bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức, tìm cách đặt nhân tử chung đưa về dạng AB = 0, tương đương với
¾

A = 0
B = 0.
Bài 6.35 : Giải các phương trình sau :
1. 8.3
x
+ 3.2
x
= 24 + 6
x
;
2. 12.3
x
+ 3.15
x
− 5
x+1
= 20;
3. log
2
x + 2 log
7
x = 2 + log
2

x. log
7
x;
4. 2. log
2
9
x = log
3
x. log
3

√
2x + 1 − 1

;
5. 4
x
2
−3x+2
+ 4
x
2
+6x+5
= 4
2x
2
+3x+7
+ 1;
6. 4
x

2
+x
+ 2
1−x
2
= 2
(x+1)
2
+ 1.
Vấn đề 5 : Phương pháp đánh giá

Cơ sở của phương pháp này là chúng ta sử dụng bất đẳng thức hoặc phương pháp hàm số đế đánh giá.
Cách 1 : Cơ sở nhận dạng :
(a) Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên (a; b) và hàm số y = g(x) nghịch biến trên (a; b) thì phương trình
f(x) = g(x) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
(b) Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f(x) = c (với c là hằng số)
nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Phương pháp giải là :
(a) Nhận thấy x = x
0
là một nghiệm của phương trình đã cho.
(b) Nếu x > x
0
, ta suy ra vế trái lớn hơn vế phải hoặc ngược lại.
(c) Nếu x < x
0
, ta suy ra vế trái lớn hơn vế phải hoặc ngược lại.
(d) Kết luận phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = x
0
.

Cách 2 : Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a;b) thì phương trình f(u) = f (v) tương đương với
u = v.
Cách 3 : Nếu hàm số y = f(x) thỏa mãn f
′
(x) = 0 có nhiều hơn 1 nghiệm thì chúng ta lập bảng biến thiên để suy ra
phương trình có tối ta bao nhiêu nghiệm, rồi nhẩm đủ số nghiệm đó, dẫn đến đó là tất cả các nghiệm của phương
trình.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 131
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Cách 4 : Nếu f(x) ≥ c và g(x) ≤ c thì phương trình f(x) = g(x) tương đương với



f(x) = c
g(x) = c.
Bài 6.36 : Giải các phương trình sau :
1. 2
x
= 3 − x;
2. 2
x
= 2 − log
3
x;
3. log
2
x = 3 − x;
4. 3

x
+ 4
x
= 5
x
;
5. 4
x
− 3
x
= 1;
6.

1
3

x
= x + 4;
7.

sin
π
5

x
+

cos
π
5


x
= 1.
6.4 Bất phương trình mũ và logarit
Vấn đề 1 : Bất phương trình cơ bản

Giải bất phương trình chứa mũ và logarit chúng ta cần chú ý đến cơ số :
• Nếu cơ số a > 1 thì bất phương trình đạt được cùng chiều;
• Nếu cơ số 0 < a < 1 thì bất phương trình đạt được ngược chiều.
• Khi biến đổi bất phương trình phải bảo đảm biểu thức trong logarit là dương.
Dưới đây là một số dạng bất phương trình cơ bản :
1. a
f(x)
> a
g(x)
, ta có các khả năng sau :
(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với f(x) > g(x);
(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với f(x) < g(x).
2. a
f(x)
< b. Khi b ≤ 0 thì bất phương trình vô nghiệm. Khi b > 0, ta có các khả năng sau :
(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với f(x) < log
a
b;
(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với f(x) > log
a
b.
3. a
f(x)
> b. Khi b ≤ 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định. Khi b > 0, ta có các khả năng

sau :
(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với f(x) > log
a
b;
(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với f(x) < log
a
b.
4. log
a
f(x) = log
a
g(x), ta có các khả năng sau :
(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với f(x) > g(x) > 0;
(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với 0 < f(x) < g(x).
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 132
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
5. log
a
f(x) > b, ta có các khả năng sau :
(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với f(x) > a
b
;
(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với



f(x) > 0
f(x) < a

b
.
6. log
a
f(x) < b, ta có các khả năng sau :
(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với



f(x) > 0
f(x) < a
b
;
(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với f(x) > a
b
.
Bài 6.37 : Giải các bất phương trình sau :
1. 2
3−6x
> 1;
2. 16
x
> 0,125;
3. log
5
(3x − 1) < 1;
4. log
1
3
(5x − 1) > 0;

5. log
0,5
(x
2
− 5x + 6) ≥ −1;
6. log
3

log
1
2
(x
2
− 1)

