ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN VĂN THẠNH

TÍNH NOETHER CỦA ĐẠI SỐ
ĐƯỜNG LEAVITT

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN GIANG NAM

Thừa Thiên Huế, năm 2017


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và
kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho
phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.

Nguyễn Văn Thạnh

ii

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo, TS.
Trần Giang Nam. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và sự kính trọng đối với
thầy. Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn.

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy cô Khoa Toán, các Thầy ở Đại học Huế
và Viện Toán học đã dạy dỗ và truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình
học tập.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Huế, phòng Đào tạo
sau Đại học, khoa Toán trường ĐHSP Huế đã tạo điều kiện cho tôi học tập và
nghiên cứu trong suốt khóa học.

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, các anh chị Cao học Toán khóa
XXIV (2015 - 2017) trường ĐHSP Huế chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số vì
sự động viên, giúp đỡ trong quá trình học tập vừa qua.

Nguyễn Văn Thạnh

iii


Mục lục

Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan


ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

1

Lời nói đầu

2

Danh mục các ký hiệu

4

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

5

1.1

Một số kiến thức chuẩn bị về vành . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Vành Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14


2 TÍNH NOETHER CỦA ĐẠI SỐ ĐƯỜNG LEAVITT

5

19

2.1

Đại số đường Leavitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2

Tính Noether của đại số đường Leavitt . . . . . . . . . . . . . . . . 28

KẾT LUẬN

35

TÀI LIỆU THAM KHẢO

36

1


LỜI NÓI ĐẦU
Đại số đường Leavitt LK (E) của một đồ thị có hướng E với hệ số trên một
trường K được giới thiệu một cách độc lập bởi Abrams, Aranda Pino trong [4]
và Ara, Moreno, Pardo trong [7] vào năm 2004, nó là một sự tổng quát của đại

số Leavitt LK (1, n) (n ≥ 2) được giới thiệu bởi Leavitt trong [8].
Hơn một thập kỷ qua, nhiều tính chất cấu trúc của đại số đường Leavitt
LK (E) đã được khám phá với nhiều kết quả trong chủ đề này theo dạng như

sau: LK (E) có một tính chất đại số cụ thể nào đó khi và chỉ khi đồ thị có hướng
E có một số tính chất thuần túy đồ thị nào đó. Chúng ta có thể tham khảo trong

[3] để nắm rõ hơn về những kết quả như vậy. Đặc biệt, vào năm 2008 Abrams,
Aranda Pino và Siles Molina [6] đã mô tả được một cách đầy đủ cấu trúc của
đại số đường Leavitt Noether.
Với mục đích tìm hiểu sâu về đại số đường Leavitt, chúng tôi chọn đề tài
“Tính Noether của đại số đường Leavitt ” để làm luận văn tốt nghiệp.
Dựa chủ yếu trên tài liệu tham khảo [4] và [6], chúng tôi sẽ trình bày lại
một số tính chất cơ bản về đại số đường Leavitt và chứng minh chi tiết kết quả
của Abrams, Aranda Pino và Siles Molina về cấu trúc của đại số đường Leavitt
Noether. Sử dụng những tính chất cơ bản về vành Noether và tính toán trực
tiếp chúng ta chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ cho tính Noether của đại số đường
Leavitt LK (E) là không có chu trình nào trong đồ thị có hướng E có lối thoát.
Luận văn bao gồm hai chương:
Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị" trình bày một số định nghĩa và kết quả sẽ
được sử dụng trong Chương 2. Đó là các khái niệm và tính chất cơ bản về vành,
môđun, đại số và vành Noether.
Chương 2: "Tính Noether của đại số đường Leavitt" dựa trên bài báo của
G. Abrams, G. Aranda Pino and M. Siles Molina (2008), "Locally finite Leavitt
path algebras, Israel Journal of Mathematics, (165), 329 - 334" ([6]), chương này

2


sẽ trình bày cách xây dựng đại số đường Leavitt, nêu một số ví dụ và tính chất

cơ bản của đại số đường Leavitt. Đặc biệt là chứng minh lại tiêu chuẩn của G.
Abrams, G. Aranda Pino and M. Siles Molina về tính Noether của đại số đường
Leavitt.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên
bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Tác giả rất mong nhận
được sự đóng góp ý kiến từ quý Thầy cô và các bạn đọc giả để luận văn được
hoàn chỉnh hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Huế, tháng 9 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Văn Thạnh

3


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

N

tập các số tự nhiên

Z

tập các số nguyên

Zn

tập tất cả các số nguyên môđulô n (n > 0)


A⊂B

A là một tập con thực sự của B

|A|

lực lượng của tập A

R/I

vành thương của vành R theo iđêan I

M ⊕N

tổng trực tiếp của hai môđun M và N

Ker(f )

hạt nhân của đồng cấu f

HomR (M, N )

tập tất cả các đồng cấu R-môđun từ M vào N

Mn (K)

tập các ma trận vuông cấp n với hệ số trên K

K[x]


tập các đa thức một biến x với hệ số trên K

K X

đại số tự do sinh bởi tập X

K[x, x−1 ]

đại số đa thức Laurent với hệ số trên trường K

K x, y : yx = 1

đại số Toeplitz với hệ số trên trường K

LK (m, n)

đại số Leavitt với hệ số trên trường K

E

đồ thị có hướng (E = (E 0 , E 1 , r, s))

E0

tập các đỉnh của đồ thị có hướng E

E1

tập các cạnh của đồ thị có hướng E


LK (E)

đại số đường Leavitt của đồ thị có hướng E
với hệ số trên trường K

LK (E)n

thành phần thuần nhất bậc n của LK (E).

