Về v vành và môđun nội xạ đơn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (414.74 KB, 48 trang )
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
HỒ THỊ LAN THUYỀN
VỀ V -VÀNH VÀ MÔĐUN NỘI XẠ ĐƠN
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60460104
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TS. LÊ VĂN THUYẾT
Thừa Thiên Huế, năm 2017
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của
riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong
luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho
phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất
kỳ một công trình nào khác.
HỒ THỊ LAN THUYỀN
ii
LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo GS. TS. Lê Văn
Thuyết, người đã hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này, người đã truyền cho
tôi niềm đam mê khoa học, đã tận tình dạy bảo, hướng dẫn và động viên tôi
trong quá trình học tập, nghiên cứu của mình.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy cô Khoa Toán, các Thầy ở Đại học Huế
và Viện Toán học đã dạy dỗ và truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình
học tập.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Huế, phòng Đào tạo
sau Đại học, khoa Toán trường ĐHSP Huế đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt
khóa học.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, các anh chị lớp Cao học Toán
khóa XXIV trường ĐHSP Huế chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, vì sự động
viên, giúp đỡ trong quá trình học tập vừa qua.
Ngày 30 tháng 8 năm 2017.
Học viên thực hiện
Hồ Thị Lan Thuyền
iii
Mục lục
Trang phụ bìa
i
Lời cam đoan
ii
Lời cảm ơn
iii
Mục lục
1
Bảng ký hiệu
2
Lời mở đầu
3
1
5
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1
Môđun con cốt yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2
Môđun đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3
Môđun và vành nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2 Về V -vành và môđun nội xạ đơn
19
2.1
Môđun đơn - môđun nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.2
Về V -vành và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.3
Mối quan hệ giữa V -vành và các lớp vành liên quan . . . . . . .
34
Kết luận
43
Tài liệu tham khảo
44
1
BẢNG KÝ HIỆU
Ký hiệu
: Nghĩa của ký hiệu
RM
: môđun trái trên vành R
MR
: môđun phải trên vành R
A⊆B
: A là tập con của B
A⊂B
: A là tập con thực sự của B
A≤M
: A là môđun con của M
A
: A là môđun con thực sự của M
A ≤e M
: A là môđun con cốt yếu của M
A ≤max M
: A là môđun con cưc đại của M
J(R)
: căn Jacobson của vành R
Z(R)
: tâm của vành R
Tl (R)
: iđêan suy biến trái của vành R
A⊕B
: tổng trực tiếp của hai môđun A và B
A⊗B
: tích tensor của hai môđun A và B
A∼
=B
: A đẳng cấu với B
R≈S
: vành R tương đương với vành S
Mn (R)
: vành các ma trận cấp n × n trên vành R
End(M )
: vành các tự đồng cấu của M
HomR (A, B)
: nhóm các đồng cấu giữa các R -môđun A và B
annR (X)
: linh hóa tử của X trong R
I∗
: giao của các iđêan trái cực đại của R chứa I
2
LỜI MỞ ĐẦU
Lý thuyết vành và môđun đóng một vai trò quan trọng trong đại số kết hợp.
Do đó, việc nghiên cứu cấu trúc vành và môđun là bài toán cơ bản và quan
trọng của Đại số, đặc biệt là lớp các môđun nội xạ trên các vành.
Khái niệm về môđun nội xạ được Baer giới thiệu vào năm 1940. Theo đó,
một môđun M được gọi là N -nội xạ nếu với mỗi môđun con A của N thì mọi
đồng cấu f : A −→ M đều mở rộng được đến đồng cấu g : N −→ M . Môđun
M được gọi là nội xạ nếu M là N -nội xạ với mọi môđun N . Không chỉ đưa ra
khái niệm môđun nội xạ, Baer còn đưa ra một tiêu chuẩn quan trọng để kiểm
tra khi nào thì một R-môđun M là nội xạ. Tiêu chuẩn Baer được phát biểu
như sau: Môđun R M là nội xạ nếu với mọi iđêan trái I của R, mọi đồng cấu
f : R I −→ R M đều có thể mở rộng được đến đồng cấu g : R R −→ R M . Kể từ
khi khái niệm môđun nội xạ và tiêu chuẩn Baer ra đời, các khái niệm mở rộng
của nó cũng như mối liên hệ giữa môđun nội xạ và các lớp môđun khác trên vành
R đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả. Một trong những
hướng tiếp cận như vậy là việc nghiên cứu lớp các môđun nội xạ đơn. Nhắc lại
rằng một môđun R M được gọi là đơn nếu M = 0 và M chỉ có hai môđun con
là 0 và M . Từ đây, có thể thấy rằng môđun đơn là một môđun đặc biệt, do đó
khi nghiên cứu lớp các môđun nội xạ đơn sẽ cho ta nhiều tính chất thú vị. Lần
đầu tiên, Rosenberg và Zelinsky đã giải quyết vấn đề về đặc trưng của vành R
mà các môđun đơn R M có bao nội xạ có độ dài hữu hạn. Trong bài báo đó, họ
cũng đưa ra một trường hợp rất đặc biệt thu được từ Kaplansky, đó là: nếu R
giao hoán thì mọi R-môđun đơn là nội xạ khi và chỉ khi R là vành chính quy
von Neumann. Nhưng trong trường hợp R không giao hoán thì điều kiện cần và
đủ trong định lý Kaplansky là không đúng như C. Faith và J. Cozzens đã chỉ
ra. Vài năm sau, Villamayor đã đặc trưng các vành R đó (R không nhất thiết
giao hoán) bằng việc đưa ra một lớp vành mới, đó là lớp các V -vành. Vành R
được gọi là V -vành nếu mỗi R-môđun đơn là nội xạ. Một định lý nổi tiếng của
Villamayor khẳng định rằng R là V -vành trái khi và chỉ khi mọi iđêan trái của
3
vành R là một giao của các iđêan trái cực đại của R.
