de thi hsg so 2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (113.55 KB, 6 trang )
đề thi học sinh giỏi
môn thi : toán (Thời gian 150 phút )
Bài 1: (3 đ) Giải các phơng trình:
a.
2
4 2 6 11x x x x + = +
b.
x-3
(x-3)(x+3) -5 (x+3) 4
x+3
=
c.
4 4 4 2
1 1 1 3x x x+ + + =
Bài 2: (4 đ)
a. Cho biểu thức:
2 2 4 4 2 2 4 4
. 2 1
2 1 2 1
x x x x
A x
x x x x
+ +
=
+ +
b. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
x
3
y+xy
3
-3x
2
-3y
2
=17
c. Tìm mọi cặp số nguyên dơng (x; y) sao cho
1
2
2
4
+
+
yx
x
là số nguyên dơng.
Bài 3: (3 đ)
a. Với a > 0 ; b > 0 cho trớc và x,y > 0 thay đổi sao cho :
1
=+
y
b
x
a
. Tìm x,y để x + y đạt giá trị nhỏ nhất.
b. Cho x, y, z là các số dơng thoả mãn xyz =1.
Tìm GTNN của biểu thức :
E =
)(
1
)(
1
)(
1
333
yxzxzyzyx
+
+
+
+
+
.
Bài 4: (2 đ) Cho tam giác vuông ABC (Â= 90
0
) có đờng cao AH. Gọi trung điểm của BH là P. Trung
điểm của AH là Q.
Chứng minh : AP
CQ.
Bài 5: (3 đ) Cho đờng tròn (o) nội tiếp tam giác đều ABC. Một tiếp tuyến của đờng tròn cát các cạnh
AB và AC theo thứ tự tại M và N.
a. Chứng minh rằng:
2 2 2
.MN AM AN AM AN= +
b. Chứng minh rằng:
1
NM AN
MB NC
+ =
Bài 6:(3 đ) Giải hệ phơng trình:
a.
+=+
=++
yxyx
xyyx
3
1
33
22
; b.
=+++
=+++
04
0252
22
22
yxyx
xyxyyx
Bài 7:(2 đ) Chứng minh bất đẳng thức sau:
xy1
2
y1
1
x1
1
22
+
+
+
+
với x 1, y 1
---------- Ht ----------
Đáp án:
Bài 1: Giải các phơng trình sau;
a.
2
4 2 6 11x x x x + = +
đặt A =
4 2x x +
(
0)A
2
2 2 (4 )( 2) 2 (4 ) ( 2) 4A x x x x= + + + =
0 2A
(1)
Đặt B =
2 2
6 11 ( 3) 2 2x x x + = + (2)
Để A = B khi va chỉ khi : 4-x = x-2
3x =
Vậy nghiệm phơng trình x = 3
b.
x-3
(x-3)(x+3) -5 (x+3) 4
x+3
=
(1) ĐK: 3x < hoặc 3x
đặt
x-3
(x+3)
x+3
y=
(2)
2
( 3)( 3)y x x = +
Từ (1) ta có:
2
5 4 0y y + =
1 2
1; 4y y = =
Với y > 0 do đó x + 3 > 0
x 3
Với y = 1 thay vòa (2) ta đợc:
2
9 1 10x x = =
Do x > 3 nên
10x =
Với y = 4 thay vào (2) ta đợc:
2
9 16 5x x = =
Do 3x nên x = 5
Vậy nghiệm phơng trình là:
10x =
; x = 5
b.
4 4 4 2
1 1 1 3x x x+ + + =
; ĐK:
1 1x
Đặt
4 4
1 ( 0); 1 ( 0)x a a x b b+ = =
Ta có:
4 4 4
3a b ab+ + =
1 1
3
2 2 2
a b a b
a b a b
+ + +
= + + + +
1 1
1 1 2 3
2 2 2
a b a b
a b
+ + +
= + + + + = + =
Phải sảy ra đẳng thức khi a= b = 1
Do đó : x = 0
Vậy nghiệm phơng trình x = 0
Bài 2: a. Rút gọn biểu thức
2 2 4 4 2 2 4 4
. 2 1
2 1 2 1
x x x x
A x
x x x x
+ +
=
+ +
ĐK:
2x
Ta bình phơng 2 vế ta đợc
2
2
2
2 4 16 16 2 2 4
.(2 1) (2 1) 4 4
1
2 1
x x x x x
A x x x
x x
x x x
+ + +
= = =
+
+ +
.Suy ra
2 1A x=
b. phơng trình: x
3
y + xy
3
- 3x
2
- 3y
2
= 17 (x
2
+ y
2
)(xy - 3) = 17 = 17.1
Do x,y nguyên dơng nên x
2
+ y
2
>1
2 2 2 2
17 ( ) 2 17 ( ) 25
3 1 4 4
x y x y xy x y
xy xy xy
+ = + = + =
= = =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=+
=
=+
-4y
-1x
hoặc
4y
1x
hoặc
1
4
1
4
4
5
4
5
y
x
y
x
xy
yx
xy
yx
Kết luận:
=
=
4y
1x
hoặc
=
=
1y
4x
hoặc
=
=
1y
4x
hoặc
=
=
4y
1x
c. Đặt
1
2
2
4
+
+
yx
x
= a Với a là số nguyên dơng thì x
4
+ 2 = a(x
2
y + 1) x
2
(x
2
- ay) = a - 2 (1)
Xét 3 trờng hợp sau :
TH1: Nếu a = 1 thì từ (1) ta có : x
2
(x
2
- y) = - 1
=
=
11
1
2
y
x
=
=
2
1
y
x
TH2: Nếu a = 2 thì từ (1) có x
2
(x
2
- 2y) = 0, suy ra x
2
= 2y nên có nghiệm x = 2k, y = 2k
2
với k là số
nguyên dơng
TH3: Nếu a > 2 thì từ (1), có a 2 > 0 và (a 2) chia hết cho x
2
nên a 2 x
2
a x
2
+ 2 > x
2
Từ đó 0 < x
2
- ay < x
2
- x
2
y 0. Điều này không xảy ra
Vậy: Cặp số nguyên dơng (x; y) thoả mãn đề ra là :
(1; 2) và (2k; 2k
2
) với k là số nguyên dơng.
