ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗

VÕ QUANG ANH

TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
NGẪU NHIÊN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Thừa Thiên Huế, năm 2017


ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗

VÕ QUANG ANH

TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

NGẪU NHIÊN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Cán bộ hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. LÊ VIẾT NGƯ

Thừa Thiên Huế, năm 2017
i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu khoa học của riêng tôi, các số
liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác
giả cho phép sử dụng và chưa được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.

Võ Quang Anh

ii


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn tận tình, hết lòng của Thầy
PGS.TS. Lê Viết Ngư. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài, tôi
đã gặp rất nhiều khó khăn, nhờ sự động viên, giúp đỡ, chỉ bảo của thầy mà tôi
mới hoàn thành được luận văn này. Xin gửi đến Thầy sự trân trọng và lòng biết

ơn sâu sắc.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô ở khoa Toán Trường Đại học Sư
phạm Huế, quý Thầy Cô đã tham gia giảng dạy, những người đã giúp đỡ và chỉ
bảo để tôi có điều kiện tốt hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến tập thể lớp cao học Giải tích K24,
những người thân, bạn bè đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.

Võ Quang Anh

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

1


Kí hiệu

3

Lời nói đầu

4

Chương 1

Tổng quan về phương trình vi phân ngẫu nhiên

1.1

Không gian xác suất và biến ngẫu nhiên

1.2

Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3

Quá trình Wiener, Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4

. . . . . . . . . . . . . .

7
7


1.3.1

Quá trình Wiener hay chuyển động Brown . . . . . . . . . 14

1.3.2

Quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1

Tích phân Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.2

Tích phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.3

Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.4

Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . 26
1


Chương 2


Ổn định nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên

theo quá trình Poisson
2.1

31

Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.1

Nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên theo quá
trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.2
2.2

Một số kết quả về martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Khái niệm về ổn định và không ổn định nghiệm . . . . . . . . . . 34
2.2.1

Các khái niệm ổn định ngẫu nhiên và không ổn định ngẫu
nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.2
2.3

Các khái niệm ổn định mũ và không ổn định mũ . . . . . . 35

Các định lý ổn định và không ổn định ngẫu nhiên . . . . . . . . . 36


Chương 3

Ổn định mũ của phương trình vi phân ngẫu nhiên theo

quá trình Itô-Lévy
3.1

46

Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.1

Quá trình ngẫu nhiên Itô-Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.2

Định lý Kunita và bất đẳng thức số mũ martingale . . . . 48

3.2

Ổn định mũ hầu chắc chắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3

Mối quan hệ giữa ổn định mũ hầu chắc chắn và ổn định mũ mômen p 59

Kết luận

63


Tài liệu tham khảo

64

2


Kí hiệu

R : Tập số thực.
R+ : Tập hợp những số thực dương.
Rk : Không gian Euclide k -chiều.
|•| : Chuẩn vectơ hoặc định thức ma trận.
BX : σ -đại số Borel của không gian mêtric X .
Ntt0 : σ -đại số tự nhiên sinh bởi quá trình X (t),
Ntt0 = σ {X (s) : t0

t

t} .

Cb (X) : Không gian các hàm số liên tục bị chặn trên X .
Cb1 (X) : Không gian con của Cb (X) tạo thành từ các hàm liên tục

có đạo hàm riêng cấp 1.
C1 (X) : Không gian các hàm có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục.
C1 0 (U × R+ ) : Lớp các hàm V (x, t) có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục

trên U × R+ trừ điểm x = 0.

Ur = {x : |x| < r}, U r = {x : |x|

3

r} .


LỜI NÓI ĐẦU
Phương trình vi phân đóng vai trò quan trọng trong kĩ thuật, vật lí, và một
số ngành khoa học khác. Sự ra đời của nó xuất phát từ nhu cầu xác định mối
quan hệ giữa một bên là đại lượng biến thiên liên tục và một bên là độ biến
thiên của đại lượng đó.
Giải tích ngẫu nhiên bắt đầu hình thành từ đầu thế kỉ XX. Đầu tiên phải kể
đến nhà toán học Norbert Wiener (1894 − 1964), Louis Bachelier (1870 − 1946).
Sự ra đời của giải tích ngẫu nhiên là tất yếu khi mà giải tích cổ điển không giải
thích được.
Giải tích ngẫu nhiên bao gồm ba bộ phận chính:
(1) Lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên.
(2) Lý thuyết các tích phân ngẫu nhiên.
(3) Phương trình vi phân ngẫu nhiên.
Phương trình vi phân ngẫu nhiên đóng vai trò quan trọng trong giải tích
ngẫu nhiên và được ứng dụng nhiều trong vật lí và nhiều ngành khoa học khác.
Trong không gian xác suất (Ω, F, P ) với Wt là quá trình Wiener m−chiều,
(Ft )t∈[t0 ,T ] là một bộ lọc.