< 1;
7. log
3
1 − 2x
x
≤ 0;
8. 2
x+2
− 2
x+3
− 2
x+4
> 5
x+1
− 5

x+2
;
9. log
0,5
(4x + 11) < log
0,5
(x
2
+ 6x + 8);
10. log
1
3
(x + 1) > log
3
(2 − x);
11. log
0,1
(x
2
+ x − 2) > log
0,1
(x + 3);
12. log
1
3
(x
2
− 6x + 5) + 2log
3
(2 − x) ≥ 0;

13. log
1
5
(x
2
− 6x + 18) + 2 log
5
(x − 4) < 0;
14. log
2
å
log
0,5

2
x
−
31
16
è
≤ 2;
15.

1
3

log
3
2


log
1
3

x
2
2
+2
log
2
x−1

+3

≥ 1.
Vấn đề 2 : Phương pháp đặt ẩn phụ

Chúng ta thực hiện giống như phương pháp giải phương trình.
Bài 6.38 : Giải các bất phương trình sau :
1. 9
x
< 2.3
x
+ 3;
2. 5
2x+1
> 5
x
+ 4;
3. log

2
0,5
x + log
0,5
x − 2 ≤ 0;
4. 2
x
+ 2
−x+1
− 3 < 0;
5. 4
x
− 2.5
2x
< 10
x
;
6. 4
x
− 3.2
x
+ 2 > 0;
7. log
2
3
x − 5 log
3
x + 6 ≤ 0;
8. log
2

0,2
x − 5 log
0,2
x < −6;
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 133
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Vấn đề 3 : Phương pháp phân tích thành nhân tử

Bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức, tìm cách đặt nhân tử chung đưa về dạng
1. AB ≥ 0, tương đương với



A ≥ 0
B ≥ 0
hoặc



A ≤ 0
B ≤ 0.
2. AB ≤ 0, tương đương với



A ≥ 0
B ≤ 0
hoặc




A ≤ 0
B ≥ 0.
Chú ý rằng nếu biết chắc chắn một trong hai nhân tử A và B là dương hoặc âm thì ta có thể chia hai vế cho số đó. Tuy nhiên,
nếu chỉ biết A ≥ 0 hoặc A ≤ 0 thì không được chia. Chẳng hạn, bất phương trình
√
AB ≥ 0 không thể tương đương với
B ≥ 0, chúng ta xử lí bất phương trình này như sau :
• Nếu
√
A = 0, bất phương trình luôn đúng với điều kiện thỏa mãn tập xác định.
• Nếu
√
A > 0, bất phương trình tương đương với B ≥ 0.
Bài 6.39 : Giải các bất phương trình sau :
1. 3 + x
2
(2
x−1
+ 2
2−x
) > 3x
2
+ 2
2−x
+ 2
x−1
;

2. 2
x+1
+ (5x
2
+ 11)2
1−x
− x
2
< 24 − x

1 − (x
2
− 9)2
−x

;
3.
√
−3x
2
− 5x + 2 + 2x ≥ 3
x
.2x
√
−3x
2
− 5x + 2 + 4x
2
.3
x

;
6.5 Hệ phương trình
Khi giải hệ phương trình mũ và lôgarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như phương pháp thế,
phương pháp cộng đại số, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp biến đổi đưa về hệ phương trình đại số thông thường,
phương pháp đánh giá, phương pháp đưa về cùng cơ số,.. .
Bài 6.40 : Giải các hệ phương trình sau :
1.



2
x+y
+ 3
y
= 5
2
x+y
.3
y−1
= 2;
2.



2
2x−y
+ 2
x
= 2
1+y

log
2
x.
 
log
4
y − 1
¡
= 4;
3.



xy = 1
log
2
x + lo
g
2
y = 2;
4.



x + y = 20
log
4
x + log
4
y = 1 + log

4
9;
5.



x + y = 1
4
−2x
+ 4
−2y
= 0,5;
6.



3
−x
.2
y
= 1152
lo
g
√
5
(x + y) = 2;
7.




x
2
− y
2
= 2
log
2
(x + y) − log
3
(x − y) = 1;
8.



3.2
x
+ 2.3
y
= 2,75
2
x
− 3
y
= −0, 75;
9.



log
5

x + log
5
7. l
og
7
y = 1 + log
5
2
3 + log
2
y = log
2
5(1 + 3 log
5
x);
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 134
www.VNMATH.com www.VNMATH.com