Ảnh hưởng của trường bức xạ laser lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần (tán xạ điện tử - phonon âm) : Luận văn ThS. Vật lý: 60 44 01
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.43 MB, 59 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------
Ngô Thị Hà
ẢNH HƯỞNG CỦA TRƯỜNG BỨC XẠ LASER LÊN HẤP THỤ
SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG SIÊU
MẠNG HỢP PHẦN
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Hà Nội – Năm 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------
Ngô Thị Hà
ẢNH HƯỞNG CỦA TRƯỜNG BỨC XẠ LASER LÊN HẤP THỤ
SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG SIÊU
MẠNG HỢP PHẦN
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60 44 01
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS ĐINH QUỐC VƯƠNG
Hà Nội – Năm 2011
Luận văn thạc sĩ-Ngô Thị Hà
Mục lục
CHƯƠNG 1................................................................................................................ 5
SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ BÀI TOÁN ẢNH HƯỞNG CỦA TRƯỜNG
BỨC XẠ LASER LÊN HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ
GIAM CẦM TRONG BÁN DẪN KHỐI. ............................................................... 5
1.1 Khái quát về siêu mạng hợp phần…………………………………………...5
1.2 Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong bán dẫn khối khi
có mặt trường laser. ............................................................................................... 7
1.2.1 Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong bán
dẫn khối. .......................................................................................................... 7
1.2.2 Tính hệ số hấp thụ ................................................................................ 14
CHƯƠNG 2.............................................................................................................. 20
PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
VÀ HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM
TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN KHI CÓ MẶT TRƯỜNG LASER
(TRƯỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON ÂM). ....................................... 20
2.1 Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong siêu mạng hợp phần ................... 20
2.2 Xây dựng phương trình động lượng tử trong siêu mạng hợp phần. .............. 21
2.3 Tính hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng
hợp phần khi có mặt trường laser. ....................................................................... 32
CHƯƠNG 3.............................................................................................................. 43
TÍNH TOÁN SỐ VÀ BÀN LUẬN ......................................................................... 43
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 46
Tài liệu tham khảo .................................................................................................. 47
Phụ lục ...................................................................................................................... 49
1
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 3.1: sự phụ thuộc của hệ số hấp hấp thụ vào nhiệt độ.
Hình 3.2: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào cường độ sóng điện từ yếu Eo1.
Hình 3.3 sự phụ thuộc hệ số hấp thụ vào chiều dài siêu mạng
Hình 3.4: Sự phụ thuộc hệ hấp thụ vào năng lượng sóng điện từ yếu.
Hình 3.5: Ảnh hưởng của trường bức xạ laser lên hệ số hấp thụ.
Luận văn thạc sĩ-Ngô Thị Hà
Mở đầu
Một trong những hướng của khoa học ứng dụng hiện nay là tích hợp lại để
cùng nghiên cứu các đối tượng nhỏ bé có kích thước tiến đến kích thước của
nguyên tử. Chính xu hướng này đã làm cho vật liệu nano (nano materials) trở thành
một trong những lĩnh vực nghiên cứu thu hút được sự quan tâm chú ý của nhiều nhà
vật lý, cả lý thuyết lẫn thực nghiệm. Nghành Vật lý nghiên cứu này gọi là Vật lý hệ
thấp chiều hay Vật lý có cấu trúc nano. Cấu trúc thấp chiều có ưu điểm là tính chất
quang của các thiết bị dựa trên bán dẫn thấp chiều có thể được điều chỉnh bằng cách
thay đổi các thông số cấu trúc mà tiêu biểu là độ dày, thành phần của hợp chất và sự
giảm chiều của bán dẫn. Dẫn đến sự thay đổi các đặc trưng quang học, đặc biệt là sự
gia tăng xác suất tái hợp electron-lỗ trống, nên cấu trúc vật liệu thấp chiều đã giúp
tạo ra các thiết bị linh kiện hiện đại công nghệ cao, có tính cách mạng về khoa học,
đồng thời là cơ sở để tạo ra các thiết bị siêu nhỏ và đa năng như ngày nay [1,2,3,4].
Cấu trúc thấp chiều bao gồm cấu trúc hai chiều (2D), trong đó các hạt mang
điện (electron và lỗ trống) chỉ chuyển động tự do theo hai chiều, cấu trúc một chiều
(1D) trong đó hạt mang điện chỉ chuyển động tự do theo một chiều và cấu trúc
không chiều (0D) với sự giam giữ hạt theo cả ba chiều. Việc chuyển từ hệ điện tử
3D sang 2D, sang 1D, sang 0D đã làm thay đổi đáng kể cả về mặt định tính cũng
như định lượng nhiều tính chất vật lý trong đó có tính chất quang của vật liệu [16,
18, 19, 21, 22].
