ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Như Hiếu

TIÊU CHUẨN ĐỐI NGẪU TRONG PHƯƠNG PHÁP
TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG CHO HỆ PHI TUYẾN
NHIỀU BẬC TỰ DO CHỊU KÍCH ĐỘNG NGẪU NHIÊN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Hà Nội - 2018


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Như Hiếu

TIÊU CHUẨN ĐỐI NGẪU TRONG PHƯƠNG PHÁP
TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG CHO HỆ PHI TUYẾN
NHIỀU BẬC TỰ DO CHỊU KÍCH ĐỘNG NGẪU NHIÊN
Chuyên ngành: Cơ học vật rắn
Mã số: 62440107
LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. GS.TSKH. Nguyễn Đông Anh
2. PGS.TS. Ninh Quang Hải

Hà Nội - 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng
dẫn trực tiếp của GS.TSKH. Nguyễn Đông Anh và PGS.TS. Ninh Quang Hải.
Các số liệu, kết quả trình bày trong luận án là trung thực và chưa được công
bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Tác giả luận án

Nguyễn Như Hiếu

1


LỜI CÁM ƠN

Tác giả bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới GS.TSKH. Nguyễn Đông Anh
và PGS.TS. Ninh Quang Hải, các thầy đã tận tình hướng dẫn tác giả trong
suốt quá trình thực hiện luận án này.
Tác giả gửi lời cảm ơn chân thành đến GS. Isaac Elishakoff vì những kiến
thức tác giả học được trong quá trình học tập và thực hiện luận án.
Tác giả gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Khoa Toán-Cơ-Tin học và Trường Đại
học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, nơi đã giúp đỡ NCS
trưởng thành trong quá trình đào tạo và thực hiện luận án.
Tác giả xin cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện của Phòng Cơ học Công
trình, Viện Cơ học trong quá trình tác giả làm việc và thực hiện nghiên cứu
của luận án.
Tác giả xin cảm ơn tới hỗ trợ về mặt vật chất khi tham gia đề tài
NAFOSTED về Nghiên cứu cơ bản do GS.TSKH. Nguyễn Đông Anh làm

chủ nhiệm trong giai đoạn tác giả làm Nghiên cứu sinh.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới bố mẹ, người thân, bạn bè
và đồng nghiệp đã động viên về mặt tinh thần trong suốt quãng thời gian tác
giả học tập và thực hiện luận án.
Tác giả luận án

Nguyễn Như Hiếu

2


MỤC LỤC
DANH SÁCH BẢNG ...............................................................................................6
DANH SÁCH HÌNH ................................................................................................8
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG .......................................................9
MỞ ĐẦU ...............................................................................................................11
Chương 1. TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG
ĐƯƠNG ................................................................................................................14

1.1 Giới thiệu về phương pháp tuyến tính hóa tương đương.........................14
1.2 Một số khái niệm cơ bản............................................................................20
1.2.1 Khái niệm về hàm đặc trưng ..................................................................20
1.2.2 Phân bố ngẫu nhiên Gaussian ...............................................................21
1.2.3 Quá trình ngẫu nhiên.............................................................................22
1.2.4 Quá trình ngẫu nhiên Gaussian .............................................................22
1.2.5 Quá trình Markov ..................................................................................24
1.2.6 Quá trình Wiener...................................................................................25
1.2.7 Ồn trắng và ồn màu ...............................................................................26
1.2.8 Khái niệm về hệ phi tuyến yếu và phi tuyến mạnh ..................................27
1.3 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương thông thường .......................28

1.3.1 Phương trình chuyển động của hệ phi tuyến ..........................................29
1.3.2 Hệ tuyến tính hóa tương đương .............................................................30
1.3.3 Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình .............................................30
1.4 Phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo tiêu chuẩn năng lượng.34
1.4.1 Cách tiếp cận theo khái niệm năng lượng ..............................................34
1.4.2 Tiêu chuẩn bình phương trung bình cho thế năng hệ .............................35
1.4.3 Tiêu chuẩn năng lượng dựa trên hàm hao tán năng lượng.....................35
1.5 Phương pháp phương trình Fokker-Planck tìm nghiệm chính xác.........36
Kết luận Chương 1...........................................................................................40
Chương 2. PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG THEO TIÊU
CHUẨN ĐỐI NGẪU ..............................................................................................42

2.1 Tuyến tính hóa thông thường ....................................................................42
2.2 Tiêu chuẩn đối ngẫu...................................................................................45
2.2.1 Ma trận hệ số tuyến tính hóa theo tiêu chuẩn đối ngẫu ..........................46
2.2.2. Đáp ứng của hệ tuyến tính hóa sử dụng ma trận mật độ phổ của kích
động đầu vào..................................................................................................47
2.2.3 Hệ đóng các phương trình ma trận hệ số tuyến tính hóa........................49
2.2.4 Hệ chỉ có độ cứng phi tuyến...................................................................52

3


2.2.5 Hệ chỉ có cản phi tuyến .........................................................................55
2.3 Khảo sát một số hệ phi tuyến nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên
..........................................................................................................................55
2.3.1 Hệ hai bậc tự do có độ cứng phi tuyến bậc ba .......................................55
2.3.2 Đáp ứng của hệ hai bậc tự do có độ cứng phi tuyến bậc năm ................64
2.3.3 Mô hình hệ hai bậc tự do có cản và độ cứng phi tuyến ..........................68
Kết luận Chương 2...........................................................................................75

Chương 3. PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG CỦA DẦM CHỊU TẢI TRỌNG NGẪU NHIÊN

..............................................................................................................................76
3.1 Phương trình chuyển động của dầm .........................................................76
3.2 Tiêu chuẩn đối ngẫu cho phương trình biên độ mode của dầm...............79
3.3 Đáp ứng dao động của dầm tựa giản đơn .................................................84
3.3.1 Hệ số tuyến tính hóa tương đương .........................................................84
3.2.2 Đáp ứng của hệ tuyến tính hóa ..............................................................87
3.2.3 Nghiệm chính xác cho tính toán đáp ứng ...............................................88
3.2.4. Nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ trong trường hợp đơn mode..........90
3.2.5. Nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ trong trường hợp hai mode...........91
3.4 Mở rộng tiêu chuẩn đối ngẫu cho bài toán dao động của dầm mang khối
lượng tập trung ................................................................................................93
3.4.1 Phương trình dao động của dầm mang khối lượng tập trung .................93
3.4.2 Tiêu chuẩn đối ngẫu ..............................................................................97
3.4.3 Nghiệm xấp xỉ của đáp ứng bình phương trung bình..............................97
Kết luận Chương 3...........................................................................................99
Chương 4. TÍNH TOÁN VÀ MÔ PHỎNG SỐ ĐÁNH GIÁ ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA
PHƯƠNG PHÁP ................................................................................................. 101