Phương trình vi phân ngẫu nhiên là phương trình có dạng:
dx (t) = f (x (t) , t) dt + g (x (t) , t) dW (t)

hoặc có dạng
t


x (t) = x0 +

t

g (x (s) , s) dW (s)

f (x (s) , s) ds +
0

0

trong đó x0 là biến ngẫu nhiên độc lập với W (t). Nghiệm của phương trình trên
là quá trình x (.) = (x (t))t∈[t0 ,T ] với quỹ đạo liên tục thỏa các điều kiện sau:

4


(1) x (.) là thích nghi với bộ lọc (Ft )t∈[t0 ,T ] .
(2) f (x (t) , t) ∈ L1 [0, T ] , Rd và g (x (t) , t) ∈ L2 [0, T ] , Rd×m .
(3) Với xác suất 1 (hầu hết w ∈ Ω) thì (1) đúng với mọi t ∈ [t0 , T ].
Trong vài thập kỉ qua, nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên được
nghiên cứu theo hai hướng chủ đạo là theo hướng định tính và theo hướng định
lượng.
Ổn định là một trong những lý thuyết quan trọng của lý thuyết định tính
phương trình vi phân ngẫu nhiên và có nhiều ứng dụng để giải quyết nhiều bài
toán thuộc các lĩnh vực vật lý, kỹ thuật, cơ học... Năm 1892, tại trường đại
học tổng hợp Kharkov, A.M.Lyapunov công bố và bảo vệ thành công luận án
Tiến Sĩ nổi tiếng "Đại cương về ổn định của chuyển động" có nhan đề:" Bài
toán tổng quát về tính ổn định của chuyển động". Nó đặt ra nền tảng và tạo

ra bước ngoặt cho lý thuyết ổn định. Ông đã giải quyết bài toán ổn định bằng
hai phương pháp, đó là phương pháp số mũ Lyapunov và phương pháp sử dụng
hàm Lyapunov.
Từ năm 2010 trở lại đây, có một số nhà toán học nghiên cứu tính ổn định
nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên điển hình như: Khasminskii (2012),
Ditlevsen (2013) ...dựa theo phương pháp mũ Lyapunov.
Nội dung của đề tài là tìm hiểu không gian xác suất; phương trình vi phân
ngẫu nhiên qua các quá trình Wiener, Poisson và Itô-Lévy. Từ đó đưa ra sự ổn
định nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên và các mối liên hệ giữa chúng.
Luận văn gồm 3 chương:
+ Chương 1: Tổng quan các kết quả chính và có liên quan về không gian xác
suất, các quá trình Wiener, Poisson và phương trình vi phân ngẫu nhiên.
+ Chương 2: Trình bày một số khái niệm về ổn định nghiệm và điều kiện
5


đủ để nghiệm của phương trình vi phân là ổn định ngẫu nhiên theo quá trình
Poisson.
+ Chương 3: Đưa ra sự ổn định mũ theo quá trình Itô-Lévy và mối quan hệ
giữa ổn định mũ và ổn định mũ hầu chắc chắn.
Do thời gian học tập, nghiên cứu có hạn và năng lực còn nhiều hạn chế, mặc
dù bản thân đã có nhiều cố gắng nhưng khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy,
chúng tôi rất mong được các thầy cô và bạn đọc góp ý để luận văn được tốt hơn.

6


Chương 1

Tổng quan về phương trình

vi phân ngẫu nhiên
Trong phần này trình bày một cách tổng quan về không gian xác suất và
một số kiến thức liên quan đến phương trình vi phân ngẫu nhiên làm cơ sở
nghiên cứu cho các phần tiếp theo của luận văn. Các khái niệm và kết quả chủ
yếu tham khảo tài liệu [1], [3] và [10].

