BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TÔN NỮ THÙY DUYÊN

ĐỀ TÀI

TÍNH KHÔNG DƯƠNG
CỦA HỆ SỐ HILBERT
CỦA IĐÊAN THAM SỐ
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. CAO HUY LINH

Thành phố Huế - 2018


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu
của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu
ghi trong Luận văn là trung thực.

Tôn Nữ Thùy Duyên

2

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Cao Huy Linh,
người thầy đã tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi trong quá trình học
tập tại lớp cao học cũng như quá trình hoàn thành Luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô khoa Toán trường Đại học Sư phạm
- Đại học Huế đã truyền đạt cho tôi những kiến thức bổ ích, làm nền tảng để tôi
hoàn thành Luận văn của mình.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các bạn, các anh, các chị cao học viên Khóa
K25 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu cùng quý thầy, cô giáo trường
THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi có thể tham gia và
hoàn thành khóa học.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ tôi
vượt qua những khó khăn trong quá trình học tập, đặc biệt là trong quá trình
hoàn thành Luận văn.

Tôn Nữ Thùy Duyên

3


Mục lục
Trang phụ bìa

1

Lời cam đoan


2

Lời cảm ơn

3

Mục lục

1

Mở đầu

2

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Vành các thương và địa phương hóa
1.2 Chiều của vành và môđun . . . . . .
1.3 Dãy chính quy và độ sâu . . . . . . .
1.4 Iđêan m-nguyên sơ và iđêan tham số
1.5

1.6
1.7
1.8

.
.
.
.


.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.


.
.
.
.

.
.
.
.

4
4
6
8
10

Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Vành và môđun Cohen-macaulay . . . . . . .
1.5.2 Độ dài của môđun . . . . . . . . . . . . . . .
Hàm Hilbert và hệ số Hilbert của môđun phân bậc .
Đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . .
Số mũ rút gọn của iđêan m-nguyên sơ . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

11
13
14
15
17
19

.
.
.
.


.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.


.
.
.
.

2 TÍNH KHÔNG DƯƠNG CỦA HỆ SỐ HILBERT
20
2.1 Hàm Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert-Samuel . . . . . . . . . . . . 20
2.2
2.3
2.4

Mối quan hệ giữa hệ số Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert của vành
phân bậc liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Dãy các phần tử siêu bề mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Tính không dương của hệ số Hilbert của iđêan tham số . . . . . . 24

1


MỞ ĐẦU
Cho (A, m) là vành giao hoán địa phương có chiều d. Giả sử I là iđêan
m-nguyên sơ của vành A. Hàm số học
HI : Z −→ N
n −→ HI (n) :=


λ(A/I n ) nếu n ≥ 0
0


nếu n < 0,

được gọi là hàm Hilbert-Samuel của I . Samuel đã chứng minh đươc rằng tồn tại
đa thức PI có hệ số hữu tỉ thỏa PI (n) = HI (n) với n đủ lớn. Đa thức này được
gọi là đa thức Hilbert-Samuel ứng với iđêan I và được viết dưới dạng
PI (n) = e0 (I)

n+d−1

− e1 (I)

d

n+d−2
d−1

+ ... + (−1)d ed (I),

trong đó ei (I) là các số nguyên và được gọi là hệ số Hilbert của I . Đặc biệt hệ
số e0 (I) luôn dương được gọi là số bội và e1 (I) được gọi là hệ số Chern.
Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu tính không dương của hệ số
Hilbert của iđêan tham số trong vành hầu Cohen-Macaulay.
Hệ số Hilbert là một trong những bất biến cơ bản của đại số giao hoán.
Các hệ số Hilbert chứa nhiều thông tin về cấu trúc của vành và môđun tương
ứng nên nó thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học.
Năm 2008, Vasconcelos đã đưa ra một số giả thuyết về hệ số Chern trong
đó nổi bật là giả thuyết về tính âm của hệ số Chern: "Vành A là không CohenMacaulay khi và chỉ khi e1 (Q) < 0 với mọi iđêan tham số Q của A". Giả thuyết
này thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học và được giải quyết thành công
bởi nhóm nghiên cứu của Goto vào năm 2010. Trong quá trình giải quyết giả

thuyết tính âm của hệ số Chern, Mandal-Sing-Verma [15] đã chứng minh được
e1 (Q) 0 với mọi iđêan tham số Q vào năm 2010. Tuy nhiên các hệ số Hilbert
khác có thể dương.
Năm 2013, McCune [16] chứng minh được rằng nếu depth(A) d − 1 (với
d là chiều của vành A) thì e2 (Q)
0. Bên cạnh đó, trong [16] với giả thiết độ
sâu của vành phân bậc liên kết depth GQ (A) d − 1, McCune cũng chứng minh
được ei (Q) 0 với mọi i = 1, ..., d. Tuy nhiên, giả thiết depth GQ (A) d − 1 mà
McCune đưa ra khá mạnh. Năm 2013, Linh-Trung [2] đã cải tiến kết quả trên
2


của McCune qua định lý sau:
Định lý 2.4.15: Cho (A, m) là vành địa phương Noether có dim(A) = d 2 và
depth(A) d − 1. Giả sử I là iđêan m-nguyên sơ và Q là iđêan tham số.
Nếu depth (G (Q)) d − 2 thì ei (Q) 0, ∀i = 1, ..., d
Để chứng minh định lý này, Linh-Trung sử dụng hàm sai phân của hàm
f = HQ − PQ (hàm sai phân của f là ∆f = f (n + 1) − f (n)). Trong luận văn này,
chúng tôi sẽ chứng minh lại kết quả trên bằng một phương pháp khác. Chúng
tôi dùng một kết quả của Hoa [10] là ai (G (I n )) 0, ∀n 0 để kiểm soát hệ số
Hilbert. Ưu điểm của phương pháp này là suy ra được tính không dương của hệ
số e3 (Q).
Hệ quả 2.4.17: Nếu d 3 và depth (A) d − 1 thì ei (Q) 0, ∀i = 1, 2, 3.
Luận văn được chia làm hai chương. Trong Chương 1, chúng tôi trình bày
một số kiến thức cơ bản của Đại số giao hoán bao gồm các khái niệm và một số
bổ đề nhằm hỗ trợ cho các chứng minh ở chương sau. Trong Chương 2, chúng
tôi tập trung vào nội dung chính của luận văn là khảo sát tính không dương của
hệ số Hilbert ứng với iđêan tham số, cụ thể là kết quả của Linh-Trung. Sau đó
chúng tôi dùng phương pháp khác để chứng minh lại kết quả của Linh-Trung.
Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi sự

thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý từ quý Thầy cô giáo cùng các bạn để
luận văn được hoàn thiện hơn.