4


Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm, ví dụ và tính
chất cơ bản về vành, môđun, đại số và vành Noether để làm cơ sở cho các phép
chứng minh trong Chương 2 dựa trên các tài liệu [1], [2], [8], [9].

1.1

Một số kiến thức chuẩn bị về vành

Trong tiết này, chúng tôi trình bày một số khái niệm, ví dụ và tính chất cơ
bản về vành, môđun, đại số dựa trên các tài liệu [1], [2], [8].
Định nghĩa 1.1.1. (i) Một tập hợp khác rỗng R được gọi là vành nếu trên R
có hai phép toán hai ngôi, một gọi là phép cộng và một gọi là phép nhân sao
cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
(1) Tập hợp R là một nhóm Aben đối với phép cộng,
(2) Tập hợp R là nửa nhóm đối với phép nhân,

(3) Phép nhân phân phối đối với phép cộng từ hai phía, tức là
x(y + z) = xy + xz,
(y + z)x = yx + zx,

với mọi x, y, z ∈ R.

5


(ii) Một vành R được gọi là vành có đơn vị nếu phép nhân của R có đơn vị,
tức là có phần tử 1 ∈ R sao cho 1x = x1 = x với mọi x ∈ R.
(iii) Một vành R được gọi là vành giao hoán nếu phép nhân của R thỏa mãn
tính chất giao hoán, tức là xy = yx với mọi x, y ∈ R.
(iv) Một vành R được gọi là một trường nếu R là vành giao hoán, có đơn vị
1 = 0 và mọi phần tử khác 0 của R đều khả nghịch.

Ví dụ 1.1.2. (i) Các tập số Z, Q, R, C và tập Zn (n là số nguyên dương) cùng
với phép cộng và phép nhân thông thường lập thành các vành giao hoán. Hơn
nữa, Q, R, C là các trường. Đồng thời, vành Zn là trường khi và chỉ khi n là số
nguyên tố.

(ii) Cho K là một trường. Tập K[x] các đa thức một biến x với hệ số trên K
cùng với phép cộng và phép nhân các đa thức thông thường lập thành một vành
giao hoán.

(iii) Cho K là một trường và n là một số nguyên dương. Tập Mn (K) các ma
trận vuông cấp n với hệ số trên K cùng với phép cộng và phép nhân các ma
trận lập thành một vành có đơn vị. Hơn nữa, nếu n ≥ 2 thì vành này là vành
không giao hoán.
Định nghĩa 1.1.3. Cho R là một vành và I là một tập con khác rỗng của R.

(i) I được gọi là iđêan trái (phải) của R nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) Với mọi a, b ∈ I ta có a − b ∈ I ,
(2) Với mọi a ∈ I và r ∈ R ta có ra ∈ I (ar ∈ I).
(ii) I được gọi là iđêan (hai phía) của R nếu I vừa là iđêan trái vừa là iđêan
phải của R.
Nếu R là một vành giao hoán thì các khái niệm iđêan, iđêan trái và iđêan
phải là trùng nhau.
Nếu R là một vành có đơn vị và 1 ∈ I , trong đó I là iđêan trái (phải, hai

6


phía) thì I = R.
(iii) I được gọi là iđêan thực sự của R nếu I là iđêan khác không và I = R.
Dễ thấy giao của một họ các iđêan của một vành R là một iđêan của R. Khi
đó, ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1.4. Cho S là tập con của vành có đơn vị R. Giao của họ tất
cả các iđêan của R chứa S là iđêan bé nhất của R chứa S , ký hiệu là (S). Iđêan
này được gọi là iđêan sinh bởi S và S được gọi là hệ sinh của iđêan đó.
Bổ đề 1.1.5. Cho R là một vành có đơn vị và ∅ = A ⊆ R. Khi đó, iđêan của R
sinh bởi tập A là tập hợp
{r1 a1 r1 + r2 a2 r2 + · · · + rn an rn | n ∈ N, r1 , . . . , rn , r1 , . . . , rn ∈ R, a1 , . . . , an ∈ A}.

Định nghĩa 1.1.6. Cho R là một vành có đơn vị. Khi đó, iđêan (trái, phải, hai
phía) sinh bởi tập một phần tử {a} trong R được gọi là iđêan (trái, phải, hai
phía) chính của R sinh bởi a. Cụ thể, iđêan trái chính của R sinh bởi a là
Ra = {ra : r ∈ R}.

Iđêan phải chính sinh bởi a là
aR = {ar : r ∈ R}.


Iđêan chính sinh bởi a là
m

ri ari : ri , ri ∈ R, m ∈ N .