Với sự phát triển của vật lý chất rắn và công nghệ epytaxy chùm phân tử
(MBE) hay kết tủa hơi kim loại hữu cơ (MOCVD) đã tạo ra các lớp bán dẫn có bề
rộng vùng cấm khác nhau, chẳng hạn AlGaAs và GaAs. Trong cấu trúc này, ngoài
trường của thế tuần hoàn gây ra bởi các nguyên tử tạo nên mạng tinh thể, trong
mạng tinh thể còn tồn tại một trường điện thế phụ. Trường điện thế phụ này cũng có
tính tuần hoàn nhưng với chu kỳ lớn hơn rất nhiều so với chu kỳ của trường các
nguyên tử trong mạng tinh thể. Khi theo một phương nào đó có trường thế phụ thì
phổ năng lượng của các hạt mang điện theo chiều này bị lượng tử hóa, hạt mang
điện chỉ còn tự do theo các số chiều còn lại nhỏ hơn ba. Do tính chất bị giam giữ
2
Luận văn thạc sĩ-Ngô Thị Hà
mạnh của hạt mang điện nên các bán dẫn này có tính chất vật lý khác hẳn với bán
dẫn khối thông thường, đặc biệt là tính chất quang.
Siêu mạng hợp phần là một ví dụ về hệ khí điện tử hai chiều. Siêu mạng hợp
phần có thể được chế tạo nhờ phương pháp MBE hay MOCVD. Trong cấu trúc siêu
mạng hợp phần, chuyển động của điện tử theo hướng thay đổi của thế phụ tuần
(thường chọn là hướng z) bị giới hạn rất mạnh, điện tử chỉ còn chuyển động tự do
theo mặt phằng (x,y). Nếu nhiệt độ và nồng độ khí điện tử không quá cao thì các
quá trình tán xạ của điện tử (chẳng hạn với phonon) xảy ra trong hệ nói trên chủ yếu
là quá trình đàn hồi hoặc chuẩn đàn hồi. Trong các quá trình như vậy, chỉ có thành
phần xung lượng của điện tử theo hướng x, y thay đổi còn giá trị của số lượng tử
theo phương z vẫn giữ nguyên. Nói một cách khác các hệ điện tử thể hiện như một
hệ hai chiều thực sự. Chính vì lí do đó mà các hệ điện tử trong siêu mạng hợp phần
là các hệ điện tử chuẩn hai chiều.
Trên lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết, bài toán hấp thụ tuyến tính sóng điện từ
yếu bởi điện tử giam cầm bằng phương pháp Kubo-Mori và lý thuyết nhiễu loạn đã
được nghiên cứu trong hệ thấp chiều như siêu mạng hợp phần, hố lượng tử, siêu
mạng pha tạp [6, 7, 8, 9], bài toán hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử
tự do trong bán dẫn khối và hệ thấp chiều bằng phương pháp phương trình động
lượng tử đã được nghiên cứu [10, 11, 12, 13, 14, 20], bài toán nghiên cứu ảnh
hưởng của trường bức xạ laser lên sự hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cẩm
trong bán dẫn khối bằng phương pháp phương trình động lượng tử đã tiến hành
[24], song đối với siêu mạng hợp phần vẫn còn để ngỏ. Vì vậy trong khóa luận này
chúng tôi nghiên cứu về mặt lý thuyết ảnh hưởng của trường bức xạ laser lên hấp
thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cẩm trong siêu mạng hợp phần bằng cách xây
dựng biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam
cầm trong siêu mạng hợp phần. Các kết quả được khảo sát và tính toán số cho
trường hợp cụ thể với siêu mạng hợp phần điển hình GaAs - Al0.3Ga0.7As. Xét sự
phụ thuộc của hệ số hấp thụ này vào biên độ E0 của véctơ cường độ trường sóng
điện từ, chiều dài của L của hố lượng tử, nhiệt độ T và các tham số của siêu mạng
3
Luận văn thạc sĩ-Ngô Thị Hà
hợp phần và chỉ ra những tính chất vật lý khác biệt của hệ hai chiều so với ba chiều
cũng như bài toán tương tự trong bán dẫn khối.
Phương pháp nghiên cứu: Bài toán tính toán hệ sô hấp thụ sóng điện từ bởi
điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần có thể sử dụng nhiều phương pháp để
giải quyết như: Tích phân phiếm hàm, phương pháp phương trình động lượng tử,
phương pháp hàm Green,…Trong khóa luận này sử dụng phương pháp phương
trình động lượng tử (nhờ phương trình chuyển động Heisenberg và Hamiltonian cho
hệ điện tử-phonon trong hình thức luận lượng tử hóa lần hai) để nghiên cứu một số
tính chất quang phi tuyến trong siêu mạng hợp phần. Đây là phương pháp được sử
dụng nhiều khi nghiên cứu hệ bán dẫn thấp chiều và cho hiệu quả cao.
Khóa luận ngoài phần mở đầu và kết luận ra được chia làm 3 chương với 56
trang và 24 tài liệu tham khảo:
Chương 1: Giới thiệu tổng quan về siêu mạng hợp phần, và đưa ra biểu thức
giải tích về hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong bán
dẫn khối khi chịu ảnh hưởng của trường bức xạ laser bằng phương pháp phương
trình động lượng tử.
Chương 2: Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong siêu
mạng hợp phần và hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu
mạng hợp phần khi có mặt trương laser (trường hợp tán xạ điện tử-phonon âm)
Chương 3: Tính số và bàn luận.
Các kết quả chính trong luận văn tập trung chủ yếu ở chương 2 và 3. Một
phần kết quả thu được trong luận văn này đã gửi đăng tại tạp chí nghiên cứu khoa
học kỹ thuật quân sự.
4
Luận văn thạc sĩ-Ngô Thị Hà
CHƢƠNG 1.
SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ BÀI TOÁN ẢNH HƢỞNG CỦA TRƢỜNG
BỨC XẠ LASER LÊN HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ
GIAM CẦM TRONG BÁN DẪN KHỐI.