3


CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của đại số
giao hoán như: vành các thương và địa phương hóa, chiều của vành và môđun,
dãy chính quy và độ sâu, iđêan nguyên sơ và iđêan tham số, vành và môđun
phân bậc, hàm Hilbert và hệ số Hilbert của môđun phân bậc, chỉ số Hilbert, đối
đồng điều địa phương, số mũ rút gọn của iđêan m-nguyên sơ, vành và môđun
Cohen-Macaulay. Các kiến thức này được trình bày nhằm mục đích tham khảo
cho các nội dung của chương sau. Hầu hết các kiến thức được trình bày trong
chương này được trích dẫn từ các tài liệu [3], [5], [6], [10], [11], [13], [17],... Trong
suốt chương này, R luôn là vành giao hoán có đơn vị.

1.1

Vành các thương và địa phương hóa

Định nghĩa 1.1.1. Cho R là một vành giao hoán. Một tập con S của R được
gọi là tập nhân đóng nếu 1R ∈ S và ∀a, b ∈ S suy ra ab ∈ S . Trên tập S × R =
{(s, a) /s ∈ S, a ∈ R} ta định nghĩa một quan hệ ∼ như sau:
(s, a) ∼ (t, b) ⇔ ∃u ∈ S : u (at − sb) = 0.

Quan hệ trên là một quan hệ tương đương. Ta kí hiệu as là lớp tương đương của
phần tử (s, a) (tức là: as = bt ⇔ (s, a) ∼ (t, b))và S −1 R là tập hợp tất cả các lớp
tương đương này. Lúc đó:

S −1 R =

a
|a ∈ R, s ∈ S
s

.

Định nghĩa 1.1.2. Cho S là một tập nhân đóng của vành R. Khi đó, S −1 R là
một vành giao hoán với hai phép toán được xác định như sau: ∀s, t ∈ S, a, b ∈ R
(s, a) + (t, b) ∼ (st, at + bs)
4


(s, a) . (t, b) ∼ (st, ab) .

Vành S −1 R được gọi là vành các thương của R ứng với S , có đơn vị 1S −1 R =
(s, s) (s ∈ S) và mọi phần tử (s, t) với s, t ∈ S là khả nghịch.
Cho M là một R-môđun và S là một tập nhân đóng với phép nhân của R, tập
thương S −1 M = xs |x ∈ M, s ∈ S là một S −1 R-môđun và được gọi là môđun
các thương của M trên S .
Ví dụ 1.1.3. Cho R = Z và S := Z\ {0} là một tập nhân đóng của R. Do đó, ta
có vành các thương của R ứng với S là
S −1 R = S −1 Z =

n
| n ∈ Z, m = 0 = Q.
m

Nhận xét 1.1.4. (1) Cho R là một miền nguyên. Khi đó, tập S := R \ {0} là

một tập nhân đóng của R. Do đó, ta có vành các thương của R ứng với S là
S −1 R =

a
| a ∈ R, s ∈ R \ {0} .
s

Trong trường hợp này ta có S −1 R trở thành một trường được gọi là trường
các thương của miền nguyên R ứng với S .
(2) Cho p ∈ Spec(R), tập S = R \ p là một tập nhân đóng của R. Khi đó vành
các thương của R ứng với S được kí hiệu là Rp được gọi là địa phương hóa
của vành R ứng với iđêan nguyên tố p:
Rp =

a
| a ∈ R, s ∈
/p
s

các iđêan của Rp có dạng
IRp =

a
| a ∈ I, s ∈
/p ,
s

với I là một iđêan của R.
(3) Cho M là R-môđun và S = R \ p thì môđun S −1 M được kí hiệu là Mp gọi là
môđun địa phương hóa tại p.

Mp =

m
| m ∈ M, s ∈
/p .
s

Định nghĩa 1.1.5. Một vành R được gọi là vành địa phương nếu chỉ có duy
nhất một iđêan cực đại m và kí hiệu là (R, m).
5


Ví dụ 1.1.6. (1) Với mọi iđêan nguyên tố p của R thì Rp là một vành địa
phương với iđêan cực đại duy nhất là
pRp =

a
| a ∈ p, s ∈
/p .
s

(2) Trong vành Z, các iđêan pZ (với p nguyên tố) đều là các iđêan cực đại. Do
đó Z không phải là vành địa phương.
Nhận xét 1.1.7. Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố p ∈ Spec(R) sao cho
Mp = 0, được gọi là giá của M, kí hiệu Supp(M ), tức là
Supp(M ) = {p ∈ Spec(R) | Mp = 0}.