RaR =
i=1

Iđêan sinh bởi a cũng thường được ký hiệu bởi (a). Iđêan sinh bởi a1 , . . . , an
được ký hiệu bởi (a1 , . . . , an ).
Định nghĩa 1.1.7. Cho I và J là hai iđêan trong vành có đơn vị R. Khi đó,
iđêan sinh bởi các phần tử của I ∪ J được gọi là iđêan tổng của I và J , ký hiệu
là I + J . Iđêan sinh bởi các tích ab với a ∈ I và b ∈ J được gọi là iđêan tích của
I và J , ký hiệu là IJ .
I + J = {a + b | a ∈ I, b ∈ J},
IJ = {a1 b1 + · · · + ar br | a1 , . . . , ar ∈ I; b1 , . . . , br ∈ J; r ≥ 1}.
7


Định nghĩa 1.1.8. Cho R và S là hai vành tùy ý. Ánh xạ f : R −→ S được gọi
là một đồng cấu vành nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) f (x + y) = f (x) + f (y),
(ii) f (xy) = f (x)f (y)
với mọi x, y ∈ R.
Nếu R và S là hai vành có đơn vị thì ta cần bổ sung thêm điều kiện sau:
(iii) f (1R ) = 1S .
Đồng cấu vành f được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu ánh xạ f tương
ứng là đơn ánh (toàn ánh, song ánh). Trong trường hợp f là đẳng cấu ta nói
vành R đẳng cấu với vành S và viết R ∼

= S.
Mệnh đề 1.1.9. Cho R, S là hai vành tùy ý và f : R −→ S là một đồng cấu
vành. Khi đó,
(i) f là một đơn cấu nếu và chỉ nếu Ker(f ) = {x ∈ R : f (x) = 0} = 0.
(ii) f là một toàn cấu nếu và chỉ nếu Im(f ) = {f (x) : x ∈ R} = S .
(iii) f là một đẳng cấu nếu và chỉ nếu Ker(f ) = 0 và Im(f ) = S .
Mệnh đề 1.1.10. Cho R, S là hai vành tùy ý và ϕ : R −→ S là một đồng cấu
vành. Khi đó,
(i) Nếu ϕ có nghịch đảo trái (tức là có một đồng cấu vành ψ : S −→ R sao
cho ψϕ = idR ) thì ϕ là một đơn cấu.
(ii) Nếu ϕ có nghịch đảo phải (tức là có một đồng cấu vành ψ : S −→ R sao
cho ϕψ = idS ) thì ϕ là một toàn cấu.
(iii) ϕ là một đẳng cấu nếu và chỉ nếu ϕ có nghịch đảo (tức là có một đồng
cấu vành ψ : S −→ R sao cho ψϕ = idR , ϕψ = idS ).
Định lý 1.1.11. Cho R và S là hai vành tùy ý, f : R −→ S là một đồng cấu
vành và I là một iđêan của R. Khi đó,
(i) R/I là một vành và được gọi là vành thương của vành R theo iđêan I với
phép cộng và phép nhân được định nghĩa như sau:
(x + I) + (y + I) = (x + y) + I,
8


(x + I)(y + I) = (xy) + I

với mọi x, y ∈ R.
(ii) Nếu J là một iđêan của S thì f −1 (J) là một iđêan của R. Đặc biệt, hạt
nhân Ker(f ) = f −1 (0S ) là một iđêan của R.
(iii) Nếu I ⊆ Ker(f ) thì f cảm sinh duy nhất đồng cấu f : R/I −→ S sao cho
f = f ◦ p, trong đó p : R −→ R/I, x → x là toàn cấu chính tắc.


Định nghĩa 1.1.12. Cho R là một vành có đơn vị.
(i) Một tập M được gọi là một R−môđun trái hay còn gọi là môđun trái trên
R nếu M là một nhóm cộng Aben và tồn tại một ánh xạ
f : R × M −→ M
(r, x) −→ f (r, x) = rx

gọi là phép nhân với vô hướng trong R, thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) (rr )x = r(r x),
(2) r(x + y) = rx + ry ,
(3) (r + r )x = rx + r x,
(4) 1.x = x
với mọi r, r ∈ R và x, y ∈ M .
Tương tự ta cũng có một định nghĩa cho R-môđun phải bằng cách xét phép
nhân với vô hướng ở bên phải.
(ii) Giả sử M là một R-môđun trái, một tập con N của M được gọi là R-môđun
con của M nếu N là một nhóm cộng con của nhóm Aben M và RN ⊆ N .
(iii) Cho M, N là các R-môđun trái. Một ánh xạ f : M −→ N được gọi là một
đồng cấu R-môđun hay còn gọi là R-đồng cấu nếu với mọi x, y ∈ M và với mọi
r ∈ R thì
f (x + y) = f (x) + f (y),
f (rx) = rf (x).

Đồng cấu R-môđun f được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu ánh xạ
9


f tương ứng là đơn ánh (toàn ánh, song ánh). Tập hợp tất cả các đồng cấu
R-môđun từ M vào N được ký hiệu là HomR (M, N ).

Ví dụ 1.1.13. (i) Mỗi không gian véctơ trên một trường K là một môđun trái

trên K .

(ii) Một vành có đơn vị R có thể được xem là một môđun trái (phải) trên
chính nó với phép nhân với vô hướng chính là phép nhân của vành. Do đó, một
iđêan trái (phải) của R là một R-môđun trái (phải).

(iii) Nếu R là một vành giao hoán có đơn vị và M, N là những R-môđun trái
thì HomR (M, N ) là một R-môđun trái với phép cộng và phép nhân với vô hướng
xác định như sau:
(f + g)(x) = f (x) + g(x),
(rf )(x) = rf (x)

với mọi f, g ∈ HomR (M, N ), r ∈ R và x ∈ M .

(iv) Cho R là một vành có đơn vị và I là một tập khác rỗng. Giả sử (Mα )α∈I là
một họ các R-môđun trái. Ký hiệu M =

α∈I

Mα là tích Đề-các của họ (Mα )α∈I .