4.1 Đặc trưng đáp ứng xấp xỉ của hệ tuyến tính hóa so với nghiệm chính xác
........................................................................................................................ 101
4.1.1 Hệ hai bậc tự do có độ cứng phi tuyến bậc ba ..................................... 101
4.1.2 Hệ hai bậc tự do có độ cứng phi tuyến bậc năm................................... 104
4.2 Đặc trưng đáp ứng xấp xỉ của hệ tuyến tính hóa so với nghiệm mô phỏng
số Monte-Carlo .............................................................................................. 107
4.2.1 Mô phỏng các quá trình đầu vào ......................................................... 108
4.2.2 Giá trị ước lượng của đáp ứng ............................................................ 109
4.2.3 Kết quả mô phỏng cho mô hình hệ hai bậc tự do với cản và độ cứng phi
tuyến ............................................................................................................ 110

4.3 Nghiệm số cho bài toán dao động ngẫu nhiên của dầm.......................... 114

4


4.3.1 Nghiệm số trong trường hợp đơn mode................................................ 114
4.3.2 Nghiệm số trong trường hợp hai mode................................................. 117
4.3.3 Đánh giá đáp ứng bình phương trung bình của đáp ứng trong trường hợp
nhiều mode................................................................................................... 118
4.4 Đáp ứng dao động của dầm mang khối lượng tập trung........................ 119
4.4.1 Tỉ số đáp ứng bình phương trung bình phụ thuộc độ mảnh của dầm .... 121
4.4.2 Ảnh hưởng của tỉ số khối lượng tập trung đến tỉ số đáp ứng bình phương
trung bình..................................................................................................... 123
4.4.3 Ảnh hưởng của vị trí khối lượng tập trung đến tỉ số đáp ứng bình phương
trung bình..................................................................................................... 124
4.5 Tham số điều chỉnh  của tiêu chuẩn đối ngẫu..................................... 125
Kết luận Chương 4......................................................................................... 127
KẾT LUẬN CHUNG ........................................................................................... 130
DANH SÁCH CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 132
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 133
Tiếng Việt ....................................................................................................... 133
Tiếng Anh....................................................................................................... 133

5


DANH SÁCH BẢNG
Bảng 4.1 Đáp ứng bình phương trung bình E  x12  với các giá trị khác nhau của
tham số  1 (  3   5  0.2 ) ................................................................................... 102
Bảng 4.2 Đáp ứng bình phương trung bình E  x22  với các giá trị khác nhau của

tham số  1 (  3   5  0.2 ) ................................................................................... 103
Bảng 4.3 Đáp ứng bình phương trung bình E  x12  của x1 ................................... 104
Bảng 4.4 Sai số đáp ứng bình phương trung bình E  x12  của hệ khi 1 thay đổi
(  2  0.05 ) .......................................................................................................... 111
Bảng 4.5 Sai số đáp ứng bình phương trung bình E  x22  của hệ khi 1 thay đổi
(  2  0.05 ) .......................................................................................................... 112
Bảng 4.6 Sai số đáp ứng bình phương trung bình E  x12  của hệ khi 1 thay đổi
(  2  2.0 )............................................................................................................ 112
Bảng 4.7 Sai số đáp ứng bình phương trung bình E  x22  của hệ khi 1 thay đổi
(  2  2.0 )............................................................................................................ 113
Bảng 4.8 Đáp ứng bình phương trung bình (đơn vị: m2) của w1 của dầm tựa giản
đơn trong trường hợp đơn mode với các tham số 0  1 ,   1 ,   0.1 ,  A  1 ,

S0  1 và các giá trị khác nhau của 1/ R (Ký hiệu: CX-Chính xác, TT-Thông
thường, NL-Năng lượng, DN-Đối ngẫu).............................................................. 114
Bảng 4.9 Đáp ứng bình phương trung bình (đơn vị: m2) của w1 trong trường hợp
đơn mode với các tham số 0  1 ,   0.1 ,  A  1 , S0  1 , R  1/ 200 và các giá
trị khác nhau của tham số nền đàn hồi  ............................................................. 116
Bảng 4.10 Đáp ứng bình phương trung bình của w1 theo sự thay đổi của tham số
1/R trong trường hợp hai mode ( 0  1 ,   1 ,   0.1 ,  A  1 , S0  1 )............ 118
Bảng 4.11 Tỉ số đáp ứng bình phương trung bình của biên độ mode dao động của
mốt thứ nhất so với mốt thứ hai, thứ ba, thứ tư và thứ năm trong trường hợp năm
mode ( M  5 ) sử dụng tiêu chuẩn đối ngẫu với sự thay đổi của 1/R ................... 119

6


Bảng 4.12 Tỉ số đáp ứng bình phương trung bình của T theo phương pháp tuyến
tính hóa kinh điển và tuyến tính hóa sử dụng tiêu chuẩn đối ngẫu........................ 121
Bảng 4.13 Sai số của đáp ứng bình phương trung bình của x1 sử dụng tiêu chuẩn

đối ngẫu với các giá trị khác nhau của tham số điều chỉnh và  1 thay đổi............ 126
Bảng 4.14 Sai số của đáp ứng bình phương trung bình của x2 với các giá trị khác
nhau của tham số điều chỉnh và  1 thay đổi......................................................... 127