1.1

Không gian xác suất và biến ngẫu nhiên

Cho tập hợp Ω = φ, đặt P (Ω) là tập hợp các tập con của Ω.
Định nghĩa 1.1.1. Cho Ω là một tập hợp khác rỗng. Họ F ⊂ P (Ω) các tập con
của Ω được gọi là một σ−đại số các tập con của Ω nếu nó có những tính chất
sau:
i) ∅ ∈ F ,
ii) A ∈ F ⇒ Ac ∈ F ,
∞

iii) {Ai }i∈N ⊂ F ⇒

Ai ∈ F .
i=1

7


Khi đó, cặp (Ω, F) được gọi là không gian đo được và mỗi tập con của F được
gọi là tập đo được hoặc biến cố .
Định nghĩa 1.1.2. Cho (Ω, F) là không gian đo được và hàm X : Ω → R. X
được gọi là đo được ( F đo được ) nếu {ω ∈ Ω : X (ω)


a} ∈ F với mọi a ∈ R.

Khi đó, X được gọi là biến ngẫu nhiên. Tổng quát hơn: X : Ω → Rd là F đo
được nếu X −1 (B) ∈ F , với mọi B ∈ Bd (Bd là σ−đại số Borel).
Định nghĩa 1.1.3. Cho (Ω, F) là một không gian đo được. Một độ đo xác suất
P trên (Ω, F) là một hàm P : F → [0, 1] thỏa ba tính chất sau:

i) P (Ω) = 1, P (∅) = 0,
ii) P (A) ≥ 0 với mọi A ∈ F ,
∞

iii) {Ai }i∈N ⊂ F, Ai ∩ Aj = φ với mọi i = j thì P

∞

Ai

=

i=1

P (Ai ).
i=1

Bộ ba (Ω, F, P ) được gọi là một không gian sác xuất.
Tính chất 1.1.1.
i) A, B ∈ F và A ⊂ B . Lúc đó P (A) ≤ P (B) và P (B\A) = P (B) − P (A).
ii) {Ai }i∈N ⊂ F là dãy tăng hoặc giảm hội tụ về A. Lúc đó P (A) = lim P (Ai ).
i→∞


Bổ đề 1.1.1. ([10], Lemma 2.4, Borel- Cantell) Cho {En } là dãy các biến cố
∞

P (En ) < ∞ thì P

trong không gian xác suất. Khi đó, nếu
n=1

lim sup En = 0.

n→∞

Định nghĩa 1.1.4. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X xác định
trên không gian (Ω, F, P ) là hàm số
FX (B) = P ({ω ∈ Ω|X (ω) ∈ B}) = P X −1 (B) ,

∀B ∈ B d .

Định nghĩa 1.1.5. Cho X là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác
suất (Ω, F, P ), khi đó:
8


i) Kỳ vọng của X là EX =

X (ω)dP .
Ω

ii) Moment gốc bậc n của X là EX n .

iii) Phương sai của X là V X = E(X − EX)2 = EX 2 − (EX)2 .
Định nghĩa 1.1.6. Cho X là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác
suất (Ω, F, P ) và A ∈ F sao cho P (A) > 0, khi đó kỳ vọng X với điều kiện A là
E (X|A) =

1
P (A)

XdP .
A

Định nghĩa 1.1.7. Cho (Ω, F, P ) là không gian xác suất và A là σ−đại số con
của F . Kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên X ∈ L1 đối với A là biến ngẫu
nhiên Y sao cho:
XdP =
A

Y dP,

∀A ∈ A.

A

Ký hiệu: Y = E (X|A).
Nhận xét 1.1.1.
i) E (X|A) là A−đo được;
ii)

XdP =
A


E (X|A)dP,

∀A ∈ A.

A

Tính chất 1.1.2.
i) E (E (X|A)) = EX .
ii) X ≥ 0 ⇒ E (X|A) ≥ 0.
iii) X là A−đo được ⇒ E (X|A) = X .
iv) X = const = c ⇒ E (X|A) = c.
v) X là A−đo được ⇒ E (XY |A) = XE (Y |A).
9


vi) ∀ a, b ∈ R, X , Y là các biến ngẫu nhiên. Lúc đó,
E (aX + bY |A) = aE (X|A) + bE (Y |A) .

vii) A1 , A2 là các σ−đại số con của F và A1 ⊂ A2 . Lúc đó
E (E (X|A2 ) |A1 ) = E (X|A1 ) .

Định nghĩa 1.1.8. Cho (Ω, F, P ) là không gian xác suất, A là σ−đại số con của
F và A ∈ F . Khi đó E (IA |A) được gọi là xác suất có điều kiện của A với điều

kiện cho trước A.
Kí hiệu: P (A|A).
Sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên.
Cho biến ngẫu nhiên X và dãy các biến ngẫu nhiên (Xn ) cùng xác định trên
không gian xác suất cố định (Ω, F, P ).