Với mong muốn được tìm hiểu thêm về V -vành và môđun nội xạ đơn, và
được sự hướng dẫn của thầy giáo GS. TS. Lê Văn Thuyết, tôi đã chọn đề tài
"Về V -vành và môđun nội xạ đơn" để tiến hành nghiên cứu.
Nội dung của luận văn được chia làm hai chương. Trong chương 1, chúng tôi
trình bày một số kiến thức cơ bản của Đại số kết hợp nhằm mục đích hỗ trợ cho
chương 2. Chương 2 trình bày về V -vành và môđun nội xạ đơn. Trong chương
này, chúng tôi sẽ khảo sát môđun đơn - môđun nội xạ và trình bày đặc trưng
chính của môđun nội xạ đơn (Định lý 2.1.4) và tính nội xạ như các R-môđun
của các R/P -môđun (Định lý 2.1.6). Tiếp đó, chúng tôi sẽ trình bày về V -vành
thông qua định nghĩa và một số tính chất, đặc biệt là định lý của Villamayor về
đặc trưng của V -vành (Định lý 2.2.3). Một số kết quả khác về tính chính quy
của tâm Z(R) (Bổ đề 2.2.5), tính bất biến Morita của vành R (Định lý 2.2.7)
và đặc trưng của vành nửa đơn Artin (Định lý 2.2.8) sẽ được trình bày. Cuối
cùng sẽ là mối liên hệ giữa V -vành và một số vành liên quan trong lớp các giao
của các iđêan trái cực đại (Định lý 2.3.6, Định lý 2.3.13); đặc trưng của V -vành
suy biến (Định lý 2.3.14); một số tính chất của vành chính quy (Hệ quả 2.3.9),
chính quy mạnh (Hệ quả 2.3.10), vành nửa đơn Artin (Hệ quả 2.3.19) qua lớp
các giao của các iđêan trái cực đại, điều kiện cần và đủ để vành chính quy là
một V -vành (Hệ quả 2.3.15) cũng được trình bày.
Do hạn chế về mặt thời gian và kiến thức nên luận văn không tránh khỏi
những sai sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các
bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Huế, tháng 8 năm 2017
Hồ Thị Lan Thuyền
4
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của đại số kết
hợp. Các kiến thức này được trình bày nhằm tham khảo cho các nội dung của
chương sau. Một số kết quả trong chương này là khá kinh điển, vì vậy chúng tôi
chỉ trình bày nội dung mà không trình bày phần chứng minh (phần chứng minh
có thể tham khảo trong các tài liệu [1], [2], [4], [10], [12], [13], [14],...).
Trong suốt luận văn này, chúng tôi luôn giả sử R là vành có đơn vị 1 = 0 và
mọi R-môđun được xét là môđun unita. Phần lớn khi trình bày môđun có nghĩa
là chúng tôi đang nói đến R-môđun trái. Khi cần thay đổi về phía chúng tôi sẽ
đề cập.
Trước hết, chúng tôi trình bày khái niệm môđun con cốt yếu.
1.1
Môđun con cốt yếu
Định nghĩa 1.1.1. [1, tr.18]. Một môđun con K của M được gọi là cốt yếu
(lớn) trong M , ký hiệu: K ≤e M , trong trường hợp với mọi môđun con L ≤ M ,
K ∩ L = 0 suy ra L = 0.
Chú ý 1.1.2. [1, tr.18]. (i) Cho M = 0, nếu K ≤e M thì K = 0.
(ii) M ≤e M .
Ví dụ 1.1.3. Trong Z, mọi iđêan khác 0 đều là cốt yếu, vì cho hai iđêan khác
không tùy ý aZ, bZ thì 0 = ab ∈ aZ ∩ bZ.
Sau đây là các tính chất của môđun con cốt yếu.
5
Mệnh đề 1.1.4. [1, Mệnh đề 2.1.5]. Các mệnh đề sau là tương đương đối với
môđun con K của M :
(1) K ≤e M .
(2) Với mọi môđun N và mọi h ∈ Hom(M, N ), Ker(h) ∩ K = 0 suy ra
Ker(h) = 0.
Mệnh đề 1.1.5. [1, Mệnh đề 2.1.9]. Cho R M và K ≤ N ≤ M , H ≤ M . Khi
đó:
(1) K ≤e M ⇔ K ≤e N và N ≤e M .
(2) H ∩ K ≤e M ⇔ H ≤e M và K ≤e M .
Tiếp theo ta có tính chất đặc trưng của môđun con cốt yếu.
Bổ đề 1.1.6. [1, Bổ đề 2.1.12]. Môđun con K ≤ M là cốt yếu trong M nếu và
chỉ nếu với mỗi 0 = x ∈ M tồn tại r ∈ R sao cho 0 = rx ∈ K.