1.2

Chiều của vành và môđun


Định nghĩa 1.2.1. (1) Cho R là một vành, với mỗi dãy giảm (thực sự) các
iđêan nguyên tố của vành R
p0 ⊃ p1 ⊃ . . . ⊃ pd
ta gọi d là độ dài của dãy. Ta định nghĩa chiều của vành R là độ dài lớn
nhất của các dãy giảm các iđêan nguyên tố của R, kí hiệu là dimR. Tức là,
dimR := sup d | ∃ p0 ⊃ p1 ⊃ . . . ⊃ pd là dãy các iđêan nguyên tố của R .
(2) Cho M là một R-môđun, chiều của môđun M là
dim R M := dimR/annR (M )

trong đó annR (M ) = {r ∈ R |rM = 0}. Ta cũng kí hiệu dimM thay cho
dim R M trong trường hợp không có sự nhầm lẫn về vành R.
Ví dụ 1.2.2. (1) Cho R = k [x1 , x2 , . . . , xn ] là vành các đa thức n biến trên
trường k . Ta có
(x1 , x2 , . . . , xn ) ⊃ (x1 , x2 , . . . , xn−1 ) ⊃ . . . ⊃ (x1 ) ⊃ (0)

là một dãy giảm cực đại các iđêan nguyên tố của R. Do đó dimR
[13, Corrolary 5.6] ta suy ra dimR = n.
6

n. Từ


(2) Trong vành các số nguyên Z, mỗi iđêan nguyên tố khác (0) của Z đều có
dạng pZ với p là một số nguyên tố và không tồn tại iđêan nguyên tố nào
chứa thực sự pZ. Từ đó suy ra một dãy giảm các iđêan nguyên tố của Z có
độ dài lớn nhất phải có dạng
pZ ⊃ (0)
Vậy dim Z = 1.
Nhận xét 1.2.3. (1) Mỗi iđêan nguyên tố của vành thương R/annR (M ) có

dạng p/annR (M ), với p là iđêan nguyên tố của R chứa annR (M ). Do đó,
chiều của vành R/annR (M ) là độ dài lớn nhất của các dãy giảm các iđêan
nguyên tố của R chứa annR (M ). Từ đó suy ra dimM ≤ dimR.
(2) Cho M là một R−môđun có chiều d và N là R−môđun con của M . Lúc đó,
vì annR (N ) ⊇ annR (M ) nên dimN = dimR/annR (N ) ≤ dimR/annR (M ) = d.
Tương tự ta cũng chứng minh được dimM/N ≤ d.
Định nghĩa 1.2.4. Cho R là một vành giao hoán khác không và p là iđêan
nguyên tố của R. Khi đó, độ cao của p, kí hiệu ht(p), được định nghĩa như sau:
ht(p) = sup n ∃ p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn = p là dãy các iđêan nguyên tố của R

.

Nhận xét 1.2.5. Từ các định nghĩa chiều của vành và độ cao của một iđêan
nguyên tố ta thu được các tính chất sau:
(1) Nếu p1 ⊆ p2 thì ht(p1 ) ≤ ht(p2 ). Hơn nữa, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
p1 = p2 .
(2) Nếu dimR là hữu hạn thì
dimR = sup ht(p) | p là iđêan nguyên tố của R
= sup ht(m) | m là iđêan cực đại của R

Định nghĩa 1.2.6. Cho I là iđêan của vành giao hoán R. Khi đó, độ cao của
iđêan I được định nghĩa như sau:
ht(I) = min ht(p) p là iđêan nguyên tố của R chứa I

.

Cho I là iđêan của vành R. Ta gọi iđêan nguyên tố p của R là iđêan nguyên tố
tối tiểu của I nếu p chứa I và không tồn tại iđêan nguyên tố nào nằm giữa thực
sự I và p. Ta kí hiệu tập các iđêan nguyên tố tối tiểu của I là Min(I ).
7



Định lý 1.2.7. [3, Corollary 11.17] (Krull’s generalized principal ideal theorem).
Cho R là một vành Noether và I = (x1 , . . . , xn ) là iđêan thực sự của R. Lúc đó,
với mọi iđêan tối tiểu p của I , ta có ht(p) ≤ n.
Hệ quả 1.2.8. Cho R là một vành Noether và I = (x1 , . . . , xn ) là iđêan thực sự
của R. Khi đó, với mọi iđêan tối tiểu p của I ta luôn có ht(p) ≤ n.

1.3

Dãy chính quy và độ sâu

Định nghĩa 1.3.1. Cho M là một R-môđun. Phần tử x ∈ R được gọi là phần
tử M -chính quy nếu với z ∈ M thỏa xz = 0 thì z = 0, nói cách khác x không là
ước của 0 trong M .
Kí hiệu tập hợp các phần tử M -chính quy trong R là N ZDR (M ). Từ định
nghĩa phần tử chính quy, ta có định nghĩa dãy chính quy như sau:
Định nghĩa 1.3.2. Cho M là một R-môđun và x1 , . . . , xn là một dãy các phần
tử của R. Lúc đó, x = (x1 , . . . , xn ) được gọi là M -dãy chính quy hay nói ngắn
gọn là M -dãy nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
(1) x1 là phần tử M -chính quy và xi là phần tử M/(x1 , . . . , xi−1 )M -chính quy với
mọi i = 2, . . . , n,
(2) M/xM = 0
Một dãy chính quy của R là một R-dãy.
Nhận xét 1.3.3. (1) Nếu dãy x chỉ thỏa mãn điều kiện (2) của Định nghĩa
1.3.2 thì x được gọi là M -dãy chính quy yếu. Số phần tử của M -dãy x được
gọi là độ dài của dãy.
(2) Giả sử (R, m) là vành địa phương Noether và M = 0 là một R-môđun hữu
hạn sinh. Lúc đó, nếu x ⊆ m thì điều kiện (2) của Định nghĩa 1.3.2 luôn thỏa
mãn theo bổ đề Nakayama. Hơn nữa, do mỗi phần tử của R không thuộc

m đều khả nghịch nên để điều kiện (2) thỏa mãn thì mọi M -dãy chính quy
đều phải nằm trong m.
Mệnh đề 1.3.4. [6, Corollary 1.1.3] Cho R là vành Noether, M là R-môđun
và x là môt M -dãy. Giả sử một iđêan nguyên tố p ∈ Supp(M ) chứa x. Lúc đó x
(là một dãy trong Rp ) là một Mp -dãy.
8