Khi đó có thể xây dựng phép cộng trong M và phép nhân với vô hướng như sau:
(xα )α∈I + (yα )α∈I = (xα + yα )α∈I ,
r(xα )α∈I = (rxα )α∈I

với mọi r ∈ R và với mọi (xα )α∈I , (yα )α∈I ∈ M . Hai phép toán vừa xác định làm
cho M =

α∈I


Mα trở thành một R-môđun trái và được gọi là tích trực tiếp của

họ các R-môđun trái (Mα )α∈I . Bây giờ trong M =
con ký hiệu là

α∈I

α∈I

Mα ta lấy ra một tập

Mα bao gồm tất cả các phần tử của M với các thành phần

bằng không hầu hết chỉ trừ một số hữu hạn thành phần khác không. Khi đó,

10


với mọi
(xα )α∈I , (yα )α∈I ∈

Mα
α∈I

và với mọi r ∈ R, các thành phần x = (xα )α∈I và y = (yα )α∈I bằng không hầu
hết chỉ trừ một số hữu hạn thành phần khác không nên x + y, rx cũng như vậy.
Do đó,
x+y ∈

Mα , rx ∈

α∈I

Vậy

α∈I

Mα .
α∈I

Mα là một R-môđun con của M và nó được gọi là tổng trực tiếp của họ

các R-môđun trái (Mα )α∈I . Nếu Mα = N với mọi α ∈ I thì ta ký hiệu

α∈I

Mα

bởi N (I) .
Hơn nữa, nếu I là một tập hữa hạn, I = {1, . . . , n} thì tổng trực tiếp và tích
trực tiếp của họ (Mα )α∈I là trùng nhau.
Mệnh đề 1.1.14. Cho R là một vành có đơn vị và M1 , . . . , Mn là các R-môđun
con của M sao cho M = M1 + · · · + Mn và Mi ∩

j=i Mj

= 0 với i = 1, . . . , n.

Khi đó, M ∼
= M1 ⊕ · · · ⊕ Mn .
Giao của một họ các R-môđun con của M là một R-môđun con của M . Đặc

biệt, nếu S là một tập hợp con của M thì giao của tất cả các R-môđun con chứa
S lại là một R-môđun con của M , gọi là R-môđun con sinh bởi tập hợp S và S

được gọi là một hệ sinh của R-môđun này.
Định nghĩa 1.1.15. Cho M là một R-môđun trái trên vành có đơn vị R và S
là một tập hợp con khác rỗng của M . Khi đó,
(i) R-môđun trái M được gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh gồm hữu
hạn phần tử.
(ii) Một tổ hợp tuyến tính của các phần tử của S (với hệ số trong R) là một
tổng

s∈S

as s, trong đó as ∈ R và hầu hết hệ số as đều bằng 0 (chỉ trừ một số

hữu hạn khác 0).
(iii) S được gọi là độc lập tuyến tính nếu từ sự triệt tiêu của một tổ hợp
tuyến tính của các phần tử của S ,

s∈S

11

as s = 0 suy ra mọi hệ số as = 0.


(iv) S được gọi là một cơ sở của M nếu và chỉ nếu S là một hệ sinh độc lập
tuyến tính của M .
Định nghĩa 1.1.16. (i) Cho R là một vành giao hoán có đơn vị. Một tập hợp
A được gọi là R-đại số, hay còn gọi là đại số trên R nếu A là một R-môđun trái


và tồn tại một phép toán hai ngôi
A × A −→ A
(a, b) −→ ab

sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
r(ab) = (ra)b = a(rb),
c(ra + r b) = rca + r cb,
(ra + r b)c = rac + r bc

với mọi r, r ∈ R và a, b, c ∈ A.
(ii) R-đại số A được gọi là đại số có đơn vị nếu phép nhân trong A có đơn vị.
(iii) Một tập hợp con B của R-đại số A được gọi là đại số con của A nếu nó
là một R-môđun con và đóng kín đối với phép nhân của A.
Tương tự như đối với môđun và vành, chúng ta có các định nghĩa đại số con
sinh bởi một tập hợp cho trước, iđêan của đại số, đại số thương và đồng cấu đại
số.
Ví dụ 1.1.17. Cho K là một trường và n là một số nguyên dương.
(i) Đại số ma trận Mn (K): Tập Mn (K) gồm các ma trận vuông cấp n với hệ
số trên trường K như đã biết là một K -không gian véctơ, phép nhân là nhân
hai ma trận. Khi đó, Mn (K) là một K -đại số.

(ii) Đại số tự do sinh bởi tập X : Cho X = {xi : i ∈ I} là một tập độc lập,
không giao hoán và không xác định trên trường K . Ta ký hiệu
K X

hoặc K xi : i ∈ I
12



là tập các đa thức với các biến không giao hoán {xi } lấy hệ số trên trường K .
Trên K xi : i ∈ I ta định nghĩa phép cộng và phép nhân tương tự như phép
cộng và phép nhân của vành đa thức nhiều biến K[xi : i ∈ I] với lưu ý rằng các
biến xi , i ∈ I giao hoán với các phần tử của K nhưng không giao hoán với nhau.
Khi đó, K xi : i ∈ I là một K -đại số và được gọi là K -đại số tự do sinh bởi tập X.

(iii) Đại số đa thức Laurent: Xét K -đại số tự do K x, y sinh bởi X = {x, y}
và I = (xy − 1, yx − 1) là iđêan của K x, y . Khi đó, K x, y /I là một K -đại số.
Đại số này được gọi là đại số đa thức Laurent, ký hiệu là K[x, x−1 ].

(iv) Đại số Toeplitz: Xét K -đại số tự do K x, y sinh bởi X = {x, y} và
I = (yx − 1) là iđêan của K x, y . Khi đó, K x, y /I là một K -đại số và được

gọi là đại số Toeplitz.