Cho N là một môđun con của M . Nếu N ≤ M là cực đại với tính chất
N ∩ N = 0 thì ta nói N là một M -phần bù của N . Mọi môđun con N ≤ M có
một M -phần bù.
1.2
Môđun đơn
Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày về môđun đơn và một số tính chất của
nó. Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày về môđun nửa đơn. Trước hết là định
nghĩa môđun đơn như sau.
Định nghĩa 1.2.1. [1, tr.180]. (i) Một môđun R M được gọi là đơn nếu M = 0
và M chỉ có hai môđun con là 0 và M .
(ii) Vành R được gọi là đơn nếu R = 0 và R chỉ có hai iđêan hai phía là 0 và
R.
Tiếp theo, ta sẽ đưa ra một đặc trưng quan trọng của môđun đơn.
Đặc trưng của môđun đơn [1, tr.86]. Môđun M (khác 0) là đơn nếu và
chỉ nếu mọi đồng cấu khác không M −→ N (t.ư, N −→ M ) trong R − M od là
đơn cấu (t.ư, toàn cấu).
6
Theo định nghĩa của môđun đơn chúng ta có:
Bổ đề 1.2.2. [1, Bổ đề 2.2.11]. Môđun trái R M là đơn khi và chỉ khi M = 0 và
∀m(= 0) ∈ M, M = Rm.
Sau đây là một tính chất quan trọng của môđun đơn.
Mệnh đề 1.2.3. [1, Mệnh đề 1.1.3]. Một R-môđun trái M là đơn nếu và chỉ
nếu M ∼
= R/I, với I là iđêan trái cực đại nào đó của R.
Vì các iđêan trái cực đại lập thành một tập nên có một tập F gồm các đại
diện của các lớp đẳng cấu của các môđun đơn. Ngoài ra chú ý rằng do R R là
xyclic nên nó có ít nhất một iđêan trái cực đại, từ đó suy ra sự tồn tại của
môđun đơn.
Tiếp theo chúng tôi xin trình bày về lớp môđun có liên quan chặt chẽ đến
môđun đơn, đó là lớp các môđun nửa đơn.
Định nghĩa 1.2.4. [1, tr.87]. (a) Một môđun M được gọi là nửa đơn nếu M là
tổng trực tiếp của các môđun con đơn.
(b) Vành R được gọi là nửa đơn trái (t.ư, phải) nếu môđun R R (t.ư, RR ) là
nửa đơn.
Ta thấy rằng môđun đơn là nửa đơn nên đối với mọi vành R tồn tại môđun
nửa đơn. Ngoài ra ta cũng thấy môđun 0 là nửa đơn vì
0=
Mi , Mi đơn.
i∈∅
nhưng 0 không đơn (theo định nghĩa).
Sau đây là định lý đặc trưng cho môđun nửa đơn.
Định lý 1.2.5. [1, Định lý 1.2.7]. Đối với một R-môđun trái M , các điều kiện
sau là tương đương:
(1) M là nửa đơn.
(2) M là tổng của tập nào đó các môđun con đơn.
(3) M là tổng của tất cả các môđun con đơn của nó.
7
(4) Mọi môđun con của M là một hạng tử trực tiếp của M .
(5) Mọi dãy khớp ngắn các R-môđun trái
0 −→ K −→ M −→ N −→ 0
chẻ ra.
Hệ quả 1.2.6. [1, Hệ quả 1.2.8]. (1) Mỗi môđun con của môđun nửa đơn là
nửa đơn.
(2) Ảnh toàn cấu của môđun nửa đơn là nửa đơn.
1.3
Môđun và vành nội xạ
Trong mục này, chúng tôi trình bày về môđun nội xạ, các đặc trưng của môđun
nội xạ, và một số khái niệm, tính chất khác của lý thuyết vành và môđun.
Định nghĩa 1.3.1. [1, tr.23]. Một môđun R M được gọi là N -nội xạ nếu với
mỗi môđun con A của N thì mọi đồng cấu f : A −→ M đều mở rộng được đến
đồng cấu g : N −→ M , nghĩa là biểu đồ sau giao hoán
/
0
/
A
f
~
N
g
M
Môđun M được gọi là nội xạ nếu M là N -nội xạ với mọi môđun N .
Đối ngẫu với môđun nội xạ, ta có khái niệm về môđun xạ ảnh như sau.
Định nghĩa 1.3.2. [1, tr.23]. Cho R U là một môđun. Nếu R M là một môđun
thì U được gọi là M -xạ ảnh trong trường hợp với mọi toàn cấu g : R M −→ R N
và mỗi đồng cấu f : R U −→ R N tồn tại một R-đồng cấu h : U −→ M sao cho
biểu đồ sau giao hoán
U
h
M
~ g
/
f
N
/ 0.
Môđun P được gọi là xạ ảnh nếu nó là M -xạ ảnh với mọi môđun M .
8
Ví dụ 1.3.3. [2, tr.66]. (1) Z không là Z-môđun nội xạ, vì đồng cấu f : 2Z −→
Z, 2n −→ n không thể mở rộng đến đồng cấu Z −→ Z.
(2) Hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ là nội xạ.
Ta có mệnh đề đặc trưng cho các môđun nội xạ như sau.
Mệnh đề 1.3.4. [1, Mệnh đề 3.4.4]. Cho M là R-môđun trái. Khi đó, các điều
kiện sau là tương đương:
(1) M là nội xạ.