Trong chương này trình bày khái quát về siêu mạng hợp phần (cấu trúc phổ
năng lượng, hàm sóng điện từ) và từ phương pháp phương trình động lượng tử đưa
ra biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong
bán dẫn khối khi chịu ảnh hưởng của trường laser.
1.1 Khái quát về siêu mạng hợp phần
Siêu mạng hợp phần là những cấu trúc tuần hoàn nhân tạo của các lớp vật
liệu có hằng số mạng gần bằng nhau, trong đó các điện tử ngoài chịu ảnh hưởng của
thế tuần hoàn tinh thể còn chịu ảnh hưởng của thế phụ tuần hoàn do siêu mạng tạo
ra với chu kì lớn hơn rất nhiều so với hằng số mạng. Thế phụ tuần hoàn này được
hình thành do sự chênh lệch năng lượng giữa các cận điểm đáy vùng dẫn của hai
bán dẫn cấu thành siêu mạng. Đối với siêu mạng các tham số như chu kỳ siêu mạng,
nồng độ các hạt tải,…đều có thể điều chỉnh được dẫn tới thay đổi một cách cơ bản
thế phụ tuần hoàn của siêu mạng và tương ứng là phổ năng lượng của điện tử bị
thay đổi theo do đó bán dẫn siêu mạng có những tính chất ưu việt so với bán dẫn
thông thường. Mẫu bán dẫn siêu mạng được tạo ra lần đầu tiên vào những năm sáu
mươi của thế kỉ hai mươi đã thực sự thu hút sự quan tâm của nhiều nhà vật lý cả lý
thuyết lẫn thực nghiệm, hàng loạt công trình nghiện cứu về chúng cùng với hệ
thống các thiết bị được chế tạo từ chúng ra đời. Căn cứ vào mức chênh lệch năng
lượng giữa các lớp bán dẫn thì bán dẫn siêu mạng hợp phần được chia ra làm ba
loại:
Loại I: Siêu mạng hợp phần loại này được tạo ra từ các bán dẫn có độ rộng
vùng cấm hoàn toàn bao nhau, điểm hình là siêu mạng GaAs/GaAlAs. Trong loại
siêu mạng này, các tương tác giữa các hạt tải từ các lớp riêng biệt chỉ xảy ra giữa
các vùng năng lượng cùng loại.
5
Luận văn thạc sĩ-Ngô Thị Hà
Loại II: Siêu mạng hợp phần loại này được tạo ra từ các bán dẫn có độ rộng
vùng cấm nằm gần nhau nhưng không bao nhau hoặc chỉ trùng nhau một phần, điển
hình là siêu mạng GaAs/AlAs. Trong loại siêu mạng này, có thể xảy ra tương tác
giữa các hạt tải nằm trong các vùng khác nhau, tức là các điện tử của bán dẫn này
tương tác với lỗ trống của bán dẫn kia.
Loại III: Siêu mạng hợp phần loại này được tạo ra từ một bán dẫn thông
thường và một bán dẫn khác với khe năng lượng bằng không, điển hình là siêu
mạng InAs/GaSb.
Đối với siêu mạng hợp phần chu kì của siêu mạng lớn hơn rất nhiều so với
hằng số mạng và biên độ của thế siêu mạng lại nhỏ hơn rất nhiều so với biên độ của
thế mạng tinh thể nên ảnh hưởng của thế tuần hoàn của siêu mạng chỉ thể hiện ở các
mép vùng năng lượng. Tại mép vùng năng lượng quy luật tán sắc của điện tử có thể
coi là dạng bậc hai và phổ năng lượng của điện tử có thể được xác định bằng
phương pháp gần đúng khối lượng hiệu dụng. Đối với các vùng năng lượng đẳng
hướng không suy biến phương trình Schrodinger có dạng:
trong đó
2 2
r
U
r
r
E
r
2m
m
siêu mạng,
(1.1)
là khối lượng hiệu dụng của điện tử (lỗ trống) được coi như nhau trong
U r
là thế tuần hoàn của siêu mạng mà trong luận văn này xét với siêu
mạng một chiều và thế trong siêu mạng là tuần hoàn theo chiều z. Giải phương trình
Schrodinger trong đó đưa vào thế tuần hoàn một chiều có dạng hình chữ nhật ta
được phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phần [5, 17, 23]:
n,k
2 k2 2 2 n2
cos(kn d )
n
2
2m
2m d
(1.2)
trong đó d là chu kì siêu mạng, kn là thành phần véc tơ sóng theo trục z và được
xác định trong vùng Brillouin mini thứ nhất và thỏa mãn điều kiện
d
kn
d
, n
là độ rộng của vùng mini thứ n và được xác định bởi các tham số siêu mạng thông
6
Luận văn thạc sĩ-Ngô Thị Hà
exp - 2m (d d0 )2U 0 / 2
d0
qua biểu thức 4(1)
, với d là chu kì siêu
n
n
d d0
2m (d d0 ) 2U 0 / 2
n
mạng, d 0 và U 0 tương ứng là độ rộng và độ sâu của hố thế cô lập. Vì thế siêu mạng
hợp phần là thế tuần hoàn một chiều nên hàm sóng của điện tử trong mini vùng n là
tổ hợp của hàm sóng theo mặt phẳng (xy) có dạng sóng phẳng và theo phương của
trục siêu mạng có dạng hàm Block. Trong gần đúng liên kết mạnh hàm sóng trong
siêu mạng hợp phần có dạng [15]:
ψn,k (r) =
Nd
1
exp{i(k x x + k y y)} exp(ik Z jz) n (z - jd)
Lx L y Nd
j=1
(1.3)
trong đó L x là độ dài chuẩn theo phương x, L y là độ dài chuẩn theo phương y, N d
là số chu kì siêu mạng, n ( z ) là hàm sóng của điện tử trong hố thế biệt lập.