Cho R là vành Noether và M là một R-môđun, I là iđêan của R. Nếu x =
(x1 , . . . , xn ) ⊆ I là một M -dãy trong I thì dãy (x1 ) ⊂ (x1 , x2 ) ⊂ ... ⊂ (x1 , ..., xn )
tăng ngặt. Từ đó ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.3.5. (1) Cho M là một R-môđun và I là iđêan của R. Một M -dãy
x (chứa trong I ) được gọi là một M -dãy cực đại (trong I ) nếu x1 , . . . , xn , xn+1
không phải là một M -dãy với mọi xn+1 ∈ R.
(2) Cho R là vành Noether, M là một R-môđun hữu hạn sinh và I là một iđêan
của R thỏa IM = M . Khi đó, độ dài của M -dãy cực đại trong I được gọi là
độ sâu của môđun M ứng với iđêan I , kí hiệu là depth(I, M ). Nếu IM = M
thì ta quy ước depth(I, M ) = ∞.
(3) Nếu (R, m) là vành địa phương Noether và M là một R-môđun thì mọi M dãy đều nằm trong m. Vì vậy, bậc của m trong M được gọi là độ sâu của
môđun M . Kí hiệu depth M. Do đó, ta có
depth M = depth(m, M ).

Mệnh đề 1.3.6. [6, Proposition 1.2.12] Cho (R, m) là vành Noether địa phương,
M = 0 là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó, ta có
depth M ≤ dimM.

Tức là độ sâu của môđun M luôn nhỏ hơn hoặc bằng chiều của môđun M.
Ta có thể tính depth(I, M ) thông qua các công thức được cho ở định lý sau:
Định lý 1.3.7. [6, Theorem 1.2.10] Cho R là vành Noether, M là R-môđun
hữu hạn sinh, I, J là các iđêan của R. Khi đó, ta có

√

(1) depth(I, M ) = depth( I, M );
(2) depth(I, M ) = inf{depth Mp | p ∈ V (I)}, với V (I) là tập các iđêan nguyên tố
chứa I ;
(3) depth(I ∩ J, M ) = min{depth(I, M ); depth(J, M )};
(4) Nếu x = (x1 , . . . , xn ) là một M -dãy trong I , thì
depth(I/(x), M/xM ) = depth(I, M/xM ) = depth(I, M ) − n.

Đặc biệt, ta có depth M/xM = depth M − n.
9


Iđêan m-nguyên sơ và iđêan tham số

1.4

Định nghĩa 1.4.1. (1) Cho I là một iđêan thực sự của vành R, I được gọi là
một iđêan nguyên sơ của R nếu với mọi a, b ∈ R thỏa ab ∈ I và a ∈
/ I thì tồn
tại n > 0 sao cho bn ∈ I .
(2) Tập

√

I = {a ∈ R | ∃n > 0 : an ∈ I} là một iđêan của R gọi là iđêan căn của

I.

Đặc biệt


√

0 = {a ∈ R | ∃n > 0 : an = 0} gọi là căn lũy linh của vành R.

Ví dụ 1.4.2. Trên vành các số nguyên Z, các iđêan I = pα Z (với p là số nguyên
tố, α

1) là những iđêan nguyên sơ và

√
I = pZ.

Mệnh đề 1.4.3. [1, Mệnh đề 3.2] Cho I là một iđêan của vành R. Khi đó
(1) Nếu I là iđêan nguyên sơ thì
(2) Nếu

√

√

I là iđêan nguyên tố tối tiểu chứa I .

I là iđêan cực đại thì I là iđêan nguyên sơ.

Định nghĩa 1.4.4. Cho I là iđêan nguyên sơ và p là iđêan nguyên tố của vành

√
I . Khi đó ta nói I là iđêan p-nguyên sơ. Với (R, m) là vành địa
√

phương, ta có I là iđêan m-nguyên sơ nếu I = m.

R thỏa p =

Cho (R, m) là vành Noether địa phương chiều d = dim(R) và I là iđêan
m-nguyên sơ. Kí hiệu µ(I) là số phần tử sinh tối tiểu của iđêan I . Theo [3,
Proposition 11.7, Proposition 11.10], ta có µ(I) ≥ d.
Định nghĩa 1.4.5. (1) Cho (R, m) là vành Noether địa phương có chiều d. Một
iđêan m-nguyên sơ I được gọi là iđêan tham số nếu µ(I) = d. Một iđêan
tham số sinh bởi các phần tử x1 , . . . , xd thì x1 , . . . , xd được gọi là hệ tham số
của R.
(2) Cho M là R-môđun hữu hạn có chiều r, nếu tồn tại dãy các phần tử
(x1 , . . . , xr ) thỏa λ(M/ (x1 , . . . , xr ) M ) < ∞ thì hệ {x1 , ..., xn } được gọi là
hệ tham số của M .
Ví dụ 1.4.6. Cho R = k[X1 , . . . , Xn ] là vành đa thức n biến trên trường k . Khi
đó, ta đã biết dimR = n, và do đó {X1 , . . . , Xn } hệ tham số của R.
Định lý 1.4.7. [13, Theorem 14.1] Cho (R, m) là vành Noether địa phương
và x1 , . . . , xd là hệ tham số của vành R. Lúc đó, dimR/ (x1 , . . . , xi ) = d − i với
1 i d.
10


1.5

Vành và môđun phân bậc

Định nghĩa 1.5.1. (1) Cho R là vành giao hoán có đơn vị, R được gọi là vành
phân bậc nếu nó cùng với họ (Rn )n∈Z các nhóm con của nhóm cộng R thỏa
hai điều kiện sau:
(a) R =


Rn ,
n∈Z

(b) Rn Rm ⊆ Rn+m .
(2) Một phần tử x ∈ R được gọi là thuần nhất nếu x ∈ Rn và lúc đó n gọi là bậc
của x.
(3) Mỗi phần tử x ∈ R có thể được viết dưới dạng x =

xn , trong đó xn ∈ Rn
n∈Z

và chỉ có hữu hạn các phần tử xn = 0, các xn là thành phần thuần nhất bậc
n của x.
Nhận xét 1.5.2. Cho R =

Rn là vành phân bậc, khi đó:
n∈Z

(1) R được gọi là vành phân bậc không âm (N-phân bậc) nếu Rn = 0 với mọi
n < 0, ta viết R =
Rn ;
n≥0

(2) R0 là vành con của R;
(3) 1R ∈ R0 ;
(4) Rn là R0 -môđun;
(5) Các phần tử khả nghịch của vành phân bậc đều thuần nhất.
Ví dụ 1.5.3. Cho A là vành Noether địa phương, một dãy giảm các iđêan
J0 ⊃ J1 ⊃ ... thỏa Jm Jn ⊂ Jm+n được gọi là một lọc của vành A.