7


DANH SÁCH HÌNH
Hình 1.1 Sơ đồ tuyến tính hóa một hệ phi tuyến....................................................14
Hình 2.1 Sơ đồ khối tìm ma trận hệ số tuyến tính hóa ...........................................51
Hình 2.2 Một mô hình hệ hai bậc tự do với cản và độ cứng phi tuyến ...................69
Hình 4.1 Hàm mật độ xác suất của đáp ứng x1 khi a4  0.2 ............................... 105
Hình 4.2 Hàm mật độ xác suất của đáp ứng x1 khi a4  2.0 ............................... 105
Hình 4.3 Hàm mật độ xác suất của đáp ứng x2 khi a4  0.2 ............................... 106
Hình 4.4 Đồ thị của đáp ứng bình phương trung bình E  w12  (đơn vị: m2) thay đổi
theo 1/R trong trường hợp đơn mode với các phương pháp khác nhau................. 115
Hình 4.5 Đáp ứng bình phương trung bình E  w12  (đơn vị: m2) thay đổi theo tham
số độ cứng  trong trường hợp đơn mode với các phương pháp khác nhau ........ 116
Hình 4.6 Tỉ số giữa đáp ứng bình phương trung bình của biên độ mode thứ nhất với
các mode từ hai đến năm theo sự thay đổi của 1/R............................................... 119
Hình 4.7 Tỉ số đáp ứng bình phương trung bình của ba phương pháp so với đáp ứng
bình phương trung bình của hệ tuyến tính với các giá trị khác nhau của độ mảnh
L / h (tỉ số khối lượng M 0 / m0  5 ) ..................................................................... 122
Hình 4.8 Tỉ số đáp ứng bình phương trung bình của ba phương pháp so với đáp ứng
bình phương trung bình của hệ tuyến tính với các giá trị khác nhau của tỉ số khối
lượng M 0 / m0 (độ mảnh L/h=200)...................................................................... 123
Hình 4.9 Tỉ số đáp ứng bình phương trung bình của ba phương pháp so với đáp ứng
bình phương trung bình của hệ tuyến tính với các giá trị khác nhau của vị trí khối
lượng tập trung d 0 / L (độ mảnh L/h=200, tỉ số khối lượng M 0 / m0  5 ) ............ 124


8


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG
M, M e Ma trận khối lượng, ma trận khối lượng tương đương

C, Ce Ma trận cản, ma trận cản tương đương
K, K e Ma trận độ cứng, ma trận độ cứng tương đương

Thành phần của các ma trận khối lượng, cản và độ cứng tương
đương
Φ Véc tơ hàm phi tuyến
 
x, x,
x Véc tơ đáp ứng chuyển dịch, vị trí, vận tốc

mije , cije , kije

Q  t  Véc tơ lực kích động ngoài phụ thuộc thời gian
D Ma trận hệ số thay thế trở lại
E  Toán tử kỳ vọng toán học

pdf


Hàm mật độ xác suất
Chuẩn trong không gian Euclid

e Véc tơ sai số hệ
S Ma trận mật độ phổ

U Hàm thế năng
 Tần số

H   Ma trận hàm đáp ứng biên độ - tần số

 Mật độ khối lượng
A Diện tích thiết diện mặt cắt ngang của dầm
c Hệ số cản nhớt
 Hệ số độ cứng nền đàn hồi
L Chiều dài dầm
I Mô men quán tính của thiết diện mặt cắt ngang
w  x, t  Độ võng của dầm

m Hàm dạng riêng ở mode dao động thứ m
 Vị trí không thứ nguyên, x / L
R Bán kính quán tính
ymn Mô men bậc hai, E  wm wn 

M

Số mode dao động của dầm

9


d 0 Vị trí tải trọng tập trung

K .  Hàm Bessel cải tiến loại II

CX

TT
NL
DN
MC

Chính xác
Thông thường
Năng lượng
Đối ngẫu
Monte-Carlo

10


MỞ ĐẦU
Phương pháp tuyến tính hóa tương đương là một trong những phương
pháp phổ biến và lâu đời nhất hiện nay trong tính toán xấp xỉ các hệ động lực
học, nhất là các hệ ngẫu nhiên phi tuyến (Socha, 2008). Phương pháp được
phát triển cho cả hệ một và nhiều bậc tự do bởi nhiều nhà nghiên cứu trong
các lĩnh vực lý thuyết và ứng dụng khác nhau (Roberts và Spanos,1990). Tuy
nhiên hầu hết các nghiên cứu của phương pháp tuyến tính hóa tương đương
truyền thống (hay thông thường) được áp dụng cho các hệ trong trường hợp
phi tuyến yếu, bởi vì trong trường hợp này, phương pháp cho dự báo về mặt
đáp ứng là khá tốt, nghĩa là sai số khá nhỏ so với nghiệm chính xác hoặc
nghiệm mô phỏng số. Trong trường hợp hệ có tính phi tuyến mạnh, phương
pháp tuyến tính hóa tương đương truyền thống tỏ ra kém hiệu quả. Do đó cần
thiết phải có những cải tiến mới cho phương pháp để khắc phục hạn chế trên.
Luận án hướng đến giải quyết vấn đề này cho một số lớp các hệ ngẫu nhiên
nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên và có tính phi tuyến mạnh.
Với những lý do cơ bản ở trên, tác giả luận án lựa chọn đề tài: "Tiêu

chuẩn đối ngẫu trong phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ
phi tuyến nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên".
Mục tiêu nghiên cứu của luận án
- Tăng được độ chính xác của phương pháp tuyến tính hóa tương đương
theo tiêu chuẩn đối ngẫu cho hệ ngẫu nhiên phi tuyến nhiều bậc tự do.
- Xây dựng công thức xác định các hệ số tương đương của phương trình
tuyến tính hóa theo tiêu chuẩn đối ngẫu.
- Áp dụng phương pháp cho việc khảo sát đáp ứng của một số hệ liên tục
mà phương trình của nó có thể đưa về dạng phương trình của hệ nhiều bậc tự
do.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án
Tiêu chuẩn đối ngẫu trong luận án được nghiên cứu cho các hệ nhiều bậc
tự do với tính phi tuyến mạnh và chịu kích động ngoài là ngẫu nhiên; giới hạn
tính toán giải tích cho các hệ có hai bậc tự do. Hàm phi tuyến trong hệ là các
hàm liên tục của các đối số.