Định nghĩa 1.1.9. (Hội tụ hầu chắc chắn) Dãy biến ngẫu nhiên (Xn ) được
gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X khi
P

ω ∈ Ω : lim |Xn (ω) − X (ω)| = 0
n→∞

= 1.

Định nghĩa 1.1.10. (Hội tụ bình phương trung bình) Dãy biến ngẫu nhiên
(Xn ) được gọi là hội tụ trung bình đến biến ngẫu nhiên X khi
lim E |Xn − X|2 = 0.

n→∞

Định nghĩa 1.1.11. (Hôi tụ theo xác suất) Dãy biến ngẫu nhiên (Xn ) được
gọi là hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X khi
lim P ({ω ∈ Ω : |Xn (ω) − X (ω)| ≥ ε}) = 0,

n→∞

∀ε > 0.

Định nghĩa 1.1.12. Cho (Ω, F, P ) là không gian xác suất.
10


i) Một họ (Ft )t

0


các σ -đại số con của F sao cho
Ft ⊂ Fs , 0 < t < s < +∞

được gọi là một bộ lọc.
ii) Bộ lọc (Ft )t

0

Fs , ∀t

được gọi là liên tục phải nếu Ft =

0.

s>t

iii) (Ω, F, P ) là không gian xác suất đầy đủ. Bộ lọc (Ft )t

0

được gọi là thỏa điều

kiện thông thường nếu nó liên tục phải và F0 chứa tất cả các tập có xác
suất 0.
Từ nay về sau, ta luôn giả sử (Ω, F, P ) là không gian xác suất đầy đủ, (Ft )t

0

thỏa điều kiện thông thường.


1.2

Quá trình ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.2.1. Cho (Ω, F, P ), (Ft )t

0

bộ lọc

i) Một họ (Xt )t≥0 có Rd − biến ngẫu nhiên được gọi là một quá trình ngẫu
nhiên.
Tương tự (Xt )a≤t≤b là quá trình ngẫu nhiên.
ii) Với mỗi t ∈ I [0; +∞ ) hoặc [a; b] . Xt : Ω → Rd là biến ngẫu nhiên.
Với mỗi ω ∈ Ω, ta có một hàm
X (ω) : I −→ Rd
t −→ Xt (ω)

được gọi là quỹ đạo.
iii) Quá trình ngẫu nhiên (Xt ) t có thể xem như một hàm X của (t, ω) với
X : I × Ω −→ Rd
(t, ω) −→ Xt (ω)
11


Định nghĩa 1.2.2. Cho (Xt ) là quá trình ngẫu nhiên. (Ft )t là một bộ lọc.
Xt : Ω → Rd biến ngẫu nhiên.

i) (Xt ) được gọi là liên tục nếu với hầu hết ω ∈ Ω, hàm X (ω) liên tục trên I .

ii) Quá trình ngẫu nhiên (Xt ) được gọi là khả tích nếu với mỗi t ∈ I, Xt khả
tích.
iii) (Xt ) được gọi là tương thích với với bộ lọc (Ft )t nếu với mỗi t ≥ 0, Xt đo
được đối với Ft .
iv) (Xt ) được gọi là đo được nếu Xt : [0; +∞) × Ω → Rd là đo được đối với
B ([0; +∞)) ⊗ F . Trong đó B ([0; +∞)) là σ−đại số Bored trên [0; +∞) và
B ([0; +∞)) ⊗ F là σ−đại số tích.

v) (Xt ) được gọi là đo được dần nếu với mỗi T > 0, X : [0; T ] × Ω → Rd là đo
được đối với B ([0; T ]) ⊗ FT .
vi) Cho hai quá trình ngẫu nhiên (Xt )t≥0 và (Yt )t≥0 .
(Yt )t

0

được gọi là một phiên bản của (Xt )t≥0 nếu với mỗi t ≥ 0,
P {ω ∈ Ω : Xt (ω) = Yt (ω)} = 1.