(1) Cho (A, m) là vành Noether địa phương, I là iđêan m-nguyên sơ, với lọc
I ⊃ I 2 ⊃ I 3 ⊃ ...

ta có vành
G (I) = ⊕ I n I n+1
n 0

trong đó I n là lũy thừa bậc n của iđêan I và x∗ = x + I n+1 ∈ I n I n+1 . Lúc
đó, G (I) được gọi là vành phân bậc liên kết của A ứng với I , x∗ được gọi là
dạng khởi đầu của x trong G (I).
11


(2) Cho R là vành Noether địa phương, I là iđêan, ta có
I n tn

R(I) =
n∈N

là vành phân bậc và được gọi là đại số Rees của R ứng với iđêan I .
Định nghĩa 1.5.4. Cho R là một vành phân bậc và M là một R-môđun . Khi
đó, M được gọi là R-môđun phân bậc nếu tồn tại một họ {Mn }n∈Z các nhóm
con (đối với phép cộng) của M sao cho:
(1) M =

Mn (như là nhóm cộng Aben) và
n∈N

(2) Rn .Mm ⊆ Mn+m , ∀n, m ∈ Z.
Từ định nghĩa của môđun phân bậc M ta suy ra Mn là các R0 -môđun với

mọi n ∈ Z.
∞

Ví dụ 1.5.5. (1) Cho R là vành phân bậc với phân bậc tầm thường R = ⊕ Rn
n=0

với R0 = R và Rn = 0 với mọi n > 0. Lúc đó, một R-môđun M là R-môđun
∞
phân bậc với phân bậc tầm thường M = ⊕ Mn với M0 = R và Mn = 0 với
n=0
mọi n > 0
(2) Cho (A, m) là vành Noether địa phương, I là iđêan m-nguyên sơ và M là
môđun hữu hạn sinh. Ta có môđun phân bậc
GI (M ) = ⊕ I n M I n+1 M
n>0

là G (I)-môđun phân bậc liên kết của M ứng với iđêan I . Trong đó, tích của
hai phần tử x∗ = x+I n+1 M ∈ I n M I n+1 M và y ∗ = y+I m+1 M ∈ I m M I m+1 M
là phần tử (xy)∗ = xy + I n+m+1 M ∈ I n+m M I n+m+1 M .
Mệnh đề 1.5.6. [13] Cho M là R-môđun và N ⊂ M là môđun con của M . Lúc
đó các khẳng định sau là tương đương:
(1) N được sinh bởi các phần tử thuần nhất và được gọi là môđun con thuần
nhất (hoặc môđun con phân bậc);
(2) Với x ∈ M , nếu x ∈ N thì mọi thành phần thuần nhất của x đều thuộc N ;
(3) N = ⊕ N ∩ Mn .
n∈N

12



Ví dụ 1.5.7. Xét vành phân bậc chuẩn R = k[x, y]. Khi đó, ta có iđêan I =
(x3 , x4 + x2 y 2 ) là một iđêan thuần nhất bởi vì nó được sinh ra bởi các phần tử
thuần nhất là x3 (bậc 3) và x4 + x2 y 2 (bậc 4).

1.5.1

Vành và môđun Cohen-macaulay

Cho (R, m) là vành địa phương Noether, M = 0 là một R-môđun hữu hạn sinh.
Khi đó theo Mệnh đề 1.3.6 ta luôn có depth M dimM . Nếu depth M = dimM
thì M được gọi là môđun Cohen-Macaulay, còn nếu depth M
được gọi là môđun hầu Cohen-Macaulay.

dimM − 1 thì M

Nhận xét 1.5.8. (1) Cho R là vành Noether tùy ý và M = 0 là R-môđun
hữu hạn sinh, thì M là môđun Cohen-Macaulay khi Mm là môđun CohenMacaulay với mọi iđêan cực đại m ∈ Supp M.
(2) Vành Noether R được gọi là vành Cohen-Macaulay nếu nó là một R-môđun
Cohen-Macaulay.
Tiếp theo chúng tôi trình bày một số tính chất quan trọng của vành và môđun
Cohen-Macaulay.
Định lý 1.5.9. [6, Theorem 2.1.2] Cho (R, m) là vành địa phương Noether và
M = 0 là R-môđun Cohen-Macaulay. Khi đó, ta có
(1) dimR/p = depth M với mọi iđêan nguyên tố liên kết p của M ;
(2) depth(I, M ) = dimM − dimM/IM với mọi iđêan I ⊆ m;
(3) x = x1 , . . . , xn là một M -dãy khi và chỉ khi dimM/xM = dimM − n.
Định lý 1.5.10. [6, Theorem 2.1.3] Cho R là một vành Noether và M = 0 là
một R-môđun Cohen-Macaulay. Khi đó
(1) Giả sử x là một M -dãy. Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì M/xM là
R-môđun Cohen-Macaulay. Điều ngược lại đúng nếu R là vành địa phương.

(2) Giả sử M là R-môđun Cohen-Macaulay, khi đó với mọi tập nhân đóng S
của R thì MS là môđun Cohen-Macaulay. Hơn nữa, Mp là R-môđun CohenMacaulay với mỗi iđêan nguyên tố p của R. Nếu Mp = 0 thì depth Mp =
depth(p, M ), nếu R là vành địa phương thì dimM = dimMp + dimM/pM.
13


Hệ quả 1.5.11. [6, Corollary 2.1.4] Nếu R là vành Cohen-Macaulay và I = R
là một iđêan của R thì depth I = ht I và nếu R là địa phương thì ht I + dimR/I =
dimR.