(2) Mỗi đơn cấu ϕ : M −→ N đều là chẻ ra, nghĩa là Imϕ là hạng tử trực
tiếp của môđun N .
(3) Tiêu chuẩn Baer: Mỗi iđêan trái I ≤ R R và mỗi đồng cấu f : I −→ M
tồn tại đồng cấu g : R −→ M sao cho f = gι, trong đó, ι là phép nhúng I vào
R.
Ta có các tính chất sau:
Hệ quả 1.3.5. [1, Hệ quả 3.4.5]. Nếu M nội xạ và M ∼
= N thì N nội xạ.
Mệnh đề 1.3.6. [1, Mệnh đề 3.4.14]. Đối với mỗi môđun, tồn tại đơn cấu vào
môđun nội xạ.
Hệ quả 1.3.7. [2, Hệ quả 4.5]. Môđun M là nội xạ nếu và chỉ nếu M là hạng
tử trực tiếp của mọi môđun chứa nó.
Tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm, tính chất khác của lý
thuyết vành và môđun.
Cho U là lớp các môđun nào đó trong R − M od. Ta ký hiệu: Gen(U) là lớp
các môđun trong R − M od được sinh ra bởi U. Ta có định nghĩa vật sinh như
sau.
Định nghĩa 1.3.8. [1, tr.45]. Cho U là lớp các môđun nào đó trong R − M od.
Môđun G được gọi là một vật sinh cho Gen(U) nếu như Gen(U) = Gen(G).
Vật sinh cho lớp R − M od (hay M od − R) thường được gọi là vật sinh.
Định lý 1.3.9. [1, Định lý 1.2.2]. R R (t.ư, RR ) là vật sinh của R − M od (t.ư,
M od − R).
9
Ta có định nghĩa môđun phẳng như sau.
Định nghĩa 1.3.10. [1, tr.65]. Một môđun R M được gọi là phẳng nếu cho mỗi
đơn cấu f : AR −→ BR thì f ⊗ 1 : A ⊗R M −→ B ⊗R M cũng là đơn cấu.
Bổ đề sau giúp chúng ta kiểm tra môđun phẳng.
Bổ đề 1.3.11. [14, Lemma 1]. Cho R là vành bất kỳ và A là một R-môđun trái
xyclic. Khi đó, các điều kiện sau là tương đương:
(a) A là R-phẳng.
(b) Nếu A = R/J, a là ảnh của 1 ∈ A và x ∈ J, thì tồn tại y ∈ R sao cho
xy = 0, ya = a.
Bây giờ ta sẽ đưa ra định nghĩa về phần tử lũy đẳng và một số tính chất liên
quan.
Định nghĩa 1.3.12. [1, tr.190]. Phần tử e ∈ R được gọi là một lũy đẳng của R
nếu e2 = e.
Mệnh đề 1.3.13. [2, Mệnh đề 4.3.4]. Iđêan trái I của vành R là một hạng tử
trực tiếp của R R nếu và chỉ nếu tồn tại một lũy đẳng e ∈ R sao cho I = Re.
Hơn nữa, nếu e ∈ R là một lũy đẳng thì 1 − e cũng vậy, và R(1 − e) là phần
phụ của Re, nghĩa là
RR
= Re ⊕ R(1 − e).
Cho e ∈ R là một lũy đẳng khác không. Lúc đó, eRe là một vành có đơn vị
(đơn vị là e = e1e). Hơn nữa, nếu R M là một R-môđun trái thì
eM = {ex | x ∈ M }
là nhóm con của M và nó còn là eRe-môđun trái qua phép nhân vô hướng
(ere, ex) −→ erex.
Ta có thể đặc trưng vành eRe như là vành tự đồng cấu của iđêan trái chính
Re của R như sau.
10
Mệnh đề 1.3.14. [1, Mệnh đề 1.5.17]. Nếu e là một lũy đẳng khác không trong
vành R thì
ρ : eRe −→ End(eRR ) và λ : eRe −→ End(R Re)
xác định bởi
ρ(ere) −→ erea và λ(ere) −→ aere
là các đẳng cấu vành.
Linh hóa tử của một tập được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.3.15. [2, tr.54]. Cho A là một môđun trái trên vành R, tập con
X ⊆ A. Ta định nghĩa linh hóa tử của X (trong R) là iđêan trái:
annR (X) = {r ∈ R | rx = 0, ∀x ∈ X}
Linh hóa tử của tập đơn tử X = {x} trong R được ký hiệu gọn là annR (x).
Khi không sợ nhầm lẫn về vành R ta có thể viết ann(X) thay cho annR (X).
Khi X ⊆ A = R thì ta có linh hóa tử phải của X trong R là
r.annR (X) = {r ∈ R | xr = 0, ∀x ∈ X}
và linh hóa tử trái của X là
l.annR (X) = {r ∈ R | rx = 0, ∀x ∈ X}.
Ký hiệu Tl (R) = {x ∈ R | l.ann(x) là cốt yếu} là iđêan suy biến trái của R.
Đây là một iđêan hai phía của R.
Tiếp theo ta có định nghĩa về vành chính quy (von Neumann).
Định nghĩa 1.3.16. [1, tr.68]. Một vành R được gọi là vành chính quy (von
Neumann) nếu cho mỗi phần tử r ∈ R, thì tồn tại r ∈ R sao cho r = rr r.