11


Phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng các phương pháp lý thuyết kết hợp với mô phỏng số. Các
phương pháp cụ thể sử dụng trong luận án gồm:
- Phương pháp sử dụng phương trình Fokker-Planck (tìm nghiệm chính
xác cho một số hệ phi tuyến).
- Phương pháp tuyến tính hóa tương đương (tìm đáp ứng xấp xỉ của bài
toán).
- Phương pháp mô phỏng Monte-Carlo (tính toán mô phỏng nghiệm trong
trường hợp hệ khó tìm được nghiệm chính xác).
Kết cấu của luận án


Luận án bao gồm: Phần Mở đầu; các Chương 1, 2, 3 và 4; phần Kết
luận chung; Danh mục các công trình nghiên cứu của tác giả; và Tài liệu
tham khảo.
Chương 1. Tổng quan về phương pháp tuyến tính hóa tương đương
Chương 1 trình bày tổng quan và những khái niệm mở đầu về phương
pháp tuyến tính hóa tương đương dựa trên cách tiếp cận tiêu chuẩn sai số bình
phương trung bình. Một số khái niệm cơ bản liên quan đến quá trình đáp ứng
của hệ ngẫu nhiên được trình bày khái quát như hàm đặc trưng, phân bố ngẫu
nhiên Gaussian, quá trình Wiener, quá trình ồn trắng và ồn màu. Để phục vụ
làm cơ sở tính toán cho một số hệ phi tuyến ở các chương sau, tác giả trình
bày cách tiếp cận tuyến tính hóa theo tiêu chuẩn năng lượng và cách giải
phương trình Fokker-Planck trong một số tình huống đơn giản.
Chương 2. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo tiêu chuẩn đối ngẫu
Trong chương này, một tiêu chuẩn đối ngẫu mới được đề xuất cho hệ
nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên. Tác giả thiết lập hệ đóng kín cho
hệ số tuyến tính hóa và phương pháp giải cho hệ đóng kín này. Chương 2
minh họa tính toán giải tích tìm đáp ứng cho một số hệ nhiều bậc tự do dựa
trên tiêu chuẩn đối ngẫu đề xuất. Các hệ nhiều bậc tự do gồm: hệ có độ cứng
phi tuyến bậc ba, hệ có độ cứng phi tuyến bậc năm và mô hình hệ có cả cản
và độ cứng phi tuyến.

12


Chương 3. Phân tích đáp ứng của dầm chịu tải trọng ngẫu nhiên
Chương 3 tác giả trình bày sự mở rộng của tiêu chuẩn đối ngẫu cho bài
toán dao động của hệ liên tục. Hai bài toán được minh họa là dao động của
dầm Euler-Bernoulli chịu tải ngẫu nhiên và một một mô hình dầm mang khối
lượng tập trung chịu kích động ngẫu nhiên. Các tính toán giải tích tìm đáp
ứng của hệ được tiến hành nhằm tìm hệ số tuyến tính hóa của hệ tuyến tính

hóa tương đương trong hai trường hợp đơn mode và hai mode.
Chương 4. Tính toán và mô phỏng số đánh giá độ chính xác của phương pháp
Chương 4 trình bày các kết quả số cho các bài toán đã nêu ở Chương 2 và
Chương 3 để chỉ ra độ chính xác của phương pháp tuyến tính hóa tương
đương theo tiêu chuẩn đối ngẫu. Đánh giá độ chính xác của phương pháp
thông qua so sánh kết quả thu được từ cách tiếp cận tiêu chuẩn đối ngẫu với
nghiệm chính xác (nếu có) hoặc nghiệm mô phỏng số Monte-Carlo. Ngoài ra,
phương pháp tiêu chuẩn đối ngẫu còn được so sánh với phương pháp tuyến
tính hóa thông thường hoặc so sánh với phương pháp tuyến tính hóa theo tiêu
chuẩn năng lượng.
Phần Kết luận chung của luận án tổng kết những đóng góp mới đã đạt
được trong luận án và định hướng phát triển tiếp theo của luận án.

13


Chương 1. TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA
TƯƠNG ĐƯƠNG
Trong chương này, tác giả trình bày một số vấn đề tổng quan của phương
pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên;
một số khái niệm cơ bản sử dụng trong phân tích hệ động lực ngẫu nhiên phi
tuyến; các tính toán cơ sở trong pháp tuyến tính hóa cho hệ phi tuyến nhiều
bậc tự do.
1.1 Giới thiệu về phương pháp tuyến tính hóa tương đương
Tuyến tính hóa tương đương theo Caughey
Phương pháp tuyến tính hóa tương đương là một trong những phương
pháp phổ biến và lâu đời nhất hiện nay trong tính toán xấp xỉ các hệ động lực
học, nhất là các hệ ngẫu nhiên phi tuyến. Đây là phương pháp được đề xuất
gần như đồng thời bởi Booton (1954), Kazakov (1954) và Caughey (1956)
trong những năm 50 của thế kỷ XX. Mục đích của phương pháp là thay thế

phần tử phi tuyến bởi dạng tuyến tính hóa tương ứng, trong đó hệ số tuyến
tính hóa có thể được tìm từ một tiêu chuẩn xác định. Phương pháp này được
phát triển bởi một số tác giả người Nga vào những năm 1950, 1960 khi
nghiên cứu các hệ điều khiển tự động, hệ cơ học kết cấu, các hệ động lực
trong vật lý thống kê (Socha, 2008). Trong nghiên cứu của Caughey (1956),
ông thay thế các hệ phi tuyến với kích động ngẫu nhiên Gaussian ồn trắng bởi
một hệ tuyến tính có cùng kích động, trong đó hệ số tuyến tính hóa được tìm
từ tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình. Caughey gọi cách tiếp cận này là
tuyến tính hóa tương đương. Các thuật ngữ "tuyến tính hóa thống kê", tuyến
tính hóa ngẫu nhiên" và "tuyến tính hóa tương đương" sau đây gọi chung là
tuyến tính hóa tương đương để chỉ phương pháp tuyến tính hóa tìm các thống
kê đáp ứng của các hệ động lực ngẫu nhiên phi tuyến. Sơ đồ thay thế một hệ
ngẫu nhiên phi tuyến bởi một hệ tuyến tính hóa tương ứng có thể mô tả trên
Hình 1.1.
Lực kích
động