1.2 Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong bán dẫn khối
khi có mặt trƣờng laser.
1.2.1 Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử giam cầm trong bán
dẫn khối.
Ta có Hamilton của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối là:
H H e H ph H e ph
Với : H e
p
p
(1.4)
e
A(t ) a p a p
c
H ph qbqbq
q
H e ph Cq a p q a p bq bq
q, p
Phương trình động lượng tử cho điện tử có dạng: i
7
n p (t )
t
a p a p , Hˆ
(1.5)
t
Luận văn thạc sĩ-Ngô Thị Hà
Vế phải của (1.5) có tương ứng ba số hạng với toán tử Hamilton. Ta lần lượt
tính từng số hạng.
Số hạng thứ nhất:
e
e
p
'
A
(
t
)
a
a
ap ap ;
p c A(t ) a p a p , a p 'a p '
p' p'
c
p'
p
t
e
p ' A(t ) a p a p ' p , p ' ap ap'ap ap ' ap'ap p ,p' ap'ap ap 'ap
c
p'
e
p A(t ) ap ap ap ap 0
c
Số hạng thứ hai: a p a p ; q bq bq
q
0 do toán tử a, b la hai loại độc lập
t
thì chúng giao hoán với nhau.
Số hạng thứ ba:
a a b b
C
ap ap ;
q
q
q p ' q p '
q, p '
Cq
q
aa
p p q q t
b
C ap ap ' p ,p'q ap ' q ap p ,p' bq bq
q
q, p '
t
ap ap q bq
t
ap q ap bq
t
ap q ap bq
t
Cq Fp ,p q ,q (t ) Fp*q ,p , q (t ) Fp ,p q ,q (t ) Fp*,p q , q (t )
q
Vậy phương trình (1.5) trở thành:
i
n p (t )
t
Cq Fp , p q , q (t ) Fp* q , p , q (t ) Fp , p q , q (t ) Fp*, p q , q (t )
(1.6)
q
Với Fp1 , p2 , q (t ) a p1 a p2 bq
t
Để giải (1.6) ta cần tính Fp , p , q (t ) thông qua phương trình:
1
i
Fp , p , q (t )
1
2
t
a p a p bq ; H
1
2
2
(1.7)
t
8
Luận văn thạc sĩ-Ngô Thị Hà
Vế phải của (1.7) chứa ba số hạng tương ứng ba số hạng của hàm Hamilton.
Ta lần lượt tính từng số hạng.
Số hạng thứ nhất:
e
a b ,
a
p p q
p3 A(t ) a p a p
c
p
1
2
3
3
3
t
e
A(t ) a p a p bq a p a p ap ap ap a
b
p q
c
p
t
e
e
( p2 ) p2 A(t ) ap a
b ( p1 ) p1 A(t ) ap ap bq
p q t
c
c
e
( p2 ) ( p1 )
p2 p1 A(t ) Fp ,
(t )
p ,b
c
p3
1
2
3
3
3
3
1
2
3
1
2
1
1
2
t
q
2
Số hạng thứ hai:
,
b b
b
ap a
p q
q q q
q
1
2
1
1
1
q ap a
b
p q
1
2
t
q ap ap bq bq bq bq bq bq
1
1
1
q1
t
2
1
1
1
1
q Fp ,
(t )
p ,b
1
2
q
Số hạng thứ ba:
a
p1
a p bq , Cq a p q a p bq bq
2
q1 , p
1
1
1
1
Cq a p a p bq , a p q a p bq bq
1
q, p
t
2
1
1
1
Ta có:
a b b
a a b , a a b b a a b a a b b a a b b a ab
p p q p q p
q
q
p q p
q
q
p p q
p p q pq p q q
1
2
1
2
1
1
1
a a a b b a a a
ap
p , p q
pq p
p q q
p
p , pq
p q p
1
a
p q1
2
3
1
2
1
1
3
p1 , p
1
p ,p a
1
p q1
1
1
2
p q q1
a ap a
b b ap q p ,p ap ap ap bqbq
p q q
p1
2
1
1
a a b b a a b b
p , p q
p q q
p , p q
2
2
1
p1
1
2
1
p1
p q q1
1
1
p ,p a
p q1
1
a b b q , q a ap a
p
p2 q1 q
1
p1
2
Đặt vào số hạng thứ ba ta được:
9
2
1
a
bb
p q q
2
1
1
1
1
2
Luận văn thạc sĩ-Ngô Thị Hà
a a b , C a a b b
q
p p q q , p q p q p q
1
2
1
1
1
Cq a p a p
1
1
2
q1
1
b bq bq
q1 q
1
1
1
t
Cq a p q a p bq bq bq
1
t
1
2
1
q1
1
1
t
Thay các số hạng vào (1.7) ta được phương trình:
Fp , p , q (t )
i
1
2
t
Cq a p a p
1
1
q1
e
( p2 ) ( p1 )
p2 p1 A(t ) q Fp , p , q (t )
mc
1 2
2
b bq b q
q1 q
1
1
Cq a p
1 q1
1
t
q1
(1.8)
a p bq b q bq
2
1
1
t
Phương trình vi phân không thuần nhất (1.8) được giải bằng phương pháp
biến thiên hằng số. Trước hết ta giải phương trình vi phân thuần nhất tương ứng.