Vành hầu Cohen-Macaulay cũng có nhiều tính chất tốt như Cohen-Macaulay
nhưng yếu hơn vành Cohen-Macaulay.

1.5.2

Độ dài của môđun

Định nghĩa 1.5.12. (1) Cho M là một R-môđun, một xích của môđun M là
một dãy tăng ngặt các môđun con của M có dạng
0 = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mn = M.

Độ dài của xích là số môđun con thực sự trong một xích.
(2) Một chuỗi hợp thành của môđun M là một xích cực đại của M , tức là ta
không thể bổ sung thêm một môđun con nào vào chuỗi hợp thành để được
một xích có độ dài lớn hơn, hay nói một cách tương đương là Mi /Mi−1 , i =
1, . . . , n, là đơn.
Ta có một tính chất về sự mở rộng của một xích bất kỳ thành một chuỗi hợp
thành.
Mệnh đề 1.5.13. [3, Proposition 6.7] Giả sử M là một R-môđun có một chuỗi
hợp thành với độ dài n. Khi đó, mọi chuỗi hợp thành đều có cùng độ dài là n

và với mỗi xích của môđun M ta có thể bổ sung để nó trở thành một chuỗi hợp
thành của M.
Nếu môđun M có một chuỗi hợp thành có độ dài n thì ta nói M có độ dài
hữu hạn là n. Ngược lại, nếu M không có chuỗi hợp thành thì ta nói M có độ
dài vô hạn. Ta kí hiệu độ dài của môđun M là λR (M ) hay λ (M ) (nếu không có
sự nhầm lẫn về vành R).
Với điều kiện nào thì môđun M có độ dài hữu hạn, ta cùng xem mệnh đề
sau.
Mệnh đề 1.5.14. [17, Proposition 7.36] Môđun M có độ dài hữu hạn khi và
chỉ khi M vừa là Noether vừa là Artin.
Sau đây chúng tôi trình bày một tính chất quan trọng về độ dài của môđun.
14


Mệnh đề 1.5.15. [17, Theorem 7.41] Cho dãy khớp ngắn các đồng cấu R-môđun
0 −→ L −→ M −→ N −→ 0.

Khi đó, M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi L và N có độ dài hữu hạn. Hơn nữa,
trong trường hợp M có độ dài hữu hạn thì ta có
λ(M ) = λ(N ) + λ(L).

Ta có một hệ quả từ mệnh đề này.
Hệ quả 1.5.16. Cho M là một R-môđun và N là một môđun con của M . Khi
đó, M có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu N và M/N có độ dài hữu hạn. Hơn
nữa, trong trường hợp M có độ dài hữu hạn thì ta có
λ(M ) = λ(N ) + λ(M/N ).

Khi M là một môđun hữu hạn sinh trên trường k , tức là M là một k -không
gian vectơ hữu hạn chiều thì khái niệm độ dài và chiều của không gian vectơ là
trùng nhau.

Nhận xét 1.5.17. [17, Theorem 7.42] Cho V là một k -không gian vectơ. Khi
đó, V là một k -không gian vectơ hữu hạn chiều khi và chỉ khi V là một k -môđun
có độ dài hữu hạn và trong trường hợp này ta có λ(V ) = dim k (V ).
Mệnh đề sau đây cho ta một công thức về độ dài thông qua dãy khớp, thường
được dùng sau này.
Mệnh đề 1.5.18. [17, Ex.7.43] Cho một dãy khớp các đồng cấu R-môđun
dn

dn−1

di

di−1

d1

0 −→ Gn −→ Gn−1 −→ · · · −→ Gi −→ Gi−1 −→ · · · −→ G1 −→ G0 −→ 0.

Giả sử, Gi có độ dài hữu hạn với mọi i = 1, . . . , n − 1. Khi đó, G0 và Gn có độ
dài hữu hạn và
n

(−1)i λ(Gi ) = 0.
i=0

1.6

Hàm Hilbert và hệ số Hilbert của môđun phân
bậc


Định nghĩa 1.6.1. Cho R =

Rn là vành phân bậc liên kết trên vành địa
n∈Z

phương Artin, E là môđun phân bậc hữu hạn sinh với dim(E) = d. Lúc đó En
15


là R0 -môđun có độ dài hữu hạn. Ta định nghĩa một hàm số học:
hE : Z −→ N0
n −→ hE (n) = λR (En ).

được gọi là hàm Hibert của môđun E .
Với quy ước đa thức đồng nhất 0 có bậc -1, Hilbert đã chứng minh được rằng
tồn tại đa thức pE ∈ Q[X] có bậc là d − 1 sao cho hE (n) = pE (n) với n đủ lớn.
Lúc đó đa thức pE được gọi là đa thức Hilbert của E và được viết dưới dạng
pE (n) = e0 (E)

n+d−1
d−1

n+d−2

− e1 (E)

d−2

+ . . . + (−1)d−1 ed−1 (E) ,


trong đó ei (E), i = 0, . . . , d − 1 là các hệ số nguyên và được gọi là hệ số Hilbert
của môđun E . Đặc biệt, e0 (E) được gọi là số bội và e1 (E) được gọi là hệ số Chern
của môđun E .
Định nghĩa 1.6.2. Cho R =

Rn là vành phân bậc liên kết trên vành địa
n∈Z

phương Artin, E là môđun phân bậc hữu hạn sinh. Số nguyên dương nhỏ nhất
sao cho từ vị trí kế tiếp trở đi hàm Hilbert hE (n) và đa thức pE (n) bằng nhau,
được gọi là chỉ số Hilbert của E , kí hiệu là p(E)
p(E) = max {n|hE (n) = pE (n)}

Ví dụ 1.6.3. Cho R = k [x1 , . . . , xd ] là vành đa thức phân bậc chuẩn trên trường
k . Khi đó R0 = k và các thành phần phân bậc Rn là các k -không gian véctơ. Hơn
nữa, ta có
n+d−1

hR (n) = dim k (Rn ) =

, ∀n ≥ 0.

d−1

Thật vậy, ta chứng minh bằng quy nạp theo n + d. Rõ ràng là khẳng định đúng
nếu n = 0 hoặc d = 1. Giả sử n > 0 và d > 1. Đặt S = k [x1 , . . . , xd−1 ] và xét dãy
khớp
p

x


d
0 −→ Rn−1 −→
Rn −→ Sn −→ 0.

trong đó xd (x) = xxd , ∀x ∈ Rn−1 và p được xác định bởi
rm x1 m1 . . . xd md

p

rm x1 m1 . . . xd md .