(Xt )t≥0 , (Yt )t≥0 được gọi là không phân biệt nếu
P {ω ∈ Ω : Xt (ω) = Yt (ω) , ∀t ≥ 0} = 1.

vii) FtX = σ (Xs |0 ≤ s ≤ t) là σ−đại số nhỏ nhất sinh bởi Xs . Lúc đó, FtX

t

được

gọi là một bộ lọc tự nhiên của (Xt ) hoặc lịch sử của (Xt ).
Định nghĩa 1.2.3. Cho (Ω, F, P ) là không gian xác suất đầy đủ và (Ft )t≥0 là
một bộ lọc. Biến ngẫu nhiên τ : Ω → [0, +∞) được gọi là thời điểm dừng đối

với (Ft )t≥0 nếu {τ ≤ t} = {ω ∈ Ω : τ (ω) ≤ t} ∈ Ft , ∀t ≥ 0.
12


Tính chất 1.2.1.
i) ∀t0 ≥ 0. Lúc đó, τ = t0 là một thời điểm dừng.
ii) τ1 , τ2 là hai thời điểm dừng đối với (Ft )t 0 . Khi đó {τ1 = t} ∈ Ft và {τ1 < t} ∈
Ft .

Mặt khác, τ1 ∧ τ2 = min {τ1 , τ2 }, τ1 ∨ τ2 = max {τ1 , τ2 } cũng là thời điểm dừng đối
với (Ft )t≥0 .
Định lý 1.2.1. ([10], Theorem 3.2) Cho (X
 t ) là quá trình ngẫu nhiên liên tục

d
Xt : Ω → R là biến ngẫu nhiên
và tương thích với bộ lọc (Ft )t≥0 . Ở đây 
.
d
X (ω) : [0, +∞) → R liên tục
D ⊂ Rd , D = ∅, D là tập mở hoặc đóng.

Khi đó, τ = inf {t ≥ 0 | Xt ∈ D} là một thời điểm dừng đối với (Ft )t≥0 .
( τ được gọi là thời điểm dừng đầu tiên đi vào tập D của quá trình ngẫu nhiên
(Xt ) )

Nhận xét 1.2.1. τD = inf {t ≥ 0 | Xt ∈
/ D} là thời điểm dừng và được gọi là thời
điểm đầu tiên thoát ra khỏi D.
Định nghĩa 1.2.4. Cho ρ là thời điểm dừng đối với (Ft )t≥0 . Đặt τ =

inf {t ≥ ρ | Xt ∈
/ D} được gọi là thời điểm đầu tiên thoát ra khỏi D sau thời điểm

dừng ρ. Nó cũng là một thời điểm dừng đối với (Ft )t≥0 .
Định nghĩa 1.2.5. Cho (Xt )t≥0 là quá trình ngẫu nhiên, (Ft )t≥0 là một bộ lọc.
(Xt )t≥0 là một M artingale đối với (Ft )t≥0 nếu thỏa ba điều kiện:

i) (Xt )t≥0 là tương thích đối với (Ft )t≥0 ,
ii) E |Xt | < +∞, ∀t ≥ 0,
iii) E (Xt |Fs ) = Xs hầu chắc chắn, 0 ≤ s ≤ t < +∞.
13


Nếu thay điều kiện iii) thành E (Xt |Fs ) ≤ Xs hầu chắc chắn, 0 ≤ s ≤ t < +∞ và
Xs > 0 thì (Xt )t≥0 được gọi là một M artingale trên dương đối với (Ft )t≥0 .

1.3

Quá trình Wiener, Poisson

1.3.1

Quá trình Wiener hay chuyển động Brown

Định nghĩa 1.3.1. Cho (Ω, F, P ) là không gian xác suất đầy đủ và (Ft )t≥0 là
một bộ lọc. Quá trình ngẫu nhiên {Wt }t≥0 là quá trình Wiener khi:
i) W0 = 0 hầu chắc chắn;
ii) Biến ngẫu nhiên Wt − Ws , 0 ≤ s < t < +∞ có phân phối chuẩn với kỳ vọng
0 và phương sai là (t − s) ( Wt − Ws ∼ N (0, t − s) );


iii) Với 0 ≤ s < t < +∞, Wt − Ws độc lập với Fs ;
iv) Hầu hết các quỹ đạo của {Wt }t≥0 là hàm liên tục.
Nhận xét 1.3.1.
i) Bộ lọc (Ft )t≥0 là một phần của định nghĩa quá trình Wiener. Nếu ta không
đề cập đến bộ lọc thì ta hiểu đó là bộ lọc tự nhiên.
ii) Cho {Wt }t≥0 là quá trính Wiener. Giả sử 0 ≤ t0 < t1 < t2 < ... < tk < +∞.
Khi đó Wtk − Wtk−1 ; ...; Wt1 − Wt0 là độc lập.
iii) Với 0 ≤ s < t < +∞, Wt−s ∼ N (0, t − s) .
1.3.2