i
(t )
Fp ,
p ,q
1
2
t
e
(t )
( p2 ) ( p1 )
p2 p1 A(t ) q Fp ,
p ,q
mc
1
2
Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt tương tác Fp , p , q (t ) 0 được nghiệm của
1
2
phương trình vi phân thuần nhất có dạng:
e
t i
(t ) exp
F p ,
(
p
)
(
p1 )
p2 p1 A(t1 ) q dt1
2
p ,q
mc
o
1
2
Do đó, nghiệm của phương trình vi phân không thuần nhất có dạng:
F M (t ).F o (t )
F
M ' (t ).F o (t ) M (t ) F o ' (t )
t
Thay vào phương trình không thuần nhất và giải ra nghiệm ta được:
1
2
i
Cq a p q a p bq bq bq
1
q1 1 1 1 2 1
t
Fp , p , q (t )
t2
a p a p
1
2
b bq bq
q1 q
1
1
t2
t
i
ie
exp p p q t t2
p
p
A
(
t
)
dt
1
2
1
1 dt2
2
mc t 2
1
Thay (1.9) vào (1.6) ta đưa vào toán tử số hạt của điện tử và phonon ta được:
10
(1.9)
Luận văn thạc sĩ-Ngô Thị Hà
i
np (t )
t
1
2
|Cq |
2
q
i
ie t
dt ' n p q (t ') N q n p (t ')( N q 1) exp p p q q t t '
q A(t1 )dt1
mc t '
t
i
ie
np (t ') N q np q (t ')( N q 1) exp p p q q t t '
q A(t1 ) dt1
mc t '
t
i
ie
np (t ') N q np q (t ')( N q 1) exp p q p q t t '
q A(t1 )dt1
mc t '
t
i
ie
np q (t ') N q np (t ')( N q 1) exp p q p q t t '
q A(t1 )dt1 (1.10)
mc t '
t
Thay: A(t )
Eo1c
E c
cos 1t o 2 cos 2 t
1
2
và áp dụng khai triển: exp( iz sin )
J ( z) exp(i) ta có:
ie E q
ie t
ie Eo 2 q
sin 2t ' sin 2t
exp
q A(t1 )dt1 exp o12 sin 1t ' sin 1t
2
m 2
m1
mc t '
eE q eE q
J l o1 2 J s o1 2 exp(is 1t ' ) exp( il 1t )
l , s
m1 m 2
eE q eE q
J f o 22 J m o 22 exp(if 2t ' ) exp( im 2t )
f ,m
m1 m 2
Đặt: a1
e Eo1
;
m12
a2
e Eo 2
thì:
m 22
ie t
exp
q
A
(
t
)
dt
J l a1 q J s a1 q J m a2 q J f a2 q
1
1
mc t '
l , s ,m, f
exp i ( s l )1 (m f ) 2 t exp i ( s1 m 2 )(t t ')
Thay kết quả này vào (1.10) và đưa vào thừa số e-δ(t-t’) (δ→+0) ta có:
11
Luận văn thạc sĩ-Ngô Thị Hà
i
np (t )
t
1
2
|Cq |
2
q
l , s , m , f
J l a1 q J s a1 q J m a2 q J f a2 q exp i ( s l )1 (m f ) 2 t
i
dt ' np q (t ') N q np (t ')( N q 1) exp p p q q s1 m 2 i
t
t t '
i
np (t ') N q np q (t ')( N q 1) exp p p q q s1 m 2 i t t '
i
np (t ') N q np q (t ')( N q 1) exp p q p q s1 m 2 i t t '
i
np q (t ') N q np (t ')( N q 1) exp p q p q s1 m 2 i
t t ' (1.11)
Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố không cân bằng của điện tử
trong bán dẫn khối khi có mặt hai song điện từ E1 (t ) và E 2 (t ) . Ta giải (1.11) bằng
phương pháp xấp xỉ gần đúng lặp, ta xem n p (t ) n p và tính các tích phân sau:
i
K1 exp p pq q s1 m 2 i t t ' dt '
t
t
K 2 exp i( s l )1 (m f ) 2 t 'dt '
exp i( s l )1 (m f ) 2 t '
i( s l )1 (m f ) 2
Với các tích phân K1 và K2 đã tính ta được:
np (t )
1
2
q
2
|Cq |
exp i ( s l )1 (m f ) 2 t '
J l a1 q J s a1 q J m a2 q J f a2 q
i ( s l )1 (m f ) 2
l , s , m , f
n p q N n p ( N 1)
n p N n p q ( N 1)
q
q
q
q
p p q q s1 m 2 i p p q q s1 m 2 i
p q
(1.12)
n p N n p q ( N 1)
n p q N n p ( N 1)