Bây giờ ta đưa ra một đặc trưng của vành chính quy.
Định lý 1.3.17. [1, Định lý 2.2.2]. Các điều kiện sau là tương đương đối với
vành R:
(1) Vành R là chính quy.
11
(2) Mỗi iđêan trái chính là hạng tử trực tiếp của R R.
(3) Mỗi iđêan trái hữu hạn sinh là hạng tử trực tiếp của R R.
Từ Định lý 1.3.17 và Mệnh đề 1.3.13, ta thấy vành R là chính quy khi và chỉ
khi với mỗi iđêan trái chính I = Ra (a ∈ R) của R, tồn tại một phần tử lũy
đẳng e ∈ R sao cho Ra = Re.
Bổ đề 1.3.18. [13, Lemmar 4.8]. Nếu R là vành chính quy von Neumann thì
mọi iđêan trái (phải) hữu hạn sinh là chính.
Một kết quả nổi tiếng của Rosenberg và Zelinsky [12] về đặc trưng của vành
chính quy von Neumann trong vành giao hoán được phát biểu như sau.
Mệnh đề 1.3.19. [12, Theorem 6]. Vành giao hoán R là chính quy von Neumann khi và chỉ khi mọi R-môđun đơn là nội xạ.
Vành chính quy mạnh và vành thu gọn được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.3.20. Vành R được gọi là chính quy mạnh nếu với mỗi a ∈ R,
tồn tại x ∈ R sao cho a = a2 x.
Định nghĩa 1.3.21. [10, tr.51]. Vành R được gọi là thu gọn nếu R không chứa
phần tử lũy linh khác không.
Ta có tính chất của vành chính quy mạnh:
Mệnh đề 1.3.22. [1, Mệnh đề 2.2.3]. Vành R là chính quy mạnh khi và chỉ khi
R là chính quy và thu gọn.
Một đặc trưng khác của vành chính quy mạnh được thể hiện qua định lý sau.
Định lý 1.3.23. [10, Theorem 1]. Các điều kiện sau là tương đương:
(1) Vành R là chính quy mạnh.
(2) Vành R là thu gọn và mọi iđêan trái chính của R là một linh hóa tử trái.
Ta có định nghĩa:
12
Định nghĩa 1.3.24. [1, tr.71]. (a) Tập L các môđun con nào đó của M được
gọi là thỏa điều kiện dãy tăng (ascending chain condition, thường được viết tắt
là ACC) trong trường hợp với mọi dãy
L1 ≤ L2 ≤ · · · ≤ Ln ≤ . . .
trong L, tồn tại n ∈ N để cho Ln+i = Ln (i = 1, 2, . . . ).
(b) Tập L các môđun con nào đó của M được gọi là thỏa điều kiện dãy giảm
(descending chain condition, thường được viết tắt là DCC) trong trường hợp với
mọi dãy
L1 ≥ L2 ≥ · · · ≥ Ln ≥ . . .
trong L, tồn tại n ∈ N để cho Ln+i = Ln (i = 1, 2, . . . ).
(c) Môđun R M được gọi là Nơte nếu mỗi tập khác rỗng các môđun con nào
đó của M đều có phần tử cực đại.
(d) Môđun R M được gọi là Artin nếu mỗi tập khác rỗng các môđun con nào
đó của M đều có phần tử cực tiểu.
(e) Vành R được gọi là Nơte trái (Artin trái) nếu môđun R R là Nơte (Artin).
Sau đây là đặc trưng của môđun Artin và Nơte.
Định lý 1.3.25. [1, Định lý 1.1.3]. Cho M = R M và A ≤ M .
(I) Các điều kiện sau là tương đương:
(1) M là Artin.
(2) A và M/A là Artin.
(3) M thỏa DCC đối với tập các môđun con.
(II) Các điều kiện sau là tương đương:
(1) M là Nơte.
(2) M thỏa ACC đối với tập các môđun con.
(3) Mỗi môđun con của môđun M là hữu hạn sinh.
Mệnh đề sau cho ta thấy vành Artin đơn là nửa đơn.
13
Mệnh đề 1.3.26. [1, Mệnh đề 2.2.3]. Vành R là đơn và Artin trái khi và chỉ
khi R là đơn và R R là nửa đơn.
Sau đây là một định lý rất quan trọng trong đại số.
Định lý 1.3.27. [1, Định lý 2.3.1]. (Định lý Wedderburn-Artin) Một vành
R là nửa đơn trái nếu và chỉ nếu nó là tổng trực tiếp vành của một số hữu hạn
các vành Artin đơn.
Cấu trúc của vành nửa đơn được thể hiện qua kết quả sau:
Định lý 1.3.28. [1, Định lý 2.3.2]. (Cấu trúc của vành nửa đơn) Cho R
là một vành nửa đơn trái. Lúc đó, R chứa một tập hữu hạn T1 , ..., Tm các iđêan
trái cực tiểu gồm đầy đủ các đại diện của các R-môđun trái đơn.
Hệ quả 1.3.29. [1, Hệ quả 2.3.3]. Vành R là nửa đơn trái khi và chỉ khi RR là
nửa đơn.
Chính vì từ Hệ quả 1.3.29 mà từ nay về sau ta chỉ nói đến vành nửa đơn mà
không đề cập đến phía của nó. Sau đây ta sẽ có một đặc trưng khác của vành
nửa đơn thông qua các môđun trên vành đó.