Hệ phi tuyến
ngẫu nhiên

Chiến lược tuyến
tính hóa

Hình 1.1 Sơ đồ tuyến tính hóa một hệ phi tuyến

14

Hệ tuyến tính
hóa



Phương pháp tuyến tính hóa gồm hai bước chính:
- Bước thứ nhất dựa trên cấu trúc hệ nghiên cứu và tiêu chuẩn tuyến tính
hóa tương ứng. Theo đó người ta tìm ra các công thức hệ số tuyến tính hóa
dưới dạng ẩn hoặc dạng hiện, tùy thuộc vào các đặc trưng đáp ứng chưa biết
(như giá trị trung bình, phương sai, mô men bậc cao).
- Bước thứ hai, người ta thay thế các đặc trưng chưa biết bởi các đặc trưng
tương ứng xác định từ hệ tuyến tính hóa. Hai bước này được thực hiện trong
một quy trình lặp đến khi thu được nghiệm hội tụ mong muốn.
Hệ số tuyến tính hóa và các đặc trưng xấp xỉ của hệ không chỉ phụ thuộc
vào phần tử phi tuyến và tham số hệ mà còn phụ thuộc vào loại kích động
(như kích động Gaussian, kích động non-Gaussian, kích động tham số). Mỗi
loại kích động có thể dẫn tới một số cách thức xử lý về mặt tính toán thích
hợp trong tính toán hệ động lực ngẫu nhiên (Prandlwarter, 2001; Smyth và
Masri, 2002; Socha, 2002; Park và đồng nghiệp, 2007; Elishakoff và
Crandall, 2017).
Đối tượng nghiên cứu của phương pháp tuyến tính hóa
Trên Hình 1.1 ta có thể thấy rằng một hệ động lực ngẫu nhiên có thể được
nghiên cứu dựa trên mô hình lực kích động, mô hình hệ phi tuyến, chiến lược
tuyến tính hóa (dựa vào các tiêu chuẩn tuyến tính hóa khác nhau trên cơ sở
không gian trạng thái, không gian phân bố, không gian hàm đặc trưng,
entropy...) và cách thức giải một hệ tuyến tính hóa. Bài toán hệ chịu kích
động ngẫu nhiên được nghiên cứu lần đầu tiên bởi Einstein năm 1905 và tổng
quát hóa bởi Smoluchowski năm 1916 trong quá trình nghiên cứu các chuyển
động Brownian. Năm 1931, Kolmogorov thiết lập được dạng toán học của
phương trình hàm mật độ xác suất cho quá trình ngẫu nhiên mô tả bởi chuyển
động Brownian. Những đóng góp quan trọng cho nghiên cứu phương trình
hàm mật độ xác suất này còn phải kể đến các tác giả như Fokker, Planck,
Burger, Furth, Ornstein, Uhembeck... Nghiên cứu thuần túy toán học cho bài
toán này còn phải kể đến các tên tuổi như Wiener, Khintchine, Feller, Levy,

Doob, Ito... (xem: Wax, 1954). Những nghiên cứu mở đầu của bài toán dao
động ngẫu nhiên gói gọn trong khuôn khổ tìm hiểu ảnh hưởng của ồn đến đáp
ứng của hệ tuyến tính. Nghiệm của hệ tuyến tính có thể thu được dễ dàng từ
một kỹ thuật tính toán chuẩn trong lý thuyết xác suất thống kê. Tuy nhiên đối

15


với bài toán phi tuyến, tình huống tìm nghiệm sẽ khó khăn hơn. Công trình
sớm nhất nghiên cứu dao động ngẫu nhiên phi tuyến có lẽ là của Andronov
năm 1933. Ông sử dụng phương trình Fokker-Planck để nghiên cứu chuyển
động của hệ động lực chịu kích động nhiễu ngẫu nhiên. Sau này các tác giả
khác cũng sử dụng phương trình Fokker-Planck để nghiên cứu nhiều hệ ngẫu
nhiên khác, có thể kể như Caughey và Dienes (1961), Lyon (1960a,b), Payne
(1967), Wong (1964), Atkinson (1970), Ariaratnam (1960, 1962), Crandall
(1962, 1964a,b), Klein (1964), Herbert (1964, 1965), Koop và đồng nghiệp
(2012), Carrrillo và đồng nghiệp (2013), Kumar và đồng nghiệp (2014),
Zheng và đồng nghiệp (2015).
Các tính chất thống kê bậc nhất và bậc hai thường được quan tâm vì
chúng chứa những tham số quan trọng mô tả quá trình ngẫu nhiên. Trong
nhiều ứng dụng các tính chất thống kê bậc cao có thể đòi hỏi, chẳng hạn hàm
mật độ phổ của quá trình ngẫu nhiên đòi hỏi thông tin về thống kê bậc hai của
quá trình. Có nhiều kỹ thuật xấp xỉ được phát triển để tìm thống kê bậc hai
cho đáp ứng của hệ phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên. Có thể kể các
phương pháp xấp xỉ như phương pháp tuyến tính hóa tương đương (Booton,
1954; Caughey, 1963; Atalik và Utku, 1976; Roberts và Spanos, 1990),
phương pháp nhiễu (Crandall, 1963; Schuëller, 1996), phương pháp mô men
(Gard, 1988), phương pháp trung bình (Spanos, 1992), phương pháp khai
triển theo các hàm riêng (Wong, 1964; Payne, 1967; Atkinson, 1970). Trong
các phương pháp kể trên, nổi bật và ứng dụng nhiều nhất có lẽ là phương

pháp tuyến tính hóa tương đương. Phương pháp này có tính đơn giản, có thể
áp dụng cho cả hệ một và nhiều bậc tự do trong khi đó các phương pháp còn
lại chỉ áp dụng hạn chế cho hệ một bậc tự do và có các tính toán khá phức tạp
(Socha, 2008).
Một số cách tiếp cận cho phương pháp tuyến tính hóa tương đương
Đề xuất các ý tưởng mới cho phương pháp tuyến tính hóa tương đương có
thể kể đến các tác giả như Casciati và Faravelli (1993), Iyengar và Roy
(1996), Colajani và Elishakoff (1998). Casciati và Faravelli (1993) giải quyết
bài toán tuyến tính hóa trong tính toán độ tin cậy kết cấu. Hai ví dụ minh họa
là hệ Duffing và hệ trễ được nghiên cứu chi tiết. Đối với hệ trễ, Casciati và
Faravelli đề nghị rằng có thể thay thế phần tử trễ của hệ nhiều bậc tự do bằng