q
q
q
q
p q s1 m 2 i p q p q s1 m 2 i
Mật độ dòng được cho bởi biểu thức: J (t )
Hay: J (t )
e
e
A(t ) n p (t )
p
m p
c
e2
e
e 2 no
e
A
(
t
)
n
(
t
)
p
n
(
t
)
A(t ) pn p (t )
p
p
mc p
m p
mc
m p
12
(1.13)
Luận văn thạc sĩ-Ngô Thị Hà
n
với
p
(t ) no
p
Ta xét số hạng thứ hai:
e
m
p
p
e
pnp (t )
m
q
2
|Cq |
exp i ( s l )1 (m f ) 2 t '
J l a1 q J s a1 q J m a2 q J f a2 q
i ( s l )1 (m f ) 2
l , s , m , f
n p q N n p ( N 1)
n p N n p q ( N 1)
q
q
q
q
p
s m i
s m i
1
2
1
2
p
pq
q
p
pq
q
p q
n p N n p q ( N 1)
n p q N n p ( N 1)
q
q
q
q
(1.14)
p q s1 m 2 i p q p q s1 m 2 i
k l s l k s
r l m f r m
Đặt
k :
ta có:
r :
2
e
e
exp ik1 r 2 t '
p
n
(
t
)
|
C
|
J k s a1 q J s a1 q J m a2 q J r m a2 q
p
q
m* p
m* q
ik1 r 2
l , s ,m , f
n pq N q n p ( N q 1)
n p N q n pq ( N q 1)
p
s
m
i
s
m
i
1
2
1
2
p
p
p q
q
p
p q
q
n N
p
q
n pq ( N q 1)
pq p q s1 m 2 i
n
pq
p q s1 m 2 i
pq
N q n p ( N q 1)
Thực hiện các bước chuyển đổi: q q, m m và sử dụng tính chất hàm Bessel
J ( x) J ( x) (1) J ( x) ta có:
2
e
e
exp ik1 r 2 t '
p
n
(
t
)
|
C
|
q
p
q
k1 r 2
m* p
m * q, p
k , s ,m ,r
J a q J a q
J s a1 q J m a2 q n pq N q n p ( N q 1)
(1.15)
J k s a1 q J r m a2 q
s k 1
mr
2
p q p q s1 m 2 i p q p q s1 m 2 i
Áp dụng công thức sau:
13
Luận văn thạc sĩ-Ngô Thị Hà
exp ik1 r2 t cos(k1 r2 )t i sin(k1 r2 )t
1
i ( x)
x i x
Và
Lưu ý chỉ lấy phần thực của mật độ dòng J (t ) , ta có:
n pq N q n p ( N q 1)
2
e
e
pn p (t )
| Cq | q
J s a1 q J m a2 q
k1 r 2
m* p
m * q, p
k , s ,m ,r
cos(k1 r 2 )t
J k s a1 q J r m a2 q J s k a1 q J mr a2 q
s
m
1
2
pq
p
q
(1.16)
s m
J k s a1 q J r m a2 q J s k a1 q J mr a2 q sin(k1 r 2 )t
pq
p
q
1
2
Thay kết quả này vào biểu thức mật độ dòng (1.13) ta thu được:
n pq N q n p ( N q 1)
e 2 no
2
e
J (t )
A(t )
| Cq | q
J s a1 q J m a2 q
k1 r 2
mc
m * q, p
k ,s ,m ,r
cos(k1 r 2 )t
J k s a1 q J r m a2 q J sk a1 q J mr a2 q
s
m
1
2
pq
p
q
(1.17)
s m
J k s a1 q J r m a2 q J sk a1 q J mr a2 q sin(k1 r 2 )t
pq
p
q
1
2
Từ biểu thức của véc tơ mật độ dòng (1.17) tìm được biểu thức giải tích cho
hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong bán dẫn khối được trình
bày dưới đây.
1.2.2 Tính hệ số hấp thụ
Ta có hệ số hấp thụ phi tuyến song điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối với
giả thiết 2 1 như sau:
8
c Eo22
J (t ) E o 2 sin 2t
(1.18)
t
14
Luận văn thạc sĩ-Ngô Thị Hà
Thay (1.17) vào (1.18) ta được:
e 2 no
A(t ) E o 2 sin 2t
mc
c Eo22
8
Với thế vectơ trường sóng điện từ:
t
e
pn p (t ) E o 2 sin 2t
m p
t
Eo1c
E c
A(t )
cos 1t o 2 cos 2t
1
2
Ta tính số hạng thứ nhất.
e 2 no
A(t ) E o 2 sin 2t
mc
Trong đó: T1
t
T
e 2 no 1 Eo1c
Eo 2c
E o 2 sin 2tdt
cos
t
cos
t
1
2
mc T o 1
2
2
2
và T2
là chu kỳ của hai sóng điện từ. T là bội chung nhỏ
2
1
nhất của T1 và T2.