Bài 3: a. áp dụng BĐT Bu_ nhi_ a_ cốp_ xki ta có :
(
)
2
2
2
22
..
+
+
+=+
y
b
y
x
a
x
y
b
x
a
yxyx
hay
( )
2
bayx
++
I
Q
P H
C
B
A
r
K
E
D
H
N
M
CB
A
o
Dấu = xảy ra khi :
y
b
y
x
a
x
=
hay :
ba
ba
yx
b
y
a
x
+=
+
+
==
Tức là : khi
( )
baax
+=
;
( )
baby
+=
Vậy min (x+y) =
( )
2
ba
+
khi :
( )
baax
+=
( )
baby
+=
b. Đặt a =
x
1
, b =
y
1
, c =
z
1
abc =
xyz
1
= 1
x + y = c(a + b)
y + z = a(b + c)
x + z = b(c + a)
E =
cb
a
+
2
+
ac
b
+
2
+
ba
c
+
2
Dễ dàng chứng minh đợc
cb
a
+
+
ac
b
+
+
ba
c
+
2
3
Nhân hai vế với a + b + c > 0
cb
cbaa
+
++
)(
+
ac
cbab
+
++
)(
+
ba
cbac
+
++
)(
2
3
(a+b+c)
cb
a
+
2
+
ac
b
+
2
+
ba
c
+
2
2
cba
++
2
3
3
abc
=
2
3
E
2
3
. Dấu "=" xảy ra a = b = c = 1 .Vậy min E =
2
3
khi a = b = c = 1
Bài 4:
Gọi I là giao điểm của CQ và AP
Ta có : CAH = ABH (1) ( 2 góc có cạnh tơng ứng vuông góc)
Hai tam giác vuông CAH và ABH có 1 góc nhọn bằng nhau
AH
BH
CA
AB
ABHCAH
=
~
AQ
BP
CA
AB
AQ
BP
CA
AB
==
2
2
(2)
Từ (1) và (2)
CAQABP
~
(c.g.c)
AQ
BP
CQ
AP
=
mà
QH
PH
CQ
AP
QH
PH
AQ
BP
==
HAPHCQ
~
(cạnh góc vuông và cạnh huyền tơng ứng tỉ lệ)
HAP = HCQ
Xét tam giác IQA và HQC có : Q
1
= Q
2
(đối đỉnh)
HAP = HCQ ( chứng minh trên)
HQCIQA ~
AIQ = CHQ = 90
0
hay : AI
CQ (đpcm)
Bài 5:
a. Đặt AB = AC = BC = a; AM = x; AN = y; MN = z
Hạ đờng cao NH AB (
H AB
)
Trong tam giác vuông ANH (
à
0
90H =
)
Có
à
ã
0 0
60 30A ANH= =
2
y
AH =
;
3
2
y
NH =
2
y
HM x=
; theo định lý Py-ta-go ta có:
2 2 2 2 2 2 2
3
( ) ( )
2 2
y y
MN HM NH x x y xy= + = + = +
Hay
2 2 2
.MN AM AN AM AN= +
(đpcm)
b.Ta có: MD = MK; NE = NK (t/c tiếp tuyến)
AM AN MN AD AE a + + = + =
;
Ta phải c/m:
1
AM N
BM CN
+ =
; do đó ta có:
1 1
x y x y
a x a y y z x z
+ = + =
+ +
( ) ( ) ( )( )x x z y y z x z y z + + + = + +
2 2 2
x xz y yz xy xz zy z + + + = + + +
2 2 2
x y z + = ( c/m câu a)
Vậy
1
AM N
BM CN
+ =
(đpcm)
Bài 6:
Giải hệ phơng trình
Từ (1) ta có PT (2) có dạng :
33
yx
+
=
))(3(
22
xyyxyx
+++
33
yx
+
232223
333 xyyyxyxxyx
+++++=
0244
322
=++ yyxyx
0)22(2
22
=++
yxyxy
[ ]
0)(2
22
=++
yxxy
=++
=
0)(
0
22
yxx
y
=
=
=
xy
x
oy
0
=
=
=
0
0
y
x
oy
+ Với y = 0 thay vào (1) ta đợc x
2
=1
x
1
+ Với x = 0, y = 0 thay vào (1) không thỏa mãn
x= 0, y = 0 loại
Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm (x,y) là (1,0) và (-1,0)
b. Giải hệ:
=+++
=++
)2(04
)1(0252
22
22
yxyx
yxyxyx
Từ (1) 2x
2
+ (y - 5)x - y
2
+ y + 2 = 0
+
=
+
=
=
=
=++=
2
1
4
)1(35
2
4
)1(35
)1(9)2(8)5(
222
yyy
x
y
yy
x
yyyy
x
* Với: x = 2 - y, ta có hệ:
1
012
2
04
2
2
22
==
=+
=
=+++
=
yx
yy
yx
yxyx
yx
*Với
2
1
+
=
y
x
, ta có hệ:
+=+
=++
)2(3
)1(1
33
22
yxyx
xyyx