Mệnh đề 1.3.30. [1, Mệnh đề 2.3.4]. Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi mọi
R-môđun trái là nửa đơn.
Một kết quả quan trọng về đặc trưng của vành nửa đơn như sau:
Định lý 1.3.31. [1, Định lý 2.3.6]. Các điều kiện sau là tương đương đối với
vành R đã cho:
(1) Vành R là nửa đơn.
(2) Mỗi R-môđun phải là nội xạ (xạ ảnh).
(3) Mỗi R-môđun trái là nội xạ (xạ ảnh).
Định lý sau thể hiện đặc trưng của vành nửa đơn qua các môđun xyclic.
Định lý 1.3.32. [1, Định lý 2.3.8]. (Osofsky). Vành R là nửa đơn khi và chỉ
khi mỗi R-môđun trái (phải) xyclic là nội xạ.
14
Hệ quả 1.3.33. [13, Corollary 4.10]. Mọi vành nửa đơn là chính quy von Neumann.
Tiếp theo, ta đưa ra định nghĩa căn và đế của một môđun.
Định nghĩa 1.3.34. [1, tr.102]. (i) Căn của môđun M là giao của tất cả các
môđun con cực đại của M , ký hiệu rad(M ).
(ii) Đế của môđun M là giao của tất cả các môđun con cốt yếu của M , ký
hiệu soc(M ).
Đối với vành R tùy ý, ta luôn có:
Định lý 1.3.35. [1, Định lý 1.2.5]. rad(RR ) = rad(R R), và vì vậy ta thường ký
hiệu chung là J(R).
Cho e = 0 là phần tử lũy đẳng của vành R và J = J(R) là căn Jacobson của
R. Khi đó, J(eRe) = eJe. Do đó, nếu T là một iđêan trái cực đại của Re thì
eT e là iđêan trái cực đại của eRe [4, tr.175].
Ta nêu thêm một đặc trưng khác của vành nửa đơn.
Định lý 1.3.36. [1, Định lý 1.1.3]. Vành R là nửa đơn khi và chỉ khi R là Artin
phải hay trái và J(R) = 0.
Về Định lý 1.3.36, vì đã có lúc Jacobson định nghĩa một vành nửa đơn là
vành sao cho J(R) = 0 nên để tránh nhầm lẫn, ta thường gọi vành nửa đơn là
vành nửa đơn Artin.
Định nghĩa 1.3.37. [1, tr.141]. Một môđun được gọi là nửa Artin nếu mọi
môđun thương khác không có đế khác không. Một vành R được gọi là một vành
nửa Artin trái nếu môđun trái R R là nửa Artin.
Định nghĩa 1.3.38. [1, tr.166]. Môđun R M được gọi là có chiều Goldie hữu
hạn (has finite Goldie dimension) nếu M không chứa một tổng trực tiếp vô hạn
các môđun con. Vành R được gọi là có chiều Goldie hữu hạn nếu R R là môđun
có chiều Goldie hữu hạn.
Vành R được gọi là vành Goldie trái nếu R R có chiều Goldie hữu hạn và thỏa
ACC đối với các linh hóa tử trái.
15
Định nghĩa 1.3.39. [13, tr.161]. Một vành R được gọi là di truyền trái nếu
mọi iđêan trái là xạ ảnh.
Ví dụ 1.3.40. [13, tr.161]. Mọi vành nửa đơn đều là di truyền trái và phải.
Liên quan đến vấn đề linh hóa tử, ta xét các iđêan nguyên tố kết hợp và iđêan
nguyên thủy như sau.
Định nghĩa 1.3.41. [2, tr.57]. Cho R-môđun A. Một iđêan nguyên tố P của
vành R thỏa mãn P = annR (B) với 0 = B ⊆ A nào đó, được gọi là linh hóa tử
nguyên tố của A. Một linh hóa tử nguyên tố P của A sao cho P = annR (B), với
B là môđun con nguyên tố nào đó của A, tức là P = annR (B) và P = annR (C),
với 0 = C ⊆ B, được gọi là iđêan nguyên tố kết hợp của A.
Iđêan và vành nguyên thủy được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.3.42. [2, tr.59]. (i) Một iđêan P trong vành R được gọi là iđêan
nguyên thủy phải (t.ư., trái) nếu P = annR (A), với A là một R-môđun đơn phải
(t.ư., trái) nào đó.
(ii) Một vành R được gọi là nguyên thủy phải (t.ư., trái) nếu 0 là một iđêan
nguyên thủy phải (t.ư., trái) của R, tức R có một môđun đơn phải (t.ư., trái)
trung thành.
Mệnh đề 1.3.43. [2, Mệnh đề 3.31]. Mọi iđêan cực đại của R đều là iđêan
nguyên thủy phải và trái.
Bây giờ, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất tương đương
Morita.
Cho C và D là hai phạm trù bất kỳ. Khi đó, một hàm tử hiệp biến F : C −→
D là một tương đương phạm trù trong trường hợp tồn tại một hàm tử (hiệp
biến) G : D −→ C và các đẳng cấu
GF ∼
= 1C và F G ∼
= 1D .
Hàm tử G với tính chất trên (cũng là một tương đương phạm trù) được gọi
là tương đương nghịch đảo của F . Hai phạm trù là tương đương nếu tồn tại một
tương đương phạm trù từ phạm trù này vào phạm trù kia. Ta viết C ≈ D nếu
C và D là tương đương.