Sử dụng tích phân: sin (ax) cos(bx)dx
e 2 no
A(t ) E o 2 sin 2t
mc
Suy ra:
cos(a b) x cos(a b) x
với a 2 b 2 (1.19)
2(a b)
2(a b)
0
(1.20)
t
Ta tính số hạng thứ hai. Theo (1.19) ta có số hạng thứ hai có thành phần
chứa cos(k1 r2 )t sẽ cho kết quả tích phân bằng không. Do đó ta có:
n p q N n p ( N 1)
2
e
eE o 2
q
q
pnp (t ) E o 2 sin 2t
q|Cq |
m p
m q, p
k , s , m , r
k 1 r2
t
J s a1 q J m a2 q J k s a1 q J r m a2 q J s k a1 q J mr a2 q
T
1
p q p q s1 m 2 sin (k 1 r 2 )t sin 2tdt
T0
0
Lưu ý: sin(k1 r 2 )t sin 2tdt T
0
2
T
khi k1 r 2 2
khi k1 r 2 2
Suy ra:
15
Luận văn thạc sĩ-Ngô Thị Hà
2
e
eE o 2
pn p (t ) E o 2 sin 2t
q|Cq | n p q N q n p ( N q 1)
m p
2m 2 q , p
s , m
t
(1.21)
J s a1 q J m a2 q J k s a1 q J r m a2 q J s k a1 q J mr a2 q
pq
p
q
s m
1
2
Với k1 r2 2
(1.22)
Thay (1.21) vao (1.18) ta được hệ số hấp thụ:
2
4 2e
|
n p ( N 1) J
q
|
C
n
N
a
q
J
a
p
q
q s ,m
m
2q
q
q
s 1
c m2 Eo 2 q ,p
J k s a1 q J r m a2 q J s k a1 q J mr a2 q p q p q s1 m2
Từ biểu thức hàm Bessel:
2 s k
a1 q
(1)
0 !( s k 1) 2
2 s
k
k
( s 1)
a1 q
(1)
( s 1) a1 q a1 q
J s (a1 q)
( s k 1) 2 2
0 !( s 1) 2
0 ( s k 1)
J s k (a1 q)
Vậy
J k s a1 q J r m a2 q J s k a1 q J mr a2 q
2 k
2r
a q a q
2k r
( s 1)(m 1)
k r 1 2
(a1 q) (a2 q) 0 2 2 ( s k 1)(m r 1)
( s 1)(m 1)
J
(
a
q
)
J
(
a
s
1
m
2 q)
( s k 1)(m r 1)
(1.23)
Giới hạn gần đúng của hàm Bessel và sử dụng giả thiết Eo1 Eo 2 ta cho
r=1; k=0 (thoả mãn giả thiết k1 r2 2 ) ta được:
J
m1
(a2 q) J m1 (a2 q) J s (a1 q)
2m
J s (a1 q) J m (a2 q)
( a2 q )
Suy ra:
16
Luận văn thạc sĩ-Ngô Thị Hà
8 22
c E 2
o2
q , p s , m
|C | n p q N q n p ( N q 1) mJ 2 a1 q J 2 a2 q
2
q
s
p q p q s1 m2
m
(1.24)
Viết dãy theo k, l trong công thức (1.24) dễ thấy các thành phần ứng với
s1 m2 0 tương hỗ triệt tiêu. Trong trường hợp khi 1 ,2 lớn so với năng
lượng trung bình điện tử ( p ) thì hàm trong (1.24) được viết lại là:
q2
pq p q s1 m2
q s1 m2
2m
Từ đó ta tìm được thứ tự của k1, 2 1 / 2 theo các giá trị của q.
Sử dụng điều kiện tần số phonon q
tốc độ sóng âm. Như vậy tổng theo
, ta thực hiện lấy tổng
n
p
p
rút ra 1, 2
p
với s là
ms 2
p không còn phụ thuộc vào phần đối số của
(t ) no .
p
Xét tán xạ điện tử - phonon âm ta có: q o và
2
Cq
o q
và
2 vsV0
N q 1 N q
k BT
k T
B
o
vs q
Từ (1.24) ta được:
4 22 o kBT
c Eo22 vs2V0
q s , m
mJ s2 a1 q J m2 a2 q p q p q s1 m2 (1.25)
Áp dụng gần đúng: 1, 2 p , ta có:
4 22 o kBT
c Eo22 vs2V0
q s , m
2
mJ s
2 q 2
a1 q J m a2 q
o s1 m2
2m
17
(1.26)
Luận văn thạc sĩ-Ngô Thị Hà
Xét trường hợp hấp thụ một photon của sóng điện từ yếu 2 (m=1) và hạn
chế gần đúng bậc hai của hàm Bessel ta có:
J1 ( x)
x (1)k x 2 k
x x2
1
2 k 0 22 k k !(k 1)! 2
8
mJ
2
m
m
2
2
a q a q
a2 q 2 1 2
2 2
Thay vào (1.26) ta được:
4 22 o kBT
c Eo22 vs2V0
q , p s
2
2
a2 q a2 q 2 q 2
o s1 m2
1
J s a1 q
2m
2 2
Hệ số chỉ tồn tại các giá trị q và s thoả mãn:
suy ra: q 2m s1 m2 o 2m2 1
Và lưu ý:
s1 o
2
2
2
2
2
1 eE
a q a q eEo 2 q
2
2
o2 q
a2 q 2 1 2
cos
1
cos
2
2 m22
2 2 m2
mJ
2
m
m
Đặt:
q2
o s1 m 2 0
2m
1
; 2m 2 suy ra:
2
2
8 222 o kBT m eEo 2 s1 o
1
2
2
c Eo22 vs2V0 2m2
o
2 2
e
E
1
s
o2
2
1
2
4
cos
cos J s2 a1 1 o cos
3
2
4m2
2
s
Lấy trung bình các phần tử ma trận trên các góc, ta thay thế:
18
Luận văn thạc sĩ-Ngô Thị Hà
e E q 1 2 eEo q
Jm
J
y dy
2
2
m
0 m
2
m
Suy ra:
8 222 o kBT m eEo 2
2
c Eo22 vs2V0 2m2
2
s1 o
1
2
e2 E o22 1 o s
1
2
2
4
cos
cos J s2 a1 1 o s y dy
3
0
4m2
2
s
o
2 2
e
E
1
s
1
o
2
2
2
4
J 2 a 1 o s y dy
cos
cos
1
0 s
4m32
2
s
Từ phương trình động lượng tử, thông qua véc tơ mật độ dòng, tìm được biểu
thức giải tích cho hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong bán
dẫn khối phụ thuộc phi tuyến vào cường độ điện trường, tần số của sóng điện từ và
nhiệt độ T của môi trường.