=
{m∈J|md =0 }

m∈J⊂Nd

16


Khi đó, theo Mệnh đề 1.5.15 ta có
hR (n) = dim k Rn = dim k Rn−1 + dim k Sn
=

n+d−2

n+d−2

+


d−1
=

n+d−1

d−2

.

.

d−1

Như vậy, ta có e0 (R) = 1 và e1 (R) = . . . = ed−1 (R) = 0.

1.7

Đối đồng điều địa phương

Định nghĩa 1.7.1. Cho M là R-môđun và a là iđêan của R. Lúc đó Γa (M ) =
(0 : an ) được gọi là môđun a-xoắn của R-môđun M .
n∈N

M

Nhận xét 1.7.2. (1) Γa (M ) là môđun con của môđun M ;
(2) Γa (M ) = m ∈ M | an m = 0 với n là số tự nhiên nào đó ;
(3) Γ0 (M ) = M và ΓR (M ) = 0.
Định nghĩa 1.7.3. (1) Cho M, N là các R-môđun và f : M −→ N là đồng cấu
R-môđun. Lúc đó Γa (f ) được xác định nhự sau

Γa (f ) : Γa (M ) −→ Γa (N )
x −→ f (x).

là một đồng cấu R-môđun.
(2) Kí hiệu M od(R) là phạm trù các R-môđun . Xét tương ứng
Γa : M od(R) −→ M od(R)
M −→ Γa (M )
f : M −→ N −→ Γa (f ) : Γa (M ) −→ Γa (N )
x −→ f (x)
Γa là một hàm tử hiệp biến và được gọi là hàm tử a-xoắn hay nói ngắn gọn

là hàm tử xoắn.
17


Nhận xét 1.7.4. (1) Hàm tử Γa có tính khớp trái, nghĩa là từ dãy khớp ngắn
các R-môđun
f

g

0 −→ M −→ N −→ E −→ 0

ta thu được dãy khớp
Γa (f )

Γa (g)

0 −→ Γa (M ) −→ Γa (N ) −→ E.


(2) Hàm tử Γa có tính cộng tính.
Định nghĩa 1.7.5. Xét giải thức nội xạ tối tiểu của M
/

0

i

M

/

E0

d0 /

E1

d1 /

d2 /

E2

···

Áp dụng hàm tử Γa ta có phức cảm sinh
0

/


Γa (E 0 )

Γa (d0 )

/

Γa (E 1 )

Γa (d1 )

/

Γa (E 2 )

Γa (d2 )

/

Γa (d3 )

Γa (E 3 )

/ ···

Đối đồng điều địa phương thứ i của môđun M ứng với iđêan a được kí hiệu là
Hai (M ) và được xác định như sau:
Hai (M ) = Ker(Γa (di ))/Im(Γa (di−1 )), ∀i ≥ 0.

Với quy ước d−1 = 0.

√

√

Nhận xét 1.7.6. Cho b là một iđêan của R thỏa a = b, lúc đó Hai = Hbi với
mọi i ∈ N0 nên Hai (M ) = Hbi (M ) với mọi R-môđun M và với i ∈ N0 .
Sau đây chúng tôi trình bày một tính chất quan trọng của đối đồng điều địa
phương , còn được gọi là Định lý triệt tiêu của Grothendieck.
Định lý 1.7.7. [6, Theorem 3.5.7] Cho (R, m) là vành Noether địa phương, M
là R-môđun hữu hạn sinh với depth M = t và dimM = d. Khi đó,
(i) Hmi (M ) = 0 với mọi i < t và i > d,
(ii) Hmt (M ) = 0 và Hmd (M ) = 0.
Nhận xét 1.7.8.

(i) Nếu M là một R-môđun thì Hm0 (M ) ∼
= Γm (M );

(ii) Hmi (M ) là môđun Artin;
(iii) Nếu M là R-môđun Cohen-Macaulay thì dimM = depth M nên từ Định lí
1.7.7, ta có Hmi (M ) = 0 với mọi i = d;
(iv) Nếu R là vành phân bậc và M là R-môđun hữu hạn sinh thì Hmi (M ) cũng
là R-môđun phân bậc và Hmi (M )n = 0 với mọi n 0.
18


1.8

Số mũ rút gọn của iđêan m-nguyên sơ
Cho A/m là trường thặng dư vô hạn và I là một iđiêan m-nguyên sơ. Ta


định nghĩa một rút gọn cực tiểu của I là một iđêan (x) = (x1 , ..., xd ) ⊂ I sao cho
(x) I n = I n+1 với n là số nguyên không âm. Giả sử J là một rút gọn cực tiểu của
I , ta đặt
rJ = min n ∈ Z JI n = I n+1
Lúc đó, r (I) = min rJ (I) J là giảm cực tiểu của I được gọi là số mũ rút gọn
của I .
Rn là một đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên vành địa
Cho R =
n≥0

phương R0 và M là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Ta kí hiệu R+ =

Rn
n>0

và HRi + (M ) là môđun đối đồng điều địa phương của M với giá R+ . Ta biết rằng
i (M ) là R-môđun phân bậc và H i (M ) = 0 với n đủ lớn. Đặt
HR
n
R+
+
ai (M ) =


max{n | H i (M )n = 0} nếu H i (M ) = 0,
R+
R+
nếu HRi + (M ) = 0.