16
Định nghĩa 1.3.44. [4, tr.251]. Hai vành R và S được gọi là tương đương
(Morita), ký hiệu là R ≈ S nếu R M ≈ S M, nghĩa là các phạm trù R M và S M
của các môđun trái là tương đương.
Ta có tính chất sau:
Mệnh đề 1.3.45. [4, tr.260]. Cho R là một vành và e ∈ R là phần tử lũy đẳng
khác không, S = eRe. Khi đó, nếu ReR = R thì R ≈ S = eRe.
Một R-môđun trái
RP
là một progenerator (hay một R-progenerator trái)
nếu R P là một vật sinh xạ ảnh hữu hạn sinh. Nói riêng, R R là một progenerator
[4, tr.262].
Định lý 1.3.46. [4, Theorem 22.2]. Cho R và S là hai vành, F : R M −→ S M
và G : S M −→ R M là các hàm tử hiệp biến. Khi đó, F và G là các tương đương
nghịch đảo nếu và chỉ nếu tồn tại song môđun S PR sao cho:
(1) S P và PR là các progenerator;
(2) S PR là song tuyến tính;
(3) F ∼
= (P ⊗R −) và G ∼
= HomS (P, −).
Hơn nữa, nếu tồn tại song môđun S PR thỏa mãn các điều kiện trên thì với
Q = HomR (P, R), thì ta có R QS với R Q và QS là các progenerator, và F ∼
=
HomR (Q, −), G ∼
= (Q ⊗S −).
Ta có một số hệ quả sau.
Hệ quả 1.3.47. [4, Corollary 22.3]. Cho R và S là hai vành. Khi đó, R M ≈ S M
khi và chỉ khi MR ≈ MS .
Hệ quả 1.3.48. [4, Corollary 22.4]. Cho R và S là hai vành. Khi đó, các điều
kiện sau là tương đương:
(a) R ≈ S.
(b) Tồn tại một progenerator PR với S ∼
= End(PR ).
(c) Tồn tại một progenerator R Q với S ∼
= End(R Q).
17
Hệ quả 1.3.49. [4, Corollary 22.5]. Cho R là một vành. Khi đó, nếu PR là một
progenerator thì R và S = End(PR ) là tương đương.
Từ hệ quả trên, ta thấy nếu PR là một vật sinh xạ ảnh hữu hạn sinh thì
RM
≈ S M, hay phạm trù các R-môđun trái và S-môđun trái là tương đương.
Hệ quả 1.3.50. [4, Corollary 22.6]. Cho R là một vành và n > 0 là số tự nhiên.
Khi đó, R và Mn (R) là hai vành tương đương, với Mn (R) là vành các ma trận
cấp n × n trên R.
Hệ quả 1.3.51. [4, Corollary 22.7]. Nếu R và S là các vành tương đương thì tồn
tại số nguyên dương n và ma trận lũy đẳng e ∈ Mn (R) sao cho S ∼
= eMn (R)e.
18
Chương 2
Về V -vành và môđun nội xạ đơn
Trong chương này, chúng tôi sẽ khảo sát môđun đơn - môđun nội xạ, trình
bày đặc trưng chính của môđun nội xạ đơn và tính nội xạ như các R-môđun
của các R/P -môđun, với P là iđêan hai phía của R. Tiếp đó, chúng tôi sẽ trình
bày về V -vành thông qua định nghĩa và một số tính chất, đặc biệt là định lý
của Villamayor về đặc trưng của V -vành. Một số kết quả khác về tính chính quy
của tâm Z(R), tính bất biến Morita của vành R và đặc trưng của vành nửa đơn
Artin sẽ được chúng tôi trình bày. Cuối cùng sẽ là mối liên hệ giữa V -vành và
một số vành liên quan trong lớp các giao của các iđêan trái cực đại; đặc trưng
của V -vành suy biến; một số tính chất của vành chính quy, chính quy mạnh,
vành nửa đơn Artin qua lớp các giao của các iđêan trái cực đại, điều kiện cần
và đủ để vành chính quy là một V -vành cũng được chúng tôi trình bày.
Trước hết, chúng tôi khảo sát môđun đơn - môđun nội xạ.
2.1
Môđun đơn - môđun nội xạ
Định nghĩa 2.1.1. Cho R I ≤ R R là iđêan trái và a ∈ R. Một iđêan trái L ≤ R R
được gọi là giá của a trên I nếu L ∩ Ra = Ia.
Từ định nghĩa giá của a trên I, ta có nhận xét sau:
Nhận xét 2.1.2.
(i) Với mỗi iđêan trái I của R và mỗi a ∈ R, iđêan trái Ia
là giá của a trên I (vì Ia ∩ Ra = Ia).
(ii) Dùng Bổ đề Zorn ta có mỗi giá của a trên I được chứa trong một giá cực
19
đại của a trên I.
Bổ đề sau thể hiện tính duy nhất của một giá cực đại.
Bổ đề 2.1.3. [3, Lemmar 1.1]. Cho M là iđêan trái cực đại của R và a ∈ R.
Khi đó, a ∈ M a khi và chỉ khi R là giá cực đại duy nhất của a trên M .
Chứng minh. Vì Ra ⊇ M a nên
a ∈ M a ⇔ Ra = M a
⇔ R ∩ Ra = R ∩ M a = M a.