16


phần tử tuyến tính hóa sao cho gần nhất với hai hàm mà các tác giả đã định
sẵn. Colajani và Elishakoff (1998) đưa ra cái nhìn mới về phương pháp tuyến
tính hóa tương đương ứng dụng cho các hệ phi tuyến mà lực đàn hồi có dạng
hàm hyperbolic tangent. Hai tác giả chỉ ra một số chỉnh sửa nhằm khắc phục
hạn chế trong tính toán cực tiểu hóa sai số giữa lực đàn hồi của hệ phi tuyến
gốc và hệ tuyến tính hóa, hoặc cực tiểu hóa sai số giữa thế năng của lực đàn
hồi phi tuyến và thế năng của hệ tuyến tính hóa.
Một cách tiếp cận khác cho phương pháp tuyến tính hóa dựa trên "tuyến
tính hóa phi tham số" (TTHPTS) được nghiên cứu bởi một số tác giả.
Fujimura và Kiureghian (2007) đề xuất một phương pháp tuyến tính hóa phi
tham số cho nghiên cứu các dao động ngẫu nhiên phi tuyến. Trong phương
pháp này, hệ tuyến tính hóa được xác định bằng cách cho các điểm thiết kế
của hệ tuyến tính "bám sát" các điểm thiết kế của hệ phi tuyến trong không
gian các biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn thu được từ việc rời rạc hóa kích
động ngẫu nhiên. Theo cách tuyến tính hóa này thì mật độ xác suất của hệ

tuyến tính hóa sẽ bằng với xấp xỉ bậc nhất của mật độ xác suất của hệ phi
tuyến. Phát triển tiếp theo của phương pháp được nghiên cứu bởi Luca và
Kiureghian (2010), Reza và Mohsen (2014, 2016), Broccardo và Armen
(2015). Luca và Kiureghian (2010) đã mở rộng phương pháp TTHPTS cho
miền tần số và áp dụng cho bài toán về kết cấu chịu tác dụng của sóng biển.
Reza và Mohsen (2014, 2016) đã ứng dụng phương pháp TTHPTS cho bài
toán kết cấu không gian với kích động ngẫu nhiên theo hai hướng tác dụng
khác nhau. Reza và Mohsen đã chỉ ra rằng kết quả thu được của đáp ứng rất
phù hợp với kết quả thu được từ phương pháp mô phỏng Monte-Carlo.
Phương pháp TTHPTS được mở rộng cho bài toán hệ phi tuyến chịu nhiều
kích động ngẫu nhiên bởi các tác giả Broccardo và Armen (2015). Nghiên
cứu chỉ ra phương pháp có thể thu được phân bố non-Gaussian của đáp ứng
với độ chính xác cao.
Một số bài báo mới đây (Anh và Di Paola, 1995; Elishakoff và động
nghiệp, 2009) đã chỉ ra rằng, trong một số hệ phi tuyến chịu kích động ngẫu
nhiên, phương pháp tuyến tính hóa tương đương điều chỉnh đã làm giảm đáng
kể sai số của đáp ứng của hệ so với phương pháp tuyến tính hóa kinh điển khi
tham số phi tuyến của hệ tăng. Phương pháp này, ban đầu được đề nghị điều
chỉnh “một bước” bởi các tác giả Nguyễn Đông Anh và Di Paola (Anh và Di

17


Paola, 1995), sau đó là điều chỉnh “hai bước” bởi Elishakoff, Andrimasy và
Dolley (Elishakoff và đồng nghiệp, 2009).
Phương pháp tuyến tính hóa cho hệ một bậc tự do được tổng quát hóa cho
hệ nhiều bậc tự do có thể kể như Foster (1968), Iwan và Yang (1972), sau đó
là Atalik và Utku (1976) và nhiều tác giả khác. Bruckner và Lin (1987) đặt
những bước tiếp theo cho sự phát triển của phương pháp tuyến tính hóa tương
đương bằng nghiên cứu hệ nhiều bậc tự do chịu cả kích động tham số và kích

động ngoài ngẫu nhiên. Các tác giả sử dụng một số kỹ thuật xấp xỉ và thu
được hệ đóng phương trình vi phân của mô men đáp ứng. Iyengar và Roy
(1996) phát triển phương pháp tuyến tính tương đương trong nghiên cứu các
hệ nhiều bậc tự do chịu kích động ồn ngẫu nhiên dải hẹp. Các tác giả thu
được một phương trình tích phân cho hàm mật độ xác suất và giải bằng một
phương pháp lặp. Thực chất đây là một mở rộng của tuyến tính hóa dựa trên
xác suất đã được đề xuất trước đây bởi Iyengar (1992). Cantor và đồng nghiệp
(2014) đã đề xuất một cách tiếp cận phổ của phương pháp tuyến tính hóa
tương đương dựa trên phương pháp khai triển tiệm cận cho phân tích đáp ứng
hệ nhiều bậc tự do, sau đó minh họa cho bài toán kết cấu xây dựng nhiều tầng
chịu kích động động đất. Wang và Armen (2016) sử dụng phương pháp tuyến
tính hóa phi tham số cho mô hình hệ nhiều bậc tự do với chuyển động nền
ngẫu nhiên. Một phân tích dao động ngẫu nhiên của hệ nhiều bậc tự do được
đóng góp bởi Wang và Song (2016) sử dụng mô hình phân bố hỗn hợp
Gaussian. Tham số của mô hình hỗn hợp được ước lượng bằng một thuật toán
tối ưu mà các tác giả đề nghị.
Một hướng nữa cho tiếp cận phương pháp tuyến tính hóa tương đương
cho hệ một bậc tự do phi tuyến là dựa vào một tiêu chuẩn được đề nghị mới
đây với tên gọi “tiêu chuẩn đối ngẫu” (Anh, 2010; Anh và đồng nghiệp,
2012a). Tiêu chuẩn này xuất phát từ ý tưởng rằng, hệ phi tuyến ban đầu được
thay thế bằng một hệ tuyến tính hóa, sau đó hệ tuyến tính hóa này lại được
thay thế bằng một hệ phi tuyến khác cùng lớp với hệ phi tuyến ban đầu. Sự
thay thế trở lại này có ý nghĩa làm “cân bằng” sự thay thế “ban đầu” của
phương pháp tuyến tính hóa. Tiêu chuẩn được ứng dụng khảo sát một số hệ
phi tuyến một bậc tự do. Kết quả chỉ ra rằng, trong các hệ phi tuyến đó, sai số
của đáp ứng bình phương trung bình giảm đáng kể so với phương pháp tuyến
tính hóa tương đương kinh điển khi tính phi tuyến của hệ tăng. Hướng tiếp