(v) Đại số Leavitt LK (m, n): Với K là một trường và m, n là hai số nguyên
dương sao cho m < n. Đặt
B = K x11 , . . . , x1n , . . . , xm1 , . . . , xmn , y11 , . . . , y1m , . . . , yn1 , . . . , ynm

là K -đại số tự do sinh bởi 2mn biến không giao hoán xij , yji (i = 1, m ; j = 1, n)
và gọi

n

m

xiv yvk − δik ,

I=(
v=1


yhµ xµj − δhj ),
µ=1

trong đó i, k = 1, m và h, j = 1, n. Khi đó, ta có đại số thương A = B/I và đại
số này được gọi là đại số Leavitt, ký hiệu là LK (m, n).
Đại số A được xây dựng trong [8], đồng thời Leavitt đã chứng minh được rằng
Am ∼
= An như là các A-môđun trái.

Định nghĩa 1.1.18. Cho R là một vành và n là một số nguyên dương. Khi đó,
ma trận cơ sở chuẩn (i, j ) trong Mn (R) là các ma trận Eij (với i, j = 1, . . . , n)
sao cho vị trí (i, j ) bằng 1 và bằng 0 ở các vị trí còn lại.

13


Chẳng hạn, các ma trận cơ sở chuẩn (i, j ) trong M2 (R) là:


1 0


0 0

1.2

 
, 


0 1

 
, 

0 0

 



, 

.

1 0

0 0

0 0
0 1

Vành Noether

Trong tiết này, chúng tôi trình bày một số khái niệm, ví dụ và tính chất cơ
bản về vành Noether dựa trên các tài liệu [1], [9, Chapter 1]. Vành được sử dụng
trong tiết này là vành có đơn vị.
Định nghĩa 1.2.1. (i) Một vành A được gọi là vành Noether trái (phải) nếu
mọi dãy tăng các iđêan trái (phải) trong A
I1 ⊆ I2 ⊆ · · · ⊆ In ⊆ · · ·


đều dừng (có nghĩa là In = In+1 kể từ một chỉ số n ∈ N nào đó trở đi).
(ii) Một vành A vừa là Noether trái vừa là Noether phải được gọi là vành
Noether.
(iii) Một iđêan trái (phải) I của vành A được gọi là cực đại nếu I = A và
không tồn tại một iđêan thực sự trong A chứa thực sự I (theo quan hệ bao hàm).
Mệnh đề 1.2.2. Cho A là một vành. Khi đó, các điều kiện sau là tương đương:
i) A là vành Noether trái (phải).
ii) Mọi họ khác rỗng các iđêan trái (phải) của A đều có phần tử cực đại.
iii) Mọi iđêan trái (phải) của A đều hữu hạn sinh.
Chứng minh. i) =⇒ ii). Giả sử A là một họ khác rỗng các iđêan trái của A mà
không có phần tử cực đại. Chọn I1 ∈ A. Vì I1 không phải là phần tử cực đại
nên tồn tại phần tử I2 ∈ A sao cho I1 ⊂ I2 . Tiếp tục quá trình này chúng ta thu
được một dãy tăng không dừng I1 ⊂ I2 ⊂ · · · các iđêan trái của A, điều này mâu
thuẫn với A là vành Noether trái.
ii) =⇒ iii). Giả sử I là một iđêan trái của A và B là một họ gồm tất cả các
iđêan trái hữu hạn sinh của I . B chứa 0 nên khác rỗng. Hơn nữa, do ii) nên tồn
14


tại một phần tử cực đại J của B. Nếu J = I thì ta chọn một phần tử x ∈ I\J và
lấy J là iđêan trái của I sinh bởi J và x. Khi đó, J ⊂ J , điều này mâu thuẫn
với tính cực đại của J . Do đó, I = J . Suy ra I là hữu hạn sinh.
iii) =⇒ i). Giả sử I1 ⊆ I2 ⊆ · · · ⊆ In ⊆ · · · là một dãy tăng các iđêan trái của
A. Đặt I là hợp của các In . Do iii) nên tồn tại một tập hữu hạn X các phần tử

sinh của I . Vì X hữu hạn nên nó chứa trong In nào đó, từ đó suy ra In = I . Do
đó, In = In+1 kể từ chỉ số n nào đó trở đi. Suy ra A là vành Noether trái.
Ví dụ 1.2.3. i) Vành các số nguyên Z là vành Noether, vì tất cả các iđêan của
nó đều là iđêan chính (có dạng mZ, m ∈ Z), có nghĩa là mọi iđêan của Z đều

hữu hạn sinh (sinh bởi một phần tử).

ii) Vành đa thức một biến K[x] xác định trên trường K là vành Noether.

iii) Mọi trường K là vành Noether, do trường K chỉ có hai iđêan là {0} và
K nên dãy tăng các iđêan chỉ là {0} ⊂ K , suy ra dãy dừng.