Bây giờ, kết quả chính của chúng ta là đặc trưng của môđun nội xạ đơn.
Định lý 2.1.4. [3, Theorem 1.2]. Cho R M là iđêan trái cực đại của R. Khi đó,
R-môđun trái đơn R/M là nội xạ khi và chỉ khi với mỗi a ∈ R : L + Ra = R,
với mỗi L là giá cực đại của a trên M .
Chứng minh. (⇒) Giả sử R-môđun trái đơn R/M là nội xạ. Nếu a ∈ M a thì
theo Bổ đề 2.1.3, R là giá cực đại duy nhất của a trên M . Do đó, R + Ra = R.
Nếu a ∈
/ M a thì R/M ∼
= Ra/M a, mà R/M là nội xạ nên Ra/M a nội xạ. Gọi L
là giá cực đại của a trên M . Khi đó, L ∩ Ra = M a.
Xét tương ứng
f : Ra + L −→ Ra/M a ⊕ L/M a
ra + l −→ (ra + M a, l + M a).
Khi đó, f là một ánh xạ. Thật vậy, với mọi ra + l, r a + l ∈ Ra + L. Giả sử
ra + l = r a + l
⇒ l − l = r a − ra ∈ L ∩ Ra = M a
ra + M a = r a + M a
r a − ra ∈ M a
⇒
⇒
l + M a = l + M a
l − l ∈ M a
⇒ (ra + M a, l + M a) = (r a + M a, l + M a).
20
Vậy, f (ra + l) = f (r a + l ).
Hơn nữa f là một đồng cấu R-môđun, vì với mọi ra + l, r a + l ∈ Ra + L,
với mọi s ∈ R, ta có:
f ((ra + l) + (r a + l )) = f (ra + r a + l + l )
= f ((r + r )a + (l + l ))
= ((r + r )a + M a, l + l + M a)
= (ra + M a + r a + M a, l + M a + l + M a)
= (ra + M a, l + M a) + (r a + M a, l + M a)
= f (ra + l) + f (r a + l )
và
f (s(ra + l)) = f (sra + sl)
= (sra + M a, sl + M a)
= (s(ra + M a), s(l + M a))
= s(ra + M a, l + M a)
= sf (ra + l).
Ngoài ra, ta có f là toàn cấu và
Kerf = {ra + l ∈ Ra + L | f (ra + l) = 0}
= {ra + l ∈ Ra + L | (ra + M a, l + M a) = 0}
= {ra + l ∈ Ra + L | (ra ∈ M a, l ∈ M a)}
= M a.
Suy ra
(Ra + L)/M a ∼
= Ra/M a ⊕ L/M a.
Theo tính chất cực đại của giá L, ta có: Ra + L = R.
(⇐) Giả sử I là iđêan trái của R và ϕ : I −→ R/M là một đồng cấu khác
21
không. Lấy a ∈ I sao cho ϕ(a) = 1 + M . Khi đó, ta có:
Kerϕ = {x ∈ I | ϕ(x) = ¯0}
= {x ∈ I | ϕ(x) = 0 + M }
= {x ∈ I | ϕ(x) ∈ M }.
Với mọi x = ma ∈ M a, ta có:
ϕ(x) = ϕ(ma) = mϕ(a) = m(1 + M ) = m + M = M.
Suy ra, Kerϕ = {x ∈ I | x ∈ M a} = M a ∩ I = M a. Bây giờ, nếu a ∈ M a =
Kerϕ thì ϕ(a) = 0 + M (mâu thuẫn với ϕ(a) = 1 + M ). Do đó, a ∈
/ M a.
Xét L là iđêan trái cực đại của R thỏa mãn M a ≤ L và a ∈
/ L. Vì R/M
là đơn nên đồng cấu ϕ : I −→ R/M là toàn cấu. Suy ra I/Kerϕ ∼
= Imϕ
hay I/M a ∼
= R/M đơn. Khi đó, I/M a chỉ có hai iđêan con là 0 và I/M a. Vì
L ∩ Ra < Ra ≤ I nên (L ∩ Ra)/M a < I/M a. Suy ra (L ∩ Ra)/M a = 0, nên
L ∩ Ra = M a. Do đó, L là giá của a trên M . Hơn nữa, vì a ∈
/ M a nên L là giá
cực đại của a trên M . Theo giả thiết, L + Ra = R.
Bây giờ, ta xét tương ứng ψ : R = L + Ra −→ R/M , l + ra −→ ϕ(ra). Vì
ψ được xác định qua ϕ nên ψ là ánh xạ và là một đồng cấu. Mặt khác, ta có:
∀ra ∈ I, ψι(ra) = ψ(ra) = ϕ(ra), suy ra ψι = ϕ. Do đó, ψ là một mở rộng của
ϕ. Vậy R/M là nội xạ theo tiểu chuẩn Baer.
/
0
ϕ
/
ι
I
|
R
ψ
R/M
Từ kết quả trên, ta có hệ quả sau.
Hệ quả 2.1.5. [3, Corollary 1.3]. Cho M là iđêan trái cực đại của R với R/M
là nội xạ. Khi đó, với mỗi a ∈ R,
aR ⊆ M ⇒ a ∈ M a.
Chứng minh. Giả sử aR ⊆ M và L là giá cực đại của a trên M . Theo giả thiết
M là iđêan trái cực đại của R với R/M là nội xạ nên theo Định lý 2.1.4, ta có
22