19
Luận văn thạc sĩ-Ngô Thị Hà
CHƢƠNG 2
PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
VÀ HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM
TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN KHI CÓ MẶT TRƢỜNG LASER
(TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON ÂM).
Trong chương này bằng cách biến đổi toán tử và sử dụng gần đúng lặp xây dựng
phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần. Từ
phương trình động lượng tử khai triển hàm Bessel và sử dụng phép chuyển phổ
Fourier ta thu được biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ trong trường hợp gần
ngưỡng đối với cơ chế tán xạ điện tử-phonon âm.
2.1 Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong siêu mạng hợp phần
Khảo sát hệ tương tác hệ điện tử-phonon trong siêu mạng hợp phần trong
trường hợp có mặt hai sóng điện từ được mô tả dưới dạng véc tơ cường độ điện
trường E (t ) E 01 sin 1t E 02 sin 2t ( E 01 và 1 tương ứng là biên độ điện tường
và tần số vủa sóng điện từ yếu, E 02 và 2 tương ứng là biên độ và tần số của bức
xạ laser, t là thời gian). Trong trường hợp gần ngưỡng có thế véc tơ tương ứng là
E 01c
E 02c
A(t )
cos 1t
cos 2t .
1
2
Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong siêu mạng hợp phần
H HO U
H
O
n k
n ,k
U
q n ,n ,k
'
e
A(t ) an,k an,k
q cqcq
c
q
Dq I n,n' (qz )a '
n , k q
a n , k (cq cq )
a n, k , a n , k : Toán tử sinh, hủy điện tử ở trạng thái n, k .
cq , cq : Toán tử sinh hủy phonon ở trạng thái q
20
Luận văn thạc sĩ-Ngô Thị Hà
k : Xung lượng của điện tử trong mặt phẳng vuông góc với trục của siêu mạng hợp
phần.
: Tần số của phonon âm.
q
A(t ) : Thế vecto của trường điện từ.
I n , n' ( q z )
N .d
n ( z ) n ( z )eiq z dz : Thừa số dạng điện tử trong siêu mạng hợp phần.
z
0
,
n,k : Năng lượng của điện tử trong siêu mạng phợp phần.
2 q2 qz2
D
: Hằng số tương tác điện tử-phonon cho trường hợp tán xạ điện
2 vsVO
q
tử-phonon âm.
trong đó:
VO : Thể tích chuẩn hóa (chọn VO 1 )
: Hằng số điện biến dạng.
: Mật độ tinh thể
vs : Vận tốc truyền âm.
2.2 Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử trong siêu mạng hợp phần.
Gọi nn,k (t ) an,k an,k
là số điện tử trung bình tại thời điểm t.
t
Phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng hợp phần có dạng:
i
nn,k (t )
t
an,k an,k , H
(2.1)
t
Số hạng thứ nhất:
21
Luận văn thạc sĩ-Ngô Thị Hà
e
'
sh1 a n,k a n ,k ,
A
(
t
)
a
a
' k
'
'
n' , k n' , k
n
c
n' ,k '
t
e
'
A
(
t
)
a
a , a ' ' a ' '
' k
n
n ,k
n ,k
n
,
k
n
,
k
c
n' ,k '
t
Ta có: an,k an,k , a ' ' a
n ,k
'
n ,k
'
a a ' ' ' a ' a ' ' 0
n ' ,k n , k n , n k ,k
n , k n ' ,k n , n k ,k
Vậy: sh1 t 0
(2.2)
Số hạng thứ 2: sh2 t an ,k an ,k ,
q cq cq
q
0
(2.3)
t
Số hạng thứ 3:
I
)
sh3 an,k an,k ,
D
(
q
)
a
a (c c
n
,
n
z
q 1 2
q
q
n2 , k ' q
n1 , k '
q n1 ,n2 ,k '
q n1 ,n2 ,k '
Dq I n1 ,n2 (qz ) an,k an,k , a ' a ' (cq cq )
n2 , k q
n1 , k
Ta có: an,k an,k , a
Vậy: sh3
n2 , k ' q
a
n1 , k '
n ,q
t
a a ' a
a
n ,k n ,n1 k ,k '
n2 , k ' q
n,k n1 ,k ' n,n2 k ,k q
Dq I n,n' (qz ) an,k a '
'
t
n ,k q
cq a ' '
t
n ,k q
an,k c q
t
a ' an,k cq an,k a ' c q
n ,k q
n ,k q
t
t
Thay (2.2), (2.3),(2.4) vào (2.1) ta được:
22
(2.4)