Định nghĩa 1.2.4. Một vành giao hoán có đơn vị 1 = 0 trong nó mọi iđêan đều
là iđêan chính được gọi là vành iđêan chính.
Mệnh đề 1.2.5. Mọi vành iđêan chính là vành Noether.
Chứng minh. Giả sử R là một vành iđêan chính và xét một dãy tăng các iđêan
chính của R là I1 ⊆ I2 ⊆ · · · . Khi đó, ta đặt I∞ =

n∈N In

cũng là một iđêan

của R. Vì R là vành iđêan chính nên có a ∈ R sao cho I∞ = (a). Do đó, a ∈ In
với n nào đó. Lúc này, với mọi số tự nhiên m ≥ n thì Im = In . Vậy R là vành
Noether.
Hệ quả 1.2.6. Cho K là một trường. Khi đó, K[x, x−1 ] là vành Noether.
Chứng minh. Vì K là một trường nên K[x, x−1 ] là một vành iđêan chính.
Thật vậy, rõ ràng K[x, x−1 ] là một vành giao hoán và có đơn vị 1 = 0. Bây giờ
ta lấy một đa thức f ∈ K[x, x−1 ] và ký hiệu bậc âm của f là deg− (f ) là số mũ
15


nhỏ nhất của những biến x có số mũ âm xuất hiện trong f . Lấy I là một iđêan
bất kỳ của K[x, x−1 ]. Khi đó, tập
−


{x−deg

(f )

f | f ∈ I} ⊆ K[x].

Bây giờ ta xét J là iđêan của K[x] sinh bởi tập này. Theo [1, Hệ quả 5.5, tr
87] thì K[x] là một vành iđêan chính nên J là một iđêan chính. Tức là J = (j)
−

với j ∈ K[x]. Ta chứng minh I = (j). Lấy f ∈ I . Khi đó, x−deg
−

f = xdeg

(f ) g

−

với g = x−deg

−

g = g j và do đó f = (xdeg

(f ) f

(f ) g


(f ) f

∈ J , nghĩa là

∈ J . Vì g ∈ J = (j) nên tồn tại g ∈ K[x] sao cho

)j là một bội của j . Suy ra f ∈ (j). Vậy I ⊆ (j).

Tiếp theo ta xét f ∈ (j). Khi đó, f = gj với g ∈ K[x, x−1 ]. Nhưng chú ý rằng
j=

−

f ∈I

hf x−deg

(f ) f

với hf ∈ K[x, x−1 ] . Lúc này,
−

hf x−deg

f =g

(f )

−


ghf x−deg

f =

(f )

f.

f ∈I

f ∈I

−

Do đó, f ∈ I (vì với mỗi f ∈ I ta có ghf x−deg

(f ) f

−

= (ghf x−deg

(f ) )f

∈ I ). Suy

ra (j) ⊆ I . Vậy I = (j). Do đó, mọi iđêan của K[x, x−1 ] là iđêan chính. Suy ra
K[x, x−1 ] là một vành iđêan chính. Khi đó, theo Hệ quả 1.2.5 ta suy ra K[x, x−1 ]

là một vành Noether.

Mệnh đề 1.2.7. Cho R là một vành Noether và n là một số nguyên dương. Khi
đó, Mn (R) là một vành Noether.
Chứng minh. Giả sử R là một vành Noether và Mn (R) là vành các ma trận vuông
cấp n với hệ số trên R. Khi đó, Mn (R) là một R-môđun hữu hạn sinh (sinh bởi
n2 phần tử). Vì R là vành Noether nên từ [1, Hệ quả 4.5, tr 155] ta suy ra Mn (R)

là một R-môđun Noether. Lúc này, với mọi dãy tăng các iđêan trái (phải) của
vành Mn (R) là một dãy tăng các R-môđun con của R-môđun Mn (R), suy ra dãy
này dừng. Vậy Mn (R) là vành Noether.
Hệ quả 1.2.8. Cho K là một trường và n là một số nguyên dương. Khi đó,
(i) Mn (K) là vành Noether.
(ii) Mn (K[x, x−1 ]) là vành Noether.
16


Mệnh đề 1.2.9. Cho B là một iđêan của vành A. Khi đó, A là vành Noether
nếu và chỉ nếu B và A/B là Noether.
Chứng minh. Đầu tiên ta giả sử A là vành Noether. Vì bất kỳ dãy tăng các iđêan
của B cũng là một dãy tăng các iđêan của A nên B là Noether. Bây giờ nếu
I1 ⊆ I2 ⊆ · · · là một dãy tăng các iđêan của A/B , mỗi Ii có dạng Ji /B với Ji là

các iđêan của A mà chứa B và J1 ⊆ J2 ⊆ · · · . Lúc này, vì A là vành Noether nên
tồn tại số tự nhiên n để Ji = Jn với mọi i ≥ n. Khi đó, Ii = In với mọi i ≥ n. Vậy
A/B là Noether.

Ngược lại, giả sử B và A/B là Noether. Lấy I1 ⊆ I2 ⊆ · · · là một dãy tăng các
iđêan của A. Khi đó, ta có các dãy tăng các iđêan trong B và A/B như sau:
I1 ∩ B ⊆ I2 ∩ B ⊆ · · · ,
(I1 + B)/B ⊆ (I2 + B)/B ⊆ · · · .


Lúc đó, tồn tại số tự nhiên n sao cho Ii ∩ B = In ∩ B và (Ii + B)/B = (In + B)/B
với mọi i ≥ n và từ đó ta có Ii + B = In + B . Như vậy với mọi i ≥ n, chúng ta có
kết luận rằng:
Ii = Ii ∩ (Ii + B) = Ii ∩ (In + B) = In + (Ii ∩ B) = In + (In ∩ B) = In .