Quá trình Poisson

Định nghĩa 1.3.2. Một quá trình đếm (Nt )t≥0 được gọi là một quá trình Poisson, nếu:
14


i) N0 = 0;
ii) (Nt )t≥0 có số gia độc lập;
iii) Số biến cố xảy ra trong bất kỳ khoảng thời gian nào đó có độ dài t là một
biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với trung bình λt (λ > 0). Điều đó có
nghĩa là, với mọi s, t ≥ 0 ta có
P {Nt+s − Ns = n} = e−λt

(λt)n
n!

;

n = 0, 1, 2, . . .


Từ đó ta có E (Nt ) = λt. Số λ > 0 được gọi là cường độ của quá trình Poisson.
Định lý 1.3.1. Cho Nt là quá trình ngẫu nhiên có số gia độc lập, N0 = 0. Điều
kiện cần và đủ để Nt là quá trình Poisson có cường độ λ là
là một martingale đối với FtN .

Nt − λt

(1.1)

Điều kiện (1.1) được gọi là đặc trưng Watanabe của quá trình Poisson. Martingale Nt − λt được gọi là martingale Poisson ứng với quá trình Poisson Nt .

1.4
1.4.1

Phương trình vi phân ngẫu nhiên
Tích phân Wiener

Cho không gian xác suất (Ω, F, P ), số T không âm và quá trình Wiener
{Wt }t∈[0,T ] .

L2 (Ω) là không gian các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích trên Ω
L2 (Ω) =




|X (ω)|2 dP (ω) < +∞

X: Ω→R




Ω

15





.

(1.2)


L2 ([0, T ]) là không gian các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích trên [0, T ]
L2 ([0, T ]) =




T

|X (ω)|2 dP (ω) < +∞

X : [0, T ] → R







.

(1.3)



0

Định nghĩa 1.4.1. Hàm số f : [0, T ] → R được gọi là hàm đơn giản trên [0, T ]
khi nó có dạng
n−1

(1.4)

ck IAk

f = cI{0} +
k=o

trong đó 0 = t0 < t1 < ... < tn = T là phân hoạch của [0, T ];
c, ck (k = 0, ..., n − 1) là các số thực;
Ak = (tk , tk+1 ] , k = 0, ..., n − 1;
IA (t) =



1 khi t ∈ A


là hàm đặc trưng của tập A.


0 khi t ∈
/A
Ký hiệu S là không gian các hàm đơn giản trên [0, T ] thì S là không gian tuyến
tính đồng thời là trù mật trong không gian Hilbert L2 ([0, T ]).
Định nghĩa 1.4.2. Với f ∈ S và có dạng (1.4), tích phân Wiener của f được
định nghỉa bởi:
T

n−1

ck Wtk+1 − Wtk .

f (t) dWt :=

I (f ) =

(1.5)

k=1

0
t

Hơn nữa, với 0 ≤ s ≤ t ≤ T ta có

t


s

s

f (u) dWu −

f (u) dWu =
0

f (u) dWu .
0

Tích phân (1.5) có các tính chất cơ bản sau:
i) I (f ) là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng bằng 0 và phương
T

sai bằng

|f (t)|2 dt;

0

ii) I : S → L2 (Ω) là ánh xạ tuyến tính, tức là
T

T

(af + bg) dWt = a
0


T

f dWt +
0

f dWt ,
0

16

∀f, g ∈ S, ∀a, b ∈ R;


ii) I : S → L2 (Ω) là bảo toàn tích vô hướng của hai không gian Hilbert
L2 ([0, T ]) và L2 (Ω), tức là ∀f, g ∈ S ta có :


I (f ) , I (g)

L2 (Ω)

f, g

f (t) g (t) dt
0

0

0


=:

T

g (t) dWt  =

f (t) dWt

:= E 



T

T

L2 ([0,T ]) .

Bây giờ xét hàm tất định bất kỳ f ∈ L2 ([0, T ]).
Vì S là tập trù mật trong không gian Hilbert L2 ([0, T ]) nên tồn tại dãy fn ∈ S
sao cho:
fn − f

L2 ([0,T ])

→ 0.

Chú ý rằng {fn } là dãy Cauchy trong L2 ([0, T ]), từ các tính chất (ii) và (iii) nêu
trên ta suy ra I (fn ) − I (fm )


L2 (Ω)

→ 0 khi n, m → ∞.