18



cận theo tiêu chuẩn đối ngẫu cho hệ nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu
nhiên sẽ được trình bày trong luận án này.
Ứng dụng của phương pháp tuyến tính hóa
Trong giải quyết các bài toán đàn hồi, có thể kể một số áp dụng của
phương pháp tuyến tính hóa tương đương như bài toán dao động của khung,
dầm (Pradlwarter và Li, 1991; Lock, 1994; Chen và đồng nghiệp, 1996); bài
toán dao động ngẫu nhiên của tấm và vỏ (Chen và Yang, 1993; Sun và đồng
nghiệp, 1998; Dogan và Vaicaitis, 1999); bài toán dao động của các hệ phức
tạp chịu kích động ngẫu nhiên như kích động động đất (Schueller và đồng
nghiệp, 1994; Emam và đồng nghiệp, 1999, 2000), lực gây ra bởi gió (Zhang
và đồng nghiệp, 1981; Xu và đồng nghiệp, 1992), lực gây ra bởi sóng (Liu và
Bergdahl, 1997; Wolfram, 1999); bài toán dao động của phương tiện xe đi lại
dưới tác động của kích động gây ra bởi nền đường (Zhang và Knothe, 1996).
Một khía cạnh ứng dụng của phương pháp tuyến tính hóa tương đương là
cho các hệ phi tuyến với đặc tính trễ (hysteretic), chẳng hạn mô hình BoucWen. Hurtado và Barbat (2000) nghiên cứu mô hình Bouc-Wen từ quan điểm
hệ ngẫu nhiên. Trong mô hình gồm một phương trình vi phân tuyến tính cấp
hai và một phương trình vi phân cấp một phi tuyến. Tác giả đã tuyến tính hóa
phương trình thứ hai và có các đánh giá chi tiết về độ chính xác của đáp ứng
thu được của hệ. Hệ trễ chịu kích động động đất với quá trình dải hẹp được
nghiên cứu bởi Silva và Ruiz (2000) sử dụng phương pháp tuyến tính hóa
tương đương. Mới đây, một phương pháp gọi là tuyến tính hóa tương đương
bậc ba được đề xuất bởi Spanos và Agathoklis (2013) nghiên cứu các hệ trễ
với kích động động đất. Các tác giả đã phân tích phổ đáp ứng và chỉ ra tính
hiệu quả cao của phương pháp đề xuất. Gần đây nhất, nghiên cứu chi tiết về
các tương tác giữa lực dọc trục và mô men uốn xuất hiện trong hệ khung
không gian bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương được thực hiện
bởi Colangelo (2017). Colangelo đã minh họa nhiều sơ đồ tương tác và đánh
giá độ chính xác của kết quả thu được với kết quả mô phỏng Monte-Carlo.
Trong lĩnh vực cách ly chống động đất cho kết cấu xây dựng, phương

pháp tuyến tính hóa tương đương cũng được áp dụng khá hiệu quả. Ta có thể
kể các nghiên cứu của Günay và Sucuoğlu (2009) trong dự báo đáp ứng kết
cấu khi chịu tác dụng của động đất; Jara và đồng nghiệp (2012) đề xuất một

19


phương pháp cải tiến cho phương pháp tuyến tính hóa tương đương để nghiên
cứu kết cấu cầu với hỗ trợ của các thiết bị cách ly dao động; Liu và đồng
nghiệp (2014) đánh giá kết quả đáp ứng của các kết cấu xây dựng có lắp các
thiết bị giảm chấn.
Sự xuất hiện đáng kể của các bài báo về phương pháp tuyến tính hóa
tương đương có thể thấy rõ trong các khảo sát của Spanos (1981), Roberts
(1981), Poppe và đồng nghiệp (2003)... cùng một số chuyên khảo của Roberts
và Spanos (1990), Socha (2008). Điều đó cho thấy một chặng đường dài phát
triển của phương pháp tuyến tính hóa cùng với những ứng dụng của nó trong
vấn đề giải quyết các bài toán đặt ra trong thực tế (Socha, 2008).
Một số nghiên cứu ở Việt Nam
Cùng với tình hình nghiên cứu về phương pháp tuyến tính hóa tương
đương trên thế giới như được trình bày ở trên, ở trong nước, một số nghiên
cứu về phương pháp này cũng được triển khai. Có thể kể đến hướng nghiên
cứu của Nguyễn Đông Anh (Anh và Schiehlen, 1999; Anh, 2010; Anh và
Hieu, 2012), Ninh Quang Hải (2000), Lưu Xuân Hùng (2002) và một số tác
giả khác như Đặng Văn Hiếu (2010), Nguyễn Như Hiếu (2011), Nguyễn
Ngọc Linh (2014), Dương Ngọc Hảo (2014). Nhìn chung ở nước ta hiện nay,
phương pháp này đang được chú ý do tiềm năng ứng dụng của nó trong nhiều
lĩnh vực kỹ thuật khác nhau. Ngoài việc công bố các kết quả trên các tạp chí
chuyên ngành, thì phương pháp tuyến tính hóa tương đương cũng bước đầu
được áp dụng trong công nghệ giảm dao động (Nguyễn Đông Anh và Lã Đức
Việt, 2007). Điều đó mở ra một hướng ứng dụng khá hiệu quả trực tiếp phục

vụ thực tiễn Việt Nam.
1.2 Một số khái niệm cơ bản
1.2.1 Khái niệm về hàm đặc trưng
Cho g  x  là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X ,   R là một
số thực. Khi đó hàm    được xác định bởi (Socha, 2008)


    E exp i x 

 exp i x g  x  dx,


được gọi là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X .