Vậy A là vành Noether.
Hệ quả 1.2.10. Tổng trực tiếp của hữu hạn các vành Noether là Noether.
Chứng minh. Bằng phương pháp quy nạp ta thấy rằng chỉ cần chứng minh tổng
trực tiếp của hai vành Noether A1 và A2 là Noether. Thật vậy, vành A = A1 ⊕ A2
có iđêan B = A1 ⊕ 0 sao cho B ∼
= A1 và A/B ∼
= A2 . Do B và A/B đều là Noether
nên A cũng là Noether theo Mệnh đề 1.2.9.
Định nghĩa 1.2.11. Cho R là một vành và n là một số nguyên dương.
(i) Một phần tử khác không e ∈ R được gọi là lũy đẳng nếu e2 = e.
(ii) Một tập S gồm những phần tử lũy đẳng của R được gọi là trực giao nếu
với mọi e, f ∈ S và e = f thì ef = 0.
17


Mệnh đề 1.2.12. Cho R là một vành tùy ý. Khi đó, nếu R chứa một tập vô hạn
những phần tử lũy đẳng trực giao thì R không phải là Noether trái hoặc phải.
Chứng minh. Giả sử vành R chứa một tập vô hạn những phần tử lũy đẳng trực
giao khác không {en : n ∈ N∗ }. Tức là, e2n = en và en em = 0 với mọi n = m. Lúc
này, với mỗi số tự nhiên n ta xét iđêan trái của R như sau: In = ⊕ni=1 Rei . Khi
đó, ta có In ⊂ In+1 với mỗi n ∈ N∗ . Thật vậy, một cách rõ ràng rằng In ⊆ In+1 .
Giả sử In = In+1 với số tự nhiên n nào đó. Khi đó, ta có en+1 ∈ In , nghĩa là
tồn tại các phần tử r1 , . . . , rn của R sao cho en+1 = r1 e1 + r2 e2 + · · · + rn en . Nhân
vào bên phải hai vế của đẳng thức này với en+1 ta thu được
en+1 = e2n+1 = r1 e1 en+1 + · · · + rn en en+1 = 0.


Điều này vô lý vì en+1 = 0. Khẳng định trên chỉ ra rằng chúng ta có một dãy
tăng không dừng các iđêan trái của R là I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ In ⊂ · · · . Do đó, R không
là vành Noether trái. Hoàn toàn tương tự ta cũng chỉ ra được rằng R không là
vành Noether phải.

18


Chương 2

TÍNH NOETHER CỦA ĐẠI SỐ
ĐƯỜNG LEAVITT
Mục tiêu của chương này là chúng tôi chứng minh lại kết quả của G. Abrams,
G. Aranda Pino và M. Siles Molina về tiêu chuẩn tính Noether của đại số đường
Leavitt ([6, Theorem 3.10]) và đưa ra một số ví dụ minh họa để làm rõ cho kết
quả này dựa trên các tài liệu [4], [6] và [10].

2.1

Đại số đường Leavitt

Trong tiết này chúng tôi trình bày một số khái niệm, ví dụ và tính chất cơ
bản của đại số đường Leavitt dựa trên các tài liệu [4] và [10].
Định nghĩa 2.1.1. (i) Một đồ thị có hướng E = (E 0 , E 1 , r, s) bao gồm hai tập
E 0 , E 1 và hai ánh xạ r, s : E 1 −→ E 0 . Mỗi phần tử của E 0 được gọi là đỉnh và

mỗi phần tử của E 1 được gọi là cạnh. Đối với mỗi cạnh e ∈ E 1 , s(e) được gọi là
gốc của e và r(e) được gọi là ngọn của e.
(ii) Một đồ thị có hướng E được gọi là hữu hạn nếu hai tập E 0 và E 1 là hữu

hạn.
(iii) Một đỉnh v ∈ E 0 mà s−1 (v) = ∅ được gọi là đỉnh đích và một đỉnh v mà
19


0 < |s−1 (v)| < ∞ được gọi là đỉnh chính quy.

(iv) Một đường p = e1 . . . en trong đồ thị có hướng E là một chuỗi các cạnh
e1 , . . . , en sao cho r(ei ) = s(ei+1 ) với mọi i = 1, n − 1. Trong trường hợp này, ta

nói s(p) := s(e1 ) là gốc của p và r(p) := r(en ) là ngọn của p, n là độ dài của
p, ký hiệu là |p|. Ta quy ước mỗi đỉnh trong E 0 là một đường có độ dài bằng

không.
Định nghĩa 2.1.2. Cho K là một trường và E = (E 0 , E 1 , r, s) là một đồ thị có
hướng. Đại số đường Leavitt của E với hệ số trên K , ký hiệu bởi LK (E) là một
K -đại số với hệ sinh là {v, e, e∗ : v ∈ E 0 , e ∈ E 1 } và thỏa mãn các đồng nhất thức

sau:
(1) vw = δvw v với mọi v, w ∈ E 0 ,
(2) er(e) = s(e)e = e, r(e)e∗ = e∗ s(e) = e∗ với mọi e ∈ E 1 ,
(3) e∗ f = δef r(e) với mọi e, f ∈ E 1 ,
(4) v =

{e∈E 1 : s(e)=v} ee

∗

với mọi v ∈ E 0 là đỉnh chính quy.


Chú ý 2.1.3. Ta có thể xây dựng đại số đường Leavitt của một đồ thị có hướng
bằng con đường như sau: Xét K -đại số tự do AE = K v, e, e∗ : v ∈ E 0 , e ∈ E 1 .
Gọi I là iđêan của AE sinh bởi các phần tử có dạng:
(1) vw − δvw v với mọi v, w ∈ E 0 ,
(2) e − er(e), e − s(e)e, e∗ − r(e)e∗ , e∗ − e∗ s(e) với mọi e ∈ E 1 ,
(3) e∗ f − δef r(e) với mọi e, f ∈ E 1 ,
(4) v −

{e∈E 1 : s(e)=v} ee

∗

với mọi v ∈ E 0 là đỉnh chính quy.