Vậy {I (fn )} là dãy Cauchy trong L2 (Ω) ( là không gian đủ) nên tồn tại giới hạn
T

theo nghĩa bình phương trung bình lim

n→∞ 0

fn (t) dWt .

Định nghĩa 1.4.3. Tích phân Wiener của hàm tất định đang xét là biến ngẫu
nhiên

T

T

f (t) dWt := lim

I (f ) =
0

0

t

Với 0 ≤ s ≤ t ≤ T ta có


fn (t) dWt .

n→∞

s

t

f (u) dWu −

f (u) dWu =
s

0

f (u) dWu .
0

Ví dụ 1.4.1. Cho T > 0, quá trình Wiener {Wt }t∈[0,T ] và hàm hằng f ≡ 1, ta có
T

T

f (t) dWt =
0

dWt = WT .
0


Ví dụ 1.4.2. Cho T > 0, quá trình Wiener {Wt }t∈[0,T ] và hàm số f : [0, T ] → R
khả vi liên tục thuộc L2 ([0, T ]), ta có
T

T

f (t) dWT = f (T ) Wt −
0

f (t) dWt .
0

17


Thật vậy, xét phân hoạch gồm n đoạn bằng nhau 0 = tn0 < tn1 < · · · < tnn−1 < tnn =
T.

Đặt fn (t) = f tnj khi t ∈ tnj , tnj+1 , j = 0, ..., n − 1, ta có dãy hàm đơn giản
{fn (t)} và
T

T

f (t) dWt =

n−1

fn tnj


fn (t) dWt = lim

lim

n→∞

n→∞

0

0

Wtnj+1 − Wtnj

j=1
n−1

=

Wtnj+1 fn tnj+1 − fn tnj

fn (T ) WT − fn (0) W0 −

lim

n→∞

j=0
T


= f (T ) Wt −

f (t) dWt .
0

1.4.2

Tích phân Itô

Định nghĩa 1.4.4. Cho không gian xác suất (Ω, F, P ) đầy đủ.
(Ft )t∈[a,b] là bộ lọc thỏa điều kiện thông thường và quá trình Wiener {Wt }t∈[a,b]

tương thích với (Ft )t∈[a,b] sao cho số gia Wu − Wt (u > t) sau thời điểm t độc lập
với σ−đại số Ft .
Ta kí hiệu M 2 ([a, b]) là lớp các hàm ngẫu nhiên f : [a, b] × Ω → R thỏa mãn:
• f (t, ω) là hàm đo được (theo hai biến);
• f (t) tương thích với Ft ;
b

• E

|f (t)|2 dt < +∞.

a

Nhận xét 1.4.1.
i) Nếu f ∈ M 2 ([a, b]) thì f ∈ L2 (Ω × [a, b]) và f
ii) L2 (Ω × [a, b]) ,

L2 (Ω×[a,b])


L2 (Ω×[a,b])

< +∞.

là một không gian Banach.

iii) M 2 ([a, b]) là không gian con đóng của L2 (Ω × [a, b]).
18


Định nghĩa 1.4.5. (Quá trình đơn giản)
Quá trình ngẫu nhiên g = (g (t))t∈[a,b] được gọi là hàm đơn giản khi nó có dạng:
n−1

(1.6)

λi I(ti ,ti+1 ] (t);

g (t) = λ0 I[t0 ,t1 ] (t) +
i=1

trong đó, a = t0 < t1 < · · · < tn = b là phân hoạch của đoạn [a, b],
λi là các biến ngẫu nhiên Fti −đo được (i = 0, . . . , n − 1),
I(ti ,ti+1 ] là hàm đặc trưng của tập (ti , ti+1 ], (i = 1, . . . , n − 1),
I[t0 ,t1 ] (t) là hàm đặc trưng của tập [t0 , t1 ].

Kí hiêu: M0 ([a, b]) là họ các quá trình đơn giản.
Mặt khác, M0 ([a, b]) ⊂ M 2 ([a, b]).
Định nghĩa 1.4.6. (Tích phân của quá trình đơn giản)

Với g ∈ M0 ([a, b]) là hàm đơn giản có dạng (1.6), tích phân Itô của g đối với quá
trình Wiener {Wt }t∈[a,b] được định nghỉa bởi:
b

n−1

λi (Wti+1 − Wti ).

g (t, ω) dWt :=

I (g) =

(1.7)

i=0

a

b

1dWt = Wb − Wa .