−∞

Ta có bổ đề sau:
Bổ đề 1.8.1. [4, Lemma 3.2]

Cho (A, m) là vành địa phương Noether có

dim(A) = d và I là iđêan m-nguyên sơ. Lúc đó:
ad (G (I)) + d

r (I)

Nhận xét 1.8.2. (1) Nếu Q là iđêan tham số thì r (Q) = 0 dẫn đến ad (G (Q)) +
d 0. Từ đó suy ra ad (G (Q)) < 0, với mọi d 1.
(2) Với mọi n đủ lớn, ta có ai (G (Qn ))

0, ∀i = 0, ..., d (Xem [10, Lemma 2.4]).

(3) Nếu depth (A) s + 1 và depth G (I) = s thì as (G(I)) < as+1 (G(I)) (Xem [11,
Theorem 5.2] ).

19


CHƯƠNG 2
TÍNH KHÔNG DƯƠNG CỦA HỆ
SỐ HILBERT
2.1

Hàm Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert-Samuel

Định nghĩa 2.1.1. Cho (A, m) là vành Noether địa phương và I là iđêan mnguyên sơ của A. Cho M là một A-môđun hữu hạn sinh khác không. Khi đó, ta

định nghĩa hàm Hilbert-Samuel của môđun M ứng với iđêan I là hàm số học:
HM : Z −→ N0
n −→ HM (n) =


λ(M/I n M ) nếu n ≥ 0
0

nếu n < 0

Nhận xét 2.1.2. (1) Nếu xét A như là một môđun trên chính nó thì ta có hàm
Hilbert-Samuel của vành A ứng với iđêan I được cho bởi công thức

λ(A/I n ) nếu n ≥ 0
HA (n) =

nếu n < 0

0

(2) Tương tự đối với hàm Hilbert của môđun phân bậc, Samuel đã chứng minh
được rằng tồn tại một đa thức PM ∈ Q[x] có bậc d = dimM sao cho HM (n) =
PM (n) với n đủ lớn. Đa thức PM được gọi là đa thức Hilbert-Samuel của
iđêan I trong môđun M và được biểu diễn dưới dạng
PM (n) = e0 (I, M )

n+d−1

−e1 (I, M )


d
20

n+d−2
d−1

+· · ·+(−1)d ed (I, M )


Hay
d

(−1)i ei (I, M )

PM (n) =
i=0

n+d−i−1
d−i

Các hệ số ei (I, M ) với i = 0, 1, . . . , d là các số nguyên và chúng được gọi là
các hệ số Hilbert-Samuel của môđun M ứng với iđêan I . Đặc biệt, hệ số e0
còn được gọi là số bội và hệ số e1 còn được gọi là hệ số Chern. Trường hợp
M = A, ta viết ei (I) = ei (I, A) và được gọi là hệ số Hilbert của iđêan I .

(3) Chỉ số Hilbert-Samuel của môđun M ứng với iđêan I được xác định như
sau:
nM (I) = max {n|HM (n) = PM (n)} = min {n|HM (n) = PM (n)}

và viết n(I) thay cho nA (I).


2.2

Mối quan hệ giữa hệ số Hilbert-Samuel và hệ
số Hilbert của vành phân bậc liên kết

Trong mục này ta sẽ xem xét mối liên hệ giữa hệ số Hilbert-Samuel và hệ số
Hilbert của vành phân bậc liên kết. Trước tiên, ta cần nắm định nghĩa hàm
Hilbert của vành phân bậc liên kết.
Định nghĩa 2.2.1. Cho (A, m) là vành địa phương và I là iđêan m-nguyên sơ,
M là R-môđun hữu hạn sinh. Lúc đó, ta có hàm Hilbert của môđun phân bậc
liên kết GI (M ) được xác định như sau :
hGI (M ) : Z −→ N0
n −→ hGI (M ) (n) = λ(I n M/I n+1 M ).

Với mọi n đủ lớn, tồn tại đa thức pGI (M ) (n) là đa thức Hilbert của môđun phân
bậc liên kết GI (M ) và được biểu diễn dưới dạng:
pGI (M ) = e0 (GI (M ))

n+d−1
d−1

−e1 (GI (M ))

n+d−2
d−2

+· · ·+(−1)d−1 ed−1 (GI (M )) .

với ei (GI (M )), i = 0, 1, . . . , d − 1 là các hệ số Hilbert của môđun phân bậc liên

kết GI (M ) và d = dimA = dimGI (M ).
21


Mối liên hệ giữa hệ số Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert của môđun phân bậc
liên kết được thể hiện qua bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.2.
ei (GI (M )) = ei (I, M ) , ∀i = 0, ..., d − 1

Chứng minh. Theo tính chất về độ dài môđun ta có:
λ(M/I n+1 M ) = λ(M/IM ) + λ(IM/I 2 M ) + . . . + λ(I n M/I n+1 M ).

Từ đó ta có mối liên hệ giữa hàm Hilbert của môđun phân bậc liên kết GI (M )
và hàm Hilbert-Samuel của môđun M ứng với iđêan I như sau:
HI,M (n + 1) = hGI (M ) (0) + hGI (M ) (2) + . . . + hGI (M ) (n), ∀n ≥ 0.

Từ đẳng thức trên suy ra hGI (M ) (n) = HI,M (n + 1) − HI,M (n) ∀n ≥ 1. Do đó
pGI (M ) (n) = PI,M (n + 1) − PI,M (n),

Ta lại có
PI,M (n + 1) = e0 (I, M )

n+d

−e1 (I, M )

d

n+d−1


+ ···+

d−1

(−1)d ed (I, M ) .

và
PI,M (n) = e0 (I, M )

n+d−1

−e1 (I, M )

d

n+d−2

+ ···+

d−1

(−1)d ed (I, M ) .

Suy ra
PI,M (n + 1) − PI,M (n) = e0 (I, M )

n+d−1
d−1

−e1 (I, M )


n+d−2

+ ···+

d−2

(−1)d−1 ed−1 (I, M ) .

Đồng nhất các hệ số trong đẳng thức pGI (M ) = PI,M (n) − PI,M (n − 1) ta có
ei (GI (M )) = ei (I, M ), ∀i = 0, 1, . . . , d − 1.

22