Khi đó, LK (E) = AE /I . Với cách xây dựng này, đại số LK (E) có tính chất phổ
dụng theo nghĩa: Nếu A là một K -đại số sinh bởi tập {av , be , ce∗ : v ∈ E 0 , e ∈ E 1 }
thỏa mãn (1), (2), (3), (4) như trong Định nghĩa 2.1.2 thì tồn tại duy nhất một
đồng cấu K -đại số φ : LK (E) −→ A sao cho φ(v) = av , φ(e) = be , φ(e∗ ) = ce∗ với
mọi v ∈ E 0 và e ∈ E 1 .
Hơn nữa, mọi phần tử của tập {v, e, e∗ : v ∈ E 0 , e ∈ E 1 } ⊆ LK (E) đều khác
không, điều này sẽ được làm rõ trong Mệnh đề 2.1.5 dưới đây. Trước hết ta xét

20


một vài đại số quen thuộc có dạng LK (E) đối với một số đồ thị có hướng E .
Ví dụ 2.1.4. Cho K là một trường và n là một số nguyên dương.
(i) Đại số ma trận Mn (K): Cho đồ thị có hướng An như sau:
e1


en−1

e2

•v1 −−−−−→ •v2 −−−−−→ •v3 · · · · · · •vn−1 −−−−−→ •vn

Khi đó, LK (An ) ∼
= Mn (K) thông qua ánh xạ ϕ: LK (An ) −→ Mn (K) sao cho
vi → Eii , ei → Ei i+1 , e∗i → Ei+1 i

(trong đó Eij biểu thị ma trận cơ sở chuẩn (i, j) trong Mn (K)). Để giảm sự phức
tạp trong tính toán, ta sẽ kiểm tra với n = 3.
Với cách xác định trên, ϕ là một đồng cấu K -đại số. Hơn nữa,
E13 = E12 E23 = ϕ(e1 )ϕ(e2 ) = ϕ(e1 e2 ),
E31 = E32 E21 = ϕ(e∗2 )ϕ(e∗1 ) = ϕ(e∗2 e∗1 ).

Điều này có nghĩa là với mọi Eij ∈ M3 (K), tồn tại α ∈ LK (A3 ) sao cho ϕ(α) = Eij .
Do đó, ϕ là toàn cấu.
Tiếp theo ta chứng minh ϕ là đơn cấu. Thật vậy, cho α ∈ LK (A3 ) sao cho
ϕ(α) = 0. Khi đó, ta viết α dưới dạng:
3

α=

2

ki vi +
i=1

2


li e∗i + l3 e∗2 e∗1 ,

hi ei + h3 e1 e2 +
i=1

i=1

với ki , hi , li ∈ K . Vì ϕ(α) = 0 nên ta có
3

ϕ(α) =

2

ki Eii +
i=1

2

hi Ei i+1 + h3 E13 +
i=1

li Ei+1 i + l3 E31 = 0.
i=1

Điều này suy ra ki = hi = li = 0. Do đó, Ker(ϕ) = 0. Vậy ϕ là đẳng cấu.

(ii) Đại số đa thức Laurent K[x, x−1 ]: Cho đồ thị có hướng C1 như sau:


e

21

@

•v


Khi đó, LK (C1 ) ∼
= K[x, x−1 ]. Thật vậy, ánh xạ
ϕ : K v, e, e∗ −→ K[x, x−1 ]
v→1
e→x
e∗ → x−1

là một toàn cấu. Hơn nữa,
ϕ(v 2 − v) = ϕ(v)ϕ(v) − ϕ(v) = 1.1 − 1 = 1 − 1 = 0,
ϕ(e − ev) = ϕ(e) − ϕ(e)ϕ(v) = x − x.1 = x − x = 0,
ϕ(e − ve) = ϕ(e) − ϕ(v)ϕ(e) = x − 1.x = x − x = 0,
ϕ(e∗ − e∗ v) = ϕ(e∗ ) − ϕ(e∗ )ϕ(v) = x−1 − x−1 .1 = 0,
ϕ(e∗ − ve∗ ) = ϕ(e∗ ) − ϕ(v)ϕ(e∗ ) = x−1 − 1.x−1 = 0,
ϕ(e∗ e − v) = ϕ(e∗ )ϕ(e) − ϕ(v) = x−1 x − 1 = 1 − 1 = 0,
ϕ(v − ee∗ ) = ϕ(v) − ϕ(e)ϕ(e∗ ) = 1 − xx−1 = 1 − 1 = 0.

Suy ra I = (v 2 − v, e − ev, e − ve, e∗ − e∗ v, e∗ − ve∗ , e∗ e − v, v − ee∗ ) ⊆ Ker(ϕ).
Do đó, theo tính chất phổ dụng của đại số đường Leavitt, ϕ cảm sinh đồng cấu
K -đại số
ϕ : LK (C1 ) −→ K[x, x−1 ]


sao cho
ϕ(v) = ϕ(v) = 1, ϕ(e) = ϕ(e) = x, ϕ(e∗ ) = ϕ(e∗ ) = x−1 .

Mặt khác, ta có ánh xạ
ψ : K x, x−1 −→ LK (C1 )
1→v
x→e
x−1 → e∗

22