Ví dụ 1.4.3. Cho g = 1 là quá trình đơn giản. Khi đó,
a

Nhận xét 1.4.2.
b

• I (g) =


g (t, ω) dWt là biến ngẫu nhiên.
a
b

• I (g) =

g (t, ω) dWt là đo được đối với Fb .
a

Đẳng cự Itô đối với hàm đơn giản
(1.8)

EI (g) = 0.



b


|g (t, ω)|2 dt .

EI 2 (g) = E 
a

Từ các xấp xỉ:
19

(1.9)



i) Với g ∈ M 2 ([a, b]) bị chặn và g (·, ω) liên tục với mỗi ω thì tồn tại dãy hàm
b

đơn giản gn ∈ M 2 ([a, b]) sao cho lim E
n→∞

(gn − g)2 dt

= 0.

a

ii) Với h ∈ M 2 ([a, b]) bị chặn thì tồn tại dãy hàm gn ∈ M 2 ([a, b]) bị chặn và
b

gn (·, ω) liên tục với mỗi ω sao cho lim E
n→∞

(gn − h)2 dt

= 0.

a

iii) Với mỗi f ∈ M 2 ([a, b]) tồn tại dãy hàm hn ∈ M 2 ([a, b]) bị chặn sao cho
 b

(hn − f )2 dt = 0.

lim E 


n→∞

a

Ta có kết luận là với mỗi f ∈ M 2 ([a, b]) tồn tại dãy hàm đơn giản gn ∈
b

M 2 ([a, b]) bị chặn sao cho lim E
n→∞

(gn − f )2 dt

= 0. Do đó I (gn ) là dãy Cauchy

a

trong L2 (Ω).
Định nghĩa 1.4.7. Tích phân Itô của hàm f ∈ M 2 ([a, b]) ⊂ L2 ([a, b] × Ω) được
định nghĩa bởi:
b

b

f (t) dWt := lim

I (f ) =

gn (t) dWt,


n→∞

a

(1.10)

a

( kí hiệu lim chỉ giới hạn trong L2 (Ω) )
2

b

trong đó, (gn ) ⊂ M0 ([a, b]) sao cho lim E
n→∞

|gn (t) − f (t)| dt

= 0.

a

Định lý 1.4.1. ([10], Theorem 5.8) Cho f, g ∈ M 2 ([a, b]), α, β ∈ R. Khi đó
b

f (t) dWt đo được đối với Fb ;

i) I (f ) =
a
b


ii) E

f (t) dWt = 0;
a
2

b

iii) E

f (t) dWt
a

b

=E

|f (t)|2 dt;

a

b

iv)

b

αf (t) + βg (t) dWt = α
a


b

f (t) dWt + β
a

g (t) dWt;
a

20


v) I : M 2 ([a, b]) → L2 (Ω) là ánh xạ tuyến tính;
vi) Với a < c < b, ta có
b

c

f (t, ω) dWt =
a

b

f (t, ω) dWt +
a

f (t, ω) dWt .
c

Hệ quả 1.4.1. Cho f ∈ M 2 ([a, b]) và (fn ) ⊂ M 2 ([a, b]) sao cho

b

fn − f

L2 (Ω×[a,b])

|fn (t) − f (t)|2 dt → 0.

=E
a

b

b

f (t) dWt trong L2 (Ω).

fn (t) dWt →

Khi đó,
a

a

Ví dụ 1.4.4. Cho {Wt }t

0

là quá trình Wiener tiêu chuẩn với W0 = 0 và T > 0,


ta có

T

Wt dWt =

1
W2T − T .
2

0

Thật vậy, với phân hoạch gồm n đoạn bằng nhau 0 = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn =
n−1

Wti (ω) I[ti ,ti+1 ) (t), lúc đó ta có

T , đặt fn (t, ω) =
i=0





T



ti+1


n−1

(fn − Wt )2 dt = E 

E
0

n−1



(Wti − Wt )2 dt
i=0 t
i
ti+1

E(Wti − Wt )2 dt

=

i=0 t
i
ti+1
n−1

(t − ti ) dt

=
i=0 t
i

n−1

=
i=0

Khi làm mịn phân hoạch thì

2

T
2n

T

dần đến 0, vì vậy

T

Wt dWt = lim

n−1

Wti (Wti+1 − Wti ).

fn dWt = lim

n→∞

0


1
T2
(ti+1 − ti )2 =
.
2
2n

n→∞

0

21

i=0