20

(1.2.1)


Trong trường hợp n chiều, hàm đặc trưng của véc tơ ngẫu nhiên
X   X1

T

X 2 ... X n  cho bởi




 n


 n

 1 ,...,  n   E exp i  k xk     ...  exp i  k xk  g  x1 ,..., xn  dx1...dxn
 k 1
   
 k 1



(1.2.2)
trong đó g  x1 ,..., xn  là hàm mật độ xác suất của X .
Hàm đặc trưng  1 ,...,  n  còn có thể được viết dưới dạng véc tơ như
sau:
  θ   E exp iθT x 

 expiθ x g  x  dx.
T

R

(1.2.3)

n

Hàm đặc trưng là một hàm quan trọng trong lý thuyết xác suất. Sử dụng
hàm này người ta có thể xác định được một số đặc tính của biến ngẫu nhiên
như tính chất phân bố Gaussian, phân bố non-Gaussian, các đặc trưng mô
men...
1.2.2 Phân bố ngẫu nhiên Gaussian

Véc tơ ngẫu nhiên X được gọi là có phân bố Gaussian n chiều nếu hàm
đặc trưng của nó có dạng
1



  θ   E exp iθT m  θT Kθ   ,
2




(1.2.4)

T

trong đó m  m1 ... mn  là véc tơ giá trị trung bình, K   k jl  nn là ma
trận tương quan của véc tơ ngẫu nhiên X
T
m  E  x  , K  E   x  E  x   x  E  x   .
(1.2.5)


Nếu hàm tương quan K khả nghịch thì hàm mật độ xác suất của biến
ngẫu nhiên Gaussian X có dạng
1
T
 1

gG  x  

exp    x  m  K 1  x  m   . (1.2.6)
n

 2  det  K   2

Trong trường hợp một chiều, hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X
có dạng sau đây:

21


 1  x  m 2 
gG  x  
exp  
,
2
2
2

2 x
x


1

(1.2.7)

trong đó m ,  x2 lần lượt là giá trị trung bình và phương sai của X .
1.2.3 Quá trình ngẫu nhiên
Quá trình ngẫu nhiên là một khái niệm tổng quát hóa của biến ngẫu nhiên.

Đối với biến ngẫu nhiên, mỗi sự kiện được gán bởi một số thực có giá trị
ngẫu nhiên. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, cách gán này không đủ để mô
tả một quá trình thực (như vật lý, sinh học, kinh tế...) bởi vì các quá trình này
biến đổi theo thời gian. Tức là các quá trình thực có thể coi như các hàm ngẫu
nhiên thay đổi theo thời gian. Từ đó dẫn đến định nghĩa về quá trình ngẫu
nhiên.
Định nghĩa
- Cho  , F , P  là một không gian xác suất, R   0,   là tập các số thực
không âm. Một họ X  t  phụ thuộc thời gian t R  của biến ngẫu nhiên

t  t   được gọi là quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục t .
- Trong trường hợp tham số t thuộc vào các số tự nhiên N  0,1, 2,... thì họ
X  t  được gọi là quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc (hay còn gọi là

dãy ngẫu nhiên).
Thông thường chúng ta sử dụng ký hiệu t      t ,   cho quá trình
ngẫu nhiên với thời gian liên tục và n   cho quá trình ngẫu nhiên với thời
gian rời rạc. Với mỗi   cố định, hàm của thời gian   t ,.  thể hiện một
quỹ đạo tương ứng với sự kiện  . Sau này, nếu không sợ nhầm lẫn, để cho
tiện ta bỏ qua tham số  trong ký hiệu quá trình ngẫu nhiên, nghĩa là ta viết

  t     t,   ( t R  ).
1.2.4 Quá trình ngẫu nhiên Gaussian
a. Định nghĩa
Một véc tơ quá trình ngẫu nhiên x  t   R n , t R  được gọi là quá trình
ngẫu nhiên Gaussian (hay quá trình chuẩn) nếu với số tự nhiên r bất kỳ và

22



tập con t1 , t2 ,..., tr  tùy ý thì các véc tơ ngẫu nhiên x  t1  , x  t2  ,..., x  tr  có
hàm phân bố Gaussian, nghĩa là hàm đặc trưng của chúng có dạng:

 r

  θ1 , t1 ,..., θ r , tr   E exp i  θTj x  t j  
 j 1



(1.2.8)
r
r
 r T

1
 exp i  θ j m  t j    θTj K  t j , tk  θ k  ,
2 j 1 k 1
 j 1

trong đó m  t  , K  t1 , t2  lần lượt là véc tơ giá trị trung bình và ma trận tương
quan của quá trình ngẫu nhiên x  t   R n ,
T

θ  θ1T

T

... θTr  , m   m1T


... mTr  .

Nếu ma trận tương quan K  t j , tk  ( j, k  1, 2,..., r ) không suy biến, khi
đó hàm mật độ xác suất của các véc tơ ngẫu nhiên x  t1  , x  t2  ,..., x  tr  có
dạng:
2

n
gG  x1 , t1 ,..., x r , tr    2  det  K 



trong đó u   x1T

1/ 2

T

... x Tr  , m   m1T

T
 1

exp    u  m x  K 1  u  m x  
 2

(1.2.9)

T


... mTr  , det  K  là định thức của

ma trận khối cỡ n 2  n 2 .
b. Một số tính chất cơ bản của quá trình ngẫu nhiên Gaussian
Tính chất 1: Một quá trình ngẫu nhiên Gaussian được xác định hoàn toàn nếu
biết giá trị trung bình mx  t  và hàm tương quan Rx  t1 , t2  .
Tính chất 2: Điều kiện cần để một thể hiện của quá trình Gaussian có tính
chất liên tục là hàm giá trị trung bình và hàm tương quan của nó đều liên tục.
Tính chất 3: Tất cả các biến đổi tuyến tính của quá trình Gaussian đều cho ra
kết quả là một quá trình Gaussian.
Tính chất 4: Nếu x  t  là một quá trình ngẫu nhiên Gaussian có trung bình
bằng không thì:
- Tất cả các mô men bậc lẻ của nó cũng cũng bằng không, nghĩa là:
E  x  t1  x  t2  ... x  t2 n1    0 ( n  1, 2,... ).

23

(1.2.10)